2020年上海市金山区初三数学一模试卷含答案
2020学年第一学期期末质量检测
初三数学试卷
（满分150分，考试时间100分钟）（2021．1）
一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）
【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】 1.已知二次函数()122
--=x y ，那么该二次函数图像的对称轴是（ ）
（A ）直线2=x ； （B ）直线2-=x ； （C ）直线1=x ； （D ）直线1-=x . 2.下列各点在抛物线2
2x y =上的是（ ）
（A ）()2,2； （B ）()42，
； （C ）)(8,2； （D ）()16,2. 3.在ABC Rt ?中，
90=∠C ，那么锐角A 的正弦等于（ ） （A ）
的邻边锐角的对边锐角A A ；（B ）斜边的对边锐角A ；（C ）斜边的邻边锐角A ；（D ）的对边
锐角的邻边
锐角A A .
4.若α是锐角，()2
2
15sin =
+
α，那么锐角α等于（ ） （A ）
15； （B ）
30； （C ）
45； （D ）
60.
5.如图，已知点D 、E 分别在ABC ?的边AB 、AC 上，BC DE //，2=AD ，3=BD ，
a BC =，那么ED 等于（ ）
（A ）
a 32； （B ）a 32-； （C ）a 52； （D ）a 5
2-. 6.如图，已知ABC Rt ?中，
90=∠C ，3=AC ，4=BC ，如果以点C 为圆心的圆与斜边AB 有公共点，那么⊙C 的半径r 的取值范围是（ ） （A ）5120≤≤r ； （B ）3512≤≤r ； （C ）45
12
≤≤r ； （D ）43≤≤r .
二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】
第6题图
B
C
A
A
第5题图
7.计算：=??
?
??-+b a a 232 ． 8.已知()x x x f 32
+=，那么()=-2f ．
9.抛物线2
2x y -=沿着x 轴正方向看，在y 轴的左侧部分是 ．（填“上升”或“下降”） 10.正十边形的中心角等于 度．
11.已知⊙1O 和⊙2O 的半径长分别为3和4，若⊙1O 和⊙2O 内切，那么圆心距21O O 的长等于 ．
12.在ABC Rt ?中，
90=∠C ，15=AB ，5
4
in =
A s ，那么=BC ． 13.在ABC ?中，5:2:1::=BC AC A
B ，那么=B tan ．
14.已知：如图，ABC ?的中线AE 与BD 交于点G ，AE DF //交BC 于F ，那么
=AG
DF
． 15.如图，在梯形ABCD 中，BC AD //，AD BC 2=，设a AB =，b AD =，那么向量CD 用向量a 、b 表示为 ．
16.如图，已知⊙O 中，
120=∠AOB ，弦18=AB ，那么⊙O 的半径长等于 ．
17.如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，DE 交对角线AC 于F ，若BE CE 2=，ABC ?的面积等于15，那么FEC ?的面积等于 ．
18.已知在ABC Rt ?中，
90=∠C ，1=BC ，2=AC ，以点C 为直角顶点的DCE Rt ?的顶点D 在BA 的延长线上，DE 交CA 的延长线于点G ，若2
1
tan =∠CED ，GE CE =，那么BD 的长等于 ．
第17题图
B
A
C
D
E
F
第16题图
A B O A
G
D
C B E 第14题图 第15题图
A
C
B
第18题图
三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19.（本题满分10分）
如图，已知在ABC Rt ?中，
90=∠C ，3=AC ，4=BC .
求：
30
tan 4tan cos 1sin tan 2A
B A B +
-+?的值.
20. （本题满分10分，每小题满分5分）
已知：如图，⊙1O 与⊙2O 外切于点T ，经过点T 的直线与⊙1O 、⊙2O 分别相交于点A 和点B .
（1）求证：B O A O 21//；
（
2）若21=A O ，32=B O ,7=AB ，求AT 的长.
21. （本题满分10分，每小题满分5分）
已知抛物线c bx x y ++-=2
2经过点()1,0A 、()5,1-B .
（1）求抛物线的表达式；
（2）把表达式化成()k m x y ++-=2
2的形式，并写出顶点坐标与对称轴.
22. （本题满分10分，每小题满分5分）
如图，在距某输电铁塔GH （GH 垂直地面）的底部点H 左侧水平距离60米的点B 处有一个山坡，山坡AB 的坡度3:1=i ，山坡坡底点B 到坡顶A 的距离AB 等于40米，在坡
顶A 处测得铁塔顶点G 的仰角为
30（铁塔GH 与山坡AB 在同一平面内）.
（1）求山坡的高度；
（2）求铁塔的高度GH .（结果保留根号）
23. （本题满分12分，每小题满分6分）
已知：如图，四边形ABCD 是菱形，点M 、N 分别在边BC 、CD 上，联结AM 、AN 交对角线BD 于E 、F 两点，且ABD MAN ∠=∠. （1）求证：DE BF AB ?=2
；
（2）若DC
DN
DE BE =，求证：MN EF //.
C
第19题图
B
A
T 第20题图
B
A
O 1 O 2
G
第22题图 A
B H
A B
F E C
第23题图
D
M
N
第24题图
第25题备用图
24. （本题满分12分，每小题满分4分） 在平面直角坐标系xoy 中，直线243+-
=x y 与直线32
1
-=x y 相交于点A ，抛物线)0(12
≠-+=a bx ax y 经过点A .
（1）求点A 的坐标；
（2）若抛物线12
-+=bx ax y 向上平移两个单位后，
经过点()2,1-，求抛物线12
-+=bx ax y 的表达式；
（3）若抛物线c x b x a y +'+'=2
()0<'a 与2
+=ax y 对称，且这两条抛物线的顶点分别是点P '与点P ，当S 求抛物线12
-+=bx ax y 的表达式.
25. （本题满分14分，第(1)分4分，第(2)分6分，第(3)分4分）
定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.如图1中，O A ∠=∠2
1
. 已知：如图2，AC 是⊙O 的一条弦，点D 在⊙O 上（与A 、C 不重合），联结DC 交射
线AO 于点E ，联结OD ，⊙O 的半径为5，4
3
tan =∠OAC .
(1)求弦AC 的长.
(2)当点E 在线段OA 上时，若DOE ?与AEC ?相似，求DCA ∠的正切值. (3)当1=OE 时，求点
A 与点D 之间的距离（直接写出答案）.
A
B
C
O
第25题图1
第25题图2
参考答案和评分标准
一．选择题： 1．A ； 2．C ； 3．B ； 4．B ； 5．D ； 6．C ．
二．填空题： 7．b a 24-； 8．2-； 9．上升；10．36；11．1；12．12；13．2； 14．
4
3
；15．--；16．36；17．4；18．52+． 19.解：在ABC Rt ?中， 90=∠C ，3=AC ，4=BC ，由勾股定理得，222BC AC AB +=， ∴5432222=+=+=BC AC AB ；……………………………………（2分）
∴43tan ==
BC AC B ；54sin ==AB BC A ；54cos ==AB BC B ；3
4
tan ==AC BC A ……（4分）
∴原式2
33434
5
415443???
?
???+-+?=
；……………………（2分）
5
9
154=+=
.………………（2分） 20.（1）证明：联结21O O ，即21O O 为连心线，又∵⊙1O 与⊙2O 外切于点T ，……（1分） ∴21O O 经过点T ；………………………………………（1分）
∵T O B O T O A O 2211,==；∴TB O B TA O A 21,∠=∠∠=∠；……………………（1分） ∵TB O TA O 21∠=∠； ∴B A ∠=∠；……………（1分） ∴B O A O 21//.……………………（1分） （2）∵B O A O 21// ∴
BT
AT
BO AO =21；……………………………（2分） ∵21=A O ，32=B O ,7=AB ； ∴
AT AT -=
732，解得：5
14
=AT .……………（3分） 21．解：（1）由抛物线c bx x y ++-=2
2经过点()1,0A 、()5,1-B 两点可得：
???-=++-=521c b c ………………（2分）解得：?
?
?=-=14
c b ；…………………（2分） ∴抛物线的解析式为：1422
+--=x x y .……………………（1分） （2）1422
+--=x x y ()3122
++-=x ；……………（3分）
∴()3122
++-=x y ，顶点坐标为：()3,1-，对称轴为：直线1-=x .……………（1+1分）
22．解：（1）过点A 作AD 垂直HB ，交HB 的延长线于点D .……………（1分） 即 90=∠ADB ；
由题意得：3:1=i ，60=AB （米）； ∴
3
1
=BD AD ，即AD BD 3=；………（1分） 又∵222BD AD AB +=，即(
)
2
22340AD AD +=……………（1分）
∴20=AD （米）.……………（1分）
答：山坡的高度为20米.…………………（1分） （2）作BH AE //交GH 于点E .………………（1分） ∵BH AD ⊥，BH GH ⊥；∴GH AD //； 即：四边形ADHE 是平行四边形；
由题意可知： 30=∠GAE ，60=BH （米）；
∵3203==AD BD （米）； ∴30260+==DH AE （米）；……………（1分） 在AGE R ?t 中，AE
GE
GAE =∠tan ； ∴32020+=GE （米）.……………（1分） 又∵20==AD EH （米）；
∴32040+=+=EH GE GH （米）；……………（1分）
答：铁塔的高度GH 为）（32040+米.……………（1分）
23．证明：（1）∵四边形ABCD 是菱形； ∴AD AB =；……………（1分） ∴ADB ABD ∠=∠；……………（1分）
∵BAE ABD AED ∠+∠=∠,BAE MAN BAF ∠+∠=∠； 又∵ABD MAN ∠=∠；
∴BAF AED ∠=∠；……………（1分） ∴AED ?∽FAB ?；……………（1分） ∴
AB
DE
BF AD =
，即DE BF AB AD ?=?；……………（1分） ∴DE BF AB ?=2
.……………（1分）
（2）∵四边形ABCD 是菱形；
∴BC AD =，BC AD //；……………（1分）
∴
AD BM DE BE =；……………（2分） ∵DC DN
DE BE =
； ∴DC DN AD BM =，……………（1分）∴DC
DN BC BM =；……………（1分） ∴BD MN //，即MN EF //.……………（1分） 24．解：（1）∵直线243+-
=x y 与直线32
1
-=x y 相交于点A ， ∴???
????
-=+-=3
21243x y x y ，解得：???-==14y x ；……………（3分）
∴点A 的坐标为()14-，
.……………（1分） （2）∵抛物线)0(12
≠-+=a bx ax y 经过点A ()14-，
， ∴11416-=-+b a 即a b 4-=……………（1分） ∴142
--=ax ax y
∴平移后的抛物线的表达式是142
+-=ax ax y ；……………（1分） ∴142+-=-a a ，解得：1=a ………………（1分）
∴抛物线12
-+=bx ax y 的表达式是：142
--=x x y .……………（1分） （3）∵142--=ax ax y
()1422
---=a x a
∴()142--a P ，
……………（1分） ∵抛物线()02
<'+'+'=a c x b x a y 与142
--=ax ax y ∴()142+'a P ，
……………（1分） ∵0<'a ，∴0>a ； ∴28+='a P P ； 又∵2=OD ，P P OD S P OP '??='
?2
1
；
∴
()328221=+??a ，解得：8
1
=a .………（1分） ∴抛物线12
-+=bx ax y 的表达式是12
1812--=x x y .………………（1分）
25．（1）解：作AC OH ⊥垂足为点H ，OH 过圆心，
由垂径定理得：AC CH AH 2
1
=
=；……………………………（1分） ∵在OAH R ?t 中4
3
tan ==∠AH OH OAC ，设x AH x OH 4,3==，……………（1分）
∴在OAH R ?t 中，可得：222OA AH OH =+，
由⊙O 的半径为5可得：()()22
2
543=+x x ， 解得：1±=x ，（1-=x 舍去）∴4,3==AH OH ,………………………（1分） ∴82==AH AC .………………………（1分） (2)∵AEC DEO ∠=∠，
∴当DOE ?与AEC ?相似时可得：A DOE ∠=∠或者ACD DOE ∠=∠； 由定理：一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.可知：DOE ACD ∠=
∠2
1
，
∴DOE ACD ∠≠∠
∴当DOE ?与AEC ?相似时不存在ACD DOE ∠=∠情况.………………………（1分） ∴当DOE ?与AEC ?相似时，A DOE ∠=∠，
∴AC OD //，∴
AE
OE
AC OD =
；……………（1分） ∵8,5===AC OA OD ，得AE AE -=585,∴13
40
=AE ；…………………（1分）
作AC EG ⊥垂足为G ，可得： 90=∠=∠AHO AGE ,∴OH GE //，
∴AH AG OH EG AO AE ==即4
351340
AG EG ==, ∴13
24=EG ，……………（1分） 1332=AG ，137213328=
-=CG ,…………（1分） ∴在CEG R ?t 中，
3
1
13
721324tan ===∠CG EG DCA .…………………………（1分）
（3）当1=OE 时，AD 的长是52或14529
18
.……………………………（2+2分）