拓扑与最短路径
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7.5.1 拓扑排序 数学基础： 什么是拓扑排序 (Topological Sort)? 简单地说，由 某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序，这个 操作称之为拓扑排序。 回顾离散数学中关于偏序和全序的定义： 若集合X上的关系R是自反的、反对称的和传递的， 则称只是集合X上的偏序关系。 设 R 是集合 X 上的偏序 (Partial Order) ，如果对每个 x,y∈X必有xRy或yRx，则称 R是集合X上的全序关系。
例如，一个软件专业的学生必须学习一系列基本课 程，其中有些课程是基础课，它独立于其它课程，如 《高等数学》；而另一些课程必须在学完作为它的基础 的先修课程才能开始。如在《程序设计基础》和《离散 数学》学完之前就不能开始学习《数据结构》。这些先 决条件定义了课程之间的领先( 优先 ) 关系。这个关系可 以用有向图更清楚地表示。图中顶点表示课程，有向边 (弧)表示先决条件。若课程i是课程j的先决条件，则图中 有弧<i，j>。
v2
v1
v3
v4
v1
v2
v3
v4
(a)表示偏序 (b)表示全序 图1 表示偏序和全序的有向图
实际问题： 一个表示偏序的பைடு நூலகம்向图可用来表示一个流程图。它 或者是一个施工流程图，或者是一个产品生产的流程图， 再或是一个数据流图( 每个顶点表示一个过程) 。图中每 一条有向边表示两个子工程之间的次序关系 ( 领先关系 ) 。
printf(i，G.vertices[i].data)； ++count； //输出i号顶点并计数 for(p=G.vertices[i].firstarc；p； p=p->nextarc) { k=p->adivex； //对i号顶点的每个邻接点的入度减1 if(！(--indegree[k])) Push(S，k)；//若入度减为0，则入栈 }//for }//while if(count<G.vexnum) return ERROR；//该有向图有回路 else return OK； }//TopologicalSort
直观地看，偏序指集合中仅有部分成员之间可比 较，而全序指集合中全体成员之间均可比较。例如， 图所示的两个有向图，图中弧(x,y)表示x≤y，则(a)表示 偏序，(b)表示全序。若在(a)的有向图上人为地加一个 表示v2≤v3的弧(符号“≤”表示v2领先于v3)，则(a) 表 示的亦为全序，且这个全序称为拓扑有序(Topological Order) ，而由偏序定义得到拓扑有序的操作便是拓扑 排序。
Prerequisites None None C1, C2 None C4 C5 C3, C6 C3 C7, C8 C7 C10 C7 C7 C13 C6
建立模型： 用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的 有向图称为顶点表示活动的网 (Activity On Vertex Network) ，简称 AOV- 网。在网中，若从顶点 i 到顶点 j 有一条有向路径，则i是j的前驱；j是i的后继。若<i，j> 是网中一条弧，则i是j的直接前驱；j是i的直接后继。
v1 v4 v2 v3 v1 v4 (b) v2 v3 v5 (c) v4 v2 v3 v5 v2 v3 v5 (d) v5 (e) v5 (f) v2
v6 v5 (a)
图7.28 AOV-网及其拓扑有序序列产生的过程
如何在计算机中实现?
针对上述两步操作，我们可采用邻接表作有向图 的存储结构，且在头结点中增加一个存放顶点入度的 数组(indegree)。入度为零的顶点即为没有前驱的顶点， 删除顶点及以它为尾的弧的操作，则可换以弧头顶点 的入度减1来实现。 为了避免重复检测入度为零的顶点，可另设一栈 暂存所有入度为零的顶点，由此可得拓扑排序的算法。
注意： 在AOV-网中不应该出现有向环，因为存在环意味着某项活动 应以自己为先决条件。若设计出这样的流程图，工程便无法进行。 而对程序的数据流图来说，则表明存在一个死循环。因此，对给 定的 AOV-网应首先判定网中是否存在环。检测的办法是对有向 图构造其顶点的拓扑有序序列，若网中所有顶点都在它的拓扑有 序序列中，则该AOV-网中必定不存在环。
以图7.28(a)中的有向图为例，图中v1，和v6没有 前驱，则可任选一个。假设先输出 v6, 在删除 v6 及弧 <v6，v4>，<v6，v5>之后，只有顶点v1没有前驱，则 输出v1且删去v1及弧<v1，v2>、<v1，v3>和<v1, v4>， 之后v3和 v4都没有前驱。依次类推，可从中任选一个 继续进行。 最后得到该有向图的拓扑有序序列为： v6 - v1 - v4 - v3 - v2 - v5
Status Topological Sort(ALGraph G){
//有向图G采用邻接表存储结构。若G无回路，则输出 //G的顶点的1个拓扑序列并返回OK，否则ERROR。
FindInDegree(G，indegree)； //对各顶点求入度indegree[0..vernum-1] InitStack(S)； for(i=0；i<G.vexnum； ++i) if(!indegree[i]) Push(S，i) //建零入度顶点栈,s入度为0者进栈 count=0； //对输出顶点计数 while (!StackEmpty(S)) { Pop(S，i)；
Course number C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15
Course name Programming I Discrete Mathematics Data Structure Calculus I Calculus II Linear Algebra Analysis of Algorithms Assembly Language Operating Systems Programming Languages Compiler Design Artificial Intelligence Computational Theory Parallel Algorithms Numerical Analysis
例如，一个软件专业的学生必须学习一系列基本课 程，其中有些课程是基础课，它独立于其它课程，如 《高等数学》；而另一些课程必须在学完作为它的基础 的先修课程才能开始。如在《程序设计基础》和《离散 数学》学完之前就不能开始学习《数据结构》。这些先 决条件定义了课程之间的领先( 优先 ) 关系。这个关系可 以用有向图更清楚地表示。图中顶点表示课程，有向边 (弧)表示先决条件。若课程i是课程j的先决条件，则图中 有弧<i，j>。
v2
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(a)表示偏序 (b)表示全序 图1 表示偏序和全序的有向图
实际问题： 一个表示偏序的பைடு நூலகம்向图可用来表示一个流程图。它 或者是一个施工流程图，或者是一个产品生产的流程图， 再或是一个数据流图( 每个顶点表示一个过程) 。图中每 一条有向边表示两个子工程之间的次序关系 ( 领先关系 ) 。
printf(i，G.vertices[i].data)； ++count； //输出i号顶点并计数 for(p=G.vertices[i].firstarc；p； p=p->nextarc) { k=p->adivex； //对i号顶点的每个邻接点的入度减1 if(！(--indegree[k])) Push(S，k)；//若入度减为0，则入栈 }//for }//while if(count<G.vexnum) return ERROR；//该有向图有回路 else return OK； }//TopologicalSort
直观地看，偏序指集合中仅有部分成员之间可比 较，而全序指集合中全体成员之间均可比较。例如， 图所示的两个有向图，图中弧(x,y)表示x≤y，则(a)表示 偏序，(b)表示全序。若在(a)的有向图上人为地加一个 表示v2≤v3的弧(符号“≤”表示v2领先于v3)，则(a) 表 示的亦为全序，且这个全序称为拓扑有序(Topological Order) ，而由偏序定义得到拓扑有序的操作便是拓扑 排序。
Prerequisites None None C1, C2 None C4 C5 C3, C6 C3 C7, C8 C7 C10 C7 C7 C13 C6
建立模型： 用顶点表示活动，用弧表示活动间的优先关系的 有向图称为顶点表示活动的网 (Activity On Vertex Network) ，简称 AOV- 网。在网中，若从顶点 i 到顶点 j 有一条有向路径，则i是j的前驱；j是i的后继。若<i，j> 是网中一条弧，则i是j的直接前驱；j是i的直接后继。
v1 v4 v2 v3 v1 v4 (b) v2 v3 v5 (c) v4 v2 v3 v5 v2 v3 v5 (d) v5 (e) v5 (f) v2
v6 v5 (a)
图7.28 AOV-网及其拓扑有序序列产生的过程
如何在计算机中实现?
针对上述两步操作，我们可采用邻接表作有向图 的存储结构，且在头结点中增加一个存放顶点入度的 数组(indegree)。入度为零的顶点即为没有前驱的顶点， 删除顶点及以它为尾的弧的操作，则可换以弧头顶点 的入度减1来实现。 为了避免重复检测入度为零的顶点，可另设一栈 暂存所有入度为零的顶点，由此可得拓扑排序的算法。
注意： 在AOV-网中不应该出现有向环，因为存在环意味着某项活动 应以自己为先决条件。若设计出这样的流程图，工程便无法进行。 而对程序的数据流图来说，则表明存在一个死循环。因此，对给 定的 AOV-网应首先判定网中是否存在环。检测的办法是对有向 图构造其顶点的拓扑有序序列，若网中所有顶点都在它的拓扑有 序序列中，则该AOV-网中必定不存在环。
以图7.28(a)中的有向图为例，图中v1，和v6没有 前驱，则可任选一个。假设先输出 v6, 在删除 v6 及弧 <v6，v4>，<v6，v5>之后，只有顶点v1没有前驱，则 输出v1且删去v1及弧<v1，v2>、<v1，v3>和<v1, v4>， 之后v3和 v4都没有前驱。依次类推，可从中任选一个 继续进行。 最后得到该有向图的拓扑有序序列为： v6 - v1 - v4 - v3 - v2 - v5
Status Topological Sort(ALGraph G){
//有向图G采用邻接表存储结构。若G无回路，则输出 //G的顶点的1个拓扑序列并返回OK，否则ERROR。
FindInDegree(G，indegree)； //对各顶点求入度indegree[0..vernum-1] InitStack(S)； for(i=0；i<G.vexnum； ++i) if(!indegree[i]) Push(S，i) //建零入度顶点栈,s入度为0者进栈 count=0； //对输出顶点计数 while (!StackEmpty(S)) { Pop(S，i)；
Course number C1 C2 C3 C4 C5 C6 C7 C8 C9 C10 C11 C12 C13 C14 C15
Course name Programming I Discrete Mathematics Data Structure Calculus I Calculus II Linear Algebra Analysis of Algorithms Assembly Language Operating Systems Programming Languages Compiler Design Artificial Intelligence Computational Theory Parallel Algorithms Numerical Analysis