解三角形题型汇总.docx
(完整版)解三角形专题题型归纳
《解三角形》知识点、题型与方法归纳、知识点归纳(★☆注重细节，熟记考点☆★)1正弦定理及其变形a sin A变式： b c —— — 2R (R 为三角形外接圆半径)sin B sin C (1 a 2RsinA,b 2Rsin B,c 2RsinC (边化角公式) (2) si nA,si nB ,si nC (角化边公式)2R 2R2R(3 a: b: c sin A:si nB:si nC一、a sin A a sin A b sin Bb sin Bc sin C c sin C2 •正弦定理适用情况：(1) 已知两角及任一边；(2) 已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况) 3 •余弦定理及其推论2 22ab c 2bccosAb ac 2accosB 222cab 2abcosC4.余弦定理适用情况: (1)已知两边及夹角;注.解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作 用)，统一成边的形式或角的形式•7. 实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角b 22c 2 a2bc222ac b2ac2.22ab c (2)已知三边.5. 常用的三角形面积公式1(1) S ABC 底2 1(2) S 二一 absi nC26. 三角形中常用结论 1 1 acsin B bcsin A 24c R 为ABC 外接圆半径(两边夹一角)；(1) a b c, b c (2) 在 ABC 中, A (3) 在 ABC 中，A Ba, a ③ tan A B tanC ；b(即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边) b si nA si n B(即大边对大角，大角对大边) ，所以 ① sin A B sinC :② cos A B cosC ；A B C AB. C ④ sin cos ,⑤ cos sin2 2 2 2cos AcosB cosC 2ab在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图 ①）从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为a （如图②） 注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。
高三高考数学总复习《解三角形》题型归纳与汇总
高考数学总复习题型分类汇《解三角形》篇经典试题大汇总目录【题型归纳】题型一利用正、余弦定理解三角形 (3)题型二角的正弦值和边的互化 (4)题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (5)题型四和三角形面积有关的问题 (6)【巩固训练】题型一利用正、余弦定理解三角形 (8)题型二角的正弦值和边的互化 (10)题型三利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 (11)题型四和三角形面积有关的问题 (11)高考数学《解三角形》题型归纳与训练【题型归纳】题型一 利用正、余弦定理解三角形例1 在ABC ∆中，cos2=C ，1=BC ，5=AC ，则=ABA ．BCD ．【答案】A【解析】因为213cos 2cos 121255=-=⨯-=-C C ，所以由余弦定理， 得22232cos 251251()325=+-⋅=+-⨯⨯⨯-=AB AC BC AC BC C ，所以=AB A ．例2 ABC ∆的内角A ,B ,C 的对边分别为a ，b ，c ，若54cos =A ，135cos =C ，1=a ，则=b ． 【答案】1321【解析】∵4cos 5A =，5cos 13C =，所以3sin 5A =，12sin 13C =， 所以()63sin sin sin cos cos sin 65B AC A C A C =+=+=， 由正弦定理得：sin sin b a B A =解得2113b =．例3 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()sin sin sin cos 0B A C C +-=，2a =，c =则C =（ ）.A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即sin (sin cos )sin 04C A A C A π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，所以34A π=.由正弦定理sin sin a c A C =，得23sin sin 4C =π，即1sin 2C =，得6C π=.故选B .【易错点】两角和的正弦公式中间的符号易错【思维点拨】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.题型二 角的正弦值和边的互化例1 ABC ∆的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a A B b A +=，则=abA ．B ．CD 【答案】B【解析】由正弦定理，得22sin sin sin cos A B B A A +=，即22sin (sin cos )B A A A ⋅+=，sin B A =，∴sin sin b B a A==． 例2 设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ．若2b c a +=，则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【答案】π32 【解析】3sin 5sin A B =，π32212cos 2,53222=⇒-=-+=⇒=+=⇒C ab c b a C a c b b a ，所以π32．例3 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知sin cos()6b A a B π=-． （1）求角B 的大小；（2）设2a =，3c =，求b 和sin(2)A B -的值．【答案】（1）3B π=（2）b =，sin(2)14A B -=【解析】(1)在ABC △中，由正弦定理sin sin a bA B=，可得sin sin b A a B =， 又由πsin cos()6b A a B =-，得πsin cos()6a B a B =-，即πsin cos()6B B =-，可得tan B =又因为(0π)B ∈，，可得3B π=．(2)在ABC △中，由余弦定理及2a =，3c =，3B π=，有2222cos 7b a c ac B =+-=，故b =由πsin cos()6b A a B =-，可得sin A =a c <，故cos A =．因此sin 22sin cos A A A ==21cos 22cos 17A A =-=．所以，sin(2)sin 2cos cos 2sin A B A B A B -=-=11727214⨯-⨯= 例4 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2cos (cos cos ).C a B+b A c = （1）求C ；（2）若c ABC △=的面积为2，求ABC △的周长．【答案】（1）π3C =（2）5a b c ++= 【解析】(1)()2cos cos cos C a B b A c +=由正弦定理得：()2cos sin cos sin cos sin C A B B A C ⋅+⋅=()2cos sin sin C A B C ⋅+=∵πA B C ++=，()0πA B C ∈、、，∴()sin sin 0A B C +=> ∴2cos 1C =，1cos 2C =∵()0πC ∈， ∴π3C =．⑵ 由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-⋅ 221722a b ab =+-⋅()237a b ab +-=1sin 2S ab C =⋅∴6ab = ∴()2187a b +-= ∴ABC △周长为5a b c ++=+题型三 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状例1 设ABC ∆，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若cos cos sin b C c B a A +=, 则ABC ∆的形状为A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】∵cos cos sin b C c B a A +=，∴由正弦定理得2sin cos sin cos sin B C C B A +=，∴2sin()sin B C A +=，∴2sin sin A A =，∴sin 1A =，∴ABC ∆是直角三角形．例2 设ABC ∆，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A bccos <，则ABC ∆为( ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形D.等边三角形【答案】C【解析】由A b c cos <，得A BC cos sin sin <， 所以A B C cos sin sin <，即()A B B A cos sin sin <+，所以0cos sin <B A ，因为在三角形中0sin >A ，所以0cos <B ，即B 为钝角，所以ABC ∆为钝角三角形.例3 在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，则ABC ∆的形状为（ ）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形 【答案】D【解析】由已知可得AABB B Acos sin sin cos sin sin 22=,B B A A cos sin cos sin =,B A 2sin 2sin =即B A 22=或π=+B A 22,可得B A =或2π=+B A ,所以ABC ∆的形状为等腰三角形或直角三角形.【易错点】诱导公式易出错【思维点拨】1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制.题型四 和三角形面积有关的问题例1 ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若ABC ∆的面积为2224a b c +-，则C =A ．2π B ．3π C ．4π D ．6π 【答案】C【解析】根据题意及三角形的面积公式知2221sin 24a b c ab C +-=，所以222sin cos 2a b c C C ab +-==，所以在ABC ∆中，4C π=．故选C ． 例2 在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边长，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC ∆的面积是A ．3B ．239C ．233 D ．33 【答案】C【解析】由22()6c a b =-+可得22226a b c ab +-=-①，由余弦定理及3C π=可得222a b c ab +-=②．所以由①②得6ab =，所以1sin 23ABC S ab π∆==例3 ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，a =2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且 AD AC ⊥，求ABD △的面积． 【答案】(1)4 (2)3【解析】（1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD从而点D 为BC 的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△ 【易错点】给出三角函数值求角、余弦定理求边【思维点拨】三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.【巩固训练】题型一 利用正、余弦定理解三角形1.在ABC ∆中，若60,45,A B BC ︒︒∠=∠==，则AC =A ．B ．CD 【答案】B【解析】由正弦定理得：sin sin sin 60sin 45BC AC ACAC A B ︒︒=⇔=⇔=2. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a b ==，sin cos B B +=A 的大小为 ． 【答案】6π【解析】由sin cos B B +=12sin cos 2B B +=，即sin 21B =，因02B π<<，所以2,24B B ππ==.又因为2,a b ==由正弦定理得2sin sin 4A π=，解得1sin 2A =，而,a b <则04A B π<<=,故6a π=． 3.在ABC ∆中，π4B，BC 边上的高等于13BC ，则cos =A （ ）.C.10D.310【答案】C【解析】如图所示.依题意，3AB BC =，3AC BC =.在ABC △中，由余弦定理得222cos 2AB AC BC A AB AC +-==⋅222225210BC BC BC BC +--==-故选C. 4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值； （2）求πsin 24A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【答案】见解析【解析】（1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =.由正弦定理sin sin a bA B=，得sin sin 13a B A b ==. （2）由（Ⅰ）及a c <，得cos 13A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==， 25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭. 5. 如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AC AD ⊥，sin 3BAC ∠=，AB =3AD =，则BD 的长为_______．C【答案】3【解析】∵sin sin()cos 23BAC BAD BAD π∠=∠+=∠=∴根据余弦定理可得222cos 2AB AD BD BAD AB AD+-∠=•，2223BD ∴==题型二 角的正弦值和边的互化1. 在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ．若sin cos a B C +1sin cos 2c B A b =，且a b >，则B ∠= A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π【答案】A【解析】边换sin 后约去sin B ，得1sin()2A C +=，所以1sin 2B =，但B 非最大角，所以6B π=． 2. 在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若bc b a 322=-，且B C sin 32sin =，则角A 的大小为________.【答案】6π【解析】由B C sin 32sin =，根据正弦定理得，b c 32=，代入bc b a 322=-得227b a =，由余弦定理得：232cos 222=-+=bc a c b A ，∴6π=A .3.已知a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，cos a C +sin 0C b c --=．（1）求A ；（2）若2=a ，ABC ∆的面积为3，求b 、c ． 【答案】（1）︒60 （2）2b c == 【解析】（1）由正弦定理得：cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=⇔=+sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2303060A C A C a C C A A A A A ︒︒︒︒⇔=++⇔-=⇔-=⇔-=⇔=（2）1sin 42S bc A bc ==⇔= 2222cos 4a b c bc A b c =+-⇔+=，解得：2b c ==．题型三 利用正、余弦定理判定三角形的形状1.在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +<，则△ABC 的形状是（ ）A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.不能确定 【答案】A【解析】由已知可得222c b a <+，02cos 222<-+=abc b a C ，所以△ABC 的形状是钝角三角形 2. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，若()A b a B a c cos 2cos -=-，则ABC ∆的形状为( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形【答案】D【解析】∵()A b a B a c cos 2cos -=-，∴由正弦定理得()A B A B A C cos sin sin 2cos sin sin -=-， ∴()()A B A B A B A cos sin sin 2cos sin sin -=-+,∴()0sin sin cos =-A B A ，∴0cos =A 或A B sin sin =，∴ABC ∆为等腰或直角三角形.题型四 和三角形面积有关的问题1.ABC ∆中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C所对的边长．已知3,cos 32a A B A π===+．（1）求b 的值； （2）求ABC ∆的面积．【答案】（1）23=b （2）223 【解析】（1）在ABC ∆中，由题意知sin A ==， 又因为2B A π=+，所有sin sin()cos 2B A A π=+==，由正弦定理可得3sin sin a Bb A===． （2）由2B A π=+得，cos cos()sin 23B A A π=+=-=-， 由A B C π++=，得()C A B π=-+．所以sin sin[()]sin()C A B A B π=-+=+sin cos cos sin A B A B =+(=13=． 因此，ABC ∆的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=． 2. ABC ∆在内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos sin a b C c B =+． （1）求B ；（2）若2b =，求△ABC 面积的最大值． 【答案】（1）4π（21 【解析】（1）因为cos sin a b C c B =+，所以由正弦定理得：sin sin cos sin sin A B C C B =+，所以sin()sin cos sin sin B C B C C B +=+，即cos sin sin sin B C C B =，因为sin C ≠0，所以tan 1B =，解得B =4π；（2）由余弦定理得：2222cos4b ac ac π=+-，即224a c =+，由不等式得：222a c ac +≥，当且仅当a c =时，取等号，所以4(2ac ≥，解得4ac ≤+，所以△ABC的面积为1sin 24ac π(44≤⨯+1，所以△ABC 1． 3. 设ABC ∆的内角C B A ,,所对边的长分别为,,a b c ，且有2sin cos B A =sin cos cos sin A C A C +． （1）求角A 的大小；（2）若2b =，1c =，D 为BC 的中点，求AD 的长． 【答案】(1) 3π=A (2) 27=AD【解析】（1）,,(0,)sin()sin 0A C B A B A C B ππ+=-∈⇒+=>2sin cos sin cos cos sin sin()sin B A A C A C A C B =+=+=1cos 23A A π⇔=⇔=（2）2222222cos 2a b c bc A a b a c B π=+-⇔==+⇒=在Rt ABD ∆中，2AD ===． 4.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c .已知2cos b c a B +=. （1）求证：2A B =；（2）若ABC △的面积24a S =，求出角A 的大小.【答案】(1) 见解析 (2)π2A =或π4A = 【解析】（1）由正弦定理得sin +sin 2sin cosBC A B =，故2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++，于是()B A B -=sin sin ,又A ，()0,πB ∈，故0πA B <-<，所以()B A B --=π 或B A B =-，因此=πA （舍去）或2A B =，所以2.A B =（2）由42a S =，得21sin 24a ab C =.由正弦定理得1sin sin sin 2sin cos 2B C B B B ==，因为sin 0B ≠，得sin cos C B =．又Β，()0,πC ∈，所以π2C B =±．当π2B C +=时，由πA B C ++=，2A B =，得π2A =；当π2C B -=时，由πA B C ++=，2A B =，得π4A =．综上所述，π2A =或π4A =．新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：与现形课标对比，必修3中的“算法初步”删掉了；删掉了必修5中的解三角形，不等式的大部分内容。
(精校)解三角形知识点及题型总结(可编辑修改)
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基础强化(8)——解三角形
1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—（A+B）； ②. 三角形三边关系：a+b〉c； a—b〈c ③.锐角三角形性质：若 A>B>C 则 60 A 90, 0 C 60
2、三角形中的基本关系: sin( A B) sin C, cos( A B) cos C, tan( A B) tan C,
题型五:解三角形中的最值问题 例 5. 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 c 2 , C
3 （1） 求△ABC 周长的取值范围
（2） 求△ABC 面积的取值范围
1.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 cos C (cos A 3 sin A) cos B 0 . 1)求角 B 的大小；(2）若 a c 1，求 b 的取值范围
最大值.
ห้องสมุดไป่ตู้题型六:图形中的解三角形
例 6. 如图，在 ABC 中, D 是边 AC 上的点，且
AB AD,2AB 3BD, BC 2BD ，则 sin C 的值为
A。 3 3
B. 3 6
C。 6 3
D. 6 6
1.如图 ABC 中,已知点 D 在 BC 边上， AC AD ,
sin BAC 2 2 , AB 3 2, AD 3 ， 则 BD 3
A.等腰三角形
B。直角三角形
C。等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
（2)在 ABC 中，若 sin C 2 cos Asin B ,则此三角形必是（ ）
A.等腰三角形
解直角三角形(5种题型)(解析版)
解直角三角形（5种题型）【知识梳理】一．解直角三角形（1）解直角三角形的定义在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．（2）解直角三角形要用到的关系①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B＝90°；②三边之间的关系：a2+b2＝c2；③边角之间的关系：sin A=∠A的对边斜边=ac，cos A=∠A的邻边斜边=bc，tan A=∠A的对边∠A的邻边=ab．（a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边）二．解直角三角形的应用（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．（2）解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i＝h/l＝tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；五．解直角三角形的应用-方向角问题（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【考点剖析】一．解直角三角形1．（2022春•闵行区校级期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，点D在边AC上，且AD ＝2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：（1）线段BE的长；（2）∠ECB的余弦值．【分析】（1）根据题意，AC＝BC＝6，AD＝2CD，可得AD的长度，根据等腰直角三角形的性质可得AB=√2AC，由AE＝sin45°•AD的长度，则BE＝AB﹣AE，计算即可得出答案；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，根据等腰直角三角形的性质可得，EF＝BF＝sin45°•BE，则CF＝BC﹣BF，根据勾股定理可得CE=√EF2+CF2，在Rt△ECF中，由cos∠ECB=CFCE 计算即可得出答案．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，AD＝2CD，∴AD＝4，∵∠ACB＝90°，∴AB=√2AC=6√2，∴∠DAE＝45°，DE⊥AB，∴AE＝sin45°•AD=√22×4=2√2，∴BE＝AB﹣AE＝6√2−2√2=4√2；（2）过点E作EF⊥BC，垂足为F，如图，∵∠B＝45°，∴EF＝BF＝sin45°•BE=√22×4√2=4，∴CF＝BC﹣BF＝2，∴CE=√EF2+CF2=√42+22=2√5，在Rt△ECF中，cos∠ECB=CFCE =2√5=√55．【点评】本题主要考查了解直角三角形及等腰直角三角形形的性质，应用等腰直角三角形性质进行计算是解决本题的关键．2．（2022春•浦东新区校级期中）如图，在△ABC中，CD是边AB上的高，AE是BC边上的中线，已知AD＝8，BD＝4，cos∠ABC=45．（1）求高CD的长；（2）求tan∠EAB的值．【分析】（1）在Rt△BCD中，由已知条件cos∠ABC=BDBC =45，即可算出BC的长，根据勾股定理即可得出答案；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，可得CD∥EF，由E为BC的中点，可得EF是△BCD的中位线，即可算出EF=12CD，DF的长度，即可算出AF＝AD+DF的长度，在Rt△AEF中，根据tan∠EAB=EFAF即可得出答案．【解答】解：（1）在Rt△BCD中，∵cos∠ABC=BDBC =45，∴4BC =45，∴BC＝5，∴CD=√BC2−BD2=√52−42=3；（2）过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图，∵EF⊥BD，∴CD∥EF，∵E为BC的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12CD=12×3=32，DF=12BD=12×4=2，∴AF＝AD+DF＝8+2＝10，在Rt△AEF中，∴tan∠EAB=EFAF =3210=15．【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法进行求解是解决本题的关键．3．（2022•黄浦区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，sin∠ABC=13，D是边AB上一点，且CD＝CA，BE⊥CD，垂足为点E．（1）求AD 的长； （2）求∠EBC 的正切值．【分析】（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图，利用等腰三角形的性质得到AH ＝DH ，再证明∠ACH ＝∠ABC ，则sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13，然后利用正弦的定义求出AH ，从而得到AD 的长；（2）在Rt △ABC 中先求出AB ＝9，则BD ＝7，再证明∠HCD ＝∠EBD ，则sin ∠EBD =DE BD =13，利用正弦的定义求出DE =73，接着利用勾股定理计算出BE ，然后根据正切的定义求解．【解答】解：（1）过C 点作CH ⊥AD 于H ，如图， ∵CD ＝CA ， ∴AH ＝DH ，∵∠ABC+∠BCH ＝90°，∠ACH+∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠ABC ， ∴sin ∠ACH ＝sin ∠ABC =13， 在Rt △ACH 中，sin ∠ACH =AH AC =13，∴AD ＝2AH ＝2；（2）在Rt △ABC 中，sin ∠ABC =AC AB=13，∴AB ＝3AC ＝9，∴BD ＝AB ﹣AD ＝9﹣2＝7， ∵∠E ＝90°， 而∠EDB ＝∠HDC ， ∴∠HCD ＝∠EBD ， ∴sin ∠EBD =DE BD =13，∴DE =13BD =73，∴BE =√72−(73)2=14√23，在Rt △EBC 中，tan ∠EBC =EC EB=3+7314√23=4√27．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了等腰直角三角形的性质． 二．解直角三角形的应用4．（2022•长宁区二模）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为29°（参考数据：sin29°≈0.48；cos29°≈0.87；tan29°≈0.55）（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？（2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数）【分析】（1）延长光线交CD 于点F ，过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，根据题意可得∠AFG ＝29°，GF ＝BC ＝20米，GB ＝FC ，然后在Rt △AGF 中，利用锐角三角函数的定义求出AG ，从而求出GB 的长，进行比较，即可解答；（2）延长光线交直线BC 于点E ，根据题意可得∠AEB ＝29°，然后在Rt △ABE 中，利用锐角三角函数的定义求出BE 的长，即可解答．【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响，理由：延长光线交CD于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为G，则∠AFG＝29°，GF＝BC＝20米，GB＝FC，在Rt△AGF中，AG＝FG•tan29°≈20×0.55＝11（米），∵AB＝25米，∴GB＝AB﹣AG＝25﹣11＝14（米），∴FC＝GB＝14米，∵14米＞6米，∴冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响；（2）延长光线交直线BC于点E，则∠AEB＝29°，在Rt△ABE中，AB＝25米，∴BE=ABtan29°≈250.55≈45（米），∴若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．5．（2022•徐汇区二模）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据THX观影标准，当观影水平视场角“θ”的度数处于33°到40°之间时（如图1），双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位．（1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的BC的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到0.1m，参考数据：sin33°≈0.54，tan33°≈0.65，sin40°≈0.64，tan40°≈0.84，sin16.5°≈0.28，tan16.5°≈0.30，sin20°≈0.34，tan20°≈0.36）（2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少20%，今年这款激光电视每台的售价是多少元？【分析】（1）过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可得AB＝AC，当∠BAC＝33°时，当∠BAC＝40°时，利用锐角三角函数即可解决问题；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于点D，根据题意可知：AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，当∠BAC＝33°时，∠BAD＝∠CAD＝16.5°，在△ABD中，BD＝AD×tan16.5°≈3.5×0.30＝1.05（m），∴BC＝2BD＝2.10（m），当∠BAC＝40°时，∠BAD＝∠CAD＝20°，在△ABD中，BD＝AD×tan20°≈3.5×0.36＝1.26（m），∴BC＝2BD＝2.52m，答：小佳家要选择电视屏幕宽为2.10m﹣2.52m之间的激光电视就能享受黄金观看体验；（2）设今年这款激光电视每台的售价是x元，则去年每台的售价为（x+4000）元．由题意可得：＝，解得：x＝16000，经检验x＝16000是原方程的解，符合题意，答：今年这款激光电视每台的售价是16000元．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程．6．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动．（1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂OA的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点A为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点B为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，∠BOA＝25°，求踏板中心（精确到0.1厘米）（sin25°≈0.423，cos25°≈0.906，tan25°≈0.466）点在最高位置与最低位置时的高度差．（2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？【分析】（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，然后在Rt△BOD中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，进行计算即可解答；（2）先设小杰原计划x小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗﹣原计划每小时的能量消耗＝100，列出方程进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点B作BD⊥OA垂足为D，由题意得：OB＝OA＝80cm，在Rt△BOD中，∠BOA＝25°，∴OD＝BO•cos25°≈80×0.906＝72.48（cm），∴AD＝OA﹣OD＝80﹣72.48≈7.5（cm），∴踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米；（2）设小杰原计划x小时完成锻炼，由题意得：，解得：，经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去，答：小杰原计划锻炼1小时完成．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．7．（2022•宝山区二模）某超市大门口的台阶通道侧面如图所示，共有4级台阶，每级台阶高度都是0.25米．根据部分顾客的需要，超市计划做一个扶手AD，AB、DC是两根与地平线MN都垂直的支撑杆（支撑杆底端分别为点B、C）．（1）求点B与点C离地面的高度差BH的长度；（2）如果支撑杆AB、DC的长度相等，且∠DAB＝66°．求扶手AD的长度．（参考数据：sin66°≈0.9，cos66°≈0.4，tan66°≈2.25，cot66°≈0.44）【分析】（1）根据每级台阶高度都是0.25米，然后计算出3个台阶的总高度，即可解答；（2）连接BC，根据题意可得：AB＝DC，AB∥DC，从而可得四边形ABCD是平行四边形，然后利用平行四边形的性质可得AD＝BC，AD∥BC，从而求出∠CBH＝66°，最后在Rt△CBH中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵每级台阶高度都是0.25米，∴BH＝3×0.25＝0.75（米），∴点B与点C离地面的高度差BH的长度为0.75米；（2）连接BC，由题意得：AB＝DC，AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠DAB＝∠CBH＝66°，在Rt△CBH中，BH＝0.75米，∴BC＝≈＝1.875（米），∴扶手AD的长度约为1.875米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．三．解直角三角形的应用-坡度坡角问题8．（2021秋•闵行区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为．【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【解答】解：斜面AB的坡度为20：30＝1：1.5，故答案为：1：1.5．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．9．（2022春•浦东新区校级期中）工厂的传送带把物体从地面送到离地面5米高的地方，如果传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出AC，根据勾股定理求出AB．【解答】解：∵传送带与地面所成的斜坡的坡度i＝1：2.4，∴BCAC =12.4，即5AC=12.4，解得，AC＝12，由勾股定理得，AB=√AC2+BC2=√122+52=13（米），故答案为：13．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．10．（2022•黄浦区二模）某传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，如果它把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为米．【分析】根据坡度的概念求出水平距离，根据勾股定理计算，得到答案．【解答】解：∵传送带与地面所成斜坡的坡度i＝1：2.4，它把物体从地面送到离地面10米高，∴水平距离为：2.4×10＝24，∴物体所经过的路程为：√102+242=26（米），故答案为：26．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．11．（2022•浦东新区二模）如图，一个高BE为√3米的长方体木箱沿坡比为1：√3的斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB＝3米，则木箱端点E距地面AC的高度EF为米．【分析】根据坡度的概念求出∠DAF＝30°，根据正弦的定义求出DE，进而求出BD，得到答案．【解答】解：设AB、EF交于点D，∵斜坡的坡比为1：√3，∴tan∠DAF=√3=√33，∴∠DAF＝30°，∴∠ADF＝90°﹣30°＝60°，∴∠BDE＝60°，在Rt△BDE中，sin∠BDE=BEDE，∴√3DE =√32，解得，DE＝2（米），∴BD＝1m，∴AD＝AB﹣BD＝2（米），在Rt△ADF中，∠DAF＝30°，∴DF=12AD＝1（米），∴EF＝DE+DF＝3（米），故答案为：3．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．四．解直角三角形的应用-仰角俯角问题12．（2021秋•浦东新区期末）在离旗杆20米处的地方，用测角仪测得旗杆顶的仰角为α，如测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为（）米．A．20cotαB．20tanαC．1.5+20tanαD．1.5+20cotα【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了已知角的邻边求对边，用正切值计算即可．【解答】解：根据题意可得：旗杆比仪器高20tanα，测角仪高为1.5米，故旗杆的高为（1.5+20tanα）米．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键．13．（2022•徐汇区二模）如图，小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D处后进球，已知小明与篮板底的距离BC＝5米，眼睛与地面的距离AB＝1.7米，视线AD与水平线的夹角为α，已知tanα的值为0.3，则点D到地面的距离CD的长为米．【分析】根据题意可得AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：AE＝BC＝5米，EC＝AB＝1.7米，在Rt△ADE中，tanα＝0.3，∴DE＝AE•tanα＝5×0.3＝1.5（米），∴DC＝DE+EC＝1.5+1.7＝3.2（米），∴点D到地面的距离CD的长为3.2米，故答案为：3.2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．14．（2022•青浦区二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在A点测得古树顶的仰角为α，向前走了100米到B点，测得古树顶的仰角为β，则古树的高度为米．【分析】设CD＝x米，用含x的代数式表示出AD和BD的长，再根据AD﹣BD＝100可得x的值．【解答】解：设CD＝x米，在Rt△ACD中，tanα=CDAD，∴AD=xtanα，在Rt△BCD中，tanβ=CDBD，∴BD=xtanβ，∵AD﹣BD＝100，∴xtanα−xtanβ=100，解得x=100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα，故答案为：100⋅tanβ⋅tanαtanβ−tanα．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．五．解直角三角形的应用-方向角问题15．（2021秋•黄浦区期末）如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在距码头西端M的正西方向58千米处有一观测站O，现测得位于观测站O的北偏西37°方向，且与观测站O相距60千米的小岛A处有一艘轮船开始航行驶向港口MN．经过一段时间后又测得该轮船位于观测站O的正北方向，且与观测站O相距30千米的B处．（1）求AB两地的距离；（结果保留根号）（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈0.75．）【分析】（1）过点A作AC⊥OB于点C．可知△ABC为直角三角形．根据勾股定理解答．（2）延长AB交l于D，比较OD与OM+MN的大小即可得出结论．【解答】解：（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得OA＝60千米，OB＝30千米，∠AOC＝37°．∴AC＝OAsin37°≈60×0.60＝36（千米）．在Rt△AOC中，OC＝OA•cos∠AOC≈60×0.8＝48（千米）．∴BC＝OC﹣OB＝48﹣30＝18（千米）．在Rt△ABC中，AB＝．（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．理由：延长AB交l于点D．∵∠ABC＝∠OBD，∠ACB＝∠BOD＝90°．∴△ABC∽△DBO，∴，∴，∴OD＝60（千米）．∵60＞58+1，∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力．计算出相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．16．（2021秋•嘉定区期末）如图，在航线l的两侧分别有两个灯塔A和B，灯塔A到航线l的距离为AC＝3千米，灯塔B到航线l的距离为BD＝4千米，灯塔B位于灯塔A南偏东60°方向．现有一艘轮船从位于灯塔B北偏西53°方向的N（在航线l上）处，正沿该航线自东向西航行，10分钟后该轮船行至灯塔A正南方向的点C（在航线l上）处．（1）求两个灯塔A和B之间的距离；（2）求该轮船航行的速度（结果精确到0.1千米/小时）．（参考数据：，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）【分析】（1）根据特殊角三角函数即可解决问题；（2）根据三角函数定义可得CN的长，进而可以求该轮船航行的速度．【解答】解：（1）由题意，得∠ACM＝∠BDM＝90°，AC＝3，BD＝4，∠CAM＝∠DBM＝60°，在Rt△ACM中，，∴cos60°＝，∴AM＝6，在Rt△BDM中，，∴cos60°＝，∴BM＝8，∴AB＝AM+BM＝14千米．答：两个灯塔A和B之间的距离为14千米．（2）在Rt△ACM中，，∴，∴，在Rt△BDM中，，∴， ∴， ∴，在Rt △BDN 中，，由题意，得∠DBN ＝53°∴， ∴DN ＝4tan53°，∴，设该轮船航行的速度是V 千米/小时，由题意，得，∴V ≈40.7（千米/小时 ），答：该轮船航行的速度是40.7千米/小时． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．【过关检测】一、单选题 九年级假期作业）已知在ABC 中，【答案】B 【分析】过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，根据60A ∠=︒，得出30ACD ∠=︒,进而求得CD ，由已知条件得出CD BD =，进而得出45BCD ∠=︒，即可求解．【详解】解：如图所示，过点C 作CD AB ⊥，垂足为D ，在Rt ADC 中，60A ∠=︒，∴30ACD ∠=︒, ∴sin ,cos CD AD A A AC AC ==sin 602CD =︒∴⨯=11BD AB AD ∴=−=∴CD BD =，在Rt BCD 中，CD BD =45BCD ∴∠=︒75ACB ACD BCD ∴∠=∠+∠=︒故选：B ．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．【答案】D【分析】在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点B ，则可求得α的正余弦、正余切值，从而可得答案．【详解】如图，在直线y=2x 上任取一点P (a ，2a)，过点P作x 轴的垂线，垂足为点B则OB=|a|，PB=2|a| 由勾股定理得：|OPa ==在直角△POB 中，sin 5PB OP α==，cos 5OB OP α===， 2tan =2a PB OB a α==，1cot =22a OB PB a α==故选项D 正确故选：D【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，锐角三角函数，关键是画出图形，并在直线任取一点，作x 轴的垂线得到直角三角形．【答案】D【分析】先求出120°的补角为60°，然后再把60°放在直角三角形中，所以过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，在Rt△ACD中可求出AD与CD的长，最后在Rt△BDC中利用勾股定理求出BC即可解答．【详解】解：过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=180°-∠BAC=60°，在Rt△ACD中，AC=2，∴AD=ACcos60°=2×12=1，CD=ACsin60°=2×∵AB=4，∴BD=AB+AD=4+1=5，∴tanB=CD BD=， 故选：D ．【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．（2023·上海·九年级假期作业）如图，45ACB ∠=︒，125PRQ ∠=︒，ABC 底边BC 上的高为1h ，PQR 底边QR 上的高为2h ，则有（ ）A ．12h h =B ．12h h <C ．12h h >D ．以上都有可能【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案．【详解】解：如图，分别作出两三角形的高12,h h∵45,5ACB AC ∠=︒=∴1sin 455sin 45h AC =⨯︒=︒ ∵125,5PRQ PR ∠=︒=∴()2sin 1801255sin55h PR =︒−︒=︒ ∵sin 55sin 45︒︒＞∴21h h ＞ 故选：B ．【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键．5．（2023·上海·九年级假期作业）小杰在一个高为h 的建筑物顶端，测得一根高出此建筑物的旗杆顶端的仰【答案】C 【分析】过A 作AE BC ⊥于E ，在Rt ACE △中，已知了CE 的长，可利用俯角CAE ∠的正切函数求出AE 的值；进而在Rt ABE △中，利用仰角BAE ∠的正切函数求出BE 的长；从而可得答案．【详解】解：如图，过A 作AE BC ⊥于E ，则四边形ADCE 是矩形，CE AD h ==．∵在Rt ACE △中，CE h =，60CAE ∠=︒，∴tan 60CE AE ==︒，∵在Rt ABE △中，30BAE ∠=︒，∴1tan 303BE AE h =︒==，∴1433BC BE CE h h h =+=+=． 即旗杆的高度为43h ．故选C ．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，首先构造直角三角形，再运用三角函数的定义解题，是中考常见题型，解题的关键是作出高线构造直角三角形．6．（2021·上海·九年级专题练习）如图，把两条宽度都是1的纸条，其中一条对折后再两条交错地叠在一起，相交成角α，则重叠部分的面积是（ ）【答案】C【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形ABCD，由已知得∠ABE=α，过A作AE⊥BC于E，由勾股定理可求BE、AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出所填答案．【详解】解：由题意可知：重叠部分是菱形，设菱形ABCD，则∠ABE＝α，过A作AE⊥BC于E，则AE＝1，设BE＝x，∵∠ABE＝α，∴AB＝1sin sinAEαα=，∴BC＝AB＝1sinα，∴重叠部分的面积是：1sinα×1＝1sinα．故选：C．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，菱形的面积公式等知识点，把实际问题转化成数学问题，利用所学的知识进行计算是解此题的关键．二、填空题7．（2023·上海·九年级假期作业）小球沿着坡度为1:1.5i=的坡面滚动了13m，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m．【答案】【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =∴水平距离为1.5⨯=故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．【答案】13【分析】根据斜坡AB 的坡度1i =AB 的值先求出AH ，再根据斜坡AC 的坡度21:2.4i =，求得AC ，即可求解．【详解】解：∵1i =∴tan 3ABH ∠==， ∴30ABH ∠=︒，∴152AH AB ==, ∵21:2.4i =，∴1tan 2.4AH ACB CH ∠==，∵5AH =，∴12=CH ，在Rt ACH 中，13AC ==,故答案为：13．【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，坡度问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键．【答案】10【分析】作BH AC ⊥于H ．由四边形ABCD 是矩形，推出OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，由余切函数，可得4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，求出a 即可解决问题．【详解】解：如图，作BH AC ⊥于H ．∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OC OD OB ===，设5OA OC OD OB a ====，则10AC a =．∵根据题意得：3cot 4OH BOH BH ∠==， ∴4BH a =，3OH a =，由题意：12104402a a ⨯⨯⨯=，∴1a =，∴10AC =．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2023·上海·九年级假期作业）已知：在ABC 中，60A ∠=︒，45B ∠=︒，8AB =．则ABC 的面积为____（结果可保留根号）．【答案】48−【分析】过C 作CD AB ⊥于D ，利用直角三角形的性质求得CD 的长．已知AB 的长，根据三角形的面积公式即可求得其面积．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，在Rt ADC 中，90CDA ∠=︒Q ，∴tan tan 60CD DAC AD =∠=︒=即AD 在Rt BDC 中，45B ∠=︒， 45BCD ∴∠=︒， CD BD ∴=．8AB DB DA CD =+==，12CD ∴=−．118(124822ABC S AB CD ∴=⨯=⨯⨯−=−故答案为：48−【点睛】本题考查解直角三角形，直角三角形的性质及三角形的面积公式，熟练掌握通过作三角形的高，构造直角三角形是解题的关键．分别在DEF 的边，ABE 沿直线 【答案】67【分析】根据题意和翻折的性质可得ABCABE 是等腰直角三角形，ABC 是等腰直角三角形，所以AC BE ∥，得23DA AC DE HE ==，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，所以7FE x =，6DE x =，然后根据锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图所示：90DEF ∠=︒，45EBA ∠=︒，ABE ∴是等腰直角三角形，AE BE ∴=，ABE 沿直线AB 翻折，翻折后的点E 落在DEF 内部的点C ，ABC ∴是等腰直角三角形，∴∥AC BE ，∴23DA AC DE HE ==，FH AD =，设2AC AE x ==，则3HE x =，4AD x =，7FE x ∴=，6DE x =， ∴67DE FE =，6cot 7DE D FE ∴==． 故答案为：67．【点睛】本题考查了翻折变换，解直角三角形，解决本题的关键是掌握翻折的性质． 统考二模）在ABC 中，，那么ABC 的重心到【答案】4【详解】解：如下图所示，设点D 为BC 的中点，点E 为三角形的重心，∵AB AC =，∴AD BC ⊥，∵152BD BC ==，5cos 13B =，cos BD B AB = ∴13AB =，∴12AD ==，∵点E 为三角形的重心，∴21AE ED =， ∴4ED =，∵AD BC ⊥，∴ABC 的重心到底边的距离为4，故答案为：4．【点睛】本题考查解直角三角形、三角形重心的性质和勾股定理，解题的关键是熟知重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2:1． 13．（2023·上海·一模）平面直角坐标系内有一点()1,2P ，那么OP 与x 轴正半轴的夹角为α，tan α=________．【答案】2【分析】过点P 作PA x ⊥轴于点A ，由P 点的坐标得PA 、OA 的长，根据正切函数的定义得结论．【详解】解：过点P 作PA x ⊥轴于点A ，如图：∵点PA x ⊥，∴2PA =，1OA =，∴2an 21t PA OA α===．故答案为：2．【点睛】本题考查了点在平面直角坐标系里的意义及解直角三角形．解决本题的关键是构造直角三角形． 一模）如图，已知在ABC 中， 【答案】95【分析】如图，设AP m =．证明AP MQ m ==，根据3cos cos 5A CMQ =∠=，构建方程求解．。
第12讲 解三角形解答题十大题型总结(解析版)
第12讲解三角形解答题十大题型总结【题型目录】题型一：利用正余弦定理面积公式解题题型二：解三角形与三角恒等变换结合题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题题型五：角平分线相关的定理题型六：有关三角形中线问题题型七：有关内切圆问题（等面积法）题型八：与向量结合问题题型九：几何图形问题题型十：三角函数与解三角形结合【典例例题】题型一：利用正余弦定理面积公式解题【例1】△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2)3+.【详解】：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=.故ABC 的周长为3【例2】的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【详解】：（1）()2sin 8sin 2B A C +=，∴()sin 41cos B B =-，∵22sin cos 1B B +=，∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=，∴2b =．【例3】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5+【详解】：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 6222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c 2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a b ABC ∆∴的周长为5+【例4】已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆，求b ，c .【答案】(1)3A π=(2)b c ==2【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A ,故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==2【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．sin sin 2A C c b C +=．(1)求角B 的大小；(2)若112,2tan tan tan b A C B+==，求ABC 的面积．【题型专练】1.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，（1）求角A （2）若2a =，ABC ∆的面积为；求,b c .【答案】（1）（2）b=c=2【解析】：（1）由及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，因为B A C π=--sin cos sin sin 0A C A C C --=．由于sin 0C ≠，所以1sin(62A π-=．又0A π<<，故3A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==4bc =，而2222cos a b c bc A =+-，故228b c +=．解得2b c ==．2.已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积．【答案】（1）14；（2）1【解析】：（1）由题设及正弦定理可得22b ac=又a b =，可得2,2b c a c==由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==（2）由（1）知22b ac=因为90B = ，由勾股定理得222a cb +=故222a c ac +=，得c a ==所以的面积为13.（2021新高考2卷）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则37sin 8C ==，因此，11sin 452284ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△；（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin B a B =+．(1)求角A 的大小；(2)若2sin a B C ==，求ABC 的面积．5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,tan sin a b c B A C B ==.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的面积为196，求ABC 外接圆的半径.题型二解三角形与三角恒等变换结合【例1】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C =22，求C .【答案】（1；（2）15︒.【分析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C∴=︒-+1cos sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【例2】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【分析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又33b c a -=②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．【例3】在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -+=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值.【详解】（1）∵221cos B sin B =-，221cos C sin C =-，∴222sin A cos B cos C -=-变形为22211sin A sin B sin C --+=--（）（），即222sin A sin B sin C ++=，利用正弦定理可得：222a b c ++=，由余弦定理可得cosC=22-，即C=34π.（2）由（1）可得cos （A+B ）=2，A+B=4π，又cosAcosB=cos()cos 3225A B A B ++-=（），可得72cos(A B)10-=，同时cos （αA +）cos （αB +）=72cos(2α)cos(2αA B)cos A B 41022π+++++-=（），∴22272272cos(2α)sin2αcos(αA)cos(αB)410210222cos cos cos πααα++-+++===222222722sinαcosα2102cos sin cos sin cos ααααα--++（）=222622552cos sin cos ααα+-=2510tan α+- 2tan α=5，∴2tan 5tan 62αα-+=，∴ 1tan α=或4.【题型专练】1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C +=.【分析】【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C-=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C+-=由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）2b c +=，由正弦定理得：sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：62sin 4C =或624因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故62sin 4C +=.（2）法二：2b c += sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C ，即3sin 6C C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+62sin sin()464C ππ=+=.2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos B A B =+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B A A B-的取值范围.3.在ABC 中，已知223sin cos sin cos sin 222A CB +=.（1）求证：2a c b +=；（2）求角B 的取值范围.【详解】证明：（1）223sin cossin cos sin 222C A A C B += 1cosC 1cos 3sin sin sin 222A A C B++∴+=()()sin 1cosC sin 1cos 3sin A C A B ∴+++=sin sin sin cosC sin cos 3sin A C A C A B∴+++=()sin sin sin C 3sin A C A B ∴+++=C A B π++= A C B π∴+=-()sin sin A C B∴+=sin sin 2sin A C B∴+=根据正弦定理得：2a c b +=，得证．（2）由（1）知在ABC 中，2a c b+=又222cos 2a c b B ac +-=消去b 化简得：()2231611cos 84842a c ac B ac ac +=-≥-=当且仅当a c =时取等号，又B 为三角形的内角，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题【例1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2AB C +=，且2a =，则ABC 的面积的最大值为A ．33B ．32CD．【答案】A【解析】：因为()tan tan2AB C +=，且B C A +=π-，所以()22tan2tan tan 1tan 2A B C A A +=-=--tan 02A =>，所以tan 2A =，则2π3A =.由于2a =为定值，由余弦定理得222π42cos 3b c bc =+-，即224b c bc =++.根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=，即43bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立.所以11433sin 22323ABC S bc A =≤⨯⨯=.故选：A【例2】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33(,)82.【分析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)解法一：因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅==⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=⋅-=+.又因3,tan 623C C ππ<<>,故3313388tan 82C <+<，故3382ABC S <<.故ABC S 的取值范围是33,82解法二：若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得b ==，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，解得122a <<，可得ABC ∆面积1sin 23S a π==∈．【例3】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若4a c +=，2sin sin sin B A C =+，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C．D ．4【答案】A 【解析】因为2sin sin sin B A C =+，所以2b a c =+，因4a c +=，所以2=b ，由余弦定理得()acacac ac ac b ac c a ac b c a B 221224216222cos 22222-=--=--+=-+=所以ac B ac 212cos 2-=，所以acacB -=6cos ，所以()()()()acac ac ac ac B B 22222661cos 1sin --=--=-=因11sin 22ABCa c ac a c Sac B ac ac ∆==⋅==因为ac c a 2≥+，所以()442=+≤c a ac，ABC S ∆=≤=注：此题也可用椭圆轨迹方程做【例4】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，若2a =，b =，则ABC △的面积的最大值为（）A B．2C ．D ．4【答案】A 【解析】因为2a =，b =，由余弦定理得()2222222324432432cos c c cc cc bcac b A -=⋅-+=-+=所以()()2244244222223216324121632161232441cos 1sin c c c c c c c cc A A -+-=-+-=--=-=因21sin 2ABCS bc A ∆===设t c =2，则ABCS∆==≤注：此题也可用圆轨迹方程做【题型专练】1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【解析】：由，且，故()()()a b sinA sinB c b sinC +-=-，又根据正弦定理，得()()()a b a b c b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222122b c a cosA bc +-==，所以060A =，又224b c bc bc +-=≥，故12BAC S bcsinA ∆=≤2.已知，，分别为△ABC 角，，的对边，cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，且=3，则下列结论中正确的是()A.=3B.=23C.△ABC D.△ABC 【答案】B【解答】解∵cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，∴(1−sin 2p −(1−sin 2p −(1−sin 2p =cosvos −cos(+p −(1−2sin 2p ，∴sinLin +sin 2+sin 2−sin 2=0，由正弦定理可得B +2+2−2=0，∴cos =2+2−22B=−12，又0<<，∴=23，即2=3=2+2−23=2+2+B⩾2B +B =3B ，当且仅当==1时取等号，∴B⩽1，∴=12Bsin 故选：B ．3.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B c C b a sin cos +=．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=b ，求ABC 面积的最大值.【详解】(1)∵Bc C b a sin cos +=∴由正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin +=①在三角形ABC 中，()C B A +-=π∴()B C C B C B A sin sin cos sin sin sin +=+=②由①和②得C B C B sin cos sin sin =而()π,0∈C ，∴0sin ≠C ，∴B B cos sin =又()π,0∈B ，∴4π=B (2)ac B ac S ABC 42sin 21==∆，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 22⨯，整理得：ac≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为(1212222⨯=+1=+4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ）．（1）若b +c =3a ，求A ；（2）若a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．【解析】（1）∵sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ），结合正、余弦定理，可得a •2+2−22B=b •（2−2+2−22B），化简得，c ＝2b ，代入b +c =3a ，得a =3b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =2+42−322δ2=12，∵A ∈（0，π），∴A =3．（2）由（1）知，c ＝2b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =52−442=5412，∴△ABC 的面积S =12bc sin A ＝b 21−c 22=b 2=16=当b 2=209时，S 取得最大值，为43．5.在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD =且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___【答案】5如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和C D B ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b a c cθπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4c a b =+-．①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得2222aba b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =．把①代入②整理得2242aba b ++=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．所以118sin 22545ABCab C S ∆=≤⨯=．即ABC ∆面积的最大值是5．故答案为5．6.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a b C B -=．(1)求B ；(2)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若ABC 的面积为()2224a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________.【答案】4,12]+【解析】因为ABC 的面积为()2224a b c +-，所以()2221sin 42a b c ab C +-=，所以222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，sin C C =，即tan C ，所以3Cπ=.由正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以83832(sin sin )sin sin 8sin 3336a b AB A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为ABC 为锐角三角形，所以62A ππ<<，所以sin 126A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则ssin()86A π<+，即8a b <+≤.故ABC 的周长的取值范围是4,12]+.【例2】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin sin cos sin B CC C A++=(1)求A ；(2)若ABC 的外接圆的半径为1，求22b c +的取值范围.【例3】（2022·重庆八中高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sinsin ,2A Ca b A b +==(1)求角B 的大小；(2)求2a c -的取值范围.【例4】（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin 2B Ca A B c ++=．(1)求角A 的大小；(2)若角B 为钝角，求b的取值范围．【题型专练】1.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sin cossin sin A B C A B =++.（1）求角C 的大小；（2）若c ，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2+（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab+-=-由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=.（2）2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin3a b c a A b BA B C π====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++++++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦230,,sin 1333323A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭ ，2sin 23A π⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，ABC ∴∆周长的取值范围是(2+.2.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+.3.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos )a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．【详解】（1）由题意知()(cos )sin cos sin sin a C C b c A C C B C =+⇒+=+，所以()()sin cos sin sin A C C A C C +=++，即sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C+=++sin cos sin sin A C A C C =+，因0sin ≠C cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又50,,666A A ππππ⎛⎫<<∴-∈- ⎪⎝⎭ ，所以66A ππ-=，所以3π=A （2）由余弦定理得：222222cos 25a b c b c A b c bc =+-⋅=+-=，即()2325b c b c +-⋅=.22b c b c +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当b c =时取等号），()()()22221253324b c b c b c b c b c +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：10b c +≤（当且仅当b c =时取等号），ABC ∴ 周长51015L a b c =++≤+=，ABC ∴ 周长的最大值为15.题型五：角平分线相关的定理【例1】在中ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为．【详解】由题意知ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222ac B cBD ABD aBD CBD ∴=∠+∠，即1311111122222ac c a ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯即2c a =+，所以12a c =+，所以))12422224333a c a c a c a c c a ⎛⎫⎫+++=+++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例2】△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以3tan ,30.3B B ∠=∠= 【例3】（河南省豫北名校普高联考2022-2023学年高三上学期测评（一）文科数学试卷）在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△ ；③tan tan tan A C A C +-这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．(1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．ABC ABD BCD S S S =+ ，12π1sin 232ac c ∴=⋅即333444ac c a =+，a c ac ∴+=，a ac +∴()11444552a c a c a c ac c a ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭【题型专练】1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23BAC π∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，1AD =，则b c +的最小值为．【详解】ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222bc A cAD BAD bAD CAD ∴=∠+∠，即11111222222bc c ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯，即bc b c =+，所以111b c ∴=+，所以()111124b cb c b c b c c b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭2.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【详解】，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠，∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =，∴BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232x -=，解得1x =，即1AC =．题型六：有关三角形中线问题遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：中线倍长法思路二：利用平面向量【例1】在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足cos 0cos 2B bC a c+=+，（1）求角B 的值；（2）若2c =，AC 边上的中线32BD =，求ABC ∆的面积.【详解】（1）cos cos sin 00cos 2cos 2sin sin B b B BC a c C A C+=⇔+=++,()cos 2sin sin sin cos 0B A C B C ⇒++=2sin cos cos sin sin cos 0A B B C B C ⇒++=()2sin cos sin 0A B B C ⇒++=.()1sin 2cos 10,sin 0,cos 2A B A B ⇒+=≠∴=-.所以23B π=,（2）解法一：中线倍长法：延长BD 到E ，使BD=DE ，易知四边形AECD 为平行四边形，在BEC ∆中，EC=2，,因为23ABC π∠=，所以3BCE π∠=，由余弦定理2222cos BE EC BC EC BC BCE =+-⋅⋅∠，即223222cos3a a π=+-⋅⋅，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=解法二：BC BA BD +=，所以()22BC BA BD +=B+=即︒++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120cos 223222ac a c ，即⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯++=21424432a a ，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【例2】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2π3A =．(1)若6a =，ABC的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度；(2)若E 为边BC上一点，且AE =，:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值．【题型专练】1．（2022·广东广州·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin 2B Cb a B +=.(1)求A ；(2)若a =，3BA AC ⋅=，AD 是ABC 的中线，求AD 的长.2．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）在①()()()()sin sin sin a c A B a b A B -+=-+；②2S BC =⋅；③cos sin b C a c B =；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求角B 的大小；(2)AC 边上的中线2BD =，求ABC 的面积的最大值．题型七：有关内切圆问题（等面积法）【例1】在▵B中，sin2=B=1，B=5，则A.B=25B.▵B 的面积为32C.▵BD.▵B【答案】B【解答】解：∵sin2=∴cos=1−2sin22=1−2×2=35，又B=1，B=5，∴由余弦定理，B2=B2+B2−2B⋅B⋅cos=52+12−2×5×1×(35)=20，∴B=25，故A正确；∵cos=35且为三角形内角，∴sin=1−cos2=45，所以△B的面积为=1=12×1×5×45=2，故B错误；根据正弦定理B sin=2o其中表示外接圆的半径)得：2=45=即△B C正确；如图，设△B内切圆圆心为，半径为，连接B，B，B，因为内切圆与边B ，B ，B 相切，故设切点分别为，，，连接B ，B ，B ，可知：B =B =B =，且B ⊥B ，B ⊥B ，，根据题意：△B =12B ⋅B ⋅sin =12×5×1×45=2，利用等面积可得：△B +△B +△B =△B ，即：12B ⋅+12B ⋅+12=2，∴=4B+B+B==D 正确．故选ACD ．【例2】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知在ABC 中，()254cos 4sin A B C ++=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的内切圆圆心为O ，ABC 的外接圆半径为4，求ABO 面积的最大值．【题型专练】1.三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，则()A.三角形另一边长为6B.三角形的周长为20C.三角形内切圆面积为3D.【答案】B【解答】解：因为三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，A .由余弦定理得：三角形另一边长为82+52−2×8×5×cos60°=7，故A 错误；B .三角形的周长为8+5+7=20，故B 正确；C .设三角形内切圆的半径为，由面积法得到：12×8×5×sin60°=12×20×，解得=3，所以内切圆的面积为，故C 正确；D .设三角形外接圆的半径为，则由正弦定理得到7sin60°=2，解得=，故D 错误．故选BC ．2.（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos a cC Cb-=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，记r 为ABC 的内切圆半径，求r 的最大值.题型八：与向量结合问题【例1】锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B = 平行．（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围．【解析】解：（1）因为：//m n，所以：sin cos 0a B A =，由正弦定理，得：sin sin cos 0A B B A -=，又因为：sin 0B ≠，从而可得：tan A =，由于：0A π<<，所以：3A π=．（2）因为：由正弦定理知sin sin sin 3b c aB C A====，可得：三角形周长sin )3l a b c B C =++=+，又因为：23C B π=-，所以：2sin sin sin sin()36B C B B B ππ+=+-=+，因为：ABC ∆为锐角三角形，所以：62B ππ<<，2(,)633B πππ+∈，3sin sin (2B C +∈，所以：l ∈．【例2】（2022·河北沧州·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos ,3b c A a C a -==．(1)求角A ；(2)若点D 满足1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．【题型专练】1.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >．已知2BA BC = ，1cos 3B =，3b =．求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．【解析】解：（1）2BA BC =，1cos 3B =，3b =，可得cos 2ca B =，即为6ac =；2222cos b a c ac B =+-，即为2213a c +=，解得2a =，3c =或3a =，2c =，由a c >，可得3a =，2c =；（2）由余弦定理可得2229947cos 22339a b c C ab +-+-===⨯⨯，sin C ==，sin B ==，则17224223cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+⨯．2.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若1AB AC BA BC ==．解答下列问题：（1）求证：A B =；（2）求c 的值；（3）若||AB AC +=ABC ∆的面积．【解析】证明：（1）因AB AC BA BC =，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =．由正弦定理，得sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为A B ππ-<-<，故0A B -=，故A B =．⋯（4分）（2）因1AB AC = ，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-=，即2222b c a +-=；又由（1）得a b =，故22c =，故c =．⋯（10分）（3）由||AB AC += 22||||2||6AB AC AB AC ++=，即2226c b ++=，故224c b +=，因22c =，故b =，故ABC ∆是正三角形，故面积23342ABC S ∆=⨯=．⋯（16分）题型九：几何图形问题【例1】在ABC ∆中，3B π∠=，15AB =，点D 在边BC 上，1CD =，1cos 26ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求ABC ∆的面积．【解析】解：（1）由1cos 26ADC ∠=，可得153sin 26ADC ∠==，则11sin sin()sin cos cos sin 333226BAD ADC ADC ADC πππ∠=∠-=∠-∠=-⨯．（2）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠=，解得7BD =，所以718BC =+=，所以ABC ∆的面积11sin 158sin 223S AB BC ABD π=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【例2】如图，在ABC ∆中，6B π∠=，AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长．【解析】解：（1）在ADC ∆中，因为1cos 7ADC ∠=，所以43sin 7ADC ∠=，所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B=∠-∠433117272=-⨯1114=．（2）在ABD ∆中，由正弦定理得1183sin 1411sin 437AB BADBD ADB⋅∠===∠，在ABC ∆中，由余弦定理得：2222232cos 3)132313492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯．所以7AC =．【例3】如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD ∆423sin sin BADCAD∠∠的值．【解析】解：（1）ABC ∆ 中，1cos 3B =，22sin 3B ∴=．34ADC π∠= ，4ADB π∴∠=．ABD ∆222232=，83AD ∴=；（2）设DC a =，则2BD a =，2BD DC = ，ACD ∆，1222323a ∴=⨯⨯⨯，2a ∴=AC ∴==由正弦定理可得42sin sin BAD ADB=∠∠，sin 2sin BAD ADB ∴∠=∠．242sin sin CAD ADC =∠∠，2sin 4CAD ADC ∴∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠ ，∴sin sin BADCAD∠=∠【例4】如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90ADC ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求sin ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．【解析】解：（1）ABD ∆中，45A ∠=︒，2AB =，5BD =，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，解得2sin 5ADB ∠=；（2）由90ADC ∠=︒，所以2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得：222222cos 52525BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯，解得5BC =．【例5】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1）5；（2）5.【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠o，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<o ，所以cos 5ADB ∠==；（2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=.在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 25825255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=.所以5BC =.【题型专练】1.如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos BAD ∠=21sin 6CBA ∠=，求BC 的长．【解析】解：1AD =，2CD =，AC =（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠= ．∴cos CAD ∠=；（2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，cos 21sin 7321sin 143sin 2CAD BAD CAD BAD α∠=∠=-∴∠=∠=∴=，在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠，解得：3BC =．即BC 的长为3．2.在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2．（1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积．【解析】解：（1）由已知11sin 2sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯∠= ，所以sin ABD ∠=(0,2ABD π∠∈，所以cos ABD ∠=在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠= ，所以AD =．（2）由AB BC⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，所以5sin cos 5CBD ABD ∠=∠=，又42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，()222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠，所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin 51155455,sin 4sin 42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCD BCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠．3.如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==．（1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ；（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD的长．【解析】（本题满分为14分）解：（1）连接BD ，由余弦定理可得：222222cos 24224cos BD AB AD AB AD A A =+-=+-⨯⨯⨯ ，222222cos 46246cos BD BC CD BC CD C C =+-=+-⨯⨯⨯ ，可得：2016cos 5248cos A C -=-，2⋯分又四边形ABCD 内接于圆O ，则又A C π+=，所以：2016cos 5248cos()A A π-=--，化简可得：1cos 2A =-，又(0,)A π∈，所以23A π=，3C π=，4⋯分所以12124sin 46sin 2323ABD BCD S S S ππ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，6⋯分（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ，可得：222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-=+- ，8⋯分可得：22221124sin 46sin 2224224cos 46246cos S A C A C ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩，可得：sin 3sin 423cos cos S A CC A⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，平方后相加，可得：24106sin sin 6cos cos 16S A C A C +=+-，即：266cos()16S A C =-+，10⋯分又(0,2)A C π+∈，当A C π+=时，216S 有最大值，即S 有最大值．此时，A C π=-，代入23cos cos C A =-，可得：1cos 2C =，又(0,)C π∈，可得：3C π=，12⋯分在BCD ∆中，可得：222222cos 46246cos 283BD BC CD BC CD C π=+-=+-⨯⨯⨯= ，可得BD =．14⋯分4.如图所示，已知圆内接四边形ABCD ，记tan tan tan tan 2222A B C D T =+++．（1）求证：22sin sin T A B=+；（2）若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求T 的值及四边形ABCD 的面积S．【解析】解：（1）sincos sin cos222222tan tan tan tan tan cot tan cot 22222222sin sin cos sin cos sin 2222A AB BA B A B A A B B T A A B B A Bππ--=+++=+++=+++=+．（2）由于：6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，由题知：cos cos 0BAD BCD ∠+∠=，可得：22222222470227AB AD BD BC CD BD BD AB AD BC CD +-+-+=⇒= ，则3cos 7A =，sin A =则1()sin 2S AD AB CD BC A =+= ，则1610()sin sin 219S AB BC AD CD ABC ABC =+∠=∠=，22sin sin T A B =+==5.如图，角A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，6AB =，3BC =，4CD =．（1）若60B =︒，30DAC ∠=︒，求sin D ；（2）若180BAD BCD ∠+∠=︒，5AD =，求cos BAD ∠．【解析】解：（1）在ABC ∆中，222361cos 2362AC B +-==⨯⨯，222363627AC ∴=+-⨯=，AC ∴=ACD ∆中，由正弦定理sin sin DAC D CD AC∠=，sin sin sin 30AC D DAC CD ∴=⋅∠=︒=．（2）在ABD ∆中，22256cos 256BD BAD +-∠=⨯⨯，在BCD ∆中，22234cos 234BD BCD +-∠=⨯⨯，180BAD BCD ∠+∠=︒ ，cos cos 0BAD BCD ∴∠+∠=，∴22222256340256234BD BD +-+-+=⇒⨯⨯⨯⨯可得：222(2536)5(916)0120BD BD +-++-=，可得：22261252550BD BD ⨯-+⨯-=，可得27247BD =，则BD =22224725365637cos 256607BDBAD +-+-∴∠===⨯⨯．6.某市欲建一个圆形公园，规划设立A ，B ，C ，D 四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中A ，B ，C 的位置已确定，2AB =，6BC =（单位：百米），记ABC θ∠=，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．（1）如果4DC DA ==，求四边形ABCD 的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为283π万平方米，求cos θ的值．【解析】解：（1）连结BD ，可得四边形ABCD 的面积为：11sin sin 22ABD CBD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ， 四边形ABCD 内接于圆，180A C ∴+=︒，可得sin sin A C =．11sin sin 22S AB AD A BC CD C =+ 1()sin 2AB AD BC CD A =+1(2464)sin 2A =⨯+⨯16sin A =．(*)⋯在ABD ∆中，由余弦定理可得：222222cos 24224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-=+-⨯⨯=- ，同理可得：在CDB ∆中，222222cos 64264cos 5248cos BD CB CD CB CD C C C =+-=+-⨯⨯=- ，2016cos 5248cos A C ∴-=-，结合cos cos(180)cos C A A =︒-=-，得64cos 32A =-，解得1cos 2A =-，(0,180)A ∈︒︒ ，120A ∴=︒，代入(*)式，可得四边形ABCD 面积16sin12083S =︒=．（2） 设圆形公园的半径为R ，则面积为283π万平方米，可得：2283R ππ=，可得：2213R =，∴由正弦定理4212sin AC R B ==3sin 4214213θ== 由余弦定理可得：2226226cos 4024cos AC θθ=+-⨯⨯⨯=-334024cos sin 421421θθ-∴==214sin 159cos θθ=-，22sin cos 1θθ+= ，∴2159cos cos 114θθ-+=，整理可得：2214cos 9cos 10θθ-+=，∴解得：1cos 7θ=，或12．7.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 已知sin 30,27,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.【答案】（1）23π，4；（2）3.【解析】（1）sin 3cos 0,tan 3A A A +=∴=- ，20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+- ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯⨯，22cos ,72cos 77AC C CD C∴=∴===，12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，132ABD ABC S S ∆∆∴==.8.四边形的内角与互补，．（1）求和；（2）求四边形的面积．【答案】（1）60C =︒，7BD =；（2）23．【详解】：（1）连接BD ．在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式2222BD BC CD BC=+-cos CD C ⋅和2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅，且cos cos C A =-，代入数据得54cosC +，求cos C 的值，进而求C 和的值；（2）由（1）知ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形等于ABD ∆和CBD ∆的面积．（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅．①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cosC =+．②。
高中数学-解三角形知识点汇总情况及典型例题1.docx
实用标准解三角形的必备知识和典型例题及详解一、知识必备：1．直角三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， C＝90°，AB＝ c， AC＝ b ， BC＝ a。
（1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。
（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A＋B＝ 90 °；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义）sin A＝ cos B＝a， cos A＝sin＝b， tan A＝a。
c bc2．斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中， A、 B、 C 为其内角， a、b、 c 分别表示 A、 B、C 的对边。
（1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。
（2 ）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等a b c2R （R为外接圆半径）sin A sin B sin C（ 3 ）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍a 2 ＝b2＋2－ 2bccosA；b2 ＝ 2 ＋a2－ 2cacosB；c2＝ 2 ＋b2－2abcos。
c c a C3．三角形的面积公式：1ah a＝11（1）S＝bh b＝ch c（ h a、 h b、 h c分别表示 a、b、 c 上的高）；22211bc sin A＝1（2）S＝ab sin C＝ac sin B；222求其他未知元素的问题叫做解三角形．广义地，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．主要类型：（1 ）两类正弦定理解三角形的问题：第 1、已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.第 2、已知两角和其中一边的对角，求其他边角.（2 ）两类余弦定理解三角形的问题：第 1、已知三边求三角 .第 2、已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两角.5．三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。
（ 1）角的变换因为在△ABC 中， A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。
初中数学解直角三角形题型大全
第11关 解直角三角形（讲义部分）知识点1 解直角三角形1.已知一边一角（1）已知斜边和一锐角分别为A c ，，解法：,90A B ∠-=∠,sin A c a =A c B c b cos sin ==（2）已知一直角边和一锐角分别为A a ，，解法：,90A B ∠-=∠,tan B a b =A a c sin =2.已知两边（1）已知两直角边b a ,，解法：由baA =tan 求出A ∠,,90A B ∠-=∠ A bA a c cos sin ==（2）已知一直角边和斜边分别为c a ,，解法：由c aA =sin 求出A ∠，,90AB ∠-=∠A cB c b cos sin ==解直角三角形的关键是合理的选用边角关系，包括勾股定理、直角三角形的两个直角互余及锐角三角函数的概念.题型1 解直角三角形【例1】如图，AD 是ABC ∆的中线，1tan 3B =，cosC =，AC =（1）BC 的长； （2）sin ADC ∠的值．【解答】解：（1）过点A 作AE BC ⊥于点E ，cos C =， 45C ∴∠=︒，在Rt ACE ∆中，cos 1CE AC C ==， 1AE CE ∴==，在Rt ABE ∆中，1tan 3B =，即13AE BE =，33BE AE ∴==， 4BC BE CE ∴=+=；（2）AD 是ABC ∆的中线，122CD BC ∴==，1DE CD CE ∴=-=， AE BC ⊥，DE AE =， 45ADC ∴∠=︒，sin ADC ∴∠．【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注 意锐角三角函数的概念的正确应用．【例2】如图，在四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，45C ∠=︒，CD =，3BD =． （1）求sin CBD ∠的值； （2）若3AB =，求AD 的长．【解答】解：（1）如图，过点D 作DE BC ⊥于点E ，在Rt CED ∆中，45,C CD ∠=︒，1CE DE ∴==，在Rt BDE ∆中，1sin 3DE CBD BD ∠==； （2）过点D 作DF AB ⊥于点F ， 则90BFD BED ABC ∠=∠=∠=︒， ∴四边形BEDF 是矩形，1DE BF ∴==， 3BD =，∴DF =2AF AB BF ∴=-=，∴AD =【点评】本题考查了锐角三角函数及矩形、等腰三角形的知识．构造直角三角形和矩形，利用锐角三角函数是解决本题的关键．【例3】如图，在等腰Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，8AC =，D 是AC 上一点，若1tan 3DBA ∠=． （1）求AD 的长； （2）求sin DBC ∠的值．【解答】解：（1）过点D 作DH AB ⊥于点H ，ABC ∆为等腰直角三角形，90C ∠=︒，45A ∴∠=︒，8AC BC ==， AH DH ∴=，设AH x =，则DH x =1tan 3DBA ∠=， 3BH x ∴=， 4AB x ∴=，由勾股定理可知：ABx ∴=由勾股定理可得，4AD ==；（2）4AD =，4DC AC AD ∴=-=，由勾股定理得，DB =sinCD DBC BD ∴∠===【点评】本题考查的是解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义、勾股定理是解题的关键．【例4】如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知36α∠=︒，求长方形卡片的周长．（精确到1)mm （参考数据：sin360.60︒≈，cos360.80︒≈，tan360.75)︒≈【解答】解：作BE l ⊥于点E ，DF l ⊥于点F ．1801809090,90,36.DAF BAD ADF DAF ADF αα+∠=︒-∠=︒-︒=︒∠+∠=︒∴∠==︒根据题意，得24BE mm =，48DF mm =． 在Rt ABE ∆中，sin BEABα=， ∴2440sin360.60BE AB mm ===︒在Rt ADF ∆中，cos DFADF AD∠=， ∴4860cos360.80DF AD mm ===︒．∴矩形ABCD 的周长2(4060)200mm =+=．【点评】本题考查矩形对边相等的性质，直角三角形中三角函数的应用，锐角三角函数值的计算．【例5】阅读下面材料：小红遇到这样一个问题：如图1，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒，60D ∠=︒，AB =BC AD 的长．小红发现，延长AB 与DC 相交于点E ，通过构造Rt ADE ∆，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2)． 请回答：AD 的长为 ． 参考小红思考问题的方法，解决问题： 如图3，四边形ABCD 中，1tan 2A =，135B C ∠=∠=︒，9AB =，3CD =，求BC 和AD 的长．【解答】解：（1）延长AB 与DC 相交于点E ，在ADE ∆中，90A ∠=︒，60D ∠=︒，30E ∴∠=︒．在Rt BEC ∆中，90BCE ∠=︒，30E ∠=︒，BC =2BE BC ∴==AE AB BE ∴=+==在Rt ADE ∆中，90A ∠=︒，30E ∠=︒，AE =tan 6AD AE E ∴=∠==． 故答案为6；（2）如图，延长AB 与DC 相交于点E ．135ABC BCD ∠=∠=︒， 45EBC ECB ∴∠=∠=︒， BE CE ∴=，90E ∠=︒．设BE CE x ==，则BC =，9AE x =+，3DE x =+． 在Rt ADE ∆中，90E ∠=︒，1tan 2A =，∴12DE AE =，即3192x x +=+， 3x ∴=．经检验3x =是所列方程的解，且符合题意，BC ∴=12AE =，6DE =，AD ∴=【点评】本题考查的是解直角三角形，勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解 答此题的关键．【例6】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，斜边AB 的垂直平分线分别交AB 、BC 于点E 和点D ，已知:2BD CD =（1）求ADC ∠的度数；（2）利用已知条件和第（1）小题的结论求tan15︒的值（结果保留根号）．【解答】解：（1）连接AD ，如图．设2BD k =，则CD =．DE 垂直平分AB ， 2AD BD k ∴==． 在Rt ACD ∆中， 90C ∠=︒，cos CD ADC AD ∴∠===， 30ADC ∴∠=︒；（2）AD BD =， B DAB ∴∠=∠．30ADC ∠=︒，B DAB ADC ∠+∠=∠， 15B DAB ∴∠=∠=︒． 在Rt ACD ∆中， 90C ∠=︒，∴AC k ．在Rt ABC ∆中90C ∠=︒，∴tan 2AC B BC ===-∴tan152︒=-【点评】本题主要考查了三角函数的定义、特殊角的三角函数值、勾股定理等知识，利用已知条 件和第（1）小题的结论是解决第（2）小题的关键．知识点2 解直角三角形综合题型2 解直角三角形综合【例7】如图，在同一平面内，两条平行高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速公路1l 成30︒角，长为20km ；BC 段与AB 、CD 段都垂直，长为10km ，CD 段长为30km ，求两高速公路间的距离（结果保留根号）．【解答】解：过B 点作1BE l ⊥，交1l 于E ，CD 于F ，2l 于G ．在Rt ABE ∆中，1sin302010BE AB km =︒=⨯=，在Rt BCF ∆中，cos3010BF BC =÷︒=，201sin30CF BF =︒==，(30DF CD CF km =-=，在Rt DFG ∆中，1sin30(30(152FG DF km =︒=⨯=，(25EG BE BF FG km ∴=++=+．故两高速公路间的距离为(25km +．【点评】此题考查了解直角三角形的应用，主要是三角函数的基本概念及运算，关键把实际问题 转化为数学问题加以计算．【例8】如图，“和谐号”高铁列车的小桌板收起时近似看作与地面垂直，小桌板的支架底端与桌面顶端的距离75OA =厘米．展开小桌板使桌面保持水平，此时CB AO ⊥，37AOB ACB ∠=∠=︒，且支架长OB 与桌面宽BC 的长度之和等于OA 的长度．求小桌板桌面的宽度BC ．（参考数据sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75)︒≈【解答】解：延长CB 交AO 于点D ．CD OA ∴⊥，设BC x =，则75OB x =-，在Rt OBD ∆中，cos OD OB AOB =∠，sin BD OB AOB =∠， (75)cos370.8(75)600.8OD x x x ∴=-︒=-=-，(75)sin370.6(75)450.6BD x x x =-︒=-=-， 在Rt ACD ∆中，tan AD DC ACB =∠，(450.6)tan370.75(0.445)0.333.75AD x x x x ∴=+-︒=+=+， 75AD OD OA +==，0.333.75600.875x x ∴++-=， 解得37.5x =． 37.5BC ∴=；故小桌板桌面的宽度BC 约为37.5cm ．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是正确构造直角三角形并求解．【例9】如图， 望湖公园装有新型路灯， 路灯设备由灯柱AC 与支架BD 共同组成 （点C 处装有安全监控， 点D 处装有照明灯） ，AC 与地面垂直，BC 为 1.5 米，BD 为 2 米，AB 为 7 米，60CBD ∠=︒，某一时刻， 太阳光与地面的夹角为37︒，求此时路灯设备整体在地面上的影长为多少？（参 考数据：sin370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75)︒≈【解答】解： 如图， 过点D 作光线的平行线， 交地面于点G ，交射线AC 于点F ，过点D 作 DE AF ⊥于点E ，在Rt DBE ∆中， 60CBD ∠=︒， 30BDE ∴∠=︒， 2BD =，sin301BE BD ∴=︒=，cos30DE BD =︒， 在Rt FED ∆中， 37AGF ∠=︒， 37EDF ∴∠=︒，tan37EF ED ∴=︒=， 7AB =，718AF AB BE EF ∴=++=++=． 33874+>，∴此时的影长为AG ．在Rt AFG ∆中，32tan373AF AG ==︒答： 此刻路灯设备在地面上的影长为32(3米 ．【点评】此题考查了解直角三角形，用到的知识点是锐角三角函数、三角形内角和定理，关键是根据题意画出图形，构造直角三角形．第11关 解直角三角形（题册部分）【课后练1】如图，在Rt ABC ∆中，设a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠的对边，90C ∠=︒，8b =，A ∠的平分线AD =B ∠，a ，c 的值．【解答】解：90C ∠=︒，8b =，A ∠的平分线ADcos AC CAD AD ∴∠===30CAD ∴∠=︒， 60CAB ∴∠=︒， 30B ∴∠=︒，216c b ∴==，tan30b a ===︒，即30B ∠=︒，a =16c =．【课后练2】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB 的垂直平分线与AB ，BC 分别交于点E 和点D ，且2BD AC =． （1）求B ∠的度数．（2）求tan BAC ∠（结果保留根号）．【解答】解：（1）连接AD ．DE 垂直平分线段AB ， DA DB ∴=， B DAB ∴∠=∠， 2BD AC =， 2AD AC ∴=， 90C ∠=︒， 30ADC ∴∠=︒，ADC DAB B ∠=∠+∠， 15B ∴∠=︒．（2）设AC a =，则2AD BD a ==，CD =，2BC a =+，tan 2BC BAC AC ∴∠==【课后练3】如图，在ABC ∆中，45B ∠=︒，5AC =，3cos 5C =，AD 是BC 边上的高线． （1）求AD 的长；（2）求ABC ∆的面积．【解答】解：（1）AD BC ⊥，90ADC ADB ∴∠=∠=︒． 在Rt ACD ∆中，5AC =，3cos 5C =， cos 3CD AC C ∴==， 4AD AC ∴=-=．（2）45B ∠=︒，90ADB ∠=︒，9045BAD B ∴∠=︒-∠=︒，B BAD ∴∠=∠，4BD AD ∴==， 114(43)1422ABC S AD BC ∆∴==⨯⨯+=．【课后练4】如图，把两幅完全相同的长方形图片粘贴在一矩形宣传板EFGH 上，除D 点外，其他顶点均在矩形EFGH 的边上．50AB cm =，40BC cm =，55BAE ∠=︒，求EF 的长．参考数据：sin550.82︒=，cos550.57︒=，tan55 1.43︒=．【解答】解：在直角三角形ABE 中，50AB cm =，55BAE ∠=︒，sin 50sin55500.8241BE AB BAE ∴=∠=︒=⨯=．ABCD 是矩形，55CBF BAE ∴∠=∠=︒，∴在直角三角形BCF 中，40BC cm =，55CBF ∠=︒，cos 40cos55400.5722.8BF BC CBF ∴=∠=︒=⨯=．4122.863.8EF BE BF ∴=+=+=．所以EF 的长为63.8cm ．【课后练5】某片绿地形状如图所示，其中AB BC ⊥，CD AD ⊥，60A ∠=︒，200AB m =，100CD m =，求AD 、BC 的长．（精确到1m 1.732)≈【解答】解：如图，延长AD ，交BC 的延长线于点E ，在Rt ABE ∆中，200AB m =，60A ∠=︒，tan BE AB A ∴==，400cos60AB AE m ==︒， 在Rt CDE ∆中，100CD m =，9030CED A ∠=︒-∠=︒，2200CE CD m ∴==，tan CD DE CED==∠，400227AD AE DE m ∴=-=-≈，200146BC BE CE m =-=-≈．答：AD 的长约为227m ，BC 的长约为146m ．【课后练6】如图，河的两岸1l 与2l 相互平行，A 、B 是1l 上的两点，C 、D 是2l 上的两点，某人在点A 处测得90CAB ∠=︒，30DAB ∠=︒，再沿AB 方向前进20米到达点E （点E 在线段AB 上），测得60DEB ∠=︒，求C 、D 两点间的距离．【解答】解：过点D 作1l 的垂线，垂足为F ，60DEB ∠=︒，30DAB ∠=︒，30ADE DEB DAB ∴∠=∠-∠=︒，ADE ∴∆为等腰三角形，20DE AE ∴==，在Rt DEF ∆中，1cos6020102EF DE =︒=⨯=， DF AF ⊥，90DFB ∴∠=︒，//AC DF ∴，由已知12//l l ，//CD AF ∴，∴四边形ACDF 为矩形，30CD AF AE EF ==+=，答：C 、D 两点间的距离为30m ．。
(完整版)解三角形题型总结(最新整理)
解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C=（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C===做题大法：1）边化角：遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高B A b a BA b sin sin ,sin sin a =→=→考常考点）思考：若是否可行C B A bc sin sin sin a 22=−−−→−=是否可化为2）角化边形如这样的分式或等式b a B A bB A =→=→sin sin ,a sin sin 思路总结： 此为以上转换依据sin sin a b A B =2sin c R C ==⇒2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:AR sin 2a =B R sin 2b =B Rsin 2c =如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab +-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边。
解三角形题型汇总(最新人教版优质教案)( 含解析 )
解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos Bcos C=-b2a+c，②sin Asin B-sin C=b+ca+c，③2S=-3BA⋅BC三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且______，作AB⊥AD，使得四边形ABCD满足∠ACD=π3，AD=3，求BC的取值范围.例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD中∠BAC=90∘，∠ABC=30∘，AD⊥CD，设∠ACD=θ.(1)若ΔABC面积是ΔACD面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB=π6，求tanθ.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，A=150∘，点D在边BC上，满足CD=2BD，且sin∠BADb+sin∠CADc=32a．(1)求证：AD=13a；(2)求cos∠ADC．例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA =α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，设(sin A +sin B+sin C)⋅(sin A+sin B-sin C)=2sin A sin B.(1)求C；(2)若D为BC边上的点，M为AD上的点，CD=1，∠CAB=∠MB D=∠D MB.求AM．例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD中，AB2+BC2+AB⋅BC=AC2．(1)若AB=3BC=3，求△ABC的面积；(2)若CD=3BC，∠CAD=30∘，∠BCD=120∘，求∠ACB的值．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，角A 的平分线AD 交BC 边于点D .(1)证明：AB AC=DB DC ，AD 2=AB ⋅AC -DB ⋅DC ；(2)若AD =1，A =2π3，求DB ⋅DC 的最小值.例⒔(2022·湖北武汉·二模)如图，△ABC内一点P满足PB⊥PC,AC=BP=2.(1)若AB=6,PC=2，求sin∠ACP的值；(2)若AB=5,sin∠ACP=110，求AP的长.例⒕(2022·江苏·泗阳县实验高级中学高一阶段练习)如图，在凸四边形ABCD中，已知AB=AD=4，BC=6．(1)若∠ADB=π6，C=π3，求cos∠BDC的值；(2)若CD=2，四边形ABCD的面积为4，求cos A+C的值．例⒖(2021·全国·高考真题)记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2=ac，点D在边AC 上，BD sin∠ABC=a sin C.(1)证明：BD=b；(2)若AD=2DC，求cos∠ABC.例⒗(2022·全国·高三专题练习(理))如图，在△ABC中，D是AC边上一点，∠ABC为钝角，∠DBC= 90°．(1)证明：cos∠ADB+sin C=0；(2)若AB=27，BC=2，再从下面①②中选取一个作为条件，求△ABD的面积．①sin∠ABC=32114；②AC=3AD．注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分．例⒘(2022·重庆·二模)已知△ABC的外心为O，M,N为线段AB,AC上的两点，且O恰为MN中点.(1)证明：|AM|⋅|MB|=|AN|⋅|NC|(2)若|AO|=3，|OM|=1，求S△AMNS△ABC的最大值.题型三：张角定理与等面积法例⒙(广东省2022届高三三模数学试题)已知△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2a sin A= 2b+csin B+2c+bsin C.(1)求角A的大小；(2)设点D为BC上一点，AD是△ABC的角平分线，且AD=2，b=3，求△ABC的面积.例⒚(2022·湖北武汉·模拟预测)在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且c -b sin C =a -b sin A +sin B(1)求A ；(2)若D 为BC 上的点，AD 平分角A ，且c =32，AD =3，求BD DC.例⒛(2022·辽宁·高一期中)如图，在△ABC 中，AB =2，3sin 2B -2cos B -2=0，且点D 在线段BC 上．(1)若∠ADC =2π3，求AD 的长；(2)若BD =2DC ，sin ∠BAD sin ∠CAD=42，求△ABD 的面积．例21(2022·江苏·华罗庚中学三模)在△ABC 中，已知AB =4，AC =5，cos B =57. (1)求sin A 的值；(2)若AD 是∠BAC 的角平分线，求AD 的长．例22(2022·山东淄博·三模)已知函数f(x)=3sinωx cosωx-cos2ωx+12(ω>0)，其图像上相邻的最高点和最低点间的距离为4+π2 4．(1)求函数f(x)的解析式；(2)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，a=4，bc=12，f(A)=1．若角A的平分线AD交BC于D，求AD的长．例23(2022·黑龙江·哈尔滨三中高三阶段练习(理))在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且2b cos C=2a+c．(1)求角B的大小；(2)若b=23，D为AC边上的一点，BD=1，且______，求△ABC的面积．①BD是∠B的平分线；②D为线段AC的中点．(从①，②两个条件中任选一个，补充在上面的横线上并作答)．题型四：角平分线问题例24(2022·北京·首都师范大学附属中学三模)已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且3sin π6+B +sin π3-B =0.(1)求∠B 的值；(2)给出以下三个条件：条件①：a 2-b 2+c 2-3c =0；条件②a =3；条件③S △ABC =1534.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：(i )求sin A 的值；(ii )求∠ABC 的角平分线BD 的长.例25(2022·江苏·南京师大附中模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2c b=1+tan A tan B .(1)求角A ；(2)角A 的内角平分线交BC 于点M ，若a =47，AM =33，求sin ∠AMC .例26(2022·北京八十中模拟预测)在△ABC中，3sin B+π6=-cos B+π6.(1)求B的值；(2)给出以下三个条件：①a2-b2+c2+3c=0；②a=3，b=1；③S△ABC=1534，若这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面问题：(i)求sin A的值；(ii)求∠ABC的角平分线BD的长.例27(2022·河南·模拟预测(理))如图，在△ABC中，D为边BC的中点，∠ACB的平分线分别交AB，AD于E，F两点．(1)证明：sin∠ABC⋅sin∠CAD=sin∠ACB⋅sin∠BAD；(2)若∠BAC=π2，sin∠ABC=23，AD=32，求DE．例28(2022·广东佛山·三模)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b sin A+3a cos B= 0，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=2．(1)求B；(2)若a=3，求b．例29(2022·山东潍坊·模拟预测)已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且△ABC的面积为3a2+b2-c24．(1)求∠C；(2)若∠A=π2，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE=DE，求cos∠ADB．题型五：中线问题例30(2022·广东佛山·高三期末)△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C=(2b-c) cos A.(1)求角A的大小；(2)若b=2,BC边上的中线AD=3，求△ABC的面积.例31(2022·全国·模拟预测)在△ABC中．sin A cos A-π6=34．(1)求角A；(2)若AC=8，点D是线段BC的中点，DE⊥AC于点E，且DE=334，求CE的长．例32(2022·海南海口·二模)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知B=π3，b=75a．(1)求sin A；(2)若a=5，AB边的中点为D，求CD．例33(2022·山东·烟台二中模拟预测)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b cos C+3c sin Ba+c=1．(1)求角B的大小；(2)设D，E分别为边AB，BC的中点，已知△BCD的周长为3+3，且AECD=192，若c<5a，求a．例34(2022·新疆克拉玛依·三模(理))在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，若2a2=a2+c2-b21-sin B cos B．(1)求角C；(2)若c=210，sin A=1010，D为AC的中点，求BD的长度．例35(2022·湖北·模拟预测)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若b2+c2-a2=2ab sin C.(1)求角A；(2)若AB=32,AC=3，点P在线段BC上，且CP=13CB,Q是线段AC中点，AP与BQ交于点M，求cos∠A MB.例36(2022·陕西·交大附中模拟预测(理))设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且a=b cos C+33c sin B．(1)求B；(2)若c=1，a=3，AC的中点为D，求BD的长．题型六：高问题例37(2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测(理))在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2-b2=c a cos B-b2．(1)求角A的大小；(2)若c=8，△ABC的面积为43，求BC边上的高．例38(2022·江苏·南京市江宁高级中学模拟预测)从①A为锐角且sin B-cos C=c2-a22ab；②b=2a sin C+π6这两个条件中任选一个，填入横线上并完成解答．在三角形ABC中，已知角A，B，C 的对边分别为a，b，c，．(1)求角A；(2)若b=34c且BC边上的高AD为23，求CD的长．例39(2022·北京房山·二模)在△ABC中，a cos B+12b=c,b=2.(1)求∠A；(2)再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求BC边上的高.条件①：cos B=-23；条件②：sin B=22；条件③：△ABC的面积为3+32.注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.例40(2022·山东青岛·一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B-sin C2=sin2A -sin B sin C．(1)求角A；(2)若b=5，BC边上的高为1077，求边c．例41(2022·福建·模拟预测)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2c-b=2a cos B.(1)求角A；(2)若3b2sin B+c-b2cos B=7，b-c=2，求BC边上的高.题型七：重心性质及其应用例42(2022·湖北省仙桃中学模拟预测)如图，在△ABC 中，已知AB =2，AC =23，∠BAC =30°，BC 边上的中线AM 与∠ABC 的角平分线BN 相交于点P ．(1)∠MPN 的余弦值．(2)求四边形PMCN 的面积.例43(2022·全国·高三专题练习)G 是△ABC 的重心，a ,b ,c 分别是角A ,B ,C 的对边，若20aGA +15bGB+12cGC =0 ，则cos A =( )A.0B.35C.45D.1例44(2022·全国·高三专题练习)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos B +3a sin B=c +1，b =1，点G 是△ABC 的重心，且AG =213，则△ABC 的面积为( )A.32B.3C.3D.23例45(2022·全国·模拟预测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的外接圆的面积为π，b -c sin B +2sin 2C =a sin A ．(1)求A ；(2)AD 是角A 的平分线，若BD =3DC ，△ABC 的重心为G ，求AG 的长．题型八：外心及外接圆问题例46(2022·全国·高三专题练习)设O 为△ABC 的外心，若AO =AB +2AC ，则sin ∠BAC 的值为___________.例47(2022·江苏·泰兴市第一高级中学高三阶段练习)在△ABC 中，AB =4，AC =6，BC =5，点O 为△ABC 的外心，若AO =λAB +μAC，则λ+μ=( )A.23B.35C.47D.59例48(2022·广东·模拟预测)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A .从下列①②③这三个条件中选择一个补充在横线处，并作答.①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心；③O 为△ABC 的重心.(1)求A ；(2)若b =6,c =10，__________，求△OBC 的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.例49(2022·黑龙江齐齐哈尔·二模(理))△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 3sin B -cos C =c -b cos A ．从下列①②这两个条件中选择一个补充在横线处，并作答．①O 为△ABC 的内心；②O 为△ABC 的外心．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．(1)求A ；(2)若b =3,c =5，________，求△OBC 的面积．例50(2022·江苏省白蒲高级中学高三阶段练习)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c；3b=4c，cos C=45.(1)求cos A的值；(2)若△ABC的外心在其外部，a=7，求△ABC外接圆的面积.例51(2022·辽宁·三模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知A=π3，c=4.(1)若sin B-cos B=22，求△ABC外接圆的直径；(2)若a=13，求△ABC的周长.例52(2022·四川·树德中学模拟预测(理))已知的数f x =3sin x2cosx2-cos2x2+12．(1)求f x 的单调增区间；(2)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f A =12，a=3，求△ABC外接圆的面积．例53(2022·湖南·长郡中学高三阶段练习)法国著名军事家拿破仑·波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这个三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”.如图，在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a cos B -C =cos A 23b sin C -a .以AB ，BC ，AC 为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为O 1，O 2，O 3.(1)求A ；(2)若a =3，△O 1O 2O 3的面积为7312，求△ABC 的周长.题型九：两边夹问题例54(2021•双流区校级模拟)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A +sin A -2sin B +cos B=0，则a +b c 的值是( )A.2 B.3 C.2 D.1例55(2020•苏州二模)在ΔABC中，已知边a，b，c所对的角分别为A，B，C，若2sin2B+3sin2C= 2sin A sin B sin C+sin2A，则tan A= ．例56(2013•成都模拟)在ΔABC中，若(cos A+sin A)(cos B+sin B)=2，则角C= ．例57(2018•如皋市二模)在ΔABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，设S是ΔABC的面积，若b2+ c2=13a2+433S，则角A的值是 ．题型十：内心及内切圆问题例58(2022·全国·高三专题练习)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，a=6，b+12cos B=2c.(1)求A的大小；(2)M为△ABC内一点，AM的延长线交BC于点D，________，求△ABC的面积.请在下列三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使△ABC存在，并解决问题.①M为△ABC的外心，AM=4；②M为△ABC的垂心，MD=3；③M为△ABC的内心，AD=33.例59(2022·安徽·芜湖一中一模(理))已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C= sin A2-cos A(1)求b c的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN⎳BC且c=2，求a的值．例60(2022·全国·高三专题练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且A 为锐角，a =32，AB ⋅AC =3，再从条件①：b sin B +C 2=a sin B ，条件②：b tan A =(2c -b )tan B ，这两个条件中选择一个作为已知.求：(1)角A ；(2)△ABC 的内切圆半径r .例61(2022·陕西·武功县普集高级中学一模(文))在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，已知b =4，c =2，且sin C =sin B +sin (A -B )．(1)求角A 和边a 的大小；(2)求△ABC 的内切圆半径．例62例62．(2022·全国·高三专题练习)如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，AD 平分∠BAC .(1)求证：BDDC =AB AC；(2)若AC =2，CD =1，AD =322，求△ABC 的内切圆面积.例63(2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测(理))在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且3b sin C-c cos B tan C=a.(1)求角A；(2)若△ABC的内切圆面积为4π，求△ABC面积S的最小值.例64(2022·全国·高三专题练习)已知函数f x =23sin x cos x+2cos2x(1)求函数f x =23sin x cos x+2cos2x的对称轴；对称中心；单调递增区间；(2)在ΔABC中，a,b,c分别是A,B,C所对的边，当f A =2，a=2时，求ΔABC内切圆面积的最大值.例65(2022·河南南阳·高三期末(理))在△ABC中，3sin C+cos C=sin B+sin Csin A.(1)求A；(2)若△ABC的内切圆半径r=2，求AB+AC的最小值.例66(2022·陕西·模拟预测(文))已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且a =6,b =54c ,A =2C ，设O 为△ABC 的内心，则△AOB 的面积为_________．例67(2022·全国·高三专题练习)已知点O 是ABC 的内心，若AO =49AB +19AC ，则cos ∠BAC =( )A.15B.16C.18D.19解三角形图形类问题【方法技巧与总结】解决三角形图形类问题的方法：方法一：两次应用余弦定理是一种典型的方法，充分利用了三角形的性质和正余弦定理的性质解题；方法二：等面积法是一种常用的方法，很多数学问题利用等面积法使得问题转化为更为简单的问题，相似是三角形中的常用思路；方法三：正弦定理和余弦定理相结合是解三角形问题的常用思路；方法四：构造辅助线作出相似三角形，结合余弦定理和相似三角形是一种确定边长比例关系的不错选择；方法五：平面向量是解决几何问题的一种重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的运算法则可以将其与余弦定理充分结合到一起；方法六：建立平面直角坐标系是解析几何的思路，利用此方法数形结合充分挖掘几何性质使得问题更加直观化.【题型归纳目录】题型一：妙用两次正弦定理题型二：两角使用余弦定理题型三：张角定理与等面积法题型四：角平分线问题题型五：中线问题题型六：高问题题型七：重心性质及其应用题型八：外心及外接圆问题题型九：两边夹问题题型十：内心及内切圆问题【典例例题】题型一：妙用两次正弦定理例⒈(2022·全国·高三专题练习)在①cos B cos C =-b 2a +c ，②sin A sin B -sin C =b +c a +c ，③2S =-3BA ⋅BC 三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 且______，作AB ⊥AD ，使得四边形ABCD 满足∠ACD =π3，AD =3，求BC 的取值范围.【答案】(0,2).【解析】根据题意，选择①②③求得B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理求得AC =2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理求得可得BC =43sin θ+π6 ⋅sin θ=233sin 2θ-π3 +1，结合0<θ<π3和三角函数的性质，即可求解.【详解】若选①：由cos B cos C =-b 2a +c ，根据正弦定理可得cos B cos C =-sin B 2sin A +sin C，即2sin A cos B +sin C cos B =-sin B cos C ，即2sin A cos B =-sin B cos C -sin C cos B =-sin B +C =-sin A ，可得cos B =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).选②：由sin A sin B -sin C =b +c a +c ，根据正弦定理可得a b -c =b +c a +c ，可得a 2+ac =b 2-c 2，即a 2+c 2-b 2=-ac ，又由余弦定理，可得cos B =a 2+c 2-b 22ac =-ac 2ac =-12，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).若选③：由2S =-3BA ⋅BC ，可得2×12ac sin B =-3ac cos B ，即sin B =-3cos B ，可得tan B =-3，因为A ∈(0,π)，所以B =2π3，设∠BAC =θ，则∠CAD =π2-θ,∠CDA =θ+π6，在△ACD 中，由正弦定理得AC sin ∠ADC =AD sin ∠ACD，可得AC =AD sin ∠ADC sin ∠ACD=3⋅sin θ+π6 sin π3=2sin θ+π6 ，在△ABC 中，由正弦定理得AC sin B =BC sin θ，可得BC =AC ⋅sin θsin B =2sin θ+π6 ⋅sin θsin 2π3=43sin θ+π6 ⋅sin θ=4332sin θ+12cos θ sin θ=4332sin 2θ+12sin θcos θ =13(23sin 2θ+2sin θcos θ)=1323×1-cos2θ2+sin2θ =13(sin2θ-3cos2θ)+1=233sin 2θ-π3 +1，因为0<θ<π3，可得-π3<2θ-π3<π3，当2θ-π3=π3时，即θ=π3，可得233sin π3+1=2，当2θ-π3=-π3时，即θ=0，可得233sin -π3+1=0，所以BC 的取值范围是(0,2).例⒉(2020·北京·北师大二附中高三期中)如图，四边形ABCD 中∠BAC =90∘，∠ABC =30∘，AD ⊥CD ，设∠ACD =θ.(1)若ΔABC 面积是ΔACD 面积的4倍，求sin2θ；(2)若∠ADB =π6，求tan θ.【答案】(1)sin2θ=32(2)tan θ=32【解析】(1)设AC =a ，可求AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S △ABC =4S △ACD ，利用三角形的面积公式即可求解；(2)在△ABD 中，△BCD 中，分别应用正弦定理，联立可得2sin π3+θ=3sin θ，利用两角和的正弦公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【详解】(1)设AC =a ，则AB =3a ，AD =a sin θ，CD =a cos θ，由题意S ΔABC =4S ΔACD ，则12a ⋅3a =4⋅12a cos θ⋅a sin θ，所以sin2θ=32.(2)由正弦定理，ΔABD 中，BD sin ∠BAD =AB sin ∠ADB ，即BD sin π-θ =3a sin π6①ΔBCD 中，BD sin ∠BCD =BC sin ∠CDB ，即BD sin π3+θ =2asin π3②①÷②得：2sin π3+θ=3sin θ，化简得3cos θ=2sin θ，所以tan θ=32.例⒊(江苏省南京市宁海中学2022届高三下学期4月模拟考试数学试题)在△ABC 中，内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，A =150∘，点D 在边BC 上，满足CD =2BD ，且sin ∠BAD b+sin ∠CAD c =32a ．(1)求证：AD =13a ；(2)求cos ∠ADC ．【答案】(1)证明见解析(2)1314【解析】(1)分别在△ABD 和△ACD 中利用正弦定理表示出sin ∠BAD ,sin ∠DAC ，，代入已知等式化简整理即可得到结果；(2)根据∠ADB =-∠ADC ，在△ABD 和△ACD 利用余弦定理可整理得到a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，利用余弦定理可得c =3b ，进而得到a =7b ，代入cos ∠ADC 中即可求得结果.(1)∵CD =2BD ，∴CD =23a ，BD =13a ；在△ABD 中，由正弦定理得：sin ∠BAD =BD sin B AD =a sin B3AD ；在△ACD 中，由正弦定理得：sin ∠DAC =CD sin C AD =2a sin C3AD；又sin B b=sin C c =sin A a =12a ，∴sin ∠BAD b +sin ∠CAD c =a sin B 3b ⋅AD +2a sin C 3c ⋅AD =a 3AD ⋅12a +2a 3AD ⋅12a=32a ，即9AD =3a ，∴AD =13a .(2)在△ABD 中，由余弦定理得：cos ∠ADB =BD 2+AD 2-AB 22BD ⋅AD =2a 2-9c 22a 2；在△ACD 中，由余弦定理得：cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =5a 2-9b 24a 2；∵∠ADB +∠ADC =180∘，∴∠ADB =-∠ADC ，即2a 2-9c 22a 2=-5a 2-9b 24a 2，整理可得：a 2-b 2=2c 2；在△ABC 中，由余弦定理得：cos A =b 2+c 2-a 22bc =-32，则-c 22bc =-c 2b =-32，∴c =3b ，∴a 2-b 2=6b 2，即a =7b ；∴cos ∠ADC =5a 2-9b 24a 2=35b 2-9b 228b 2=1314.例⒋(广东省2022届高三二模数学试题)如图，已知△ABC 内有一点P ，满足∠PAB =∠PBC =∠PCA=α．(1)证明：PB sin ABC =AB sin α．(2)若∠ABC =90∘，AB =BC =1，求PC ．【答案】(1)证明见解析(2)PC =105【解析】(1)由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，即要证明sin ∠ABC =sin ∠APB 即可，由此利用三角形内角和证明可得结论；(2)由题意求得PB =sin α，继而求得PC =2sin α，在△PAB 中利用余弦定理求得sin α=55，即可求得答案.(1)证明：在△ABP 中，由正弦定理得PB sin α=ABsin ∠APB，即PB sin ∠APB =AB sin α，要证明PB sin ∠ABC =AB sin α，只需证明sin ∠ABC =sin ∠APB ，在△ABP 中，∠APB =π-α+∠ABP ，在△ABC 中，∠ABC =α+∠ABP ，所以∠APB =π-∠ABC ，所以sin ∠APB =sin π-∠ABC =sin ∠ABC ，所以PB sin ∠ABC =AB sin α．(2)由(1)知PB sin ∠ABC =AB sin α，又因为∠ABC =90∘，AB =1，所以PB =sin α，由已知得△ABC 为等腰直角三角形，所以∠BCA =∠CAB =π4，则∠BCP =π4-α，所以在△PBC 中，∠BPC =π-π4-α -α=3π4，由正弦定理得BC sin ∠BPC =PCsin ∠PBC，即1sin 3π4=PC sin α，即PC =2sin α．由余弦定理得sin 2α+2sin α 2-2sin α2sin α cos 3π4=1，由题意知sin α>0，故解得sin α=55，所以PC =105．例⒌(2022·全国·高三专题练习)如图，在梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，AB =2，CD =5，∠ABC =2π3．(1)若AC =27，求梯形ABCD 的面积；(2)若AC ⊥BD ，求tan ∠ABD ．【答案】(1)73；(2)tan ∠ABD =233．【解析】(1)△ABC 中，利用含∠ABC 的余弦定理表达式建立BC 的方程，求出BC 而得△ABC 面积，再利用面积关系求△ADC 的面积得解；(2)由题设中角的信息用∠ABD 表示出△ABC 与△BDC 中的相关角，再在这两个三角形中利用正弦定理建立两个方程，联立整理得tan ∠ABD 的方程，解之即得.【详解】(1)设BC =x ，在△ABC 中，由余弦定理AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC 得：28=22+x 2-2⋅2⋅x ⋅cos2π3，即x 2+2x -24=0，而x >0，解得x =4，所以BC =4，则△ABC 的面积S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =12⋅2⋅4⋅32=23，梯形ABCD 中，AB ⎳CD ，△ABC 与△ADC 等高，且CD =5AB2，所以△ADC 的面积S △ADC =5S △ABC2=53，则梯形ABCD 的面积S =S △ABC +S △ADC =73；(2)在梯形ABCD 中，设∠ABD =α，而AC ⊥BD ，则∠BDC =α，∠BAC =π2-α，∠DBC =2π3-a ，∠BCA =α-π6，在△ABC 中，由正弦定理AB sin ∠BCA =BC sin ∠BAC 得：2sin α-π6 =BCsin π2-α ，在△BDC 中，由正弦定理CD sin ∠DBC =BC sin ∠BDC 得：5sin 2π3-α =BCsin α，两式相除得：2sin 2π3-α 5sin α-π6 =sin αsin π2-α ⇒2⋅32cos α+12sin α5⋅32sin α-12cos α =sin αcos α，整理得53sin 2α-7sin αcos α-23cos 2α=0，即53tan 2α-7tan α-23=0解得tan α=233或tan α=-35，因为α∈π6,π2，则tan α=233，即tan ∠ABD =233．例⒍(2022·河南安阳·模拟预测(理))如图，在平面四边形ABCD中，DC =2AD =42，∠BAD =π2，∠BDC =π6．(1)若cos ∠ABD =53，求△ABD 的面积；(2)若∠C =∠ADC ，求BC ．【答案】(1)25(2)210-22【解析】(1)根据cos ∠ABD =53求得tan ∠ABD ，再结合AD =22求解即可(2)设∠ADB =θ，再在△BCD 中利用正弦定理得出关于θ的方程，再根据三角函数恒等变换化简求解即可(1)由cos ∠ABD =53可得tan ∠ABD =32-525=25，又AD =22故AB =ADtan ∠ABD =10，故S △ABD =12AB ⋅AD =25(2)设∠ADB =θ，则cos θ=22BD ，∠C =θ+π6，在△BCD 中，由正弦定理可得BD sin C =DCsin ∠DBC，即22cos θsin θ+π6=42sin 2π3-θ ，交叉相乘化简得sin 2π3-θ =2cos θ⋅sin θ+π6 ，即sin θ+π3 =3cos θ⋅sin θ+cos 2θ，利用降幂公式有sin θ+π3 =32sin2θ+12cos2θ+12，利用辅助角公式有sin θ+π3 =sin 2θ+π6 +12，故sin θ+π3 =sin 2θ+2π3-π2 +12，利用诱导公式可得sin θ+π3 =-cos 2θ+2π3 +12=2sin 2θ+π3 -12，故2sin 2θ+π3 -sin θ+π3 -12=0，又sin θ+π3 >0，解得sin θ+π3 =1+54，又由正弦定理有42sin 2π3-θ =BC sinπ6，故BC =22sin θ+π3=221+54=210-22例⒎(2019·安徽省怀远第一中学高三阶段练习(理))ΔABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，设(sin A+sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B .(1)求C ；(2)若D 为BC 边上的点，M 为AD 上的点，CD =1，∠CAB =∠MB D =∠D MB.求AM ．【答案】(1)C =90∘；(2)2【解析】(1)根据正弦定理进行边角互化，利用余弦定理即可求解；(2)设∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，将三角形中其余角用θ表示出来，结合CD =1，表示边长，即可解出.【详解】(1)由(sin A +sin B +sin C )⋅(sin A +sin B -sin C )=2sin A sin B ，得a +b 2-c 2=2ab ，即a 2+b 2=c 2∴C =90∘；(2)令∠CAB =∠MB D =∠D MB =θ，则在ΔA MB 中，∠MB A =90∘-2θ,∠BMA =180∘-θ由正弦定理得：AM sin 90∘-2θ =AB sin 180∘-θ ，即AM =AB ⋅cos2θsin θ在ΔACD 中，∠ACD =90∘,∠CDA =2θ由正切定义：AC =tan2θ在ΔACB 中，∠ACB =90∘,∠BAC =θ由正切定义：AB =AC cos θ=tan2θcos θ，∴AM =tan2θcos θ⋅cos2θsin θ=2例⒏(2022·山东烟台·一模)如图，四边形ABCD 中，AB 2+BC 2+AB ⋅BC =AC 2．(1)若AB =3BC =3，求△ABC 的面积；(2)若CD =3BC ，∠CAD =30∘，∠BCD =120∘，求∠ACB 的值．【答案】(1)334(2)∠ACB =45∘【解析】(1)依据题意求得角B ，利用正弦定理去求△ABC 的面积；(2)利用正弦定理解三角形即可求得∠ACB 的值．(1)在△ABC 中，cos B =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =-AB ⋅BC 2AB ⋅BC =-12，因为0∘<B <180∘，所以B =120∘．S △ABC =12AB ⋅BC sin120∘=12×3×1×32=334．(2)设∠ACB =θ，则∠ACD =120∘-θ，∠ADC =30∘+θ，∠BAC =60∘-θ．在△ACD 中，由AC sin 30∘+θ =CDsin30∘，得AC =sin 30∘+θ sin30∘CD ．在△ABC 中，由AC sin120∘=BC sin 60∘-θ ，得AC =sin120∘sin 60∘-θBC ．联立上式，并由CD=3BC得3sin30∘+θsin30∘=sin120∘sin60∘-θ，整理得sin30∘+θsin60∘-θ=14，所以sin60∘+2θ=12，因为0∘<θ<60∘，所以60∘<60∘+2θ<180∘，所以60∘+2θ=150∘，解得θ=45∘，即∠ACB的值为45∘．例⒐(2022·全国·高三专题练习)在①AB=2AD，②sin∠ACB=2sin∠ACD，③S△ABC=2S△ACD这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=π，BC=CD=2，且______.(1)证明：tan∠ABC=3tan∠BAC；(2)若AC=3，求四边形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析(2)9158【解析】(1)选择①，由正弦定理及角度关系推出∠BAC=∠DAC及sin∠ACB=2sin∠ACD，结合两角和的正弦公式及诱导公式，进行证明；选择②，利用正弦定理推导出∠BAC=∠DAC，直接利用两角和的正弦公式及诱导公式即可推出结论；选择③，由正弦定理，面积公式及面积的倍数关系得到∠BAC=∠DAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，使用两角和的正弦公式及诱导公式进行证明；(2)在证明出第一问的基础上，设出边长，利用余弦定理求出AD的长及角的正弦值，进而利用面积公式进行求解.(1)方案一：选条件①.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC=ABsin∠ACB，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC=ADsin∠ACD，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC，因为AB=2AD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案二：选条件②.在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC.因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，sin∠ACB=2sin∠ACD，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.方案三：选条件③.因为S△ABC=12BC⋅AC⋅sin∠ACB，S△ACD=12CD⋅AC⋅sin∠ACD，且BC=CD，S△ABC=2S△ACD，所以sin∠ACB=2sin∠ACD在△ABC中，由正弦定理得，ACsin∠ABC=BCsin∠BAC，在△ACD中，由正弦定理得，ACsin∠ADC=CDsin∠DAC，因为∠ABC+∠ADC=π，所以sin∠ABC=sin∠ADC，因为BC=CD，所以sin∠BAC=sin∠DAC，因为∠BAC+∠DAC<π，所以∠BAC=∠DAC.因为sin∠ACB=sin∠ABC+∠BAC，sin∠ACD=sin∠CAD+∠ADC=sin∠BAC+π-∠ABC=sin∠ABC-∠BAC，所以sin∠ABC+∠BAC=2sin∠ABC-∠BAC，即sin∠ABC cos∠BAC+cos∠ABC sin∠BAC=2sin∠ABC⋅cos∠BAC-cos∠ABC sin∠BAC，所以sin∠ABC cos∠BAC=3cos∠ABC sin∠BAC，所以tan∠ABC=3tan∠BAC.(2)选择①②③，答案均相同，由(1)可设AD =x ，则AB =2x ，在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠ABC =AB 2+BC 2-AC 22AB ⋅BC =4x 2-58x ，在△ACD 中，由余弦定理得，cos ∠ADC =AD 2+CD 2-AC 22AD ⋅CD =x 2-54x ，因为cos ∠ABC =cos π-∠ADC =-cos ∠ADC ，所以4x 2-58x =-x 2-54x ，解得x =102或x =-102(舍去)，所以cos ∠ABC =108，所以sin ∠ABC =sin ∠ADC =1-1082=368，所以四边形ABCD 的面积S =3S △ACD =32AD ⋅CD ⋅sin ∠ADC =9158.例⒑(2022·福建·厦门一中高一阶段练习)在平面四边形ABCD 中，∠ABC =π3，∠ADC =π2，BC =4.(1)若△ABC 的面积为33，求AC ；(2)若AD =33，∠BAC =∠DAC ，求tan ∠DAC .【答案】(1)13(2)23【解析】(1)应用三角形面积公式有S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC ，可求AB ，由余弦定理即可求AC ；(2)设∠DAC =α，在Rt △ACD 中AC =AD sin π2-α ，在△ABC 中应用正弦定理有BCsin ∠BAC =ACsin ∠ABC ，即可求tan α，得解.(1)在△ABC 中，BC =4，∠ABC =π3，∴S △ABC =12AB ⋅BC ⋅sin ∠ABC =33，可得AB =3，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC ⋅cos ∠ABC =13，∴AC =13.(2)设∠DAC =α，则∠ACD =π2-α，在Rt △ACD 中，AD =33，易知：AC =AD sin π2-α =33cos α，在△ABC 中，由正弦定理得BC sin ∠BAC =AC sin ∠ABC ，即4sin α=3332cos α，∴2cos α=3sin α，可得tan α=23，即tan ∠DAC =23.例⒒(2022·湖北武汉·模拟预测)如图，在平面四边形ABCD 中，∠BCD =π2，AB =1，∠ABC =3π4.(1)当BC =2，CD =7时，求△ACD 的面积；(2)当∠ADC =π6，AD =2时，求cos ∠ACD .【答案】(1)3414；(2)cos ∠ACD =33.【解析】(1)利用余弦定理求出AC ，cos ∠ACB ，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答.(2)在△ABC 和△ACD 中用正弦定理求出AC ，再借助同角公式求解作答.(1)当BC =2时，在△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2-2AB ⋅BC cos ∠ABC ，即AC 2=3-22cos 3π4=5，解得AC =5，cos ∠ACB =AC 2+BC 2-AB 22AC ⋅BC=31010，因为∠BCD =π2，则sin ∠ACD =cos ∠ACB =31010，又CD =7，所以△ACD 的面积是S △ACD =12AC ⋅CD sin ∠ACD =125×7×31010=3414.(2)在△ABC 中，由正弦定理得AB sin ∠ACB =AC sin ∠ABC ，即AC =AB sin 3π4sin ∠ACB =22cos ∠ACD ，在△ACD 中，由正弦定理得AD sin ∠ACD =AC sin ∠ADC ，即AC =AD sin π6sin ∠ACD =1sin ∠ACD ，则22cos ∠ACD =1sin ∠ACD，整理得sin ∠ACD =2cos ∠ACD ，而sin 2∠ACD +cos 2∠ACD =1，∠ACD 为锐角，所以cos∠ACD=3 3.题型二：两角使用余弦定理例⒓(2022·湖北·襄阳四中模拟预测)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，角A的平分线AD交BC边于点D.(1)证明：ABAC=DBDC，AD2=AB⋅AC-DB⋅DC；(2)若AD=1，A=2π3，求DB⋅DC的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)3【解析】(1)根据题意得到sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理得到ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得到ABAC=DBDC，进而得到BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，根据余弦定理，并代入化简，即可求解.(2)根据S△ABD+S△ACD=S△ABC，得到b+c=bc，结合基本不等式求得bc≥4，进而求得DB⋅DC=bc -1，即可求解.(1)解：在△ABD和△BCD中，可得∠BAD=∠CAD，∠ADB+∠ADC=π，所以sin∠BAD=sin∠CAD，sin∠ADB=sin∠ADC，由正弦定理，得ABsin∠ADB=BDsin∠BAD，ACsin∠ADC=DCsin∠CAD，两式相除得ABAC=DBDC，可得BD=ABAB+AC BC，DC=ACAB+AC BC，又由cos∠ABD=cos∠ABC，根据余弦定理得AB2+BD2-AD22AB⋅BD=AB2+BC2-AC22AB⋅BC所以AD2=AB2+BD2-BDBC AB2+BC2-AC2=DCBC AB2+BDBC AC2-BD BC-BD代入可得AD2=ACAB+AC AB2+ABAB+AC AC2-BD⋅DC=AB⋅AC ABAB+AC+AC AB+AC-BD⋅DC=AB⋅AC-BD⋅DC.(2)解：由AD=1，A=2π3及S△ABD+S△ACD=S△ABC，可得b+c=bc根据基本不等式得bc=b+c≥2bc，解得bc≥4，当且仅当b=c=2时等号成立，。
(完整版)解三角形题型总结
解三角形题型分类解析类型一：正弦定理1、计算问题： 例1、（2013•北京）在△ABC 中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=_________例2、已知∆ABC 中，∠A 60=︒，a =sin sin sin a b c A B C ++++=．例3、在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2asinB=b ． 求角A 的大小；2、三角形形状问题例3、在ABC ∆中，已知,,a b c 分别为角A ，B ，C 的对边，1)B A b cos cos a =试确定ABC ∆形状。
2）若cos cos a B b A=，试确定ABC ∆形状。
4）在ABC ∆中，已知A b B a tan tan 22=，试判断三角形的形状。
5）已知在ABC ∆中，C c B b sin sin =，且C B A 222sin sin sin +=，试判断三角形的形状。
例4、（2016年上海）已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于______类型二：余弦定理1、 判断三角形形状：锐角、直角、钝角在△ABC 中，若222a b c +=，则角C 是直角；若222a b c +<，则角C 是钝角；若222a b c +>，则角C 是锐角．例 1、在△ABC 中，若a =9,b =10,c =12,则△ABC 的形状是_________。
2、求角或者边例2、（2016年天津高考）在△ABC 中，若AB ，120C ∠= ,则AC =．例 3、在△ABC 中，已知三边长3a =，4b =，c =，求三角形的最大内角．例 4、在△ABC 中，已知a=7,b=3,c=5，求最大的角和sinC?3、余弦公式直接应用例 5、：在∆ABC 中，若222a b c bc =++，求角A ．例 6、：(2013重庆理20)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且a 2＋b 2ab ＝c 2.(1)求C ；例7、设△的内角，，所对的边分别为，，. 若，则角例8、（2016年北京高考） 在ABC 中，.（1）求 的大小；（2的最大值.类型三：正弦、余弦定理基本应用例1.【2015高考广东，理11】设ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a = 1sin 2B =，6C =π，则b =. 例2.1)(22=-+acb c a ，则B 等于。
《解三角形》常见题型总结
《解三角形》常见题型总结1。
1正弦定理和余弦定理1。
1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1 在ABC 中，已知A ：B:C=1：2:3，求a :b :c 。
【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化,利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：::1:2:3,A .,,,6321::sin :sin :sin sin:sin:sin::1 2.63222A B C B C A B C a b A B C πππππππ=++=∴===∴====而【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC 中,已知C=30°,求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数,然后再求解。
解：∵C=30°sin sin sin a b c A B C === ∴sinA ，b=2°-A ）.∴a+b=2[sinA+sin(150°—·2sin75°·cos(75°-A ）=2cos （75°—A ）① 当75°-A=0°,即A=75°时,a+b取得最大值2② ∵A=180°—（C+B)=150°—B ，∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°，∴—75°＜75°-A ＜75°,∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，∴＞2cos75°=2×4. 综合①②可得a+b考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC 中,2a ·tanB=2b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。
解三角形十类题型汇总(学生版)
解三角形十类题型汇总近4年考情(2021-2024)考题统计考点分析考点要求2024年I卷第15题，13分高考对本节的考查不会有大的变化，仍将以考查正余弦定理的基本使用、面积公式的应用为主．从近五年的全国卷的考查情况来看，本节是高考的热点，主要以考查正余弦定理的应用和面积公式为主．(1)正弦定理、余弦定理及其变形(2)三角形的面积公式并能应用(3)实际应用(4)三角恒等变换2024年II卷第15题，13分2024年甲卷第11题，5分2023年I卷II卷第17题，10分2023年甲卷第16题，5分2023年乙卷第18题，12分2022年I卷II卷第18题，12分2021年I卷II卷第20题，12分热点题型解读【题型1】拆角与凑角类型一出现了3个角(拆角)类型二凑角类型三拆角后再用辅助角公式合并求角类型四通过诱导公式统一函数名【题型2】利用余弦定理化简等式类型一出现了角或边的平方类型二出现角的余弦(正弦走不通)【题型3】周长与面积相关计算类型一面积相关计算类型二周长的相关计算【题型4】倍角关系类型一倍角关系的证明和应用类型二扩角降幂类型三图形中二倍角的处理【题型5】角平分线相关计算【题型6】中线相关计算【题型7】高线线相关计算【题型8】其它中间线【题型9】三角形解的个数问题【题型10】解三角形的实际应用类型一距离问题类型二高度问题题型分类解析【题型1】拆角与凑角(1)正弦定理的应用①边化角，角化边⇔a:b:c=sin A:sin B:sin C②大边对大角大角对大边a>b⇔A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B③合分比：a+b+csin A+sin B+sin C =a+bsin A+sin B=b+csin B+sin C=a+csin A+sin C=asin A=bsin B=csin C=2R(2)△ABC内角和定理(结合诱导公式)：A+B+C=π①sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B⇔c=a cos B+b cos A 同理有：a=b cos C+c cos B，b=c cos A+a cos C.②-cos C=cos(A+B)=cos A cos B-sin A sin B；③斜三角形中，-tan C=tan(A+B)=tan A+tan B1-tan A⋅tan B⇔tan A+tan B+tan C=tan A⋅tan B⋅tan C④sinA+B2=cos C2；cos A+B2=sin C2类型一出现了3个角(拆角)1.在△ABC中，2b-3c3a =cos Ccos A，求A的值2.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且b=2c sin A+π6，求C.3.(湛江一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ba =2cosπ3-C，求A.类型二凑角4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2a cos A⋅cos B+b cos2A=3c-b，求角A5.(2024届·广州·阶段练习)已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足ca cos B+bacos C=3cos C，求sin C的值6.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且bcos B +ccos C=acos A+3acos B cos C，求tan B tan C.7.3a sin A+B2=c sin A，求角C的大小.8.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b cos A+B2=c sin B，求C9.在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足b cos B+C2=a sin B，求A.类型三拆角后再用辅助角公式合并求角，求A.10.(深圳一模)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b+c=2a sin C+π611.在△ABC中，3sin C+cos C=sin B+sin Csin A，求A.12.锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a cos C+3c sin A=b+c，求A.13.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且a cos C+3a sin C=b+c，求角A的大小；类型四通过诱导公式统一函数名，求A的值14.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin B=b cos A-π615.已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，若满足a(sin2A-cos B cos C)+b sin A sin C=0，求角A的大小.，b cos C=c cos B，求A的16.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a sin B=b cos A-π6值.【题型2】利用余弦定理化简等式余弦定理公式a 2=b 2+c 2-2bc cos A ；b 2=c 2+a 2-2ac cos B ；c 2=a 2+b 2-2ab cos C .常见变形cos A =b 2+c 2-a 22bc ；cos B =c 2+a 2-b 22ac ；cos C =a 2+b 2-c 22ab.类型一出现了角或边的平方17.已知△ABC 内角A ,B ,C 所对的边长分别为a ,b ,c ,22a 2cos B +b 2=2ab cos C +a 2+c 2，求B .18.(2024年高考全国甲卷数学(理)真题)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ，若B =π3，b 2=94ac ，则sin A +sin C =()A.23913B.3913C.72D.3131319.记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a 2=3b 2+c 2，则tan Atan C=．20.(2023年北京高考数学真题)在△ABC 中，(a +c )(sin A -sin C )=b (sin A -sin B )，则∠C =()A.π6B.π3C.2π3D.5π621.在ΔABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知c =252a sin C cos B =a sin A -b sin B +52b sin C ，求b ；22.（2024届·湖南四大名校团队模拟冲刺卷(一)）在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知△ABC的面积为S，且2S sin Csin B +sin A sin C=(a2+b2)sin A，求C的值23.（2024·广东省六校高三第四次联考）已知△ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A c cos B+b cos C-c sin B=c sin C+b sin B，求角A24.记ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2-a2=2c2，求tan Btan A的值类型二出现角的余弦(正弦走不通)25.记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知b cos A-a cos B=b-c,求A.26.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且sin A-B=2sin C，证明:a2=b2+2c2.27.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，c=2b,2sin A=3sin2C，求sin C.28.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，B=2π3，且sin A+sin Bsin C+cos2C=1，求证5a=3c29.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，sin(A-B)tan C=sin A sin B，求a2+c2.b230.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b-c，求角A.sin B=b sin A-C【题型3】周长与面积相关计算设计周长和面积的相关计算一般会用到余弦定理还有可能需要用到完全平方公式对于完全平方公式：a+b2=a2+b2+2ab，其中两边之和a+b对应周长，两边平方和a2+b2在余弦定理中，两边之积ab在面积公式和余弦定理中都会出现类型一面积相关计算31.已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C=223，a=b+2，c=32，求△ABC的面积．32.(2024新高考一卷·真题)记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知sin C=2cos B，a2+b2-c2=2ab(1)求B；(2)若△ABC的面积为3+3，求c．33.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，B=2π3，且5a=3c，若△ABC的面积为153，求c34.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A=π6，△ABC的面积为332，b=2，求a．35.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2A，当a=4,b=6时，求△ABC的面积S．36.（2024届·广东省六校第二次联考）已知△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin C=223，a=b +2，c=32，求△ABC的面积．37.记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B=2A，当a=4,b=6时，求△ABC的面积S．类型二周长的相关计算38.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c，且A=C，若B=π6，△ABC的面积为4，求△ABC的周长.39.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(b+c)(sin B+sin C)=a sin A+3b sin C.(1)求角A的大小；(2)若a=6，且△ABC的面积为3，求△ABC的周长.40.(2024·新高考二卷·真题)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin A +3cos A =2．(1)求A ．(2)若a =2，2b sin C =c sin2B ，求△ABC 的周长．41.△ABC 的角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,AB ⋅AC=-1,△ABC 的面积为2，若a =22，求△ABC 的周长.42.在△ABC 中，已知AC ⋅AB =4，a =5，∠BAC =60°，则△ABC 周长为．43.在△ABC 中，A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ，A =π3,a =2,B =π4，求△ABC 的周长．44.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(b +c )(sin B +sin C )=a sin A +3b sin C .(1)求角A 的大小；(2)若a =6，且△ABC 的面积为3，求△ABC 的周长.【题型4】倍角关系1、二倍角公式：sin2A =2sin A cos A ，cos2A =2cos 2A -1=1-2sin 2A =cos 2A -sin 2A 2、扩角降幂：cos2C 2=1+cos C 2.，sin 2C 2=1-cos C2忘记了可以用二倍角公式推导:记C2=t，则cos C=cos2t=2cos2t-1=1-2sin2t故cos2t=2cos2t-1⇒cos2t=1+cos2t2，cos2t=1-2sin2t⇒sin2t=1-cos2t23、倍角关系证明的方法技巧解三角形中的关系，主要涉及到正弦、余弦等三角函数的倍角公式。
解三角形题型总结
解三角形一、知识梳理1.正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bccosA,b 2=a 2+c 2-2accosB,cosA=bc a c b 2222-+. 3.S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB,4.在三角形中大边对大角，反之亦然.5.射影定理：a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA,c=acosB+bcosA.6.三角形内角的诱导公式(1)sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,tanC=-tan(A+B),cos 2C=sin 2B A +,sin 2C =cos2BA +……(2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是B=60°； (3)△ABC 是正三角形的充要条件是A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.7、正余弦定理的应用：1. 正弦定理适用于有两个角存在的情况，下图是“边边角”的情况：（a<bsinA 无解）a=bsinA ，一解 b sinA<a<b ，两解 a=b ，一解 a>b ，一解2. 余弦定理应用于两种情况：（1）已知三边求三角（2）已知两角和其中一边的对角，求其他边角8.用向量证明正弦定理、余弦定理，关键在于基向量的位置和方向.9.三角形的分类或形状判断的思路，主要从边或角两方面入手.【题型讲解】1、 与三角函数、恒等变换的结合【练习】1.已知△ABC 中，125-A tan =，则cos A = （ ） (A) 1213 (B) 513 (C) 513- (D) 1213-2.在三角形ABC 中， ,135cos ,53-inA ==B s cosC 的值是 （ ）6513.A B.1 6516.C 6517.D3、在锐角三角形ABC 中，有（ ）A ．cosA>sinB 且cosB>sinA B ．cosA<sinB 且cosB<sinAC ．cosA>sinB 且cosB<sinAD ．cosA<sinB 且cosB>sinA4、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形.5、在锐角∆ABC 中，R B A Q B A P B A =+=+=+cos cos ,sin sin ,)sin(，则（） A Q<R<P B P<Q<R C R<Q<P D Q<P<R2、 熟练公式【例1】在ABC ∆中，若5b =，4B π∠=,1sin 3A =，则a = .523【例2】在△ABC 中，已知a =3,b =2,B=45°,求A 、C 和c .【解析】 ∵B=45°＜90°且a sinB ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解.由正弦定理得sinA=b B a sin =245sin 3︒ =23,则A 为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=B Cb sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A=60°,C=75°,c=226+或A=120°,C=15°, c =226-.【例3】在△ABC 中，若a=2, b=2, c=2,则∠A 的度数是( )(A) 30° (B) 45° (C) 60° (D) 75°【例4】边长为5、7、8的三角形的最大角与最小角之和为( )(A) 90° (B) 120° (C) 135° (D) 150°【例5】在△ABC 中，若∠B=30°, AB=2, AC=2, 则△ABC 的面积是【例6】设ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、.已知1=a ，2=b ，41cos =C .（Ⅰ）求ABC ∆的周长；（Ⅱ）求()C A -cos 的值.【练习】1、△ABC 中，a =8,B=60°,C=75°,求b ;2、△ABC 中，B=30°, b =4,c=8,求C 、A 、a.3、在△ABC 中，a ＝2，b ＝22，B ＝45°，则A 等于（ ）A ．30°B ．60°C ．30°或120°D ． 30°或150°4.在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则cos B ＝( )A ．－223 B.223 C ．－63D.63 5、在△ABC 中，若,120,3,5 ===C b a 则sin A 的值为（ ）A. 1435B. - 1435C. 1433D.- 1433 6、在△ABC 中，若1413cos ,8,7===C b a ，则最大角的余弦是（ ） A ．51- B ．61- C ．71- D ．81- 7、在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝30°，则△ABC 的面积为( )A.32B.34C.32或 3D.34或328、已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为 （ ） A ． 14 B ．142 C ．15 D ．1529、在ΔABC 中，A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____.3、 巧妙求值例1、在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（ ）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或 例2、在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_______例3、在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A c b a sin sin sin ++++等于( ) A ．33 B ．3392C ．338D ．239 例4、已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为 （ ）A ．41-B ．41C ．32- D ．32例5、在∆ABC 中，三边a ，b ，c 与面积s 的关系式为222),s a b c =+-则角C 为A 30B 45C 60D 90【变式训练】1、222,,,ABC b c S b c ∆++边长为a 面积为，证明：a ≥【练习】1、在ABC ∆中，若A b a sin 23=，则B 等于（ ）A. 30B. 60C. 30或 150D. 60或 1202、在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( )A ．090B ．060C ．0135D ．01503、（2010重庆文数） 设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ,且32b +32c -32a b c .求sinA 的值4、△ABC 中，若60A =，a =sin sin sin a b cA B C +-+-等于 （ ）A 2B 12 D5、在∆ABC 中，三边a ，b ，c 与面积s 的关系式为),(41222c b a s -+=则角C 为 6、已知A 、B 、C 是△ABC 的三个内角，则在下列各结论中，不正确的为( )A ．sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋2sin B sin C cos(B ＋C )B ．sin 2B ＝sin 2A ＋sin 2C ＋2sin A sin C cos(A ＋C )C ．sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2B -2sin A sin B cos CD ．sin 2(A ＋B )＝sin 2A ＋sin 2B -2sin B sin C cos(A ＋B )7、在△ABC 中，∠C ＝60°，a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边，则ca b c b a +++= 8、在△ABC 中，角,,A B C 的对边边长分别为3,5,6a b c ===, 则cos cos cos bc A ca B ab C ++的值为A ．38B ．37C ．36D ．359、ABC∆中，若b=2a , B=A+60°,则A= .4、 判断三角形形状【解题思路】判定三角形形状时，一般利用“角化边”或“边化角”进行化简消元；若是判断三角形是钝角、直角还是锐角三角形，直接观察最大角例1、在△ABC 中，已知C B A 222sin sin sin <+，请判断△ABC 的形状。
解三角形经典题型
在 ABC 中，已知角 A, B,C 的对边分别为 a,b,c，且 a b, sin A 3 cos A 2sin B 。
（1）求角 C 的大小；（2）求 a b 的最大值。 c
解析：（1）由 sin A
3
cos
A
2 sin
B
得
2 sin
A
3
（1）求 A；
（2）若 2a b 2c ，求 sinC．
解三角形
题型一：边长、周长、面积等取值范围转化为角度求解 题型二：边化角 题型三：角化边 题型四：化切为弦 题型五：实际应用
才哥数学
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题型一：边长、周长、面积等取值范围转化为角度求解
1.（19 全国 3 理、文 18）．（12 分）
△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 a sin A C b sin A ． 2
3
36
所以
1 2
sin
A
3
3
．
2
由此有 3 2
3
sin
A
3
3 2
3，
所以， cos A sin C 的取值范围为
3 2
，3 2
．
才哥数学
4. 在 ABC 中，已知 b, B ，求 ma nc 【或 ABC 周长】的取值范围
（1）求 B； （2）若△ABC 为锐角三角形，且 c=1，求△ABC 面积的取值范围．
解：（1）由题设及正弦定理得 sin Asin A C sin B sin A ． 2
解三角形(总结+题+解析)
解三角形一．正弦定理：A a sin =B b sin =C csin =2R ，其中R 是三角形外接圆半径.正弦定理的如下变形常在解题中用到1.(1) a=2RsinA(2) b=2RsinB(3) c=2RsinC2.(1) sinA=a/2R(2) sinB=b/2R(3) sinC=c/2R3.a ：b ：c=sinA ：sinB:sinC适用类型（1）AAS（2）SSA二．余弦定理：1. a^2 = b^2 + c^2 - 2·b ·c ·cosA2. b^2 = a^2 + c^2 - 2·a ·c ·cosB3. c^2 = a^2 + b^2 - 2·a ·b ·cosC余弦定理的如下变形常在解题中用到1. cosC = (a^2 + b^2 - c^2) / (2·a ·b)2. cosB = (a^2 + c^2 - b^2) / (2·a ·c)3. cosA = (c^2 + b^2 - a^2) / (2·b ·c ）适用类型1.SSA2.SAS3.SSS三．余弦定理和正弦定理的面积公式S △ABC =21absinC=21bcsinA=21acsinB（常用类型：已知三角形两边及其夹角）判断解的个数判断三角形的形状有两种途径：（1）将已知的条件统一化成边的关系，用代数求和法求解（2）将已知的条件统一化成角的关系，用三角函数法求解三．解三角形的实际应用测量中相关的名称术语仰角：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角。
俯角：视线在水平线以下时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫俯角方向角：从指定方向线到目标方向的水平角测距离的应用测高的应用(一)已知两角及一边解三角形例1已知在△ABC中，c＝10，A＝45°，C＝30°，求a、b和B.∠B=180°-30°-45°=105°a=10sin45°/sin30°=10√2sin105°=sin(60+45)=√2/2(√3/2+1/2)=(√6+√2)/41/sin105=√6-√2b=10sin45°/sin105°=5√2(√6-√2)=10(√3-1)（二）已知两边和其中一边对角解三角形例2在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，C，若a=2√3，b =√6，A=45°，求边长C由余弦定理，得b²+c²-2bccosA-a²=06+c²-2√3c-12=0c²-2√3c-6=0根据求根公式，得c=√3±3又c>0所以c=3+√3（三）已知两边及夹角，解三角形例3△ABC中，已知b＝3，c＝33，B＝30°，求角A，角C和边a.解：由余弦定理得∴a2-9a+18=0，得a=3或6当a=3时，A=30°，∴C=120°当a=6时，由正弦定理∴A=90°∴C=60°。
解三角形题型总结(原创)
2
0，
21 3
又因为 0 0 B 180 0 ，所以 B 90 0 ，
再根据内角和定理，得
A 1800 (B C) 180 0 150 0 300。
综上， A 300,B 900,c
3。
练习：
1 在 ABC 中，已知 a 4,b 2,C 60 0解三角形。
题型四、利用余弦定理解决 “已知三边 ”的类型
解三角形题型总结
ABC 中的常见结论和定理：
一、 内角和定理及诱导公式：
1．因为 A B C ， 所以 sin( A B) sin C, cos(A B)
cosC, tan(A B)
sin( A C) sin B, cos(A C) cosB, tan(A C)
sin(B C) sin A, cos(B C) cos A, tan(B C)
2cos 2 A 3cos A 2 0,
解得 cosA 1 ,角 A 60 2
(II) S 1 bcsinA 5 3 2
c 4,
3cos B C 1.
由余弦定理得 : a2
2
21, 2R
a2 sin2 A 28
sinBsinC
bc 5 4R 2 7
练习 2. 已知 △ABC 的周长为 2 1，且 sin A sinB
2
6
3
由余弦定理， 得 cosC
AC 2 BC 2 AB 2 (AC BC) 2 2AC BC AB 2 1 ，
2AC BC
2AC BC
2
所以 C 60 ．
练习 3．在 △ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c ，已知 c 2 ，C
．
3
（Ⅰ）若 △ABC 的面积等于 3，求 a，b ；
解三角形题型总结(原创)
解三角形题型总结ABC 中的常见结论和定理：一、内角和定理及诱导公式：1．因为A B C ，所以sin( A B) sin C, cos( A B) cosC , tan( A B) tan C ；sin( A C) sin B, cos( A C) cos B, tan( A C) tan B ；sin( B C) sin A, cos(B C) cos A, tan( B C) tan AA B C因为,2 2A B C 所以sin cos2 2 2．大边对大角A B C，cos sin2 2，⋯⋯⋯⋯3.在△ABC 中，熟记并会证明tanA+tanB+tanC=tanA ta·n B ·t anC;(2)A 、B、C 成等差数列的充要条件是B=60°；(3)△ABC 是正三角形的充要条件是A、B、C 成等差数列且a、b、c 成等比数列.二、正弦定理：文字：在ABC 中，各边与其所对角的正弦的比值都相等。
a b c符号：R2 sin A sin B sin C公式变形：①a2R s in A b 2R sin B c 2R s in C (边转化成角）②a b csin A sin B sin C （角转化成边）2R 2R 2R③a : b :c sin A :sin B : sin Ca b c a b c④2Rsin A sin B sin C sin A sin B sin C三、余弦定理：文字：在ABC 中，任意一边的平方，等于另外两边的平方和，减去这两边与它们夹角的余弦值的乘积的两倍。
符号：a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B c2 a2 b2 2ab cos C变形：cos A2b2c2bc2 2a acos B2c2ac2b cos C2a2b2ab2c四、面积公式：（1）S 1 ah （2） 1 ( )S r a b c （其中r 为三角形内切圆半径） a2 2（3） 1 sin 1 sin 1 sinS ab C bc A ac B2 2 2五、常见三角形的基本类型及解法：（1）已知两角和一边（如已知A, B, 边c）解法：根据内角和求出角 C ( A B) ；a b c根据正弦定理R2sin A sin B sin C求出其余两边a,b（2）已知两边和夹角（如已知a,b,C ）2 2 2 2 cos 解法：根据余弦定理c a b ab C 求出边c；2 2 2b c a根据余弦定理的变形cos A 求A ；2bc 根据内角和定理求角 B ( AC) .（3）已知三边（如：a, b, c ）b 2 2c2 acos A 求A ；解法：根据余弦定理的变形2bc根据余弦定理的变形cos B2a2c2ac2b 求角B ；根据内角和定理求角 C (A B)（4）已知两边和其中一边对角（如：a,b, A）（注意讨论解的情况）解法1：若只求第三边，用余弦定理： 2 2 2 2 cosc a b ab C ；a b c解法2：若不是只求第三边，先用正弦定理R2sin A sin B sin C解，两解或无解的情况，见题型一）；求B （可能出现一再根据内角和定理求角 C (A B) ；.先看一道例题：例：在ABC 中，已知b 2 ，求角C。
题型全归纳系列-解三角形专题汇总
题型全归纳--解三角形专题汇总题型一正弦定理及其应用1.在△ABC中，a,b,c是A，B，C所对的边，且a=√3，b=√6，B=45°，则角A=（）A.30°B.150°C.30°或150°D.135°2.在△=6，则aA.3√2B.√6C.6√2D.2√63.在△（）A.π6B.π3C.π4D.5π124.在△（）A.π2B.π3C.π4D.π65.已知△的△ABCA.无解6.在△A.b=2,c=1,A=30∘B.a=8,B=45∘,C=65∘C.a=3;c=2,A=30∘D.a=3√2,b=4,B=45∘7.在△A.sinA=cos(B−π2) B.acosA−bcosB=0 C.bcosA=acosB D.acosA=bcosB=ccosC8.在△ABC为A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件9.△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc =−3cosBcosC，则A的最大值是（）A.5π6B.2π3C.π6D.π310.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=2，c=1，则C的范围是（）A.(0,π2) B.(π6,π3) C.(π6,π2) D.(0,π6]11.已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a=√2csinB，则tanA的最大值为（）A.2B.2√2C.4D.812.在△ABC中，D是AC边上一点，AB⊥BD，∠A=30°，∠C=45°，CD=√3−12，则AB 的值为（）A.√32B.√62C.√3D.√613.则cosAA.13B.12C.34D.014.15°（）A.150(√3+√2)mB.100(√3+√2)mC.150(√6+√2)mD.100(√6+√2)m15.P 的仰角为A.bsinαsin(γ−β)sin(γ−α)B.sin(γ−β)bsinαsin(γ−α)C. bsinβ+bsinγsin(α−β)sin(γ−β)D. bsinβ+bsinγsin(γ−β)sin(γ−α)题型二 余弦定理及其应用16.在 △ABC 中，若满足 sin 2A =sin 2B +sinB ⋅sinC +sin 2C ，则 A = （ ） A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°17.在 △√3sinA △ABC 的面积为 A. √21 B. √3 C. √21 或 √3 D. √21 或3 18.在 △ABC 中， C =60° ， a +2b =8 ， sinA =6sinB ，则 c = （ ） A. √31 B. √35 C. 5 D. 6 19.在 △2√77，则 tanB A. √714 B. 3√3 C.3√2114D. √3920.设 △bc 的最小值为（ A. 4 B. 2√3 C. 3 D. 2√221.在 为( ) A. 3 B.9√32C.3√32D. 3√3 22.在△ABC 中， AB =3,AC =2,BC =√10 ，则 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = （ ） A. −32 B. −23 C. 32 D. 2323.在 △ABC 中，角A ， B ， C 所以对的边分别为a ， b ， c ， 若 sinBsinC =√3sinA ， △ABC 的面积为3√32 ， a +b =3√3 ，则 c = （ ）A. 3B. √21 或 √3C. √21D. √21 或3 24.如图，在 △ABC 中， D 是边 AC 上的点，且 AB =AD ， 2AB =√3BD ， BC =2DB ，则 sinC 的值为（ ）A.√66B.√63C.√36D.√3325.△ABC1A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件26.在△R=2A.√3B.2√3C.3√3D.4√327.在△ABC中，已知C=60°，AB=4，则△ABC周长的最大值为（）A.8B.10C.12D.1428.∠BADA.4−√36B.4+√36C.2√3−√66D.2√3+√6629.在△15，且(sinA+A.1314B.1114C.12D.−1230.”若把以上这段文字写成公式，即S=√14[c2a2−(c2+a2−b22)2]，其中a、b、c是△ABC内角A、B、C的对边．若ac=4，B=60∘，则△ABC的面积为（）A.√3B.2√2C.4D.4√2题型三三角形的形状判断31.△ABC的三内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，下列条件中能构成△ABC且形状唯一确定的是（）A.bcosAcosC+ccos(B+C)cosB=0,C=60°B.a=1,b=√3,A=30°C.sin2A+sin2C+√2sinAsinC=sin2B,A=45°D.a=1,b=2,c∈Z，则ΔABC的形状为（）32.在ΔABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c，且ac=b2−a2,A=π6A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形33.已知）A.34.在△A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形35.在△A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形36.在△A.37.在△一定是（）A.38.已知（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或直角三角形D.钝角三角形39.在△△ABC 的面积为A.直角三角形B.钝角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形40.在22A.等腰三角形B.直角三角形C.正三角形D.等腰或直角三角形41.若在△ABC中，2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形42.在△ABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c，且a,b,c成等差数列，sinA,sinB,sinC成等比数列，则△ABC的形状为（）A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形43.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=2:5:6，则△ABC的形状为（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形44.在△ABC中，若sin(B+C)sin(B−C)=sin2A，则△ABC是（）A.等腰三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.钝角三角形a+bcosA,2b=a+c，则△ABC的形45.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c=12状为（）A.等腰非等边三角形B.直角非等腰三角形C.等边三角形D.钝角三角形46.在△ABC为（）A.47.在△△ABC 是（）A.48.在△A.49.在A.50.在A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形51.为15°，M，DA.40√3mB.30√3mC.20√3mD.10√3m52.刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n 变得很大时，这n个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到sin6∘的近似值为（）A.π30B.π60C.π90D.π18053.在△−bsinB+）A.√55354.已知A.12πB.1πC.32πD.2π55.，测得则CA.90 mB.100 mC.110 mD.270 m56.在△A.3B.4√3C.4D.6√357.在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，且acosB+√32b=c，则A=（）A.5π6B.2π3C.π3D.π658.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步，1尺＝0.231米，则该沙田的面积约为（）（结果精确到0.1，参考数据：415.82=172889.64）A.15.6平方千米B.15．2平方千米C.14.8平方千米D.14.5平方千米部分为一边，向外59.1904年，瑞典数学家柯克构造了一种曲线，取一个正三角形，在每个边以中间的13部分擦掉，就成了一个很像雪花的六角星，如图所示．现凸出作一个正三角形，再把原来边上中间的13在向圆中均匀的散落1000粒豆子，则落在六角星中的豆子数约为（）（π≈3，√3≈1.732）A.577B.537C.481D.33160.圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为(15√3−15)m，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（）A.20mB.30mC.20√3mD.30√3m61.2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台.根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回收点A，B，他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A，再向南偏东60°方向走30米，到达回收点B，则他从回收点B回到自家楼下至少还需走（）A.50米B.57米C.64米D.70米62.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知b=√3，2c−a=2bcosA，则a+c 的最大值为（）A.√3B.2√3C.3√2D.√263.√2，则△ABDA.1B.2C.3D.464.在△=7，csinB=A.8B.10C.8√3D.10√365.在锐角）A.[√3,2)B.[√132,2) C.[√3,√132) D.[√32,√132)66.已知在（1）求B（2△ c=√2b；△周长为4+2√3；△面积为SΔABC4；67.在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，_______________，从△ (b+c)2−a2=3bc，△ asinB=bsin(A+π3)这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．（1）求角A的大小；（2）若b=4，△ABC的面积S=6√3，求△ABC的周长．68.在△ asinB+√3bcosA=0，△ (a+b+c)(a−b−c)=−bc，△ bsin2A+asinB=0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1（269.在已知=4bc.（1（270.在在△于点D,且，c=3，且b≠c，再从条件△、条件△中选择一个作为已知，求：71.在△ABC中，cosA=78条件△：sinB=2sinA；条件△：sinA+sinB=2sinC．注：如果选择条件△和条件△分别解答，按第一个解答计分．（1）b的值；（2）△ABC的面积．72.在△ (sinB+sinC)2=sin2A+3sinBsinC，△ 2c=2acosB+b，△ bcosC+ccosB−2acosA=0这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c（1（2）若73.△(2tanB在△的面积.74.在△+c). （1（2若b=△ AD75.已知函数f(x)=12−2cosxcos(x+π3)，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f(C)=1．（1）求C；（2）点D为AB边中点，且CD=√7．给出以下条件：△ a=2；△ c=2√3(c<b)．从△△中仅选取一个条件，求b 的值．76.△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 BC =4,BC 边上的中线 AD =4.（1）求 AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值；（2）在.77.在条件（1）若（2）若78.△ (a △ △ （1）求（2）若79.在 △ABC 中，三个内角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，请在△ 2bsin(A +π6)=a +c ；△ (2c −a)cosB =bcosA ；△ a 2+c 2−b 2=4√33S △ABC 这三个条件中任意选择一个，完成下列问题：（1）若3a+b=2c，求cosC；（2）若b=2且1sinA +1sinC=4√33，求△ABC的面积．80.在△ asinC=√3c×cosA,△ a2+bc=b2+c2这两个条件中任选一个，补充到下面问题中进行解答．（1（2）若81.在△求解.M，N是（1）求（2）求△ABC外接圆半径.82.某市规划一个平面示意图为如图的五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道（不考虑宽度），BD，BE为赛道内的两条服务通道，∠BCD=∠BAE=2π3，∠CBD=π4，CD=2√6km，DE=8km．（1△ ∠CDE（2）在（83.在△在锐角△（1）求C（2）若M84.已知△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c．（1）证明：acosB+bcosA=c；（2）在△ 2c−bcosB =acosA，△ ccosA=2bcosA−acosC，△ 2a−bcosCcosA=ccosBosA这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答若a=7，b=5，__________，求△ABC的周长．85.已知海岛B在海岛A北偏东45°，A，B相距20海里，物体甲从海岛B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时物体乙从海岛A沿着海岛A北偏西15°方向以4海里/小时的速度移动．（1）问经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；（2）求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲、乙两物体的最短距离．86.小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的C处，沿着与电视塔( AB)垂直的水平马路CD驾驶机动车行驶，以南偏西60°的方向每小时60千米的速度开了15分钟以后，在点D处望见电视塔的底端B 在东北方向上，设沿途E处观察电视塔的仰角∠AEB=α，α的最大值为60°.（1）小明开车从C处出发到D处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值60°，约为多少分钟？(分钟保留两位小数)（2）求东方明珠塔AB的高度约为多少米.(保留两位小数)87.东西向的铁路上有两个道口A、B,铁路两侧的公路分布如图, C位于A的南偏西15°,且位于B的南偏东15°方向, D位于A的正北方向, AC=AD=2km, C处一辆救护车欲通过道口前往D处的医院送病人,发现北偏东45°方向的E处(火车头位置)有一列火车自东向西驶来,若火车通过每个道口都需要1分钟,救护车和火车的速度均为60km/ℎ.（1）判断救护车通过道口A是否会受火车影响,并说明理由;（2）为了尽快将病人送到医院,救护车应选择A、B中的哪个道口？通过计算说明.88.某居民小区为缓解业主停车难的问题，拟对小区内一块扇形空地AOB进行改建.如图所示，平行四边形OMPN区域为停车场，其余部分建成绿地，点P在围墙AB弧上，点M和点N分别在道路OA和道路OB上，且OA=60米，∠AOB=60°，设∠POB=θ．（1）求停车场面积S关于θ的函数关系式，并指出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，停车场面积S最大，并求出最大值（精确到0.1平方米）.89.某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾，决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图，两海岸线OA，OB所成角为2π，现欲在海岸线OA，OB上分别取点P，Q修建海堤，以便围成三角形陆地OPQ，3已知海堤PQ长为6千米.（1）如何选择P，Q的位置，使得ΔOPQ的面积最大；（2）若需要进一步扩大围海造陆工程，在海堤PQ的另一侧选取点M，修建海堤MP，MQ围成四边形陆地.当海堤MP与MQ的长度之和为10千米时，求四边形MPOQ面积的最大值.90.如图所示，某城市有一条从正西方AO通过市中心O后向东北OB的公路，现要修一条地铁L，在OA，OB上各设一站A，B，地铁在AB部分为直线段，现要求市中心O与AB的距离为10(km)，设地铁在AB部分的总长度为y(km)．（1）按下列要求建立关系式：（i）设∠OAB=α，将y表示成α的函数；(ii)设OA=m，OB=m用m，n表示y．（2）把A，B两站分别设在公路上离中心O多远处，才能使AB最短？并求出最短距离．。
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《解三角形》知识点归纳及题型汇总
1、①三角形三角关系： A+B+C=180°； C=180°— (A+B)；
② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.
③ . 锐角三角形性质：若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 .
2、三角形三边关系： a+b>c; a-b<c
3、三角形中的基本关系：
sin( A B) sin C , cos( A B)cosC , tan( A B)tan C ,
sin A
2
B cos
C ,cos
2
A
2
B
sin
C
2
.
（1）和角与差角公式
sin() sin cos cos sin;
cos() cos cos sin sin ;tan(
tan tan ).
1 tan tan
（2）二倍角公式
sin2 α = 2cos αsin α .
cos2cos2sin 22cos 2 1 1 2sin 21tan 2.
1tan 2
sin2 1 cos2,cos 2 1 cos2
22
（3）辅助角公式（化一公式）
y a sin x b cosx a2b2sin( x)其中tan b a
4、正弦定理：在 C 中，a、 b 、c分别为角、、 C 的对边，R 为C
的外接圆的半径，则有
a b c
2R ．sin sin sin C
5、正弦定理的变形公式：
①化角为边： a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C ；
②化边为角： sin a， sin b， sin C c ；
2R2R2R
③ a : b : c sin:sin:sin C ；
④a b c a b c=2R
sin sin sin C sin sin sin C
6、两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
7、三角形面积公式：
S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin．=2RsinAsinBsinC=abc
2
2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 )
2
8、余弦定理：在 C 中，
a2b2c22bc cos，b2a2c22ac cos ， c2a2b22ab cosC ．9、余弦定理的推论：
cos b2c2 a 2， cos a2c2b2， cosC a2b2c2．
2bc2ac2ab
10、余弦定理主要解决的问题：
①已知两边和夹角，求其余的量.
②已知三边求角
11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转
化，统一成边的形式或角的形式 .
设 a 、b、 c 是 C 的角、、C的对边，则：
①若 a2b2c2，则 C 90 ；
②若 a2b2c2，则 C 90 ；
③若 a2b2c2，则 C 90 ．
12、三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
题型之一：求解基本元素
指已知两边一角 ( 或二角一边或三边 ) ，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 ( 高线、角平分线、中线 ) 及周长等基本问题．
1. 在△ABC中，a 4 ， b 5 ， c6，则 sin 2 A．
sin C
2. 在ABC中，已
知
466
AC BD= 5
AB, cosB，边上中线，求．
36
题型之二：判断形状：
1.在 ABC 中，已知 2 sin A cosB sin C ，那么 ABC 一定是（）
A．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形
2．在△ ABC中， AB＝5，BC＝6，AC＝ 8，则△ ABC的形状是 () A．锐角三角形B．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．非钝角三角形
题型之三：解决与面积有关问题
主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．
1. 在ABC中sin A cos A
2
， AC 2 ， AB
3
，求 tan A 和ABC的面积 . 2
2. 已知△ ABC 的周长为 2 1，且 sin A sin B 2 sinC ．
（1）求边 AB 的长 .
1
（2）若△ ABC 的面积为sin C ，求角C的度数．
题型之四：求值问题
1.在 ABC 中，b2 c 2bc a 2, c1 3 ，求A和 tan B
b2
2．在锐角△ ABC 中，角，，所对的边分别为，，，已知
sin A
2 2
，
A B C a b c3
（1）求
tan2 B C
sin2
A
的值
.
（）若 a 2 ，△
ABC
2
，求 b 的值 . 222S
题型之五：求最值问题
1. 在△ ABC中，已知cosC (cos A 3 sin A) cos B0 .
(1)求角 B 的大小 .
(2)若 a c 1 ，求 b 的取值范围
2．△ABC在内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c , 已知a b cosC c sin B .
(1)求 B .
(2) 若b 2 , 求△ABC面积的最大值 .。