哈工大数学实验-迭代问题

一、平面线性映射迭代
对函数y=f(x)，按照几何映射的观点，图形上就可表示为一条曲 线。特别地，当f表现为一条通过原点的直线时，称f为线性映射。
函数映射 线性映射：y f x ax 仿射映射： y f x ax b
一次函数映射 这类线性映射（平面到平面、 空间到空间）有什么性质呢？ 【敛散性，敛散速度等】 4
2015年 秋季学期
0.05
0
-0.05 -0.12
-0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0
0.02
drawFig31.m
一、平面线性映射迭代
从不动点谈起
对于函数f(x),若存在x*使得x*=f(x*),则称x*为f(x)的不动点.不动 点分为吸引不动点和排斥不动点，当迭代序列收敛时不动点为 吸引点，当迭代序列发散时不动点为排斥点，因此要想知道不 动点的类型,就要探索序列收敛和发散的条件,就要对大量的线性 或非线性函数进行研究。
1.定义 : 关系式
(n) (n) T , , xm ) 将向量 ( x1( n ) , x2
( n 1) ( n 1) ( n 1) T 映射为向量 ( x1 , x2 , , xm )
6
1
一、平面线性映射迭代
写成矩阵形式
一、平面线性映射迭代
xn 1 Axn
(n) (n) T 其中 xn , xn 1 分别为 ( x1( n ) , x2 , , xm ) 与
xk 1 Ayk , yk 1 xk 1 / m( xk 1 )
……
这样得到的序列 { yn }是否收敛呢？
yn Ayn 1 / m( xn 1 ) 1 y Ay, Ay y
说明是A的特征值，而y 是 对应的特征向量。 11
迭代序列的收敛性： (1)对任意的x (a, b), f ( x) (a, b)

一、平面线性映射迭代
在线性代数课程的学习中，我们已经学过了一对很重要的数 学概念 —— 方阵的特征值和特征向量，本次课程我们进一步 阐述和研究它的数学本质，并在此基础上利用相关的代数知 识和matlab软件以可视化的方式加深对于它们的理解。
(n) (n) x1( n 1) a11 x1( n ) a12 x2 a1m xm ( n 1) (n) (n) (n) x2 a21 x1 a22 x2 a2 m xm ( n 1) (n) (n) (n) x a x a m1 1 m 2 x2 amm xm m

y ax b
请参考：iterline.m

考虑不同的数对（a, b, x0, n），通过实验和图形表现，观察实验现象。
思考：
① 能否找到一个线性迭代，它对任意初始值，迭代序列均收敛？ ② 能否找到一个线性函数，它对任意函数值，迭代总是发散的？ ③ 是否存在这样的线性迭代，对一个或一些初始值给出的迭代序列收敛，而 对其他初始值发散呢？ ④ 能否找到这样的线性函数，对不同的初始值，迭代序列收敛到不同的极限？ ⑤ 对总给出收敛序列的线性函数 ，序列的极限L与常数 （a，b）关系如何？ 为了研究这个问题，取一个固定的 a值，变化 b，观察序列对不同的极限值， 注意到了什么？ y -0.5 x +1




海岸线有多长？
二、分形（续）
二、分形（续）——几个例子
按照传统的科学方法来考虑，这是一个很简单的问题，然而曼德勃罗教 授在其名为《英国海岸线有多长？》的文章中作出了令人惊诧的答案：
“英国海岸线的长度是不确定的!其原因在于海岸线的长度依 赖于测量时所使用的尺度。” 以1km为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于1km的迂回曲折 都忽略掉了，若以1m为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折 ，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大， 这些愈来愈大的长度将趋近于一个确定值，这个极限值就是海岸 线的长度。
线性映射迭代、分形、混沌
考察下列 方程组: 初始值：
0.2
1 xn 1 xn 3 y 1 x n 1 n 3
3 yn 3 3 yn 3
可写 成：
x0 0, y0 0.2
可视为：A为一个映射，它将平面 上的点映射为平面上的另一个点。
1 3 xn 1 3 xn 3 xn y Ay 3 yn n 1 1 n 3 3
( n 1) ( n 1) T ( x1( n 1) , x2 , , xm ) ，A为m×m矩阵
形如 y=Ax 的映射称为线性映射.给出一个初始向量
(0) (0) T x0 ( x1(0) , x2 , , xm ) ,将上述映射反复作用可得 序列： ， ， x0 x1 Ax0 x2 Ax1 ，…， xn 1 Axn ， …我 们将这一过程称为线性映射的迭代，其中矩阵A称 为迭代矩阵 。
(2) f ( x)在(a, b)内可导, 且存在L使得 f 由f ( x)所生成的迭代序列收敛
12
2
二、分形
在经典的欧几里德几何学中，我们可以用直线、立方体、圆锥、 球等这一类规则的形状去描述诸如道路、建筑物、车轮等等人造 物体，这是极自然的事情。 然而在自然界中，却存在着许许多多极其复杂的形状，如，山不 是锥，云不是球，闪电不是折线，雪花边缘也不是圆等等，它们 不再具有我们早已熟知的数学分析中的连续、光滑（可导）这一 基本性质了。 这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是“不可名状的”或“病 态的”，从而很容易被人们忽视了。显然传统的数学已经无法来 描述它们，从而使经典数学陷入了危机，于是分形几何学 （fractal geometry）便应运而生。 在科学和艺术中都找不到合适的术语来给它们命名。但是，它们 都有一个共同的数学结构-----粗糙和自相似。 13
则对任意的非零初始向量 (1 0) ,按上述迭代过程得到 x1 , x2 , 及 y1 , y2 , ，有：
lim yn a1 （其中a是一个非零常数）， lim m( yn ) 1
n
n
x0 11 a2 2 am m
x2 Ay1 , y2 x2 / m( x2 )
第三章 平面线性映射的迭代--二维动力系统（图3.1）
0.15
0.1
实验现象：逐点连线后的图形 表明：随着时间的推移（即迭 代的过程），将趋于一个平衡 点。 如果将此方程组看成是一个对 某系统的描述，则该系统绕着 平衡点“游荡”，其潜在的形 状被称为“奇异吸引子”。 2
石 振 锋
哈工大 计算数学研究所
一、平面线性映射迭代
归一化线性迭代收敛的充分条件 1 , 2 , , m ，A 设m阶实方阵A有m个线性无关的特征向量
的m个特征值满足下列关系：
1 2 2 m
x1 Ax0 , y1 x1 / m( x1 )
如果{ yn }的极限存在，那么显然m(xn) 的极限也存在，设它们极限分别为y与， 对下面式子两边同时取极限：
二、分形（续）
分形理论创始人－美籍 法国数学家Mandelbrot。
Mandelbrot 美国IBM（国际商业机器） 公司沃特森研究中心自然科 学部高级研究员 哈佛大学应用数学兼职教授 美国国家科学院院士 美国艺术与科学研究员成员 欧洲艺术、科学和人文研究 院院士。 15

二、分形（续）
对于排斥不动点，观察它的迭代序列，会发现两种情况（后面介绍）: 1、它可能也有收敛的子序列，此时序列可能收敛于周期点,经过探索发现这 些周期点都是2的n次方倍的。这是一种有序现象。 2、就是出现所谓的混沌现象。分析混沌的特性，观察并体会混沌无序中的有 序，以及它对初始值的敏感性。 通过函数迭代利用计算机求出函数的迭代序列，进而求得不动点的近似值。 在有关程序中改变参数值和初值，从中体会序列敛散性(收敛的速度)，同时 还可以通过蛛网图（后面介绍），观察它的几何特性。

lamda=weatherMarkov([1/3, 1/6, 1/2], 5) lamda=weatherMarkov([1/4, 1/2, 1/4], 13) testMarkov()
由线性代数的知识我们知道，如存在等式 说明A1有一特征值1，而
y 0.5 x 1
y x2
y 3 x 2
1967 年发表于美国《科学》杂志上 的“英国的海岸线有多长”的划时 代论文，是他的分形思想萌芽的重 要标志。 1973 年，在法兰西学院讲课期间， 他提出了分形几何学的整体思想。 1977 年，他出版了第一本著作《分 形：形态，偶然性和维数》，标志 着分形理论的正式诞生。 五年后，他出版了著名的专著《自 然界的分形几何学》，至此，分形 理论初步形成。 16
二、分形（续）
这一类奇形怪状的物体长期以来被认为是“不可名状的”或“病 态的”，从而很容易被人们忽视了。显然传统的数学已经无法来 描述它们，从而使经典数学陷入了危机，于是分形几何学 （fractal geometry）便应运而生。 分形几何与传统几何相比有什么特点： 从整体上看，分形几何图形是处处不规则的。例如，海岸线和山 川形状，从远距离观察，其形状是极不规则的。 在不同尺度上，图形的规则性又是相同的。海岸线和山川形状， 从近距离观察，其局部形状又和整体形态相似，它们从整体到局 部，都是自相似的。 拓扑维数：确定整个图形中点的位置所需的参数个数，实际上 就是我们通常所理解的关于维的概念。 直线是一维的，平面是二维的，空间是三维的，曲线是一维的， 曲面是二维的。 14
3
一、平面线性映射迭代
迭代的可视化（蜘蛛网图）
对函数的迭代过程,我们可以用几何图像来直观的显示它。 在xoy平面上，先作出函数y=f(x)与y=x的图形，对初值x0，在 曲线y=f(x)上可确定一点P0，它以x0为横坐标，过P0引平行于x 轴的直线，设该直线与y=x交于Q1 点。 过Q1 点作平行于y 轴的直线，它与曲线y=f(x)的交点交于P1点。 重复上面的过程，就在曲线y=f(x)上得到点列P1，P2，P3…。 。 不难知道，这些点的横坐标构成的序列x1，x2，x3，…， 就是迭代序列 。 若迭代序列收敛，则点列 P1，P2，P3…趋向 于曲线曲线=f(x)与y=x 交点P*，因此若迭代 序列是否收敛，可以从图形上观察出来。 这种图称为迭代的蜘蛛网图。 5