拓扑排序和关键路径
2023洛谷 模拟试题解析
2023洛谷模拟试题解析引言概述：2023年洛谷模拟试题是一项重要的考试，对于参加考试的学生来说，了解试题的解析是提高考试成绩的关键。
本文将对2023洛谷模拟试题进行详细解析，帮助考生更好地理解试题内容，提高解题能力。
正文内容：1. 第一大点：试题类型1.1 选择题：解析选项的含义，注意干扰项的排除。
1.2 填空题：分析题目要求，确定填空内容的格式和范围。
1.3 编程题：理解题目要求，设计合理的算法，注意边界条件和优化策略。
2. 第二大点：数据结构与算法2.1 数组与链表：比较两者的特点和适用场景，分析题目中对数据结构的要求。
2.2 栈与队列：解释栈和队列的概念，讨论它们在算法中的应用。
2.3 树与图：介绍树和图的基本概念，分析与它们相关的算法问题。
3. 第三大点：动态规划3.1 动态规划的基本思想和应用场景。
3.2 分析动态规划问题的状态转移方程，推导出解题的递推公式。
3.3 讨论动态规划中的优化策略，如剪枝和记忆化搜索。
4. 第四大点：图论算法4.1 最短路径算法：介绍Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法的原理与应用。
4.2 最小生成树算法：解析Prim算法和Kruskal算法的实现过程和时间复杂度。
4.3 拓扑排序和关键路径：讲解拓扑排序的概念和算法，分析关键路径的求解方法。
5. 第五大点：数论与组合数学5.1 质数与素数：介绍质数和素数的定义，讨论相关的算法和性质。
5.2 欧几里得算法：解析最大公约数和最小公倍数的计算方法。
5.3 排列组合：讲解排列和组合的概念，分析相关问题的解题思路。
总结：综上所述，2023年洛谷模拟试题的解析主要包括试题类型、数据结构与算法、动态规划、图论算法以及数论与组合数学。
了解试题类型和解题思路对于考生提高解题能力至关重要。
同时，熟悉各种数据结构和算法的特点和应用场景，以及动态规划、图论算法和数论与组合数学的基本概念和解题方法，也是取得好成绩的关键。
数据结构的应用的拓扑排序与关键路径算法
数据结构的应用的拓扑排序与关键路径算法拓扑排序与关键路径算法是数据结构中重要的应用之一。
拓扑排序通过对有向图的节点进行排序，使得对于任意一条有向边(u,v)，节点 u 在排序中都出现在节点 v 之前。
关键路径算法则是用来确定一个项目的关键活动和最短完成时间。
拓扑排序的实现可以通过深度优先搜索或者广度优先搜索来完成。
深度优先搜索是递归地访问节点的所有未访问过的邻居节点，直到没有未访问过的邻居节点为止，然后将该节点添加到拓扑排序的结果中。
广度优先搜索则是通过使用队列来实现的，将节点的邻居节点逐个入队并进行访问，直到队列为空为止。
无论使用哪种方法，拓扑排序都可以通过判断节点的入度来进行。
拓扑排序在很多实际问题中都有广泛应用。
比如在任务调度中，拓扑排序可以用来确定任务间的依赖关系和执行顺序；在编译原理中，拓扑排序可以用来确定程序中变量的定义和使用顺序。
关键路径算法用于确定项目中的关键活动和最短完成时间。
它通过计算每个活动的最早开始时间和最晚开始时间，以及每个活动的最早完成时间和最晚完成时间来实现。
具体步骤如下：1. 构建有向加权图，其中节点表示项目的活动，有向边表示活动间的先后关系，边的权重表示活动的持续时间。
2. 进行拓扑排序，确定活动的执行顺序。
3. 计算每个活动的最早开始时间，即从起始节点到该节点的最长路径。
4. 计算每个活动的最晚开始时间，即从终止节点到该节点的最长路径。
5. 根据每个活动的最早开始时间和最晚开始时间，可以确定关键活动，即最早开始时间与最晚开始时间相等的活动。
6. 计算整个项目的最短完成时间，即从起始节点到终止节点的最长路径。
拓扑排序与关键路径算法在工程管理、任务调度、生产流程优化等领域都有重要应用。
它们能够帮助我们有效地组织和管理复杂的项目，提高工作效率和资源利用率。
在实际应用中，我们可以借助计算机编程以及各种图算法库来实现这些算法，从而更快速、准确地解决实际问题。
综上所述，拓扑排序与关键路径算法是数据结构的重要应用之一。
关键路径法c语言详解
关键路径法c语言详解关键路径法是一种用于项目管理的技术，用于确定项目中最长的路径，即关键路径，以便有效地进行资源分配和时间管理。
在本文中，我们将详细介绍关键路径法的原理和应用，并使用C语言进行示例演示。
一、原理介绍关键路径法是一种基于网络图的分析方法，它将项目分解成一系列活动，并通过活动之间的依赖关系构建网络图。
在这个网络图中，每个活动表示一个任务，箭头表示任务之间的依赖关系。
根据活动的持续时间和依赖关系，我们可以计算出每个活动的最早开始时间（EST）和最晚开始时间（LST），从而确定关键路径。
关键路径是指项目中最长的路径，即这条路径上的活动不能延迟，否则会导致整个项目延迟。
关键路径上的活动被称为关键活动。
通过确定关键路径，项目管理者可以有效地分配资源和控制进度，以确保项目按时完成。
二、关键路径法的步骤1. 确定项目的活动和依赖关系：将项目分解成一系列活动，并确定它们之间的依赖关系。
活动可以使用字母或数字进行标识，依赖关系可以用箭头表示。
2. 构建网络图：根据活动和依赖关系，构建项目的网络图。
网络图可以使用邻接矩阵或邻接表表示。
3. 计算活动的最早开始时间（EST）：从起始节点开始，根据依赖关系和活动持续时间，计算每个活动的最早开始时间。
最早开始时间可以通过递归或拓扑排序算法计算得出。
4. 计算活动的最晚开始时间（LST）：从终止节点开始，根据依赖关系和活动持续时间，计算每个活动的最晚开始时间。
最晚开始时间可以通过逆序递归或拓扑排序算法计算得出。
5. 计算活动的总时差（TF）：根据最早开始时间和最晚开始时间，计算每个活动的总时差。
总时差可以通过最晚开始时间减去最早开始时间得出。
6. 确定关键路径：找出总时差为0的活动，这些活动构成了关键路径。
关键路径上的活动不能延迟，否则会延误整个项目。
三、C语言示例演示以下是一个使用C语言实现关键路径法的简单示例：```c#include <stdio.h>void calculate_early_start(int activity[], int duration[], int dependency[], int n, int est[]) {for (int i = 0; i < n; i++) {if (dependency[i] == -1) {est[i] = 0;} else {if (est[dependency[i]] + duration[dependency[i]] > est[i]) {est[i] = est[dependency[i]] + duration[dependency[i]];}}}}void calculate_late_start(int activity[], int duration[], int dependency[], int n, int est[], int lst[]) {lst[n - 1] = est[n - 1];for (int i = n - 2; i >= 0; i--) {if (dependency[i] == -1) {lst[i] = lst[i + 1] - duration[i];} else {if (est[i] > lst[i + 1] - duration[i]) {lst[i] = est[i];} else {lst[i] = lst[i + 1] - duration[i];}}}}void find_critical_activities(int est[], int lst[], int n) {printf("Critical activities: ");for (int i = 0; i < n; i++) {if (est[i] == lst[i]) {printf("%d ", i + 1);}}printf("\n");}int main() {int n = 6; // Number of activitiesint activity[] = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; // Activity IDsint duration[] = {5, 3, 2, 4, 2, 6}; // Durationsint dependency[] = {-1, 1, 2, 1, 4, 3}; // Dependency (indexstarts from 0)int est[n]; // Early start timesint lst[n]; // Late start timescalculate_early_start(activity, duration, dependency, n, est); calculate_late_start(activity, duration, dependency, n, est, lst);printf("Activity\tDuration\tEST\t\tLST\n");for (int i = 0; i < n; i++) {printf("%d\t\t%d\t\t%d\t\t%d\n", activity[i], duration[i], est[i], lst[i]);}find_critical_activities(est, lst, n);return 0;}```在上述示例中，我们使用了一个包含6个活动的项目进行演示。
信息学奥赛一本通 第4章 第7节 拓扑排序与关键路径(C++版)
拓扑排序算法
算法实现： a) 数据结构：indgr[i]: 顶点i的入度; stack[ ]: 栈 b) 初始化:top=0 (栈顶指针置零) c) 将初始状态所有入度为0的顶点压栈 d) I=0 (计数器) e) while 栈非空(top>0) i. 栈顶的顶点v出栈；top-1; 输出v；i++； ii. for v的每一个后继顶点u 1. indgr[u]--; u的入度减1 2. if （u的入度变为0） 顶点u入栈 f) 算法结束 这个程序采用栈来找出入度为0的点，栈里的顶点，都是入度为0的点。 我们结合上图详细讲解： B D C A 栈：A 开始时，只有A入 度为0，A入栈。
1
4 8 5 6 9
引入
在AOV网中，有向边代表子工程（活动）的先后关系，我们把一条有向边起点 的活动成为终点活动的前驱活动，同理终点的活动称为起点活动的后继活动。而只 有当一个活动全部的前驱全部都完成之后，这个活动才能进行。例如在上图中，只 有当工程1完成之后，工程2、3、4、5、6才能开始进行。只有当2、3、4全部完成 之后，7才能开始进行。 一个AOV网必定是一个有向无环图，即不应该带有回路。否则，会出现先后关 系的自相矛盾。 1 2
关键路径
AOE网络要研究的问题是完成整个工程至少需要多少时间？哪些活动是影响工程 进度的关键？ 下面先讨论一个事件的最早发生时间和一个活动的最早开始时间。如下图，事件Vj 必须在它的所有入边活动eik（1≤k≤n）都完成后才能发生。活动eik（1≤k≤n） 的最早开始时间是与它对应的起点事件Vik的最早发生时间。所有以事件Vj为起点事 件的出边活动ejk（1≤k≤m）的最早开始时间都等于事件Vj的最早发生时间。所以， 我们可以从源点出发按照上述方法，求出所有事件的最早发生时间。
拓扑排序应用场景
拓扑排序应用场景拓扑排序是一种常用的图算法，用于解决一些特定的应用场景。
它的主要作用是对有向无环图（DAG）中的节点进行排序，使得所有的边从前向后指向排列的顺序。
在实际应用中，拓扑排序被广泛应用于任务调度、依赖关系分析、编译优化等领域。
在任务调度中，拓扑排序可以用来确定任务的执行顺序。
假设有一组任务，每个任务都有一些依赖关系，即某些任务必须在其他任务执行之后才能开始。
这时候，我们可以将任务看作图中的节点，依赖关系看作图中的边，利用拓扑排序算法确定任务的执行顺序。
通过拓扑排序，我们可以确保没有任务在其依赖任务执行之前开始，从而保证任务的正确执行。
拓扑排序也可以应用于依赖关系分析。
在软件开发中，各个模块之间可能存在依赖关系，即某些模块需要依赖其他模块的输出结果才能正常工作。
通过使用拓扑排序，可以分析模块之间的依赖关系，找出模块之间的依赖顺序，从而保证软件的正确运行。
另一个应用场景是编译优化。
在编译过程中，源代码会经过多个阶段的处理，例如词法分析、语法分析、语义分析等。
这些处理过程之间也存在依赖关系，必须按照一定的顺序进行。
通过拓扑排序，可以确定编译过程中各个阶段的执行顺序，从而提高编译的效率和准确性。
除了上述应用场景，拓扑排序还可以用于解决其他问题。
例如，可以用拓扑排序来判断一个有向图是否存在环路，如果拓扑排序中存在环路，则图中存在环路；反之，如果拓扑排序中不存在环路，则图中不存在环路。
此外，拓扑排序还可以用于确定关键路径，即在一组任务中找出耗时最长的路径，从而可以优化任务的执行时间。
拓扑排序是一种非常实用的图算法，广泛应用于任务调度、依赖关系分析、编译优化等领域。
通过拓扑排序，可以确定任务的执行顺序，分析模块之间的依赖关系，优化编译过程，判断图中是否存在环路，确定关键路径等。
这些应用场景都可以通过拓扑排序来解决，从而提高工作效率和准确性。
拓扑排序及关键路径
2．有向图在实际问题中的应用 一个有向图可以表示一个施工流程图，或产品生产流程
图，或数据流图等。设图中每一条有向边表示两个子工程之 间的先后次序关系。
若以有向图中的顶点来表示活动，以有向边来表示活动 之间的先后次序关系，则这样的有向图称为顶点表示活动的 网 (Activity On Vertex Network)，简称AOV网。
这样，每个活动允许的时间余量就是l(i) - e(i)。而关键活动 就是l(i) - e(i) = 0的那些活动，即可能的最早开始时间e(i)等于 允许的最晚开始时间l(i)的那些活动就是关键活动。
4．寻找关键活动的算法 求AOE网中关键活动的算法步骤为： （1）建立包含n+1个顶点、e条有向边的AOE网。其中，顶
（4）从汇点vn开始，令汇点vn的最晚发生时间vl[n]=ve[n]， 按逆拓扑序列求其余各顶点k(k=n-1,n-2,…,2,1,0)的最晚发生 时间vl[k]；
（5）计算每个活动的最早开始时间e[k] (k=1,2,3,…,e)； （6）计算每个活动的最晚开始时间l[k] (k=1,2,3,…,e)； （7）找出所有e[k]= l[k]的活动k，这些活动即为AOE网的 关键活动。
上述算法仅能得到有向图的一个拓扑序列。改进上述 算法，可以得到有向图的所有拓扑序列。
如果一个有向图存在一个拓扑序列，通常表示该有向 图对应的某个施工流程图的一种施工方案切实可行；而 如果一个有向图不存在一个拓扑序列，则说明该有向图 对应的某个施工流程图存在设计问题，不存在切实可行 的任何一种施工方案。
事件可能的最早开始时间υe(k)：对于顶点υk代表的事件， υe(k)是从源点到该顶点的最大路径长度。在一个有n+1个事 件的AOE网中, 源点υ0的最早开始时间υe(0)等于0。事件υk （k=1,2,3,…,n）可能的最早开始时间υe(k)可用递推公式表 示为：
华师网络学院作业答案-数据结构判断题
消除递归不一定需要使用栈。
答案:正确在开散列表中不会出现堆积现象。
答案:正确在链栈上进行进栈操作时，不需判断栈满。
答案:正确算法的正确性，一般不进行形式化的证明，而是用测试来验证。
答案:正确顺序表不需存放指针，链表要存放指针，故链表的存储空间要求总是比顺序表大。
答案:错误如果n个顶点的无向图有n条边，则图中肯定有回路。
答案:正确图G的生成树T是G的子图。
答案:正确数组的基本运算有读、写、插入、删除等。
答案:错误不管树的深度和形态如何，也不可能构造出一棵有100个结点的哈夫曼树。
答案:正确如果根结点的左子树和右子树高度差不超过1，则该二叉树是平衡二叉树。
答案:错误排序的目的是为了方便以后的查找。
答案:正确以中序方式遍历一个堆，则得到一个有序序列。
答案:正确二叉树中可能所有结点的度都小于2。
答案:正确顺序表可以按序号随机存取。
答案:正确在二叉排序树中，即使删除一个结点后马上再插入该结点，该二叉排序树的形态也可能不同。
答案:正确队列在使用中必须设置两个指针，分别指向真正的队头和队尾的位置。
答案:错误数据的逻辑结构和运算集组成问题的数学模型，与计算机无关。
对称矩阵压缩存储后仍然可以随机存取。
答案:正确有向图中顶点i的出度等于邻接矩阵中第i行中1的个数；入度等于第i列中1的个数。
答案:错误树和森林都可转化为二叉树，故对给定的二叉树，不能区分是由树还是森林转换来的。
答案:错误循环队列中入队和出队的节点位置可出现在数组的任一端，已不满足“一端进另一端出”的要求，故实际上已不是队列了。
答案:错误顺序查找法不仅可用于顺序表上的查找，也可用于链表上的查找。
答案:正确有向图中边数等于邻接矩阵中1的个数；也等于邻接表中的边表结点数。
答案:正确直接插入排序是稳定的，而Shell排序就是调用若干趟直接插入排序，故也是稳定的。
答案:错误基数排序不需进行关键字间的比较，故执行时间比基于比较的排序方法要快。
答案:错误由二叉树的先根和后根序列可以唯一确定该二叉树。
项目关键路径确定方法
项目关键路径确定方法
确定项目关键路径的方法有两种：关键路径法和关键链法。
1. 关键路径法：
关键路径法是最常用的一种确定项目关键路径的方法。
关键路径是指项目中最长的一条路径，也就是项目最短的完成时间。
在关键路径法中，首先需要确定每个活动的所需时间和依赖关系，然后对整个项目进行网络图的绘制。
根据网络图的拓扑排序和计算每个活动的最早开始时间和最晚开始时间，可以确定项目的关键路径。
关键路径上的活动是不能延误的，因为延误关键路径上任何一个活动都会导致整个项目延误。
2. 关键链法：
关键链法是一种较新的项目管理方法，它强调项目中人力、资源和风险的考虑。
关键链法将关注点从活动移动到资源，将资源约束引入项目计划和关键路径决策中。
在关键链法中，首先需要确定项目的关键路径，然后将资源约束考虑在内，对每个活动的时间进行缓冲以保护关键路径。
此外，关键链法还引入了风险管理的概念，通过评估和管理项目的风险，提高项目的成功率。
关键链法能够更准确地预测项目的完成时间，并提供风险管理的指导。
无论是关键路径法还是关键链法，它们的目标都是确定项目关键路径以便于项目的控制和管理。
具体选择哪种方法应根据项目的特点和需求来决定。
课次21——第七章03拓扑排序和关键路径
对有向图进行如下操作：按照有向图给出的次序关系，将图 中顶点排成一个线性序列，对于有向图中没有限定次序关系的顶 点，则可以人为加上任意的次序关系。由此所得顶点的线性序列 称之为拓扑有序序列。
v3 v5
v9
v8
v4
v6
13 2020/8/4
7.5.2 关键路径（4）
在AOE网络中， 有些活动顺序进行，有些活动并行进行。
从源点到各个顶点，以至从源点到汇点的有向路径可能不止 一条。这些路径的长度也可能不同。完成不同路径的活动所 需的时间虽然不同，但只有各条路径上所有活动都完成了， 整个工程才算完成。
例：
C0
C1
C2
C0
C1
C2
C3
C4
C5
(a) 有向无环图
C0
C1
C2
C3
C4
C5
(b) 输出C4
C1
C2
C3
C5
(c) 输出顶点C0
9 2020/8/4
C3
C5
(d) 输出顶点C3
7.5.1拓扑排序(Topological Sort)（7）
C1
C2
C1
C5 (e) 输出顶点C2
C5 (f) 输出顶点C1
因此，完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长 路径长度，即在这条路径上所有活动的持续时间之和。这条 路径长度最长的路径就叫做关键路径(Critical Path)。
子工程所需时间。 问：哪些子工程是“关键工程”？ 即：哪些子工程将影响整个工程的完成期限的。
首先了解一些基本概念：
求解拓扑问题的方法和策略
求解拓扑问题的方法和策略拓扑问题是图论中的一个重要分支，它主要研究的是如何寻找图中的拓扑序列或拓扑排序。
在实际应用中，拓扑排序被广泛应用于任务调度、工程管理、编译器设计等领域。
本文将介绍拓扑问题的定义和常见的求解方法与策略。
一、拓扑问题的定义拓扑问题是指在一个有向图中，将所有的顶点排成一个线性序列，使得对于任意一对有向边 (u, v)，在序列中顶点 u 都排在顶点 v 的前面。
这个序列被称为拓扑序列或拓扑排序。
如果图中存在环路，即存在依赖关系循环，那么该图就不存在拓扑序列。
二、拓扑排序的方法和策略1. DFS（深度优先搜索）深度优先搜索是一种常用的优先级拓扑排序算法。
它的基本思想是从一个未访问的顶点开始，通过深度优先搜索遍历与其相邻的顶点，直到该顶点的所有相邻顶点都被访问过后，将该顶点加入拓扑序列。
2. BFS（广度优先搜索）广度优先搜索也是一种常见的求解拓扑排序的方法。
它的基本思想是通过队列实现，从源点开始依次访问其相邻节点，将被访问的节点入队。
当一个节点的所有相邻节点都被访问过后，将该节点加入拓扑序列。
3. Kahn算法Kahn算法是一种经典的拓扑排序算法。
它基于入度（Indegree）的概念，入度表示有多少条边指向一个顶点。
Kahn算法的基本思路是从图中选择一个入度为0的顶点输出，并将所有以该顶点为起点的边删除。
重复这个过程，直到所有的顶点都输出，或者图中不存在入度为0的顶点。
4. AOE网关AOE网关（Activity on Edge Network）是一种用来解决工程项目调度问题的拓扑排序算法。
它将工程活动表示为有向边，边上标注活动所需的时间和可以开始的最早时间，从而计算出每个活动的最早开始时间和最迟开始时间，进而得到整个项目的关键路径。
5. 贪心算法贪心算法也可以用来求解部分拓扑问题。
贪心算法的核心思想是每次选择当前最优的解决方案，直到得到全局最优解。
在某些拓扑问题中，贪心算法可以得到有效的结果，但在一些复杂的情况下，贪心算法可能无法得到最优解。
信息学奥赛数据结构知识点归纳最新背诵版
40]，[34，58]，[20，90]，[18，98]}
e.快速排序，被认为是在所有同数量级 O(nlogn)
的排序方法中，其平均性能是最好的。f. 堆排
序，g.基数排序
排序方法
比较次数
移动次数
最好 最差 最好
最差
稳 附加存储
定
最好
பைடு நூலகம்最差
直接插入排序 n
n2
0
n2
是
1
折半插入排序 冒泡排序 快速排序 简单选择排序 锦标赛排序 堆排序 归并排序
信息学奥赛数据结构知识点归纳
数据结构知识点归纳 数据结构的定义：数据在计算机中的组织。包 括逻辑结构（ 数据之间的逻辑关系），存储结 构（数据之间关系的计算机表示），数据运算。 注意逻辑结构与具体的计算机无关。 算法基本特性：1．有穷性(有限时间)2．确定 性(算法确切)3．可行性(存在基本操作)4．有输 入(0++)5．有输出(1++) 一、顺序表： 线性表(a1,a2…,an)有唯一的第一个和最后一 个元素(n≥0)。其余的有唯一的前驱和后继。 在顺序表的第 i 个位置前插入一个数据元素， 需要向后移动 n － i +1 个元素，删除第 i 个 位置的元素需要向前移动 n－ i 个元素。双链 表：例如在 q 所指结点的后面插入一个值为 x 的 新 结 点 方 法 (1) p->rlink=q->rlink; (2) p->llink=q; (3) q->rlink->llink=p; (4) q->rlink=p; 例 如 删 除 q 所 指 结 点 后 的 结 点 方 法 (1) q->llink->rlink=q->rlink;(2) q->rlink->llink=q->llink; 二、栈和队列 1、栈：允许在表的一端插入和删除的线性表。 栈底，不允许操作，栈顶，允许操作。原则： LIFO 后进先出。【例】设进栈顺序是（a,b,c,d）， 不可能的出栈序列是：（ C ） A. (a,b,c,d) B.(a,c,b,d) C. (a,d,b,c) D. (d,c,b,a) 2、队列：允许在表的一端插入，另一端删除 的线性表，队尾：插入端 队首：删除端；原 则：FIFO 先进先出，顺序队列空： front= rear, 队满：rear=MAX，循环队列空：rear=front， 队满为：(rear + 1)%MAX = front 三、数组： 四、树和二叉树 1．树的定义和术语 定义：是由 n (n≥0)个结点构成的有限集合，n=0 的树称为空树；当 n≠0 时，树中的结点应该满 足以下两个条件：(1) 有且仅有一个特定的结 点称之为根；(2) 其余结点分成 m(m≥0)个互不 相交的有限集合 T1, T2,……Tm，其中每一个集合 又都是一棵树，称 T1, T2,……Tm 为根结点的子 树。 结点：数据元素 + 若干指向子树的分支 结点的度：分支的个数
《数据结构与算法》AOE网及关键路径
基本概念：
AOE网：带权的有向图，其中，顶点表示事件，弧表示活 动，权表示活动持续的时间。
关键路径：AOE-网中有些活动可以并行的进行，所以完 成工程的最短时间是从开始点到完成点的最长路径的 长度（这里所说的长度是指路径上各个活动持续时间 之和，不是路径上弧的数目）。路径长度最长的路径 叫做关键路径。
a5=1 7
v9 a8=7
v8 a11=4
a3=5
4
v4 a6=2
5
a9=4 11
v6
7
从ve（0）=0开始向后推.
Ve（j）=Max{ve（i）+dut（〈i,j〉）}
(j=1，2….n-1)
1 求活动最迟发生时间 6
a1=6 v2 a4=1
16v7
a7=9
a10=2 18
v9
0 v1 a2=4
a6=12
4 a5=7 6
el a1 0 0 a2 5 5 a3 0 7 a4 0 7 a5 9 16 a6 23 23 a7 15 15 a8 15 15 a9 5 5 a10 27 27 a11 27 27 a12 35 35 a13 41 41
v5 a8=7
v3 a5=1 7
v8 a11=4
a3=5
6
v4
8 a6=2
a9=4 14
v6
10
从vl(9）=18开始向回推（倒计时）。 Ve（i）=Min{vl（j）- dut（〈i,j〉）}
(j=n-2,n-3,----,0)
例： 对下面的AOE网络，试回答下列问题： ve vl
(1)列出所有的关键路径; (2)完成整个工程至少需要多少时间?
最早发生时间：假设开始点是V1，从V1到Vi的最长的路径 的长度叫做事件Vi的最早发生时间。
拓 扑 路 径 详 细 原 理
《大话数据结构》笔记——第7章图（三）文章目录7.8 拓扑排序7.8.1 拓扑排序介绍7.8.2 拓扑排序算法7.9 关键路径7.9.1 关键路径算法原理7.9.2 关键路径算法7.10 回顾总结7.8 拓扑排序说了两个有环的图应用，现在我们来谈谈无环的图应用。
无环，即是图中没有回路的意思。
7.8.1 拓扑排序介绍在一个表示工程的有向图中，用顶点表示活动，用弧表示活动之间的优先关系，这样的有向图为顶点表示活动的网，我们称为 AOV 网（ Activity On Vertex Network ）。
AOV 网中的弧表示活动之间存在的某种制约关系。
比如演职人员确定了，场地也联系好了，才可以开始进场拍摄。
另外就是 AOV 网中不能存在回路。
刚才已经举了例子，让某个活动的开始要以自己完成作为先决条件，显然是不可以的。
设 G=(V,E) 是一个具有 n 个顶点的有向图，V 中的顶点序列v1,v2, … ,vn ，满足若从顶点 vi 到 vj 有一条路径，则在顶点序列中顶点 vi 必在顶点 vj 之前。
则我们称这样的顶点序列为一个拓扑序列。
上图这样的 AOV 网的拓扑序列不止一条。
序列 v0 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 v8 v9 v10 v11 v12 v13 v14 v15 v16 是一条拓扑序列，v0 v1v4 v3 v2 v7 v6 v5 v8 v10 v9 v12 v11 v14 v13 v15 v16 也是一条拓扑序列。
所谓拓扑排序，其实就是对一个有向图构造拓扑序列的过程。
构造时会有两个结果，如果此网的全部顶点都被输出，则说明它是不存在环（回路）的 AOV 网；如果输出顶点数少了，哪怕是少了一个，也说明这个网存在环（回路），不是 AOV 网。
一个不存在回路的 AOV 网，我们可以将它应用在各种各样的工程或项目的流程图中，满足各种应用场景的需要，所以实现拓扑排序的算法就很有价值了。
7.8.2 拓扑排序算法对 AOV 网进行拓扑排序的基本思路是：从 AOV 网中选择一个入度为 0 的顶点输出，然后删去此顶点，并删除以此顶点为尾的弧，继续重复此步骤，直到输出全部顶点或者 AOV 网中不存在入度为 0 的顶点为止。
信息学奥赛一本通 第4章 第7节 拓扑排序与关键路径(C++版)
拓扑排序算法
【例4-13】奖金 【问题描述】 由于无敌的凡凡在2005年世界英俊帅气男总决选中胜出，Yali Company总经理 Mr.Z心情好，决定给每位员工发奖金。公司决定以每个人本年在公司的贡献为标准 来计算他们得到奖金的多少。于是Mr.Z下令召开m方会谈。每位参加会谈的代表提出 了自己的意见：“我认为员工a的奖金应该比b高！”Mr.Z决定要找出一种奖金方案， 满足各位代表的意见，且同时使得总奖金数最少。每位员工奖金最少为100元。 【输入格式】 第一行两个整数n,m，表示员工总数和代表数；以下m行，每行2个整数a,b，表 示某个代表认为第a号员工奖金应该比第b号员工高。 【输出格式】 若无法找到合理方案，则输出“Poor Xed”；否则输出一个数表示最少总奖金。 【输入样例】 2 1 1 2 【输出样例】 201
4
3
上图就是一个出现环产生自相矛盾的情况。4是1的前驱，想完成1，必 须先完成4。3是4的前驱，而2是3的前驱，1又是2的前驱。最后造成想完成 1，必须先完成1本身，这显然出现了矛盾。
拓扑排序算法
拓扑排序算法，只适用于AOV网（有向无环图）。 把AOV网中的所有活动排成一个序列， 使得每个活动的所有前驱活动都排在该 活动的前面，这个过程称为“拓扑排序”，所得到的活动序列称为“拓扑序列”。 一个AOV网的拓扑序列是不唯一的，例如下面的这张图，它的拓扑序列可以是： ABCDE，也可以是ACBDE，或是ADBCE。在下图所示的AOV网中，工程B和工程 C显然可以同时进行，先后无所谓；但工程E却要等工程B、C、D都完成以后才能进 行。 B C A D 构造拓扑序列可以帮助我们合理安排一个工程的进度，由AOV网构造拓扑序 列具有很高的实际应用价值。 算法思想： 构造拓扑序列的拓扑排序算法思想很简单： 选择一个入度为0的顶点并输出 然后从AOV网中删除此顶点及以此顶点为起点的所有关联边； 重复上述两步，直到不存在入度为0的顶点为止。 若输出的顶点数小于AOV网中的顶点数，则输出“有回路信息”，否则输出 的顶点序列就是一种拓扑序列 从第四步可以看出，拓扑排序可以用来判断一个有向图是否有环。只有有 向无环图才存在拓扑序列。 E
详解图的应用(最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径)
详解图的应用（最小生成树、拓扑排序、关键路径、最短路径）1.最小生成树：无向连通图的所有生成树中有一棵边的权值总和最小的生成树1.1 问题背景：假设要在n个城市之间建立通信联络网，则连通n个城市只需要n—1条线路。
这时，自然会考虑这样一个问题，如何在最节省经费的前提下建立这个通信网。
在每两个城市之间都可以设置一条线路，相应地都要付出一定的经济代价。
n个城市之间，最多可能设置n(n-1)/2条线路，那么，如何在这些可能的线路中选择n-1条，以使总的耗费最少呢?1.2 分析问题（建立模型）：可以用连通网来表示n个城市以及n个城市间可能设置的通信线路，其中网的顶点表示城市，边表示两城市之间的线路，赋于边的权值表示相应的代价。
对于n个顶点的连通网可以建立许多不同的生成树，每一棵生成树都可以是一个通信网。
即无向连通图的生成树不是唯一的。
连通图的一次遍历所经过的边的集合及图中所有顶点的集合就构成了该图的一棵生成树，对连通图的不同遍历，就可能得到不同的生成树。
图G5无向连通图的生成树为(a)、(b)和(c)图所示：G5G5的三棵生成树：可以证明，对于有n 个顶点的无向连通图，无论其生成树的形态如何，所有生成树中都有且仅有n－1 条边。
1.3最小生成树的定义：如果无向连通图是一个网，那么，它的所有生成树中必有一棵边的权值总和最小的生成树，我们称这棵生成树为最小生成树，简称为最小生成树。
最小生成树的性质：假设N=(V,{ E}) 是个连通网，U是顶点集合V的一个非空子集，若（u,v）是个一条具有最小权值(代价)的边，其中，则必存在一棵包含边（u,v）的最小生成树。
1.4 解决方案：两种常用的构造最小生成树的算法：普里姆（Prim）和克鲁斯卡尔（Kruskal）。
他们都利用了最小生成树的性质1.普里姆（Prim）算法：有线到点，适合边稠密。
时间复杂度O(N^2)假设G＝（V，E）为连通图，其中V 为网图中所有顶点的集合，E 为网图中所有带权边的集合。
aov网和拓扑排序
如果输出顶点个数少于AOV网络的顶点个数, 则报告网络中存在有向环。
Status TopologicalSort(ALGraph G) {
//若G无回路，则输出G的顶点的一个拓扑序列并返回OK，否则ERROR
FindInDegree(G, indegree); //求各顶点入度indegree[0..vexnum-1]
4
if ( !(- -indegree[k]) ) Push(S, k);
3
}//for }//while
2
data firstarc
0 C0
1
3∧
1 栈S 0 15
00 10 20 30 40 5 01
1 C1 2 C2
5∧ p
1
5∧
i=1 1, C1 count=5
3 C3 ∧
k=5
4 C4
0
1
0
1
5∧
5 C5 ∧
p=NULL
while(! StackEmpty(S)){
indegree
Pop(S, i);
printf(i, G. vertices[i].data); ++count;
5
for (p=G.vertices[i].firstarc; p; p=p->nextarc) { k = p->adjvex;
4
if ( !(- -indegree[k]) ) Push(S, k);
3
}//for }//while
2
data firstarc
0 C0
1
3∧
1 栈S 0 5
拓扑排序与关键路径分析
拓扑排序与关键路径分析拓扑排序和关键路径分析是项目管理和图论中常用的两种技术，用于分析和优化活动的执行顺序。
在本文中，我们将探讨这两种技术的原理、应用和实施方法。
一、拓扑排序拓扑排序是一种用于有向无环图（DAG）的节点排序方法，使得图中的每条边的起始节点都排在终止节点的前面。
在拓扑排序中，节点表示活动，边表示活动间的先后关系。
拓扑排序的实现可以通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来完成。
DFS方式会将所有可能的路径都遍历一遍，直到没有后续节点为止。
而BFS方式通过从源节点开始，按广度优先的顺序依次处理各个节点，直到所有节点处理完毕。
拓扑排序在项目管理中被广泛应用，用于确定活动执行的先后顺序，确保项目按计划有序地进行。
通过拓扑排序，可以发现项目中的关键路径，进而对项目进行合理的资源分配和时间安排。
二、关键路径分析关键路径分析是项目管理中用于确定项目完成所需的最短时间的方法。
关键路径是指项目中的一条从起始节点到结束节点的路径，其上的活动紧密相连且没有松弛时间，任何活动的延误都会导致整个项目的延误。
关键路径分析需要确定每个活动的最早开始时间、最晚开始时间、最早完成时间和最晚完成时间。
通过计算差异，可以找到关键路径上的活动和总体项目的最短完成时间。
关键路径分析在项目管理中对决策和资源管理具有重要意义。
通过确定关键路径，项目经理可以对重要活动进行优化和调整，以确保项目按时完成。
此外，关键路径还可以用于资源的分配和调度，以提高项目的效率和质量。
三、拓扑排序与关键路径分析的实施方法要实施拓扑排序和关键路径分析，需要按照以下步骤进行：1. 确定项目的活动和其间的依赖关系。
将活动表示为节点，依赖关系表示为边。
2. 使用拓扑排序算法，对活动进行排序，得到一个合理的活动执行顺序。
3. 计算每个活动的最早开始时间、最晚开始时间、最早完成时间和最晚完成时间。
4. 根据计算结果，找到关键路径上的活动，确定项目的最短完成时间。
数据结构：第7章 图4-拓扑排序和关键路径
拓扑排序算法
拓扑排序方法： （1）在AOV网中选一个入度为0的顶点（没有前驱） 且输出之； （2）从AOV网中删除此顶点及该顶点发出来的所 有有向边； （3）重复（1）、（2）两步，直到AOV网中所有 顶点都被输出或网中不存在入度为0的顶点。
从拓扑排序步骤可知，若在第3步中，网中所有顶 点都被输出，则表明网中无有向环，拓扑排序成功。 若仅输出部分顶点，网中已不存在入度为0的顶点， 则表明网中有有向环，拓扑排序不成功。
拓扑序列：C1--C2--C3 （3）
C12 C9 C10
C7 C8 C6
C11
拓扑序列：C1--C2--C3--C4 （4）
C7
C12
C12
C8
C8 C9 C10
C6
C9 C10
C6
C11
C11 拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5
（5）
拓扑序列：C1--C2--C3--C4--C5--C7 （6）
在 (b)中，我们用一种有向图来表示课程开设
拓扑排序
1.定义 给出有向图G=(V,E)，对于V中的顶点的线性序列 (vi1,vi2,...,vin)，如果满足如下条件：若在G中从 顶点 vi 到vj有一条路径，则在序列中顶点vi必在 顶点 vj之前；则称该序列为 G的一个拓扑序列。 构造有向图的一个拓扑序列的过程称为拓扑排序。 2.说明 (1)在AOV网中,若不存在回路,则所有活动可排成 一个线性序列,使得每个活动的所有前驱活动都排 在该活动的前面,那么该序列为拓扑序列. (2)拓扑序列不是唯一的.
2.AOV网实际意义
现代化管理中, 通常我们把计划、施工过程、生产流程、 程序流程等都当成一个工程，一个大的工程常常被划分 成许多较小的子工程，这些子工程称为活动。在整个工 程实施过程中，有些活动开始是以它的所有前序活动的 结束为先决条件的，必须在其它有关活动完成之后才能 开始，有些活动没有先决条件，可以 安排在任意时间开 始。AOV网就是一种可以形象地反映出整个工程中各个 活动之间前后关系的有向图。例如，计算机专业学生的 课程开设可看成是一个工程，每一门课程就是工程中的 活动，下页图给出了若干门所开设的课程，其中有些课 程的开设有先后关系，有些则没有先后关系，有先后关 系的课程必须按先后关系开设，如开设数据结构课程之 前必须先学完程序设计基础及离散数学，而开设离散数 学则必须先并行学完数学、程序设计基础课程。
关键路径（CriticalPath）
关键路径（CriticalPath）引⼊拓扑排序主要是为解决⼀个⼯程能否顺序进⾏的问题，但有时还需要解决⼯程完成需要的最短时间问题。
这时仅仅是拓扑排序是不够的。
通过拓扑排序，可以有效地分析出⼀个有向图是否存在环；若不存在，那它的拓扑排序是什么？另⼀⽅⾯，利⽤求关键路径的算法，可以得到完成⼯程的最短⼯期及关键活动有哪些。
（摘⾃《⼤话数据结构》）定义事件：开始XX事情 | 完成XX事情活动：做XX事情源点：某流程的开始汇点：某流程的结束AOE⽹：在⼀个表⽰⼯程的带权有向图中，⽤顶点表⽰事件，⽤有向边表⽰活动，⽤边上的权值表⽰活动的持续时间，这种有向图的边表⽰活动的⽹，我们称之为AOE⽹（Activity On Edge Network）。
把路径上各个活动所持续的时间之和称为路径长度，从源点到汇点具有最⼤长度的路径叫关键路径，在关键路径上的活动叫关键活动。
（摘⾃《⼤话数据结构》）事件是⼀个点，活动是⼀条线。
举例以炒⼀盘⾁作为⽰例：将炒⼀盘⾁⽐作⼀个⼯程。
⼀位⼤⼈负责厨房的事情，⼀位⼩孩负责从院⼦⾥摘菜并送到厨房。
⼩孩从院⼦⾥摘菜并送到厨房需要1.5分钟。
⼤⼈准备⾁需要7分钟；准备菜需要1.5分钟；炒⾁需要2分钟；炒菜需要1分钟。
问题：这项⼯程的最短时间为多少？显然，该⼯程的流程不是这样：摘菜送到厨房（1.5分钟）->准备⾁（7分钟）->准备菜（1.5分钟）->炒⾁（2分钟）->炒菜（1分钟），共13分钟。
因为⼩孩摘菜的同时⼤⼈可以准备⾁；在炒⾁的后⾯阶段可以将菜放⼊锅⾥⼀起炒，这也符合⽇常实践。
⽽准备菜这个活动⼜受到“摘菜并送到厨房”和“准备⾁”这两个活动的制约：先有菜才能对菜进⾏处理！先处理好⾁才能处理菜吧，厨房⾥只有⼀个⼈。
⽤前⾯的“事件”、“活动”、“源点”和“汇点”来表⽰这个⼯程。
源点：开始准备⾁/开始摘菜送到厨房汇点：完成炒菜/完成炒⾁事件：开始摘菜并送到厨房>完成摘菜并送到厨房开始准备⾁>完成准备⾁开始准备菜>完成准备菜开始炒⾁>完成炒⾁开始炒菜>完成炒菜约束条件：“完成准备⾁”和“完成摘菜并送到厨房”才能“开始准备菜”。
图论简单介绍
0 1 4 0
3
0
top=0 top
3
1
2
1
2
1
1
2
4
3
6
5
0
top
0
4 4
top
0
4 4
0
4 4
4 4
0
1
0
1
top
0
0
0
01ຫໍສະໝຸດ 111拓扑排序算法 typedef int datatype; typedef int vextype; typedef struct node /*边表结点定义*/ { int adjvex; struct node *next; } edgenode; typedef struct /*顶点表结点定义*/ { vextype vertex int id; edgenode *link } vexnode; vexnode dig[n];
为找出关键活动, 需要求各个活动的 e[k] 与 l[k]，以判 别是否 l[k] == e[k]. 为求得e[k]与 l[k]，需要先求得从源点V0到各个顶点Vi 的 Ve[i] 和 Vl[i]。
求Ve[i]的递推公式
从Ve[0] = 0开始，向前递推
i
Ve[ j ] max{ Ve[i ] dur ( Vi , V j ) },
检测有向环的一种方法是对AOV网络构造它的拓 扑有序序列。即将各个顶点 (代表各个活动) 排列 成一个线性有序的序列，使得AOV网络中所有应 存在的前驱和后继关系都能得到满足。 这种构造AOV网络全部顶点的拓扑有序序列的运 算就叫做拓扑排序。 如果通过拓扑排序能将AOV网络的所有顶点都排 入一个拓扑有序的序列中，则该AOV网络中必定 不会出现有向环；相反，如果得不到满足要求的 拓扑有序序列，则说明AOV网络中存在有向环， 此AOV网络所代表的工程是不可行的。
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拓扑排序算法可描述如下： 入度为零的顶点入栈; 当栈不空时, 重复执行 从顶点栈中退出一个顶点, 并输出之; 从AOV网络中删去这个顶点和它发出 的边, 边的终顶点入度减一; 如果边的终顶点入度减至0, 则该顶点 进栈; 如果输出顶点个数少于AOV网络的顶点 个数, 则报告网络中存在有向环。
课程代号
C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9
课程名称
高等数学 程序设计基础 离散数学 数据结构 高级语言程序设计 编译方法 操作系统 普通物理 计算机原理
先修课程
C1, C3, C2 C5, C4, C1 C8
C2 C2 C4 C9
C8
C9
C1
C3 C4 C2
C7
C6
C5
学生课程学习工程图
算法时间复杂度分析
while( ! StackEmpty(S) ) { Pop( S, i ); //退栈 cout << i <<G.vertices[i].data; count++; //并计数
//扫描i号顶点的每个邻接点
//输出i号顶点
for(p = G.vertices[i]. firstarc;p;p=p->nextarc) { k = p->adjvex; if ( --indegree[k] == 0 ) //顶点入度减1 Push( S, k ); //顶点的入度减至零, 进栈 } } }
三、怎样求关键路径？
如何找e(i)=l(i)的关键活动？
为找出关键活动, 需要求各个活动的 e(i) 与 l(i)，
以判别是否 l(i) = e(i)。 设活动ai由弧< Vj , Vk >表示， 且活动持续时间记为dut(<j,k>), 则 e(i) = ve(j) l(i) = vl(k) - dut(<j,k>)
Status TopologicalOrder(ALGraph G,Stack &T) {
FindInDegree(G,indegree)； //对各顶点求入度 InitStack(T)；count=0； ve[0..G.vexnum-1]=0； //初始化 while(!StackEmpty(S)) //S为零入度顶点栈 { Pop(S,j)； push(T,j)； ++count； //j号顶点入T栈并计数 for(p=G.vertices[j].firstarc； p； p=p→nextarc) { k=p→adjvex； //对j号顶点的每个邻接点的入度减1 if(--indegree[k]==0) push(S,k)； if(ve[j]+*(p→info)>ve[k]) ve[k]=ve[j]+*(p→info)； } } if(count<G.vexnum) return ERROR； //该有向网有回路 else return OK；
7.5.1 拓扑排序
• AOV-网
用顶点表示活动，用边来表示活动之间的先后关
系的有向图称为顶点活动网，简称AOV-网。
例如，计算机专业学生的学习就是一个工程，每一 门课程的学习就是整个工程的一些活动。其中有些 课程要求先修课程，有些则不要求。这样在有的课 程之间有领先关系，有的课程可以并行地学习。
Status CriticalPath(ALGraph G) {
//G为有向网，输出G的各项关键活动
if(!TopologicalOrder(G,T) return ERROR; vl[0..G.vexnum-1]=ve[0..G.vexnum-1];//初始化顶点事件的最迟发生时间 while(!StackEmpty(T)) //按逆拓扑有序求各顶点的vl值 for(pop(T,j),p=G.vertices[j].firstarc；p；p=p→nextarc) { k=p→adjvex； dut=*(p→info)； if(vl[k]-dut<vl[j]) vl[j]=vl[k]-dut； } for(j=0；j<G.vexnum；++j) //求ee，el和关键活动 for(p=G.vertices[j]；p；p=p→nextarc) { k=p→adjvex； dut=*(p→info)；ee=ve[j]；el=vl[k]-dut； tag=(ee==el)?’*’:’’；printf(j,k,dut,ee,el,tag)；//输出关键活动 } }
如果AOV网络中存在环，此AOV网络所代 表的工程是不可行的。 例如, 对学生选课工程图进行拓扑排序, 得 到的拓扑有序序列为 C1 , C2 , C3 , C4 , C5 , C6 , C8 , C9 , C7 或 C1 , C8 , C9 , C2 , C5 , C3 , C4 , C7 , C6
a7=2
V6
四、算法实现
实现步骤：
①输入e条弧<j,k>，建立AOE-网的存储结构；
②从源点v0出发，令ve[0]=0，按拓扑有序求其余各顶点的
最早发生时间ve[i]（1≤i≤n-1）。如果得到的拓扑有序序列 中顶点个数小于网中顶点数n，则说明网中存在环，不能求
关键路径，算法终止；否则执行步骤③。
从源点到汇点的路径可能不止一条，并且这 些路径的长度也可能不同。 完成不同路径 的活动所需的时间虽然不同, 但只有各条路 径上所有活动都完成了, 整个工程才算完成。 因此, 完成整个工程所需的时间取决于从源 点到汇点的最长路径长度, 即在这条路径上 所有活动的持续时间之和。这条路径长度最 长的路径就叫做关键路径(Critical Path)。
要找出关键路径，必须找出关键活动, 即不 按期完成就会影响整个工程完成的活动。 关键路径上的所有活动都是关键活动。因此, 只要找到了关键活动, 就可以找到关键路径。 例如, 下图就是一个AOE网。 a4=3
V2 V5
a8=1
V6
V1
V3
V4
a7=2
二、相关术语
① 事件Vi 的最早发生时间ve(i)
< i, j > S, i = n-2, n-3, , 0 S是所有以第i个顶点为尾的弧的集合。
V2 4 V1 V3 2
j
例，求右图中 顶点V1的最迟 发生时间。
4
V2 顶点 ve vl
a4=3 6
V4
7
V5
a8=1
V1 V2 V3 V4 V5 V6
0 3 2 6 6 8
0 4 2 6 7 8
最后得到的拓扑有序序列为 C2 , C0 , C3 , C4 , C1 , C5 。它满足图中给出的所有前驱和后继关系， 对于本来没有这种关系的顶点，如C2和C4，也 排出了先后次序关系。
AOV网络及其邻接表表示
indegree data firstarc adjvex nextarc
0
1 2 3 4
7.5 有向无环图及其应用
• 有向无环图：一个无环的有向图，简称DAG图。 • 有向无环图的实际应用 有向无环图是描述工程或系统进行过程的有效工具。
对整个工程和系统，人们最关心的是两个方面的问题：
（1）工程能否顺利进行； （2）工程完成所必需的最短时间。
归结到有向图中，就是进行拓扑排序和求解关键路径的问题。
C8 C1 C9 C7 C4 C2 C6
C3
C5
拓扑排序的方法
① 输入AOV网络。令 n 为顶点个数。 ② 在AOV网络中选一个没有直接前驱的顶点, 并输出之; ③ 从图中删去该顶点, 同时删去所有它发出 的有向边; ④ 重复以上 ②、③步, 直到 全部顶点均已输出，拓扑有序序列形成， 拓扑排序完成；或 图中还有未输出的顶点, 但已跳出处理 循环。说明图中还剩下一些顶点, 它们都 有直接前驱。这时网络中必存在有向环。
拓扑排序的过程
C0 C1 C4 C0 C1 C4
C3
C2
C5
C3
C2
C5
(a) 有向无环图
C0 C1 C4
(b) 输出顶点C2
C1 C4
C3
C5
C3
C5
(c) 输出顶点C0
(d) 输出顶点C3
C1
C4
C1
C5
C5
(e) 输出顶点C4
C5
(f) 输出顶点C1 (h) 拓扑排序完成
(g) 输出顶点C5
1
C0
1
3
0
3
0 1 0 3
C1
C2
5
0
0
1 5 0
C3
C4 C5
0 1
0
C0
5 0
C1 C4
5
C3
C2
C5
在邻接表中增设一个数组indegree[ ]，记录
各顶点入度。在拓扑排序前前,初始化入度 数组。入度为零的顶点即无前驱顶点。
在算法中, 使用栈存放入度为零的顶点, 供选
择和输出无前驱的顶点。
0 V1
V3
a7=2
V6 8
2
顶点 ve
vl
V2
a4=3
V4
V5
V1 V2 V3 V4 V5 V6
0 3 2 6 6 8
0 4 2 6 7 8
a8=1
V1
V3
活动 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 e 0 0 3 3 2 2 6 6 l 1 0 4 4 2 5 6 7 l-e 1 0 1 1 0 3 0 1
在AOV网络中不能出现回路, 即环。如果 出现了环，则意味着某项活动应以自己作 为先决条件，这是荒谬的。