2019年高考数学数列小题练习集
2019年高考数学真题分类汇编专题04:数列(基础题)
2019年高考数学真题分类汇编专题04:数列(基础题)一、单选题(共4题;共8分)1.(2分)设a ,b ∈R ,数列{a n },满足a 1 =a ,a n+1= a n 2+b ,b ∈N *,则( )A .当b= 12 时,a 10>10B .当b= 14 时,a 10>10C .当b=-2时,a 10>10D .当b=-4时,a 10>102.(2分)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=( )A .16B .8C .4D .23.(2分)古希腊吋期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5−12(√5−12≈0.618 ,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯“便是如此。
此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度也是 √5−12。
若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105cm ,头顶至脖子下端的长度为26cm ,则其身高可能是( )A .165cmB .175cmC .185cmD .190cm4.(2分)记S n 为等差数列 {a n } 的前n 项和。
已知 S 4 =0, a 5 =5,则( )A .a n =2n-5B .a n =3n-10C .S n =2n 2-8nD .S n = 12n 2-2n二、填空题(共6题;共7分)5.(1分)已知数列 {a n }(n ∈N ∗) 是等差数列, S n 是其前n 项和.若 a 2a 5+a 8=0,S 9=27 ,则S 8 的值是 .6.(1分)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若 a 3=5,a 7=13 ,则 S 10= . 7.(1分)记S n 为等差数列{a n }项和,若a 1≠0,a 2=3a 1,则 S 10S5= 。
8.(2分)设等差数列{a n}的前n项和为S n.若a2=-3,S5=-10,则a5=,S n的最小值为.9.(1分)记S n为等比数列{a n}的前n项和。
2019年高考试题汇编理科数学--数列(可编辑修改word版)
整理可得 an1 bn1
1 2 (an
bn ) ,又 a1 b1
1 ,故
an
bn
是首项为1,公比为 1 的等比数列. 2
将 4an1 3an bn 4 , 4bn1 3bn an 4 作差可得 4an1 4bn1 3an 3bn an bn 8 ,
1 / 13
整理可得 an1 bn1 an bn 2 ,又 a1 b1 1,故 an bn 是首项为1,公差为 2 的等差数列.
设所有长度为 q 的子列的末项分别为: aq1 , aq2 , aq3 , , 所有长度为 p 的子列的末项分别为: ap1 , ap2 , ap3 , , 则 an0 min aq1 , aq2 , aq3 , ,
注意到长度为 p 的子列可能无法进一步找到长度为 q 的子列,
故 am0 min ap1 , ap2 , ap3 , ,
(Ⅱ)已知数列{an}的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 am0 ,长度为 q 的递增子列的末项的最小值为 an0 . 若 p<q,求证: am0 < an0 ;
(Ⅲ)设无穷数列{an}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{an}的长度为 s 的递增子列末项的最小值为 2s–1,且长度为 s 末项为 2s–1 的递增子列恰有 2s-1 个(s=1,2,…),求数列{an}的通项公式. 【答案】(Ⅰ) 1,3,5,6. (Ⅱ)见解析; (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
答案: C 解答:
设该等比数列的首项 a1 ,公比 q ,由已知得, a1q4 3a1q2 4a1 ,
因为 a1 0 且 q 0 ,则可解得 q 2 ,又因为 a1(1 q q2 q3 ) 15 ,
2019-2019云南省数列理科高考题目及答案word精品文档13页
2019年—2019年云南省10年高考数列试题汇总2019年高考数学大纲(理) 数列部分:等差数列及其通项公式.等差数列前n 项和公式. 等比数列及其通项公式.等比数列前n 项和公式. 考试要求:(1)理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项. (2)理解等差数列的概念.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题.(3)理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题。
2019年(4)如果等差数列{}n a 中,34512a a a ++=,那么127...a a a +++== (A )14 (B )21 (C )28 (D )35 (18)(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和2()3n n S n n =+g. (Ⅰ)求limnn na S →∞;(Ⅱ)证明:12222312n n a a a n+++…>. 2009年14. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若535a a =则95S S = 。
19(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+ (I )设12n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列 (II )求数列{}n a 的通项公式。
2019年20.(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知1a a =,13n n n a S +=+,*n ∈N .(Ⅰ)设3nn n b S =-,求数列{}n b 的通项公式;(Ⅱ)若1n n a a +≥,*n ∈N ,求a 的取值范围.2019年16.已知数列的通项52n a n =-+,其前n 项和为n S ,则2lim nn S n ∞=→ .21.(本小题满分12分)设数列{}n a 的首项113(01)2342n n a a a n --∈==,,,,,,…. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设n b a =,证明1n n b b +<,其中n 为正整数.2019年(11)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若361,3S S =则612SS =( ) (A )310 (B )13 (C )18 (D )19(22)(本小题满分12分)设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且方程20n n x a x a --=有一根为1,1,2,3,...n S n -= (I )求12,;a a(II )求{}n a 的通项公式2019年11. 如果a 1,a 2,…,a 8为各项都大于零的等差数列,公差d ≠0,则( ) A. a 1a 8>a 4a 5 B. a 1a 8<a 4a 5C. a 1+a 8>a 4+a 5D. a 1a 8=a 4a 518. (本小题满分12分)已知是各项均为正数的等差数列,、、成等差数列,又(Ⅰ)证明为等比数列;(Ⅱ)如果无穷等比数列各项的和,求数列的首项a 1和公差d.(注:无穷数列各项的和即当时数列前n 项和的极限) 2019年(19)(本小题满分12分)数列{a n }的前n 项和记为S n ,已知a 1=1,a n +1=nn 2+S n (n =1,2,3,…). 证明: (Ⅰ)数列{nS n}是等比数列; (Ⅱ)S n +1=4a n2019年22.(本小题满分12分,附加题4 分)(I )设}{n a 是集合|22{ts+ t s <≤0且Z t s ∈,}中所有的数从小到大排列成的数列,即31=a ,52=a ,63=a ,94=a ,105=a ,126=a ,…将数列}{n a 各项按照上小下大,左小右大的原则写成如下的三角形数表:35 69 10 12⑴写出这个三角形数表的第四行、第五行各数;⑵求100a(II )(本小题为附加题,如果解答正确,加4 分,但全卷总分不超过150分)设}{n b 是集合t s r t s r <<≤++0|222{,且},,Z t s r ∈中所有的数从小到大排列成的数列,已知1160=k b ,求k .2019年(22)设数列}{n a 满足:121+-=+n n n na a a ,Λ,3,2,1=n (I )当21=a 时,求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式; (II )当31≥a 时,证明对所的1≥n ,有 (i )2+≥n a n (ii )2111111111321≤++++++++n a a a a Λ 2019年(3) 设{a n }是递增等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )(A) 1(B) 2(C) 4(D) 6(15)设{a n }是公比为q 的等比数列,S n 是它的前n 项和.若{S n }是等差数列,则 q =(21) (本小题满分12分)从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少51.本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加41. (Ⅰ)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元,旅游业总收入为b n 万元.写出a n ,b n 的表达式;(Ⅱ)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入?2019年~2009年云南省历年高考数列题2009年解:(I )由11,a =及142n n S a +=+,有12142,a a a +=+21121325,23a a b a a =+=∴=-=由142n n S a +=+,...① 则当2n ≥时,有142n n S a -=+.....② ②-①得111144,22(2)n n n n n n n a a a a a a a +-+-=-∴-=-又12n n n b a a +=-Q ,12n n b b -∴={}n b ∴是首项13b =,公比为2的等比数列.(II )由(I )可得11232n n n n b a a -+=-=⋅,113224n n n n a a ++∴-= ∴数列{}2n na 是首项为12,公差为34的等比数列. ∴1331(1)22444n na n n =+-=-,2(31)2n n a n -=-⋅ 2019年20.解:(Ⅰ)依题意,113n n n n n S S a S ++-==+,即123nn n S S +=+,由此得1132(3)n n n n S S ++-=-. ······································································· 4分因此,所求通项公式为13(3)2n n n n b S a -=-=-,*n ∈N .① ······························································ 6分(Ⅱ)由①知13(3)2n n n S a -=+-,*n ∈N ,于是,当2n ≥时,1n n n a S S -=-1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-⨯---⨯ 1223(3)2n n a --=⨯+-, 12143(3)2n n n n a a a --+-=⨯+-22321232n n a --⎡⎤⎛⎫=•+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,当2n ≥时,21312302n n n a a a -+⎛⎫⇔•+- ⎪⎝⎭≥≥9a ⇔-≥.又2113a a a =+>.综上,所求的a 的取值范围是[)9-+∞,. ························································· 12分 2019年21.解:(1)由132342n n a a n --==,,,,…,整理得 111(1)2n n a a --=--.又110a -≠,所以{1}n a -是首项为11a -,公比为12-的等比数列,得1111(1)2n n a a -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭(2)方法一: 由(1)可知302n a <<,故0n b >.那么,221n n b b +-2211222(32)(32)3332(32)229(1).4n n n n n n n n n n a a a a a a a a aa ++=-----⎛⎫⎛⎫=-⨯-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-又由(1)知0n a >且1n a ≠,故2210n n b b +->,因此1n n b b n +<,为正整数.方法二:由(1)可知3012n n a a <<≠,, 因为132nn a a +-=, 所以1n n b a ++==由1n a ≠可得33(32)2n n n a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭,即 223(32)2n n n n a a a a -⎛⎫-< ⎪⎝⎭g两边开平方得32na a -<即 1n n b b n +<,为正整数.2019年22.解:(Ⅰ)当n =1时,x 2-a 1x -a 1=0有一根为S 1-1=a 1-1,于是(a 1-1)2-a 1(a 1-1)-a 1=0,解得a 1=12.当n =2时,x 2-a 2x -a 2=0有一根为S 2-1=a 2-12,于是(a 2-12)2-a 2(a 2-12)-a 2=0,解得a 1=16.(Ⅱ)由题设(S n -1)2-a n (S n -1)-a n =0,即 S n 2-2S n +1-a n S n =0.当n ≥2时,a n =S n -S n -1,代入上式得 S n -1S n -2S n +1=0 ①由(Ⅰ)知S 1=a 1=12,S 2=a 1+a 2=12+16=23.由①可得S 3=34.由此猜想S n =nn +1,n =1,2,3,…. ……8分下面用数学归纳法证明这个结论. (i )n =1时已知结论成立.(ii )假设n =k 时结论成立,即S k =kk +1,当n =k +1时,由①得S k +1=12-S k ,即S k +1=k +1k +2, 故n =k +1时结论也成立. 综上,由(i )、(ii )可知S n =nn +1对所有正整数n 都成立. ……10分于是当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n n +1-n -1n =1n (n +1),又n =1时,a 1=12=11×2,所以{a n }的通项公式a n =nn +1,n =1,2,3,…. ……12分 2019年18. 本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力。
2019年高考数学试题分项版—数列(解析版)
2019年高考数学试题分项版——数列(解析版)一、选择题1.(2019·全国Ⅲ文,6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3等于( )A .16B .8C .4D .2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由a 5=3a 3+4a 1得q 4=3q 2+4,得q 2=4,因为数列{a n }的各项均为正数,所以q =2,又a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1+q +q 2+q 3)=a 1(1+2+4+8)=15,所以a 1=1,所以a 3=a 1q 2=4.2.(2019·浙江,10)设a ,b ∈R ,数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n 2+b ,n ∈N *,则( )A .当b =12时,a 10>10 B .当b =14时,a 10>10 C .当b =-2时,a 10>10 D .当b =-4时,a 10>10 答案 A解析 当b =12时,因为a n +1=a n 2+12,所以a 2≥12,又a n +1=a n 2+12≥√2a n ,故a 9≥a 2×(√2)7≥12×(√2)7=4√2,a 10>a 92≥32>10.当b =14时,a n +1-a n =(a n −12)2,故当a 1=a =12时,a 10=12,所以a 10>10不成立.同理b =-2和b =-4时,均存在小于10的数x 0,只需a 1=a =x 0,则a 10=x 0<10,故a 10>10不成立.3.(2019·全国Ⅰ理,9)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 4=0,a 5=5,则( ) A .a n =2n -5 B .a n =3n -10 C .S n =2n 2-8n D .S n =12n 2-2n答案 A解析 设等差数列{a n }的公差为d ,∵{S 4=0,a 5=5,∴{4a 1+4×32d =0,a 1+4d =5,解得{a 1=−3,d =2, ∴a n =a 1+(n -1)d =-3+2(n -1)=2n -5, S n =na 1+n (n−1)2d =n 2-4n .故选A.4.(2019·全国Ⅲ理,5)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3等于( )A .16B .8C .4D .2 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ,由a 5=3a 3+4a 1得q 4=3q 2+4,得q 2=4,因为数列{a n }的各项均为正数,所以q =2,又a 1+a 2+a 3+a 4=a 1(1+q +q 2+q 3)=a 1(1+2+4+8)=15,所以a 1=1,所以a 3=a 1q 2=4. 二、填空题1.(2019·全国Ⅰ文,14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和,若a 1=1,S 3=34,则S 4=________.答案 58解析 设等比数列的公比为q , 则a n =a 1q n -1=q n -1. ∵a 1=1,S 3=34,∴a 1+a 2+a 3=1+q +q 2=34, 即4q 2+4q +1=0,∴q =-12,∴S 4=1×[1−(−12)4]1−(−12)=58.2.(2019·全国Ⅲ文,14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10=________. 答案 100解析 ∵{a n }为等差数列,a 3=5,a 7=13, ∴公差d =a 7−a 37−3=13−54=2,首项a 1=a 3-2d =5-2×2=1, ∴S 10=10a 1+10×92d =100.3.(2019·江苏,8)已知数列{a n }(n ∈N *)是等差数列,S n 是其前n 项和.若a 2a 5+a 8=0,S 9=27,则S 8的值是________. 答案 16解析 方法一 设等差数列{a n }的公差为d ,则a 2a 5+a 8=(a 1+d )(a 1+4d )+a 1+7d =a 12+4d 2+5a 1d +a 1+7d =0,S 9=9a 1+36d =27,解得a 1=-5,d =2,则S 8=8a 1+28d =-40+56=16.方法二 ∵S 9=a 1+a 92×9=27,∴a 1+a 9=6, ∴a 2+a 8=2a 5=6, ∴a 5=3,则a 2a 5+a 8=3a 2+a 8=0, 即2a 2+6=0, ∴a 2=-3,则a 8=9,∴其公差d =a 8−a 58−5=2,∴a 1=-5,∴S 8=8×a 1+a82=16.4.(2019·全国Ⅰ理,14)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若a 1=13,a 42=a 6,则S 5=________.答案1213解析 设等比数列{a n }的公比为q ,因为a 42=a 6,所以(a 1q 3)2=a 1q 5,所以a 1q =1,又a 1=13,所以q =3,所以S 5=a 1(1−q 5)1−q=13×(1−35)1−3=1213.5.(2019·全国Ⅲ理,14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则s 10s 5=________.答案 4解析 设等差数列{a n }的公差为d ,由a 2=3a 1, 即a 1+d =3a 1,得d =2a 1,所以s 10s 5=10a1+10×92d 5a1+5×42d=10a1+10×92×2a15a1+5×42×2a1=10025=4.6.(2019·北京理,10)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若23a =-,510S =-,则5a = ,n S 的最小值为 .【思路分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组,能求出14a =-,1d =,由此能求出5a 的n S 的最小值.【解析】:设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,23a =-,510S =-,∴113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩,解得14a =-,1d =,5144410a a d ∴=+=-+⨯=, 21(1)(1)19814()22228n n n n n S na d n n --=+=-+=--, 4n ∴=或5n =时,n S 取最小值为4510S S ==-.故答案为:0,10-.【归纳与总结】本题考查等差数列的第5项的求法,考查等差数列的前n 项和的最小值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于基础题. 三、解答题1.(2019·全国Ⅰ文,18)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.已知S 9=-a 5. (1)若a 3=4,求{a n }的通项公式;(2)若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 解 (1)设{a n }的公差为d . 由S 9=-a 5,即9a 5=-a 5,所以a5=0,得a1+4d=0.由a3=4得a1+2d=4.于是a1=8,d=-2.因此{a n}的通项公式为a n=10-2n,n∈N*.(2)由(1)得a1=-4d,故a n=(n-5)d,.S n=n(n−9)d2由a1>0知d<0,≥(n-5)d,化简得故S n≥a n等价于n(n−9)d2n2-11n+10≤0,解得1≤n≤10,所以n的取值范围是{n|1≤n≤10,n∈N*}.2.(2019·全国Ⅱ文,18)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n,求数列{b n}的前n项和.解(1)设{a n}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.因此{a n}的通项公式为a n=2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得b n=log222n-1=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{b n}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.3.(2019·北京文,16)设{a n}是等差数列,a1=-10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(1)求{a n}的通项公式;(2)记{a n}的前n项和为S n,求S n的最小值.解(1)设{a n}的公差为d.因为a1=-10,所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d.因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列,所以(a3+8)2=(a2+10)(a4+6).即(-2+2d)2=d(-4+3d).解得d=2.所以a n=a1+(n-1)d=2n-12.(2)由(1)知,a n=2n-12.则当n≥7时,a n>0;当n≤6时,a n≤0.所以S n 的最小值为S 5=S 6=-30.4.(2019·天津文,18)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,公比大于0.已知a 1=b 1=3,b 2=a 3,b 3=4a 2+3.(1)求{a n }和{b n }的通项公式; (2)设数列{c n }满足c n ={1,n 为奇数,b n 2,n 为偶数.求a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n (n ∈N *).解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q ,q >0. 依题意,得{3q =3+2d ,3q 2=15+4d ,解得{d =3,q =3,故a n =3+3(n -1)=3n ,b n =3×3n -1=3n .所以{a n }的通项公式为a n =3n ,{b n }的通项公式为b n =3n . (2)a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n=(a 1+a 3+a 5+…+a 2n -1)+(a 2b 1+a 4b 2+a 6b 3+…+a 2n b n ) =[n ×3+n(n−1)2×6]+(6×31+12×32+18×33+…+6n ×3n )=3n 2+6(1×31+2×32+…+n ×3n ). 记T n =1×31+2×32+…+n ×3n ,① 则3T n =1×32+2×33+…+n ×3n +1,② ②-①得,2T n =-3-32-33-…-3n +n ×3n +1 =-3(1−3n )1−3+n ×3n +1=(2n−1)3n+1+32.所以a 1c 1+a 2c 2+…+a 2n c 2n =3n 2+6T n =3n 2+3×(2n−1)3n+1+32=3(n−1)3n+2+6n 2+92(n ∈N *).5.(2019·浙江,20)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 3=4,a 4=S 3.数列{b n }满足:对每个n ∈N *,S n +b n ,S n +1+b n ,S n +2+b n 成等比数列. (1)求数列{a n },{b n }的通项公式; (2)记c n =√a n 2b n,n ∈N *,证明:c 1+c 2+…+c n <2√n ,n ∈N *.(1)解 设数列{a n }的公差为d ,由题意得 a 1+2d =4,a 1+3d =3a 1+3d , 解得a 1=0,d =2. 从而a n =2n -2,n ∈N *. 所以S n =n 2-n ,n ∈N *.由S n +b n ,S n +1+b n ,S n +2+b n 成等比数列得(S n +1+b n )2=(S n +b n )(S n +2+b n ).解得b n =1a (S n+12-S n S n +2).所以b n =n 2+n ,n ∈N *.(2)证明 c n =√a n 2b n=√2n−22n(n+1)=√n−1n(n+1),n ∈N *.我们用数学归纳法证明.①当n =1时,c 1=0<2,不等式成立; ②假设n =k (k ∈N *,k ≥1)时不等式成立,即 c 1+c 2+…+c k <2√k . 那么,当n =k +1时,c 1+c 2+…+c k +c k +1<2√k +√k(k+1)(k+2)<2√k +√1k+1<2√k +√k+1+√k=2√k +2(√k +1-√k )=2√k +1.即当n =k +1时不等式也成立.根据①和②,不等式c 1+c 2+…+c n <2√n 对任意n ∈N *成立.6.(2019·江苏,20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列{a n }(n ∈N *)满足:a 2a 4=a 5,a 3-4a 2+4a 1=0,求证:数列{a n }为“M -数列”; (2)已知数列{b n }(n ∈N *)满足:b 1=1,1S n=2b n -2b n+1,其中S n 为数列{b n }的前n 项和.①求数列{b n }的通项公式;②设m 为正整数.若存在“M -数列”{c n }(n ∈N *),对任意正整数k ,当k ≤m 时,都有c k ≤b k ≤c k+1成立,求m 的最大值.(1)证明 设等比数列{a n }的公比为q ,所以a 1≠0,q ≠0.由{a 2a 4=a 5,a 3−4a 2+4a 1=0,得{a 12q 4=a 1q 4,a 1q 2−4a 1q +4a 1=0,解得{a 1=1,q =2.因此数列{a n }为“M -数列”. (2)解 ①因为1S n=2b n-2bn+1,所以b n ≠0.由b 1=1,S 1=b 1,得11=21-2b 2,则b 2=2.由2S n=2b n-2bn+1,得S n =b nb n+12(b n+1−b n ),当n ≥2时,由b n =S n -S n -1, 得b n =b nb n+12(b n+1−b n)-b n−1bn2(b n−b n−1), 整理得b n +1+b n -1=2b n .所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列.因此,数列{b n }的通项公式为b n =n (n ∈N *). ②由①知,b k =k ,k ∈N *.因为数列{c n }为“M -数列”,设公比为q ,所以c 1=1,q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1,所以q k -1≤k ≤q k ,其中k =1,2,3,…,m . 当k =1时,有q ≥1; 当k =2,3,…,m 时,有lnk k≤ln q ≤lnkk−1.设f (x )=lnx x(x >1),则f ′(x )=1−lnx x 2(x >1).令f ′(x )=0,得x =e ,列表如下:因为ln22=ln86<ln96=ln33,所以f (k )max =f (3)=ln33.取q =√33,当k =1,2,3,4,5时,lnk k≤ln q ,即k ≤q k ,经检验知q k -1≤k 也成立.因此所求m 的最大值不小于5.若m ≥6,分别取k =3,6,得3≤q 3,且q 5≤6,从而q 15≥243,且q 15≤216,所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上,所求m 的最大值为5.7.(2019·全国Ⅱ理,19)已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1,b 1=0,4a n +1=3a n -b n +4,4b n +1=3b n -a n -4.(1)证明:{a n +b n }是等比数列,{a n -b n }是等差数列; (2)求{a n }和{b n }的通项公式.(1)证明 由题设得4(a n +1+b n +1)=2(a n +b n ), 即a n +1+b n +1=12(a n +b n ).又因为a 1+b 1=1,所以{a n +b n }是首项为1,公比为12的等比数列.由题设得4(a n +1-b n +1)=4(a n -b n )+8,即a n +1-b n +1=a n -b n +2. 又因为a 1-b 1=1,所以{a n -b n }是首项为1,公差为2的等差数列. (2)解 由(1)知,a n +b n =12n−1,,a n -b n =2n -1.所以a n =12[(a n +b n )+(a n -b n )]=12n +n -12, b n =12[(a n +b n )-(a n -b n )]=12n -n +12.8.(2019·北京理,20)(13分)已知数列{}n a ,从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<,若12m i i i a a a <<⋯<,则称新数列1i a ,2i a ,⋯,m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列.规定:数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列. (Ⅰ)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;(Ⅱ)已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ,长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a .若p q <,求证:00m n a a <;(Ⅲ)设无穷数列{}n a 的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -,且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =,2,)⋯,求数列{}n a 的通项公式.【思路分析】()1I ,3,5,6.答案不唯一.()II 考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列,可得0n a >该数列的第p 项0m a ,即可证明结论.()III 考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置.若{}n a 中有2s ,在2s 在21s -之后,则必然在长度为1s +,且末项为2s 的递增子列,这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾,可得2s 必在21s -之前.继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列.因此对于数列21n -,2n ,由于2n 在21n -之前,可得研究递增子列时,不可同时取2n 与21n -,即可得出:递增子列最多有2s 个.由题意,这s 组数列对全部存在于原数列中,并且全在21s +之前.可得2,1,4,3,6,5,⋯⋯,是唯一构造. 【解析】:()1I ,3,5,6.()II 证明:考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列,∴0n a >该数列的第p 项0m a , ∴00m n a a <.()III 解:考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置.若{}n a 中有2s ,在2s 在21s -之后,则必然在长度为1s +,且末项为2s 的递增子列, 这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾,2s ∴必在21s -之前. 继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列.对于数列21n -,2n ,由于2n 在21n -之前,∴研究递增子列时,不可同时取2n 与21n -, 对于1至2s 的所有整数,研究长度为1s +的递增子列时,第1项是1与2二选1,第2项是3与4二选1,⋯⋯,第s 项是21s -与2s 二选1,故递增子列最多有2s 个.由题意,这s 组数列对全部存在于原数列中,并且全在21s +之前.2∴,1,4,3,6,5,⋯⋯,是唯一构造. 即221k a k =-,212k a k -=,*k N ∈.【归纳与总结】本题考查了数列递推关系、数列的单调性,考查了逻辑推理能力、分析问题与解决问题的能力,属于难题.9.(2019·天津理,19)设{a n }是等差数列,{b n }是等比数列.已知a 1=4,b 1=6,b 2=2a 2-2,b 3=2a 3+4.(1)求{a n }和{b n }的通项公式;(2)设数列{c n }满足c 1=1,c n ={1,2k <n <2k+1,b k ,n =2k,其中k ∈N *. (ⅰ)求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式;(ⅱ)求(n ∈N *).解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q . 依题意得{6q =6+2d ,6q 2=12+4d ,解得{d =3,q =2,所以a n =a 1+(n -1)d =4+(n -1)×3=3n +1, b n =b 1·q n -1=6×2n -1=3×2n .所以{a n }的通项公式为a n =3n +1,{b n }的通项公式为b n =3×2n . (2)(ⅰ)a 2n (c 2n -1)=a 2n (b n -1)=(3×2n +1)(3×2n -1)=9×4n -1. 所以数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式为a 2n (c 2n -1)=9×4n -1. (ⅱ)a i c i =[a i +a i (c i -1)] =a i +a 2i (c 2i -1)=[2n ×4+2n (2n −1)2×3]+(9×4i -1) =(3×22n -1+5×2n -1)+9×4(1−4n )1−4-n=27×22n -1+5×2n -1-n -12(n ∈N *).。
江苏省2019年高考数学小专题复习6--函数单调性在数列中的应用(有答案)
四、 【练习】
1. 已知等差数列 {an } 的首项 a1 20 ,公差 d 2 ,则前 n 项和 S n 的最大值为
*
.110
2. 在数列 {an } 中, a1 18 , a n 1 a n 3 ( n N ) ,则数列 {an } 的前 n 项和 S n 的最小 值为 .-63 3. 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 an S 2 S n 对一切正整数 n 都成立. (1)求 a1 , a2 的值; (2)设 a1 0 ,数列 {lg 大值. 解: (1)取 n=1,得 a2 a1 S 2 S1 2a1 a2 , 取 n=2,得 a 2 2a1 2a 2 , 又②-①,得 a 2 ( a 2 a1 ) a 2 若 a2=0, 由①知 a1=0, 若 a2 0,由③知a 2 a 1 1 , 由①④解得, a1 ④
2 1, a 2 2 2.
当 n 2时,有( 2 2)a n S 2 S n , (2+ 2 )an-1=S2+Sn-1,
( 1 2 )a n ( 2 2)a n 1, 即 an= 2a n 1 (n 2) , 所以
所以 a n a1 ( 2 ) 令 b n lg
n
(3)令 en n (Tn 3) n (2n 3)2
n
n
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由 en en 1 ,得 n(2n 3)2 (n 1)(2n 1)2
n 1
,即 n(2n 3) 2(n 1)(2n 1)
解得对任意 n N 成立,即数列 {en } 为单调递增数列, 所以 {en } 的最小项为 e1 2 因为 en 对任意 n N 恒成立,所以 2 ,
2019年高考数学真题分类汇编专题18:数列(综合题)(可编辑修改word版)
bn = sin(an) ,集合
.
当
,
33
S = { - ,0, }
集合
2 2.
蟺
(2)解: a1 = 2 ,数列 {bn} 满足 bn = sin(an) ,集合
恰
好有两个元素,如图:
3
根据三角函数线,①等差数列 {an} 的终边落在 y 轴的正负半轴上时,集合 S 恰好有两个元素,此时 d = 蟺 , ② a1 终边落在 OA 上,要使得集合 S 恰好有两个元素,可以使 a2 , a3 的终 边关于 y 轴对称,如图 OB , OC ,
b1
1, 1 Sn
2 bn
2 bn1
,其中
Sn 为数列{bn}的前
n
项和.
①求数列{bn}的通项公式;
②设 m 为正整数,若存在“M-数列”{cn} n N* ,对任意正整数 k , 当
k≤m 时,都有 ck bk ck1 成立,求 m 的最大值.
【答案】 (1)解:设等比数列{an}的公比为 q , 所以 a1≠0,q≠0.
所以数列{bn}是首项和公差均为 1 的等差数列.
因此,数列{bn}的通项公式为 bn=n
.
②由①知,bk=k , k鈭?mbrimbriN * .
1
因为数列{cn}为“M–数列”,设公比为 q , 所以 c1=1,q>0.
因为 ck≤bk≤ck+1 , 所以
,其中 k=1,2,3,…,m.
当 k=1 时,有 q≥1;
,或者
an + 7d = 2k蟺 - an ,
, ,故 k = 1,2,3
当 k = 1 时,因为
对应着 3 个正弦值,故必有一个正弦值对应着 3 个点,
2019年高考试题汇编:数列
2019年高考试题汇编:数列一.选择题1.(2019•浙江)设a,b∈R,数列{a n}满足a1=a,a n+1=a n2+b,n∈N*,则()A.当b=时,a10>10B.当b=时,a10>10C.当b=﹣2时,a10>10D.当b=﹣4时,a10>10 2.(2019•新课标Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S4=0,a5=5,则()A.a n=2n﹣5B.a n=3n﹣10C.S n=2n2﹣8n D.S n=n2﹣2n3.(2019•新课标Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=()A.16B.8C.4D.2二.填空题4.(2019•江苏)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是.5.(2019•北京)设等差数列{a n}的前n项和为S n,若a2=﹣3,S5=﹣10,则a5=,S n的最小值为.6.(2019•新课标Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=,a42=a6,则S5=.7.(2019•新课标Ⅰ)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a1=1,S3=,则S4=.8.(2019•新课标Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.9.(2019•新课标Ⅲ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.若a1≠0,a2=3a1,则=.三.解答题10.(2019•新课标Ⅰ)记S n为等差数列{a n}的前n项和.已知S9=﹣a5.(1)若a3=4,求{a n}的通项公式;(2)若a1>0,求使得S n≥a n的n的取值范围.11.(2019•新课标II)已知{a n}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=log2a n,求数列{b n}的前n项和.12.(2019•浙江)设等差数列{a n}的前n项和为S n,a3=4,a4=S3.数列{b n}满足:对每个n∈N*,S n+b n,S n+1+b n,S n+2+b n成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)记c n=,n∈N*,证明:c1+c2+…+c n<2,n∈N*.13.(2019•新课标II)已知数列{a n}和{b n}满足a1=1,b1=0,4a n+1=3a n﹣b n+4,4b n+1=3b n﹣a n﹣4.(1)证明:{a n+b n}是等比数列,{a n﹣b n}是等差数列;(2)求{a n}和{b n}的通项公式.14.(2019•北京)设{a n}是等差数列,a1=﹣10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列.(Ⅰ)求{a n}的通项公式;(Ⅱ)记{a n}的前n项和为S n,求S n的最小值.15.(2019•天津)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列.已知a1=4,b1=6,b2=2a2﹣2,b3=2a3+4.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)设数列{c n}满足c1=1,c n=其中k∈N*.(i)求数列{a(c﹣1)}的通项公式;(ii)求a i c i(n∈N*).16.(2019•天津)设{a n}是等差数列,{b n}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(Ⅰ)求{a n}和{b n}的通项公式;(Ⅱ)设数列{c n}满足c n=求a1c1+a2c2+…+a2n c2n(n∈N*).17.((2019•江苏)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M﹣数列”.(1)已知等比数列{a n}(n∈N*)满足:a2a4=a5,a3﹣4a2+4a1=0,求证:数列{a n}为“M ﹣数列”;(2)已知数列{b n}(n∈N*)满足:b1=1,=﹣,其中S n为数列{b n}的前n项和.①求数列{b n}的通项公式;②设m为正整数,若存在“M﹣数列”{c n}(n∈N*),对任意正整数k,当k≤m时,都有c k≤b k≤c k+1成立,求m的最大值.18.(2019•北京)已知数列{a n},从中选取第i1项、第i2项、…、第i m项(i1<i2<…<i m),若a<a<…<a,则称新数列a,a,…,a为{a n}的长度为m的递增子列.规定:数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.(Ⅰ)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;(Ⅱ)已知数列{a n}的长度为p的递增子列的末项的最小值为a,长度为q的递增子列的末项的最小值为a.若p<q,求证:a<a;(Ⅲ)设无穷数列{a n}的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n}的长度为s的递增子列末项的最小值为2s﹣1,且长度为s末项为2s﹣1的递增子列恰有2s﹣1个(s=1,2,…),求数列{a n}的通项公式.。
2019年高考数学试题及答案word版
2019年高考数学试题及答案word版一、选择题(本题共8小题,每小题4分,共32分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的。
)1. 若函数f(x)=x^2-4x+m,且f(1)=-3,则m的值为多少?A. 0B. 2C. 5D. 32. 已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=3,求该数列的第5项a5。
A. 13B. 16C. 19D. 223. 计算三角函数值:sin(π/6) + cos(π/3)。
A. 1B. √3/2C. √2D. 24. 已知圆C的方程为(x-2)^2 + (y+1)^2 = 9,求圆C的半径。
A. 1B. 2C. 3D. 45. 若直线l的方程为y=2x+3,且点P(1,2)在直线l上,则直线l的斜率是多少?A. 1/2B. 2C. 3D. 46. 已知复数z=3+4i,求|z|的值。
A. 5B. √7C. √13D. √257. 计算定积分∫(0到1) (x^2 - 2x + 1) dx。
A. 0B. 1/3C. 1D. 2/38. 已知向量a=(2, -1),b=(1, 3),求向量a与向量b的数量积。
A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题(本题共4小题,每小题4分,共16分。
)9. 若函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6,求f'(x)。
________________。
10. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1,且双曲线C的渐近线方程为y=±(b/a)x,求双曲线C的离心率e。
________________。
11. 计算二项式展开式(1+x)^5的第3项。
________________。
12. 已知抛物线y=x^2-4x+4,求抛物线的顶点坐标。
________________。
三、解答题(本题共3小题,共52分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
)13. (本题满分12分)已知函数f(x)=x^3-3x^2+2,求证f(x)在区间[1,2]上单调递增。
2019年高考数学真题专题12 数列
9.【2019 年高考江苏卷】已知数列{an}(n N*) 是等差数列, Sn 是其前 n 项和.若 a2a5 a8 0, S9 27 ,
则 S8 的值是__________.
【答案】16
【解析】由题意可得:
a2a5 S9
a8 a1 d
9a1
98 2
d
a1
27
4d
a1
7d
0
,
解得:
2
1 ( 1)
5. 8
2
【名师点睛】准确计算,是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的
计算,部分考生易出现运算错误.
一题多解:本题在求得数列的公比后,可利用已知计算
S4
S3
a4
S3
a1q3
3 4
(
1 )3 2
5 8
,
避免繁分式计算.
8.【2019 年高考全国 III 卷文数】记 Sn 为等差数列an的前 n 项和,若 a3 5, a7 13 ,则
若公比 q 1 ,则 a1 a2 a3 a4 a1 1 q 1 q2 0, 但 ln a1 a2 a3 ln a1 1 q q2 lna1 0 ,即 a1 a2 a3 a4 0 ln a1 a2 a3 ,不合题意;
因此 1 q 0, q2 0,1 ,a1 a1q2 a3, a2 a2q2 a4 0 ,故选 B.
,
a10
a92
1 2
10
,
故 A 项正确.
(ⅱ)当 b
1 4
时,令
a1=a=0 ,则
a2
1 4
, a3
1 4
2
1 4
1 2
,
所以
a4
2019高考数学专题精练-等差数列
2019高考数学专题精练-等差数列[时间:45分钟 分值:100分]1.在等差数列{a n }中,a 1+a 9=10,则a 5旳值为________.2.已知等差数列{a n }中, a 1=-4,a 9=8,则该数列前9项和S 9等于________. 3.等差数列{a n }中,a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,则数列{a n }旳前9项和S 9等于________.4.已知等差数列{a n }中,|a 3|=|a 9|,公差d <0,则使前n 项和S n 取最大值旳正整数n 旳值是________.5.等差数列{a n }旳前n 项和为S n ,若S 2=4,S 4=20,则该数列旳公差为________. 6.等差数列{a n }中,a 3+a 4+a 5=12,那么a 1+a 2+…+a 6+a 7=________. 7.[2011·辽宁卷] S n 为等差数列{a n }旳前n 项和,S 2=S 6,a 4=1,则a 5=________. 8.[2011·重庆三诊] 已知等差数列{a n }满足a 3+a 13-a 8=2,则{a n }旳前15项和S 15=________.9.[2011·郑州三模] 数列{a n }中,a 3=2,a 7=1,且数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n +1是等差数列,则a 11等于________.10.首项为-24旳等差数列,从第10项起开始为正数,则公差d 旳取值范围是________. 11.已知函数f (x )=2x ,等差数列{a n }旳公差为 2.若f (a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4,则log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]=________. 12.已知数列{a n }为等差数列,若a 5a 6<-1,则数列{|a n |}旳最小项是第________项.13.(8分)已知等差数列{a n }中,a 3a 7=-16,a 4+a 6=0,求{a n }旳前n 项和S n . 14.(8分)在数列{a n }中,a 1=4,且对任意大于1旳正整数n ,点(a n ,a n -1)在直线y =x -2上.(1)求数列{a n }旳通项公式;(2)已知b 1+b 2+…+b n =a n ,试比较a n 与b n 旳大小.15.(12分)已知等差数列{a n }旳前n 项和为S n =pn 2-2n +q (p ,q ∈R ,n ∈N *).(1)求q 旳值;(2)若a 1与a 5旳等差中项为18,b n 满足a n =2log 2b n ,求数列{b n }旳前n 项和. 16.(12分)[2010·安徽卷] 数列a 1,a 2,…,a n ,…中旳每一项都不为0.求证:{a n }为等差数列旳充分必要条件是:对任何n ∈N ,都有1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=na 1a n +1.课时作业(二十八)【基础热身】1.5 [解析] 由等差数列旳性质得a 1+a 9=2a 5=10,所以a 5=5.2.18 [解析] 在等差数列{a n }中,∵a 1=-4,a 9=8,∴数列前9项和S 9=9(a 1+a 9)2=18.3.99 [解析] ∵a 1+a 4+a 7=39,a 3+a 6+a 9=27,∴3a 4=39,3a 6=27,∴a 4=13,a 6=9,∴S 9=92(a 1+a 9)=92(a 4+a 6)=92(13+9)=99.4.5或6 [解析] ∵由已知得{a n }中,a 3=-a 9,即a 1=-5d ,∴S n =na 1+n (n -1)2d =-5dn +n (n -1)2d .=d 2⎝⎛⎭⎫n -1122-1218d .∵n ∈N *,∴n =5或6时,S n 取最大值.【能力提升】5.3 [解析] S 2=2a 1+d =4,S 4=4a 1+6d =20,解得d =3. 6.28 [解析] 因为2a 4=a 3+a 5,所以3a 4=12,即a 4=4,所以a 1+a 2+…+a 6+a 7=7a 4=28.7.-1 [解析] 由S 2=S 6,得2a 1+d =6a 1+6×52d ,解得4(a 1+3d )+2d =0,即2a 4+d =0,所以a 4+(a 4+d )=0,即a 5=-a 4=-1.8.30 [解析] 由a 3+a 13-a 8=2得2a 8-a 8=2,所以a 8=2,所以S 15=15(a 1+a 15)2=15a 8=30.9.12 [解析] 设⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n +1旳公差为d ,则有1a 7+1=1a 3+1+4d ,解得d =124,所以1a 11+1=1a 3+1+8d ,即1a 11+1=12+1+13,解得a 11=12.10.⎝⎛⎦⎤83,3 [解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a 9≤0,a 10>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧-24+8d ≤0,-24+9d >0, ∴83<d ≤3.11.-6 [解析] 依题意a 2+a 4+a 6+a 8+a 10=2,所以a 1+a 3+a 5+a 7+a 9=2-5×2=-8,∴f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)=2a 1+a 2+…+a 10=2-6⇒log 2[f (a 1)·f (a 2)·f (a 3)·…·f (a 10)]=-6. 12.6 [解析] 由a 5a 6<-1得,若a 6>0,则a 5<-a 6<0,此时等差数列{a n }为递增数列,|a 5|>|a 6|,此时{|a n |}中第6项最小;若a 6<0,则a 5>-a 6>0,此时等差数列{a n }为递减数列,|a 5|>|a 6|,仍然有{|a n |}中第6项最小.故{|a n |}中旳最小项是第6项.13.[解答] 设{a n }旳公差为d ,则⎩⎪⎨⎪⎧(a 1+2d )(a 1+6d )=-16,a 1+3d +a 1+5d =0, 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ a 21+8da 1+12d 2=-16,a 1=-4d , 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=-8,d =2 或⎩⎪⎨⎪⎧a 1=8,d =-2, 因此S n =-8n +n (n -1)=n (n -9)或S n =8n -n (n -1)=-n (n -9)(n ∈N *). 14.[解答] (1)因为点(a n ,a n -1)在直线y =x -2上, 所以a n =a n -1+2,即数列{a n }是以a 1=2为首项,以d =2为公差旳等差数列. 所以a n =2+2(n -1)=2n ,所以a n =4n 2.(2)方法一:因为b 1+b 2+…+b n =a n ,所以当n ≥2时,b n =a n -a n -1=4n 2-4(n -1)2=8n -4,当n =1时,b 1=a 1=4,满足上式.所以b n =8n -4, 所以a n -b n =4n 2-(8n -4)=4(n -1)2≥0,所以a n ≥b n . 方法二:由b 1+b 2+…+b n =a n 得,a n -b n =a n -1= 4(n -1)2≥0,所以a n ≥b n .15.[思路] (1)已知S n 可求a n =⎩⎪⎨⎪⎧S 1,n =1,S n -S n -1,n ≥2, 然后利用{a n }为等差数列求得;(2)先求得b n ,从而判断出数列{b n }为等比数列,再求其前n 项和.[解答] (1)当n =1时,a 1=S 1=p -2+q ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=pn 2-2n +q -p (n -1)2+2(n -1)-q =2pn -p -2. ∵{a n }是等差数列,∴p -2+q =2p -p -2,∴q =0.(2)∵a 3=a 1+a 52,∴a 3=18.又a 3=6p -p -2,∴6p -p -2=18,∴p =4,∴a n =8n -6.又∵a n =2log 2b n ,得b n =24n -3,∴b 1=2,b n +1b n =24(n +1)-324n -3=24=16,即{b n }是等比数列.所以数列{b n }旳前n 项和T n =2(1-16n )1-16=215(16n -1).[点评] (1)若S n =an 2+bn +c 是等差数列旳前n 项和,则必有c =0;(2)若{b n }为等比数列,则{log a b n }是等差数列.16.[解答] 先证必要性.因为{a n }为等差数列,不妨设公差为d ,若d =0,结论显然成立.当d ≠0时, 1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=1d ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a 1-1a 2+⎝⎛⎭⎫1a 2-1a 3+…+⎝⎛⎭⎫1a n -1a n +1=1d ⎝⎛⎭⎫1a 1-1a n +1=n a 1a n +1.再证充分性.由1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1=n a 1a n +1①,有1a 1a 2+1a 2a 3+…+1a n a n +1+1a n +1a n +2=n +1a 1a n +2②,②-①得1a n +1a n +2=n +1a 1a n +2-n a 1a n +1,所以(n +1)a n +1-na n +2=a 1.同理得na n -(n -1)a n +1=a 1,因此a n +2-a n +1=a n +1-a n ,所以数列{a n }为等差数列。
高考数学一轮总复习练习数列小题综合练 (2)
1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=-11,a 4+a 6=-6,则当S n 取最小值时,n 等于( )A .6B .7C .8D .92.在等比数列{a n }中,a 5a 7=6,a 2+a 10=5,则a 18a 10等于( )A .-23或-32B.23C.32D.23或323.已知等差数列{a n }(n ∈N *)的公差为d ,前n 项和为S n ,若a 1>0,d <0,S 3=S 9,则当S n 取得最大值时,n 等于( ) A .4 B .5 C .6 D .74.(2020·绍兴柯桥区调研)已知等比数列{a n }中有a 3a 11=4a 7,数列{b n }是等差数列,且a 7=b 7,则b 5+b 9等于( )A .2B .4C .8D .165.已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ,(n +1)S n =(6n +18)T n .若a nb n ∈Z ,则n的取值集合为( ) A .{1,2,3} B .{1,2,3,4} C .{1,2,3,5}D .{1,2,3,6}6.设等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项的积为T n ,并且满足条件a 1>1,a 99·a 100-1>0,a 99-1a 100-1<0.给出下列结论:①0<q <1;②a 99·a 101-1>0;③T 100的值是T n 中最大的;④使T n >1成立的最大自然数n 等于198.其中正确的结论是( ) A .①③ B .①④ C .②③ D .②④7.(2019·杭州期末)等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1>0,S 50=0.设b n =a n a n +1a n +2(n ∈N *),则当数列{b n }的前n 项和T n 取得最大值时,n 的值为( ) A .23 B .25 C .23或24D .23或258.已知数列{a n }满足a 1=1,a 2n =a 2n -1+(-1)n ,a 2n +1=a 2n +3n (n ∈N *),则数列{a n }的前2 017项的和为( ) A .31 003-2 005 B .32 016-2 017 C .31 008-2 017D .31 009-2 0189.记数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n =3a n +2n -3,则数列{a n }的通项公式为a n =________. 10.(2019·舟山期末)设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S 2=5,a n +1=3S n +1,n ∈N *,则a 2=________,S 4=______.11.设a n =1n sin n π25,S n =a 1+a 2+…+a n ,在S 1,S 2,…,S 100中正数的个数是( )A .25B .50C .75D .10012.已知a n =f (0)+f ⎝⎛⎭⎫1n +f ⎝⎛⎭⎫2n +…+f ⎝⎛⎭⎫n -1n +f (1)(n ∈N *),又函数F (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +12-1是R 上的奇函数,则数列{a n }的通项公式为( ) A .a n =n B .a n =2n C .a n =n +1D .a n =n 2-2n +313.已知函数f (x )=x 2+2x (x >0),若f 1(x )=f (x ),f n +1(x )=f (f n (x )),n ∈N *,则f 2 019(x )在[1,2]上的最大值是( ) A .42 018-1 B .42 019-1 C .92 019-1D .322 019-114.(2020·杭州市学军中学质检)已知数列{a n }满足a 1=-12,a n +1=a 2n +3a n +1,若b n =1a n +2,设数列{b n }的前n 项和为S n ,则使得|S 2 019-k |最小的整数k 的值为( ) A .0 B .1 C .2 D .315.历史上数列的发展,折射出许多有价值的数学思想方法,对时代的进步起到了重要的作用,比如意大利数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….即F (1)=F (2)=1,F (n )=F (n -1)+F (n -2)(n ≥3,n ∈N *),此数列在现代物理、准晶体结构及化学等领域有着广泛的应用,若此数列被4整除后的余数构成一个新的数列{b n },又记数列{c n }满足c 1=b 1,c 2=b 2,c n =b n -b n -1(n ≥3,n ∈N *),则c 1+c 2+c 3+…+c 2 019的值为______.16.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,首项a 1=1且a n +1-2a n -1=0,若(-1)n λ≤S n +2n 对任意n ∈N *恒成立,则实数λ的取值范围是__________.答案精析1.A 2.D 3.C 4.C 5.D 6.B 7.D 8.D 9.2-⎝⎛⎭⎫32n10.4 8511.D [由于f (n )=sin n π25的周期T =50,由正弦函数的图象可知a 1,a 2,…,a 24>0,a 25=0,a 26,a 27,…,a 49<0,a 50=0, 且sin 26π25=-sin π25,Sin 27π25=-sin 2π25,….但是f (n )=1n 单调递减,a 26,…,a 49都为负数,但是|a 26|<a 1,|a 27|<a 2,…,|a 49|<a 24.∴S 1,S 2,…,S 25都为正,且S 26,S 27,…,S 50都为正, 同理S 1,S 2,…,S 75都为正,且S 75,…,S 100都为正, 即正数个数为100.]12.C [F (x )=f ⎝⎛⎭⎫x +12-1在R 上为奇函数, 故F (-x )=-F (x ),代入得f ⎝⎛⎭⎫12-x +f ⎝⎛⎭⎫12+x =2,x ∈R , 当x =0时,f ⎝⎛⎭⎫12=1,令t =12-x , 则12+x =1-t ,上式即为f (t )+f (1-t )=2, 当n 为偶数时,a n =f (0)+f ⎝⎛⎭⎫1n +f ⎝⎛⎭⎫2n +…+f ⎝⎛⎭⎫n -1n +f (1) =[f (0)+f (1)]+⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1n +f ⎝⎛⎭⎫n -1n +…+⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n -1n +f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n +1n +f ⎝⎛⎭⎫12 =2×n2+1=n +1,当n 为奇数时,a n =f (0)+f ⎝⎛⎭⎫1n +f ⎝⎛⎭⎫2n +…+f ⎝⎛⎭⎫n -1n +f (1)=[f (0)+f (1)]+⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1n +f ⎝⎛⎭⎫n -1n +…+⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n -12n +f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫n +12n=2×n +12=n +1,综上所述,a n =n +1.]13.D [∵f (x )=x 2+2x =(x +1)2-1在(0,+∞)上为增函数,且f (x )>0, ∴f 1(x )=f (x )=x 2+2x 在[1,2]上为增函数, 即f 1(x )max =8=32-1,且f 1(x )>0,同理f 2(x )max =f (f 1(x )max )=f (32-1+1)2-1=34-1=322-1,且f 2(x )>0, 同理f 3(x )max =f (f 2(x )max )=f (34-1+1)2-1=38-1=323-1,且f 3(x )>0, 依此类推f 2 019(x )max =f (f 2 018(x )max )=322 019-1.] 14.C [因为a n +1=a 2n +3a n +1,所以a n +1-a n =a 2n +2a n +1=(a n+1)2≥0, 所以{a n }为递增数列,而a n +1+1=a 2n +3a n +2 =(a n +1)(a n +2),所以1a n +1+1=1(a n +1)(a n +2)=1a n +1-1a n +2, 所以b n =1a n +2=1a n +1-1a n +1+1,因为数列{b n }的前n 项和为S n ,a 1=-12,所以S 2 019=1a 1+1-1a 2+1+1a 2+1-1a 3+1+…+1a 2 019+1-1a 2 020+1=2-1a 2 020+1.而a 2+1=(a 1+1)(a 1+2)=34,a 3+1=(a 2+1)(a 2+2)=2116,所以a 2 020+1>a 3+1=2116,从而得到2-1a 2 020+1∈⎝⎛⎭⎫2621,2, 所以|S 2 019-k |要取最小,k 的整数值为2.] 15.3解析 记“兔子数列”为{a n },则数列{a n }每个数被4整除后的余数构成一个新的数列{b n }为1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0,…,可得数列{b n }构成一个周期为6的数列,由题意得数列{c n }为1,1,1,1,-2,-1,1,0,1,1,-2,-1,1,0,1,1,-2,-1,…,观察数列{c n }可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一个周期为6的数列,且每一个周期的所有项的和为0,所以c 1+c 2+c 3+…+c 2 019=(c 1+c 2)+(c 3+…+c 2 018)+c 2 019=1+1+1=3. 16.[-3,8]解析 因为a n +1-2a n -1=0, 所以a n +1+1=2(a n +1),所以数列{a n +1}是以a 1+1=2为首项,公比为2的等比数列, 所以a n +1=2n ,a n =2n -1. 因此S n =2(1-2n )1-2-n =2n +1-2-n .所以(-1)n λ≤S n +2n 对任意n ∈N *恒成立,可化为(-1)n λ≤2n +1+n -2对任意n ∈N *恒成立. 当n 为奇数时,-λ≤(2n +1+n -2)min , 所以 -λ≤3,即λ≥-3;当n 为偶数时,λ≤(2n +1+n -2)min , 解得λ≤8.综上,实数λ的取值范围是[-3,8].。
高考数学(理)真题专题汇编:数列
高考数学(理)真题专题汇编:数列一、选择题1.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)设,a b R ∈,数列{a n }中,21,n n n a a a a b +==+,b N *∈ ,则( )A. 当101,102b a => B. 当101,104b a => C. 当102,10b a =->D. 当104,10b a =->2.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)已知,a b R ∈,函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩,若函数()y f x ax b =--恰有三个零点,则( ) A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >->D. 1,0a b >-<3.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形,侧棱长均相等,P 是棱VA 上的点(不含端点),记直线PB 与直线AC 所成角为α,直线PB 与平面ABC 所成角为β,二面角P -AC -B 的平面角为γ,则( )A. ,βγαγ<<B. ,βαβγ<<C. ,βαγα<<D. ,αβγβ<<4.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷) 在同一直角坐标系中,函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是( ) A. B.C. D.5.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷) 若0,0ab >>,则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同,则积不容异”称为祖暅原理,利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体,其中S 是柱体的底面积,h 是柱体的高,若某柱体的三视图如图所示,则该柱体的体积(cm 3)是( )A. 158B. 162C. 182D. 3247.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)若实数x ,y 满足约束条件3403400x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩,则32z x y =+的最大值是( )A. -1B. 1C. 10D. 128.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)渐近线方程为0x y ±=的双曲线的离心率是( )B. 1D. 29.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)已知全集U ={-1,0,1,2,3},集合A ={0,1,2},B ={-1,0,1},则(C U A )∩B =( ) A. {-1} B. {0,1} C. {-1,2,3}D. {-1,0,1,3}二、填空题10.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1,当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时,123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________;最大值是_______.11.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)已知a R ∈,函数3()f x ax x =-,若存在t R ∈,使得2|(2)()|3f t f t +-≤,则实数a 的最大值是____.12.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ,点P 在椭圆上且在x 轴的上方,若线段PF 的中点在以原点O 为圆心,OF 为半径的圆上,则直线PF 的斜率是_______. 13.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)在△ABC 中,90ABC ∠=︒,4AB =,3BC =,点D 在线段AC 上,若45BDC ∠=︒,则BD =____;cos ABD ∠=________.14.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)在二项式9)x 的展开式中,常数项是________;系数为有理数的项的个数是_______. 15.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)已知圆C 的圆心坐标是(0,m ),半径长是r .若直线230x y -+=与圆C 相切于点(2,1)A --,则m =_____,r =______.16.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷) 复数11z i=+(i 为虚数单位),则||z =________. 17.【来源】2019年高考真题——理科数学(北京卷)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x 元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.①当x =10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付__________元;②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x 的最大值为__________.18.【来源】2019年高考真题——理科数学(北京卷)设函数f (x )=e x +a e −x (a 为常数).若f (x )为奇函数,则a =________;若f (x )是R 上的增函数,则a 的取值范围是___________.三、解答题19.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +>(Ⅰ)当34a =-时,求函数f (x )的单调区间;(Ⅱ)对任意21[,)e x ∈+∞均有()f x ≤ 求a 的取值范围. 注:e=2.71828…为自然对数的底数.20.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)如图,已知点F (1,0)为抛物线22(0)y px p =>,点F 为焦点,过点F 的直线交抛物线于A ,B 两点,点C 在抛物线上,使得△ABC 的重心G 在x 轴上,直线AC 交x 轴于点Q ,且Q在点F 右侧.记,AFG CQG △△的面积为12,S S .(I)求p的值及抛物线的标准方程;(Ⅱ)求12SS的最小值及此时点G的坐标.21.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)设等差数列{a n}的前n项和为S n,34a=,43a S=,数列{b n}满足:对每个12,,,n n n n n nn S b S b S b*++∈+++N成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n},{b n}的通项公式;(Ⅱ)记,,2nnnac nb*=∈N证明:12+2,.nc c c n n*++<∈N22.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)如图,已知三棱柱ABC-A1B1C1,平面A1AC1C⊥平面ABC,90ABC∠=︒,1130,,,BAC A A AC AC E F∠=︒==分别是AC,A1B1的中点.(I)证明:EF⊥BC;(Ⅱ)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值.23.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)设函数()sin ,f x x x =∈R .(I )已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (Ⅱ)求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++ 的值域. 24.【来源】2019年高考真题——数学(浙江卷)设01a <<,则随机变量X 的分布列是:则当a 在(0,1)内增大时( ) A. D (X )增大 B. D (X )减小 C. D (X )先增大后减小D. D (X )先减小后增大25.【来源】2019年高考真题——理科数学(北京卷)已知数列{a n },从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项(i 1<i 2<…<i m ),若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<,则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅,,,为{a n }的长度为m 的递增子列.规定:数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列.(Ⅰ)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;(Ⅱ)已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ,长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a .若p <q ,求证:0m a <0n a ;(Ⅲ)设无穷数列{a n }的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1,且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个(s =1,2,…),求数列{a n }的通项公式.26.【来源】2019年高考真题——理科数学(北京卷)已知函数321()4f x x x x =-+. (Ⅰ)求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程;(Ⅱ)当[2,4]x ∈-时,求证:6()x f x x -≤≤;(Ⅲ)设()|()()|()F x f x x a a =-+∈R ,记F (x )在区间[-2,4]上的最大值为M (a ),当M (a )最小时,求a 的值.27.【来源】2019年高考真题——理科数学(北京卷)已知抛物线C :x 2=−2py 经过点(2,−1). (Ⅰ)求抛物线C 的方程及其准线方程;(Ⅱ)设O 为原点,过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ,N ,直线y =−1分别交直线OM ,ON 于点A 和点B .求证:以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.28.【来源】2019年高考真题——理科数学(北京卷)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ,B 两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A ,B 两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下:(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A ,B 两种支付方式都使用的概率; (Ⅱ)从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人,以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X 的分布列和数学期望;(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A 的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由. 29.【来源】2019年高考真题——理科数学(北京卷)如图,在四棱锥P –ABCD 中,PA ⊥平面ABCD ,AD ⊥CD ,AD ∥BC ,PA =AD =CD =2,BC =3.E 为PD 的中点,点F 在PC 上,且13PF PC =.(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAD;(Ⅱ)求二面角F–AE–P的余弦值;(Ⅲ)设点G在PB上,且23PGPB=.判断直线AG是否在平面AEF内,说明理由.30.【来源】2019年高考真题——理科数学(北京卷)在△ABC中,a=3,b−c=2,cos B=12 -.(Ⅰ)求b,c的值;(Ⅱ)求sin(B–C)的值.试卷答案1. A 【分析】本题综合性较强,注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查.本题从确定不动点出发,通过研究选项得解.【详解】选项B :不动点满足2211042x x x ⎛⎫-+=-= ⎪⎝⎭时,如图,若1110,,22n a a a ⎛⎫=∈< ⎪⎝⎭,排除如图,若a 为不动点12则12n a = 选项C :不动点满足22192024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭,不动点为ax 12-,令2a =,则210n a =<,排除选项D :不动点满足221174024x x x ⎛⎫--=--= ⎪⎝⎭,不动点为1712x =±,令1712a =,则171102n a =±<,排除. 选项A :证明:当12b =时,2222132431113117,,12224216a a a a a a =+≥=+≥=+≥≥, 处理一:可依次迭代到10a ; 处理二:当4n ≥时,221112n n n a a a +=+≥≥,则117117171161616log 2log log 2n n n n a a a -++>⇒>则12117(4)16n na n -+⎛⎫≥≥ ⎪⎝⎭,则626410217164646311114710161616216a ⨯⎛⎫⎛⎫≥=+=++⨯+⋯⋯>++> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选A【点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点,进一步讨论a 的可能取值,利用“排除法”求解. 2. D 【分析】本题综合性较强,注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想及数形结合思想的考查.研究函数方程的方法较为灵活,通常需要结合函数的图象加以分析. 【详解】原题可转化为()y f x =与y ax b =+,有三个交点.当BC AP λ=时,2()(1)()(1)f x x a x a x a x '=-++=--,且(0)0,(0)f f a ='=,则(1)当1a ≤-时,如图()y f x =与y ax b =+不可能有三个交点(实际上有一个),排除A ,B(2)当1a >-时,分三种情况,如图()y f x =与y ax b =+若有三个交点,则0b <,答案选D下面证明:1a >-时,BC AP λ=时3211()()(1)32F x f x ax b x a x b =--=-+-,2()(1)((1))F x x a x x x a '=-+=-+,则(0)0 ,(+1)<0F >F a ,才能保证至少有两个零点,即310(1)6b a >>-+,若另一零点在0<【点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数,故按“一元化”想法,逐步分类讨论,这一过程中有可能分类不全面、不彻底.. 3. B 【分析】本题以三棱锥为载体,综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念,以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角,应用三角函数知识求解,而后比较大小.而充分利用图形特征,则可事倍功半.【详解】方法1:如图G 为AC 中点,V 在底面ABC 的投影为O ,则P 在底面投影D 在线段AO 上,过D 作DE 垂直AE ,易得//PE VG ,过P 作//PF AC 交VG 于F ,过D 作//DH AC ,交BG 于H ,则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠,则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β,即αβ>,tan tan PD PDED BDγ=>=β,即γ>β,综上所述,答案为B.方法2:由最小角定理βα<,记V AB C --的平面角为γ'(显然γ'=γ) 由最大角定理β<γ'=γ,故选B.法2:(特殊位置)取V ABC -为正四面体,P 为VA 中点,易得333222cos sin sin α=⇒α=β=γ=B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有,不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”,寻求简便解法. 4. D【分析】本题通过讨论a 的不同取值情况,分别讨论本题指数函数、对数函数的图象和,结合选项,判断得出正确结论.题目不难,注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当01a <<时,函数xy a =过定点(0,1)且单调递减,则函数1xy a =过定点(0,1)且单调递增,函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,0)2且单调递减,D 选项符合;当1a >时,函数x y a =过定点(0,1)且单调递增,则函数1x y a=过定点(0,1)且单调递减,函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1(,02)且单调递增,各选项均不符合.综上,选D.【点睛】易出现的错误有,一是指数函数、对数函数的图象和性质掌握不熟,导致判断失误;二是不能通过讨论a 的不同取值范围,认识函数的单调性. 5.A 【分析】本题根据基本不等式,结合选项,判断得出充分性成立,利用“特殊值法”,通过特取,a b的值,推出矛盾,确定必要性不成立.题目有一定难度,注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查.【详解】当0, 0a >b >时,a b +≥,则当4a b +≤时,有4a b ≤+≤,解得4ab ≤,充分性成立;当=1, =4a b 时,满足4ab ≤,但此时=5>4a+b ,必要性不成立,综上所述,“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件.【点睛】易出现的错误有,一是基本不等式掌握不熟,导致判断失误;二是不能灵活的应用“赋值法”,通过特取,a b 的值,从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 6. B【分析】本题首先根据三视图,还原得到几何体—棱柱,根据题目给定的数据,计算几何体的体积.常规题目.难度不大,注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考查.【详解】由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的,其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为264633616222++⎛⎫⨯+⨯⨯=⎪⎝⎭. 【点睛】易错点有二,一是不能正确还原几何体;二是计算体积有误.为避免出错,应注重多观察、细心算.7. C 【分析】本题是简单线性规划问题的基本题型,根据“画、移、解”等步骤可得解.题目难度不大题,注重了基础知识、基本技能的考查.【详解】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图易得当目标函数=3+2z x y 经过平面区域的点(2,2)时,=3+2z x y 取最大值max 322210z =⨯+⨯=.【点睛】解答此类问题,要求作图要准确,观察要仔细.往往由于由于作图欠准确而影响答案的准确程度,也有可能在解方程组的过程中出错. 8. C 【分析】本题根据双曲线的渐近线方程可求得1a b ==,进一步可得离心率.容易题,注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.【详解】因为双曲线的渐近线为0x y ±=,所以==1a b ,则c ==的离心率ce a==【点睛】理解概念,准确计算,是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误. 9. A 【分析】本题借根据交集、补集的定义可得.容易题,注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】={1,3}U C A -,则(){1}U C A B =-【点睛】易于理解集补集的概念、交集概念有误. 10.0 【分析】本题主要考查平面向量的应用,题目难度较大.从引入“基向量”入手,简化模的表现形式,利用转化与化归思想将问题逐步简化. 【详解】()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB ADλ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小,只需要135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=,此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ=此时123456min0AB BC CD DA AC BDλ+λ+λ+λ+λ+λ=等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正,并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正。
2019高考数学数列真题汇总(一题不拉)
(2019•新课标Ⅰ理9)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =,55a =,则( ) A .25n a n =-B .310n a n =-C .228n S n n =-D .2122n S n n =-【解答】解:设等差数列{}n a 的公差为d ,由40S =,55a =,得1146045a d a d +=⎧⎨+=⎩,∴132a d =-⎧⎨=⎩,25n a n ∴=-,24n S n n =-,故选:A . (2019•新课标Ⅰ理14)记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若113a =,246a a =,则5S = .【解答】解:在等比数列中,由246a a =,得625110q a q a =>,即0q >,3q =,则551(13)1213133S -==-,故答案为:1213(2019•新课标Ⅰ文14)设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若11a =,334S =,则4S = . 【解答】解:Q 等比数列{}n a 的前n 项和,11a =,334S =,1q ∴≠,31314q q -=-,整理可得,2104q q ++=,解可得,12q =-,则4411151611812q S q --===-+.故答案为:58 (2019•新课标Ⅲ理5文6)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,则a 3=( ) A .16B .8C .4D .2【解答】解:设等比数列{a n }的公比为q (q >0),则由前4项和为15,且a 5=3a 3+4a 1,有 {a 1+a 1q +a 1q 2+a 1q 3=15a 1q 4=3a 1q 2+4a 1,∴{a 1=1q =2,∴a 3=22=4,故选:C . (2019•新课标Ⅲ理14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 1≠0,a 2=3a 1,则S 10S 5= .【解答】解:设等差数列{a n }的公差为d ,则 由a 1≠0,a 2=3a 1可得,d =2a 1,∴S 10S 5=10(a 1+a 10)5(a 1+a 5)=2(2a 1+9d)2a 1+4d=2(2a 1+18a 1)2a 1+8a 1=4,故答案为:4.(2019•新课标Ⅲ文14)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和.若a 3=5,a 7=13,则S 10= . 【解答】解:在等差数列{a n }中,由a 3=5,a 7=13,得d =a 7−a 37−3=13−54=2,∴a 1=a 3﹣2d =5﹣4=1. 则S 10=10×1+10×9×22=100. 故答案为:100.(2019•上海8)已知数列{}n a 前n 项和为n S ,且满足2n n S a +=,则5S = . 【解答】解:由2n n S a +=,①得122a =,即11a =,且112(2)n n S a n --+=…,② ①-②得:11(2)2n n a a n -=….∴数列{}n a 是等比数列,且111,2a q ==.∴5511[1()]31211612S ⨯-==-. 故答案为:3116. (2019•江苏8)已知数列*{}()n a n N ∈是等差数列,n S 是其前n 项和.若2580a a a +=,927S =,则8S 的值是 .【解答】解:设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,则1111()(4)70989272a d a d a d a d ++++=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩,解得152a d =-⎧⎨=⎩.∴818788(5)56162d S a ⨯=+=⨯-+=.故答案为:16.(2019•新课标Ⅱ文18)已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,12a =,32216a a =+. (1)求{}n a 的通项公式;(2)设2log n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和.【解答】解:(1)设等比数列的公比为q ,由12a =,32216a a =+,得22416q q =+,即2280q q --=,解得2q =-(舍)或4q =. ∴11211242n n n n a a q ---==⨯=;(2)2122log 221n n n b a log n -===-,11b =Q ,12(1)1212n n b b n n +-=+--+=,∴数列{}n b 是以1为首项,以2为公差的等差数列,则数列{}n b 的前n 项和2(1)212n n n T n n -⨯=⨯+=. (2019•北京理10)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若23a =-,510S =-,则5a = ,n S 的最小值为 .【解答】解:设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,23a =-,510S =-,∴113545102a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩,解得14a =-,1d =,5144410a a d ∴=+=-+⨯=,21(1)(1)19814()22228n n n n n S na d n n --=+=-+=--,4n ∴=或5n =时,n S 取最小值为4510S S ==-.故答案为:0,10-.(2019•北京文16)设{}n a 是等差数列,110a =-,且210a +,38a +,46a +成等比数列. (1)求{}n a 的通项公式;(2)记{}n a 的前n 项和为n S ,求n S 的最小值.【解答】解:(Ⅰ){}n a Q 是等差数列,110a =-,且210a +,38a +,46a +成等比数列.2324(8)(10)(6)a a a ∴+=++,2(22)(43)d d d ∴-+=-+,解得2d =,1(1)1022212n a a n d n n ∴=+-=-+-=-.(Ⅱ)由110a =-,2d =,得: 22(1)1112110211()224n n n S n n n n -=-+⨯=-=--,5n ∴=或6n =时,n S 取最小值30-.(2019•新课标Ⅰ文18)记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知95S a =-. (1)若34a =,求{}n a 的通项公式;(2)若10a >,求使得n n S a …的n 的取值范围.【解答】解:(1)根据题意,等差数列{}n a 中,设其公差为d ,若95S a =-,则19955()992a a S a a +⨯===-,变形可得50a =,即140a d +=,若34a =,则5322a ad -==-,则3(3)210n a a n d n =+-=-+,(2)若n n S a …,则11(1)(1)2n n na d a n d -++-…,当1n =时,不等式成立,当2n …时,有12ndd a -…,变形可得1(2)2n d a --…,又由95S a =-,即19955()992a a S a a +⨯===-,则有50a =,即140a d +=,则有11(2)24an a ---…,又由10a >,则有10n …,则有210n 剟,综合可得:n 的取值范围是{|110n n 剟,}n N ∈.(2019•天津文18)设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0.已知113a b ==,23b a =,3243b a =+.(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⋅⎪⎩为奇数为偶数求*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈.【解答】解:(Ⅰ){}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,公比大于0. 设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,0q >.由题意可得:332q d =+①;23154q d =+②解得:3d =,3q =,故33(1)3n a n n =+-=,1333n n b -=⨯= (Ⅱ)数列{}n c 满足,21,,n n n c b n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数,*112222()n n a c a c a c n N ++⋯+∈135212142632()()n n n a a a a a b a b a b a b -=+++⋯+++++⋯+23(1)[36](6312318363)2n n n n n -=+⨯+⨯+⨯+⨯+⋯+⨯2236(13233)n n n =+⨯+⨯+⋯+⨯ 令2(13233)n n T n =⨯+⨯+⋯+⨯①,则231313233n n T n +=⨯+⨯+⋯+②,②-①得:231233333nn n T n +=---⋯-+1133313n n n +-=-⨯+-1(21)332n n +-+=;故2222*112222(21)36936332()2n n n n n n n a c a c a c n T n T n N +-++++⋯+=+=+⨯=∈ (2019•天津理19)设{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列.已知14a =,16b =,2222b a =-,3324b a =+.(Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n c 满足11c =,11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈. ()i 求数列22{(1)}n n a c -的通项公式;()ii 求2*1()ni i i a c n N =∈∑.【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,依题意有:26626124q d q d =+⎧⎨=+⎩,解得32d q =⎧⎨=⎩,4(1)331n a n n ∴=+-⨯=+,16232n nn b -=⨯=⨯. (Ⅱ)()i Q 数列{}n c 满足11c =,11,22,,2,k k n kk n c b n +⎧<<⎪=⎨=⎪⎩其中*k N ∈. 222(1)(1)(321)(321)941n n n n n n n a c a b ∴-=-=⨯+⨯-=⨯-,∴数列22{(1)}n n a c -的通项公式为: 22(1)941n n n a c -=⨯-.(Tex translation failed)12(21)(243)(941)2n n nni i =-=⨯+⨯+⨯-∑2114(14)(3252)914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--2112725212n n n --=⨯+⨯--.*()n N ∈.(2019•新课标Ⅱ理19)已知数列{}n a 和{}n b 满足11a =,10b =,1434n n n a a b +=-+,1434n n n b b a +=--.(1)证明:{}n n a b +是等比数列,{}n n a b -是等差数列; (2)求{}n a 和{}n b 的通项公式.【解答】解:(1)证明:1434n n n a a b +=-+Q ,1434n n n b b a +=--;114()2()n n n n a b a b ++∴+=+,114()4()8n n n n a b a b ++-=-+;即111()2n n n n a b a b +++=+,112n n n n a b a b ++-=-+;又111a b +=,111a b -=,{}n n a b ∴+是首项为1,公比为12的等比数列,{}n n a b -是首项为1,公差为2的等差数列;(2)由(1)可得:11()2n n n a b -+=,12(1)21n n a b n n -=+-=-;11()22n n a n ∴=+-,11()22n n b n =-+.全国卷的同学,下面的题不会也没关系:(2019•浙江20)设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,34a =,43a S =.数列{}n b 满足:对每个*n N ∈,n n S b +,1n n S b ++,2n n S b ++成等比数列.(Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)记n c =*n N ∈,证明:12n c c c ++⋯+<,*n N ∈. 【解答】解:(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ,由题意得11124333a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩,解得10a =,2d =,22n a n ∴=-,*n N ∈.2n S n n ∴=-,*n N ∈,Q 数列{}n b 满足:对每个*n N ∈,n n S b +,1n n S b ++,2n n S b ++成等比数列.212()()()n n n n n n S b S b S b ++∴+=++,解得2121()2n n n n b S S S ++=-,解得2n b n n =+,*n N ∈.(Ⅱ)证明:n c ===,*n N ∈,用数学归纳法证明: ①当1n =时,102c =<,不等式成立;②假设n k =,*()k N ∈时不等式成立,即12k c c c ++⋯+<,则当1n k =+时,121k k c c c c +++⋯++<<==,即1n k =+时,不等式也成立.由①②得12n c c c ++⋯+<,*n N ∈.(2019•北京理20)已知数列{}n a ,从中选取第1i 项、第2i 项、⋯、第m i 项12()m i i i <<⋯<,若12m i i i a a a <<⋯<,则称新数列1i a ,2i a ,⋯,m i a 为{}n a 的长度为m 的递增子列.规定:数列{}n a 的任意一项都是{}n a 的长度为1的递增子列.(Ⅰ)写出数列1,8,3,7,5,6,9的一个长度为4的递增子列;(Ⅱ)已知数列{}n a 的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ,长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a .若p q <,求证:00m n a a <;(Ⅲ)设无穷数列{}n a 的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若{}n a 的长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -,且长度为s 末项为21s -的递增子列恰有12s -个(1s =,2,)⋯,求数列{}n a 的通项公式.【解答】解:()1I ,3,5,6.()II 证明:考虑长度为q 的递增子列的前p 项可以组成长度为p 的一个递增子列,∴0n a >该数列的第p 项0m a …,∴00m n a a <.()III 解:考虑21s -与2s 这一组数在数列中的位置.若{}n a 中有2s ,在2s 在21s -之后,则必然在长度为1s +,且末项为2s 的递增子列,这与长度为s 的递增子列末项的最小值为21s -矛盾,2s ∴必在21s -之前. 继续考虑末项为21s +的长度为1s +的递增子列.Q 对于数列21n -,2n ,由于2n 在21n -之前,∴研究递增子列时,不可同时取2n 与21n -,Q 对于1至2s 的所有整数,研究长度为1s +的递增子列时,第1项是1与2二选1,第2项是3与4二选1,⋯⋯,第s 项是21s -与2s 二选1,故递增子列最多有2s 个.由题意,这s 组数列对全部存在于原数列中,并且全在21s +之前.2∴,1,4,3,6,5,⋯⋯,是唯一构造. 即221k a k =-,212k a k -=,*k N ∈.(2019•上海21)数列{}(*)n a n N ∈有100项,1a a =,对任意[2n ∈,100],存在n i a a d =+,[1i ∈,1]n -,若k a 与前n 项中某一项相等,则称k a 具有性质P .(1)若11a =,2d =,求4a 所有可能的值;(2)若{}n a 不为等差数列,求证:数列{}n a 中存在某些项具有性质P ;(3)若{}n a 中恰有三项具有性质P ,这三项和为c ,使用a ,d ,c 表示12100a a a ++⋯+. 【解答】解:(1)Q 数列{}n a 有100项,1a a =,对任意[2n ∈,100],存在n i a a d =+,[1i ∈,1]n -,∴若11a =,2d =,则当2n =时,213a a d =+=,当3n =时,[1i ∈,2],则313a a d =+=或325a a d =+=,当4n =时,[1i ∈,3],则413a a d =+=或425a a d =+=或431()5a a d a d d =+=++=或432()7a a d a d d =+=++= 4a ∴的所有可能的值为:3,5,7;(2){}n a Q 不为等差数列,∴数列{}n a 存在m a 使得1m m a a d -=+不成立Q 对任意[2n ∈,10],存在n i a a d=+,[1i ∈,1]n -;∴存在[1p ∈,2]n -,使m p a a d =+,则对于m q i a a d -=+,[1i ∈,1]n q --,存在p i =,使得m q m a a -=,因此{}n a 中存在具有性质P 的项;(3)由(2)知,去除具有性质P 的数列{}n a 中的前三项,则数列{}n a 的剩余项均不相等,Q 对任意[2n ∈,100],存在n i a a d =+,[1i ∈,1]n -,则一定能将数列{}n a 的剩余项重新排列为一个等差数列,且该数列的首项为a ,公差为d ,12100a a a ∴++⋯+97(96)2a a d c ++=+974656a d c =++.(2019•浙江10)设a ,b R ∈,数列{}n a 满足1a a =,21n n a a b +=+,*n N ∈,则( )A .当12b =时,1010a > B .当14b =时,1010a > C .当2b =-时,1010a > D .当4b =-时,1010a >【解答】解:对于B ,令2104x x -+=,得12x =,取112a =,∴211,,1022n a a =⋯=<,∴当14b =时,1010a <,故B 错误; 对于C ,令220x x --=,得2x =或1x =-,取12a =,22a ∴=,⋯,210n a =<,∴当2b =-时,1010a <,故C 错误;对于D ,令240x x --=,得x =,取1a ,∴2a =,⋯,10n a =<,∴当4b =-时,1010a <,故D 错误; 对于A ,221122a a =+…,223113()224a a =++…,4224319117()14216216a a a =++++=>…,10n n a a +->,{}n a 递增,当4n …时,11132122n n n n aa a a +=+>+=,∴5465109323232a a a a a a ⎧>⎪⎪⎪>⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪>⎪⎩g gg ,∴61043()2a a >,107291064a ∴>>.故A 正确. 故选:A .(2019•江苏20)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M -数列”.(1)已知等比数列*{}()n a n N ∈满足:245a a a =,321440a a a -+=,求证:数列{}n a 为“M -数列”;(2)已知数列*{}()n b n N ∈满足:11b =,1122n n n S b b +=-,其中n S 为数列{}n b 的前n 项和. ①求数列{}n b 的通项公式;②设m 为正整数,若存在“M -数列” *{}()n c n N ∈,对任意正整数k ,当k m …时,都有1k k k c b c +剟成立,求m 的最大值.【解答】解:(1)设等比数列{}n a 的公比为q ,则由245a a a =,321440a a a -+=,得244112111440a q a qa q a q a ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩∴112a q =⎧⎨=⎩,∴数列{}n a 首项为1且公比为正数即数列{}n a 为“M -数列”; (2)①11b =Q ,1122n n n S b b +=-,∴当1n =时,11121122S b b b ==-,22b ∴=,当2n =时,212231122S b b b b ==-+,33b ∴=,当3n =时,3123341122S b b b b b ==-++,44b ∴=,猜想n b n =,下面用数学归纳法证明;()i 当1n =时,11b =,满足n b n =,()ii 假设n k =时,结论成立,即k b k =,则1n k =+时,由1122k k k S b b +=-,得1(1)2221(1)222k k k k k k k k b S b k k k S b k++===++--gg ,故1n k =+时结论成立,根据()()i ii 可知,n b n =对任意的*n N ∈都成立.故数列{}n b 的通项公式为n b n =;②设{}n c 的公比为q ,存在“M -数列” *{}()n c n N ∈,对任意正整数k ,当k m …时,都有1k k k c b c +剟成立,即1k kq k q -剟对k m …恒成立,当1k =时,1q …,当2k =2q ,当3k …,两边取对数可得,1lnk lnk lnq kk -剟对k m …有解,即[][]1max min lnk lnklnq kk -剟,令()(3)lnx f x x x =…,则21()lnxf x x-'=,当3x …时,()0f x '<,此时()f x 递减,∴当3k …时,3[]3max lnk ln k =,令()(3)1lnxg x x x =-…,则211()lnxx g x x --'=,令1()1x lnx x φ=--,则21()x x xφ-'=,当3x …时,()0x φ'<,即()0g x '<,()g x ∴在[3,)+∞上单调递减,即3k …时,[]11min lnk lnm k m =--,则331ln lnm m -…,下面求解不等式331ln lnmm -…,化简,得3(1)30lnm m ln --…,令()3(1)3h m lnm m ln =--,则3()3h m ln m'=-,由3k …得3m …,()0h m '<,()h m ∴在[3,)+∞上单调递减,又由于h (5)3543125810ln ln ln ln =-=->,h (6)36532162430ln ln ln ln =-=-<,∴存在0(5,6)m ∈使得0()0h m =,m ∴的最大值为5,此时13[3q ∈,145].。
2019年高考专题:数列试题及答案
2019年高考专题:数列1.【2019年高考全国III 卷文数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15,且53134a a a =+,则3a =( ) A .16 B .8C .4D .2【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ,则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩, 解得11,2a q =⎧⎨=⎩,2314a a q ∴==,故选C .2.【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==,,则S 4=___________.【解析】设等比数列的公比为q ,由已知223111314S a a q a q q q =++=++=,即2104q q ++=. 解得12q =-,所以441411()(1)521181()2a q S q ---===---. 3.【2019年高考全国III 卷文数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若375,13a a ==,则10S =___________.【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,根据题意可得317125,613a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩得11,2a d =⎧⎨=⎩ 101109109101012100.22S a d ⨯⨯∴=+=⨯+⨯= 4.【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列,n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==,则8S 的值是__________.【解析】由题意可得:()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得:152a d =-⎧⎨=⎩,则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 5.【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列{}n a 中,3a ,9a 是方程224120x x ++=的两根,则数列{}n a 的前11项和等于( )A .66B .132C .-66D .- 32 【解析】因为3a ,9a 是方程224120x x ++=的两根,所以3924a a +=-,又396242a a a +=-=,所以612a =-,61111111211()13222a a a S ⨯⨯+===-,故选D.6.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)数学试题】在数列{}n a 中,1111,,(*)2019(1)n n a a a n N n n +==+∈+,则2019a 的值为______. 【解析】因为11,()(1)n n a a n n n *+=+∈+N 所以1111(1)1n n a a n n n n +-==-++,2111,2a a -=-3211,23a a -=-...,201920181120182019a a -=-,各式相加,可得20191112019a a -=-,201911120192019a -=-,所以,20191a =,故答案为1.7.【2019北京市通州区三模数学试题】设{}n a 是等比数列,且245a a a =,427a =,则{}n a 的通项公式为_______.【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ,因为245a a a =,427a =,所以223542427a a a a q q q ====,解得3q =,所以41327127a a q ===, 因此,13-=n n a ,n *∈N .故答案为13-=n n a ,n *∈N .8.【2019年高考全国I 卷文数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和,已知S 9=-a 5.(I )若a 3=4,求{a n }的通项公式;(II )若a 1>0,求使得S n ≥a n 的n 的取值范围. 【解析】(I )设{}n a 的公差为d .由95S a =-得140a d +=.由a 3=4得124a d +=.于是18,2a d ==-. 因此{}n a 的通项公式为102n a n =-.(II )由(I )得14a d =-,故(9)(5),2n n n n da n d S -=-=. 由10a >知0d <,故n n S a ≥等价于211100n n -+,解得1≤n ≤10. 所以n 的取值范围是{|110,}n n n *≤≤∈N .9.【2019年高考全国II 卷文数】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列,1322,216a a a ==+.(I )求{}n a 的通项公式;(II )设2log n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和.【解析】(I )设{}n a 的公比为q ,由题设得22416q q =+,即2280q q --=.解得2q =-(舍去)或q =4.因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=.(II )由(I )得2(21)log 221n b n n =-=-,因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-=.10.【2019年高考北京卷文数】设{a n }是等差数列,a 1=–10,且a 2+10,a 3+8,a 4+6成等比数列.(Ⅰ)求{a n }的通项公式;(Ⅱ)记{a n }的前n 项和为S n ,求S n 的最小值. 【解析】(Ⅰ)设{}n a 的公差为d .因为110a =-, 所以23410,102,103a d a d a d =-+=-+=-+.因为23410,8,6a a a +++成等比数列,所以()()()23248106a a a +=++.所以2(22)(43)d d d -+=-+.解得2d =.所以1(1) 212n a a n d n =+-=-.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,212n a n =-.所以,当7n ≥时,0n a >;当6n ≤时,0n a ≤.所以,n S 的最小值为630S =-.11.【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的前n 项和为n T .若113a b ==,42a b =,4212S T -=. (I )求数列{}n a 与{}n b 的通项公式;(II )求数列{}n n a b +的前n 项和.【解析】(I )由11a b =,42a b =,则4212341223()()12S T a a a a b b a a -=+++-+=+=, 设等差数列{}n a 的公差为d ,则231236312a a a d d +=+=+=,所以2d =. 所以32(1)21n a n n =+-=+.设等比数列{}n b 的公比为q ,由题249b a ==,即2139b b q q ===,所以3q =.所以3nn b =;(II )(21)3n n n a b n +=++, 所以{}n n a b +的前n 项和为1212()()n n a a a b b b +++++++2(3521)(333)nn =++++++++(321)3(13)213n n n ++-=+-3(31)(2)2n n n -=++.12.【山东省烟台市2019届高三3月诊断性测试数学试题】已知等差数列{}n a 的公差是1,且1a ,3a ,9a 成等比数列.(I )求数列{}n a 的通项公式; (II )求数列{}2n na a 的前n 项和n T . 【解析】(I )因为{}n a 是公差为1的等差数列,且1a ,3a ,9a 成等比数列,所以2319a a a =,即2111(2)(8)a a a +=+,解得11a =.所以1(1)n a a n d n =+-=.(II )12311111232222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,2311111112(1)22222n n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,两式相减得1231111111222222nn n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,所以111111112211222212n n n n n n T n +++⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=-⨯=-- ⎪⎝⎭-.所以222n nnT +=-. 13.【安徽省1号卷A10联盟2019年高考最后一卷数学试题】已知等差数列{}n a 满足636a a =+,且31a -是241,a a -的等比中项.(I )求数列{}n a 的通项公式; (II )设()11n n n b n a a *+=∈N ,数列{}n b 的前项和为n T ,求使1n T <成立的最大正整数n 的值 【解析】(I )设等差数列{}n a 的公差为d ,6336a a d -==,即2d =,3113a a ∴-=+,2111a a -=+,416a a =+, 31a -是21a -,4a 的等比中项,()()232411a a a ∴-=-⋅,即()()()2111+3=16a a a ++,解得13a =.∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =+.(II )由(I )得()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭. 1212n n T b b b ∴=++⋅⋅⋅+=11111135572123n n ⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+- ⎪++⎝⎭()1112323323n n n ⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭, 由()13237n n <+,得9n <. ∴使得1n T <成立的最大正整数n 的值为8.14.【重庆一中2019届高三下学期5月月考数学试题】已知数列{}n a 满足:1n a ≠,()112n n a n a *+=-∈N ,数列}{n b 中,11n n b a =-,且1b ,2b ,4b 成等比数列. (I )求证:数列}{n b 是等差数列;(II )若n S 是数列}{n b 的前n 项和,求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【解析】(I )111111111121n n n n n nb b a a a a ++-=-=------1111n n n a a a =-=--, ∴数列}{n b 是公差为1的等差数列;(II )由题意可得2214b b b =,即()()211113b b b +=+,所以11b =,所以1n b =,∴(1)2n n n S +=,∴12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭, 11111212231n T n n ⎛⎫=⨯-+-+⋯+- ⎪+⎝⎭122111nn n ⎛⎫=⨯-=⎪++⎝⎭.。
2019年高考专题:数列试题及答案
2019年高考专题:数列1.(2019年高考全国III 卷文数】己知各项均为正数的等比数列伉}的前4项和为15,且% =3%+4%,则为 = ( ) A. 16 B. 8 C・ 4 D. 2【解析】设正数的等比数列{或的公比为q,则,2 3a \ +a l e / + a l (l +阳q/ = +4</)解得一:=4,故选c.0 = 22. [2019年高考全国I 卷文数】记&为等比数列0}的前〃项和.若《=1,53=|,则玷・【解析】设等比数列的公比为0,由已知£ =%+"/ + “* =l + q + q ‘=:,即,广+q + ; = O.44解得g=-:,所以§=竺也=兰车2 — T583.【2019年高考全国III 卷文数】记乩为等差数列{为}的前〃项和,若明=5皿=13,则扁=«i =1 - e 10x9 , 5 . l°x9 - ec d 2,・・Sio = 10〃]+ —-—d = 10x1 + —-—x2 = 100.【解析】设等差数列{外}的公差为/根据题意可得=苗 + 2。
= 5 <«7 = % + 6J = 13 412019年高考江苏卷】已知数列吭}(〃 e ND 是等差数列,&是其前刀项和.若,% + % = 0, S, = 27 ,则g 的值是__________+纯=("i +〃)(《+44) + (% +7d) = O【解析】由题意可得:9x8d = 215M = 9q +2解得::二;,则$8=阿+亍-"=-40+28x2=16.8x75.【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列{《.}中,%,印是方程F+24x+12=0的两根,则数列{%}的前11项和等于()A.66B.132C.-66D.一32【解析】因为""4;是方程/+24x+12=0的两根,所以%+%=-24,又%+%=-24=2%,所以%=-12,Sn=l^^=¥=T32,故选D.6.【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试(6月)数学试题】在数列{外}中,=""+奇土?"隹则"顼9 的值为______.【解析】因为所以*一%=时=厂淼%23・..,5一%产顽一昴,各式相加'可得吼M=1一而'5一而=】一郝,所凶“2019=1,故答案为1.7.[2019北京市通州区三模数学试题】设{《}是等比数列,且“2%=的,%=27,则{%}的通项公式为【解析】设等比数列{q}的公比为。
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1.已知数列{a n }的前n 项和为S n (S n ≠0),且满足,则下列说法正确的是( ) A.数列{a n }的前n 项和为S n =4nB. 数列{a n }的通项公式为C.数列{a n }为递增数列D. 数列为递增数列2.已知数列{}n a 满足: 11a =,12nn n a a a +=+*()n N ∈.若()1121n n b n a λ+⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,1b λ=-,且数列{}n b 是单调递增数列,则实数λ的取值范围是( )A. 23λ>B. 32λ>C. 32λ<D. 23λ<3.已知等比数列{z n }中,11z =,2z x yi =+,yi x z +-=3(其中i 为虚数单位,x y R ∈、,且y >0),则数列{z n }的前2019项的和为( )A .i 2321+ B .i 2321- C .i 31- D .i 31+4.等比数列{a n }的前n 项和3nn S t =+,则3t a +的值为A. 1B.-1C. 17D. 185.设函数,是公差为的等差数列, ,则A.B.C.D.6.已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足,则下列命题错误的是A.B.C.D.7.已知数列{a n}满足,则=A.-1 B.-2 C.-3 D.1-log3408.已知数列{a n}满足,若,则的值为( )A. B. C. D.9.设正项等比数列{a n}的前n项和为S n,且,则数列{a n}的公比为( )D.10.已知数列满足,,则数列的前40项的和为()A.B.C. D.11.已知正方形ABCD的边长是a,依次连接正方形ABCD各边中点得到一个新的正方形,由此规律,依次得到一系列的正方形,如图所示.现有一只小虫从A点出发,沿正方形的边逆时针方向爬行,如此下去,爬行了10条线段.设这10条线段的长度之和是S10,则(2S=10A .3164aB .6164aC .3132aD .61128a12.数列{a n }满足a 1=1,且对于任意n∈N +的都有a n +1 = a n + a 1 +n ,则201721111a a a +++Λ等于 ( )A.20172016B.20174032C.20182017D.2018403413.已知数列{a n }满足:+=(n +1)cos(n ≥2,n ∈N *), S n 是数列{a n }的前n 项和,若 +m =1010,·m >0,则的最小值为( )B.+14.数列的通项公式,前项和,则( ) A .1232 B .3019C .3025D .432115.《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题:“今有良马与驽马发长安,至齐.齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,驾马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎驽马.何日相逢,”其大意为:“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去,已知长安和齐的距离是3000里,良马第一天行193里,之后每天比前一天多行13里,驽马第一天行97里,之后每天比前一天少行里.良马到齐后,立刻返回去迎驽马,多少天后两马相遇.”现有三种说法:①驽马第九日走了93里路;②良马四日共走了930里路;③行驶5天后,良马和驽马相距615里. 那么,这3个说法里正确的个数为( ) A .0B .1C .2D .316.设数列{a n }的前n 项和为S n ,121n n a a n ++=+,且1350n S =.若22a <,则n 的最大值为( ) A .51 B .52C .53D .5417.已知a 1,a 2,a 3,a 4成等比数列,且a 1+a 2+a 3+a 4=ln(a 1+a 2+a 3),若a 1>1,则( )A . a 1<a 3,a 2<a 4B . a 1>a 3,a 2<a 4C . a 1<a 3,a 2>a 4D . a 1>a 3,a 2>a 418.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知335588(1)34,(1)32a a a a -+=-+=,则下列选项正确的是A .125812,S a a =>B .125824,S a a =>C .125812,S a a =<D .125824,S a a =<19.己知数列{}n a 中,11a =,且对任意的,m n N *∈,都有m n m n a a a mn +=++,则201811i ia==∑A .20172018B .20171009C .20182019D .4036201920.已知 为虚数单位),又数列满足:当时,;当,为的虚部,若数列的前项和为,则( ) A .B .C.D .21.已知数列{}n a 的前n 项和n S ,若1111,3n n a S a +==,则7a =( ) A .74 B .534⨯ C. 634⨯ D .641+22.已知等差数列的公差,前项和为,若对所有的,都有,则( ). A. B.C.D.23.设实数b ,c ,d 成等差数列,且它们的和为9,如果实数a ,b ,c 构成公比不等于-1的等比数列,则a +b +c 的取值范围为( )A. (49,+∞) B. (-∞,49)C. [49,3)∪(3,+∞) D. (-∞,-3) ∪(-3,49)24.已知数列{}n b 满足121,4,b b ==2221sin cos 22n n n n b b ππ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,则该数列的前23 项的和为( ) A .4194 B .4195C .2046D .204725.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若7S 为一个确定的常数,下列各式中也为确定常数的是( )A .147a a aB .147a a a ++C .18a aD .18a a +26.下列结论正确的是( )A .若{}n a 为等比数列,n S 是{}n a 的前n 项和,则n S ,2n n S S -,32n n S S -是等比数列B .若{}n a 为等比数列,n S 是{}n a 的前n 项和,则n S ,2n n S S -,32n n S S -是等差数列C .若{}n a 为等比数列,“m n p q +=+”是“m n p q a a a a +=+”的充要条件D .满足1n n a qa +=(*n N ∈,q 为常数的数列{}n a 为等比数列27.已知定义在[0,+∞)上的函数f (x )满足f (x )=2 f (x +2),当x ∈[0,2]时, f (x )=-2x 2+4x ,设f (x )在[2n -2,2n )上的最大值为a n (n ∈N *),且{a n }的前n 项和为S n ,则S n =A .2-121-n B .4-221-n C . 2-n 21 D . 4-121-n28.已知数列{a n }{n =1,2,3…,2015}为等差数列,圆C 1:x 2+y 2﹣4x ﹣4y =0,圆C 2:x 2+y 2﹣2a n x ﹣2a 2016﹣n y =0,若圆C 2平分圆C 1的周长,则{a n }的所有项的和为( ) A .2014B .2015C .4028D .403029.已知数列{}n a 满足112a =,111n n a a +=-(n ∈N *),则使12100k a a a +++<L 成立的最大正整数k 的值为( ) A .198 B .199D .20130.定义123nnp p p p ++++L 为n 个正数123,,,,n p p p p L 的“均倒数”.若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +,又14n n a b +=,则12233410111111b b b b b b b b ++++=L ( ) A .111B .109C .1110 D .121131.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,前n 项和为n S ,则对正整数m ,下列四个结论中: (1) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列,也可能成等比数列; (2) 232m m m m m S S S S S --、、成等差数列,但不可能成等比数列; (3) 23m m m S S S 、、可能成等比数列,但不可能成等差数列; (4) 23m m m S S S 、、不可能成等比数列,也不叫能成等差数列. 正确的是( ) A.(1)(3) B.(1)(4)C.(2)(3)D.(2)(4)32.对于实数x ,[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,*n N ∈,其中n S 为数列{}n a 的前n 项和,则[][][]1280111...S S S +++=( ) A .2323140B .5241280C .2603140D .517128033.设S n 为数列{a n }的前n 项和,a 1=1,S n =2S n ﹣1+n ﹣2(n ≥2),则a 2017等于( ) A .22016﹣1B .22016+1C .22017﹣1D .22017+134.若一个数列的第m 项等于这个数列的前m 项的乘积,则称该数列为“m 积数列”.若各项均为正数的等比数列{a n }是一个“2017积数列”,且a 1>1,则当其前n 项的乘积取最大值时n 的值为( ) A .1008B .1009C .1007或1008D .1008或100935.已知在各项为正数的等比数列中,与的等比中项为4,则当取最小值时,等于( ) A .32 B .16C .8D .436.如图,已知点D 为ABC ∆的边BC 上一点,3BD DC =u u u r u u u r,n E (*n N ∈)为AC 边上的一列点,满足11(32)4n n n n n E A a E B a E D +=-+u u u u r u u u u r u u u u r,其中实数列{}n a 中,0n a >,11a =,则{}n a 的通项公式为( )A .1321n -⋅- B .21n-C .32n-D .1231n -⋅-37.已知数列的前项和为,若对任意的都成立,则数列为( ) A .等差数列B .等比数列 C. 既等差又等比数列D .既不等差又不等比数列38.已知等差数列{a n }的公差不为0,等比数列{b n }的公比是正有理数.若,且是正整数,则=( ) A.B. 2C. 2或8D.2,或39.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按31天算,记该女子一个月中的第天所织布的尺数为,则的值为( ) A. B. C. D.40.在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且a n +2-a n =1+(-1)n(n ∈N +),则S 100=( ) A .0B .1300C .2600D .260241.已知集合{}230123|222A x x a a a a =+⨯+⨯+⨯,其中{}0,1(0,1,2,3)k a k ∈=,且30a ≠,则A 中所有元素之和是(). A .120 B .112 C .92 D .8442.函数2()f x x =,定义数列{}n a 如下:1()n n a f a +=,*n ∈N ,若给定1a 的值,得到无穷数列{}n a 满足:对任意正整数n ,均有1n n a a +>,则1a 的取值范围是().A .(-∞,-1)∪(1,+∞)B .(-∞,0)∪(1,+∞)C .(1,+∞)D .(-1,0)43.已知数列1:A a ,2a ,L ,12(0,3)n n a a a a n <<<L ≤≥具有性质P :对任意i ,(1)j i j n ≤≤≤,j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项,给出下列三个结论:①数列0,2,4,6具有性质P .②若数列A 具有性质P ,则10a =.③数列1a ,2a ,3123(0)a a a a <<≤具有性质P ,则1322a a a +=, 其中,正确结论的个数是(). A .3B .2C .1D .044.若等差数列{a n }的公差为d ,前n 项和为S n ,记b n =n S n,则( )A .数列{b n }是等差数列,{b n }的公差也为dB .数列{b n }是等差数列,{b n }的公差为2dC .数列{a n +b n }是等差数列,{a n +b n }的公差为dD .数列{a n ﹣b n }是等差数列,{a n ﹣b n }的公差为2d45.设等差数列的前项的和为,若,,且,则( ) A . B . C.D .46.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8,13…,该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”,则()2201620182017a a a -等于( )A .1B .-1 D .-201747.已知{a n }是等差数列,{b n }是等比数列,且a 3=b 3=a ,a 6=b 6=b ,若a >b ,则下列正确的是( )A .若ab >0,则a 4>b 4B .若a 4>b 4,则ab >0C .若ab <0,则(a 4﹣b 4)(a 5﹣b 5)<0D .若(a 4﹣b 4)(a 5﹣b 5)<0,则ab <048.已知等比数列{a n }的公比是q ,首项a 1<0,前n 项和为S n ,设a 1,a 4,a 3﹣a 1成等差数列,若S k <5S k ﹣4,则正整数k 的最大值是( )A .4B .5C .14D .1549.设{a n }是等差数列,S n 为其前n 项和.若正整数i ,j ,k ,l 满足i+l =j +k (i ≤j ≤k ≤l ),则( )A .a i a l ≤a j a kB .a i a l ≥a j a kC .S i S l <S j S kD .S i S l ≥S j S k50.已知公差为d 的等差数列{a n }前n 项和为S n ,若有确定正整数n 0,对任意正整数m ,0n S •m n S +0<0恒成立,则下列说法错误的是( )A .a 1•d <0B .|S n |有最小值C .0n a •10+n a >0D .10+n a •20+n a >0试卷答案10.由已知条件得到,,,左右两侧累加得到正好是数列的前40项的和,消去一些项,计算得到。