北京大学数学科学学院直博生摸底考试试题.pdf
2015年北京大学数学科学学院应用数学考博专业介绍,考博真题,真题解析
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comprehension of the formation and development as well as **************. If possible, I will go on with my study for doctorate degree. In a word, I am looking forward to making a solid foundation for future profession after two years study here.
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考试科目
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备注
【全国百所名校定向保录】
12. 图像重建与图像处 理
13. 微分方程在图像处 理和信 号分析中的应 用
14. 信息物理融合系统
【才思教育由命题组领专业化辅导】
1. 自我介绍(self-introduce) Good morning. I am glad to be here for this interview. First let me introduce myself. My name is ***, 24. I come from ******,the capital of *******Province. I graduated from the ******* department of *****University in July ,2001.In the past two years I have been prepareing for the postgraduate examination while I have been teaching *****in NO.****middle School and I was a head-teacher of a class in junior grade two.Now all my hard work has got a result since I have a chance to be interview by you . I am open-minded ,quick in thought and very fond of history.In my spare time,I have broad interests like many other youngers.I like reading books, especially those about *******.Frequently I exchange with other people by making comments in the forum on line.In addition ,during my college years,I was once a Net-bar technician.So, I have a comparative good command of network application.I am able to operate the computer well.I am skillful in searching for information in Internet.I am a football fan for years.Italian team is my favorite.Anyway,I feel great pity for our country’s team. I always believe that one will easily lag behind unless he keeps on learning .Of course, if I am given a chance to study ****** in this famous University,I will stare no effort to master a good command of advance ******.
2019年北京大学数学科学院直博生考试题
3x (x2 − 1) x4 − 4x2 + 1 1 + x4 dx 1 + x6
∫
1
3. (本题 20 分) 试参照积分第二中值定理的表述，给出第一类曲线积分的积分第二中值定理 (注 意条件和结论表述的精准性)，并给出相应的证明。 4. (本题 20 分) 设 f (x) 和 g (x) 皆为整个实数轴上的连续函数，其中 g (x) 以 T > 0 为周期。证 明: 函数方程 f (f (x)) = −x3 + g (x) 不可能有连续解。 5. (本题 20 分) 设 D 是单位圆盘，在 D 内，有 u = ∆u, u|∂D = 0。证明: u ≡ 0。 6. (本题 15 分) 若 a0 , a1 , a2 ∈ Q，使得下面矩阵的行列式为零 a0 a1 a2 a2 a0 + a1 a1 + a2 a1 a2 a0 + a1 证明: a0 = a1 = a2 = 0。 7. (本题 25 分) 设实二次型 f (x1 , x2 , x3 ) = 4x1 x2 − 2x1 x3 + 3x2 2 − 4x2 x3 。 (a) 将 f 写成 xT Ax 的形式, 求实对称矩阵 A 的特征向量与特征值。(5 分) (b) 求正交矩阵 P 及对角矩阵 D，使得 A = P DP T ; 作正交替换将 f 化为标准型。(10 分) (c) 求二次型 f (x) = xT Ax 在单位球面 ∥x∥ = 1 上取到的最大值，并确定在何处取到最大值。 (10 分) 1
(a) 写出该环面的一个参数方程。(10 分) (b) 判断该正等轴测投影图的外圈轮廓线是否是示意图所在纸面上的一个椭圆，并证明你的 结论。(20 分)
2 8. (本题 20 分) 设矩阵 A 的列数与矩阵 B 的行数皆为 n。证明: rank(A) + rank(B ) = rank(AB ) + n 当且仅当 A 解空间 {x : Ax = 0} 为 B 列空间的子空间。 9. (本题 10 分) 若 A ∈ Mn (C) 是 n 阶幂零矩阵，定义线性变换 TA : Mn (C) → Mn (C);
2017年北大博雅计划数学试题及答案
【5】C
1471013…20142017 的数值即
lx1Cf1 +4xl<f4 +7xl<f'1 代.+2014xl俨14 +2017xl庐17
其中 a1, a4, a1,…， ll2014,ll2011是对应数宇出现的数位数，比如 2017 出现在原数字的笫 0 位，
2014 出现在第 4 位等。 注意到 10 的方幕除以 9 的余 数一定是 1' 1471013...20142017 =1+4+7+…+2014+2017 = 673 X1009 三 7(mod9)
＝－9 ， s
即
SMoD=— 92x．
故 liDOA 的内切圆半径是？雾 2
答案为 A.
【评析】此题导向非常明确：通过周长和内切圆半径来求得三角形面积。有了面积之后，再 通过共边定理获得另一个三角形的面积值。 较为容易。
【8】C.
9 +95+995+… +99 …95=(10-1)+(100 -5)+(1000-5)+… +(102017 -5)
故n的最大可能值 不大于5 .我们设法构造取到 5 的情形。 a,b,c 所含 5 的幕次和 不小于 5 。 幕次和为6的情形上已排除， 故幕次和为 5 。 由于a,b,c
中至少有一个不是 5 的倍数，故 a,b,c必有一个被 2 5 整除，一个被 125 整除。我们尽力使这
两数所含 2 的幕次更大。为此， 取a==IOO, b=250 , 那么 C == 52 。此时 a,b,c 所含 2 的幕
小于n。而由于2,4,8... 的倍数在正整数集中分布比5,25,125的倍数密，即2的幕次不小于 n更容易达到。 故我们考虑 5 的幕次。 不大 于 402 的 5 的正 整 数幕最 大是 125, 故 a,b,c 各自所 含 5 的 幕 次最 高 是 3 . 而
北京大学数学科学学院考博计算数学专业考博笔记考博参考书考博真题
北京大学数学科学学院计算数学专业考博考试复习资料-育明考博一、北京大学数学科学学院计算数学专业考博考试内容分析（育明考博辅导中心)专业招生人数初审复试内容070102计算数学年份计划招生数推荐直博人数申请—考核制我院将根据各专业的具体要求对申请者的专业能力进行考核，方式为面试和笔试相结合。
考核时间一般安排在3月上中旬2016年62人47人育明考博辅导中心王老师解析：①北京大学数学科学学院计算数学专业考博的报录比平均在3:1左右②本专业有33个研究方向：01.有限群及其模表示论02.置换群及代数组合论03.球堆积与密码04.拓扑学05.低维拓扑06.微分几何及其应用07.微分几何08.子流形的整体微分几何09.非线性分析10.几何分析11.微分几何与PDE12.常微分方程与动力系统13.微分遍历论14.微分动力系统15.动力系统和哈密顿系统16.非线性偏微分方程17.代数几何18.偏微分方程及其应用19.密码学与信息安全理论20.数论：算术几何，p-进上同调21.调和分析及其应用22.李群及其作用23.调和分析与偏微方程24.表示理论与数学物理25.偏微分方程与几何分析26.共形几何与微分方程、广义相对论中的微分几何27.辛几何与数学物理28.微分几何与数学物理29.偏微分方程与数学物理30.拓扑量子计算31.组合数学；图论32.调和分析与非线性发展方程33.几何群论③以同等学力资格申请的申请者，还须提交两篇公开发表的学术论文复印件。
④2016年北京大学实行“申请—考核制”，没有提供雅思、托福等英语成绩等级证明的同学，需要参加“北京大学博士研究生英语水平考试”。
育明教育考博分校针对北京大学计算数学专业考博开设的辅导课程有：考博英语课程班·专业课课程班·视频班·复试保过班·高端协议班。
每年专业课课程班的平均通过率都在80%以上。
根植育明学校从2006年开始积累的深厚高校资源，整合利用历届育明优秀学员的成功经验与高分资料，为每一位学员构建考博成功的基础保障。
2015北大基础数学考博专业课参考书-真题-分数线-资料-育明考博
可否认，这是最好的情况，你可以放心的去考，一般不会出问题的。但不排除偶然，像出现直博和本 学校的硕转博名额问题，可能会给我们的报考和录取产生影响。
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等教育出版社，2002 《 C++ Programming LanguageC》, B. Stroustrup，Addison-Wesley, 1999；影印版，高 教出版社，2000； 中 译本，机械工业出版社，2002 或
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高等统计学
《高等统计学》郑忠国，北京大学 出版社，1998
《随机过程论》第二版，钱敏平、
龚光鲁， 北京大学出版社
《应用随机过程》， 钱敏平、龚光
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随机过程
鲁， 北京大学出版社 R.N.Bhattacharya and
W.C.Waimire, Stochastic
Processes with Applications,
①英语②微分几何③偏微分方程
北京国际数 学中 心招生
①英语②微分几何③偏微分方程、 拓扑 学任选一门
①英语②微分几何③拓扑学
北京国际数 学中 心招生
①英语②泛函分析③偏微分方程
北京国际数 学中 心招生
①英语②抽象代数③拓扑学
博士《现代数学基础》测验考试复习题及参考答案
2016级博士生数学复习题1. 设()||||f x x =是实Hilbert 空间H 上的泛函，证明，当0x ≠，()f x 在点x 处沿着h 方向的Gateaux 微分。
P81 证明：xhx x th x t thth th x x th x t x x th x th x x th x t x th x x th x t x th x x th x t x th x t x f th x f t t t t t t ,)(,,2lim )(,,lim )(lim )())((lim lim )()(lim00220000=++-=++-++=++-+++++-+=-+=-+→→→→→→于是，当0≠x 时，f 在x 处沿着h 方向的teaux a G )微分为：xhx h x Df ,),(=2. 设泛函342, (,)(0,0)(,)0, (,)(0,0)x yx y x y f x y x yx y ⎧++≠⎪=+⎨⎪=⎩，证明(,)f x y 在点(0,0)处不是Frechet 微分。
P84证明：由于R y x x y x y x ∈∀≤+,,21243所以f 在点（0,0）处连续，令),(ηξ=h ，则有ηξηξηξηξ+=+++=-+→→tt t t t t t t f th f t t 24300)()()(lim )0()0(lim 因此，f 在点（0,0）处沿方向h 的teaux a G )微分为ηξηξ+=)),(),0,0((Df ，但是，如果令2ηξ=，则有2/1422/122)()(ξξηξ+=+=h于是021)()(lim )()(lim ),0()0()(lim 2/1422242302/14224300≠=++=++-+++=--→→→ξξξξξξξξηξηξηξηξh h h h h Df f h f所以，f 在点（0,0）处不是chet e Fr )可微的。
2021北大强基数学试题
2021北大强基数学试题2021年北京大学强基数学试题涵盖了高中数学知识的各个方面，包括代数、几何、函数、微积分等内容。
下面是对其中一些试题的解析和参考内容：1. 一个有趣的排列问题：将1到n这n个整数排成一个圆环，要求相邻两个数的和是一个完全平方数。
试问n能否为奇数？如果能，求出一种排列方式。
解析：此问题属于组合数学中的排列问题。
可以通过逐个计算n的值，找到满足条件的排列方式。
当n为奇数时，可以找到一种排列方式，满足相邻两个数的和为完全平方数。
2. 函数极限问题：已知函数f(x) = {x^2 (x≤1)，x^3+ln(x) (x>1)}，求lim(x→1)f(x)。
解析：利用数列极限的性质，可以证明对于任意一个实数a，lim(x→a) x^n = a^n。
则对于本题中函数f(x)，当x≤1时，lim(x→1) x^2 = 1^2 = 1；当x>1时，lim(x→1) (x^3+ln(x)) =1^3+ln(1) = 1。
因此，lim(x→1) f(x) = 1。
3. 组合数学问题：求证：对于任意正整数n，有C(n-1, 0)-C(n, 1)+C(n+1, 2)-...+(-1)^(n-1)C(2n-1, n) = 1。
解析：利用组合数学中的性质，可以证明C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)，即组合数的性质。
在本题中，利用组合数的性质可以展开等式的左边，然后利用组合数的递推关系进行化简。
这样就可以证明等式的成立。
以上只是对部分试题的解析和参考内容，真正的试题可能更加复杂，需要根据具体情况进行分析和求解。
在准备数学考试时，掌握基础知识、理解概念的意义和运用、灵活运用各种数学方法和技巧，以及进行充分的练习是非常重要的。
博士生综合考试参考题
（）
116.光纤传感器在矿上安全监测领域应用过程中面临哪些问题？
117.光纤激光瓦斯传感器与红外瓦斯传感器有什么区别？
118.一个简单的光纤传感监测系统构成需要什么元器件？
119.光纤传感技术还有何其他应用？
Tunneling in Various Ground Conditions: Examples and Numerical Simulation
（）
120.成功地建立隧道工程数值模型的关键是什么?
121.围岩的剪切塑性流动与脆性片帮（岩爆）有何区别？
122.哪种围岩失稳应考虑时间相关性（即蠕变）问题？
123.哪种数值方法最适合模拟低应力条件下的节理岩石？
注：本参考题适用于2010年5月综合考试（口试）；
口试时专家将根据研究生的选题情况、所学专业等参考此有关的参考题进行提问。
54.天然气水合物的主要分布区域
55.天然气水合物中的烃类气体主要有几种成因类型
构造热液白云岩化作用与白云岩储层
.01)
56.生物调节作用是否否定蒸发泵模式？
57.原生白云岩与微生物关系密切，次生白云岩与微生物的关系？
58.热液埋藏白云岩与原生孔隙关系密切，对白云岩的勘探是否就是找断裂裂缝？
多基线数字近景摄影测量系统lensphoto的应用案例
这个新观点会有什么后果？
多孔超细粉体表面特征及测试技术（）
42.孔径主要分类
43.单层吸附理论以基本假设
44.比表面积计算方法
沉积地质学研究进展与思考（）
45.煤田地质、煤炭地质和煤地质这三者到底有什么区别?
46.沉积学研究关于沉积特征定量研究国际国内的进展？
北京大学博雅计划数学真题版
北京大学 2021 年博雅方案数学试卷选择题共 20 小题，在每题的四个项中，只有一项切合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得 5 分，选错扣 1 分，不选得 0 分。
1. 设 n 为正整数，C n k n!为组合数，那么 C202103C202115C20212...4037C20212021等于〔〕k!(n k)!A. 2021 22021B. 2021！C.C40362021D.前三个答案都不对【答案】 Dn n n n n n n分析：(2k1)C n k2kC n k C n k 2 nC n k11C n k2n C n k11C n k，k 0k 0k 0k 1k 0k 1k 0202120212021C202103C 202115C20212...4037C20212021(2 k 1)C2021k 2 2021C2021k1C2021kk0k 1k0 40362202122021202122021，应选D。
2.设 a， b，c 为非负实数，知足 a b c，那么a ab abc 的最大值为〔〕++=3++A. 3B. 4C. 3 2D.前三个答案都不对【答案】 B分析： a ab abc a(1b(1 c)) a 1(1 b c)2 a 1 (4a)2，对其求导获得 a 2 时取44最大值为 4。
3.一个正整数 n 称为拥有3-因数积性质假定n的所有正因数的乘积等于 n3，那么不超出400的正整数中拥有3- 因数积性质的数的个数为〔〕A. 55B. 50C. 51D.前三个答案都不对【答案】C分析：设 n 的所有正因数的乘积为T，即T n3。
n 1 明显切合题意；下边证明当 n 2 时，正整数n的质因数的个数最多为 2：假定n的质因数的个数大于或等于3，即n的所有质因数为p1, p2 ,..., p k (k3) ，并设 n p11 p22 ... p k k，那么 n 的所有正因数的乘积中， p i i (i1,2,...k) 起码在 p i i , p i i p1 , p i i p2 ,..., p i i p i1, p i i p i1..., p i i p k , p i i p2 ... p k这些因子中出现，即i 出现的次数大于或等于，这样 T12k)44，这与题意T n3p i4( p1p2... p k n 矛盾，因此假定不建立，即n 的质因数的个数最多为2。
2020年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷(强基计划)-学生用卷
2020年北京海淀区北京大学自主招生数学试卷（强基计划）-学生用卷一、选择题（本大题共20个小题，每小题5分，共100分）1、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第1题5分正实数x ，y ，z ，ω满足x ⩾y ⩾ω和x +y ⩽2(z +ω)，则ωx +z y 的最小值为（ ）．A. 34B. 78C. 1D. 前三个答案都不对2、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第2题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试竞赛在(2019×2020)2021的全体正因数中选出若干个，使得其中任意两个的乘积都不是平方数，则最多可选因数个数为（ ）．A. 16B. 31C. 32D. 前三个答案都不对3、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第3题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试整数列{a n }n⩾1满足a 1=1，a 2=4，且对任意n ⩾2有a n 2−a n+1a n−1=2n−1，则a 2020的个位数字是( )A. 8B. 4C. 2D. 前三个答案都不对4、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第4题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设a，b，c，d是方程x4+2x3+3x2+4x+5=0的4个复根，则a−1a+2+b−1b+2+c−1c+2+d−1d+2的值为()A. −43B. −23C. 23D. 前三个答案都不对5、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第5题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设等边三角形ABC的边长为1，过点C作以AB为直径的圆的切线交AB的延长线于点D，AD>BD，则△BCD的面积为()A. 6√2−3√316B. 4√2−3√316C. 3√2−2√316D. 前三个答案都不对6、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第6题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试竞赛)π，其中k为整数，已知sin(y+z−x)，sin(x+z−y)，sin(x+y−z)设x，y，z均不为(k+12成等差数列，则依然成等差数列的是（）．A. sinx，siny，sinzB. cosx，cosy，coszC. tanx，tany，tanzD. 前三个答案都不对7、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第7题5分2020~2021学年北京高二单元测试竞赛2020~2021学年北京高三单元测试方程19x+93y=4xy的整数解个数为（）．A. 4B. 8C. 16D. 前三个答案都不对8、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第8题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试+y2=1引切线，两个切点间的线段称为切点弦，则椭圆C内从圆x2+y2=4上的点向椭圆C：x22不与任何切点弦相交的区域面积为()A. π2B. π3C. π4D. 前三个答案都不对9、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第9题5分2020~2021学年10月上海浦东新区华东师范大学第二附属中学高一上学期月考第16题 竞赛2020~2021学年11月浙江杭州滨江区浙江省杭州第二中学高一上学期周测A 卷第9题 2020~2021学年北京高二单元测试使得5x +12√xy ⩽a (x +y )对所有正实数x ，y 都成立的实数a 的最小值为（ ）．A. 8B. 9C. 10D. 前三个答案都不对10、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第10题5分 设点P 为单位正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1上的一点，则PA 1+PC 1的最小值为（ ）．A. √2+√2B. √2+2√2C. 2−√22D. 前三个答案都不对11、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第11题5分 数列{a n }(n ⩾1)满足a 1=1，a 2=9，且对任意n ⩾1，有a n+2=4a n+1−3a n −20，记S n 为数列的前n 项和，则S n 的最大值等于（ ）．A. 28B. 35C. 47D. 前三个答案都不对12、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第12题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设直线y=3x+m与椭圆x 225+y216=1交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为()A. 8B. 10C. 12D. 前三个答案都不对13、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第13题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试正整数n⩾3称为理想的，若存在正整数1⩽k⩽n−1使得C n k−1，C n k，C n k+1构成等差数列，其中C n k=n!k!(n−k)!为组合数，则不超过2020的理想数个数为()A. 40B. 41C. 42D. 前三个答案都不对14、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第14题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试在△ABC中，∠A=150°，已知D1，D2，⋯，D2020依次为边BC上的点，且有BD1=D1D2= D2D3=⋯=D2019D2020=D2020C．设角度∠BAD1=α1，∠D1AD=α2，⋯，∠D2019AD2020=α2020，∠D2020AC=α2021，则sinα1sinα3⋯sinα2021的值为()sinα2sinα4⋯sinα2020A. 11010B. 12020C. 12021D. 前三个答案都不对15、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第15题5分函数√3+2√3cosθ+cos2θ√5−2√3cosθ+cos2θ+4sin2θ的最大值为（）．A. √2+√3B. 2√2+√3C. √2+2√3D. 前三个答案都不对16、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第16题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试竞赛方程√x+5−4√x+1+√x+2−2√x+1=1的实根个数为（）．A. 1B. 2C. 3D. 前三个答案都不对17、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第17题5分竞赛2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试凸五边形ABCDE的对角线CE分别与对角线BD和AD交于点F和G，已知BF:FD=5:4，AG:GD= 1:1，CF:FG:GE=2:2:3，S△CFD和S△ABE分别为△CFD和△ABE的面积，则S△CFD:S△ABE的值等于（）．A. 8:15B. 2:3C. 11:23D. 前三个答案都不对18、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第18题5分2020~2021学年北京高二单元测试2020~2021学年北京高三单元测试设p，q均为不超过100的正整数，则有有理根的多项式f(x)=x5+px+q的个数为()A. 99B. 133C. 150D. 前三个答案都不对19、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第19题5分2020~2021学年北京高三单元测试2020~2021学年北京高二单元测试满足对任意n⩾1，都有a n+1=2n−3a n且严格递增的数列{a n}(n⩾1)的个数为（）．A. 0B. 1C. 无穷多个D. 前三个答案都不对20、【来源】 2020年北京海淀区北京大学自主招生（强基计划）第20题5分设函数f(x,y,z)=xx+y+yy+z+zz+x，其中x，y，z均为正实数，则（）．A. f(x,y,z)既有最大值也有最小值B. f(x,y,z)有最大值但无最小值C. f(x,y,z)有最小值但无最大值D. 前三个答案都不对1 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 A;5 、【答案】 C;6 、【答案】 C;7 、【答案】 B;8 、【答案】 A;9 、【答案】 B;10 、【答案】 D;11 、【答案】 A;12 、【答案】 B;13 、【答案】 C;14 、【答案】 D;15 、【答案】 D;16 、【答案】 D;17 、【答案】 A;18 、【答案】 B;19 、【答案】 B;20 、【答案】 D;。
北大直博历年试题(2011-2018,缺2014,2017)
使得 lim f x 0 ？ x
（1） f x C ；
（3） f x 2 dx 收敛； a
（2） f x 3 dx 收敛； a
（4） f x 2 dx 收敛。 a
二、代数与几何
1. f x xn a1xn1 L an1x an ， g x xm b1xm1 L bm1x bm ， Amn 为 m n 阶方阵，前 m 行是 f x 系数，后 n 行 g(x) 是系数，如下：
¦3‡pƒ L«•˜‡
•þ,¦ 3dC†eEC•3‡pƒ
C†Ú©Oé3‡pƒ
••–1
•þ;¿ò¤‰ • C† C† ¦È.
3. y²:©OáuV- Ô¡
x2 y2 − = 2z
a2 b2
þ üxpƒR† †1‚ : ;,´-¡(1)†²¡2z = b2 − a2
‚.
(1) ‚•˜^V-
2
2013 北大数院直博
cos ε1, ηn
cos ε2, η1
cos ε2, η2 ...
cos ε2, ηn
. . . cos εn, η1
. . . cos εn, η2
...
...
. . . cos εn, ηn
(c) (½ ‘mþ1˜a Ý 91 a Ý ˜„/ª,¿‰Ñn‘î ¼˜mþ C† ƒqIO.(=,«{z L«/ª).
f (x)
=
g(x)
+
f (n)(y) − n!
g(n)(y) (x
−
x1)k1
.
.
.
(x
−
xt)kt .
2021年北京大学强基计划校测数学模拟试题及答案
北京大学2020年强基计划校测笔试数学模拟试题1本卷共6大题，限时80分钟、每个题目25分、总分150分1、让n名男生和n名女生站成一行，对于每个学生X，X有一些糖果，糖果的树木恰等于数对(a,b)的数目，其中，数对(a,b)表示a，b是与X不同性别的且X是站在a，b中间的。
证明：n名男生和n名女生手中的糖果数目不超过n(n²-1)/3。
2、已知开口向上的抛物线y=ax²交双曲线xy=1于点T，两条曲线的公切线分别切抛物线、双曲线于点P，Q。
下面我们研究△PQT。
(1)找到△PQT的某两条中线，其夹角为定值，并求出这个夹角。
(2)求△PQT的面积。
3、已知圆内接四边形ABCD,CB与DA的延长线交于点P,延长BP到点Q ,使得PQ = BP ,且四边形CAQR及四边形DBCS均为平行四边形.证明:C、R、Q、S四点共圆.4、已知数列{a n}满足证明，对任何正整数n都有2a n+1≥7a n5、对于整数n(n≥3),设f(n)是平面上无三点共线的n个点中能够组成的等腰三角形的数目的最大值.证明:存在正数a、b,使得对于所有的n有an²<f(n)<bn².6、设n为正整数.证明:若n的所有正因子之和为2的整数次幂,则这些正因子的个数也为2的整数次幂.北京大学强基计划校测笔试数学模拟试题1参考答案1、证明 用字母b 、g 分别表示男生和女生。
若在这一排中的n 名男生和n 名女生的排列为n 个连续的由1名男生和1名女生组成的数对，则所有糖块数目为）（1312-n n 。
称此排列为“最优排列”。
任何其他排列是以下形式中的中：⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥≥g b bb gb bg bg b g gg gb bg bg t t个个或22)())()(()())()(( ① 易知，移动一名女生或一名男生如排列 ②⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--gb b bb gb bg bg b g gg gb bg bg t t）个（）个（或11)())()(()())()(( 则糖果的数目增加。
2013北大直博试题回忆版
2013北大数院直博（回忆版，仅供参考）1.(20分)f 是[]2,0上的上凸可导函数，过（0,0），(1,1),(2,0)点，问f 与x 轴围成面积的下确界是多少？该下确界能达到吗？2.（20分）由方程.sin x y y =+（1）证明f 在x=0附近可以唯一确定)(x f y =（2）将)(22210x o x a x a a y y +++=表示为3.（20分）构造函数定义在]1,1[−上的函数f ，满足f 只在其中一点可导，在其他各点都不连续。
的收敛性。
分）讨论级数（∑∞−+−1)1()1(20.4n n n 吗？解释原因。
收敛于的弧长求一致收敛于）求证（。
的弧长求上，满足定义分）函数（l l l f f f l x f n n x n n x nn k n k x n k x n n n x n x nn x n x nf x f n n n n n )4(.)3(.2)()1(]2,22[,)12(1)2,22[,)12(1)4,2[,)3(12,0[,)1(1]2,0[)(35.522222222⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧−∈−−−−∈−−−∈−−∈−−=⋯⋯6.（35分）定义函数f:[0,1]→[0,1]如下：）则写成表示成无限小数（如其中其中•===90.0,1.0.....0....,000.0)(321321x x a a a x a a a x f 请自由探索f 的性质。
.)()(),(4)()2).(3()(,6)deg(),(0121125.7158583636−+==+<=++++αααααααg x g x f f f x f x x x x 满足）求多项式（唯一吗？为什么？中所求且满足的根，求多项式是）如果（，给出详细理由。
在有理数域上是否可约）分）（（其中g （x ）是有理多项式。
8（25分）DMA D i i i i i i D A BB A A B A B s s ≤≥+≥+代数余子式，证明：的是列子主子式，行和第的由第是是正定矩阵，是半正定矩阵，证明：）（M ,....,,....,A )2(,,A 1.82121trAA n n A e e n A e ==∑∞=证明设分,!)25.(9010（25分）n 维空间至多有多少个两两成钝角的向量？11（30分）已知双叶双曲面1222−=−+z y x 的一支z >0，M 是与该双曲线相交于封闭曲线的任意平面，0M 是与M 平行的一族平面，证明0M 与1222−=−+z y x （z >0）相交的都是椭圆，且椭圆的中心在xy 平面上的投影都在x 轴上。