第6章习题完整解答

第六章 定积分及其应用

习题6-1

1．应用定积分的定义计算下列定积分：

（1）221d ;x x -⎰ （2）10e d .x

x ⎰

解答：（1）由于被积函数在区间[1,2]-上连续，故积分221d x x -⎰存在，且它与区间[1,2]-的分

法及点i ξ的取法无关，为便于计算，将区间[1,2]-进行n 等分，得小区间长度为3

i x n

∆=，在小区间上取右端点31,0,1,2,,1i i

i n n

ξ=-+

=-L ，作积分和 1

2203399(1)32n n i i n S n n n

-=-=-+

⋅=-∑， 于是lim 3n n S →∞

=，即22

1d 3x x -=⎰；

（2）将区间[0,1]进行n 等分，得小区间长度为1

i x n

∆=

，在小区间上取右端点,0,1,2,,1i i i n n

ξ==-L ，作积分和

1

1011(1)

i n n

n i n

e S e n

n e -=-=⋅

=-∑，

于是lim 1n n S e →∞

=-，即101x

e dx e =-⎰．

难度：二级

2．用定积分的几何意义求下列定积分的值： （1

）;x ⎰

（2）π2π2

sin d ;x x -

⎰

（3）102d .x x ⎰

解答：（1

）由定积分的几何意义，⎰表示以原点为圆心、半径为a 的圆在第一象限

中部分的面积，故214

a π=⎰；

（2）由定积分的几何意义，22

sin xdx π

π-⎰表示正弦曲线sin y x =在[,]22

ππ

-

上与x 轴所围图形面积的代数和，由于x 轴上下部分面积相等，22

sin 0xdx π

π

-

=⎰

；

（3）由定积分的几何意义，102xdx ⎰表示直线2y x =、1x =与x 轴所围图形三角形面积，

由于面积等于1，所以1021xdx =⎰． 难度：一级

3．利用定积分求下列各式的极限：

（1）已知π

0sin d 2,x x =⎰求1π2π1lim sin sin

sin π;n n n n n n →∞-⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪⎝

⎭ （2）已知101d ln 2,1x x =+⎰求1

11lim ;12n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭ （3）已知1021πd ,14x x =+⎰求222222lim ;12

n n

n n n n n n →∞⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪+++⎝⎭ （4

）已知(10ln 1,x =⎰

求lim .n →∞

⎛⎫

+ 参考答案：(1)

2π; （2）ln2； （3）π

4

； （4

）(ln 1. 解答：（1）由于101π2π11(sin sin

sin π)=sin n i n i n n n n n n

ππ

π-=-++⋅⋅⋅+⋅∑， 所以01π2π112

lim sin sin sin

πsin n n xdx n n n n πππ→∞-⎛⎫++⋅⋅⋅+== ⎪⎝

⎭⎰； （2）101

1111111lim lim ln 212121111n n dx n n n n n n

x n n n →∞→∞⎛⎫

⎪⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⋅== ⎪ ⎪++++⎝⎭ ⎪+++⎝⎭⎰； （3）2222222221111lim lim 12121()1()1()n n n

n n n n n n n n

n n n →∞→∞⎛⎫ ⎪⎛⎫++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪+++⎝⎭ ⎪+++⎝

⎭ 120114

dx x π

==

+⎰

（4

）lim lim n n →∞→∞

⎛⎫

⎪⎛⎫⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅+

1

ln(1==+⎰

．

难度：二级

4．用定积分的性质比较下列积分的大小：

（1）10d x x ⎰与120d ;x x ⎰ （2）10e d x x ⎰与()1

01d ;x x +⎰

（3）1

d x x ⎰与()10

ln 1d ;x x +⎰ （4）π20sin d x x ⎰与π20

2

d .π

x x ⎰

参考答案：（1）112

00d d x x x x >⎰⎰； （2）()1100e d 1d x x x x >+⎰⎰； （3）()1100d ln 1d x x x x >+⎰⎰；

（4）ππ

2

20

02

sin d d π

x x x x >⎰⎰

. 解答：（1）因为在区间[0,1]上，有2x x ≥，且等号仅在端点取得，所以由定积分的性质有

112

0d d x x x x >⎰⎰；

（2）因为在区间[0,1]上，有1x e x ≥+，且等号仅在左端点取得，所以由定积分的性质有

()110

0e d 1d x x x x >+⎰

⎰；

（3）因为在区间[0,1]上，有ln(1)x x ≥+，且等号仅在左端点取得，所以由定积分的性质

有()1100d ln 1d x x x x >+⎰⎰；

（4）因为在区间[0,]2π上，有2

sin x x π≥，且等号仅在端点取得，所以由定积分的性质

有ππ

2

20

02

sin d d π

x x x x >⎰⎰

．