分形实例

2、对一条横向线段，先将其等分成4段，然后再将第二段向上移，将第三段向下移，再将第四段的相邻端点连接起来，迭代一次后变成图3-21.继续迭代得到的分形图，称为Minkouski香肠。

编制程序绘制出它的图形，并计算它的分形维数。

图3-21 Minkouski香肠一次迭代（1）编辑实现上述迭代的函数在Matlab中，编制一个函数来绘制Minkouski香肠的图形。

具体代码如下：function frat1(k)p=[0,0;10,0];A=[0,1;-1,0];n=1;for s=1:kj=0;for i=1:n;q1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/4;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A';j=j+1;r(j,:)=q1+3*d+d*A';j=j+1;r(j,:)=q1+3*d;endn=n*7;clear pp=[r;q2];endplot(p(:,1),p(:,2))axis equal将这个文件保存，文件名记为frat1.m. （2）绘制Minkouski香肠的图形代码：frat（3）运行结果：代码：frat（5）运行结果:(3)计算Minkouski香肠的维数根据迭代规律得到：形似形个数m=7,边长放大倍数c=4，故维数d=1.4037.因此，Minkouski香肠的维数介于1与2之间。

具体计算如下：d=ln m/ln c=ln 7/ln 4=1.40375、自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘出它的图形，并计算维数。

function frat2(k)p=[-5,5;5,5;5,-5;-5,-5;-5,5];A=[1.5,-0.5;0.5,1.5];n=4;for s=1:kj=0;for i=1:n;q1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;endn=n*4;clear pp=[r;q2];endplot(p(:,1),p(:,2)) axis equal。

分形图形（组图）

分形图形（组图）*
对数学痛心疾首恨之入骨的同学一定不在少数呢。

说到数学都会想到昏昏欲睡的数学课、无法理解的公式、还有永远也算不出来的X 先生和α先生。

但是很少会有人知道。

其实数学也有非常柔美华丽的一面呢。

曼德尔布诺特给分形下的定义是：一个集合形状，可以细分为若
干部分，而每一部分都是整体的精确或不精确的相似形。

由于分形将数学的美变得更直观更平易近人，它也被很多艺术家青睐。

这里整理了艺术家Silvia Kordedda创作的分形图形。

是不是觉得如果早一些看到这些，也会想要努力学习数学呢?。

分形理论及其应用

ln 4 ln 3
1.2618
显然，L(r)与N(r)之间的关系是 L(r) N(r) r
所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在
的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变长，在 r→0时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。
若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，
C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。
适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有
C(r) r D
如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称
为关联维数，用D2表示，即
ln C(r)
D2

lim
r 0
ln r

▪标度律与多重分形
(1)标度律
X1

X X
2 3

X
4

： (x1，x2，，xm ) ： (x2，x3，，xm1 ) ： (x3，x4，，xm2 ) ： (x4，x5，，xm3 )

把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联
的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成
Cantor集合，考虑多重分形，把同样的均匀质量棒
从其左端3/5处一分为二，然后把左段压缩为长度
r1=1/4，其质量P1=3/5，而右段保持原长度r2=2/5，其质量P2=2/5；第二步按着上述的比例对两段分别进行同样的变换就得到4段，左两段的长度分别为 r12 r1r2 质量分别为 P12 ，P1P2 ，右两段的长度分别为， r2r1 r22 ，质量分别为， P2P1 P22 ；如此操作下去就会得到一个不均匀的Cantor集合。在这个集合中分布着众多长宽相

利用分形理论解释自然现象

利用分形理论解释自然现象
分形是一种几何形状，具有自相似性的特点。

它可以在不同的尺度
上重复出现，并且形状复杂多样。

分形理论被广泛应用于自然科学领域，用来解释各种自然现象。

本文将利用分形理论来解释一些常见的
自然现象，从而更好地理解自然界的奥妙。

首先，我们来看看山的形状。

山脉的轮廓线常常呈现出分形结构，
即使在不同的尺度上观察，都可以看到类似的形状。

这是因为山脉的
形成过程中，受到了地质构造和气候等多种因素的影响，形成了复杂
的结构。

分形理论可以很好地解释这种现象，帮助我们更好地理解山
脉的形成过程。

其次，我们来看看云的形状。

云的形态也常常表现出分形特征，不
论从近距离还是从远处观察，都可以看到类似的形状。

这是因为云是
由水蒸气在大气中凝结形成的，受到风力和气温等因素的影响，形成
了各种各样的形态。

分形理论可以帮助我们理解云的形成规律，进而
更好地预测天气变化。

另外，我们再来看看河流的走势。

河流的轨迹同样表现出分形结构，河岸的曲线呈现出复杂多样的形状。

这是因为河流受到地形地貌的影响，形成了不规则的河道。

分形理论可以解释河流的形成机制，帮助
我们更好地研究河流的演变过程。

总的来说，分形理论可以帮助我们理解自然界中各种复杂多样的现象。

通过分形理论的解释，我们可以更好地认识自然界的规律，探索
宇宙的奥秘。

希望本文对读者有所启发，让大家更加热爱自然，关心
环境，共同保护我们美丽的地球家园。

愿人类与自然和谐共处，共同创造美好未来。

分形理论简介ppt

进一步对形成的9条子线段作分割和“日” 字型折线框形构造，便形成81条子折线，而每条折线的长度为1/9；如此分割构造下去便得到了皮亚诺曲线。
分割次数越多，得到的皮亚诺曲线就越密。

由于皮亚诺曲线最终可以穿行（遍历）一个平面上的每一个点，因此它也被称作空间填充曲线。
例子6：谢尔宾斯基三角垫
Nr A 1/ r d
则称d为A的盒计数维数

盒维数为d，当且仅当存在一个正数k使得 lim r 0
lim log Nr A d log r log k
r 0
N r A k 1 rd
d lim
log k log N r A log N r A lim r 0 r 0 log r log r

自仿射性

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
自仿射性是自相似性的一种拓展和延伸，如果局部到整体在各个方向上的变换比率是相同的，那么就是自相似性变换；而当局部到整体在不同方向上的变换比率不一定相同时，就称为自仿射性变换。自相似性变换是自仿射性变换的特例。
分形几何与欧氏几何的区别
11
两种几何学欧氏几何
描述对象人类创造的简单标准物体（连续、光滑、规则、可微）大自然创造的复杂的真实物体（不连续、粗糙、不规则、不可微）

N×r3=1
小正方体的测量数目为N(r)=r -3
分形维数：相似维数
14

线、面、体的维数为1、2、3，归纳为 N (r ) r D
两边取对数 D
log N r 1 log r

相似维数的定义：如果一个分形对象 A（整体）可以划分为 N(A,r) 个同等大小的子集（局部单元），每个子集以相似比 r 与原集合相似，则分形集 A 的相似维数 Ds 定义为

各种有趣的分形

各种有趣的分形我们看到正方形，圆，球等物体时，不仅头脑里会迅速反映出它是什么，同时，只要我们有足够的数学知识，我们头脑中也反映出它的数学概念，如正方形是每边长度相等的四边形，圆是平面上与某一点距离相等的点的集合，等等。

但是，当我们看到一个山的形状时，我们会想到什么"这是山"，没错，山是如此的不同于其他景象，以至于你如果绘画水平不高，根本画不出象山的东西。

可是，山到底是什么"它既不是三角形，也不是球，我们甚至不能说明山具有怎样的几何轮廓，但为什么我们却有如此直观而又强烈的山的印象"分形的创始人是曼德布洛特思考了这个问题。

让我们先来熟悉几个典型的分形。

图中的风景图片又是说明分形的另一很好的例子。

这美丽的图片是利用分形技术生成的。

在生成自然真实的景物中，分形具有独特的优势，因为分形可以很好地构建自然景物的模型。

这是一棵厥类植物，仔细观察，你会发现，它的每个枝杈都在外形上和整体一样，仅仅在尺寸上小了一些。

而枝杈的枝杈也和整体一样，只是变得更加小了。

Sierpinski三角形具有严格的自相似特性Kohn雪花具有严格的自相似特性分维及分形的定义分维概念的提出对于欧几里得几何所描述的整形来说，可以由长度、面积、体积来测度。

但用这种方法对分形的层层细节做出测定是不可能的。

曼德尔布罗特放弃了这些测定而转向了维数概念。

分形的主要几何特征是关于它的构造的不规那么性和复杂性，主要特征量应该是关于它的不规那么性和复杂性程度的度量，这可用"维数〞来表征。

维数是几何形体的一种重要性质，有其丰富的涵。

整形几何学描述的都是有整数维的对象：点是零维的，线是一维的，面是二维的，体是三维的。

这种几何对象即使做拉伸、压缩、折叠、扭曲等变换，它们的维数也是不变的；这种维数称为"拓扑维〞，记为d。

例如当把一地图卷成筒，它仍然是一个二维信息载体；一根绳子团成团，仍然是一维构造。

但曼德尔布罗特认为，在分形世界里，维数却不一定是整数的。

数学实验分形实例

数学实验分形实例(总11页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--数学实验报告学院：班级：学号：姓名：完成日期：实验二分形（一）练习题1一．实验目的1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构。

二. 问题描述对一个等边三角形，每条边按照Koch曲线的方式进行迭代，产生的分形图称为Koch雪花。

编制程序绘制出它的图形，并计算Koch雪花的面积，以及它的分形维数。

三．实验过程仿照Koch曲线代码对三角形的每条边进行Koch曲线化，建立函数“snow”的输入参数有三角形的边长R和迭代次数k,输出Koch雪花图形以及雪花所围面积S.源代码如下：function snow(R,k)p=[0;R/2+1i*R*sin(pi/3);R;0];S=0;n=3;A=exp(1i*pi/3);for s=1:kj=0;for i=1:nq1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A; j=j+1;r(j,:)=q1+2*d; endn=4*n;clear pp=[r;q2];endfigureq(:,1)=real(p(:,1));q(:,2)=imag(p(:,1)); plot(q(:,1),q(:,2))fill(q(:,1),q(:,2),'b')for i=0:kS=S+(3.^)**(R.^2); endSaxis equal按照以上程序，输入参数，有以下结果：>> snow(1,1) S = 图形如下:>>snow(1,2) S = 图形如下:>>snow(1,3) S = 图形如下:>>snow(1,4) S = 图形如下: >>snow(1,5) S = 图形如下:四．总结分析和心得体会根据观察迭代的面积规律，即可推得面积递推公式：,其中即：面积公式，也就等于分形维数，根据迭代的规律得到：相似形个数：m=4边长放大倍数c=3，维数d=ln m/ln c=ln 6/ln 3=（二）练习题2一．实验目的1．了解分形几何的基本情况；2．了解通过迭代方式，产生分形图的方法；3．了解matlab软件中简单的程序结构。

55个惊人美丽的分形艺术作品

55个惊人美丽的分形艺术作品55个惊人美丽的分形艺术作品“分形”一词译于英文Fractal，系分形几何的创始人曼德尔布罗特（B.B.Mandelbrot）于1975年由拉丁语Frangere一词创造而成，词本身具有”破碎”、”不规则”等含义。

Fractal by LynnDream Blooms by ColliemomThe Beginning by Magnusti78Fleur D’Apo by mynameishaloA Feeling by Magnusti78Autumn Dance by SilwenkaFantasy Lover by KLR620Cubik Olympic by digitalpaintersFurnace by Aexion… by LynnFairy Tree by NiroloSanctuary by Creativ82Alchemy by 404-Not-FoundFractal Art by Nathan SmithMelt the Ice by zueukTalisman V by hmnFractal Art by Nathan SmithIllusions by CygX1Evolution by trystianityNexus by NinthTabooGhostly Visage by tdierikxFractal Art by Nathan SmithI sleep only to dream of you by longan drink Aeries Reborn by theArchonAir by SilwenkaPerception Redefined by TyrantWaveForever Friend by Rhiannon104Night of the Phoenix by magnusti78Flying Carpet by wm-dDragon in the Evening Desert by Treehouse Charms The Awakening III – Rebirth by cyg1XRR2 – Wonderland Forever by magnusti78 Mycology by cyberxaosFractal Flowers CollectionLast of the Summer Flowers by Omron。

生活中的数学——有趣的分形

有趣的分形
让我们动手来画图。

(1)先画一个正三角形，每一边的长度是1；
(2)在每个边的三等份的中间一等份处再凸出造一个正三角形，小三角形在三个边上出现，使原三角形变成六角形；
(3)再在六角形的12条边上重复进行三等份的中间一等份处凸出造一个正三角形的过程，得到4×12=48边形；
……
每边三等分的中间一等分处凸出一个小正三角形，如此至于无穷。

其外缘曲线的构造越
来越精细，它好象是一片理想的雪花。

整体地
看，它仍具有对称性；部分地看，它们每一个
自身内部结构间具有相似性(叫自相似性)，我科克雪片的前三个阶段的构造们把这样的曲线叫做科克曲线(雪花曲线)，它是1904年瑞典科学家科克所描述的。

雪花曲线的产生过程充分展现了它具有自相似的特点。

数学家芒德勃罗创造了一个词“fractal”，中文译为“分形”，来描述这样的图形特点。

留意观察，我们会发现大自然中充满着这种“分形”现象，如，天空中云彩、天体的分布、闪电、雪花……地球的表面、绵延不断的山脉、河流的分布、蜿蜒曲折的海岸线、崎岖的道路、人体肺气管和血管的分布、正常人的脑电脑图……
人们认识分形，在于探索事物的自相似结构，自相似是跨越不同尺度的对称性。

通过认识分形，人们能更好地认识事物的结构，还可以指导我们创造出令人赏心悦目的艺术品……。

自然界分形

自然界分形
自然界中有很多分形，以下列举几个例子：
1. 雪花：雪花的形状是分形的，每个雪晶片都是由相同的形状重复组成的。

2. 树枝：树枝的分支形状也是分形的，每个分支都会分成更小的分支，形成无限的层次。

3. 海岸线：海岸线的形状也是分形的，它们的形状在不同的尺度上都是相似的，无论是从空中观察还是从地面上观察。

4. 云朵：云朵的形状也是分形的，它们的形状在不同的尺度上都是相似的。

5. 羽毛：鸟类的羽毛也是分形的，每根毛都是由相同的形状重复组成的。

这些分形形状的出现，是由于自然界中的物质和能量在不同的尺度上都是相似的。

这种相似性是自然界中普遍存在的，也是分形的本质特征。

分形几何的典型范例

分形几何有许多典型的范例，以下是其中一些：
1. 谢尔宾斯基三角形：这是一种自相似的分形图形，通过不断将三角形划分为更小的三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。

2. 谢尔宾斯基垫片：这是由谢尔宾斯基三角形进一步演化而来的一种分形图形，由三角形内部的三角形构成，整体呈现出一个自相似的模式。

3. 科赫曲线：又称为科赫雪花或科赫蛇，是一种分形曲线。

通过不断将一段线段分割成等长的两段，然后将每一段线段的中间部分弯曲成等边三角形，最终得到具有无限复杂性的图形。

4. 曼德布罗集：这是由数学家本华·曼德布罗提出的分形图形，通过不断将单位正方形进行切割和填充，最终得到的图形是一个具有无限复杂性的集合。

5. 皮亚诺曲线：这是一种由意大利数学家皮亚诺提出的分形图形，它是一种在平面上的连续曲线，通过不断将线段进行延长和弯曲，最终得到的图形具有无限复杂性和自相似性。

这些只是分形几何中的一些典型范例，实际上还有许多其他的分形图形和结构，如朱利亚集、费根堡姆曲线等。

这些分形图形的特点是具有无限的复杂性和自相似性，并且在许多领域中得到了应用。

分形几何学绘制的美丽图案(30幅)

自
动
换
片
奇异、美丽的图案-----超出想象！
是工艺美术大师的创作吗？
这是数学的杰作！
20世纪70-80年代，产生了一门新的数学分支---分形几何学
分形几何学，英文是FRACTAL GEOMETRY
经典的欧几里德几何学里面的图形过于简单，难以描述自然
分形几何学才更接近大自然
分形学绘制出的美丽图案，自然引起了美术家的关注
分形学不仅仅提供美丽图案，它还有许多实际应用，如大气物理
甚至有研究者发现，古琴的旋律也是“分形”的。

对“分形”感兴趣的朋友，可利用互联网的搜索功能，搜到详细解释
也可以搜到大量“分形”图形，而在仅仅几年前，分形图还很稀缺
有一帮美国人，已经把绘制分形图当作嗜好，乐此不疲
分形，让很多人着迷
人们已经开发出绘制分形的软件，让绘制分形变得异常方便
人们已经可以绘出三维的分形
这幅三维分形，很容易让人想起喀斯特溶洞。

几何画板(GSP)分形入门50例

几何画板分形入门50例重庆市万州第二高级中学向忠(老巷)教程介绍了一些常见经典分形的几何画板实现方法，内容包括：林氏系统L-system、迭代函数系统IFS、圆的极限集、Mandelbrot集、Julia集、Newton分形、实数分形，以及这些分形的一些特效变换方法软件支持：几何画板5分形工具：画板分形常用工具包复分形生成平台IFS分形生成平台1~3(全文范例的gsp源文件、插图及分形工具可点击封面分形图下载)写在前面分形几何学是美籍数学家曼德尔布罗特(Benoit B·Mandelbrot)在 20 世纪 70 年代中期创立的一门新的数学前缘学科，它以研究自然界与社会活动中广泛存在的无序现象为对象，其理论和方法广泛应用于自然科学和社会科学的各个领域，为描述自然界和社会系统中大量存在的不规则图形和现象提供了相应的思想方法，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路。

目前我国正在进行的基础教育课程改革，为这门充满活力的新兴学科在普通高中数学课程中渗透创造了一个良好的契机。

根据《基础教育课程改革纲要》“加强课程内容与现代科技的联系”的要求和高中生的知识基础及思维水平，本教程避开了分形几何学的那些深邃的理论，精心遴选了分形几何的50个经典实例，从计算机实际操作入手，通过几何画板的演绎，深入浅出地介绍分形图形的一些常用实现方法，引领学生经历一次全新的几何旅程、领略一种全新的数学思维方式，培养高中学生对科技发展前沿理论的敏感和关注意识。

目录例1．简单向前生成元格式的LS分形例2．左右生成元混合格式的LS分形例3．分枝结构的进退格式的LS分形例4．Koch曲线及LS雪花例5．二维IFS分形确定性算法(一)例6．二维IFS分形确定性算法(二)例7．二维IFS分形确定性算法(三)例8．带概率的IFSP分形(一)例9．带概率的IFSP分形(二)例10．IFS码的提取和植物的拟态例11．反函数迭代(逆迭代)法IFS分形(一)例12．反函数迭代(逆迭代)法IFS分形(二)例13．LS分形的球面化处理例14．Weierstrass函数的球面化处理例15．IFS分形的反演处理例16．Apollony分形例17．圆的极限集(一)例18．圆的极限集(二)例19．圆的极限集(三)例20．圆的极限集(四)例21．复分形逃逸时间算法例22．Julia集和Mandelbrot集的RGB着色与内外部修饰例23．Julia集和Mandelbrot集的特效处理例24．复分形的等et线作法例25．复分形的拟3D-et作法例26．免工具复分形的逃逸时间作法与分形局部放大例27．复分形的球面化处理例28．通过变换迭代格式绘制点生成特效分形例29．复分形的边界扫描技术——距离估计(DEM)方法例30．复分形拟3D-dist作法与圆等高线3D-dist作法例31．分形万花筒例32．分形局部连续放大同步扫描例33．分形浮雕效果例34．分形外部的三角形不等式着色方法例35．Newton分形例36．Newton分形的特效处理例37．实数分形之Mira分形例38．LS和IFS分形的内迭代扫描算法例39．圆的极限集的内迭代扫描算法例40．LS和IFS分形的外迭代扫描算法例41．J\M集的点陷阱扫描算法例42．实分形的点陷阱外迭代扫描算法例43．圆的极限集多点陷阱外迭代扫描算法(一)例44．圆的极限集多点陷阱外迭代扫描算法(二)例45．圆的极限集多点陷阱外迭代扫描算法(三)例46．分形的叠加与镶嵌例47．Escher_Julia盘例48．双曲对称极限圆(Poincar盘)例49．实分形的旋转迭代扫描算法例50．Hilbert填充曲线例1.简单向前生成元格式的LS分形L-system源于模拟植物形态和生长，是一种重要的分形生成方法。

分形实例

2、对一条横向线段，先将其等分成4段，然后再将第二段向上移，将第三段向下移，再将第四段的相邻端点连接起来，迭代一次后变成图3-21.继续迭代得到的分形图，称为Minkouski（1）编辑实现上述迭代的函数在Matlab中，编制一个函数来绘制Minkouski香肠的图形。

具体代码如下：function frat1(k)p=[0,0;10,0];A=[0,1;-1,0];n=1;for s=1:kj=0;for i=1:n;q1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/4;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d+d*A';j=j+1;r(j,:)=q1+3*d+d*A';j=j+1;r(j,:)=q1+3*d;endn=n*7;clear pp=[r;q2];endplot(p(:,1),p(:,2))axis equal将这个文件保存，文件名记为frat1.m. （2）绘制Minkouski香肠的图形代码：frat（3）运行结果：代码：frat（5）运行结果:根据迭代规律得到：形似形个数m=7,边长放大倍数c=4，故维数d=1.4037.因此，Minkouski香肠的维数介于1与2之间。

具体计算如下：d=ln m/ln c=ln 7/ln 4=1.40375、自己构造生成元（要有创意），按照图形迭代的方式产生分形图，用计算机编制程序绘出它的图形，并计算维数。

function frat2(k)p=[-5,5;5,5;5,-5;-5,-5;-5,5];A=[1.5,-0.5;0.5,1.5];n=4;for s=1:kj=0;for i=1:n;q1=p(i,:);q2=p(i+1,:);d=(q2-q1)/3;j=j+1;r(j,:)=q1;j=j+1;r(j,:)=q1+d;j=j+1;r(j,:)=q1+d+d*A;j=j+1;r(j,:)=q1+2*d;endn=n*4;clear pp=[r;q2];endplot(p(:,1),p(:,2)) axis equal。

分形建筑案例

分形建筑案例分形建筑是一种以自相似性为特点的建筑设计风格，它通过重复和缩放相似的图形或模块来创建复杂而美丽的建筑形态。

这种设计风格源于自然界中的分形现象，如树枝、蕨类植物和冰晶等。

下面是几个分形建筑的案例，展示了这种设计风格在现实世界中的应用。

1. 圣母玛利亚大教堂（Burgos Cathedral）：位于西班牙的布尔戈斯市，是哥特式建筑的杰作之一。

这座教堂采用了分形设计的原则，尤其是在它的尖顶和拱顶上。

教堂的尖顶结构呈现出自相似的形态，通过重复和缩放相似的元素创造出华丽而复杂的外观。

2. 白宫（The White House）：作为美国总统的官邸和办公地点，白宫也展示了分形建筑的设计理念。

其外观呈现出对称和自相似性的特点，尤其是在屋顶的设计上。

白宫的屋顶由多个三角形组成，这些三角形以不断重复和缩放的方式形成复杂而有序的模式。

3. 佩罗尼斯双塔（Petronas Towers）：位于马来西亚吉隆坡市中心，佩罗尼斯双塔是世界上最高的双子塔楼。

这座建筑采用了分形的设计原则，尤其是在它的外立面上。

塔楼的外立面由大量的窗户和几何形状的元素组成，这些元素通过重复和缩放形成了复杂而美观的外观。

4. 吉尔吉斯斯坦国家中央图书馆（National Library of Kyrgyzstan）：这座位于吉尔吉斯斯坦首都比什凯克的图书馆是一座独特的分形建筑。

它的外观呈现出由多个金属板组成的自相似图案，这些图案在整个建筑中不断重复和缩放，形成了引人注目的外观。

5. 雅典新博物馆（New Acropolis Museum）：位于希腊雅典，这座博物馆展示了古代希腊艺术和文化的珍贵文物。

建筑的外观采用了分形的设计原则，尤其是在其屋顶结构上。

屋顶由一系列金属板组成，这些金属板通过重复和缩放形成了美丽而复杂的图案。

生活中的美妙分形

从海洋贝类、螺旋星系再到人类肺部的结构，混沌的模型无处不在。

分形是从混沌方程形成的一系列图形，包含不断放大的复杂自相似图案。

如果将一个分形图案分为几个部分，那么每一小块都和整体形状完全一样。

分形的数学之美在于可以从相对简单的方程推导出无限复杂的系统。

通过多次迭代或重复分形生成方程，随机输出就可以产生独特且可识别的美丽图案。

地球上也存在一些自然生成的分形图形，下面我们将从中挑出一些最美丽的图案，以飨读者。

1. 罗马花椰菜（Romanesco Broccoli）这种花椰菜的变种形式是一种极限分形蔬菜。

它的图案是斐波纳契（Fibonacci）黄金螺旋的自然呈现形式，在这个对数螺旋中，每一个直角转弯与起始点的距离都被Φ值所约束，Φ值即黄金分割率。

旧金山湾（San Francisco Bay）的盐滩曾经出产了将近一个世纪之久的商品盐。

世界上最大的盐滩，即位于玻利维亚南部的乌尤尼岩沼（Salar de Uyuni）。

结痂的盐层展现出一种非常一致的随机图案模式，这就是分形的特征。

3. 菊石缝合线已经灭绝了6500万年之久的菊石是一种带有多室螺旋状外壳的海洋头足类动物，其小室之间的阻隔即缝合线就是一种复杂的分形曲线。

斯蒂芬·杰·古尔德（Stephen Jay Gould）曾以菊石缝合线随时间的复杂性来论证不存在向着更高复杂性方向发展的进化驱动力，人类的出现是一个“壮丽的偶然”，在宇宙中独一无二。

和罗马花椰菜一样，菊石外壳也会按照对数螺旋的方式生长，这种生长模式在自然界中颇为常见。

西班牙巴塞罗那一处教堂楼梯的设计灵感就来自于菊石。

4. 山脉地质构造作用力向上抬升地壳，侵蚀再将地壳撕得支离破碎，山脉从此形成，同时也产生了分形图案。

上图是喜马拉雅山脉（Himalayan Mountains）的高空图像，地球上许多最高的山峰都集中在这一带。

造山运动始于7000万年前，随着印度板块和欧亚大陆板块的不断碰撞，喜马拉雅山脉还在被抬升。

不可思议的分形图形

不可思议的分形图形讲数学之美，分形图形是不可不讲的。

如果说有什么东西能够让数学和艺术直接联系在一起，答案毫无疑问就是分形图形。

让我们先来看一个简单的例子。

首先画一个线段，然后把它平分成三段，去掉中间那一段并用两条等长的线段代替。

这样，原来的一条线段就变成了四条小的线段。

用相同的方法把每一条小的线段的中间三分之一替换成一座小山，得到了16条更小的线段。

然后继续对这16条线段进行类似的操作，并无限地迭代下去。

图1是这个图形前五次迭代的过程，可以看到第五次迭代后图形已经相当复杂，我们已经无法看清它的全部细节了。

图 1你可能注意到一个有趣的事实：整个线条的长度每一次都变成了原来的如果最初的线段长度为一个单位，那么第一次操作后总长度变成了第二次操作后总长度增加到第n次操作后总长度为毫无疑问，操作无限进行下去，这条曲线将达到无限长。

难以置信的是这条无限长的曲线却“始终只有那么大”。

现在，我们像图2那样，把3条这样的曲线首尾相接组成一个封闭图形。

这时，有趣的事情发生了，这个雪花状的图形有着无限长的边界，但是它的总面积却是有限的。

有人可能会说，为什么面积是有限的呢？虽然从图2看结论很显然，但这里我们还是要给出一个简单的证明。

3条曲线中每一条在第n次迭代前都有4n－1条长为的线段，迭代后多出的面积为4n－1个边长为的等边三角形。

把4n－1扩大到4n，再把所有边长为的等边三角形扩大为同样边长的正方形，总面积仍是有限的，因为无穷级数是收敛的。

很难相信，这一块有限的面积，竟然是用无限长的曲线围成的。

图 2这让我们开始质疑“周长”的概念了：剪下一个直径为1厘米的圆形纸片，它的周长真的就是π厘米吗？拿放大镜看看，我们就会发现纸片边缘并不是平整的，上面充满了小锯齿。

再用显微镜观察，说不定每个小锯齿上也长有很多小锯齿。

然后，锯齿上有锯齿，锯齿上又有锯齿，周长永远也测不完。

分形领域中有一个经典的说法，“英国的海岸线有无限长”，其实就是这个意思。

分形(一种别样的数学美丽)

分形（一种别样的数学美丽）从海螺和螺旋星云到人类的肺脏结构，我们身边充满各种各样的混沌图案。

分形（一种几何形状，被以越来越小的比例反复折叠而产生不能被标准几何所定义的不标准的形状和表面）是由混沌方程组成，它包含通过放大会变的越来越复杂的自相似图案。

要是把一个分形图案分成几小部分，结果会得到一个尺寸缩小，但形状跟整个图案一模一样的复制品。

分形的数学之美，是利用相对简单的等式形成无限复杂的图案。

它通过多次重复分形生成等式，形成美丽的图案。

我们已经在我们的地球上搜集到一些这方的天然实例，下面就让我看一看。

1.罗马花椰菜：拥有黄金螺旋罗马花椰菜这种花椰菜的变种是最重要的分形蔬菜。

它的图案是斐波纳契数列，或称黄金螺旋型(一种对数螺旋，小花以花球中心为对称轴，螺旋排列)的天然代表。

2.世界最大盐沼——天空之镜盐沼坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案过去一个世纪，上图里的旧金山海湾盐沼一直被用来进行工业盐生产。

下图显示的是位于玻利维亚南部的世界最大盐沼——天空之镜(Salar de Uyuni)。

坚硬的盐层上呈现非常一致的不规则图案，这是典型的分形。

3.菊石缝线菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型大约6500万年前灭绝的菊石在大约6500万年前灭绝的菊石，是制作分成许多间隔的螺旋形外壳的海洋头足纲动物。

这些间隔之间的壳壁被称作缝线，它是分形复曲线。

美国著名古生物学家史蒂芬·杰伊·古尔德依据不同时期的菊石缝线的复杂性得出结论说，进化并没驱使它们变得更加复杂，我们人类显然是“一个例外”，是宇宙里独一无二的。

菊石的外壳还生长成一个对数螺旋型，很显然，自然界经常会出现这种图案，例如罗马花椰菜。

4.山脉山脉山脉是构造作用力和侵蚀作用的共同产物，构造作用力促使地壳隆起，侵蚀作用导致一些地壳下陷。

这些因素共同作用的产物，是一个分形。

上图显示的是喜马拉雅山脉，它是世界很多最高峰的所在地。

印度板块和欧亚板块在大约7000万年前相撞在一起，导致喜马拉雅山脉隆起，现在这座山脉的高度仍在不断增加。

大自然中的分形现象大树

大自然中的分形现象大树大自然中的分形现象——大树一、问题叙述:1967年，一篇题为《英国的海岸线究竟有多长,》的论文出现在美国的《科学》杂志上，此论文对海岸线本质有独特的阐述，甚至震惊了当时的学术界。

与此同时，此论文也成了作者Mandelbrot思想的转折点。

分形理论也从此迅速发展起来，而Mandelbrot也成了分形理论的奠基人。

翻开过去的历史，不由的要怀疑分形的诞生和研究海岸线的长度为什么能够联系在一起。

而大自然中最常见的分形现象就是——大树～粗略的看大树，发现树的每一个分支和整棵树的形状是相似的，将主树干加上几根枝条，再对枝条趋于无限地加枝条，就得到了一棵完整的树。

联系Mandelbrot提出的分形的定义:如果一个图形的部分以某种方式与其整体本身相似，这个图形就称为分形。

然后我们就通过绘出“数学树”，和真实的树相比较，得出大自然中最常见的分形现象。

二、问题分析:为了研究方便，我们将树的结构尽可能简化，使他成为一个十分简单的数学模型:设图形为一条单位长T030:直线段，将其二等分，在中点上各向两边角的方向1L延伸出两条长的线段得到图形。

将的每段做TT0n13同样的变换，得到T。

当n趋向于无穷大时得到一棵图1 n，1“数学树”(见右图1)。

但是这棵“数学树”太简单了，如果绘出来的话就不像一棵树，而像一个扫帚。

T为了能够得到更真实的树，我们不妨再给出一个稍微复杂的树模型:设图形为一条0145:L单位长直线段，在第一个三等分点上各向两边角的方向延伸出两条长的线段，在021130:30:LL中点处向左以延伸出长的线段，再在第二个三等分点处向右方以延伸出0023TTT的线段。

得到图形。

将的每5个分支做同样的变换，得到(见下图2)。

nn，11图2三、实验程序:hold onaxis([-0.5,0.5,0,1])z10=0;z50=i;z20=z10+(z50-z10)/3;z30=z10+(z50-z10)/2;z40=z10+(z50-z10)*2/3;plot(real([z10,z50]),imag([z10,z50]))convert1=0.75*exp(i*pi/4);convert2=0.75*exp(-i*pi/4);convert3=exp(i*pi/6);convert4=exp(-i*pi/4); A=[z10,z50];n=5;N=0;for k=0:(n-1)N=N+5^k;endfor k=1:Nz10=A(k,1);z50=A(k,2);z20=z10+(z50-z10)/3;z30=z10+(z50-z10)/2;z40=z10+(z50-z10)*2/3; z5(1)=z20+(z50-z20)*convert1;z1(1)=z20;plot(real([z1(1),z5(1)]),imag([z1(1),z5(1)]))z5(2)=z20+(z50-z20)*convert2;z1(2)=z20;plot(real([z1(2),z5(2)]),imag([z1(2),z5(2)]))z5(3)=z30+(z50-z30)*convert3;z1(3)=z30;plot(real([z1(3),z5(3)]),imag([z1(3),z5(3)]))z5(4)=z40+(z50-z40)*convert4;z1(4)=z40;plot(real([z1(4),z5(4)]),imag([z1(4),z5(4)]))z5(5)=z50;z1(5)=z40;A(5*k-3,:)=[z1(1),z5(1)];A(5*k-2,:)=[z1(2),z5(2)];A(5*k-1,:)=[z1(3),z5(3)];A(5*k,:)=[z1(4),z5(4)];A(5*k+1,:)=[z1(5),z5(5)];end四、实验数据结果及分析:“数学树”迭代次数为n,此时我们令n分别为1、3和5，下面三幅图分别为对应迭代图。