12求根公式法

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人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式

人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式
人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式
例2 用公式法解下列方程：
解：a=1，b=-4，c=-7 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×1×(-7) =44>0
b b2 4ac x
2a (4) 44 2 11
21
x1 2 11, x2 2 11
人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式
Δ=b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式.
当b2－4ac>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根；当b2－4ac=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；当b2－4ac<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.
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解：a 2，b 2 2，c 1 b2 4ac (2 2)2 4 21 0 b x1 x2 2a 2 2 2 22 2
教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式
(3)5x2-3x=x+1；
解：方程化为5x2-4x-1=0 a=5，b=-4，c=-1 Δ= b2－4ac=(-4)2-4×5×(-1)
方程无实数根
人教版九年级上册公式法——根的判别式及求根公式
思考：运用公式法解一元二次方程时，有哪些注意事项？步骤：先将方程化为一般形式，确定a,b,c的值；
计算判别式Δ=b2-4ac的值，判断方程是否有解；若Δ≥0，利用求根公式计算方程的根，若Δ<0，方程无实数根. 易错点：计算Δ的值时，注意a，b，c符号的问题.

第五讲公式法解一元二次方程和根的判别1

第五讲公式法解一元二次方程和根的判别式一、求根公式法：1.一般地，对于一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)，当时，它有两个实数根为这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做求根公式法。

2.利用公式法解一元二次方程的一般步骤：（1）先把方程化为一般形式，即a+bx+c=0(a≠0)的形式；（2）正确地确定方程各项的系数a,b,c的值（注意正负号）；（3）当-4ac<0时，方程没有实数根，就不需要解了（负数开方没有意义）；（4）当-4ac≥0时，将a,b,c的值代入求根公式，求出方程的两个根。

二、一元二次方程的几种解法的联系及其特点：1.直接开平方法：适用于解形如=m(p≠0,m≥0)的方程，是配方法的基础。

2.配方法：是解一元二次方程通用的方法，是公式法法基础，没有配方法就没有公式法。

3.公式法：是解一元二次方程通用的方法，是解一元二次方程重要的方法。

4.因式分解法：是解一元二次方程比较简单的方法，但只适用于左边易因式分解而右边为0的一元二次方程。

（各种方法各有各的特点，具体选择解法根据方程特征）三、一元二次方程根的判别式：1.-4ac叫做一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的判别式，通常用符合“△”来表示，即△=2.一元二次方程a+bx+c=0(a≠0)的根的情况与△的关系：△>0 <＝>△=0 <＝>△<0 <＝>△≥0 <＝>例1.用公式法解方程：变式1：用公式法解方程：3+5x-2=0变式2：解关于x的方程：-m(3x-2m+n)-=0例2.选择适当的方法解下列方程：（1）7(=28 (2)-2y-399=0(3)2+1=2x (4)+3(2x+1)+2=0变式1：解方程：-y=-例3.不解方程，判断下列方程根的情况:(1)2+3x-4=0 (2)3+2=2x (3)+1= (4)a+bx=0(a≠0) （5）a+c=0(a≠0)变式1：关于X的方程+m（x+1）+x=0一定有实数根吗？为什么？例4．已知关于X的方程k-4kx+k-5=0有两个相等的实数根，求K的值并解这个方程。

求根公式-

第一讲走进追问求根公式形如02=++c bx ax （0≠a ）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法．而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法．求根公式aac b b x 2422,1-±-=内涵丰富：它包含了初中阶段已学过的全部代数运算；它回答了一元二次方程的诸如怎样求实根、实根的个数、何时有实根等基本问题；它展示了数学的简洁美．降次转化是解方程的基本思想，有些条件中含有(或可转化为)一元二次方程相关的问题，直接求解可能给解题带来许多不便，往往不是去解这个二次方程，而是对方程进行适当的变形来代换，从而使问题易于解决．解题时常用到变形降次、整体代入、构造零值多项式等技巧与方法．【例题求解】【例1】满足1)1(22=--+n n n 的整数n 有个．思路点拨从指数运算律、±1的特征人手，将问题转化为解方程．【例2】设1x 、2x 是二次方程032=-+x x 的两个根，那么1942231+-x x 的值等于（）A ．一4B ．8C ．6D ．0思路点拨求出1x 、2x 的值再代入计算，则计算繁难，解题的关键是利用根的定义及变形，使多项式降次，如1213x x -=，2223x x -=．【例3】解关于x 的方程02)1(2=+--a ax x a ．思路点拨因不知晓原方程的类型，故需分01=-a 及01≠-a 两种情况讨论．【例4】设方程04122=---x x ，求满足该方程的所有根之和．思路点拨通过讨论，脱去绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解．【例5】已知实数a 、b 、c 、d 互不相等，且x ad d c c b b a =+=+=+=+1111，试求x 的值．思路点拨运用连等式，通过迭代把b 、c 、d 用a 的代数式表示，由解方程求得x 的值．注：一元二次方程常见的变形形式有：(1)把方程02=++c bx ax （0≠a ）直接作零值多项式代换；(2)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax --=2，代换后降次；(3)把方程02=++c bx ax （0≠a ）变形为c bx ax -=+2或bx c ax -=+2，代换后使之转化关系或整体地消去x ．解合字母系数方程02=++c bx ax 时，在未指明方程类型时，应分0=a 及0≠a 两种情况讨论；解绝对值方程需脱去绝对值符号，并用到绝对值一些性质，如222x x x ==．A 组1．已知a 、b 是实数，且0262=-++b a ，那么关于x 的方程1)2(22-=++a x b x a 的根为． (2001年北京市海淀区中考题)2．已知0232=--x x ，那么代数式11)1(23-+--x x x 的值是．(2001年四川省中考题)3．若142=++y xy x ，282=++x xy y ，则y x +的值为．(2001年TI 杯全国初中数学竞赛题)4．若两个方程02=++b ax x 和02=++a bx x 只有一个公共根，则( ) A ．b a = B ．0=+b a C ．1=+b a D ．1-=+b a(第十六届江苏省竞赛题) 5．当分式4312++-x x 有意义时，x 的取值范围是( )A ．1-<xB ．4>xC ．41<<-xD ．1-≠x 且4≠x(2002年重庆市竞赛题) 6．方程011)1(=+-++x x x x 的实根的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 7．解下列关于x 的方程：(1)03)12()1(2=-+-+-m x m x m ； (2)210x x --=； (3)x x x 26542-=-+．8．已知0222=--x x ，求代数式)1)(3()3)(3()1(2--+-++-x x x x x 的值．(2003年上海市中考题)9．是否存在某个实数m ，使得方程022=++mx x 和022=++m x x 有且只有一个公共的实根?如果存在，求出这个实数m 及两方程的公共实根；如果不存在，请说明理由．注：解公共根问题的基本策略是：当方程的根有简单形式表示时，利用公共根相等求解，当方程的根不便于求出时，可设出公共根，设而不求，通过消去二次项寻找解题突破口．B 组10．若0152=+-x x ，则1539222+++-x x x ＝．11．已知m 、n 是有理数，方程02=++n mx x 有一个根是25-，则n m +的值为．12．已知a 是方程020002=--x x 的一个正根。

公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析

公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点总结和重难点精析一、引言九年级数学中，一元二次方程是一个重要的知识点。

公式法解一元二次方程是求解一元二次方程的一种重要方法，而根与系数的关系也是这个知识点的重要组成部分。

掌握公式法解一元二次方程和根与系数的关系，对于提高学生解决数学问题的能力具有重要意义。

二、知识点总结1.一元二次方程的基本形式为ax²+bx+c=0(a≠0)。

它的解是x= [-b ±√(b²-4ac)] / 2a。

2.根与系数的关系是指一元二次方程的两个根x1和x2与方程的系数a、b、c之间的相互关系。

根据一元二次方程的求根公式，两个根的和为-b/a，两个根的积为c/a。

三、重难点精析1.应用公式法解一元二次方程时，首先需要将方程化为一般形式，并确定a、b、c的值。

难点在于如何找到a、b、c的值，需要根据题目中的条件进行转化。

2.根与系数的关系是难点之一，需要理解两根之和与两根之积的意义。

在解题中，通常利用根与系数的关系来求方程中字母系数的值或用字母代数式表示方程的两个根。

四、练习题1.用公式法解下列一元二次方程：(1)x²-6x+9=0;(2)3x²+4x-7=0;(3)y²+2y-1=0;(4)2x²-5x+3=0;2.已知方程x²-7x+12=0的两个根是x1和x2.求下列各式的值：(1)(x1+1)(x2+1);(2)(x1-1)(x2-1)3.根据下列各组中根与系数的关系，求下列各式的值：(1)已知x1、x2是方程x²-5x+6=0的两个根，求x1²+x2²的值;(2)已知x1、x2是方程x²-7x+12=0的两个根，求x1³-x2³的值。

五、总结本文总结了九年级数学中公式法解一元二次方程和根与系数的关系知识点，包括了一元二次方程的基本形式、解法以及根与系数的关系等重要内容。

12求根公式法

求根公式法一、知识概述1、一元二次方程的求根公式将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为．该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2、一元二次方程的根的判别式（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．二、重难点知识1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。

(1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式法”就显得多余的了。

- 1 -(2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。

(3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。

如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。

(4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。

2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点：（1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac；（2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c；（3）根的判别式是指b2－4ac，而不是三、典型例题讲解例1、解下列方程：(1)； (2)；(3).分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算，解：(1)因为a=1，，c=10- 2 -所以所以(2)原方程可化为因为a=1，，c=2所以所以.(3)原方程可化为因为a=1，，c=－1所以所以；所以．总结：- 3 -(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．例2、用适当方法解下列方程：① ②③ ④⑤ ⑥分析：要合理地选用适当的方法解一元二次方程，就必须熟悉各种方法的优缺点，处理好特殊方法和一般方法的关系。

1.2一元二次方程的解法公式法

（1）3x2+5x-1=0
解：a=3，b=5，c=-1，
b² -4ac=5² -4×3×（-1）=37>0
X= =
Х1=
Х2=
（2）4x² +1=-4x
解：移项，得4x² +4x+1=0
a=4，b=4，c=1，b² -4ac=4² -4×4×1=0
X=
X1=X2
==-
（3）x2+2x+2=0
解：a=1，b=2，c=2 ∵b² -4ac=2² -4×1×2=-4<0
2
b c b b x x a a 2a 2a
2
2
2
即
b b2 4ac x 2a 4a 2
2
b b 4ac x 2a 4a 2
2
即
b b 4ac x 2a 2a
2
一元二次方程的求根公式
4、2x² -3x-1=0
解下列方程： 1、x2=4 3、8x2-10=0；
不含一次项
2、x2－3=0； 4、2x2 =80;
对于形如x2=a(a≥0)的方程,根据平方根的定
义,可解得 x1 a , x2 a 方法叫做直接开平方法.方程的
例1、用直接开平方法解下列方程:
(1 （ ) x 18 ） 25
(a≠0, b2-4ac≥0)
b b 4ac x 2a
2
b b 4ac x 2a
2
(a≠0, b2-4ac≥0)
解一元二次方程时，把各项系数的值直接代入这个公式，若b2-4ac≥0，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方
法叫做公式法.

一元二次方程的解法：公式法

b b2 4ac x
2a
（2）当 b2 4ac 时，方程无实数解
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
解：化为一般式： 4x2 +12x 9 0
a 4,b 12,c 9
bቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 4ac 122 4 49 0
x 12 0 3
3. 公式法
偃师市大口镇中学张延峰
温故知新
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
化1:化为一般式，并将二次项系数化为1；移项：把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方 ;开方:左边降次,右边开平方; 求解:解两个一元一次方程; 定解:写出原方程的解.
用配方法解一般形式的一元二次方程
24
2
3 x1 x2 2
例 3 解方程： x 21 3x 6
解：去括号，化为一般式：
3x2 7x 8 0
a 3,b -7,c 8
b2 4ac （ 7）2 4 3 8 49 96 - 47 0
方程没有实数解。
随堂练习用公式法解下列方程：
（1） x2 4x 2
（2）5x2 4x 12 0
（3） 16x2 8x 3
课后小结
同学们，这节课你们都有哪些收获呢？
课后作业
1.课本第30页练习 2.课本第36页习题第二题的3、4
、5、6小题
再
见！
用公式法解方程：
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0
例 2 解方程：4x2 4x 10 1 8x
例 3 解方程： x 21 3x 6
例 1 解方程： 2x2 +x 6 0

专题12公式法解一元二次方程-重难点题型(学生版)

专题2.4 公式法解一元二次方程-重难点题型【题型1 用公式法解一元二次方程】【例1】（2021春•淮北月考）用公式法解方程：x 2﹣5x ﹣1＝0．【变式1-1】（2020秋•朝阳区期中）用公式法解方程：3x 2﹣x ﹣1＝0．【变式1-2】（2020春•江干区期末）解下列一元二次方程：34x 2−2x −12=0（公式法）．【变式1-3】（2020秋•达川区期末）解方程：3x 2﹣4√3x +2＝0（用公式法解）．【题型2 求根公式的应用】【例2】（2020秋•和平区期中）若一元二次方程x 2+bx +4＝0的两个实数根中较小的一个根是m （m ≠0），则b +√b 2−16=（） A ．mB ．﹣mC ．2mD ．﹣2m【变式2-1】（2020•福州模拟）关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的两根分别为x 1=−b+√b 2+42，x 2=−b−√b 2+42，下列判断一定正确的是（） A ．a ＝﹣1B ．c ＝1C ．ac ＝﹣1D ．ca =−1【变式2-2】（2020秋•宜兴市校级月考）已知a 是一元二次方程x 2﹣4x +2＝0的两个实数根中较小的根，（1）求a 2﹣4a +2013的值；（2）化简求值：√a 2−2a+1a−1−1−2a+a 2a−1．【变式2-3】先阅读下列材料，然后回答问题：在一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）中，若各项的系数之和为零，即a +b +c ＝0，则有一根为1，另一根为ca ．证明：设方程的两根为x 1，x 2，由a +b +c ＝0，知b ＝﹣（a +c ），∵x=−b±√b2−4ac2a=(a+c)±√(a+c)2−4ac2a=(a+c)±(a−c)2a∴x1＝1，x2=c a．（1）若一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的各项系数满足a﹣b+c＝0，则两根的情况怎样，试说明你的结论；（2）已知方程（ac﹣bc）x2+（bc﹣ab）x+（ab﹣ac）＝0（abc≠0）有两个相等的实数根，运用上述结论证明：2 b =1a+1c．【题型3 应用根的判别式判断方程根的情况】【例3】（2021•河南模拟）下列关于x的方程有两个不相等的实数根的是（）A．x2﹣2x+2＝0B．x（x﹣2）＝﹣1C．（x﹣k）（x+k）＝2x+1D．x2+1＝0【变式3-1】（2021•滨城区一模）关于x的一元二次方程x2+（﹣k+2）x﹣4+k＝0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定【变式3-2】（2021•凉山州）函数y＝kx+b的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2+bx+k﹣1＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【变式3-3】（2021春•鹿城区校级期中）已知a，b，c分别是△ABC的边长，则一元二次方程（a+b）x2+2cx+a+b ＝0的根的情况是（）A．没有实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．无法判断【题型4 已知方程根的情况求字母系数的值或范围】【例4】（2021•菏泽）关于x的方程（k﹣1）2x2+（2k+1）x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k＞14且k≠1B．k≥14且k≠1C．k＞14D．k≥14【变式4-1】（2021•广安）关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则a的取值范围是（）A．a≤14且a≠﹣2B．a≤14C．a＜14且a≠﹣2D．a＜14【变式4-2】（2021春•台江区校级月考）若关于x 的方程x 2−√m x +n ＝0有两个相等的实根，则m n= ．【变式4-3】（2021•海门市模拟）关于x 的方程x 2+bx +c ＝0有两个相等的实数根，x 取m 和m +2时，代数式x 2+bx +c 的值都等于n ，则n ＝．【题型5 根的判别式的综合应用】【例5】（2021•海淀区二模）关于x 的一元二次方程x 2﹣mx +2m ﹣4＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于1，求m 的取值范围．【变式5-1】（2021春•萧山区期中）已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x +3k ﹣3＝0 （1）求证：无论k 取何值，方程都有实根；（2）若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；（3）若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．【变式5-2】（2021•广东模拟）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k +2）x +2k ＝0．（1）若x ＝1是这个方程的一个根，求k 的值和它的另一根；（2）求证：无论k 取任何实数，方程总有实数根．（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．【变式5-3】（2020秋•安居区期末）已知关于x 的方程x 2﹣（m +3）x +4m ﹣4＝0的两个实数根．（1）求证：无论m 取何值，这个方程总有实数根．（2）若等腰三角形ABC 的一边长a ＝5，另两边b ，c 的长度恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．【题型6 根的判别式中新定义问题】【例6】（2021•郑州模拟）定义新运算“a *b ”：对于任意实数a ，b ，都有a *b ＝a 2+b 2﹣2ab ﹣2，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如：5*6＝52+62﹣2×5×6﹣2＝﹣1．若方程x *k ＝xk （k 为实数）是关于x 的方程，则方程的根的情况为（）A．只有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【变式6-1】（2020春•瑶海区期末）对于实数a、b，定义运算“★”：a★b={a2−b(a≤b)b2−a(a＞b)，关于x的方程（2x+1）★（2x﹣3）＝t恰好有两个不相等的实数根，则t的取值范围是（）A．t＜154B．t＞154C．t＜−174D．t＞−174【变式6-2】（2021春•瑶海区期中）对于实数m、n，定义一种运算：m△n＝mn+n．（1）求﹣2△√32得值；（2）如果关于x的方程x△（a△x）=−14有两个相等的实数根，求实数a的值．【变式6-3】（2020春•丽水期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是全等的Rt △ABC和Rt△BED的边长，易知AE=√2c，这时我们把关于x的形如ax2+√2cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0必有实数根；（2）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+√2cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC的面积．。

2122 一元二次方程的解法(二)公式法(解析版)

21.2.2一元二次方程的解法（二）公式法夯实双基，稳中求进公式法解一元二次方程知识点管理归类探究 1 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，当240b ac =->时，242b b ac x a-±-=.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：24b ac =-．①当240b ac =->时，原方程有两个不等的实数根242b b acx a-±-=；②当240b ac =-=时，原方程有两个相等的实数根； ③240b ac =-<当时，原方程没有实数根. 3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的步骤：①变形：把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求△：求出24b ac -的值；④定根：240b ac -≥若，则利用公式242b b acx a-±-=求出原方程的解；若240b ac -<，则原方程无实根.题型一：一元二次方程的求根公式【例题1】（2021·全国九年级）关于x 的一元二次方程220(0,40)ax bx c a b ac ++=≠->的根是（）A B C D 【答案】D【详解】当20,40a b ac ≠->时，一元二次方程20ax bx c ++=的求根公式为x .故选D.变式训练【变式1-1】（2020·福建省福州延安中学九年级月考）x =是下列哪个一元二次方程的根（）A ．23210x x +-=B ．22410x x +-=C ．2x 2x 30--+=D ．23210x x --= 【答案】D【分析】根据一元二次方程的求根公式解答即可．【详解】解：对于一元二次方程()200ax bx c a ++=≠，方程的根为：2b x a-=．因为x =3a =，2b =-，1c =-，所以对应的一元二次方程是：23210x x --=．故选：D ．【变式1-2】（2019·全国八年级课时练习）解下列方程，最适合用公式法求解的是( ) A ．2(26)10x =＋－ B ．2(14)x =＋ C ．2121x ＝ D ．2350x x =－－【答案】D【分析】解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法，根据每种方法的特点逐个判断即可．【详解】解：A 、用因式分解法好，故本选项错误； B 、用直接开平方法好，故本选项错误；C 、变形后用直接开平方法好，故本选项错误；D 、用公式法好，故本选项正确．故选D ．【变式1-3】（2019·全国九年级课时练习）用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是（）A ．x 1、2B ．x 1、2C ．x 1、2D ．x 1、2【答案】D【详解】∵3x 2+4=12x ， ∵3x 2-12x+4=0， ∵a=3，b=-12，c=4，∵x =，故选D.题型二：公式法解一元二次方程【例题2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级二模）解方程：()86x x +=-．【答案】14x =-24x =-【分析】将方程化为一般式，再利用公式法进行求解即可．【详解】解：原方程可化为：2860x x ++=， ∵1,8,6a b c ===， ∵2841640∆=-⨯⨯=，∵4x ==-，∵14x =-24x =-【点睛】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握公式法解一元二次方程是解题的关键．变式训练【变式2-1】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级其他模拟）解方程：2x 2＝3x －1 【答案】x 1＝1，x 2＝12【分析】将二次方程整理为二次方程的一般式，根据二次方程根的判别式可知该方程有两个不相等的实数根，代入求根公式计算即可．【详解】解：原式整理为：2x 2－3x ＋1＝0 ∵∵＝b 2－4ac ＝10>， ∵方程有两个不相等的实数根，∵x =，故1314x +＝或2314x -=得x 1＝1；x 2＝12．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，可以根据根的判别式判断根的情况，熟知公式法解一元二次方程的方法是解题关键．【变式2-2】（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）解方程：()2121x x +=- 【答案】方程没有实数根【分析】首先去括号合并同类项，化为一般式，根据0<可知，方程没有实数根．【详解】解：去括号化简得：2+20x ，224041280b ac =-=-⨯⨯=-<，∵方程没有实数根．【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．【变式2-3】（2020·永善县墨翰中学九年级月考）解方程．2820x x --= 【详解】（1）∵1a =，8b =-，2c =- ∵2(8)4(2)720∆=--⨯-=> ∵方程有两个不相等的实数根．∵4x ===±∵14x =+24x =-判别式与方程的根的关系题型三：判别式求根的个数【例题3】（2021·江苏苏州市·苏州草桥中学九年级一模）定义运算：21m n mn mn =-+☆．例如：232323217=⨯-⨯+=☆，则方程40x =☆的根的情况为（）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．只有一个实数根【答案】B【分析】根据新定义运算法则以及即可求出答案．【详解】解：由题意可知：4∵x =4x 2-4x +1=0， ∵∵=16-4×4×1=0， ∵有两个相等的实数根，故选：B ．【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是正确理解新定义运算法则，本题属于基础题型．变式训练【变式3-1】（2021·河南二模）关于x 的一元二次方程()2220x p x p -++=的根的情况是（）A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个实数根D ．无实数根【答案】C2 1.一元二次方程根的判别式（1）∵＞0∵方程有两个不相等的实数根；（2）∵＝0∵方程有两个相等的实数根；（3）∵＜0∵方程没有实数根．2. 根据一元二次方程方程根的情况可以确定△的取值范围.3. 通过配方法对△进行变形可以得到含参方程的解的情况特别说明：（1）一元二次方程根的情况与判别式∵的关系是可以双向互相推导的.（2）考查一元二次方程根的情况的时候，注意讨论参数的取值，要注意题目中是否是关于未知数的一元二次方程，因此一定不要忘记讨论二次项系数为0时的情况．【分析】先计算根的判别式得到∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，再利用非负数的性质得到∵≥0，然后可判断方程根的情况．【详解】解：∵＝[﹣（p+2）]2﹣4×2p＝（p﹣2）2，∵（p﹣2）2≥0，即∵≥0，∵方程有两个实数根．故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与∵＝b2﹣4ac有如下关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵＝0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0时，方程无实数根．x x-=-的根的情况，正确的是（）【变式3-2】（2021·河南九年级二模）关于x的方程()53A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根【答案】A【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到方程根的情况．x x-=-，即x2-5x+3=0【详解】解：∵()53∵Δ=(-5)2−4×1×3=25-12=13>0，∵原方程有两个不相等的实数根；故选择：A【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握根的判别式．【变式3-3】（2021·河南焦作市·九年级二模）已知关于x的一元二次方程2-+=，其中b，c在x bx c20数轴上的对应点如图所示，则这个方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根【答案】A【分析】由数轴可知：0b >，0c <，然后计算根的判别式的值即可得出答案．【详解】由数轴可知：0b >，0c <； ∵280b c ∆=->； ∵有两个不相等的实数根故选：A【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式的方法、某点在数轴上的位置确定其正负是解题的关键，属于基础知识题．题型四：根据根的个数求参数的取值范围【例题4】（2021·南京二模）若一元二次方程20x x a -+=有实数根，则a 的取值范围是____________．【答案】14a ≤【分析】根据判别式大于等于0即可求解．【详解】解：一元二次方程20x x a -+=有实数根 ∵2(1)40a ∆=--≥，解得14a ≤ 故答案为14a ≤．【点睛】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握相关基础知识是解题的关键．变式训练【变式4-1】（2021·山东济南市·八年级期末）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________．【答案】1k ≤【分析】根据一元二次方程判别式的性质，列一元一次不等式并求解，即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个实数根 ∵()2240k ∆=--≥ ∵1k ≤故答案为：1k ≤．【点睛】本题考查了一元二次方程、一元一次不等式的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．【变式4-2】（2021·济南期末）关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根，则a 的取值范围是（） A ．1a ≤ B ．1a < C ．1a ≤且0a ≠ D ．1a <且0a ≠【答案】C【分析】根据一元二次方程根的判别式可得440a -≥，然后求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2210-+=ax x 有实数根， ∵24440b ac a ∆=-=-≥，且0a ≠，解得：1a ≤且0a ≠；故选C ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【变式4-3】（2020·四川巴中市·中考真题）关于x 的一元二次方程x 2+（2a ﹣3）x +a 2+1＝0有两个实数根，则a 的最大整数解是（） A ．1 B ．1- C ．2- D ．0【答案】D【分析】根据一元二次方程根的情况，用一元二次方程的判别式代入对应系数得到不等式计算即可. 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程22(23)10x a x a +-++=有两个实数根，∵()22(23)410a a ∆=--+≥，解得512a ≤，则a 的最大整数值是0．故选：D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是能够熟练地掌握和运用一元二次方程根的判别式.题型五：根的判别式综合应用【例题5】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0．（1）试讨论该方程的根的情况并说明理由；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根．【答案】（1）关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m +2）x +（3m +6）＝0有实数根；（2）无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【分析】（1）求出判别式的值即可判断．（2）由无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，又m （x 2-4x+3）-2x+6=0，推出x 2-4x+3=0，且-2x+6=0即可解决问题．【详解】解：（1）对于关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0，∵∵＝[﹣（4m+2）]2﹣4m （3m+6）＝16m 2+16m+4﹣12m 2﹣24m ＝4m 2﹣8m+4＝4（m ﹣1）2≥0， ∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣（4m+2）x+（3m+6）＝0有实数根．（2）∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，又∵m （x 2﹣4x+3）﹣2x+6＝0， ∵x 2﹣4x+3＝0，且﹣2x+6＝0 解得x ＝3，∵无论m 为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为3【点睛】本题考查根的判别式，一元二次方程的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．变式训练【变式5-1】（2020·全国九年级课时练习）已知关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k +-+-=．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）任意写出一个k 值代入方程，并求出此时方程的解．【答案】（1）详见解析；（2）120,1x x ==-【分析】（1）先求出∵的值，再根据∵的意义即可得到结论；（2）任意取一个k 值代入，然后根据一元二次方程的解法解答即可. 【详解】解：（1）2(1)4(k 2)k ∆=---269k k =-+ ()230k =-≥∵0∆≥，∵方程总有两个实数根. （2）当2k =∵20x x +=解得120,1x x ==-【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，正确理解公式是解答本题的关键. 【变式5-2】（2016·甘肃白银市·中考真题）已知关于x 的方程x 2+mx+m -2=0. (1)若此方程的一个根为1,求m 的值；(2)求证：不论m 取何实数,此方程都有两个不相等的实数根. 【答案】（1）12；（2）证明见解析. 【详解】试题分析：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式∵=b 2﹣4ac ：当∵＞0，方程有两个不相等的实数根；当∵=0，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根．（1）直接把x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0求出m 的值；（2）计算出根的判别式，进一步利用配方法和非负数的性质证得结论即可．解：（1）根据题意，将x=1代入方程x 2+mx+m ﹣2=0，得：1+m+m ﹣2=0，解得：m=12；（2）∵∵=m 2﹣4×1×（m ﹣2）=m 2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4＞0，∵不论m 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．【变式5-3】（2015·四川南充市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程（x ﹣1）（x ﹣4）=p 2，p 为实数．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）p 为何值时，方程有整数解．（直接写出三个，不需说明理由）【答案】（1）见解析；（2）P=0、2、－2. 【详解】解：（1）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0， ∵∵=（﹣5）2﹣4×（4﹣p 2）=4p 2+9＞0，∵不论p 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根；（2）原方程可化为x 2﹣5x+4﹣p 2=0，∵ ∵方程有整数解，为整数即可，∵p 可取0，2，﹣2时，方程有整数解．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的情况，判别式∵的符号，把求未知系数的范围的问题转化为解不等式的问题是解题的关键．【真题1】（2011·广东深圳市·中考真题）如果关于x 的方程2x 2x m 0-+=（m 为常数）有两个相等实数根，那么m ＝______．【答案】1【详解】本题需先根据已知条件列出关于m 的等式，即可求出m 的值．解答：解：∵x 的方程x 2-2x+m=0（m 为常数）有两个相等实数根∵∵=b 2-4ac=（-2）2-4×1?m=04-4m=0m=1故答案为1【真题2】（2021·山东泰安市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程标()22120kx k x k --+-=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．14k >- B ．14k < C ．14k >-且0k ≠ D ．14k <0k ≠ 【答案】C【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k ≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“∵>0”，解这两个不等式即可得到k 的取值范围．【详解】解：由题可得：()()2021420k k k k ≠⎧⎪⎨⎡⎤---->⎪⎣⎦⎩, 解得：14k >-且0k ≠；故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求．链接中考【真题3】（2021·辽宁营口市·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，则实数m 的取值范围是_________．【答案】2m ≤【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解．【详解】解：∵一元二次方程2210x x m +-+=有两个实数根，∵()4410m ∆=--+≥，解得2m ≤，故答案为：2m ≤．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．【真题3】（2021·四川雅安市·中考真题）若直角三角形的两边长分别是方程27120x x -+=的两根，则该直角三角形的面积是（）A ．6B ．12C ．12或2D ．6或2 【答案】D【分析】根据题意，先将方程27120x x -+=的两根求出，然后对两根分别作为直角三角形的直角边和斜边进行分情况讨论，最终求得该直角三角形的面积即可．【详解】解方程27120x x -+=得13x =，24x =当3和4分别为直角三角形的直角边时，面积为134=62⨯⨯；当4为斜边，3=13=22；则该直角三角形的面积是6或2，故选：D ．【点睛】本题主要考查了解一元二次方程及直角三角形直角边斜边的确定、直角三角形的面积求解，熟练掌握解一元二次方程及勾股定理是解决本题的关键．【真题5】（2021·山东菏泽市·中考真题）关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，则k 的取值范围是（）A ．14k >且1k ≠B ．14k ≥且1k ≠C ．14k >D ．14k ≥ 【答案】D【分析】根据方程有实数根，利用根的判别式来求k 的取值范围即可．【详解】解：当方程为一元二次方程时，∵关于x 的方程()()2212110k x k x -+++=有实数根，∵()()22121410k k ∆=+-⨯⨯≥-，且 1k ≠，解得，14k ≥且1k ≠，当方程为一元一次方程时，k =1，方程有实根综上，14k ≥故选：D ．【点睛】本题考查了一元二次方程方程的根的判别式，注意一元二次方程方程中0a ≠，熟悉一元二次方程方程的根的判别式的相关性质是解题的关键．【拓展1】（2021·东莞外国语学校九年级一模）已知：关于x 的方程2x (k 2)x 2k 0-++=，（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC 的一边长a=1，两个边长b ，c 恰好是这个方程的两个根，求∵ABC 的周长．【答案】（1）证明见解析；（2）∵ABC 的周长为5．【分析】（1）根据一元二次方程根与判别式的关系即可得答案；（2）分a 为底边和a 为腰两种情况，当a 为底边时，b=c ，可得方程的判别式∵=0，可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值；当a 为一腰时，则方程有一根为1，代入可求出k 值，解方程可求出b 、c 的值，根据三角形的三边关系判断是否构成三角形，进而可求出周长．【详解】（1）∵判别式∵=[-(k+2)]²-4×2k=k²-4k+4=(k -2)²≥0，∵无论k 取任何实数值，方程总有实数根．满分冲刺（2）当a=1为底边时，则b=c，∵∵=(k-2)²=0，解得：k=2，∵方程为x2-4x+4=0，解得：x1=x2=2，即b=c=2，∵1、2、2可以构成三角形，∵∵ABC的周长为：1+2+2=5．当a=1为一腰时，则方程有一个根为1，∵1-（k+2）+2k=0，解得：k=1，∵方程为x2-3x+2=0，解得：x1=1，x2=2，∵1+1=2，∵1、1、2不能构成三角形，综上所述：∵ABC的周长为5．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系．一元二次方程根的情况与判别式∵的关系：当∵＞0时，方程有两个不相等的实数根；当∵=0时，方程有两个相等的实数根；当∵＜0，方程没有实数根；三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；熟练掌握根与判别式的关系是解题关键．。

公式法求解

要点归纳公式法解方程的步骤
1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出;
若b2-4ac<0，则方程没有实数根.
当堂练习 1.解方程：x2 +7x – 18 = 0.
解：这里 a=1, b= 7, c= -18.
注意
二公式法解方程
典例精析
例1 用公式法解方程 5x2-4x-12=0. 解：∵a 5,b 4,c 12,
x b b2 4ac 2a
b2-4ac=(-4)2-4×5×(-12)=256>0.
∴x b b2 4ac 2a
(4) 256 4 16 = 2 8
25
10
5
x1
2a
例3 解方程：x2 x 1 0（精确到0.001）.
解： a 1,b 1,c 1,
b2 4ac 12 41 (1) 5 0
x 1 5 2
用计算器求得： 5 2.2361,
x1 0.618, x2 1.618.
例4 解方程：4x2-3x+2=0
解：∵ a 4,b 3,c 2. ∴b2 4ac (3)2 4 4 2 9 32 23 0. ∵在实数范围内负数不能开平方， ∴方程无实数根.
17.2 一元二次方程的解法
17.2.2 公式法
学习目标
1.经历求根公式的推导过程.（难点） 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.(重点）
复习引入
1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？
2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0?
一求根公式的推导
合作探究

因式分解的12种方法

因式分解的12种方法因式分解是数学中常用的一种方法，可以将一个多项式或一个数分解成更简单的因子。

根据题目的不同要求，因式分解有不同的方法。

下面将介绍12种因式分解的方法。

1.找出公因子法：如果一个多项式的每一项都有相同的因子，那么可以先找出这个公因子，然后用它除去每一项。

例如，对于多项式6x+12y，可以发现每一项都有2作为公因子，因此我们可以因式分解为2(3x+6y)。

2.看作差的平方：如果一个多项式可以看作两个数的平方的差，那么可以使用差平方公式进行因式分解。

例如，x^2-4可以看作(x+2)(x-2)即(x+2)(x+(-2))。

3.提取公因子法：如果一个多项式的每一项都有相同的因子，并且多项式含有不止一个非常数项，那么可以先提取这个公因子。

例如，对于多项式2x^3+4x^2-6x，可以先提取出公因子2x，得到2x(x^2+2x-3)。

4.和差形式：如果一个多项式可以看做两个数的和或差的形式，那么使用和差的平方公式进行因式分解。

例如，x^2-4y^2可以看作(x+2y)(x-2y)。

5.分组分解法：当一个多项式无法直接因式分解时，可以通过将其分成两组，然后使用其他因式分解方法进行分解。

例如，对于多项式x^3-x^2+2x-2，可以将其分组为(x^3-x^2)+(2x-2)，然后分别因式分解得到x^2(x-1)+2(x-1)。

6.平方差公式：当一个多项式可以看做两个数的平方的差时，可以使用平方差公式进行因式分解。

例如，x^4-y^4可以通过平方差公式分解为(x^2+y^2)(x^2-y^2)。

7.次数递减法：当一个多项式的次数比较高时，可以使用次数递减法进行因式分解。

例如，对于多项式x^5-x^4+x^3-x^2+x-1，可以写成x(x^4-x^3+x^2-x+1)-1，然后继续使用次数递减法进行分解。

8.因式分解公式：当一个多项式可以看作一些因式分解公式的形式时，可以直接使用该公式进行因式分解。

因式分解16种方法

因式分解的16种方法因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。

而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。

注意三原则1分解要彻底2最后结果只有小括号3最后结果中多项式首项系数为正(例如：—3x2• x=-x3x —1)分解因式技巧1•分解因式与整式乘法是互为逆变形。

2. 分解因式技巧掌握：①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。

注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。

基本方法⑴提公因式法各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。

如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。

具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。

如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。

提出“ ”号时，多项式的各项都要变号。

提公因式法基本步骤：(1)找出公因式；(2)提公因式并确定另一个因式：①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式；③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。

口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。

例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。

求根公式法解一元二次方程及方程根的判别式的应用

1.把一元二次方程各系数直接代入求根公式，可以直接得到方程的根，这种解一元二次方程的方法叫做法。

2.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是。

3.一元二次方程的根的判别式是：△= 。

（1）当△＞0时，一元二次方程的实数根。

（2）当△= 0时，一元二次方程的实数根。

（3）当△＜0时，一元二次方程的实数根。

4.用求根公式解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式，即的形式；（2）确定，，的值；（3）计算△= b2﹣4ac的值，若△时，则将a. b.c 代入求根公式计算；（4）写出答案：x1= , x2= .5.把一元二次方程左边因式分解，使方程化成两个一次因式的积等于0，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现降次，这种解方程的方法叫法。

6.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：（1）把原方程整理成形式。

即的形式；（2）把方程的左边分解成的形式，右边为；（3）令这两个一次因式分别等于，得到两个一元一次方程；（4）分别解两个一元一次方程，求出每个方程的解；（5）写出答案。

例1、用公式法解下列方程 1，21202x x -++= 2，2121233x x --+=分析：可先将方程转化为整系数方程，再用求根公式解：1，整理得：2240x x --= a=1 b=-2 c=-4224(2)41(4)20b ac ∆=-=--⨯⨯-=212x ±∴==±即x 1=1+， x 2=1-（2）整理得：3250x x +-=a=3 b=2, c= -5△ = b 2﹣4ac=2243(5)64-⨯⨯-=∴x=214233-±-±=⨯即x 1=1 ， 253x =-。

例2.用因式分解法解下列方程。

（1）26510x x -+= （2）261360x x ++=分析：这两个方程二次项系数都不是1，但也能将左边分解为两个一次因式乘积的形式。

解：（1）26510x x-+=（2x-1）（3x-1）=0210x∴-=或310x-=即1211,.23x x==（2）261360x x++=()()32230x x++=320230x x∴+=+=或即1223,.x x=-=-例4.选择适当的方法解下列方程()21310x x--=()223)12-=【变式练习】用适当的方法解下列方程(1)()()223243x x-=- (2)()()112x x--=例5 若关于x的方程2420x x k++=有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值。

九年级数学第九讲__公式法及根的判别式

九年级数学第九讲公式法及根的判别式学习目标：1、熟记求根公式，掌握用公式法解一元二次方程.2、通过求根公式的推导及应用，渗透化归和分类讨论的思想.3、通过求根公式的发现过程增强学习兴趣，培养概括能力及严谨的学习态度.4、能不解方程，而根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况.5、培养思维的严密性、逻辑性和灵活性以及推理论证能力.学习重点：1、求根公式的推导和用公式法解一元二次方程.2、会用判别式判定一元二次方程根的情况.学习难点：1、正确理解“当240b ac -<时，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实数根. 2、运用判别式求出符合题意的字母的取值范围.课前准备：一、公式法与根的判别式的概念：利用公式()042422≥--±-=ac b a ac b b x 可以解所有的一元二次方程，用求根公式解一元二次方程的关键是先把方程化为的形式，当ac b 42-0≥时，方程的解为()042422≥--±-=ac b aac b b x ，当ac b 42-<0时，一元二次方程无解。

用公式法解一元二次方程时一定要把一元二次方程化为的形式，准确确定a 、b 、c 的值。

ac b 42-叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，即△=，“△”读作“delta ”.一元二次方程的根的情况与判别式△的关系：当0>∆时，方程有两个不相等的实数根，当0=∆时，方程有两个相等的实数根，当0<∆时，方程没有实数根。

注意：根的判别式是ac b 42-，是不带有根号的！二、求根公式的推导过程：用配方法解一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 解： c bx ax -=+2移常数项a c x ab x -=+2方程两边同除以二次项系数（由于a ≠0，因此不需要分类讨论） 222)2()2(a b a c a b x a b x +-=++两边配上一次项系数一半的平方)0(02≠=++a c bx ax )0(02≠=++a c bx ax )0(02≠=++a c bx ax22244)2(a ac b a b x -=+ 转化为n m x =+2)(的形式注：在我们以前学过的一元二次方程中，会碰到有的方程没有解。

高次方程的根的性质总结

高次方程的根的性质总结高次方程是指未知数的最高次数大于等于二次的方程。

根的性质是指方程解的分布特点和数量关系。

二、根的个数：1.一般情况下，n次方程有n个实数根或复数根。

2.根的个数与方程的系数和常数项有关。

三、根的分布：1.根的分布受到判别式的影响，判别式大于0时，根的分布为两个不相交的区间；判别式等于0时，根的分布为一个区间；判别式小于0时，根的分布在实数范围内没有解。

四、根的性质：1.实数根：方程的实数根是指在实数范围内满足方程的解。

2.重根：当方程的判别式等于0时，方程有两个相等的实数根，称为重根。

3.复数根：方程的复数根是指在复数范围内满足方程的解，形式为a+bi，其中a、b为实数，i为虚数单位。

五、根与系数的关系：1.对于一元二次方程ax^2+bx+c=0，根与系数的关系为：x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a。

2.对于高于二次的方程，根与系数的关系复杂，一般需要利用求根公式进行计算。

六、求根公式：1.一元二次方程的求根公式为：x1=(-b+√(b2-4ac))/2a，x2=(-b-√(b2-4ac))/2a。

2.高于二次方程的求根公式一般需要利用数学软件或教材中的公式进行计算。

七、解题方法：1.因式分解法：将方程进行因式分解，找出满足方程的解。

2.求根公式法：利用求根公式计算方程的解。

3.图解法：利用坐标系，通过绘制函数图像来找出方程的解。

八、注意事项：1.在解高次方程时，要注意判别式的正负性，判断根的分布情况。

2.对于复杂的方程，可以利用数学软件进行求解。

3.在解题过程中，要灵活运用各种解题方法，选择合适的方法进行求解。

习题及方法：求解方程：x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0。

这是一个三次方程，我们可以尝试因式分解法来解这个方程。

首先观察方程，我们可以尝试将其分解为三个一次因式相乘的形式。

通过尝试，我们可以找到以下因式分解：(x - 1)(x^2 - 2x + 1) = 0进一步分解得到：(x - 1)(x - 1)^2 = 0因此，我们得到三个解：x1 = 1, x2 = 1, x3 = 1求解方程：2x^4 - 5x^3 + 3x^2 - 2x + 1 = 0。

一元三次方程求根公式的解法

一元三次方程求根公式的解法一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的，用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到，即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的形式。

归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为x=A^(1/3)+B^(1/3)型，即为两个开立方之和。

归纳出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出开立方里面的内容，也就是用p和q表示A和B。

方法如下：（1）将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到（2）x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))（3）由于x=A^(1/3)+B^(1/3)，所以（2）可化为x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x，移项可得（4）x^3－3(AB)^(1/3)x－(A+B)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较，可知 (5)－3(AB）^（1/3）＝p,－(A+B)=q，化简得（6）A+B＝－q，AB＝-（p/3）^3（7）这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题，因为A 和B可以看作是一元二次方程的两个根，而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理，即（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a(9)对比（6）和（8），可令A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)可化为(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)将(9)中的A＝y1，B＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得(12)A＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)B＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)(13)将A，B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)一、(14)只是一元三方程的一个实根解，按韦达定理一元三次方程应该有三个根，不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根，另两个根就容易求出了。

求根公式法解一元二次方程的五个注意点

求根公式法解一元二次方程的五个注意点大家知道，一般地，对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)，当b 2－4ac ≥0时，方程有两个实数根：x 1,2b 2－4ac ＜0时，方程没有实数根.尽管如此，我们在具体求解时还应注意以下几个问题：一、注意化方程为一般形式例1 解方程：6x 2+3x ＝(1+2x )(2+x ).分析将原方程整理成一元二次方程的一般形式后确定a 、b 、c 的值，代入求根公式求解.解原方程可化为：4x 2－x －2＝0. 因为a ＝4，b ＝－1，c ＝－2，所以b 2－4ac ＝(－1)2－4×4×(－2)＝33＞0.所以x ，即x 1＝18+，x 2＝18. 说明对于结构较为复杂的一元二次方程，一定要依据有关知识将其化为一般形式，然后才能想到运用求根公式.二、注意方程有实数根的前提条件是b 2－4ac ≥0例2 解方程：3x 2＝5x －4.分析先移项，化原方程为一般形式，确定a 、b 、c 的值，再估算一下b 2－4ac 的值. 解移项，得3x 2－5x +4＝0.因为a ＝3，b ＝－5，c ＝4，所以b 2－4ac ＝－23＜0，因此一元二次方程无实数解. 说明由本题的求解过程，我们可以看出在解一元二次方程时，化一元二次方程为一般形式，确定a 、b 、c 的值后，估算一下b 2－4ac 的值非常重要，不然就有可能出现下列的错误：x 1,2. 三、注意a 、b 、c 的确定应包括各自的符号例3 解方程：2x 2－5x +1＝0.分析已知方程已经是一般形式，只要对号入座地写出a 、b 、c ，再求b 2－4ac 的值，最后即求解.解因为a ＝2、b ＝－5、c ＝1，所以b 2－4a ＝(－5)2－4×2×1＝17＞0.所以x (5)22--⨯＝54±，即x 1，x 2说明确定出a 、b 、c 的值，应注意两个问题：一是要化原方程为一般形式，二是要注意连同a 、b 、c 本身的符号，特别是“－”号更不能漏掉.四、注意一元二次方程如果有根，应有两个例4 解方程：x (x －＝0.分析将原方程化为一般形式后代入求根公式.解原方程可化为x 2－+3＝0.因为a ＝1、b ＝－、c ＝3，所以b 2－4a ＝(－22－4×1×3＝0.所以x(21--±⨯所以x 1＝x 2.说明当b 2－4a ＝0时表明原方程有两个相等的实数根，所以在具体作答时不能出现x.五、求解出的根应注意适当化简例5 解方程：2x 2－2x －1＝0.分析因为a ＝2，b ＝－2，c ＝－1，所以b 2－4ac ＝(－2)2－4×2×(－1)＝12. 所以x＝2b a -±＝222±⨯＝24±. 所以x 1＝231+，x 2＝231-. 说明本题利用求根公式求得的结果时应约去分子与分母中的公约数，以便使结果简便，值得注意的是，在化简时一定要注意不能出现差错.下面几道题目供同学们自己练习：用求根公式解下列方程：1，x 2－3x ＋2＝0.2，x 2+2x ＝3.3，9x 2+10x －4＝0.4，10y 2－12y +1＝0.5，3x (x －1)＋2x ＝2.6， x 2x －4＝0.7，(x)2＝x .8，3x (x －2)＝2(x －2).用求根公式解下列关于x 的方程：9，x 2+2ax +a 2－b 2＝0.10，x 2+2(p －q )x －4pq ＝0.11，(a 2－b 2)x 2－4abx ＝a 2－b 2(a 2－b 2≠0).12， (x +a )(x －b )+(x －a )(x +b )＝2a (ax －b ).参考答案：1，x 1＝1，x 2＝2；2，x 1＝－3，x 2＝1；3，x ＝59-±；4，x ＝610±；5，x 1＝1，x 2＝23；6，x ＝2±；7，x 1＝x 2；8，x 1＝2，x 2＝23，9，x 1＝－a －b ，x 2＝－a +b ；10，x 1＝－2p ，x 2＝2q ；11，x 1＝－a b a b -+，x 2＝a b a b +-；12，x 1＝0，x 2＝a 2.。

巧用求根公式分解因式

巧用求根公式因式分解黄国强（无为县泉塘中学）1.微课目标：（1）根据学生已有认知基础通过求根公式的探究，让学生通过观察、猜想、验证发现因式分解的另一基本方法——公式法；（2）掌握因式分解的方法——求根公式法。

2.微课设计：2．1问题呈现问题1: 2222(1)2(2)32(3)441(4)322x x x x x x x x ---+-++--以上四个式子有什么共同点？让学生通过观察发现未知数x 的最高次数是2次，并且有一次项和常数项，共有三项。

从而我们把2(0,0,0)axbx c a b c ++构叫做关于X 的二次三项式。

问题2：利用已学知识将下列二次三项式因式分解 2222(1)2(2)32(3)441(4)22x x x x x x x x ---+-++--(1)原式= (x+1)(x-2)………………………十字相乘法(2)原式=- (x-1)(x-2) ………………………十字相乘法(3)原式=2(21)X +………………………完全平方公式那么第（4）小问能否因式分解呢？若能，它等于什么呢？2．2探究活动问题3：完成下列题目：1. 2690x x ++=的解是＿123x x ==-＿则分解因式269x x ++=2(3)x +2. 2760x x -+=的解是＿121,6x x ==＿则分解因式276x x -+=（x-1）(x-6) 3. 241290x x -+=的解是＿1232x x ==＿＿则分解因式24129x x -+= 223(23)4()2x x -=- 4. 23740x x ++=的解是＿124,13x x =-=-＿＿则分解因式2374x x ++= (34)(1)x x ++= 43()(1)3x x ++ 通过以上各式，你能发现什么规律吗？如果20(0)ax bx c a ++=≠的解是12,x x ，那么分解因式212(0)()()ax bx c a a x x x x ++≠=--这个结论怎样证明？证明：当一元二次方程有解时即 0∆≥20(0)ax bx c a ++=≠的两根分别记为12,x x则12,22b b x x a a --==1212,b c x x x x a a∴+=-= 就是1212(),b cx x x x a a=-+= 22()b c ax bx c a x x a a∴++=++=2121212[()]()()a x x x x x x a x x x x -++=-- 2.3例题讲解：用求根公式法把下列多项式分解因式1．222x x -- 2. 225x x --3. 221012x x -+4. 256x x -- 解：（1）24120b ac D =-=则这两方程的实数根是1211x x =-=+ 222x x --(11x x =-+-- （2）24240b ac ∆=-=则这两方程的实数根是1211x x ==+ 225x x -- (11x x =-+-- （3）224420b ac ∆=-== 则这两方程的实数根是123,2x x =-=- 2210122(2)(3)x x x x -+=--（4） 224225150b ac ∆=-==则这两方程的实数根是 127,8x x ==- 256(7)(8)x x x x \--=+- 2.4总结方法：一般地, 用求根公式把ax2+bx+c(a ≠0)分解因式的步骤:第一步:先判定△ , △≥0时可因式分解.当△是一个完全平方数(式)时,根是一个有理数且在有理数范围内分解因式,当△不是一个完全平方数时,根是一个无理数时且在实数范围内分解因式.△＜0 不能因式分解。

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