苏教版初二数学反比例函数讲义

立仁教育

初二数学反比例函数讲义

一、本节课知识点梳理

1、反比例函数的概念

2、反比例函数的图像及其性质

3、反比例系数k 的意义及其实际应用 二、重难点点拨

教学重点：反比例函数图像及其性质 教学难点：反比例函数k 的几何意义 三、典型例题与分析 知识点一：反比例函数概念

一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=x

k

，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1（k ≠0的常数）

1、在下列函数中，反比例函数是（ ）

A 11+=

x y B xy=0 C x

k y = D x y 21

-=

2、如果函数12-=m x y 为反比例函数，则m 的值是 （ ）

A 、1-

B 、0

C 、2

1 D 、1

知识点二：反比例函数的图象与性质

注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。

（1）已知y=x

k

（k ＜0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)

①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2

②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2

③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。

（2）已知y=x

k

（k > 0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2)

①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2

②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。

注意2：反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。

【例1】在反比例函数x

y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若

3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ）

A ．213y y y >>

B ．123y y y >>

C ．321y y y >>

D ．231y y y >> 练习：

1．下列函数中，y 随x 增大而增大的是_______

A y=-x+1

B y=x 43-

C y=x

21

D y=2x-1 2．反比例函数y=x

k 图象在第二四象限，则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。

3．在同直角坐标系中，函数y=kx-k 与y=x

k

（k ≠0）的图象大致是___________。

4．已知反比例函数3y x

=，

①若x ＜-3，则y 的取值范围 ②若y ＞-1，则x 的取值范围

知识点三：反比例函数y=x

k 比例系数k 的意义

1.

如图过双曲线上任一点p （x 、y ）作x 轴、y 轴垂

线段PM 、PN 所得矩形PMON 的面积S=PM ·PN=|y|·|x|=|xy|

∵y=x

k ∴xy=k

∴s=|k|，即反比例函数y=x

k （k ≠0）中的比例系数

k 的绝对值表示过双曲线上任意一点，作X 轴，Y 轴的垂线所得的矩形的面积。

2.

如图过双曲线上一点Q 向X 轴或Y 轴引垂线，

则S △AOQ =k 2

1

【例2】如图，Rt ΔABO 的顶点A 是双曲线k y x

=与直线y x m =-+ •在第二象限的交点，AB 垂直x 轴于B ，且S △ABO ＝32， 则反比例函数的解析式 ．

【例3】如图，正比例函数(0)y kx k =>与反比例函数2y x

=的图象相交于A 、C 两点，

过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，连结BC ．则ΔABC 的面积等于（ ） A ．1 B ．2 C ．4 D ．随k 的取值改变而改变． 练习：

1、老师在同一个直角坐标系中画了一个反比例函数(0)k

y k x

=

≠的图象以及正比例函数2y x =-的图象，请同学观察有什么特点。甲同学说：双曲线与直线

2y x =-有两个交点；乙同学说：双曲线上任意一点到两坐标轴的距离的积都是

5．请你根据甲、乙两位同学的说法，写出这个反比例函数的解析式 ．

2、 如图A ，B 是函数x

y 1=的图象上关于原点O AC 平行与y 轴，BC 平行于x 轴，△ABC 的面积为S 。则（ ） A 、S=1 B 、1＜S ＜2 C 、S=2 D 、S ＞2

3、如图,在平面直角坐标系中，直线2k y x =+与双曲线k y x

=在第一象限交于点A ， 与x 轴交于点C ，AB ⊥x 轴，垂足为B ，且AOB S Λ＝1．求： （1）求两个函数解析式； （2）求△ABC 的面积．

知识点四：待定系数法

【例4】已知正比例函数kx y =与反比例函数3y x

=的图象都过A （m ，1），正比例函数的解析式为_________________. 练习：

1．已知y=x

k

（k ≠0）的图象经过（3，2）则k= 。

O

A

B