解三角形题型汇总.docx

《解三角形》知识点归纳及题型汇总

1、①三角形三角关系： A+B+C=180°； C=180°— (A+B)；

② . 角平分线性质 : 角平分线分对边所得两段线段的比等于角两边之比.

③ . 锐角三角形性质：若A>B>C则60 A 90 ,0 C 60 .

2、三角形三边关系： a+b>c; a-b

3、三角形中的基本关系：

sin( A B) sin C , cos( A B)cosC , tan( A B)tan C ,

sin A

2

B cos

C ,cos

2

A

2

B

sin

C

2

.

（1）和角与差角公式

sin() sin cos cos sin;

cos() cos cos sin sin ;tan(

tan tan ).

1 tan tan

（2）二倍角公式

sin2 α = 2cos αsin α .

cos2cos2sin 22cos 2 1 1 2sin 21tan 2.

1tan 2

sin2 1 cos2,cos 2 1 cos2

22

（3）辅助角公式（化一公式）

y a sin x b cosx a2b2sin( x)其中tan b a

4、正弦定理：在 C 中，a、 b 、c分别为角、、 C 的对边，R 为C

的外接圆的半径，则有

a b c

2R ．sin sin sin C

5、正弦定理的变形公式：

①化角为边： a2Rsin， b2Rsin， c2Rsin C ；

②化边为角： sin a， sin b， sin C c ；

2R2R2R

③ a : b : c sin:sin:sin C ；

④a b c a b c=2R

sin sin sin C sin sin sin C

6、两类正弦定理解三角形的问题：

①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.

②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.

7、三角形面积公式：

S C1 bc sin1 ab sin C1 ac sin．=2RsinAsinBsinC=abc

2

2224R = r (a b c) =p( p a)( p b)( p c) ( 海伦公式 )

2

8、余弦定理：在 C 中，

a2b2c22bc cos，b2a2c22ac cos ， c2a2b22ab cosC ．9、余弦定理的推论：

cos b2c2 a 2， cos a2c2b2， cosC a2b2c2．

2bc2ac2ab

10、余弦定理主要解决的问题：

①已知两边和夹角，求其余的量.

②已知三边求角

11、如何判断三角形的形状：判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转

化，统一成边的形式或角的形式 .

设 a 、b、 c 是 C 的角、、C的对边，则：

①若 a2b2c2，则 C 90 ；

②若 a2b2c2，则 C 90 ；

③若 a2b2c2，则 C 90 ．

12、三角形的五心：

垂心——三角形的三边上的高相交于一点

重心——三角形三条中线的相交于一点

外心——三角形三边垂直平分线相交于一点

内心——三角形三内角的平分线相交于一点

旁心——三角形的一内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

题型之一：求解基本元素

指已知两边一角 ( 或二角一边或三边 ) ，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线 ( 高线、角平分线、中线 ) 及周长等基本问题．

1. 在△ABC中，a 4 ， b 5 ， c6，则 sin 2 A．

sin C

2. 在ABC中，已

知

466

AC BD= 5

AB, cosB，边上中线，求．

36

题型之二：判断形状：

1.在 ABC 中，已知 2 sin A cosB sin C ，那么 ABC 一定是（）

A．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形

2．在△ ABC中， AB＝5，BC＝6，AC＝ 8，则△ ABC的形状是 () A．锐角三角形B．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．非钝角三角形

题型之三：解决与面积有关问题

主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．

1. 在ABC中sin A cos A

2

， AC 2 ， AB

3

，求 tan A 和ABC的面积 . 2

2. 已知△ ABC 的周长为 2 1，且 sin A sin B 2 sinC ．

（1）求边 AB 的长 .

1

（2）若△ ABC 的面积为sin C ，求角C的度数．

题型之四：求值问题

1.在 ABC 中，b2 c 2bc a 2, c1 3 ，求A和 tan B

b2

2．在锐角△ ABC 中，角，，所对的边分别为，，，已知

sin A

2 2

，

A B C a b c3

（1）求

tan2 B C

sin2

A

的值

.

（）若 a 2 ，△

ABC

2

，求 b 的值 . 222S

题型之五：求最值问题

1. 在△ ABC中，已知cosC (cos A 3 sin A) cos B0 .

(1)求角 B 的大小 .

(2)若 a c 1 ，求 b 的取值范围

2．△ABC在内角 A, B,C 的对边分别为 a, b, c , 已知a b cosC c sin B .