初二数学《反比例函数》知识点

一、目标与要求

1.使学生理解并掌握反比例函数的概念。

2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式。

3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想。

4.会用描点法画反比例函数的图象。

5.结合图象分析并掌握反比例函数的性质。

6.体会函数的三种表示方法，领会数形结合的思想方法。

7.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。

8.渗透数形结合思想，进一步提高学生用函数观点解决问题的能力，体会和认识反比例函数这一数学模型。

二、知识框架

三、重点、难点

1.重点：利用反比例函数的知识分析、解决实际问题。

重点：理解并掌握反比例函数的图象和性质。

重点：利用反比例函数的图象和性质解决一些综合问题。

重点：理解反比例函数的概念，能根据已知条件写出函数解析式。

2.难点：分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式，解决实际问题。

难点：正确画出图象，通过观察、分析，归纳出反比例函数的性质。

难点：学会从图象上分析、解决问题。

难点：理解反比例函数的概念。

四、知识点、概念总结

1.反比例函数：形如y=k/x，（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。其他形式xy=k，y=kx(-1)。

2.自变量的取值范围：

（1）k≠0；

（2）在一般的情况下，自变量x的取值范围可以是不等于0的任意实数；

（3）函数y的取值范围也是任意非零实数。

3.图像：反比例函数的图像属于双曲线。反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形。有两条对称轴：直线y=x和y=-x。对称中心是：原点。

4.反比例函数的几何意义

|k|的几何意义：表示反比例函数图像上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积。

即：过反比例函数y=k/x（k不等于0），图像上一点P（x，y），作两坐标轴的垂线，两垂足、原点、P点组成一个矩形，矩形的面积S=（x的绝对值）*（y的绝对值）=（x*y）的绝对值=k的绝对值。

5. 反比例函数的性质：

（1）（增减性）当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小；当k<0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内，y随x的增大而增大。

（2）k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数；k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。定义域为x≠0；值域为y≠0.

（3）因为在y=k/x（k≠0）中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能

与x轴相交，也不可能与y轴相交。

（4）在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2，则S1=S2=|K|

（5）反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x和y=-x （即第一三，二四象限角平分线），对称中心是坐标原点。

（6）若设正比例函数y=mx与反比例函数y=n/x交于A、B两点（m、n同号），那么A、B 两点关于原点对称。

（7）设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n，要使它们有公共交点，则n2+4k·m ≥（不小于）0.

（8）反比例函数y=k/x的渐近线：x轴与y轴。

（9）反比例函数关于正比例函数y=x，y=-x轴对称，并且关于原点中心对称。

（10）反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo（o为原点）的面积为|k|。

（11）k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。

（12）|k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。

（13）（对称性）反比例函数图象是中心对称图形，对称中心是原点；反比例函数的图像也是轴对称图形，它的对称轴是x轴和y轴夹角的角平分线。

6.反比例函数的画法

（1）列表

如

（2）在平面直角坐标系中标出点

（3）用平滑的曲线描出点

（4）当双曲线在一三象限，K>0，在每个象限内，Y随X的增大而减小。与X及Y轴无交点。

（5）当双曲线在二四象限，K<0，在每个象限内，Y随X的增大而增大。与X及Y轴无交点。

（6）当两个数相等时那么呈弯月型。