高一数学竞赛讲义：平面几何

平面几何习题 2016.4.18

例1、(2005)13.已知点 M 是 ABC ∆ 的中线 AD 上的一点, 直线 BM 交边

AC 于点N , 且 AB 是 NBC ∆ 的外接圆的切线, 设

BC BN λ=, 试求 BM

MN

(用 λ 表示).

例2、(2006)15. △ABC 中,AB

证明∠BAC 是直角.

例3、(2007)12．如图，设D 、E 是△ABC 的边AB 上的两点，已知∠ACD ＝∠BCE ，

AC ＝14，AD ＝7，AB ＝28，CE ＝12．求BC ．

E

B

C

D

A

A

B

C

D

N

M

A

B C

P

例4、(2010)13．如图，圆内接五边形ABCDE 中，AD 是外接圆的直径，BE AD ⊥，

垂足H .

过点H 作平行于CE 的直线，与直线AC 、DC 分别交于点F 、G ． 证明： (1) 点A 、B 、F 、H 共圆； (2) 四边形BFCG 是矩形．

例5、(2011)13．如图，P 是ABC 内一点．

（1）若P 是ABC 的内心，证明：1

902

BPC BAC ∠=+∠；

（2）若1902BPC BAC ∠=+∠且1

902

APC ABC ∠=+∠，证明：P 是ABC 的内心．

A

B

C D

E

F

H G

M B

D

O

A

例6、(2012) 13. 如图,半径为1的圆O 上有一定点M, A 为圆O 上动点，

在射线OM 上有一动点B,AB=1,OB>1. 线段AB 交圆O 于另一点C,D 为线段OB 的中点，求线段CD 长的取值范围

例7、(2013)12．如图，梯形ABCD 中，B 、D 关于对角线AC 对称的点分别是'B 、

'D ，A 、C 关于对角线BD 对称的点分别是'A 、'C ．证明：四边形''''

A B C D 是梯形．

例8、(2014) 13．如图，已知ABC ∆是锐角三角形，以AB 为直径的圆交边AC 于点D ，

交边AB 上的高CH 于点E ．以AC 为直径的半圆交BD 的延长线于点G ．求证：AG AE =．

例9、(2015) 12．如图，△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且BD

＝CE ．∠BAC 的外角平分线与△ADE 的外接圆交于A 、P 两点． 求证：A 、P 、B 、C 四点共圆．

A

B

C

D

P

(第12题图)

E