《二面角及其度量》知识讲解
3.2.4二面角及其度量
注：二面角的平面角取值范围是: [ 00,1800]
思02考:00 ?? ∠ A`P`B` 与∠ APB是否相等? 相等(利用等角定理)
注： 二面角的平面角的特点：
A
O
1）角的顶点在棱上 2）角的两边分别在两个面内 3）角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
O B
(1) 02:00
(2)
10
二. 求找二面角的平面角的常用方法(1)
βB
ιO
P Aα
∴ι⊥平面PAB
∴∠AOB为二面角α–ι–β的平面角
又∵PA=5，PB=8，AB=7 由余弦定理得 cosP 1
2
∴∠P= 60º ∴∠AOB=120º
∴这二面角的度数为120º
02:00
二面角
基础练 习
1、如图，AB是圆的直径，PA垂 P
直圆所在的平面，C是圆上任一点，
则二面角P-BC-A的平面角为:
二面角 一、 二面角及二面角的平面角
1、二面角的定义
从空间一直线出发的两个半
α
平面所组成的图形叫做二面角
ι
β
记作：
2、二面角的平面角
一个平面垂直于二面角 的棱，并与两半平 面 分 别 相 交 于 射 线 PA 、 P B
γ` P`ι
β
B` A`
γP
B
αA
垂足为P，则∠APB叫做二面
角 的平面角
①、点P在棱上 —定义法 ②、点P在一个半平面上 —三垂线定理法 ③、点P在二面角内 —垂面法
ι
α
β
p
A
B
B
ι
pβ
α
A
β
B
p
3.2.4二面角及其度量(共40张)
D1
①证明：以 DA、DC、DD1为正交基底， A1 建立空间直角坐标系如图。则可得
M
所以MA (2，0，1)，MC (0，2，1)，
B1O (1，1， 2)
D O
A(2，0，0)，C(0，2，0)，M (0，0，1)， A
B1(2，2，2)，O(1，1，0)。
x
B1O MA 2 0 2 0，B1O MC 0 2 2 0
二面角的大小用它的平面角来度量
∠A O B
？ ∠A1O1B1
B1
B
平面角是直角的二面 角叫做直二面角
l
O1 O
A A1
9
第5页，共40页。
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个 面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射 线所成的角叫做二面角的平面角。
A
O
二面角的平面角必须(bìxū)满足：
1）角的顶点在棱上
B
FA
M
C 第21页，共40页。
射影(shèyǐng) 法是不找平面角求二面角的一种方法:
A
B
O
D
C
第22页，共40页。
已知：如图⊿ABC的顶点A在平面M上的射 影(shèyǐng)为点A`， ⊿ABC的面积是S， ⊿A`BC的 面积是S`，设二面角A-BC-A`为
求证：COS = S` ÷ S
切(zhèngqiē)值是_______.
2
No
Image
第8页，共40页。
小结 ： (xiǎojié)
1.异面直线所成角：
cos | cos a,b |
C
D
a
a
A
D1
bB
2.直线与平面所成角：
sin | cos n, AB |
新高一数学二面角知识点
新高一数学二面角知识点一、二面角的定义二面角是指两个位于同一平面的射线，它们的起始点相同但是方向不同的角。
如图所示：（插入图片）在图中，OA和OB是位于同一平面的两个射线，它们的起始点O相同，但是方向不同，所以∠AOB是一个二面角。
二、二面角的度量二面角的度量可用度、分、秒或弧度表示。
常用的单位是度，用符号°表示。
（表格）其中，一周等于360°，一度等于60分，一分等于60秒。
三、二面角的分类根据二面角的大小和位置关系，二面角可以分为四类：锐角、直角、钝角和平角。
1. 锐角：度数大于0°且小于90°的二面角称为锐角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个锐角，它的度数大于0°且小于90°。
2. 直角：度数等于90°的二面角称为直角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个直角，它的度数等于90°。
3. 钝角：度数大于90°且小于180°的二面角称为钝角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个钝角，它的度数大于90°且小于180°。
4. 平角：度数等于180°的二面角称为平角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个平角，它的度数等于180°。
四、二面角的性质1. 锐角的余角等于钝角。
2. 钝角的余角等于锐角。
3. 直角的余角等于直角。
4. 平角的余角等于平角。
5. 互补的二面角加起来等于平角。
6. 互补的二面角的余角相等。
7. 任意一锐角的余角是唯一的。
五、二面角的应用1. 几何中常用的二面角有直角、钝角和锐角，它们在三角函数等计算中具有重要的作用。
2. 二面角的概念也应用于立体几何及解析几何等领域。
六、总结二面角是高中数学中的重要概念，在几何和三角函数等计算中都有广泛的应用。
通过学习二面角的定义、度量和性质，我们能够更好地理解和应用数学知识。
空间向量应用-二面角
04
二面角的应用
在几何学中的应用
向量投影
在求解向量的投影时，可以利用二面 角的概念，通过计算向量在某一平面 上的投影长度，来得到该向量与该平 面的夹角。
向量夹角
二面角的概念可以用于计算两个向量 的夹角，通过比较两个向量的夹角与 二面角的夹角，可以判断两个向量的 方向关系。
在物理学中的应用
力的合成与分解
建筑设计
在建筑设计中，利用二面角的概念可以确定建筑物的位置、方向和高度等信息， 以保证建筑物的安全和稳定性。
05
空间向量与二面角的关系
向量与二面角的关联
向量是既有大小又有方向的量，其大 小和方向可以用来表示二面角的大小 和方向。
二面角的大小和方向可以通过两个向 量的夹角来描述，这个夹角就是二面 角的平面角。
二面角的向量定义
总结词
二面角的向量定义是通过向量的投影 和叉积来定义的，它是一个标量值， 其大小等于两个向量的叉积的绝对值 再除以两向量的模的乘积。
详细描述
二面角的向量定义是通过向量的投影和叉积来 描述的。设两非零向量a和b分别属于两个半平 面，那么二面角θ的大小可以用公式 ∣a×b∣/∣a∣∣b∣表示，其中a×b表示向量a和b 的叉积，∣a∣和∣b∣分别表示向量a和b的模。这 个标量值的大小就等于二面角θ的大小。
二面角的性质
总结词
二面角具有一些重要的性质，如二面角的取值范围是[0,π]，二面角的大小与观察方向有关，以及二面角的补角等 于其平面角的补角等。
详细描述
首先，二面角的取值范围是[0,π]，这是由其几何定义直接得出的。其次，二面角的大小与观察方向有关，即观察 方向的不同可能导致二面角的大小发生变化。最后，二面角的补角等于其平面角的补角，这是由向量的性质得出 的。
第十一讲 二面角及其度量
二面角及其度量同学们可能经常谈论**同学是白羊座的，**同学是双子座的．可是你知道十二星座的由来吗？我们知道，地球绕太阳公转的轨道平面称为“黄道面”．黄道面与地球赤道面交角(二面角的平面角)为23°27′，它与天球相交的大圆为“黄道”．黄道及其附近的南北宽8°以内的区域称为黄道带．黄道带内有十二个星座，称为“黄道十二宫”．从春分(节气)点起，每30°便是一宫，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、双子座等等，这便是星座的由来．今天我们研究的问题之一就是二面角的平面角问题.1.二面角的定义及表示方法(1)平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做________．(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做________；这条直线叫做二面角的________，每个半平面叫做二面角的________．棱为l，两个面分别为α，β的二面角，记作___________．若A∈α，B∈β，二面角也可以记作____________．(3)二面角的平面角在二面角α－l－β的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做________________________．(4)二面角的范围是[0，π]．(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角．名师点拨：(1)二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形．(2)符号α－l－β的含义是棱为l，两个面分别为α，β的二面角．(3)两个平面相交，构成四个二面角．2．设m1⊥α，m2⊥β，则角<m1，m2>与二面角α－l－β_________________.用三垂线定理或特殊图形求二面角【典题导入】【亮点题】例题1、如图，在四面体P－ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝AC＝PC，求二面角B－AP－C的大小．考点1[思路分析] 首先考虑要作出二面角的平面角，可考虑通过B 向AC 作垂线．[解析] 如图，过B 作BM ⊥AC 于M ，过M 作MN ⊥AP 于N ，连接BN ，由三垂线定理知：BN ⊥PA.【方法提炼】[方法总结] 利用三垂线定理作角时，在作垂线时一般利用面面垂直先作出垂线，确定垂足的位置． 【小试牛刀】练1：如图：ABCD 是正方形，V 是平面ABCD 外一点，且VA ＝VB ＝VC ＝AB ，求二面角A —VB—C 的大小．[解析] 取VB 的中点为E ，连接AE ，CE.∴∠MNB 为所求二面角的平面角， 设AB ＝BC ＝AC ＝PC ＝1， ∴BM ＝32，MN ＝24， ∴tan ∠MNB ＝3224＝ 6.故∠MNB ＝arctan 6，即所求二面角B －AP －C 的大小为arctan 6.∵VA＝AB＝BC＝VC，∴AE⊥VB.∴CE⊥VB.∴∠AEC是二面角A—VB—C的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝32a，AC＝2a，由余弦定理可知：cos∠AEC＝(32a)2＋(32a)2－(2a)22×32a×32a＝－13，∴所求二面角A—VB—C的大小为π－arccos 1 3.向量法求二面角的平面角【典题导入】【亮点题】例2：已知PA⊥平面ABC，AC⊥BC ，PA=AC=1， BC=2. 求二面角A-PB-C的余弦值.考点2[思路分析] 当二面角的平面角不易作出，空间直角坐标系又易建立时，可考虑法向量法求二面角大小．设平面P AB 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·AP →＝0m ·AB →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y ，z )·(0，0，1)＝0(x ，y ，z )·(2，1，0)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧z ＝0y ＝－2x，令x ＝1，则m ＝(1，－2，0)设平面PBC 的法向量为n ＝(x ′，y ′，z ′)，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·CB →＝0n ·CP →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧(x ′，y ′，z ′)·(2，0，0)＝0(x ′，y ′，z ′)·(0，－1，1)＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝0，y ′＝z ′.令y ′＝－1，则n ＝(0，－1，－1)， ∴cos<m ，n >＝m ·n |m ||n |＝33.由图可知二面角A －PB －C 是锐角， ∴二面角A －PB －C 的余弦值为33.【方法提炼】当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法解较为简捷，用法向量求二面角的大小时，有时不易判断两法向量的夹角的大小是否是二面角的大小(相等还是互补)，但我们完全可以根据图形观察得到结论，这是因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是很明显的． 【小试牛刀】如图，四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD.底面ABCD 为边长是1的正方形，PA ＝1，求平面PCD 与平面PAB 夹角的大小．[分析] 解答本题可首先求出平面PCD 和平面PAB 的法向量，再求其夹角大小，然后转化为平面PCD 与平面PAB 夹角的大小．[解析] 如图建立空间直角坐标系．平面P AB 的法向量AD →＝(0,1,0)，DC →＝(1,0,0)，PD →＝(0,1，－1)．与空间角有关的翻折问题及最值问题【典题导入】【亮点题】例3.正三角形ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E 、F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A —DC —B(如图②)．在图②中求平面ABD 与平面EFD 所成二面角．[思路分析] 翻折问题注意长度和角度的变化．本题中AD ，DB ，DE ，DF ，AC ，BC 均未变化，而AB ，EF 发生了长度变化．考点2[解析] 方法一：由已知CD ⊥AD ，CD ⊥BD ， ∴∠ADB 就是直二面角A —CD —B 的平面角， ∴AD ⊥BD .以D 为原点建立空间直角坐标系，如图，则D (0,0,0)、A (0,0,2)、B (2,0,0)、C (0,23，0)，E 、F 分别是AC 、BC 的中点， ∴E (0，3，1)，F (1，3，0)．设m ＝(x ，y ，z )是平面DEF 的一个法向量． 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·DE →＝0m ·DF →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋z ＝0x ＋3y ＝0，令y ＝1.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝1z ＝－3，∴m ＝(－3，1，－3)．同理可求得平面ABD 的一个法向量n ＝(0,1,0)， ∴cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝17＝77.∴平面ABD 与平面EFD 所成的角为arccos 77.【小试牛刀】如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都是4，E是BC的中点，动点F在侧棱CC1上，且不与点C重合．设锐二面角C－AF－E的大小为θ，求tanθ的最小值．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，一、选择题1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是()A．相等B．互补C．相等或互补D．不能确定[答案]C[解析]二面角的两个面对应平行，当方向相同时，两个二面角大小相等，当方向不同时，两个二面角大小互补．2．已知平面α内有一个以AB为直径的圆，P A⊥α，点C在圆周上(异于点A，B)，点D、E分别是点A在PC、PB上的射影，则()A．∠ADE是二面角A—PC—B的平面角B．∠AED是二面角A—PB—C的平面角C．∠DAE是二面角B—P A—C的平面角D．∠ACB是二面角A—PC—B的平面角[答案]B[解析]由二面角定义及三垂线定理知选B.3．正方形ABCD所在平面外一点P，P A⊥平面ABCD，若P A＝AB，则平面P AB与平面PCD所成的角的度数为()A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] B[解析] ∠DP A 为二面角平面角，而在Rt △P AD 内，∠APD ＝45°.故选B.4．如图正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1和DD 1的中点，则平面ECF 与平面ABCD 的夹角的余弦值为( )A.33B ．63 C.13 D ．23[答案] B[解析] 以A 为坐标原点建系，由法向量法，可得cos θ＝63. 5．已知ABCD 是正方形，E 是AB 的中点，将△DAE 和△CBE 分别沿DE 、CE 折起，使AE 与BE 重合，A 、B 两点重合后记为点P ，那么二面角P －CD －E 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] A[解析] 取CD 中点F ，由二面角定义知∠PFE 为其平面角，设PE ＝a ，则EF ＝2a ，∴sin θ＝a 2a ＝12， ∴二面角P —CD —E 为30°.6．在边长为a 的正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，BC ＝12a ，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[答案] C[解析] ∠BDC 就是二面角B －AD －C 的平面角． ∵cos ∠BDC ＝BD 2＋DC 2－BC 22BD ·DC ＝14a 2＋14a 2－14a22×12a ×12a ＝12，∴∠BDC ＝60°. 二、填空题7．如图，二面角α－l －β的大小是60°，线段AB ⊂α.B ∈l ，AB 与l 所成的角为30°，则AB 与平面β所成的角的正弦值是________．[答案]34[解析] 过点A 作平面β的垂线，垂足为C ，在平面β内过C 作l 的垂线．垂足为D ，连结AD ，由三垂线定理可知AD ⊥l ，故∠ADC 为二面角α－l －β的平面角，为60°，又由已知，∠ABD ＝30°，连结CB ，则∠ABC 为AB 与平面β所成的角．设AD ＝2，则AC ＝3，CD ＝1，AB ＝AD sin30°＝4，∴sin ∠ABC ＝AC AB ＝34.8．正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为23，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为________．[答案] 60°[解析] 设一个侧面面积为S 1，底面面积为S ，则这个侧面在底面上射影的面积为S3，由题意，得S 1S ＝23，设侧面与底面所成二面角为θ，则cos θ＝13S S 1＝S 3S 1＝12，∴θ＝60°.三、解答题9.如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥底面ABCD ，CD ⊥PD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3.点E 在棱P A 上，且PE ＝2EA .求二面角A —BE —D 的大小．[解析] 以B 为原点，以BC 、BA 、BP 分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．设平面EBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y,1)， 因为BE →＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·BE →＝0n 1·BD →＝0得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＋1＝0，3x ＋3y ＝0.所以⎩⎨⎧x ＝12，y ＝－12.于是n 1＝⎝⎛⎭⎫12，－12，1.又因为平面ABE 的一个法向量为n 2＝(1,0,0)， 所以，cos 〈n 1，n 2〉＝16＝66. 所以，二面角A —BE —D 的大小为arccos 66.一、选择题1．二面角的棱上有A 、B 两点，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB .已知AB ＝4，AC ＝6，BD ＝8，CD ＝217，则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°[答案] C[解析] 由条件，知CA →·AB →＝0，AB →·BD →＝0， CD →＝CA →＋AB →＋BD →.∴|CD →|2＝|CA →|2＋|AB →|2＋|BD →|2＋2CA →·AB →＋2AB →·BD →＋2CA →·BD → ＝62＋42＋82＋2×6×8cos 〈CA →，BD →〉 ＝(217)2，∴cos 〈CA →，BD →〉＝－12，即〈CA →，BD →〉＝120°， ∴二面角的大小为60°，故选C.2．如图所示，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B ．34C.33D ．233[答案] D[解析] 如图所示，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB ，OC ，OF 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝⎛⎭⎫32，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，0，12，C ⎝⎛⎭⎫0，12，0，D (－32，0,0)，结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎫0，12，0且OC →为面BOF 的一个法向量，由BC →＝⎝⎛⎭⎫－32，12，0，FB →＝(32，0，－12)，可求得面BCF的一个法向量n ＝(1，3，3)．∴cos 〈n ，OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277，∴tan 〈n ，OC →〉＝233.3.如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A —DE —B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为( )A ．45°B ．90°C ．135°D ．180°[答案] B[解析] 建系如图所示，由题意知△ABE 为等腰直角三角形，设CD ＝1，则BE ＝1，AB ＝1，AE ＝2，设BC ＝DE ＝2a ，则E (0,0,0)，A (1,0,1)，N (1，a,0)，D (0,2a,0)，M (12，a ，12)，所以MN →＝(12，0，－12)，AE →＝(－1,0，－1)，所以MN →·AE →＝(12，0，－12)·(－1,0，－1)＝0.故AE →⊥MN →，从而MN与AE 所成的角为90°.4．三棱锥S －ABC 中， ∠SBA ＝∠SCA ＝90°，△ABC 是斜边AB ＝a 的等腰直角三角形，则以下结论中：①异面直线SB 与AC 所成的角为90°；②直线SB ⊥平面ABC ；③平面SBC ⊥平面SAC ；④点C 到平面SAB 的距离是12a .其中正确结论的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[答案] D[解析] 由题意知AC ⊥平面SBC ，故AC ⊥SB ，∴SB ⊥平面ABC ，平面SBC ⊥平面SAC ，故①②③正确；取AB 的中点E ，连结CE ，可证得CE ⊥平面SAB ，故CE 的长度即为C 到平面SAB 的距离，其值为12a ，故④正确．二、填空题5．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长都相等，E 为BB 1的中点，则平面AEC 与平面ABC 的夹角为________．[答案] π6[解析] 以AC 中点为空间坐标系原点建系，平面ABC 的法向量n 1＝(0,0,1)，由OA →＝(0，－1,0)，AE →＝(3，1,1)．n 2＝(－1,0，3)∴cos 〈n 1，n 2〉＝32，∴〈n 1，n 2〉＝π6. 6．(2013·龙岩高二检测)设平面ABC 的一个法向量为m ＝(1,1,0)，平面ABD 的一个法向量为n ＝(1,0，－1)，则二面角C －AB －D 的大小为________．[答案] 60°或120°[解析] 由二面角定义得cos<m ，n >＝12·2＝12， ∴<m ，n >＝60°或120°.即二面角C －AB －D 的大小为60°或120°.7．已知点E 、F 分别在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱BB 1、CC 1上，且B 1E ＝2EB ，CF ＝2FC 1，则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于________．[答案]23[解析] 本小题考查的内容是二面角的求法，可采用几何法或向量法．方法一：(几何法)如图，延长FE 交BC 于P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线，连结AC ，w∵PB ＝BC ，∴∠CAP ＝90°.由三垂线定理，∴∠F AP ＝90°， ∴∠F AC 为二面角的平面角． ∴tan ∠F AC ＝FC AC ＝232＝23.方法二：(向量法)建立如图，令棱长为3，∴A (3,0,0)，E (3,3,1)，F (0,3,2)， 平面ABC 的法向量为(0,0,1)，设平面AEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧n ·AE →＝0n ·AF →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3y ＋z ＝0－3x ＋3y ＋2z ＝0，令x ＝1，∴z ＝3，y ＝－1，∴n ＝(1，－1,3)，令平面夹角为θ，∴cos θ＝31×|n |＝311，sin θ＝211，∴tan θ＝23.三、解答题8．如图，在四棱锥P －ABCD 中，平面P AB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方形，△P AB 为等边三角形．求二面角B－AC －P 的大小．[解析] 建立如图的空间直角坐标系O －xyz ，则A (－1,0,0)，B (1,0,0)，P (0,0，3)，C (1,2,0)．∴P A →＝(－1,0，－3)，PC →＝(1,2，－3)，OP →＝(0,0，3)，设n ＝(x ，y ，z )为平面P AC 的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·P A →＝0，n ·PC →＝0，∴⎩⎨⎧－x －3z ＝0，x ＋2y －3z ＝0，令z ＝1，得x ＝－3，y ＝3， 得n ＝(－3，3，1)．又∵OP →是平面ABCD 的一个法向量，设二面角B －AC －P 的大小为θ，且为锐角，则cos θ＝|cos<n ，OP →>|＝|n ·OP →|n |·|OP →||＝37×3＝77，∴二面角P －AC －B 的大小约为arccos77. 9．如图，在直三棱柱A 1B 1C 1－ABC 中，AB ⊥AC ，AB ＝AC ＝2，A 1A ＝4，点D 是BC 的中点．(1)求异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值； (2)求平面ADC 1与平面ABA 1所成夹角的正弦值．[解析] (1)以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，A 1(0,0,4)，C 1(0,2,4)，所以A 1B →＝(2,0，－4)，C 1D →＝(1，－1，－4)．因为cos 〈A 1B →，C 1D →〉＝A 1B →·C 1D →|A 1B →||C 1D →|＝1820×18＝31010，所以异面直线A 1B 与C 1D 所成角的余弦值为31010.(2)设平面ADC 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 因为AD →＝(1,1,0)，AC 1→＝(0,2,4)， 所以n 1·AD →＝0，n 1·AC 1→＝0，即x ＋y ＝0且y ＋2z ＝0，取z ＝1，得x ＝2，y ＝－2， 所以，n 1＝(2，－2,1)是平面ADC 1的一个法向量． 取平面AA 1B 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)， 设平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的大小为θ. 由|cos θ|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|＝29×1＝23，得sin θ＝53. 因此，平面ADC 1与平面ABA 1所成二面角的正弦值为53.。
2022年《二面角及其度量》教学优秀教案
二面角及其度量
教学目标：掌握二面角的概念及其表示方法，会求二面角。
教学重点：求二面角
教学过程
一、复习引入
如何应用向量法求空间中两条异面直线所成角以及直线与平面所成角？
思考：如何定义空间中两个平面所成角？能否运用平面的法向量求出两平面所成角？
二、概念生成
1.二面角的概念：
平面内的一条直线把平面分为两个局部，其中的每一局部叫做射线；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的半面，.假设棱为，两个面分别为的二面角记为.
2.二面角的图形表示：
第一种是卧式法，也称为平卧式：第二种是立式法，也称为直立式：
3.二面角的平面角：
过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条线，那么叫做二面角的平面角
规定：〔1〕二面角的平面角范围是；〔2〕二面角的平面角为直角时，那么
称为直二面角。
三、例题讲解
应用法向量求解二面角
【根本原理1】从二面角的定义出发，通过二面角棱在两个半平面内的法向量，求二面角.
例1.如图，平面，，，，，求二面角的大小.
【根本原理2】设分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量的夹角
为，那么构成二面角的两个平面的法向量的夹角与二面角的平面角．
图1 图2
规律总结：假设在上图1中，我们称指向二面角内侧，指向二面角外侧，那么当与指向二面角侧时，二面角大小与法向量成角相等；
当与指向二面角侧时，二面角大小与法向量成角互补。
例2.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小．
O〔A〕
四、课堂总结。
课件8：3.2.4 二面角及其度量
解：(1)在梯形 ABCD 中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3， ∴AF＝3. 又 AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3， 在线段 AF 上取点 Q，使 AQ＝21QF，连接 PQ，QE， ∵AP＝21PD，∴PQ 綊13DF，∵CE 綊13DF，∴CE 綊 PQ，
∴四边形 ECPQ 为平行四边形，∴CP∥EQ， ∵CP⊄平面 ABEF，EQ⊂平面 ABEF，∴CP∥平面 ABEF.
初试身手
1．如果一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面
角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是( )
A．相等
B．互补
C．相等或互补
D．不能确定
【解析】由二面角的概念，知这两个二面角大小相等或 互补． 【答案】C
2．三棱锥 A-BCD 中，平面 ABD 与平面 BCD 的法向量
分别为 n1，n2，若〈n1，n2〉＝π3，则二面角 A-BD-C
(1)证明：∵平面 VAD⊥平面 ABCD，交线为 AD.
AB⊂平面 ABCD，AB⊥AD.
∴AB⊥平面 VAD.
(2)解：如图，取 VD 的中点 E，连接 AE，BE.
∵△VAD 是正三角形，
∵AE⊥VD，AE＝
3 2 AD.
∵AB⊥平面 VAD，∴AB⊥AE. 又由三垂线定理知 BE⊥VD.
跟踪训练 2．如图所示，四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为矩 形，平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证：AB⊥PD. (2)若∠BPC＝90°，PB＝ 2，PC＝2，问 AB 为何值时，四 棱锥 P-ABCD 的体积最大？并求此时平面 PBC 与平面 DPC 夹角的余弦值．
(1)证明：因为 ABCD 为矩形，故 AB⊥AD； 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 AB⊥平面 PAD，故 AB⊥PD. (2)解：过点 P 作 PO⊥AD 于点 O， 则 PO⊥平面 ABCD，过点 O 作 OM⊥BC 于点 M，
课件5：3.2.4二面角及其度量
角都是二面角的平面角．
二面角θ的范围为θ∈[0，π]．
直二面角
平面角是直角的二面角叫做直二面角.互相垂直平
面也就是相交成直二面角的两个平面.
我们可用向量的夹角来研究二面角的性质及其度量
(1)如图，分别在二面角α—l—β的面α、β内，并
沿α、β延伸的方向，作向量n1⊥l，n2⊥l，则
〈n1，n2〉等于该二面角的平面角.
36＋16＋64－68 48 1
即 cos x＝
＝ ＝ ，
96
96 2
得x＝60°.
因此，所求二面角的度数为60°.
例2 已知：二面角α—l—β的大小为θ (0≤θ≤
2
)，
在α内有△ABC，它在β内的射影为△A′BC，它
们的面积分别为S，S′，
则有S`=Scosθ.
证明：不妨假设△ABC的边BC在l上（如图），
作BC边上的高AD，AD在β内的射影为A`D.根据
正射影的性质，知
A`D=ADcosθ.
S`=
BC×A`D= BC×Adcosθ=
2
2
Scosθ.
例3 已知ABCD为直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，
SA垂直平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=
求平面SAB与SCD的夹角的正切（如图）.
换用坐标表示，得
(x,y,z)·( ，0，-1)=0，
2
(x,y,z)·(1，1，-1)=0.
即 x-z=0
2
x+y-z=0
把z作为已知数，解此方程组，得x=2z，y=-z.
cos<i,n>=
=
·
·||
(,−,)·(,,)
高中数学 同步教学 直线与平面的夹角 二面角及其度量
题型一
题型二
题型三
题型四
用定义法求直线与平面所成的角
【例 1】 已知∠BOC 在平面 α 内,OA 是平面 α 的一条斜线,若
∠AOB=∠AOC=60°,OA=OB=OC=a,BC= 2, 求与平面所成
角的大小.
分析:解答本题可找出点A在平面内射影的位置,作出线面角,然后
解三角形求出线面角.
所有直线所成角中最小的角.
【做一做2】 已知一条直线与平面的夹角为30°,则它和这个平面
内所有直线所成角中最小的角为(
)
A.30° B.60° C.90° D.150°
答案:A
3.二面角的定义及表示方法
(1)平面内的一条直线把平面分为两部分,其中的每一部分都叫做
半平面.
(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角;这条
A. B. C. D.
2 3
3
2
解析:如图,设 BC 的中点为 E,底面正三角形 BCD 的中心为 O,连接
AE,DE,则∠AEO 就是二面角 A - BC - D 的平面角.在 Rt△AOE
中,AE=
答案:B
3
,
2
=
3
, 则cos∠AEO=
6
1
3
= .
1
2
3
4
5
5.设a=(0,1,1),b=(1,0,1)分别是平面α,β的两个法向量,则锐二面角α l - β的大小是(
∵A1B⊥B1C,
∴ 1 ·1 = 0, ∴ = 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
设 n=(x,y,z)是平面 A1ABB1 的一个法向量,
则 n·1 1 = −4 + 2 = 0.
高二数学3.2.4二面角及其度量
5．平面 α的一个法向量 n1＝ (1,0,1) ，平面 β的一个法向量 n 2＝ (－ 3,1,3) ，则 α与 β所成的
角是 _____．
6．已知
A∈
α，
P?α
，
→ PA
＝
－
23， 12，
2 ，平面 α的一个法向量
n＝
0，－
1，－ 2
2，
则直线 PA 与平面 α所成的角为 ________．
二、能力提升
7．在边长为 1 的菱形 ABCD 中，∠ ABC＝ 60°，将菱形沿对角线 AC 折起，使折起后 BD ＝
1，则二面角 B—AC— D 的余弦值为
()
1
1
23
3
A. 3
B.2
C. 3
D. 2
8． A、 B 是二面角 α— l— β的棱 l 上两点， P 是平面 β上一点， PB⊥ l 于 B， PA 与 l 成 45
3.2.4 二面角及其度量
1．二面角的概念 (1) 二面角的定义： 平面内的一条直线把平面分成两部分， 其中的每一部分都叫做半 平面．从一条直线出发的 ______________所组成的图形叫做二面角．如图所示，其 中，直线 l 叫做二面角的 ______，每个半平面叫做二面角的 ______，如图中的 α，β. (2) 二面角的记法： 棱为 l，两个面分别为 α，β的二面角， 记作 α—l — β.如图， A∈ α， B∈ β，二面角也可以记作 A— l— B. (3) 二面角的平面角：在二面角 α— l — β的棱上任取一点 O， 在两半平面内分别作射线 OA⊥ l， OB⊥ l，则∠ AOB 叫做二面角 α— l— β的平面角，如图所 示，由等角定理知，这个平面角与点 O 在 l 上的位置无关． (4) 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角． (5) 二面角的范围是 [0 °， 180 °] ． 2．用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 (1) 如图，分别在二面角 α— l— β的面 α、 β内，并沿 α、 β延伸的方向， 作向量 n1⊥ l， n2⊥ l，则〈 n1， n2〉等于该二面角的平面角． (2) 如图，设 m1⊥α，m2⊥ β，则〈 m1， m2〉与该二面角相等或互补 . 探究点一 定义法求二面角 问题 1 如何找二面角的平面角？ 问题 2 如何利用面积射影求二面角？ 例 1 如图， S 是 △ABC 所在平面外一点，且 SA⊥平面 ABC ， AB⊥ BC， SA＝ AB， SB＝BC， E 是 SC 的中点， DE⊥ SC 交 AC 于 D.求二面角 E—BD —C 的大小．
课件2：3.2.4二面角及其度量
[分析] 由于不易建立空间直角坐标系，故可借助于 向量所成的角，求二面角大小．
[解析] 如图，过A1作A1E⊥BA交BA的延长线于点E， ∵ABCD为正方形，
∴AD⊥AB，则向量A→1E与D→A所成的角的大小即为二 面角 A1—AB—D 的大小．
∵A→1E＝A→1A＋A→E， ∴A→1E·D→A＝(A1→A ＋A→E)D→A ＝|A→1A||DA→| cos〈A→1A，D→A〉＋|A→E||D→A|cos〈A→E，D→A〉 ＝nmcos120°＋0＝－12mn.
3．如图正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1 和DD1的中点，则平面ECF与平面ABCD的夹角的余弦值为
()
3 A. 3
1 C.3 [答案] B
6 B. 3
2 D. 3
[解析] 以 A 为坐标原点建系，由法向量法，可得
cosθ＝
6 3.
二、填空题 4 ． 正 方 体 AC1 中 平 面 ABCD 与 平 面 A1BCD1 的 夹 角 为 ________．
[误解] ∵CD⊥AD，CD⊥BD，AD⊥BD， ∴取 D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系． 则 D(0,0,0)，A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2 3，0)，E(0， 3，1)，F(1， 3，0)． ∴平面 ABD 的法向量 m＝(0,1,0)， 设平面 EFD 的法向量为 n＝(a，b，c)， ∵D→E＝(0， 3，1)，D→F＝(1， 3，0)， 由 n·D→E＝0， n·D→F＝0 得 n＝( 3，－1，－ 3)，
E、F 分别是 AC、BC 的中点， ∴E(0， 3，1)，F(1， 3，0)． 设 m＝(x，y，z)是平面 DEF 的一个法向量．
由mm··DD→ →EF＝ ＝00 得x＋3y＋3zy＝＝00 ，令 y＝1.
3.2.4二面角及其度量(1)
3.2.4二面角及其度量（第一课时）（一）教学目标1．知识与技能: 理解二面角及其平面角的概念，掌握二面角的平面角的一般作法。
2. 过程与方法:通过讲练结合，和总结规律的方式让学生体会数学解题的一般方法。
3．情态与价值：培养学生利用学过的知识解决有关的问题的能力。
（二）教学重、难点重点：二面角的概念和二面角的平面角的作法。
难点：二面角的概念和二面角的平面角的作法，会求二面角的大小。
（三）学法与教学用具学法：讲练结合 教学用具：投影仪 四）教学设想(一)、复习：直线和平面所成角 （二）、引入新课1 二面角的概念：平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面若棱为l ，两个面分别为,αβ的二面角记为l αβ--2．二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则A O B ∠叫做二面角l αβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直3．二面角的平面角的一般作法:(1)根据定义;(2)作二面角棱的垂面;(3)利用三垂线定理或逆定理4．例1．在棱长为1的正方体1AC 中， （1）求二面角11A B D C --的大小；1A1A （2）求平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小解：（1）取11B D 中点1O ，连接11,AOCO ， ∵正方体1AC ，∴111111,B D AO CO B D ⊥⊥， ∴1AO C ∠即为二面角11A B D C --的平面角， 在AOC ∆中，112AO CO AC === 可以求得11cos 3AO C ∠=即二面角11A B D C --的大小为1arccos 3． （2）过1C 作1C O BD ⊥于点O ， ∵正方体1AC ，∴1CC ⊥平面ABCD ，∴1COC ∠为平面1C BD 与平面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角，可以求得：1tan COC ∠=所以，平面1C BD 与底面ABCD 所成二面角1C BD C --的平面角大小为． 说明：求二面角的步骤：作——证——算——答小结：本节课我们学习了二面角的概念和二面角的平面角的作法 课堂练习：第114页练习A 、B 课后作业：第118页习题3-2A: 4.7。
3.2.4二面角及其度量
B
A B
O
3
A
l
用它的平面角来度量 度量：
(1)以二面角的棱上任意一点为端点， (2)在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 (3)这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
∠A O B
B B1
= ∠A1O1B1
l
O1
O
A
A1
[0, ] 范围：
C
A
D
B
CD (CA AB BD)2
2
(2 17)2 62 42 82 2 6 8 cos CA, BD
1 cos CA, BD 2 1 cos AC , BD 2
AC， BD ＝－ CA， BD
＝ 3
应用：
法(2)找平面角 例1、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数.
l
n2
Hale Waihona Puke n1， n2n1
n1
l
应用：
BD 法(1)向量法 ＝ AC， 例1、已知在一个二面角的棱上有两个点A，B， 线段AC，BD分别在这个二面角的两个面内，并且 都垂直于棱AB，AB=4cm，AC=6cm，BD=8cm， CD= 2 17 cm，求二面角的度数.
CD CA AB BD
y 2 y 2
巩固练习：
小结
１、二面角的定义 ２、二面角的求法
(1)找平面角 (2)向量法（法向量，方向向量）
二面角及其度量
令 x2＝1，得 n2＝(1,1,0). 10 分
∴cos〈n1，n2〉＝|nn11|·|nn22|＝312＝
2 6.
通过观察二面角是 锐角还是钝角来确 定其余弦值的正负.
∴平面
AED
与平面
ABE
所成的锐二面角的余弦值为
2 6.
12 分
构建答题模板
第一步 找垂直：找出(或作出)具有公共交点的三条两两垂直的直线. 第二步 写坐标：建立空间直角坐标系，写出特征点坐标. 第三步 求向量：求直线的方向向量或平面的法向量. 第四步 求夹角：计算向量的夹角. 第五步 得结论：得到所求两个平面所成的角.
规 范 解 答 ·分 步 得 分
(1)证明 ∵DC⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DC⊥BC，
又AB是⊙O的直径，C是⊙O上异于A，B的点，∴AC⊥BC，
又AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，
∴BC⊥平面ACD，
又DC∥EB，DC＝EB，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∴DE∥BC，∴DE⊥平面ACD.
设n＝(x2，y2，z2)是平面ACG的一个法向量.
n·A→G＝0， 由n·C→G＝0，
可得x2＋ 3y2＝0， 2x2＋3z2＝0.
取 z2＝－2，可得平面 ACG 的一个法向量 n＝(3，－ 3，－2).
所以 cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝12. 因此所求的角为60°.
例1如图，AB是圆O的直径，C是圆O上异于A，B的一个动点， DC垂直于圆O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.
(1)求证：DE⊥平面ACD； (2)若AC＝BC，求平面AED与平面ABE所成的锐二面角的余弦 值.
审题路线图 (1)
原创2：3.2.4 二面角及其度量
[0，π]
．
，
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二.二面角的向量求法
角的分类
向量求法
若AB、CD分别是二面角α－l－β的两个面内
与棱l垂直的异面直线(垂足分别为A、C)，
则二面角的大小就是AB与CD的夹角
二面角
cos θ＝ cos<AB，CD>
设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α、β的
法向量为n1，n2，则|cos θ|＝ |cos<n1，n2>|
第三章 空间向量与立体几何
§3.2.4 二面角及其度量
高中数学选修2-1·精品课件
复习引入
角的分类
异面直线
所成的角
直线与平面
所成的角
定义
范围
设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作
a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或
(0°,90°]
直角叫做a与b所成的角.
直线与它在这个平面内的射影所成的角.
图形
自主练习
1．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，
则直线l与平面α所成的角等于( C )
A．120°
C．30°
B．60°
D．以上均错
自主练习
2．向量a＝(0，－1,3)，b＝(2,2,4)分别在二面角的两个半平面内，
15
±
且都与二面角的棱垂直，则这个二面角的余弦值为________．
AE＝( , − , )，AC＝(b,0,0)．
2
2 2
D
C x
y
典例导航
设平面AEC的法向量为m＝(x，y，z)．
由m·AE=0， m ·AC=0得
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数学人教B 选修2-1第三章3.2.4 二面角及其度量1．理解斜线和平面所成角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性．2．会求直线与平面所成的角．3．掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形中的二面角的平面角．4．掌握求二面角大小的基本方法．1．直线与平面的夹角(1)如果一条直线与一个平面垂直，这条直线与平面的夹角为______；(2)如果一条直线与一个平面平行或在平面内，这条直线与平面的夹角为______；(3)斜线和它在平面内的______所成的角叫做斜线和平面________(或斜线和平面的夹角)；(4)直线与平面的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2. 【做一做1】直线l 的一个方向向量与平面α的法向量的夹角为135°，则直线l 与平面α的夹角为( )A ．135°B ．45°C ．75°D ．以上均错2．最小角定理(1)线线角、线面角的关系式：cos θ＝________，如图，θ是OA 与OM 所成的角，θ1是OA 与OB 所成的角，θ2是OB 与OM 所成的角．(2)最小角定理：斜线和它在平面内的________所成的角，是斜线和这个平面内________________中最小的角．【做一做2】一条直线与平面的夹角为30°，则它和这个平面内所有直线所成角中最小的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．150°3．二面角的定义及表示方法(1)平面内的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做________．(2)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做________；这条直线叫做二面角的________，每个半平面叫做二面角的________．棱为l ，两个面分别为α，β的二面角，记作________．若A ∈α，B ∈β，二面角也可以记作________．(3)二面角的平面角在二面角α－l －β的棱上任取一点O ，在两半平面内分别作射线OA ⊥l ，OB ⊥l ，则∠AOB 叫做________________．(4)二面角的范围是[0，π]．(5)平面角是直角的二面角叫做直二面角．(1)二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的图形．(2)符号α－l－β的含义是棱为l，两个面分别为α，β的二面角．(3)两个平面相交，构成四个二面角．【做一做3】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－B1C－A1的平面角的正切值为()A．1 B．2 2C． 2 D． 34．设m1⊥α，m2⊥β，则角〈m1，m2〉与二面角α－l－β____________________.【做一做4】若二面角的两个半平面的法向量分别为(4,2,0)和(3，－6,5)，则这个二面角的余弦值是()A．0 B．32C．12D．221．如何理解直线与平面所成的角？剖析：此概念应分三种情况：(1)直线与平面斜交时，直线与平面所成的角是指这条直线和它在平面内的射影所成的锐角；(2)直线与一个平面垂直时，直线与平面的夹角为90°；(3)一条直线与一个平面平行或在平面内时，直线与平面的夹角为0°.2．如何用向量求线面角？剖析：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝|a·n| |a||n|.3．如何理解二面角的平面角？二面角的平面角必须具备三个条件：(1)二面角的平面角的顶点在二面角的棱上；(2)二面角的平面角的两条边分别在二面角的两个面内；(3)二面角的平面角的两条边都与棱垂直，且平面角的大小与平面角在棱上的位置无关．4．如何求二面角？(1)作出二面角的平面角；(2)利用法向量的夹角．题型一用定义求直线与平面所成的角【例1】已知∠BOC在平面α内，OA是平面α的一条斜线，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝2a，求OA与平面α所成角的大小．分析：解答本题可找出点A在平面内的射影位置，作出线面角，然后解三角形求出线面角．反思：用定义法求直线与平面所成角时，关键是找到斜线的射影，找射影有以下两种方法：①斜线上任一点在平面内的射影必在斜线在平面内的射影上；②利用已知垂直关系得出线面垂直，确定射影．题型二向量法求直线与平面所成的角【例2】在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，A1B⊥B1C.求B1C与侧面A1ABB1所成角的正弦值．分析：因为是直三棱柱，所以本题可建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角求解．反思：利用向量法求斜线与平面的夹角优势在于不用找角，只需建立适当的坐标系，用待定系数法求出平面的法向量，再用公式求解即可．但要注意法向量的正确性以及线面角与向量夹角的关系．题型三 定义法求二面角的大小【例3】如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，AD ＝DC ＝BC ＝a ，AB ＝3a .(1)求证：平面ABC 垂直于平面ADC ；(2)求二面角C －AB －D 的大小．分析：(1)可利用面面垂直的判定定理证明；(2)利用平面ABC 垂直于平面ADC ，作出所求二面角的平面角，然后解三角形求角． 反思：所谓定义法，就是作出二面角的平面角，然后通过解三角形求解．作出二面角的平面角常用的方法有：①找与二面角的棱垂直的平面与二面角两半平面的交线；②在二面角的一个面上取一点，利用三垂线定理作平面角；③在二面角的棱上取一点，分别在两个面内作出和棱垂直的射线．题型四 向量法求二面角的大小【例4】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求二面角A 1－BD －C 1的大小．分析：本题可建立空间直角坐标系，分别求平面C 1BD 和平面A 1BD 的一个法向量，然后通过法向量的夹角获得二面角的大小．反思：向量法求二面角有如下方法：(1)可以在两个半平面内作垂直于棱的向量，转化为这两个向量的夹角，但需注意两个向量的起点应始终在二面角的棱上．(2)建空间直角坐标系，分别求两个平面的法向量m ，n ，根据cos θ＝|m ·n ||m ||n |求得锐角θ，若二面角为锐角，则为θ，若二面角为钝角，则为π－θ.1正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为侧面BCC 1B 1的中心，则AO 与平面ABCD 所成角的正弦值为( )A ．33B ．12C ．66D ．322正三棱锥的所有棱长都相等，则侧棱与底面所成的角是( )A ．arctan 3B ．arctan 2C ．arctan 33D ．arctan 223若BC 在平面α内，斜线AB 与平面α所成的角γ，∠ABC ＝θ，AA ′⊥平面α，垂足为A ′，∠A ′BC ＝β，那么( )A ．cos θ＝cos γ·cos βB ．sin θ＝sin γ·sin βC ．cos γ＝cos θ·cos βD ．cos β＝cos γ·cos θ4已知正四面体ABCD ，则二面角A －BC －D 的余弦值为( )A ．12B ．13C ．33D ．325设a ＝(0,1,1)，b ＝(1,0,1)分别是平面α，β的两个法向量，则锐二面角α－l －β的大小是( )A ．45°B ．90°C ．60°D ．120°答案：基础知识·梳理1．(1)90° (2)0° (3)射影 所成的角【做一做1】B 直线与平面的夹角的范围是⎣⎡⎦⎤0，π2，所以直线l 与平面α的夹角为180°－135°＝45°.2．(1)cos θ1cos θ2 (2)射影 所有直线所成角【做一做2】A3．(1)半平面 (2)二面角 棱 面 α－l －β A －l －B (3)二面角α－l －β的平面角【做一做3】B 设A 1D ，B 1C 的中点分别为E ，F ，可知∠AFE 是所求二面角的平面角．在Rt △AEF 中，tan ∠AFE ＝AE EF ＝22AB AB ＝22. 4．相等或互补【做一做4】A 4×3＋2×(－6)＋0×5＝0，∴二面角的两个半平面的法向量垂直．故这个二面角的余弦值是0.典型例题·领悟【例1】解：∵OA ＝OB ＝OC ＝a ，∠AOB ＝∠AOC ＝60°，∴AB ＝AC ＝a .∵BC ＝2a ，∴AB 2＋AC 2＝BC 2，∴△ABC 为等腰直角三角形．同理，△BOC 也为等腰直角三角形．过点A 作AH ⊥α于点H ，连OH ，则OH 为AO 在平面α内的射影，∠AOH 为OA 与平面α所成的角．∵AO ＝AB ＝AC ，∴OH ＝BH ＝CH ，H 为△BOC 的外心，∴点H 在BC 上，且为BC 的中点．∵在Rt △AOH 中，AH ＝22a ， ∴sin ∠AOH ＝AH AO ＝22，∴∠AOH ＝45°， ∴OA 与平面α所成角的大小为45°.【例2】解：取C 为原点，CA →，CB →，CC 1→为x ，y ，z 轴的正方向，建立直角坐标系Cxyz ，设|BC |＝2，|CC 1|＝a ，则A (4,0,0)，A 1(4,0，a )，B (0,2,0)，B 1(0,2，a )．∵A 1B ⊥B 1C ，∴BA 1→·CB 1→＝0，∴a ＝2.设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1ABB 1的一个法向量，则n ·A 1B 1→＝－4x ＋2y ＝0.n ·BB 1→＝2z ＝0，∴n 取(1,2,0)，CB 1→＝(0,2,2)，sin θ＝|cos 〈n ，CB 1→〉|＝4210＝105， ∴B 1C 与侧面A 1ABB 1所成角的正弦值为105. 【例3】解：(1)证明：因为AD ⊥平面BCD ，所以AD ⊥DB ，AD ⊥BC .又AD ＝a ，AB ＝3a ，所以DB ＝2a .又DC ＝BC ＝a ，因此BD 2＝CD 2＋BC 2，即∠DCB ＝90°，所以DC ⊥BC ，因此BC ⊥平面ADC .又BC 在平面ABC 内，所以平面ABC 垂直于平面ADC .(2)作DF ⊥AB 于点F ，DE ⊥AC 于点E ，连EF ，因为平面ABC 垂直于平面ADC ，因此DE ⊥平面ABC ，AB ⊥平面DEF ，所以EF ⊥AB ，则∠DFE 为二面角C －AB －D 的平面角，在直角三角形DEF 中，∠DEF ＝90°，DF ＝a ·2a 3a＝63a ，DE ＝22a ，sin ∠DFE ＝32，所以∠DFE ＝60°，故二面角C －AB －D 的大小为60°.【例4】解：建立空间直角坐标系Dxyz ，则DB ＝(1,1,0)，DC 1→＝(0,1,1)，设平面C 1BD的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，则n 1·DB ＝0，n 1·DC 1→＝0，即x ＋y ＝0，y ＋z ＝0，令x ＝1，则y ＝－1，z ＝1，所以n 1＝(1，－1,1)是平面C 1BD 的一个法向量．同理，得n 2＝(－1,1,1)是平面A 1BD 的一个法向量．因为|n 1|＝3，|n 2|＝3，所以cos 〈n 1，n 2〉＝－13，由题知二面角的大小为arccos 13. 随堂练习·巩固1．C 设BC 中点为E ，则∠OAE 就是AO 与平面ABCD 所成角．2．B 设底面正三角形BCD 中心为O ，则∠ACO 就是侧棱AC 与底面BCD 所成的角．3．A 利用公式cos θ＝cos θ1cos θ2求解．4．B 如图，设BC 的中点为E ，底面正三角形BCD 的中心为O ，则∠AEO 就是二面角A －BC －D 的平面角．在Rt △AOE 中，AE ＝32AB ，OE ＝36AB ，则cos ∠AEO ＝EO AE ＝13.5．C设锐二面角α－l－β的大小是θ，cos θ＝|a·b||a||b|＝12×2＝12，故θ＝60°.。