数学分析4.1函数连续性概念(习题)
数学分析4.1函数连续性概念(习题)
第四章 函数的连续性 1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续 (1)f(x)=1x ；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=1x 的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞) 当x,x 0∈D 时，有 1x −1x 0= x −x 0|x||x 0|由三角不等式可得：|x|≣|x 0|-|x-x 0|，∴ 1x −1x 0≢ x −x 0|x0|2−|x −x 0||X 0|对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有 x −x 0|x 0|2−|x −x 0||X 0|<δ|x 0|2−δ|X 0|∴要使 1x −1x 0<ε，只要使δ|x 0|2−δ|X 0|=ε，即当δ=εx 021+ε|X 0|>0时，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在其定义域内连续. (2)f(x)=|x|在R 上都有定义。
任取x, x 0∈R ，有||x|-|x 0||≢|x-x 0|. 对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有||x|-|x 0||<δ ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在R 连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=x +1x ；(2)f(x)=sinx|x|；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)； (6)f(x)= x, x 为有理数−x, x 为无理数；(7)f(x)= 1x+7, x <−7x, −7≤x ≤1 x −1 sin 1x −1, x >1.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点. (2)f(x)在x=0间断. ∵lim x →0+sinx|x|=lim x →0+sinx x=1，lim x →0−sinx|x|=lim x →0−sinx −x= -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=n π间断，(n=0,±1,±2,…)∵limx→nπ+[|cos x|]=0，limx→nπ−[|cos x|]=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点.(4)f(x)在x=0间断，∵limx→0+sgn |x|=1，limx→0−sgn |x|=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±π2间断，(k=0,±1,±2,…)∵limx→(2kπ+π2)+sgn(cosx)=-1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= 1；limx→(2kπ−π2)+sgn(cosx)= 1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= -1，∴x=2kπ±π2是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵limx→−7+f(x)=-7，limx→−7−f(x)不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又limx→1+f(x)=0，limx→1−f(x)=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=x3−8x−2；(2)f(x)=1−cos xx2；(3)f(x)=xcos1x.解：(1)∵f(x)=x 3−8x−2在x=2没有定义，且limx→2x3−8x−2=limx→2(x2+2x+4)=12；∴延拓函数得F(x)=x3−8x−2, x≠212, x=2在R上连续.(2)∵f(x)=1−cos xx2在x=0没有定义，且limx→01−cos xx2=limx→02sin x22x2=limx→0sin x222x22=12；∴延拓函数得F(x)=1−cos xx2, x≠012, x=0在R上连续.(3)∵f(x)=xcos1x 在x=0没有定义，且limx→0xcos1x=0；∴延拓函数得F(x)=xcos1x, x≠00, x=0在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≣||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<M2，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<εM.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≢|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<εM·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =x, x为有理数−x, x为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则limx→0f(x)=f(0)；limx→0g(x)=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴limx→0f(x)=limx→0g(x)，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。
江苏大数学分析-第四章 函数的连续性习题课
1．函数 f 在点 x0 有极限与函数 f 在点 x0 连续有什么区别与联系？
答：1）从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定 f 在U 0 (x0 ) 内有定义（ f 在点 x0 可
以没有定义）．而 f 在点 x0 连续则要求 f 在某U (x0 ) 内有定义（包括 x0 ）．
2）在极限中，要求 0 <| x - x0 |< d ，而当“ f 在点 x0 连续”时，由 于 x = x0 时，
lim
x®x0
f (x) ¹
f (x0 )
Û $e 0
> 0, "d
> 0, $x¢ÎU °(x0 ;d ) ，使得
f (x¢) - f ( x0 ) ³ e0 ．
例如狄利克雷函数
D(
x)
=
ì1,当x为有理数, íî0,当x为无理数,
"x0
Î
R,
lim
x®x0
D(x)
不存在．
因为："x0
，取 e 0
第四章 函数的连续性习题课
一 概念叙述
1．叙述 f 在在点 x0 连续的定义． f 在点 x0 连续 Û "e > 0, $d > 0 ，当| x - x0 |< d 时，有| f (x) - f (x0 ) |< e ．
2． 叙述 f 在 I 上一致连续的定义．
f 在 I 上一致连续 Û "e > 0, $d (e ) > 0 ， "x¢, x¢¢Î I ，只要 x¢ - x¢¢ < d ，就有
x0 = 0 点不连续．
2）设在点 x0 处， f ( x) 不连续， g ( x) 不连续 ， f ( x) + g ( x) ， f ( x).g ( x ) 在 x0 点
华东师大数学分析答案
第四章函数的连续性第一节 连续性概念1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）x x f 1)(=； （2）x x f =)(。
证：（1）xx f 1)(=的定义域为 ),0()0,(+∞-∞=D ，当D x x ∈0,时，有0011x x x x x x -=- 由三角不等式可得：00x x x x --≥ ， 故当00x x x <-时，有02011x x x x x x x x ---≤-对任意给的正数ε，取,01020>+=x x εεδ则0x <δ，当 D x ∈ 且δ<-0x x 时， 有 ε<-=-0011)()(x x x f x f 可见)(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知：)(x f 在其定义域内连续。
(2) x x f =)(的定义域为),,(+∞-∞对任何的),(0+∞-∞∈x ，由于 00x x x x -≤-，从而对任给正数ε，取εδ=，当δ<-0x x 时， 有 =-)()(0x f x f 00x x x x -≤-ε< 故)(x f 在0x 连续，由0x 的任意性知，)(x f 在),(+∞-∞连续。
2．指出函数的间断点及类型： （1）=)(x f x x 1+； （2）=)(x f xx sin ； （3）=)(x f ]cos [x ； （4）=)(x f x sgn ； （5）=)(x f )sgn(cos x ；（6）=)(x f ⎩⎨⎧-为无理数为有理数x x x x ,,；（7）=)(x f ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+x x x x x x x 1,11sin )1(17,7,71解： （1）)(x f 在0=x 间断，由于)1(lim xx x +∞→不存在，故0=x 是)(x f 的第二类间断点。
（2）)(x f 在0=x 间断，由于 1sin lim )(lim 00==++→→xxx f x x ， 1sin lim )(lim 00-=-=--→→xxx f x x 故0=x 是)(x f 的跳跃间断点。
《数学分析》第四章 函数的连续性
第四章 函数的连续性(计划课时：1 2 时)§1 函数的连续性( 2时 )一． 函数在一点的连续性：1． 连续的直观图解：由图解引出解析定义.2. 函数在一点连续的定义: 设函数)(x f 在点0x 某邻域有定义. 定义 (用).()(lim 00x f x f x x =→)定义 (“δε-”定义.)定义 (用0lim 0=∆→∆y x ) 先定义x ∆和.y ∆例1 函数12)(+=x x f 在点20=x 连续.例2 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin )(x x xx x f 在点00=x 连续. 例3 函数)()(x xD x f =在点00=x 连续.注: 若函数)(x f 在点0x 连续,则)()(lim 00x f x f x x =→,又因00l i mx x x x =→,从而)lim ()(lim 0x f x f x x x x →→=,即在)(x f 的连续点处极限符号与函数符号可交换运算的次序.3. 单侧连续: 定义单侧连续, 并图解.Th1 (单、双侧连续的关系)例4⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=.0 ,2,0,,0 ,2)(x x x A x x x f 讨论函数)(x f 在点00=x 的连续或单侧连续性. 二.间断点及其分类:图解介绍间断点的分类.跳跃间断点和可去间断点统称为第一类间断点, 其他情况(即)0(0+x f 或)0(0-x f 中至少有一个不存在)称为第二类间断点. 例5 讨论函数x x f sgn )(=的间断点类型.例6 延拓函数,sin )(xxx f = 使在点00=x 连续. 例7 讨论函数][)(x x f =的间断点类型.例8讨论函数xx f 1sin )(=的间断点类型.例9讨论Dirichlet 函数)(x D 和Riemann 函数)(x R 的连续性. 三．区间上的连续函数：开区间上连续， 闭区间上连续, 按段连续.Ex [1]P 73 1—5.§2 连续函数的性质一、连续函数的局部性质:叙述为Th 1—4.1. 局部有界性：2. 局部保号性：3. 四则运算性质：4. 复合函数连续性：Th 4 若函数f 在点0x 连续,函数g 在点0u 连续,且)(00x f u =,则复合函数f g 在点0x 连续. ( 证 )注:Th 4 可简写为 ()().)()lim ()(lim )(lim 0000x f g x f g x f g x f g x x x x x x =⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→→→例1求极限 ).1sin(lim 21x x -→例2求极限:⑴;sin 2lim 0x x x -→⑵.sin 2lim xxx -∞→例3 求极限 .)1ln(lim0xx x +→(x ln 的连续性见后).二、闭区间上连续函数的基本性质:1. 最值性:先定义最值. Th 5 ( 最值性 ) 系 ( 有界性 )2. 介值性: 定义介值. Th 6 ( 介值性 )连续函数的值域, 连续的单调函数的值域. 系 ( 零点定理 )例4 证明: 若,0>r n 为正整数,则存在唯一正数0x ,使得r x n=0(0x 称为r 的n 次正根(即算术根),记作n r x =0).例5 设f 在],[b a 上连续,满足],[]),([b a b a f ⊂,证明:],,[0b a x ∈∃使得00)(x x f =.二. 反函数的连续性:Th 7 若函数f 在],[b a 上严格递增( 或减 )且连续, 则其反函数1-f 在相应的定义域[])(),(b f a f (或[])(),(a f b f )上连续. ( 证 )关于函数αx x x y , , arcsin =等的连续性Ex [1]P 80—81 1—10四． 函数的整体连续性 —— 一致连续： 1． 连续定义中δ对0x 的依赖性 ：例6考查函数xx f 1)(=在区间] 1 , 0 (上的连续性.对], 1 , 0 (0∈∀x 作限制,12≤<x x 就有 . 22 11 20000000x x x x x x x xx x x x x -=-≤-=- 对0>∀ε , 取 }. 2, 2 min{020xx εδ=这里δ与0x 有关, 有时特记为),(0x εδ. 本例中不存在可在区间] 1 , 0 (上通用的δ, 即不存在最小的( 正数 )δ.例6考查函数xx f 1)(=在区间) , [∞+c )0(>c 上的连续性.本例中可取得最小的, 也就是可通用的 }. 2, 2 min{2cc εδ= 该δ却与0x 无关, 可 记为)(εδ.2. 一致连续性:定义 ( 一致连续 ) 顺便介绍一致连续与连续的关系.用定义验证一致连续的方法: 对0>∀ε, 确证)0(>δ存在. 为此, 从不失真地放大 式 )()( x f x f ''-'入手, 使在放大后的式子中, 除因子 x x ''-'之外, 其余部分中不含 有x '和x '', 然后使所得式子ε<, 从中解出.x x ''-'例8 验证函数 )0( )(≠+=a b ax x f 在) , (∞+∞-内一致连续.例9 验证函xx f 1sin )(=在区间 )10( ) 1 , (<<c c 内一致连续. 证 ,c o s 2s i n 2 1s i n 1s i n 22121212121212121c x x x x x x x x x x x x x x x x -≤-≤+-=-例10 若函数)(x f 在有限区间),(b a 内一致连续, 则)(x f 在),(b a 内有界.3. 一致连续的否定: 否定定义.例11 证明函数xx f 1)(=在区间) 1 , 0( 内非一致连续. 证法一 ( 用一致连续的否定定义验证 ) 取),1( ,10<∀=δε 取}, 21, min{δ='x 与,2x x '='' 便有 .22δδ<≤'=''-'x x x 但 .12121 11 0ε=>≥'=''-'=''-'x x x x x 证法二 ( 用例10的结果 ).4. Lipschitz 连续与一致连续: 定义Lipschitz 连续.例12 函数)(x f 在区间I 上-L 连续, )( x f ⇒在I 上一致连续. ( 证 )但函数)(x f 在区间I 上一致连续时, 未必有)(x f 在I 上-L 连续. 例如: 函数x x f =)(在区间) 1 , 0 (内一致连续.(为证明x 在区间) 1 , 0 (内一致连续, 先证明不等式: ,0, 21≥∀x x 有不等式 . 2212121x x x x x x -≤-+ 事实上,21x x ≥时, ,222122212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+同理, 21x x ≤时, 有.221211212121x x x x x x x x x x -=-+≤-+利用该不等式, 为使=-221 )()( x f x f ,222121ε<-+x x x x 只要 .221ε<-x x )却不是-L 连续. 事实上, 倘存在L >0, 使对 ), 1 , 0 (, 21∈∀x x 有, )()( 212121x x L x x x f x f -≤-=-则当21x x ≠时，应成立.121L x x ≤+但若取,4 ,12221nx n x ==就有 ). ( ,3121∞→∞→=+n nx x 矛盾. 5. 一致连续的判定:Th 8 ( Cantor ) 若函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续, )( x f ⇒在],[b a 上一致连续. 例13 见[1]P80例10.Ex [1]P 102 8，9，10.§3 初等函数的连续性回顾基本初等函数中, 已证明了连续性的几个函数. 指数函数和对数函数的连续性. ( 证 )一. 初等函数的连续性:Th1 一切基本初等函数都在其定义域上连续. Th2 任何初等函数在其有定义的区间上是连续的.註: 初等函数的连续区间和间断点: 初等函数的间断点是其连续区间的开端点. 闭端点是其单侧连续点. 例1求函数2ln 1)(-+=x x x f 的连续区间和间断点.解). , 3 () 3 , 2 () 2 , 1 () 1 , 1[∞+⋃⋃⋃-=f D∴)(x f 的连续区间为: ) 1 , 1[-、) 2 , 1 (、) 3 , 2 (和) , 3 (∞+. 间断点为: 2 , 1=x 和3. ()( x f 在点1-=x 右连续 ).二. 利用函数的连续性求极限: 例2.cos )1ln(lim20xx x +→例3.1111lim 0⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--++→x x x x x (作倒代换) .1x t = 例4().1lim sec 0xctgxx tgx +→ 解I = ()().)1(lim )1(lim 1sec lim 0sec 0e e tgx tgx xctgxx xctgx x x ==+=+→→→例5().sin 1sinlim x x x -++∞→解=-+x x sin 1sin .21cos 21sin2xx x x ++-+,021lim sin 21sin lim ,121cos=-+=-+≤++∞→+∞→xx x x x x x x∴I = .0Ex [1]P 84 1，2；。
函数连续性判定方法例题和知识点总结
函数连续性判定方法例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性是一个重要的概念。
它不仅在理论研究中具有重要地位，而且在实际问题的解决中也有着广泛的应用。
本文将通过一些例题来详细讲解函数连续性的判定方法，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某个邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄如果函数在区间内的每一点都连续，就称函数在该区间上连续。
二、函数连续性的判定方法1、利用定义判定直接根据连续性的定义，计算函数在某点的极限是否等于该点的函数值。
例 1：判断函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1} x^2 ＝ 1^2 ＝ 1$，而＄f(1) ＝ 1^2 ＝ 1$，因为＄＼lim_{x ＼to 1} f(x) ＝ f(1)＄，所以函数＄f(x) ＝ x^2$ 在＄x ＝ 1$ 处连续。
2、左右极限相等且等于该点函数值如果函数在某点的左极限和右极限都存在且相等，并且等于该点的函数值，则函数在该点连续。
例 2：判断函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 1 ＼＼ 3, ＆x ＝ 1 ＼＼ x 1, ＆ x ＞ 1 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 1$ 处的连续性。
解：左极限＄＼lim_{x ＼to 1^｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^｝（x ＋1) ＝ 2$，右极限＄＼lim_{x ＼to 1^＋｝ f(x) ＝＼lim_{x ＼to 1^＋｝（x 1) ＝ 0$，因为左极限和右极限不相等，所以函数＄f(x)＄在＄x＝ 1$ 处不连续。
数学分析 函数的连续性(课堂PPT)
y
o
2
x0
x
o x0
x
y
o
x
12
二、函数的间断点
连续
[1] f (x)在x0有定义；
定义3 间断
若函数 f ( x)满足三个条件之一 : (1) f ( x)在点x0处无定义;
[2] lim f (x)存在； x x0
[3] lim x x0
f
(x)
f
( x0）.
(2) lim f ( x)不;
2、 指出
y
x2 x x ( x 2 1)
在
x0
是第________类间
断点；在 x 1 是第______类间断点；在 x 1
是第_____类间断点 .
二、
研究函数
f
(
x
)
x, 1,
x x
1的连续性，并画出函数 1
的图形 .
2
29
三、 指出下列函数在指定范围内的间断点，并说明这些
间断点的类型，如果是可去间断点，则补充或改变函
(x) f
0)
(
f
x0 )
( x0
),
则称f ( x)在点x0处右连续.
定理 函数 f ( x)在 x0 处连续 是函数 f ( x)在 x0
处既左连续又右连续 .
2
7
lim f (x) A lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
函数 f ( x)在 x0 处连续
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
函数连续性与间断点例题和知识点总结
函数连续性与间断点例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。
理解函数的连续性和间断点对于解决许多数学问题都有着至关重要的作用。
下面我们将通过一些例题来深入探讨这一概念，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义如果函数$f(x)＄在点$x_0$的某个邻域内有定义，并且当$x$趋近于$x_0$时，函数$f(x)＄的极限等于函数在$x_0$处的函数值，即$＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄，那么我们就说函数$f(x)＄在点$x_0$处连续。
通俗地说，函数在某一点连续，意味着在这一点附近，函数的图像没有“断裂”。
二、函数间断点的定义如果函数$f(x)＄在点$x_0$处不满足连续的条件，那么我们就称点$x_0$为函数$f(x)＄的间断点。
间断点可以分为以下几种类型：1、可去间断点：函数在该点的极限存在，但函数在该点无定义，或者函数在该点的函数值与极限值不相等。
例如，函数$f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄，在$x ＝ 1$处无定义，但$＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝＼lim_{x ＼to 1} （x ＋ 1)＝ 2$，所以$x ＝ 1$是可去间断点。
2、跳跃间断点：函数在该点的左极限和右极限都存在，但不相等。
比如，函数$f(x) ＝＼begin{cases} 1, ＆ x ＜ 0 ＼＼ 2, ＆ x ＼geq 0＼end{cases}＄，在$x ＝ 0$处，左极限为$1$，右极限为$2$，左右极限不相等，所以$x ＝ 0$是跳跃间断点。
3、无穷间断点：函数在该点的极限为无穷大。
例如，函数$f(x) ＝＼frac{1}｛x}＄，在$x ＝ 0$处的极限为无穷大，所以$x ＝ 0$是无穷间断点。
4、振荡间断点：函数在该点的极限不存在，且函数值在某个区间内来回振荡。
比如，函数$f(x) ＝＼sin ＼frac{1}｛x}＄，在$x ＝ 0$处，极限不存在，函数值在$－1$和$1$之间来回振荡，所以$x ＝0$是振荡间断点。
数学分析习题课讲义解答
5.6 第一组参考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5.7 第二组参考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3 实数系的基本定理
23
3.1 确界的概念与确界存在原理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2 闭区间套定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7.4 第二组参考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
8 微分学的应用
41
9 不定积分
42
10 定积分
43
11 积分学的应用
44
12 广义积分
45
12.1 第二组参考题 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2 零点存在定理与介值定理 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
函数的连续性问题(讲解)
函数的连续性问题(讲解)连续性是函数学中一个十分重要的概念，它涉及到极限、导数等多个知识点的运用。
本文将结合数学公式和图形，讲解函数连续性的相关问题。
什么是函数的连续性函数的连续性是指当自变量取一个接近某一值时，函数值也随之接近一个确定的值，换言之，函数在该点附近的图像不会出现突变。
换一种说法，如果一个函数在某个点的左侧、右侧和该点处的值都存在并相等，那么这个函数就是在该点的连续的。
函数的间断点具体来说，如果一个函数在某个点的值不存在，或者存在但和左右两侧的值不相等，那么这个点就是函数的间断点。
常见的间断点有可去间断点和跳跃间断点。
可去间断点是指，在函数的某个点上左极限、右极限存在，并且相等，但是函数本身在该点的值会“跳跃”，例如$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$在$x=0$处的函数值即为可去间断点。
跳跃间断点是指，在函数的某个点上左极限和右极限都存在，但是值不相等，例如$f(x)=[x]$在整数处的函数值即为跳跃间断点。
连续函数与间断函数函数有时可以用连续函数和间断函数的形式表示。
如果一个函数在定义域内的所有点处都是连续的，那么这个函数就是连续函数。
反之，如果一个函数在定义域内至少有一个点是不连续的，那么这个函数就是间断函数。
应用举例举个例子，我们可以来看一下函数$f(x)=\frac{\sin(x)}{x}$的连续性。
首先，我们可以求这个函数在$x=0$处的极限。
因为$\lim_{x\to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1$，所以$f(0)$的定义为$1$。
由于$f(x)$在$x=0$处的极限存在并且等于$f(0)$，因此$f(x)$是在$x=0$处连续的。
再举个例子，我们可以来看一下函数$g(x)=\frac{1}{x}$在$x=0$处的连续性。
因为$\lim_{x\to 0} \frac{1}{x}$不存在，因此$g(x)$在$x=0$处不连续。
总结本文简单讲解了函数的连续性问题，包括连续性的具体定义、间断点的分类、连续函数和间断函数的区别，以及应用举例。
函数的连续性知识点及例题解析
函数的连续性知识点及例题解析1. 函数的连续性概念在数学中，函数的连续性指的是当自变量的值变化时，函数值的变化趋势和自变量的变化趋势相一致。
如果在某个区间内，函数在该区间的任意一点都存在极限，并且极限与该点的函数值相等，则称该函数在该区间内连续。
2. 函数的连续性条件函数f(x)在点x=a处连续的条件是：- 函数在点x=a处存在- 函数在点x=a处的左极限等于右极限- 函数在点x=a处的极限与函数在该点的函数值相等3. 函数的连续性的判定方法3.1 图像法：通过观察函数的图像来确定函数是否连续。
如果函数的图像没有跳跃、断裂或间断现象，那么该函数在相应区间内是连续的。
3.2 极限法：通过计算函数的极限来判定函数是否连续。
如果函数在某个点的极限存在并与函数在该点的函数值相等，则该函数在该点连续。
4. 函数的连续性例题解析例题1：考虑函数：\[ f(x) = \begin{cases} x+1, & \text{if } x \leq 0 \\ x-1, & \text{if } x > 0 \end{cases} \]问：函数f(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0^-}f(x) = 0+1 = 1\)和\(\lim_{x\to0^+}f(x) = 0-1 = -1\)。
由于左极限和右极限不相等，所以函数在x=0处不连续。
例题2：考虑函数：\[ g(x) = \begin{cases} \sin(x), & \text{if } x \neq 0 \\ 1, & \text{if } x = 0 \end{cases} \]问：函数g(x)在点x=0是否连续？解析：根据函数的定义可知，函数在x=0处存在极限，即\(\lim_{x\to0}g(x) = \lim_{x\to0}\sin(x) = \sin(0) = 0\)。
函数连续性与间断点例题和知识点总结
函数连续性与间断点例题和知识点总结在数学分析中，函数的连续性与间断点是一个非常重要的概念。
理解它们对于解决各种数学问题，特别是涉及到函数的性质和极限的问题，具有关键作用。
下面我们将通过一些例题来深入探讨函数的连续性与间断点，并对相关知识点进行总结。
一、函数连续性的定义设函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量＄＼Delta x$ 趋近于零时，函数对应的增量＄＼Delta y ＝ f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0)＄也趋近于零，那么就称函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处连续。
用数学语言表示为：＄＼lim_{＼Delta x ＼to 0} ＼Delta y ＝＼lim_{＼Delta x ＼to 0}f(x_0 ＋＼Delta x) f(x_0) ＝ 0$或者＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄二、函数连续性的条件1、函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处有定义。
2、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x)＄存在。
3、＄＼lim_{x ＼to x_0} f(x) ＝ f(x_0)＄三、间断点的定义如果函数＄f(x)＄在点＄x_0$ 处不满足上述连续性的条件，那么就称点＄x_0$ 为函数＄f(x)＄的间断点。
四、间断点的类型1、可去间断点函数在该点处的左极限、右极限都存在且相等，但不等于该点的函数值，或者函数在该点无定义。
例如，函数＄f(x) ＝＼frac{x^2 1}｛x 1}＄在＄x ＝ 1$ 处无定义，但＄＼lim_{x ＼to 1} ＼frac{x^2 1}｛x 1} ＝ 2$ ，所以＄x ＝ 1$ 是可去间断点。
2、跳跃间断点函数在该点处的左极限、右极限都存在，但不相等。
比如，函数＄f(x) ＝＼begin{cases} x ＋ 1, ＆ x ＜ 0 ＼＼ x 1, ＆ x＼geq 0 ＼end{cases}＄在＄x ＝ 0$ 处，左极限为＄1$ ，右极限为＄－1$ ，所以＄x ＝ 0$ 是跳跃间断点。
函数的连续性的例题与习题
函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。
还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例（例（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。
证明：()f x 在任意点x 处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。
其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。
你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。
在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。
（#）对于固定的x （任意的！），若取y x =∆，有()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆， （+）在（+）式两边取0x ∆→的极限，那么lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ∆→∆→∆→∆=+∆-=∆ ， （&）由已知条件：()f x 在0x =连续，所以0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=，代入（#）的结果，就有lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ∆→∆→+∆=∆==，但从（&）知，0lim lim ()x x y f x ∆→∆→∆=∆，所以lim 0x y ∆→∆=。
数学分析第四章函数的连续性
数学分析第四章函数的连续性第四章函数的连续性§1 连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.从几何形象上粗略地说, 连续函数在坐标平面上的图象是一条连绵不断的曲线.当然我们不能满足于这种直观的认识, 而应给出函数连续性的精确定义, 并由此出发研究连续函数的性质.本节中先定义函数在一点的连续性和在区间上的连续性.一函数在一点的连续性定义1 设函数f 在某U( x0 ) 内有定义.若lim x → x f ( x ) = f ( x0 ) , ( 1)则称f 在点x0 连续.例如, 函数 f ( x ) = 2 x + 1 在点x = 2 连续, 因为又如,函数limx →2f ( x) = limx →2( 2 x + 1 ) = 5 = f (2 ) .f ( x) =x sin1x, x ≠ 0 ,0 , x = 0在点x = 0 连续, 因为lim x →0 f ( x) = limx →0x sin1x= 0 = f ( 0) .为引入函数y = f ( x ) 在点x0 连续的另一种表述, 记Δx = x - x0 , 称为自变量x( 在点x0 ) 的增量或改变量.设y0 = f ( x0 ) , 相应的函数y ( 在点x0 ) 的增量记为Δy = f ( x ) - f ( x0 ) = f ( x0 + Δx) - f ( x0 ) = y - y0 .注自变量的增量Δx 或函数的增量Δy 可以是正数, 也可以是0 或负数.引进了增量的概念之后, 易见“函数y = f ( x ) 在点x0 连续”等价于lim Δy = 0 .Δx →070第四章函数的连续性由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的 , 因而也可直接用ε- δ方式来叙述 , 即 : 若对任给的ε> 0 , 存在δ> 0 , 使得当 | x - x 0 | < δ时有| f ( x) - f ( x 0 ) | < ε,( 2)则称函数 f 在点 x 0 连续 .由上述定义 , 我们可得出函数 f 在点 x 0 有极限与 f 在 x 0 连续这两个概念之间的联系 .首先 , f 在点 x 0 有极限是 f 在 x 0 连续的必要条件 ; 进一步说“, f 在点 x 0 连续”不仅要求 f 在点 x 0 有极限 , 而且其极限值应等于 f 在 x 0 的函数值 f ( x 0 ) .其次 , 在讨论极限时 , 我们假定 f 在点 x 0 的某空心邻域U °( x 0 ) 内有定义 ( f 在点 x 0 可以没有定义 ) , 而“ f 在点 x 0 连续”则要求 f 在某 U( x 0 ) 内 ( 包括点 x 0 ) 有定义 , 此时由于 (2 ) 式当 x = x 0 时总是成立的 , 所以在极限定义中的“0 < | x - x 0 | < δ”换成了在连续定义中的“ | x - x 0 | < δ”.最后 , (1 ) 式又可表示为lim x → xf ( x) = f lim x ,x → x可见“ f 在点 x 0 连续”意味着极限运算lim x → x与对应法则 f 的可交换性 .例 1 证明函数 f ( x ) = x D( x ) 在点 x = 0 连续 , 其中 D ( x ) 为狄利克雷函数 .证由 f (0 ) = 0 及| D( x ) | ≤ 1 , 对任给的ε> 0 , 为使| f ( x ) - f ( 0) | = | xD( x ) | ≤ | x | < ε, 只要取δ= ε, 即可按ε- δ定义推得 f 在 x = 0 连续. □相应于 f 在点 x 0 的左、右极限的概念 , 我们给出左、右连续的定义如下 : 定义 2 设函数 f 在某 U + ( x 0 ) ( U - ( x 0 ) ) 内有定义 .若lim x → x +f ( x) = f ( x 0 ) lim -x → xf ( x) = f ( x 0 ) , 则称 f 在点 x 0 右 ( 左 ) 连续 .根据上述定义 1 与定义 2 , 不难推出如下定理 .定理 4.1 函数 f 在点 x 0 连续的充要条件是 : f 在点 x 0 既是右连续 , 又是左连续 .例 2 讨论函数在点 x = 0 的连续性 .解因为f ( x ) =x + 2 , x ≥ 0 , x - 2 , x < 0lim x → 0 +lim x → 0 -f ( x ) = lim x → 0 + f ( x) = lim x → 0 -( x + 2 ) = 2 ,( x - 2) = - 2 , 而 f (0 ) = 2 , 所以 f 在点 x = 0 右连续 , 但不左连续 , 从而它在 x = 0 不连续 ( 见●§1 连续性概念 71图 4 - 1 ) .□二间断点及其分类定义 3 设函数 f 在某U °( x 0 ) 内有定义 .若 f 在点 x 0 无定义 , 或 f 在点 x 0 有定义而不连续 , 则称点 x 0 为函数 f 的间断点或不连续点 .按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论 , 若 x 0 为函数 f 的间断点 , 则必出现下列情形之一:图 4 - 1( i ) f 在点 x 0 无定义或极限l im x → xf ( x ) 不存在 ; 0 ( ii ) f 在点 x 0 有定义且极限lim x → xf ( x ) 存在① , 但lim x → xf ( x) ≠ f ( x 0 ) .据此 , 我们对函数的间断点作如下分类 : 1. 可去间断点若lim x → xf ( x ) = A ,而 f 在点 x 0 无定义 , 或有定义但f ( x 0 ) ≠ A , 则称 x 0 为 f 的可去间断点 .例如 , 对于函数 f ( x ) = | sgn x | , 因 f ( 0) = 0 , 而lim x → 0f ( x) = 1 ≠ f (0 ) ,故 x = 0 为 f ( x ) = | sgn x | 的可去间断点 . 又如函数 g ( x ) =sin x, 由于 xlim x → 0g ( x ) = 1 , 而 g 在 x = 0 无定义 , 所以 x = 0 是函数 g 的可去间断点 .设 x 0 为函数 f 的可去间断点 , 且lim x → xf ( x ) = A .我们按如下方法定义一个 0函数 f ^: 当x ≠ x 0 时 , f ^( x ) = f ( x) ; 当 x = x 0 时 , f ^( x 0 ) = A .易见 , 对于函数f ^, x 0 是它的连续点 .例如 , 对上述的 g( x) = sin x , 我们定义x则 g^在 x = 0 连续 .g ^( x ) = sin x x, x ≠ 0 , 1 , x = 0 ,2. 跳跃间断点若函数 f 在点 x 0 的左、右极限都存在 , 但lim x → x +f ( x) ≠ lim x → x -f ( x) , 则称点 x 0 为函数 f 的跳跃间断点 .例如 , 对函数 f ( x ) = [ x ] ( 图 1 - 8) , 当 x = n ( n 为整数 ) 时有①这里所说的极限存在是指存在有限极限 , 即不包括非正常极限 .72第四章函数的连续性lim x → n -[ x] = n - 1 , lim x → n +[ x] = n , 所以在整数点上函数 f 的左、右极限不相等 , 从而整数点都是函数 f ( x ) = [ x ] 的跳跃间断点 .又如符号函数 s gn x 在点 x = 0 处的左、右极限分别为 - 1 和 1 , 故 x = 0 是 sgn x 的跳跃间断点 ( 图 1 - 3) .可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点 .第一类间断点的特点是函数在该点处的左、右极限都存在 .3. 函数的所有其他形式的间断点 , 即使得函数至少有一侧极限不存在的那些点 , 称为第二类间断点 .例如 , 函数 y = 1 当x → 0 时不存在有限的极限 , 故 x = 0 是 y =1的第二类x x 间断点 .函数 s in 1 在点 x = 0 处左、右极限都不存在 , 故 x = 0 是 s in 1的第二类x x间断点 .又如 , 对于狄利克雷函数 D( x ) , 其定义域 R 上每一点 x 都是第二类间断点 .三区间上的连续函数若函数 f 在区间 I 上的每一点都连续 , 则称 f 为 I 上的连续函数 .对于闭区间或半开半闭区间的端点, 函数在这些点上连续是指左连续或右连续 .例如 , 函数 y = c, y = x , y = sin x 和 y = cos x 都是 R 上的连续函数 .又如函数 y =1 - x 2在 ( - 1 , 1 ) 每一点处都连续 , 在 x = 1 为左连续 , 在 x = - 1 为右连续 , 因而它在 [ - 1 , 1] 上连续 .若函数 f 在区间 [ a , b] 上仅有有限个第一类间断点 , 则称 f 在[ a, b] 上分段连续 .例如 , 函数 y = [ x ] 和 y = x - [ x] 在区间 [ - 3 , 3 ] 上是分段连续的 .在§3 中我们将证明任何初等函数在其定义区间上为连续函数 .同时 , 也存在着在其定义区间上每一点处都不连续的函数 , 如前面已提到的狄利克雷函数 .例 3 证明 : 黎曼函数R ( x) =1 , 当 x = p q qp 、q 为正整数 , p 6q / 为既约真分数 , 0 , 当 x = 0 , 1 及 (0 , 1 ) 内无理数在 (0 , 1 ) 内任何无理点处都连续 , 任何有理点处都不连续 .证设ξ∈ ( 0 , 1) 为无理数 .任给ε> 0 不妨设ε< 12, 满足1 ≥ε的正整q数 q 显然只有有限个 ( 但至少有一个 , 如 q = 2) , 从而使R( x ) ≥ε的有理数x ∈(0 , 1 ) 只有有限个至少有一个 , 如 12, 设为 x 1 , , x n .取δ = min | x 1 - ξ| , , | x n - ξ| ,ξ, 1 - ξ ,3 §1 连续性概念73则对任何x ∈ U(ξ;δ) ( ì ( 0 , 1) ) , 当 x 为有理数时有R( x ) < ε, 当 x 为无理数时 R ( x ) = 0 .于是 , 对任何x ∈ U(ξ;δ) , 总有R ( x) - R(ξ) = R ( x ) < ε .这就证明了 R ( x ) 在无理点ξ处连续 .现设 p 为 (0 , 1 ) 内任一有理数 .取ε0 =1 , 对任何正数δ( 无论多么小 ) , 在 q2 q Up q;δ 内总可取到无理数x ( ∈ ( 0 , 1) ) , 使得 R( x ) - R pq = 1 q > ε0 . 所以 R ( x ) 在任何有理点处都不连续 .□习题1. 按定义证明下列函数在其定义域内连续 :( 1) f ( x ) = 1; ( 2) f ( x ) = | x | .x2. 指出下列函数的间断点并说明其类型 :( 1) f ( x ) = x + 1 ; ( 2) f ( x) = sin x;x | x |( 3) f ( x ) = [ | cos x | ] ; (4) f ( x) = sgn | x | ;( 5) f ( x ) = sgn ( cos x ) ;x , x 为有理数 ,( 6) f ( x ) =( 7) f ( x ) = - x , x 为无理数 ; 1x + 7, - ∞ < x < - 7 , x , - 7≤ x ≤1( x - 1 )sin 1, 1 < x < + ∞ .x - 13. 延拓下列函数 , 使其在 R 上连续 :( 1) f ( x ) = x - 8 ; ( 2) f ( x) = 1 - cos x;x - 2 x 2( 3) f ( x ) = x cos 1.x2 24. 证明: 若 f 在点 x 0 连续 , 则 | f | 与 f 也在点 x 0 连续 .又问 : 若 | f | 或 f 那么 f 在 I 上是否必连续 ?在 I 上连续 , 5. 设当x ≠0 时f ( x) ≡ g( x ) , 而f ( 0) ≠ g (0 ) .证明 : f 与 g 两者中至多有一个在 x = 0 连续 .6. 设 f 为区间 I 上的单调函数 .证明: 若x 0 ∈ I 为 f 的间断点 , 则x 0 必是 f 的第一类间断点 .n n - 174第四章函数的连续性7. 设函数 f 只有可去间断点 , 定义g( x ) = lim y → xf ( y) .证明 g 为连续函数 .8. 设 f 为 R 上的单调函数 , 定义g( x) = f ( x + 0 ) .证明 g 在 R 上每一点都右连续 .9. 举出定义在 [0 , 1 ]上分别符合下述要求的函数 :( 1) 只在 1 , 1 和 1三点不连续的函数 ;2 3 4 ( 2) 只在 1 , 1 和 1三点连续的函数 ;2 3 4 ( 3) 只在 1( n = 1 , 2 , 3 , )上间断的函数 ;n( 4) 只在 x = 0 右连续 , 而在其他点都不连续的函数 .§2 连续函数的性质一连续函数的局部性质若函数 f 在点 x 0 连续 , 则 f 在点 x 0 有极限 , 且极限值等于函数值 f ( x 0 ) . 从而 , 根据函数极限的性质能推断出函数 f 在 U ( x 0 ) 的性态 .定理 4.2 ( 局部有界性 ) 若函数 f 在点 x 0 连续 , 则 f 在某 U( x 0 ) 内有界 . 定理 4 .3 ( 局部保号性 ) 若函数 f 在点 x 0 连续 , 且 f ( x 0 ) > 0 ( 或 < 0 ) , 则对任何正数 r < f ( x 0 ) ( 或 r < - f ( x 0 ) ) , 存在某U ( x 0 ) , 使得对一切x ∈ U( x 0 ) 有f ( x) > r ( 或 f ( x ) < - r) .注在具体应用局部保号性时 , 常取 r = 12f ( x 0 ) , 则 ( 当 f ( x 0 ) > 0 时 ) 存在某 U( x 0 ) , 使在其内有 f ( x) > 12f ( x 0 ) .定理 4 .4 ( 四则运算 ) 若函数 f 和 g 在点 x 0 连续 , 则f ± g , f ·g,6f g( x 0 ) ≠ 0) 也都在点 x 0 连续 .以上三个定理的证明 , 都可从函数极限的有关定理直接推得 .g /( 这里对常量函数 y = c 和函数 y = x 反复应用定理 4.4 , 能推出多项式函数P( x) = a 0 x + a 1 x + + a n - 1 x + a n和有理函数 R ( x ) = P( x)Q( x)( P , Q 为多项式 ) 在其定义域的每一点都是连续的 .同样 , 由 sin x 和 cos x 在 R 上的连续性 , 可推出 tan x 与 cot x 在其定义域的每0 §2 连续函数的性质75一点都连续 .关于复合函数的连续性 , 有如下定理 : 定理 4.5 若函数 f 在点 x 0 连续 , g 在点 u 0 连续 , u 0 = f ( x 0 ) , 则复合函数 g f 在点 x 0 连续 .证由于 g 在 u 0 连续 , 对任给的ε> 0, 存在δ1 > 0 , 使得当| u - u 0 | < δ1 时有| g( u) - g( u 0 ) | < ε . ( 1) 又由 u 0 = f ( x 0 ) 及 u = f ( x ) 在点x 0 连续 , 故对上述δ1 > 0 , 存在δ> 0 , 使得当 | x - x 0 | < δ时有 | u - u 0 | = | f ( x ) - f ( x 0 ) | < δ1 .联系 ( 1 ) 得 : 对任给的ε> 0 , 存在δ> 0 , 当 | x - x 0 | < δ时有| g ( f ( x ) ) - g( f ( x 0 ) ) | < ε . 这就证明了 g f 在点 x 0 连续 .□ 注根据连续性的定义 , 上述定理的结论可表为lim x → xg( f ( x) ) = g lim x → xf ( x ) = g( f ( x 0 ) ) .( 2)例 1 求lim sin (1 - x 2) .解 sin ( 1 - x 2 ) 可看作函数 g( u) = sin u 与 f ( x ) = 1 - x 2的复合 .由 ( 2) 式得lim sin ( 1 - x 2 ) = sin lim(1 - x 2) = sin 0 = 0 .□x → 1x → 1注若复合函数 g f 的内函数 f 当x → x 0 时极限为 a , 而a ≠ f ( x 0 ) 或 f 在 x 0 无定义 ( 即 x 0 为 f 的可去间断点 ) , 又外函数 g 在u = a 连续 , 则我们仍可用上述定理来求复合函数的极限 , 即有lim x → xg( f ( x ) ) = g lim x → xf ( x) .( 3)读者还可证明 : ( 3 ) 式不仅对于x → x 0 这种类型的极限成立 , 而且对于x → + ∞ , x → - ∞或x → x ±等类型的极限也是成立的 .例 2 求极限 :(1 ) lim2 - sin x; (2 ) lim2 - sin x .x → 0解 (1 ) limx → 0 x 2 - sin x x x → ∞= 2 - lim x → 0 xsin x = 2 - 1 = 1; x(2 ) lim 2 -= 2 - lim sin x = 2 - 0 = 2 . □x → ∞ x x → ∞ x二闭区间上连续函数的基本性质设 f 为闭区间 [ a , b] 上的连续函数 , 本段中我们讨论 f 在 [ a , b] 上的整体性质 .。
函数的连续性的例题和习题[一]
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函数的连续性的例题与习题函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目，大致有3大类。
第一类是计算或证明连续性；第二类是对间断点（或区间）的判断，包括间断点的类型；第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质（最值性质，零点存在性质），进行理论分析。
下面就这三大类问题，提供若干例题和习题。
还是那句老话：看到题目不要看解答，而是先思考先试着做！这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是，例题里有不少是《函数连续性（一）（二）》中没有给出解答的例题，你事先独立做了吗？如果没有做，是不会做好是根本不想做，还是没有时间？一．函数的连续例1.1（例1.20（一），这个序号值的是《函数连续性（一）中的例题号，请对照）设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+，且()f x 在0x =连续。
证明：()f x 在任意点x 处连续。
分析：证明题是我们很多同学的软肋，不知道从何下手。
其实，如果你的基本概念比较清晰，证明题要比计算题号做，因为它有明确的方向，不像计算题，不知道正确的答案是什么在本题里，要证的是“()f x 在任意点x 处连续”，那么我们就先固定一个点x ，用函数连续的定义来证明在x 处连续。
你可能要问：函数连续的定义有好几个，用哪一个? 这要看已知条件，哪个容易用，就用那一个。
在本题中，提供了条件()()()f x y f x f y +=+，也就是()()()f x y f x f y +-=，你的脑海里就要想到，如果设y x =∆，那么就有 ()()()y f x x f x f x ∆=+∆-=∆；这个时候，你应该立即“闪过”，要用题目给的第二个条件了：()f x 在0x =连续！它意味着：0lim (0)(0)x f x f ∆→+∆=。
证明的思路就此产生！证明：因为 ()()()f x y f x f y +=+，取0y =，则有 ()()(0)f x f x f =+，所以(0)0f =。
数学分析4.1函数连续性概念(讲义)
第四章函数的连续性1 连续性概念一、函数在一点的连续性定义1：设函数f在U(x0)内有定义. 若=f(x0)，则称f在点x0连续.如：∵==5=f(2)，∴f(x)=2x+1在点x=2连续.对函数f(x)=有==0=f(0)，∴f(x)在点x=0连续.记△x=x-x0，称为自变量x(在点x0)的增量或改变量.设y0=f(x0)，相应的函数y(在点x0)的增量记为：△y=f(x)-f(x0)=f(x0+△x)-f(x0)=y-y0. 当=0时，函数y=f(x)在点x0连续。
若对任给的ε>0，存在δ>0，使得当|x-x0|<δ时有|f(x)-f(x0)|<ε，则称函数f在点x0连续。
f在x0连续时，=f(x)，即与f具有可交换性.例1：证明函数f(x)=xD(x)在点x=0连续，其中D(x)为狄利克雷函数.证：由f(0)=0，且|D(x)|≤1，对∀ε>0，要使|f(x)-f(0)|=|xD(x)|≤|x|<ε，只要取δ=ε，则当|x-0|<δ时，就有|f(x)-f(0)| <ε，∴f在点x=0连续.定义2：设函数f在U+(x0)(或U-(x0))内有定义. 若=f(x0)(或=f(x0))，则称f在点x0右(或左)连续.定理4.1：函数f在x0连续的充要条件是：f在点x0既是右连续，又是左连续.例2：讨论函数f(x)=在点x=0的连续性.解：∵==2=f(0)，== -2≠f(0)，即函数f(x)在点x=0是右连续，不是左连续，∴f(x)在点x=0不连续.二、间断点及其分类定义3：设函数f在某U⁰(x0)内有定义. 若f在点x0无定义，或f在点x0有定义不连续，则称点x0为函数f的间断点或不连续点。
即以下情形之一：(1)f在点x0无定义或极限不存在；(2)f在点x0有定义且极限存在，但≠f(x0).1、若=A，而f在点x0无定义，或有定义但f(x0)≠A，则称点x0为f的可去间断点.如：对于函数f(x)=|sgn x|，因f(0)=0，而=1≠f(0)，∴x=0为f(x)=|sgn x|的可去间断点.对于函数g(x)=，因=1，而g在x=0无定义，∴x=0为函数g的可去间断点.设x0为函数f的可去间断点，且=A. 可定义函数：当x≠x0时，(x)=f(x)；当x=x0时，(x0)=A. 则x0是的连续点.如，对g(x)=，可定义(x)=, 则在x=0连续.2、若函数f在点x0的左右极限存在，但≠，则称点x0为f 的跳跃间断点.如：对于函数f(x)=[x]，当x=n(n为整数)时，有=n-1≠=n，∴整数点都是函数f(x)=[x]的跳跃间断点.对于函数sgn x在点x=0处的左、右极限分别为-1和1，∴x=0是sgn x的跳跃间断点.可去间断点和跳跃间断点统称为第一类间断点. 其特点是函数在该点处的左、右极限都存在.3、至少有一侧极限不存在的点，称为第二类间断点。
数学分析4.1函数连续性概念(习题)
第四章函数的连续性1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续(1)f(x)=；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞)当x,x0∈D时，有=由三角不等式可得：|x|≥|x0|-|x-x0|，∴≤对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有<δδ∴要使<ε，只要使δδ=ε，即当δ=εε>0时，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在其定义域内连续.(2)f(x)=|x|在R上都有定义。
任取x, x0∈R，有||x|-|x0||≤|x-x0|.对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x0|<δ时，有||x|-|x0||<δ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x0)|<ε∴f(x)在x0连续. 由x0的任意性知f(x)在R连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)；(6)f(x)=为有理数为无理数；(7)f(x)=.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点.(2)f(x)在x=0间断.∵==1，== -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=nπ间断，(n=0,±1,±2,…)∵=0，=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点. (4)f(x)在x=0间断，∵=1，=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±间断，(k=0,±1,±2,…)∵=-1，= 1；= 1，= -1，∴x=2kπ±是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵=-7，不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又=0，=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=；(2)f(x)=；(3)f(x)=xcos.解：(1)∵f(x)=在x=2没有定义，且==12；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(2)∵f(x)=在x=0没有定义，且===；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.(3)∵f(x)=xcos在x=0没有定义，且=0；∴延拓函数得F(x)=在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≥||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<ε.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≤|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<ε·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =为有理数为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则=f(0)；=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴=，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。
2013B班 数学分析(1) 第四章 函数的连续性 习题课
5、间断点及其分类
第 一 类 ：f ( x0
0)全都存
在{可 跳去 跃： ：ff
( (
x0 x0
0) 0)
f ( x0 f ( x0
0); 0).
第二类：f ( x0 0)之一不存在(无穷大间断、振动间断、 ）
例2 （1）讨论函数
y
y 1 x
x1
x1
f (1 0) lim f ( x) lim(1 x) 2
x1
x1
lim f ( x) 2 f (1), x1
x 1为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,
则可使其变为连续点.（连续延拓）
令fˆ
(1)
2，则
fˆ
(
x)
2
x,
0 x 1, 在x 1处连续.
令
min
1im,ri
{|
x0
ri
x0
|} 0,
若x为无理数，则R( x) 0;
当0 | x x0 | 时，
（x ri )
若x为有理数，则其分母必大于k，于是
R( x)= 1 1 ,
qk
(欲使 | R( x) | ,只需取k [ 1] 1 1 )
总之，有 | R( x) 0 | , lim R( x) 0. x x0
证
x0 （0,1）, 0,
取k [ 1] 1,
要证:x0
（0,1）,
有 lim xx0
R( x)
0.
0, 0,当 x x0 时,
有 R(x) 0 R(x)
因为分母不超过k的有理点的个数是有限的，设只有m个
函数的连续性练习题及解答
函数的连续性练习题及解答函数的连续性练习题1.证明方程 x ?cosx =0 在区间(0.π2)内有实根。
2.函数 y =x 2?1x 2?3x+2 的间断点是。
3.函数 f (x )=?x ?1,当x ≤1时3?x,当x >1时的间断点是。
4.函数 f (x )=?3x, 当?1<="" 当1 x=1处连续，则a= 。
5.设 f (x )=?sin ?(x+1)x+1, 当x ≠?1时；2k, 当x =?1时在x=-1处连续，则k= 。
6.函数 f (x )=x 2?x sin πx 的可取间断点的个数为。
7.函数f (x )=|x|sin ?(x ?1)x (x ?1)(x ?2)在下列区间有界的是。
A.(0,1) B.(1,2)C.(0,2)D.(2,3)8.设f (x )=arctanx,g (x )=sin2x+π3, 求g{f (?1)]。
9.设f (x )=lim u →+∞1u ln (ee uu +xx uu ) (xx >0) （1）求f(x)；（2）讨论f(x)的连续性。
10.求下列函数的间断点，并确定所属类型：y =e 1x ?x+1x ?1 。
11.确定常数k，使下面函数f(x)在x=0处连续。
f(x)=?sinx x+xsin1x,x≠0k, x=0。
12.求函数 y=sinx x的间断点，并指出其类型。
13.求函数 y=x2?1x2?5x+4 的间断点，并指出其类型。
14.讨论函数f(x)=lim n→∞1?x2n1+x2n的连续性，若f(x)有间断点，判别其类型。
15.设函数f(x)=?x, x≤16x?5,x>1 ，试讨论f(x)在x=1处的连续性，并写出f(x)的连续区间。
16.设函数 f(x)=?1+e x,x<0x+2a,x≥0 ，问常数a为何值时，函数f(x)在（-∞，+∞）内连续。
17.问a为何值时，函数f(x)=?x2+1,|x|≤a,2|x|, |x|>a连续？18.证明：若函数y=f(x)对于一切正实数x1,x2满足f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且f(x)在x=1处连续，则f(x)在任一点x0(x0>0)处连续。
数学分析考试试题
数学分析考试试题数学分析考试试题数学分析是一门重要的数学学科，它研究的是数学中的极限、连续、微积分等基本概念和方法。
作为一门理论性较强的学科，数学分析的考试试题往往具有一定的难度和深度，需要学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力。
下面我们来看一些典型的数学分析考试试题。
1. 极限计算题计算极限是数学分析中的基本内容之一，也是考试中常见的题型。
例如，给出一个函数序列$f_n(x)=\frac{x^n}{n!}$，要求计算$\lim_{n\to\infty}f_n(x)$。
这类题目要求学生能够灵活运用极限的定义和性质，进行计算和推理。
2. 函数连续性题函数连续性是数学分析中的重要概念，也是考试中常见的考点。
例如，给出一个函数$f(x)=\begin{cases}x^2,&x<0\\1,&x=0\\e^x,&x>0\end{cases}$，要求判断函数在$x=0$处的连续性。
这类题目要求学生能够理解函数连续性的定义和性质，判断函数在给定点处的连续性。
3. 导数计算题导数是微积分的重要内容，也是考试中的重点考点。
例如，给出一个函数$f(x)=\frac{1}{3}x^3-\frac{1}{2}x^2+2x+1$，要求计算$f'(x)$。
这类题目要求学生能够熟练掌握导数的定义和计算方法，进行函数的求导运算。
4. 函数极值和拐点题函数的极值和拐点是微积分中的重要概念，也是考试中的难点。
例如，给出一个函数$f(x)=x^3-3x^2+3x$，要求求出函数的极值和拐点。
这类题目要求学生能够掌握函数极值和拐点的定义和判定方法，进行函数的求解和分析。
5. 定积分计算题定积分是微积分中的重要内容，也是考试中的常见题型。
例如，给出一个函数$f(x)=\frac{1}{x}$，要求计算$\int_1^e f(x)dx$。
这类题目要求学生能够熟练掌握定积分的定义和计算方法，进行积分的求解和计算。
数学分析第四章：函数的连续型
连续函数的局部性质
所谓连续函数局部性质就是指: 若函数 f 在点 x0 连续(左连续或右连续), 则可推知 f 在点 x0 的某 个局部邻域(左邻域或右邻域)内具有有界性、保 号性、四则运算等性质.
数学分析
定理4.1.2（局部有界性）
若函数 f 在点 x0 连续，则f 在某邻域U (x0 )上有界.
定义1
设函数 f ( x)在 x0 的某邻域内有定义, 且
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ),
(1)
则称 f ( x)在点 x0 连续.
由定义1知，我们是通过函数的极限来定义连续
性的，换句话说连续就是指 f ( x) 在点 x0的极限不 仅存在,而且其值恰为 f ( x)在点 x0的函数值 f (x0) .
a
O
x
数学分析
函数 f ( x) sgn x 在点 x 0 处不连续, 这是因为
极限 lim sgn x 不存在. x0
lim f (x) f (x ),
x x0
0
由极限的定义,定义1可以叙述为: 对于任意正数 ,
存在d > 0, 当 0 | x x0 | d 时, 有
第四单元 函数的连续性 4.1.1 函数在一点的连续性
数学分析
连续函数的概念
回顾函数极限 lim f ( x) A 的定义, x x0
只假设函数 f (x) 在点 x0 的某空心邻域内有定义.
即使
f
(x)
在点
x0
有定义，lim x x0
f ( x)也未必等于f
(x0 )，
例如
函数 f y
(x)
f (x)
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第四章 函数的连续性 1 连续性概念(练习)1、按定义证明下列函数在其定义域内连续 (1)f(x)=1x ；(2)f(x)=|x|.证：(1)f(x)=1x 的定义域D=(-∞,0)∪(0,+∞) 当x,x 0∈D 时，有 1x −1x 0= x −x 0|x||x 0|由三角不等式可得：|x|≣|x 0|-|x-x 0|，∴ 1x −1x 0≢ x −x 0|x0|2−|x −x 0||X 0|对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有 x −x 0|x 0|2−|x −x 0||X 0|<δ|x 0|2−δ|X 0|∴要使 1x −1x 0<ε，只要使δ|x 0|2−δ|X 0|=ε，即当δ=εx 021+ε|X 0|>0时，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在其定义域内连续. (2)f(x)=|x|在R 上都有定义。
任取x, x 0∈R ，有||x|-|x 0||≢|x-x 0|. 对任给的正数ε，有δ>0，当|x-x 0|<δ时，有||x|-|x 0||<δ ∴只要取δ=ε，就有|f(x)-f(x 0)|<ε∴f(x)在x 0连续. 由x 0的任意性知f(x)在R 连续.2、指出下列函数的间断点并说明其类型(1)f(x)=x +1x ；(2)f(x)=sinx|x|；(3)f(x)=[|cos x|]；(4)f(x)=sgn |x|；(5)f(x)=sgn(cosx)； (6)f(x)= x, x 为有理数−x, x 为无理数；(7)f(x)= 1x+7, x <−7x, −7≤x ≤1 x −1 sin 1x −1, x >1.解：(1)f(x)在x=0间断.∵f(x)在x=0的左右极限都不存在，∴x=0是f(x)的第二类间断点. (2)f(x)在x=0间断. ∵lim x →0+sinx|x|=lim x →0+sinx x=1，lim x →0−sinx|x|=lim x →0−sinx −x= -1，∴x=0是f(x)的跳跃间断点.(3)f(x)在x=n π间断，(n=0,±1,±2,…)∵limx→nπ+[|cos x|]=0，limx→nπ−[|cos x|]=0，∴x=nπ是f(x)的可去间断点.(4)f(x)在x=0间断，∵limx→0+sgn |x|=1，limx→0−sgn |x|=1，∴x=0是f(x)的可去间断点.(5)f(x)在x=2kπ±π2间断，(k=0,±1,±2,…)∵limx→(2kπ+π2)+sgn(cosx)=-1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= 1；limx→(2kπ−π2)+sgn(cosx)= 1，limx→(2kπ+π2)−sgn(cosx)= -1，∴x=2kπ±π2是f(x)的跳跃间断点.(6)f(x)在x≠0的点间断，且当x0≠0时，f(x)的左右极限都不存在，∴所有x≠0的点都是f(x)的第二类间断点.(7)f(x)在x=-7和x=1间断，∵limx→−7+f(x)=-7，limx→−7−f(x)不存在，∴x= -7是f(x)的第二类间断点.又limx→1+f(x)=0，limx→1−f(x)=1，∴x=1是f(x)的跳跃间断点.3、延拓下列函数，使其在R上连续(1)f(x)=x3−8x−2；(2)f(x)=1−cos xx2；(3)f(x)=xcos1x.解：(1)∵f(x)=x 3−8x−2在x=2没有定义，且limx→2x3−8x−2=limx→2(x2+2x+4)=12；∴延拓函数得F(x)=x3−8x−2, x≠212, x=2在R上连续.(2)∵f(x)=1−cos xx2在x=0没有定义，且limx→01−cos xx2=limx→02sin x22x2=limx→0sin x222x22=12；∴延拓函数得F(x)=1−cos xx2, x≠012, x=0在R上连续.(3)∵f(x)=xcos1x 在x=0没有定义，且limx→0xcos1x=0；∴延拓函数得F(x)=xcos1x, x≠00, x=0在R上连续.4、证明：若f在x0连续，则|f|与|f2|也在点x0连续. 又问：|f|或f2也在点I连续，那么f在I是否必连续？证：∵f在x0连续，∴∀ε>0，有δ>0，使当|x-x0|<δ时，都有|f(x)-f(x0)|<ε. 又|f(x)-f(x0)|≣||f(x)|-|f(x0)||，∴当|x-x0|<δ时，都有||f(x)|-|f(x0)||<ε.∴|f|在点x0连续.又∵f在x0连续，由局部有界性知，存在M>0及δ1>0，使|x-x0|<δ1时，有|f(x)|<M2，∀ε>0，有δ2>0，使当|x-x0|<δ2时，都有|f(x)-f(x0)|<εM.取δ’=min{δ1,δ2}，则当|x-x0|<δ’时，有|f2(x)-f2(x0)|= |f(x)-f(x0)||f(x)+f(x0)|≢|f(x)-f(x0)|(|f(x)|+|f(x0)|)<εM·M=ε.∴f2在点x0连续.其逆命题不成立，例如设f(x) =x, x为有理数−x, x为无理数；则|f|,f2均为常数函数，∴|f|,f2均为连续函数，但f(x)在R上的任一点都不连续.5、设当x≠0时，f(x)≡g(x)，而f(0)≠g(0). 证明：f与g两者中至多一个在x=0连续.证：若f与g在x=0都连续，则limx→0f(x)=f(0)；limx→0g(x)=g(0).又当x≠0时，f(x)≡g(x)，∴limx→0f(x)=limx→0g(x)，∴f(0)=g(0)，这与f(0)≠g(0)矛盾，∴f与g两者中至多一个在x=0连续.6、设f为区间I上的单调函数. 证明：若x0∈I为f的间断点，则x0必是f的第一类间断点证：由函数极限的单调有界定理可知，不管f在区间I上单调增还是单调减，f在点x0∈I都有左右极限，∴当f在x0不连续时，x0必是f的第一类间断点。
7、设函数f只有可去间断点，定义g(x)= limy→xf(y). 证明g为连续函数.证1：设f 的定义域为区间I ，则g(x)在I 上处处有定义 又f 只有可去间断点，∴f,g 在I 处处存在极限 任取x 0∈I ，由g(x 0)= lim y →x 0f(y)且g(x)= lim y →xf(y)(x ∈I)，从而对任给的正数ε，存在正数δ，当0<|y-x 0|<δ时，有g(x 0)−ε2<f(y)<g(x 0)+ε2 任取x ∈U 0(x 0,δ)，则必存在U(x,η) ⊂U 0(x 0,δ)，于是当y ∈U(x,η)时上式成立 由极限的不等式性质知：g(x 0)−ε2≢g(x)= lim y →xf(y)≢g(x 0)+ε2∴当x ∈U 0(x 0,δ)时，有|g(x)-g(x 0)|<ε. ∴g(x)在x 0处连续. 证2：∵f 只有可去间断点，∴f 在其定义域上任意点或没有定义的间断点x 0上极限都存在 又g(x)= lim y →xf(y)，∴lim x →x 0g(x)=lim x →x 0 lim y →xf(y) =lim y →x 0f(y)=g(x 0)由x 0的任意性可知，g 为连续函数.8、设f 为R 上的单调函数，定义g(x)=f(x+0)，证明g 在R 上每一点都右连续. 证：∵f 为R 上的单调函数，∴f 只有第一类间断点，故右极限处处存在. ∴g(x)处处有定义，任取x 0∈R ，则g(x 0)=f(x 0+0)=lim y →x 0+f(y)，证1：又g(x)=f(x+0)=lim y →x+f(y)，从而对任给的正数ε，存在正数δ，当0<x-x 0<δ时，有g(x 0)−ε2<f(y)<g(x 0)+ε2任取x ∈U +0(x 0,δ)，则必存在U +0(x,η) ⊂U +0(x 0,δ)，于是当y ∈U +0(x,η)时上式成立 由极限的不等式性质知：g(x 0)−ε2≢g(x)= lim y →x+f(y)≢g(x 0)+ε2∴当x ∈U +0(x 0,δ)时，有|g(x)-g(x 0)|<ε. ∴g(x)在x 0处右连续.证2：又g(x)=f(x+0)=lim y →x+f(y)，∴lim x →x 0+g(x)=lim x →x 0+ lim y →x+f(y) =lim y →x 0+f(y)；∴lim x →x 0+g(x)=g(x 0)，由x 0的任意性可知，g 在R 上每一点都右连续.9、举出定义在[0,1]上符合下述要求的函数： (1)只在12,13和14三点不连续的函数； (2)只在12,13和14三点连续的函数；(3)只在1n(n=1,2,3,…)上间断的函数；(4)只在x=0右连续，而在其他点都不连续的函数.解：(1)f(x)=12x−1+13x−1+14x−1；(2)f(x)=0, x为0,1中的有理数2x−13x−14x−1, x是0,1中的无理数；(3)f(x)=1x；(4)f(x)=−x, x是0,1中的无理数x, x是0,1中的有理数.。