新人教版高中数学必修知识点总结
新教材人教版高中数学必修第一册 第二章 知识点总结
必修 第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式2.1 等式性质与不等式性质1.比较大小的基本事实:比较两实数大小的方法——求差比较法0a b a b >⇔->;0a b a b =⇔-=;0a b a b <⇔-<。
2.恒成立的不等式:一般地,∀R b a ∈,,有ab b a 222≥+,当且仅当b a =时等号成立。
说明:(1)指出定理适用范围:R b a ∈,;(2)强调取“=”的条件b a =。
3.等式的性质:性质1:若a =b ,则b =a ;性质2:若a=b,b=c,则a=c;性质3:若a=b ,则a±c=b±c;性质4:若a=b ,则ac=bc;性质5:若a=b ,c≠0,则cb c a = 4.不等式的性质:性质1:若a b >,则b a <;若b a <,则a b >.即a b >⇔b a <。
说明:把不等式的左边和右边交换,所得不等式与原不等式异向,称为不等式的对称性。
性质2:若a b >,b c >,则a c >。
不等式的传递性。
性质3:若a b >,则a c b c +>+。
性质4:如果b a >且0>c ,那么bc ac >;如果b a >且0<c ,那么bc ac <。
性质5:若,,a b c d a c b d >>+>+且则。
性质6:如果0>>b a 且0>>d c ,那么bd ac >。
性质7:如果0>>b a , 那么n n b a > )1(>∈n N n 且。
2.2 基本不等式1. 如果b a ,是正数,那么ab b a ≥+2(当且仅当b a =时取“=”) 说明:(1)这个定理适用的范围:,a b R +∈;(2)我们称b a b a ,2为+的算术平均数,称b a ab ,为的几何平均数。
数学高中必修知识点必备
数学高中必修知识点必备人教版数学必修一知识点1、函数零点的定义(1)对于函数)(xfy,我们把方程0)(xf的实数根叫做函数)(xfy的零点。
(2)方程0)(xf有实根Û函数()yfx的图像与x轴有交点Û函数()yfx有零点。
因此判断一个函数是否有零点,有几个零点,就是判断方程0)(xf是否有实数根,有几个实数根。
函数零点的求法:解方程0)(xf,所得实数根就是()fx的零点(3)变号零点与不变号零点①若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值异号,则称该零点为函数()fx的变号零点。
②若函数()fx在零点0x左右两侧的函数值同号,则称该零点为函数()fx的不变号零点。
③若函数()fx在区间,ab上的图像是一条连续的曲线,则0)()(2、函数零点的判定(1)零点存在性定理:如果函数)(xfy在区间],[ba上的图象是连续不断的曲线,并且有()()0fafb,那么,函数)(xfy在区间,ab内有零点,即存在),(0bax,使得0)(0xf,这个0x也就是方程0)(xf的根。
(2)函数)(xfy零点个数(或方程0)(xf实数根的个数)确定方法①代数法:函数)(xfy的零点Û0)(xf的根;②(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(xfy的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。
(3)零点个数确定0)(xfy有2个零点Û0)(xf有两个不等实根;0)(xfy有1个零点Û0)(xf有两个相等实根;0)(xfy无零点Û0)(xf无实根;对于二次函数在区间,ab上的零点个数,要结合图像进行确定.3、二分法(1)二分法的定义:对于在区间[,]ab上连续不断且()()0fafb的函数()yfx,通过不断地把函数()yfx的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点的近似值的方法叫做二分法;(2)用二分法求方程的近似解的步骤:①确定区间[,]ab,验证()()0fafb,给定精确度e;②求区间(,)ab的中点c;③计算()fc;(ⅰ)若()0fc,则c就是函数的零点;(ⅱ)若()()0fafc,则令bc(此时零点0(,)xac);(ⅲ)若()()0fcfb,则令ac(此时零点0(,)xcb);④判断是否达到精确度e,即ab,则得到零点近似值为a(或b);否则重复②至④步.高一数学下册必修知识点整理一、定义与定义式:自变量x和因变量y有如下关系:y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
人教版高中数学知识点汇总(全册版)
① f (x) 是整式时,定义域是全体实数. ② f ( x) 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③ f ( x) 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合.
④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于 1.
⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个 最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是
提问的角度不同.求函数值域与最值的常用方法: ①观察法:对于比较简单的函数,我们可以通过观察直接得到值域或最值.
②配方法:将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的取值范围确定函数 的值域或最值.
对象 a 与集合 M 的关系是 a M ,或者 a M ,两者必居其一.
(4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合.
③描述法:{ x | x 具有的性质},其中 x 为集合的代表元素.
④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类
人教版高中数学知识点(必修+选修)
高中数学 必修 1 知识点
第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示
(1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.
(2)常用数集及其记法
N 表示自然数集, N 或 N 表示正整数集, Z 表示整数集, Q 表示有理数集, R 表示实数集.
新人教版高中数学必修三知识点总结(详细)
新人教版高中数学必修三知识点总结(详
细)
本文旨在总结新人教版高中数学必修三的主要知识点,帮助学生复和掌握这一课程内容。
一、函数基本性质
1. 定义:函数是一个有输入和输出的对应关系。
2. 定义域和值域:函数的定义域是所有可能的输入值集合,值域是所有可能的输出值集合。
3. 图像与映射:函数可以通过图像表示,其中横坐标表示输入值,纵坐标表示输出值。
4. 奇偶性:函数可以根据输入值和输出值的奇偶性进行分类。
二、三角函数
1. 正弦函数:表示角的正弦值与其对边与斜边的比值。
2. 余弦函数:表示角的余弦值与其邻边与斜边的比值。
3. 正切函数:表示角的正切值与其对边与邻边的比值。
4. 幅角和周期:三角函数的图像在一定区间内呈周期性重复。
5. 三角函数的性质:包括奇偶性、单调性、增减性等。
6. 三角函数的简化:通过三角恒等式将复杂的三角函数化简为简单形式。
三、三角恒等式
1. 倍角公式:表示角的两倍与原角之间的关系。
2. 和差公式:表示两个角的和与差与它们的三角函数值之间的关系。
3. 积化和差公式:表示两个角的积与和与差与它们的三角函数值之间的关系。
4. 和差化积公式:表示两个角的和与差与它们的三角函数值之间的关系。
以上是新人教版高中数学必修三的主要知识点总结,通过复习和掌握这些知识,学生将能够更好地理解和应用数学。
希望本文对大家有所帮助!。
人教版高中数学必修一知识点归纳总结
人教版高中数学必修一知识点归纳总结
本文档总结了人教版高中数学必修一的重要知识点,旨在帮助学生复和梳理相关内容。
第一章:集合与常用数集
- 集合的表示和运算
- 常用数集:自然数集、整数集、有理数集、实数集
- 数集的划分和分类
第二章:集合的运算与应用
- 集合的运算:交集、并集、差集、补集
- 集合间关系的判定和表示
- 集合的应用:概率、分类、调查统计等
第三章:函数基本概念与性质
- 函数的定义和表示
- 函数的自变量、因变量和值域
- 函数的性质:奇偶性、周期性等
第四章:一元一次方程与不等式
- 一元一次方程的解法
- 一元一次不等式的解法
- 一次方程和一次不等式的应用
第五章:平面坐标系与直线的基本性质
- 平面直角坐标系的建立和使用
- 直线方程的表示和性质
- 直线的斜率和截距
第六章:平面向量的基本概念
- 向量的定义和表示
- 向量的运算:加法、数乘
- 向量的模、方向和单位向量
第七章:平面向量的数量积
- 向量的数量积定义和性质
- 向量之间的夹角
- 向量的投影和垂直
以上是人教版高中数学必修一的知识点归纳总结,希望对学生们进行知识回顾和复有所帮助。
更多详细内容请参考教材。
2023年新教材高中人教A版数学必修第一册知识点(8页)全文
新教材高一数学必修第—册知识点第一章 集合与常用逻辑用语1元素:研究的对象统称为元素,用小写拉丁字母表示,元素三大性质:互异性,确定性,无 ,,,c b a 序性.2集合:一些元素组成的总体叫做集合,简称集,用大写拉丁字母表示. ,,,C B A 3集合相等:两个集合的元素一样,记作.B A ,B A =4元素与集合的关系:①属于:;②不属于:.A a ∈A a ∉5常用的数集及其记法:自然数集;正整数集;整数集;有理数集;实数集.N +N N 或*Z Q R 6集合的表示方法:①列举法:把集合中的全部元素一一列举出来,并用花括号括起来表示集合的方法;②描述法:把集合中全部具有共同特征的元素所组成的集合表示为的方法; )(x P x })(|{x P A x ∈③图示法(图):用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法.Venn 7集合间的根本关系:子集:对于两个集合,如果集合中任意一个元素都是集合中的元素,就B A ,A B 称集合为集合的子集,记作,读作包含于;真子集:如果,但存在元素,且A A A B B A ⊆B x ∈A x ∉,就称集合是集合的真子集,记作,读作真包含于.A B A B A B 8空集:不含任何元素的集合,用表示,空集的性质,空集是任何集合的子集,是任何集合的真子∅集.9集合的根本运算:并集;交集; },|{B x A x x B A ∈∈=或 },|{B x A x x B A ∈∈=且 补集(为全集,全集是含有所研究问题中涉及的全部元素). },|{A x U x x A C U ∉∈=且U 运算性质:;;;;B A B B A ⊆⇔= B A A B A ⊆⇔= A A =∅ ∅=∅ A ,.∅==∅=U C U C A A C C U U U U ,,)()()()(),()()(B A C B C A C B A C B C A C U U U U U U ==10充分条件与必要条件:一般地,“假设p ,则q 〞为真命题,p 可以推出q ,记作,称p 是q 的q p ⇒充分条件,q 是p 的必要条件;p 是q 的条件的四种类型:假设,则p 是q 的充分不必要q q p ,⇒p 条件;假设,则p 是q 的必要充分不条件;假设,则p 是q 的充要条件;p p q ,⇒q q p ⇔假设,,则p 是q 的既不充分也不必要条件. pq q p 11全称量词及全称量词命题:短语“全部的〞,“任意一个〞在逻辑中叫做全称量词,并用符号表∀示,含有全称量词的命题成为全称量词命题.12存在量词及存在量词命题:短语“存在一个〞,“至少有一个〞在逻辑中叫做存在量词,并用符号∃表示,含有存在量词的命题成为存在量词命题.13全称量词命题与存在量词命题的否认:全称量词命题的否认是存在量词命题;存在量词命题的否认是全称量词命题.第二章一元二次函数、方程不等式1不等式的性质不等式的性质: ①对称性;②传递性;③可加性a b b a >⇔<,a b b c a c >>⇒>;④可乘性,;a b a c b c >⇒+>+,0a b c ac bc >>⇒>,0a b c ac bc ><⇒<⑤同向可加性;⑥同向可乘性; ,a b c d a c b d >>⇒+>+0,0a b c d ac bd >>>>⇒>⑦可乘方性;()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >⑧可开方性.⑨可倒数性. )0,1a b n n >>⇒>∈N >ba b a 110<⇒>>2重要不等式:假设,则,当且仅当时等号成立.R b a ∈,ab b a 222≥+b a =3根本不等式:假设,,则,即,当且仅当时等号成立. 0a >0b >a b +≥2a b+≥b a =4不等式链:假设,,则,当且仅当时等号成立;一正0a >0b >ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+b a =二定三相等.5一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最gao 次数是的不等式. 26第三章 函数的概念与性质1函数的概念:一般地,设是非空的实数集,如果对于集合中的任意一个数x ,按照某种确定的B A ,A 对应关系,在集合中都有唯—确定的数y 与它对应,那么就称为从集合到集合的一f B B A f →:A B 个函数,记作,其中,x 叫做自变量,x 的取值范围叫做函数的定义域,与x 的值相对A x x f y ∈=),(A 应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域,值域是集合的子集. }|)({A x x f ∈B 2函数的三要素:定义域、对应关系、值域. 求函数定义域的原则:(1)假设为整式,则其定义域是;()f x R (2)假设为分式,则其定义域是使分母不为0的实数集合;()f x (3)假设是二次根式(偶次根式),则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合; ()f x (4)假设,则其定义域是; ()0f x x =}{0x x ≠(5)假设,则其定义域是;()()0,1x f x a a a =>≠R (6)假设,则其定义域是; ()()log 0,1a f x x a a =>≠}{0x x >(7)假设,则其定义域是;x x f tan )(=},2|{Z k k x x ∈+≠ππ求函数值域的方法:配方法,换元法,图象法,单调性法等;求函数的解析式的方法:待定系数法,换元法,配凑法,方程组法等;3函数的表示方法:解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系).4分段函数:在定义域内,对于自变量x 的不同取值区间,有不同对应关系的函数. 6函数的单调性:(1)单调递增:设任意(,I 是的定义域),当时,有.特别的,当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x <函数在它的定义域上单调递增时,该函数称为增函数;(2)单调递减:设任意(,I 是的定义域),当时,有.特别的,当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x >函数在它的定义域上单调递增时,该函数称为减函数.7单调区间:如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性,区间就叫做函数的单调区间,单调区间分为单调增区间和单调减区间. 8复合函数的单调性:同增异减.9函数的最大值、最小值:一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:,都有)(x f y =I M I x ∈∀;使得,那么称是函数的最大(小)值. ))(()(M x f M x f ≥≤I x ∈∃0M x f =)(0M10函数的奇偶性:偶函数:一般地,设函数的定义域为,如果,都有,且,那么函)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f =-数叫做偶函数;偶函数的图象关于y 轴对称;偶函数满足;)(x f y =|)(|)()(x f x f x f ==-奇函数:一般地,设函数的定义域为,如果,都有,且,那么)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f -=-函数叫做奇函数;奇函数的图象关于原点对称;假设奇函数的定义域中有零,则其函数图象必过原点,即)(x f y =.(0)0f =11幂函数:一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数. αx y =x α12幂函数的性质:()f x x α=①全部的幂函数在都有定义,并且图象都通过点;()0,+∞()1,1②如果,则幂函数的图象过原点,并且在区间上是增函数;0α>[)0,+∞③如果,则幂函数的图象在区间上是减函数,在第—象限内,当从右边趋向于原点时,0α<()0,+∞x 图象在轴右方无限地逼近轴,当趋向于时,图象在轴上方无限地逼近轴; y y x +∞x x ④在直线的右侧,幂函数图象“指大图高〞; 1=x ⑤幂函数图象不出现于第四象限. 第四章 指数函数与对数函数1n 次方根与分数指数幂、指数幂运算性质(1)假设,则;; n x a =))n x n=⎪⎩为奇数为偶数()()a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数(3);(4);na =*0,,,1)m na a m n N n =>∈>且(5);*0,,1)m naa m n N n -=>∈>,且(6)的正分数指数幂为,的负分数指数幂没有意义.000(7);()0,,r s r sa a a a r s R +⋅=>∈(8);()()0,,r s rsa a a r s R =>∈(9).()()0,0,,rrrab a b a b r s R =⋅>>∈2对数、对数运算性质(1);(2); ()log 0,1xa a N x N a a =⇔=>≠()log 100,1a a a =>≠(3);(4);;()log 10,1a a a a =>≠()log 0,1a Na N a a =>≠(5);()log 0,1m a a m a a =>≠(6);()log ()log log 0,1,0,0a a a MN M N a a =+>≠M >N >(7); ()log log log 0,1,0,0aa a MM N a a N=->≠M >N >(8);()log log 0,1,0n a a M n M a a =⋅>≠M >(9)换底公式; ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠(10); ()log log 0,1,,*m na a nb b a a n m N m =>≠∈(11);()1log log 0,1,0,aa M a a M n R n=>≠>∈(12). ()log log log 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c ⋅⋅=>≠>≠>≠3指数函数及其性质:)1,0(≠>=a a a y x 且①定义域为; ②值域为;③过定点;(),-∞+∞()0,+∞()0,1④单调性:当时,函数在上是增函数;当时,函数在上是减函数; 1a >()f x R 01a <<()f x R ⑤在y 轴右侧,指数函数的图象“底大图高〞. 4对数函数及其性质:)1,0(log ≠>=a a x y a 且①定义域为;②值域为;③过定点;()0,+∞(),-∞+∞()1,0④单调性:当时,函数在上是增函数;当时,函数在上是减函1a >()f x ()0,+∞01a <<()f x ()0,+∞数;⑤在直线的右侧,对数函数的图象“底大图低〞.1=x 5指数函数与对数函数互为反函数,它们的图象关于直线对称. x a y =)1,0(log ≠>=a a x y a 且x y =6不同函数增长的差异:线性函数模型的增长特点是直线上升,其增长速度不变;指数)0(>+=k b kx y 函数模型的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,呈“指数爆炸〞状)1(>=a a y x 态;对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大速度越来越慢,即增长)1(log >=a x y a 速度平缓;幂函数模型的增长速度介于指数函数和对数函数之间.)0(>=n x y n 7函数的零点:在函数的定义域内,使得的实数叫做函数的零点.)(x f y =0)(=x f x 8零点存在性定理:如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线,且有,()f x [],a b ()()0f a f b ⋅<那么函数在区间内至少有一个零点,即存在,使得,这个也就是方程()y f x =(),a b (),c a b ∈()0f c =c 的根.()0f x =9二分法:对于区间上图象连续不断且的函数,通过不断把它的零点所在],[b a ()()0f a f b ⋅<)(x f y =区间一分为二,使得区间的两个端点逐渐逼近零点,进而得到零点近似值的方法.10给定准确度,用二分法求函数零点近似值的步骤: ε)(x f y =0x ⑴确定零点的初始区间,验证; 0x [],a b ()()0f a f b ⋅<⑵求区间的中点;[],a b c ⑶计算,并进一步确定零点所在的区间; )(c f ①假设,则就是函数的零点;0)(=c f c ②假设(此时),则令; 0)()(<c f a f ),(0c a x ∈c b =③假设(此时),则令;0)()(<b f c f ),(0b c x ∈c a =⑷推断是否到达准确度:假设,则得到零点的近似值(或);否则重复上面的⑵至⑷. εa b ε-<a b 第五章 三角函数1任意角的分类:按终边的旋转方向分: ⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2象限角:角的顶点与原点重合,角的始边与轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称为第αx α几象限角.第—象限角的集合为;{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为;{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为; {}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z角的终边不在任何一个象限,就称这个角不属于任何一个象限 α终边在轴非负半轴的角的集合; x },2|{Z k k ∈=παα终边在轴非正半轴的角的集合; x },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非负半轴的角的集合;y },22|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非正半轴的角的集合;y },22|{Z k k ∈+-=ππαα终边在轴的角的集合;x },|{Z k k ∈=παα终边在轴的角的集合;y },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在坐标轴的角的集合; },2|{Z k k ∈=παα2终边相同的角:与角终边相同的角的集合为.α{}360,k k ββα=⋅+∈Z 3弧度制:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度.14角度与弧度互化公式:,,.2360π=1180π=180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭5扇形公式:半径为的圆的圆心角所对弧的长为,则角的弧度数的绝对值是.假设扇形r αl αlrα=的圆心角为,半径为,弧长为,周长为,面积为,则,,()αα为弧度制r l C S l r α=2C r l =+.21122S lr r α==6三角函数的概念:设是一个任意大小的角,的终边上任意一点P 的坐标是,它与原点的距αα(),x y离是,则,,. ()0r r =>sin y r α=cos x r α=()tan 0yx xα=≠7三角函数的符号:一全正二正弦三正切四余弦. 8记忆特别角的三角函数值:α 15 30 45 60 75 90 120 135 150180 270 360 α 12π 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π π 23ππ2 αsin 426- 21 22 23 426+ 1 23 22 210 1-0 αcos 426+ 23 22 21 426-0 21- 22- 23-1-01 αtan 32- 1 3 32+不存在 3- 1- 33-0 不存在9同角三角函数的根本关系:,;()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=- .()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫==⎪⎝⎭10诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限.,,.()()1sin 2sin k παα+=()cos 2cos k παα+=()()tan 2tan k k παα+=∈Z ,,. ()()2sin sin παα+=-()cos cos παα+=-()tan tan παα+=,,.()()3sin sin αα-=-()cos cos αα-=()tan tan αα-=-,,. ()()4sin sin παα-=()cos cos παα-=-()tan tan παα-=-,.,. ()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11三角函数的图象与性质:sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R 函数性质12两角和差的正弦、余弦、正切公式:(1);(2); ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-(3);(4);()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+(5);()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(6). ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-13二倍角公式:(1);(2);sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(,);(3);2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=22tan tan 21tan ααα=-14半角公式:(1);(2);(3);(4)2cos 12sin αα-±=2cos 12cos αα+±=αααcos 1cos 12tan +-±=αααααcos 1sin sin cos 12tan +=-=15辅助角公式:.的终边上在角点其中ϕϕϕ),(,tan ),sin(cos sin 22b a abx b a x b x a =±+=±16函数的图象与性质:b x A y ++=)sin(ϕω图象变换:先平移后伸缩:函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度,得到函数sin y x =ϕ的图象;再将函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐()sin y x ϕ=+()sin y x ϕ=+1ω标不变),得到函数的图象;再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+短)到原来的倍(横坐标不变),得到函数的图象. A ()sin y x ωϕ=A +先伸缩后平移:函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变),得到函sin y x =1ω最值当时,22x k ππ=+()k ∈Z ;当max1y =22x k ππ=-时,.()k ∈Z min 1y =-当时,()2x k k π=∈Z ;当max 1y =2x k ππ=+时,.()k ∈Z min 1y =-既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在 2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数;在()k ∈Z 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数.()k ∈Z 在上是[]()2,2k k k πππ-∈Z 增函数;在[]2,2k k πππ+上是减函数.()k ∈Z 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上是增函数.()k ∈Z 对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心 (),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴数的图象;再将函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度,得到函数sin y x ω=sin y x ω=ϕω的图象;再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+A 坐标不变),得到函数的图象. ()sin y x ωϕ=A +五点法画图函数的性质:()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>①定义域为R ;②值域为;③单调性:依据函数的单调区间求函数的单调区间; ],[A A -x y sin =④奇偶性:当时,函数是奇函数;当时,函数Z k k ∈=,πϕ()sin y x ωϕ=A +Z k k ∈+=,2ππϕ是偶函数;⑤周期:;⑥对称性:依据函数的对称性研究函数的对称()sin y x ωϕ=A +ωπ2=T x y sin =性12π17函数的应用B x A y ++=)sin(ϕω①振幅:A ;②周期:;③频率:;④相位:;⑤初相:.2πωT =12f ωπ==T x ωϕ+ϕ⑥最值:函数,当时,取得最小值为 ;当时,取得最大值为B x A y ++=)sin(ϕω1x x =min y 2x x =maxy ,则,,.()max min 12y y A =-()max min 12y y B =+()21122x x x x T=-<。
高中数学(新人教版)必修一知识点归纳
高中数学(新人教版)必修一知识点归纳
本文将归纳高中数学(新人教版)必修一的主要知识点。
以下是
各个主题的简要概述:
1. 数与式
- 数的分类:自然数、整数、有理数、实数等。
- 代数式:基本概念、多项式、公式等。
- 幂与乘方:指数、乘方、幂等运算。
- 整式的加减法:同类项、整式的加减法规则。
- 分式:基本概念、分式的性质与化简等。
2. 一元一次方程与不等式
- 一元一次方程:基本概念、解方程的方法、应用问题等。
- 一元一次不等式:基本概念、解不等式的方法、应用问题等。
3. 函数及其图像
- 函数与自变量、函数与因变量的关系。
- 函数的表示与性质:映射、函数图像、奇偶性等。
- 一次函数:定义、性质、图像、方程等。
- 反函数与复合函数:定义、性质、求反函数、求复合函数等。
4. 等差数列
- 等差数列的定义与性质。
- 等差数列的前n项和与通项公式。
- 应用问题:等差数列应用于数学与生活中的实际问题。
5. 平面向量
- 向量的基本概念与表示法。
- 向量的运算:加法、数乘等。
- 向量共线与共面的判定。
- 向量的数量积与模的概念与性质。
6. 不等式与线性规划
- 不等式的基本性质与解法。
- 一元一次不等式组:基本概念、解法、应用问题等。
- 线性规划的基本概念与常见问题。
以上是高中数学(新人教版)必修一的主要知识点的简要归纳。
详细内容可以参考相关教材或课堂讲义。
希望这份归纳对你有帮助!。
新课标人教版高中数学全册考点及题型归纳总结
新课标人教版高中数学全册考点及题型归纳总结新课标人教版高中数学全册的考点及题型如下:一、函数与方程1.函数的基本概念和性质:定义域、值域、图像、增减性、奇偶性等。
2.一次函数:函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、函数的图像性质与参数关系。
3.二次函数:函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、函数的图像性质与参数关系。
4.指数函数:函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、指数函数的性质与指数关系。
5.对数函数:函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、对数函数的性质与底数关系。
6.三角函数:函数的表示方式及性质、函数的图像与应用、三角函数的性质与周期关系。
二、数列与数学归纳法1.数列的基本概念与表示:公式、通项、前n项和、数列的性质等。
2.等差数列:公差、前n项和、等差数列的性质及应用。
3.等比数列:公比、前n项和、等比数列的性质及应用。
4.通项公式及求和公式的推导与应用。
5.数学归纳法的基本概念和使用。
三、三角函数基本关系式与证明1.正弦函数与余弦函数的关系。
2.正切函数与余切函数的关系。
3.正割函数与余割函数的关系。
4.辅助角公式及证明。
5.万能角公式及证明。
6.统一化问题的求解及应用。
四、解析几何基本定理与推理1.重矢量的定义与性质。
2.数量积的基本性质与运算规则。
3.向量的线性相关性与线性独立性。
4.解析几何定理的证明与推理。
五、概率与统计1.基本概念与方法:样本空间、随机事件、概率、频率、统计量等。
2.概率的基本性质:加法原理、乘法原理、条件概率等。
3.随机变量和概率分布的基本概念与性质。
4.离散型随机变量与连续型随机变量的概率分布。
5.正态分布的基本性质和应用。
以上是新课标人教版高中数学全册的考点及题型的总结,希望对你有帮助。
(完整版)人教版高中数学知识点汇总,推荐文档
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当型循环结构、直到型循环结构 5、基本算法语句: ①赋值语句:“=”(有时也用“←”) ②输入输出语句:“INPUT” “PRINT” ③条件语句:
If … Then … Else … End If ④循环语句: “Do”语句 Do
… Until … End
“While”语句 While … … WEnd ⑹算法案例:辗转相除法—同余思想 第二章:统计 1、抽样方法: ①简单随机抽样(总体个数较少) ②系统抽样(总体个数较多) ③分层抽样(总体中差异明显) 注意:在 N 个个体的总体中抽取出 n 个个体组成样本,每个个体被抽到的机会(概率)均为 n 。
过定点 (1, 0)
减函数
增函数
减函数
增函数
x (, 0)时,y (1, x) (, 0)时,y (0,1) x (0,1)时,y (0, ) x (0,1)时,y (, 0) x (0, )时,y (0,1)x (0, )时,y (1, x) (1, )时,y (, 0x) (1, )时,y (0, ) 性 质
⑵
log
a
M N
log a
M
loga
N;
⑶ log a
Mn
n loga
M
.
5、换底公式: log a
b
log c log c
b a
a
0, a
1, c
0, c
1, b
0.
a 0, a 1, b 0, b 1.
-3-
6、
log a
b
1 log b
a
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§2..2.2、对数函数及其性质
ab
表2
p q
数学高中必修知识点总结(实用11篇)
数学高中必修知识点总结(实用11篇)数学高中必修知识点总结第1篇一、平面的基本性质与推论1、平面的基本性质:公理1如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内;公理2过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面;公理3如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
2、空间点、直线、平面之间的位置关系:直线与直线-平行、相交、异面;直线与平面-平行、相交、直线属于该平面(线在面内,最易忽视);平面与平面-平行、相交。
3、异面直线:平面外一点A与平面一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线(判定);所成的角范围(0,90】度(平移法,作平行线相交得到夹角或其补角);两条直线不是异面直线,则两条直线平行或相交(反证);异面直线不同在任何一个平面内。
求异面直线所成的角:平移法,把异面问题转化为相交直线的夹角二、空间中的平行关系1、直线与平面平行(核心)定义:直线和平面没有公共点判定:不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,则该直线平行于此平面(由线线平行得出)性质:一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,则这条直线就和两平面的交线平行2、平面与平面平行定义:两个平面没有公共点判定:一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面,则这两个平面平行性质:两个平面平行,则其中一个平面内的直线平行于另一个平面;如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
3、常利用三角形中位线、平行四边形对边、已知直线作一平面找其交线三、空间中的垂直关系1、直线与平面垂直定义:直线与平面内任意一条直线都垂直判定:如果一条直线与一个平面内的两条相交的直线都垂直,则该直线与此平面垂直性质:垂直于同一直线的两平面平行推论:如果在两条平行直线中,有一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面直线和平面所成的角:【0,90】度,平面内的一条斜线和它在平面内的射影说成的锐角,特别规定垂直90度,在平面内或者平行0度2、平面与平面垂直定义:两个平面所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(二面角的平面角:以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线所成的角)判定:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直性质:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直数学高中必修知识点总结第2篇一.随机事件的概率及概率的意义1、基本概念:(1)必然事件:在条件S下,一定会发生的事件,叫相对于条件S的必然事件;(2)不可能事件:在条件S下,一定不会发生的事件,叫相对于条件S的不可能事件;(3)确定事件:必然事件和不可能事件统称为相对于条件S的确定事件;(4)随机事件:在条件S下可能发生也可能不发生的事件,叫相对于条件S的随机事件;(5)频数与频率:在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A 是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数;对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加,事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率。
高中数学新教材必修第一册知识点总结
高中数学新教材必修第一册知识点总结第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念1.集合的描述:一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合,简称为集.2.集合的三个特性:(1)描述性:“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”、“线”、“面”等概念一样,都只是描述性地说明.(2)整体性:集合是一个整体,暗含“所有”、“全部”、“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体.(3)广泛性:组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等.3.集合中元素的三个特性:(1)确定性:对于给定的集合,它的元素必须是确定的.即按照明确的判断标准(不能是模棱两可的)判断给定的元素,或者在这个集合里,或者不在这个集合里,二者必居其一.(2)互异性:一个给定的集合中的元素是互不相同的.也就是说集合中的元素是不能重复出现的. (3)无序性:集合中的元素排列无先后顺序,任意调换集合中的元素位置,集合不变.4.集合的符号表示通常用大写的字母A,B,C,…表示集合,用小写的字母a,b,c表示集合中的元素.5.集合的相等当两个集合的元素是一样时,就说这两个集合相等.集合A与集合B相等记作A B=.6.元素与集合之间的关系(1)属于:如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作a A∈,读作a属于A.(2)不属于:如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作a A∉,读作a不属于A.7.集合的分类(1)有限集:含有有限个元素的集合叫做有限集.如方程21x=的实数根组成的集合.(2)无限集:含有无限个元素的集合叫做无限集.如不等式10x->的解组成的集合.8.常用数集及其记法数学数学数学 2(1)正整数集:全体正整数组成的集合叫做正整数集,记作*N或N.+(2)自然数集:全体非负整数组成的集合叫做自然数集,记作N.(3)整数集:全体整数组成的集合叫做整数集,记作Z.(4)有理数集:全体有理数组成的集合叫做有理数集,记作Q.(5)实数集:全体实数组成的集合叫做实数集,记作R.9.集合表示的方法(1)自然语言:用文字叙述的形式描述集合的方法.如所有正方形组成的集合,所有实数组成的集合.例如,三角形的集合.(2)列举法:把集合的元素一一列举出来表示集合的方法叫做列举法.其格式是把集合的元素一一列举出来并用逗号隔开,然后用花括号括起来.例如,我们可以吧“地球上的四大洋”组成的集合表示为{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋},把“方程(1)(2)0-+=的所有实数根”组成的集合表示为x x-.{1,2}(3)描述法:通过描述集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.一般格式为{()}x p x,其数学数学数学 3中x是集合中的元素代表,()p x则表示集合中的元素所具有的共同特征.例如,不等式73x-<的解集可以表示为∈-<=∈<.x R x x R x{73}{10}1.2集合间的基本关系1. 子集一般地,对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记为A B或(B A)读作集合A包含于集合B(或集合B包含集合A).集合A是集合B的子集可用Venn图表示如下:数学数学数学 4数学 数学 数学 5或关于子集有下面的两个性质: (1)反身性:A A ⊆;(2)传递性:如果A B ⊆,且B C ⊆,那么A C ⊆. 2.真子集如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈,且x A ∉,我们称集合A是集合B 的真子集,记为A B ⊂≠(或B A ⊃≠), 读作集合A 真包含于集合B (或集合B 真包含集合A ). 集合A 是集合B 的真子集可用Venn 图表示如右.数学 数学 数学 63.集合的相等如果集合A B ⊆,且B A ⊆,此时集合A 与集合B 的元素是一样的,我们就称集合A 与集合B 相等,记为 A B =.集合A 与集合B 相等可用Venn 图表示如右. 4.空集我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为∅.我们规定空集是任何一个集合的子集,空集是任何一个非空集合的真子集,即 (1)A ∅⊆(A 是任意一个集合); (2)A ⊂∅≠(A ≠∅). 1.3集合的运算 1.并集自然语言:一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与B的并集,记作数学 数学 数学 7A B ⋃(读作“A 并B ”). 符号语言: {,}A B x x A x B ⋃=∈∈或. 图形语言:理解:x A ∈或x B ∈包括三种情况:x A ∈且x B ∉;x B ∈且x A ∉;x A ∈且x B ∈. 并集的性质: (1)A B B A ⋃=⋃;(5) A =BA (4)B B(3)A (2)A 与B 没有有公共元素(1)A 与B 有公共元素,相互不包含(2)A A A⋃=;(3)A A⋃∅=;(4)()()⋃⋃=⋃⋃;A B C A B C(5)A A B⊆⋃;⊆⋃,B A B(6)A B B A B⋃=⇔⊆.2.交集自然语言:一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A B⋂(读作“A交B”).符号语言:{,}⋂=∈∈A B x x A x B且.图形语言:数学数学数学8数学 数学 数学 9理解:当A 与B 没有公共元素时,不能说A 与B 没有交集,只能说A 与B 的交集是∅. 交集的性质: (1)A B B A ⋂=⋂; (2)A A A ⋂=;BA(5)A=B,A B=A=B(4)B A,A B=B(3)A B,A B=AA B(2)A 与B 没有公共元素,A B=(1)A 与B 有公共元素,且互不包含数学 数学10(3)A ⋂∅=∅;(4)()()A B C A B C ⋂⋂=⋂⋂; (5)A B A ⋂⊆,A B B ⋂⊆; (6)A B A A B ⋂=⇔⊆. 3.补集(1)全集的概念:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U . (2)补集的概念自然语言:对于一个集合A ,由属于全集U 且不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集,记为UA .符号语言: {,}UA x x U x A =∈∉且图形语言:数学 数学 数学 11补集的性质 (1)()U A A ⋂=∅; (2)()U A A U ⋃=; (3)()()()U U UA B A B ⋃=⋂; (4)()()()U U UA B A B ⋂=⋃.1.4充分条件与必要条件 1.充分条件与必要条件一般地,“若p ,则q ”为真命题,是指由p 通过推理可以得出q .这时,我们就说,由p 可推出q ,记作p q⇒,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.在生活中,q是p成立的必要条件也可以说成是: q⌝⇒p⌝(q⌝表示q不成立),其实,这与p q⇒是等价的.但是,在数学中,我们宁愿采用第一种说法.如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作/p q⇒.此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件.2.充要条件如果“若p,则q”和它的逆命题“若q则p”均是真命题,即既有p q⇒,又有q p⇒就记作⇔.p q此时,我们就说p是q的充分必要条件,简称为充要条件.显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p 的充要条件.概括地说,如果p q⇔,那么p与q互为充要条件.“p是q的充要条件”,也说成“p等价于q”或“q当且仅当p”等.1.5全称量词与存在量词数学数学数学121.全称量词与存在量词(1)全称量词短语“所有的”,“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.常见的全称量词还有“一切”,“每一个”,“任给”,“所有的”等.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.全称量词命题“对M中的任意一个x,有()p x成立”可用符号简记为p x,x M,()读作“对任意x属于M,有()p x成立”.(2)存在量词短语“存在一个”,“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.常见的存在量词还有“有些”,“有一个”,“对某个”,“有的”等.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.存在量词命题“存在M中的元素x,使()p x成立”可用符号简记为p x,∃∈,()x M数学数学数学13数学 数学 数学 14读作“存在M 中的元素x ,使()p x 成立”. 2.全称量词命题和存在量词命题的否定 (1)全称量词命题的否定 全称量词命题:x M ,()p x ,它的否定:x M ∃∈,()p x ⌝.全称量词命题的否定是存在量词命题. (2)存在量词命题的否定 存在量词命题:x M ∃∈,()p x ,它的否定:x M ,()p x ⌝.存在量词命题的否定是全称量词命题.第二章一元二次函数、方程和不等式2.1等式性质与不等式性质1.比较原理>⇔->;a b a b=⇔-=;a b a ba b a b<⇔-<.2.等式的基本性质性质1 如果a b=,那么b a=;性质2 如果a b=,b c=,那么a c=;性质3 如果a b=,那么a c b c±=±;性质4如果a b=,那么ac bc=;性质5 如果a b=,0=.c≠,那么a bc c数学数学数学15数学 数学 数学 163.不等式的基本性质性质1 如果a b >,那么b a <;如果b a <,那么a b >.即a b b a >⇔<性质2 如果a b >,b c >,那么a c >.即a b >,b c >a c ⇒>.性质3 如果a b >,那么a c b c +=+. 由性质3可得,()()a b c a b b c b a c b +>⇒++->+-⇒>-.这表明,不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边. 性质4 如果a b >,0c >,那么ac bc >;如果a b >,0c <,那么ac bc <. 性质5 如果a b >,c d >,那么a c b d +>+. 性质6 如果0a b >>,0c d >>,那么ac bd >. 性质7 如果0a b >>,那么n n a b >(n N ∈,2n ≥).数学 数学 数学 172.2 基本不等式 1.重要不等式,a b R ∀∈,有222a b ab +≥,当且仅当a b =时,等号成立. 2.基本不等式 如果0a >,0b >,则2a b+≤, 当且仅当a b =时,等号成立.2a b+叫做正数a ,b 的算术平均数a ,b 的几何平均数.基本不等式表明:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3.与基本不等式相关的不等式 (1)当,a b R ∈时,有数学 数学 数学 1822a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,当且仅当a b =时,等号成立. (2)当0a >,0b >时,有211a b≤+当且仅当a b =时,等号成立. (3)当,a b R ∈时,有22222a b a b ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,当且仅当a b =时,等号成立. 4.利用基本不等式求最值 已知0x >,0y >,那么(1)如果积xy 等于定值P ,那么当x y =时,和x y +有最小值;数学 数学 数学 19(2)如果和x y +等于定值S ,那么当x y =时,积xy 有最大值214S .2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1.函数的概念设A,B是非空的实数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的的数y和它对应,那么就称:f A B→为从集合A到集合B的一个函数,记作数学数学数学20数学 数学 数学 21()y f x =,x A ∈.其中,x 叫做自变量,x 的取值范围A 叫做函数的定义域,与x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合{|(})f x x A ∈叫做函数的值域,显然,值域是集合B 的子集. 2.区间:设a ,b 是两个实数,而且a b <,我们规定:(1)满足不等式a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,表示为[,]a b ; (2)满足不等式a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,表示为(,)a b ;(3)满足不等式a x b ≤<或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别表示为:[,)a b , (,]a b . 这里的实数a ,b 都叫做相应区间的端点.数学 数学 数学 22(4)实数集R 可以表示为(,)-∞+∞,“∞”读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞” 读作“正无穷大”.满足x a ≥,x a >,x b ≤,x b <的实数x 的集合,用区间分别表示为[,)a +∞ ,(,)a +∞ (,]b -∞,(,)b -∞.这些区间的几何表示如下表所示.注意:(1)“∞”是一个趋向符号,表示无限接近,却永远达不到,不是一个数.(2)以“-∞”或“+∞”为区间的一端时,这一端点必须用小括号.3.函数的三要素(1)定义域;(2)对应关系;(3)值域.值域随定义域和对应关系的确定而确定.4.函数的相等如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么就说这两个函数是同一个函数.5.函数的表示方法(1)解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系的方法叫做解析法.数学数学数学23数学 数学 数学 24解析法是表示函数的一种重要的方法,这种表示法从“数”的方面简明、全面地概括了变量之间的数量关系. (2)图象法用图象表示两个变量之间的对应关系的方法叫做图象法.图象法直观地表示了函数值随自变量值改变的变化趋势,从“形”的方面刻画了变量之间的数量关系. 说明:将自变量的一个值0x 作为横坐标,相应的函数值0()f x 作为纵坐标,就得到坐标平面上的一个点00(,())x f x .当自变量取遍函数的定义域A 中的每一个值时,就得到一系列这样的点,所有这些点组成的图形就是函数()y f x =的图象.函数()y f x =的图象在x 轴上的射影构成的集合就是函数的定义域,在y 轴上的射影构成的集合就是函数的值域.函数的图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点,等等. (3)列表法通过列表来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法.例如,初中学习过的平方表、立方表都是表示函数关系的.数学 数学 数学 256.分段函数(1)分段函数的概念有些函数在其定义域内,对于自变量x 的不同取值区间,有着不同的对应关系,这样的函数称为分段函数.如 (1),0,(),0x x f x x x x -<⎧==⎨≥⎩ , (2)22,0,(),0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨->⎪⎩. 说明:①分段函数是一个函数,而不是几个函数.处理分段函数问题时,要先确定自变量的取值在哪个区间,从而选取相应的对应关系.②分段函数在书写时用大括号把各段函数合并写成一个函数的形式.并且必须指明各段函数自变量的取值范围.③分段函数的定义域是自变量所有取值区间的并集,分段函数的定义域只能写成一个集合的形式,不能分开写成几个集合的形式.④分段函数的值域是各段函数在对应自变量的取值范围内值域的并集.数学26(2)分段函数的图象分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一坐标系中,根据每段的定义区间和表达式依次画出图象,要注意每段图象的端点是空心点还是实心点,组合到一起就得到整个分 段函数的图象. 3.2 函数的基本性质函数的性质是指在函数变化过程中的不变性和规律性. 1.单调性与最大(小)值 (1)增函数设函数()f x 的定义域为I ,区间D ⊆I .如果∀1x ,2x D ∈,当12x x <时,都有12()()f x f x <,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地,当函数()f x 在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数.数学 数学 数学 27(2)减函数设函数()f x 的定义域为I ,区间D ⊆I.如果∀1x ,2x D ∈,当12x x <时,都有12()()f x f x >,那么就称函数()f x 在区间D 上单调递增.特别地,当函数()f x 在它的定义域上单调递减时,我们就称它是减函数. (3)单调性、单调区间、单调函数数学 数学 数学 28如果函数()y f x =在区间D 上单调递增或单调递减,那么就说函数()y f x =在区间D 上具有(严格的)单调性,区间D 叫做()y f x =的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性,那么就称此函数在这个区间上是单调函数. (4)证明函数()f x 在区间D 上单调递增或单调递减,基本步骤如下: ①设值:设12,x x D ∈,且 12x x <; ②作差:12()()f x f x - ;③变形:对12()()f x f x -变形,一般是通分,分解因式,配方等.这一步是核心 ,要注意变形到底; ④判断符号,得出函数的单调性. (5)函数的最大值与最小值 ①最大值:设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x M ≤; (2)存在0x I ∈,使得0()f x M =. 那么我们称M 是函数()y f x =的最大值.数学 数学 数学 29②最小值:设函数()y f x =的定义域为I ,如果存在实数m 满足:(1)对于任意的x I ∈,都有()f x m ≥; (2)存在0x I ∈,使得0()f x m =. 那么我们称m 是函数()y f x =的最小值.2.奇偶性 (1)偶函数设函数()f x 的定义域为I ,如果x I ∀∈,都有x I -∈,且()()f x f x -=,那么函数()f x 就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论:①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件; ②偶函数的图象关于y 轴对称.反之也成立;③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反. (2)奇函数设函数()f x 的定义域为I ,如果x I ∀∈,都有x I -∈,且()()f x f x -=-,那么函数()f x 就叫做奇函数.数学30关于奇函数有下面的结论:①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件; ②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立;③如果奇函数当0x =时有意义,那么(0)0f =.即当0x =有意义时,奇函数的图象过坐标原点; ④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同. 3.3幂函数 1.幂函数的概念一般地,形如y x α=(R α∈,α为常数)的函数称为幂函数.对于幂函数,我们只研究1α=,2,3,12,1-时的图象与性质.2.五个幂函数的图象和性质x 12xx -1数学数学数学31数学 数学 数学 323.4函数的应用(一) 略.第四章 指数函数与对数函数4.1 指数1.n 次方根与分数指数幂 (1)方根如果n x a =,那么x 叫做a 的n 次方根,其中1n >,且*n N ∈.①当n 是奇数时,正数的n 次方根是正数,负数的n 方根是负数.这时,a 的n表示. ②当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.这时,正数a 的正的n表示,负的n次方根用符号. 正的n 次方根与负的n 次方根可以合并写成0a >). 负数没有偶次方根.0的任何次方根都是00=.根式,这里n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 关于根式有下面两个等式:n a =;数学 数学 数学33,,a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数..2.分数指数幂(1)正分数指数幂m na =0a >,m ,*n N ∈,1n >).0的正分数指数幂等于0. (2)负分数指数幂1=m nmnaa-=0a >,m ,*n N ∈,1n >).0的负分数指数幂没有意义. (3)有理数指数幂的运算性质①r s r s a a a +=(0a >,r ,s Q ∈); ②()r s rs a a =(0a >,r ,s Q ∈);③()r r r ab a b =(0a >,0b >,r Q ∈).3. 无理数指数幂及其运算性质 (1)无理数指数幂的概念当x 是无理数时,x a 是无理数指数幂.我们可以通过有理数指数幂来认识无理数指数幂.当x 的不足近似值m 和过剩近似值n 逐渐逼近x 时,m a 和n a 都趋向于同一个数,这个数就是x a .所以无理数指数幂x a (0a >,x 是无理数)是一个确定的数.(2)实数指数幂的运算性质整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂,即对于任意实数r,s,均有下面的运算性质.①r s r s=(0a a a+∈);a>,r,s R②()r s rs=(0a a∈);a>,r,s R③()r r r=(0ab a b∈).a>,0b>,r R4.2 指数函数1.指数函数的概念函数x=(0y aa≠)叫做指数函数,其中指数x是自变量,定义域是R.a>,且12.指数函数的图象和性质一般地,指数函数x=(0y aa>,且1a≠)的图象和性质如下表所示:数学数学数学344.3 对数1.对数的概念数学数学数学35数学 数学 数学 36一般地,如果x a N =(0,1)a a >≠,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作Nx a log =.其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 当0a >,且1a ≠时,log N x a a N x =⇔=. 2. 两个重要的对数(1)常用对数:以10为底的对数叫做常用对数,并把10log N 记为lg N .(2)自然对数:以e (e 是无理数, 2.71828e =…)为底的对数叫做自然对数,并把log e N 记作ln N . 3. 关于对数的几个结论 (1)负数和0没有对数; (2)log 10a =; (3)log 1a a =. 4. 对数的运算如果0a >,且1a ≠,0M >,0N >,那么数学 数学 数学 37(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log a a a MM N N=-;(3)log log n a a M n M =(n R ∈).5. 换底公式log log log c a cbb a=(0a >,且1a ≠,0b >,0c >,1c ≠).4.4 对数函数 1. 对数函数的概念一般地,函数log a y x =(0a >,且1a ≠)叫做对数函数,其中x 是自变量,定义域是(0,)+∞. 2.对数函数的图象和性质数学数学数学38数学 数学 数学 393. 反函数指数函数x y a =(0a >,且1a ≠)与对数函数log a y x =(0a >,且1a ≠)互为反函数,它们的定义域与值域正好互换.互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称. 4. 不同函数增长的差异对于对数函数log a y x =(1a >)、一次函数y kx =(0k >)、指数函数x y b =(1b >)来说,尽管它们在(0,)+∞上都是增函数,但是随着x 的增大,它们增长的速度是不相同的.其中对数函数log a y x =(1a >)的增长数学 数学 数学 40速度越来越慢;一次函数y kx =(0k >)增长的速度始终不变;指数函数x y b =(1b >)增长的速度越来越快.总之来说,不管a (1a >),k (0k >),b (1b >)的大小关系如何,x y b =(1b >)的增长速度最终都会大大超过y kx =(0k >)的增长速度;y kx =(0k >)的增长速度最终都会大大超过log a y x =(1a >)的增长速度.因此,总会存在一个0x ,当0x x >时,恒有log x a b kx x >>.4.5 函数的应用(二) 1. 函数的零点与方程的解 (1)函数零点的概念 对于函数()y f x =,我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点.函数()y f x =的零点就是方程()0f x =的实数解,也是函数()y f x =的图象与x 轴的公共点的横坐标.所以方程()0f x =有实数解⇔函数()y f x =有零点⇔函数()y f x =的图象与x 轴有公共点.数学 数学 数学 41(2)函数零点存在定理 如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是一条连续不断的曲线,且有()()0f a f b <,那么,函数()y f x =在区间(,)a b 内至少有一个零点,即存在(,)c a b ∈,使得()0f c =,这个c 也就是方程()0f x =的解. 2. 用二分法求方程的近似解对于在区间[,]a b 上图象连续不断且()()0f a f b <的函数()y f x =,通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 给定精确度ε,用二分法求函数()y f x =零点0x 的近似值的一般步骤如下:(1)确定零点0x 的初始区间[,]a b ,验证()()0f a f b <. (2)求区间(,)a b 的中点c .(3)计算()f c ,并进一步确定零点所在的区间: ①若()0f c =(此时0x c =),则c 就是函数的零点; ②若()()0f a f c <(此时0(,)x a c ∈),则令b c =; ③若()()0f c f b <(此时0(,)x c b ∈),则令a c =.(4)判断是否达到精确度ε:若a bε-<,则得到零点的近似值a(或b);否则重复步骤(2)~(4). 由函数零点与相应方程解的关系,我们可以用二分法来求方程的近似解.3. 函数模型的应用用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下:Array这一过程包括分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”);根据增长情况选择函数类型构建数学模型,将实际问题化归为数学问题;通过运算、推理、求解函数模型;用得到的函数模型描述实际问题的变化规律,解决有关问题.在这一过程中,往往需要利用信息技术帮助画图、运算等.数学数学数学42第五章三角函数5.1 任意角和弧度制1.任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线的端点叫做角的顶点,射线在起始位置和终止位置分别叫做角的始边和终边. (2)正角、负角、零角按逆时针方向旋转所成的角叫正角;按顺时针方向旋转所成的角叫负角;一条射线没有作任何旋转而形成的角叫零角. 这样,我们就把角的概念推广到了任意角. ABO数学数学数学43数学 数学 数学 44(3)象限角当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边落在坐标轴上,这时这个角不属于任何象限. (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅︒∈即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 终边相同的角不一定相等,但相等的角,终边一定相同; 终边相同的角有无数多个,它们相差360︒的整数倍; 象限角的表示: 第一象限角的集合{}|36090360,k k k Z αα⋅︒<<︒+⋅︒∈第二象限角的集合数学 数学 数学 45{}|90360180360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第三象限角的集合{}|180360270360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈第四象限角的集合{}|270360360360,k k k Z αα︒+⋅︒<<︒+⋅︒∈终边落在坐标轴上的角在以后的学习中很重要,它们的表示如下表.2. 弧度制(1)弧度的概念长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为αrad,那么lα=.r正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.(2)弧度与角度的换算数学数学数学46数学 数学 数学47(3)关于扇形的几个公式设扇形的圆心角为α(rad ),半径为R ,弧长为l ,则有①l R α=; ②212S R α=; ③12S lR =.5.2 三角函数的概念 1. 三角函数的概念 (1)三角函数的定义一般地,任意给定一个角R α∈,它的终边OP数学 数学 数学48与单位圆相交于点(,)P x y .把点P 的纵坐标y 叫做α的正弦函数,记作sin α,即sin y α=;把点P 的横坐标x 叫做α的余弦函数,记作cos α,即cos x α=;把点P 的纵坐标与横坐标的比值yx 叫做α的正切函数,记作tan α,即tan yxα=(0x ≠). 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数,通常将它们记为: 正弦函数 sin y α=,x R ∈; 余弦函数 cos y α=,x R ∈;正切函数 tan y α=,2x k ππ≠+(k Z ∈).数学 数学 数学 49设α是一个任意角,它的终边上任意一点P (不与原点 重合)的坐标为(,)x y ,点P与原点的距离为r =可以证明:sin yr α=; cos xr α=; tan y xα=. (2)几个特殊角的三角函数值0,2π,π,32π的三角函数值如下表所示:数学 数学 数学 50(3)三角函数值的符号(4)诱导公式(一)终边相同的角的同一三角函数值相等.sin(2)sin k απα+⋅=, cos(2)cos k απα+⋅=, tan(2)tan k απα+⋅=,其中k Z ∈.2. 同角三角函数间的基本关系tan αcos αsin α。
高一数学必修一知识点总结人教(3篇)
高一数学必修一知识点总结人教1.知识网络图复数知识点网络图2.复数中的难点(1)复数的向量表示法的运算.对于复数的向量表示有些学生掌握得不好,对向量的运算的几何意义的灵活掌握有一定的困难.对此应认真体会复数向量运算的几何意义,对其灵活地加以证明.(2)复数三角形式的乘方和开方.有部分学生对运算法则知道,但对其灵活地运用有一定的困难,特别是开方运算,应对此认真地加以训练.(3)复数的辐角主值的求法.(4)利用复数的几何意义灵活地解决问题.复数可以用向量表示,同时复数的模和辐角都具有几何意义,对他们的理解和应用有一定难度,应认真加以体会.3.复数中的重点(1)理解好复数的概念,弄清实数、虚数、纯虚数的不同点.(2)熟练掌握复数三种表示法,以及它们间的互化,并能准确地求出复数的模和辐角.复数有代数,向量和三角三种表示法.特别是代数形式和三角形式的互化,以及求复数的模和辐角在解决具体问题时经常用到,是一个重点内容.(3)复数的三种表示法的各种运算,在运算中重视共轭复数以及模的有关性质.复数的运算是复数中的主要内容,掌握复数各种形式的运算,特别是复数运算的几何意义更是重点内容.(4)复数集中一元二次方程和二项方程的解法.数学教学心得如果以上的表述并不具有数学学科的特点的话,那么加上一个定语——让学生用数学的眼光进行数学思考。
比如,百货店的促销信息,人们不仅会关注哪个折扣低,还会关注标价的高低。
美国统计学家戴维穆尔的《统计学的世界》一书中有幅漫画,画的是一个人误以为平均水深就是每一个地方都是这样的水深而溺水死亡,从侧面反映了数学常识在现实生活中的作用。
数学地思考,是数学学习的更高目标。
数学学习过程中所倡导的思考方式是具有学科特点的。
看到一幅图画时,别的学科可能关注的是这幅图是多么的美观,但是对于数学学习来说,教师需要引导学生关注这个图形的组成与分解,引导学生思考的是多边形线的条数等。
这种量化、精确化的思考方式是数学教学最根本的目标价值所在。
人教高中数学知识点大全
人教高中数学知识点大全一、函数1.函数的概念和性质2.函数的表示方法:映射图、解析式和对应法3.初等函数、初等逆函数和复合函数4.一次函数的性质和应用5.二次函数的性质和应用6.多项式函数的性质和应用7.有理函数的性质和应用8.指数函数和对数函数的性质和应用9.三角函数的性质和应用10.反三角函数的性质和应用11.常用函数图像的绘制和变换二、数列1.数列的概念和性质2.等差数列的通项公式和求和公式3.等比数列的通项公式和求和公式4.求递推数列的通项公式5.特殊数列的性质和应用6.数学归纳法的应用三、排列与组合1.排列和组合的概念和性质2.乘法原理和加法原理3.排列和组合的应用4.二项式的展开和公式的应用5.等比数列求和的应用四、不等式1.不等式的概念和性质2.一元一次不等式的求解3.一元二次不等式的求解4.绝对值不等式的求解5.分式不等式的求解6.对数不等式的求解7.三角不等式的求解五、平面几何1.平面几何的基本概念和公理2.线的性质和应用3.三角形的性质和应用4.三角形的重心、垂心和外心5.相似三角形的性质和应用6.等腰三角形和等边三角形的性质和应用7.直角三角形的性质和应用8.四边形的性质和应用9.平行四边形和矩形的性质和应用10.菱形和正方形的性质和应用11.平面几何的问题解决方法六、立体几何1.立体几何的基本概念和公理2.立体的表面积和体积3.平行面与平行线的性质和应用4.圆锥与圆柱的性质和应用5.立体的投影和剖面6.空间几何的问题解决方法七、概率与统计1.随机事件的概念和性质2.概率的概念和性质3.频率和概率的关系4.概率的计算方法5.随机变量的概念和性质6.离散型随机变量和连续型随机变量的分布律和密度函数7.随机变量的数学期望和方差8.统计的基本概念和性质9.统计数据的处理和分析方法10.抽样方法和推断统计的应用八、数学建模1.数学建模的基本概念和步骤2.模型的建立和评价3.利用数学方法解决实际问题的能力九、立体几何计算问题1.解决立体几何计算问题的方法2.实际问题的建立和求解。
高中数学必修知识点总结
高中数学必修知识点总结一、集合。
1. 集合的概念。
- 集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。
这些对象称为集合的元素。
例如,全体自然数组成一个集合,记为N={0,1,2,·s}。
- 元素与集合的关系:属于(∈)和不属于(∉)。
如果a是集合A中的元素,就说a∈ A;如果a不是集合A中的元素,就说a∉ A。
2. 集合的表示方法。
- 列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。
如{1,2,3}。
- 描述法:用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
一般形式为{xp(x)},其中x是集合中的代表元素,p(x)是元素x所具有的性质。
例如{xx > 0,x∈ R}表示所有大于0的实数组成的集合。
3. 集合间的基本关系。
- 子集:如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集,记为A⊆ B(或B⊇ A)。
如果A⊆ B且A≠ B,则A是B的真子集,记为A⊂neqq B。
- 相等:如果A⊆ B且B⊆ A,那么A = B。
- 空集:不含任何元素的集合,记为varnothing。
空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。
4. 集合的基本运算。
- 交集:A∩ B={xx∈ A且x∈ B}。
- 并集:A∪ B ={xx∈ A或x∈ B}。
- 补集:设U是全集,A⊆ U,则∁_U A={xx∈ U且x∉ A}。
二、函数。
1. 函数的概念。
- 设A,B是非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y = f(x),x∈ A。
其中x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{yy = f(x),x∈ A}叫做函数的值域。
2. 函数的表示法。
- 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,如y = x^2+1。
高中数学必修1知识点总结
高中数学必修1知识点总结一、集合与函数的概念1. 集合的含义与表示- 集合是具有某种特定性质的事物的全体。
- 常用符号表示集合,如A={x|x满足性质P}。
2. 集合之间的关系- 子集:集合A中的所有元素都属于集合B,则A是B的子集。
- 真子集:A是B的子集,且A不等于B。
- 并集:集合A和集合B中所有元素组成的集合。
- 交集:集合A和集合B中共有的元素组成的集合。
- 补集:集合A在全集U中的补集是全集U中不属于A的元素组成的集合。
3. 函数的概念- 函数是定义在非空数集之间的映射关系。
- 函数的表示方法:f(x)、y=f(x)等。
4. 函数的简单性质- 定义域:函数f(x)的定义域是所有能使函数式有意义的x的集合。
- 值域:函数f(x)的值域是所有f(x)的取值构成的集合。
- 单调性:函数在某个区间内,若x1<x2,则f(x1)≤f(x2),则称函数在该区间单调递增。
- 奇偶性:奇函数满足f(-x)=-f(x),偶函数满足f(-x)=f(x)。
二、基本初等函数1. 幂函数- y=x^n (n为实数),其中n=0,1,2,3...时分别对应不同的函数。
2. 指数函数- y=a^x (a>0, a≠1),a为底数,x为指数。
3. 对数函数- y=log_a(x) (a>0, a≠1),a为底数,x为真数。
4. 三角函数- 正弦函数:y=sin(x)- 余弦函数:y=cos(x)- 正切函数:y=tan(x)- 余切函数:y=cot(x)- 正割函数:y=sec(x)- 余割函数:y=csc(x)三、三角恒等变换1. 同角三角函数的基本关系- sin^2(x) + cos^2(x) = 1- 1 + tan^2(x) = sec^2(x)- 1 + cot^2(x) = csc^2(x)2. 特殊角的三角函数值- sin(30°) = 1/2, cos(30°) = √3/2, tan(30°) = √3/3- sin(45°) = √2/2, cos(45°) = √2/2, tan(45°) = 1- sin(60°) = √3/2, cos(60°) = 1/2, tan(60°) = √33. 和差公式- sin(a±b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)- cos(a±b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)- tan(a±b) = (tan(a) ± tan(b)) / (1 ∓ tan(a)tan(b))四、数列的概念与简单表示1. 数列的概念- 数列是按照一定顺序排列的一列数。
人教版高中数学必修一知识点和重难点
人教版高中数学必修一------- 各章节知识点与重难点第一章集合与函数概念1.1集合1.1.1集合的含义与表示【知识要点】1、集合的含义一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合。
2、集合的中元素的三个特性(1)元素的确定性;(2)元素的互异性;(3)元素的无序性2、“届丁”的概念我们通常用大写的拉丁字母A,B,C, ......... 表示集合,用小写拉丁字母a,b,c, ......... 表示元素如:如果a是集合A的元素,就说a届丁集合A记作a€ A,如果a不届丁集合A记作a A3、常用数集及其记法非负整数集(即自然数集)记作:N ;正整数集记作:N*或N+ ;整数集记作:Z;有理数集记作:Q;实数集记作:R4、集合的表示法(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。
(2)描述法:用集合所含元素的公共特征表示集合的方法称为描述法。
①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x£ R| x-3>2}或{x| x-3>2}(3)图示法(Venn图)1.1.2集合问的基本关系【知识要点】1、“包含”关系一一子集一般地,对丁两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B2、“相等”关系如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等丁集合B,即:A=B A B且B A3、真子集如果A B,且A B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)4、空集不含任何元素的集合叫做空集,记为①规定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.1.1.3集合的基本运算【知识要点】1、交集的定义一般地,由所有届丁A且届丁B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A A B(读作A 交B”),即An B={x| x€ A,且x€ B}.2、并集的定义一般地,由所有届丁集合A或届丁集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集。
新教材人教版高中数学必修第一册 第三章 知识点总结
必修第一册第三章函数的概念与性质3.1 函数的概念及其表示1.函数的概念:一般地,设A、B是非空的数集,如果对于集合A中的任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有唯一确定的数y和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。
记作:y=f(x),x∈A。
其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域。
2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域(1)函数的定义域的求法:①自然型:解析式自身有意义,如分式函数的分母不为零,偶次根式函数的被开方数为非负数,对数函数的真数为正数;②实际型:解决函数的综合问题与应用问题时,应认真考察自变量x的实际意义。
(2)求函数的值域的方法:①配方法(将函数转化为二次函数);②不等式法(运用不等式的各种性质);③函数法(运用函数的单调性、函数图象等)。
(3)两个函数的相等:当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时,这两个函数才是同一个函数。
3.常用的函数表示法(1)解析法:就是把两个变量的函数关系,用一个等式来表示,这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式;(2)列表法:就是列出表格来表示两个变量的函数关系;(3)图象法:就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
4.分段函数:若一个函数的定义域分成了若干个子区间,而每个子区间的解析式不同,这种函数又称分段函数;5.区间的概念:设a,b是两个实数,且a<b,我们规定:(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间,表示[a,b];(2)满足不等式a<x<b的实数x的集合叫做开区间,表示(a,b);(3)满足不等式a≤x<b或a<x≤b的实数x的集合叫做半开半闭区间,表示[a,b)或(a,b];a,b都叫做区间的端点。
(4)代数与几何表示对照表(数轴上用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间内的端点)(5)3.2 函数的基本性质⊆: 1.单调性:(1)定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,区间D I①∀ x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数;特别地,当函数f(x)在它的定义域上单调递增时,我们成它是增函数。
(人教版)高一数学必修一知识点总结
(人教版)高一数学必修一知识点总结
一、函数与方程
1. 函数的概念:函数是一种特殊的关系,它将一个元素与另一个唯一确定的元素相对应。
2. 函数的表示方式:函数可以通过图像、表格、公式等方式来表示。
3. 方程的概念:方程是含有未知数的等式,通过求解方程可以确定未知数的值。
4. 一次函数:一次函数的形式为y = kx + b,其中k和b为常数。
二、三角函数
1. 弧度制与角度制:弧度制是一种角度的度量单位,角度制是另一种度量单位。
2. 正弦、余弦和正切:正弦函数表示一个角的对边与斜边之间的比值,余弦函数表示一个角的邻边与斜边之间的比值,正切函数表示一个角的对边与邻边之间的比值。
三、平面向量
1. 平面向量的表示:平面向量可以用坐标表示,如向量AB可以表示为AB = (x₁, y₁)。
2. 向量的运算:向量可以进行加法和数乘运算,如两个向量的和可以表示为R = A + B。
3. 向量的模长:向量的模长表示向量的长度,可以通过坐标计算得到。
四、三角形与三角比
1. 三角形的分类:根据边长和角度的不同,三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
2. 三角比的定义:三角比是指在特定角度下,三角函数值的比例关系,如正弦比、余弦比和正切比。
以上是(人教版)高一数学必修一的知识点总结,希望对你的学习有所帮助。
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高中数学必修2知识点总结第一章 空间几何体1.1柱、锥、台、球的结构特征(1)棱柱:定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。
分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各顶点字母,如五棱柱'''''E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母,如五棱柱'AD几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。
(2)棱锥定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥'''''E D C B A P -几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。
(3)棱台:定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各顶点字母,如五棱台'''''E D C B A P -几何特征:①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。
(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。
(6)圆台:定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。
1.2空间几何体的三视图和直观图(1)定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、 俯视图(从上向下)注:正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度; 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度。
(2)画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等(3)直观图:斜二测画法 (4)斜二测画法的步骤:(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2).平行于y 轴的线长度变半,平行于x ,z 轴的线长度不变; (3).画法要写好。
(5)用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图1.3 空间几何体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
(2)特殊几何体表面积公式(c 为底面周长,h 为高,'h 为斜高,l 为母线)ch S =直棱柱侧面积 rh S π2=圆柱侧 '21ch S =正棱锥侧面积 rlS π=圆锥侧面积')(2121h c c S +=正棱台侧面积 l R r S π)(+=圆台侧面积 ()l r r S +=π2圆柱表()l r r S +=π圆锥表 ()22R Rl rl r S +++=π圆台表(3)柱体、锥体、台体的体积公式V Sh =柱 2V Sh r h π==圆柱 13V Sh =锥 h r V 231π=圆锥'1()3V S S h =++台'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台(4)球体的表面积和体积公式:V 球=343R π ; S球面=24R π第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 (1)平面① 平面的概念: A.描述性说明; B.平面是无限伸展的;② 平面的表示:通常用希腊字母α、β、γ表示,如平面α(通常写在一个锐角内);也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC 。
③ 点与平面的关系:点A 在平面α内,记作A α∈;点A 不在平面α内,记作A α∉点与直线的关系:点A 的直线l 上,记作:A ∈l ; 点A 在直线l 外,记作A ∉l ; 直线与平面的关系:直线l 在平面α内,记作l ⊂α;直线l 不在平面α内,记作l ⊄α。
(2)公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
(即直线在平面内,或者平面经过直线) 应用:检验桌面是否平; 判断直线是否在平面内 用符号语言表示公理1:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂D CBAα(3)公理2:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。
推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据 (4)公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号:平面α和β相交,交线是a ,记作α∩β=a 。
符号语言:,P A B A B l P l ∈⇒=∈ 公理3的作用:①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系:相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点; 平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。
2 公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为:设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用:判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角相等或互补4 注意点:① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定,与O 的选择无关,为简便,点O 一般取在两直线中的一条上; ② 两条异面直线所成的角θ∈(0, );③ 当两条异面直线所成的角是直角时,我们就说这两条异面直线互相垂直,记作a ⊥b ; ④ 两条直线互相垂直,有共面垂直与异面垂直两种情形;⑤ 计算中,通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系:(1)直线在平面内 —— 有无数个公共点(2)直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 (3)直线在平面平行 —— 没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a α来表示a α a ∩α=A a ∥α2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定1、直线与平面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。
简记为:线线平行,则线面平行。
共面直线=>a ∥c 2π符号表示:A αb β => a∥αa∥b2.2.2 平面与平面平行的判定1、两个平面平行的判定定理:一个平面内的两条交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。
符号表示:a βB βa∩b = P β∥αa∥αb∥α2、判断两平面平行的方法有三种:(1)用定义;(2)判定定理;(3)垂直于同一条直线的两个平面平行。
2.2.3 — 2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质1、定理:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
简记为:线面平行则线线平行。
符号表示:a∥αa β a∥bα∩β= b作用:利用该定理可解决直线间的平行问题。
2、定理:如果两个平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行。
符号表示:α∥βα∩γ= a a∥bβ∩γ= b作用:可以由平面与平面平行得出直线与直线平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质2.3.1直线与平面垂直的判定1、定义如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直,我们就说直线L与平面α互相垂直,记作L⊥α,直线L叫做平面α的垂线,平面α叫做直线L的垂面。
如图,直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。
LΑ P2、判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。
注意点: a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视;b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定1、二面角的概念:表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形A梭 l βBα2、二面角的记法:二面角α-l-β或α-AB-β3、两个平面互相垂直的判定定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质1、定理:垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
本章知识结构框图第三章直线与方程3.1直线的倾斜角和斜率3.1倾斜角和斜率1、直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.2、倾斜角α的取值范围: 0°≤α<180°. 当直线l与x轴垂直时, α= 90°.3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率:斜率公式: k=y2-y1/x2-x112PP =3.1.2两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它们的斜率相等,那么它们平行,即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它们的斜率互为负相垂直,即)(00x x k y y-=-倒数,那么它们互3.2.1 直线的点 斜式方程1、 直线的点斜式方程:直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k2、、直线的斜截式方程:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b b kx y +=3.2.2 直线的两点式方程1、直线的两点式方程:已知两点),(),,(222211y x P x x P 其中),(2121y y x x ≠≠y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程:已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ,与y 轴的交点为B ),0(b ,其中0,0≠≠b a 3.2.3 直线的一般式方程1、直线的一般式方程:关于y x ,的二元一次方程0=++C By Ax (A ,B 不同时为0)2、各种直线方程之间的互化。