2019届山东省德州市高三第二次练习数学(理)试题(解析版)

2019届山东省德州市高三第二次练习数学（理）试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}221|{|}xM x x x N x =≤=，＜，则U M N =I ð（ ） A ．[]0,1 B ．(]0,1 C ．[)0,1 D ．(],1-∞【答案】A【解析】求出集合M 和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可． 【详解】{}20121{|}|{|}{|}0x M x x x x x N x x x =≤=≤≤==，＜＜， {}|0U N x x =≥ð，则{}011|]0[U M N x x =≤≤=I ，ð， 故选：A ． 【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．2．已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若12z z 为纯虚数，则a =（ ） A ．2- B ．2C ．12-D ．12【答案】C【解析】把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入12z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可． 【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，， ∴121(1)(12)12212(12)(12)55z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵12z z 为纯虚数，∴12020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．故选C ． 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）A ．300，0.25B ．300，0.35C ．60，0.25D ．60，0.35【答案】B【解析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=． 故选：B ． 【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线222212x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则双曲线渐近线方程为（ ） A．3y x =±B．y =C．2y x =± D．y =【答案】A【解析】由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案. 【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221(a 0,b 0)2x y a b -=>>即22221(a 0,b 022)x y a b-=>>的焦点相同，可得：22221122a b a b -=+， 即223a b =，∴3b a =3=双曲线的渐近线方程为：3x y x =±=, 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．5．622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，含3x 项的系数为（ ） A ．60- B ．12- C ．12 D ．60【答案】B【解析】在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于3，求出r 的值，即可求得含3x 项的系数．【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()663166222rr r r rr r T C x C x x --+⎛⎫=⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 令633r -=，得1r =，可得含3x 项的系数为()16212C ⨯-=-.故选：B. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．6．已知ABC △的面积是12,1AB =,2BC = ,则AC =（ ） A ．5 B ．5或1C ．5或1D ．5【答案】B 【解析】∵11sin 22ABC S AB BC B ∆=⋅⋅⋅=，1AB =,2BC = ∴2sin 22B == ①若B 为钝角，则2cos B =-，由余弦定理得2222cos AC AB BC B AB BC =+-⋅⋅，解得5AC =；②若B 为锐角，则2cos 2B =，同理得1AC =. 故选B.7．如图在直角坐标系xOy 中，过原点O 作曲线()210y x x =+≥的切线，切点为P ，过点P 分别作x 、y 轴的垂线，垂足分别为A 、B ，在矩形OAPB 中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．12【答案】A【解析】设所求切线的方程为y kx =，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得出关于x 的方程，可得出0∆=，求出k 的值，进而求得切点P 的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】设所求切线的方程为y kx =，则0k >，联立()201y kx k y x ⎧=>⎨=+⎩，消去y 得210x kx -+=①，由240k ∆=-=，解得2k =， 方程①为2210x x -+=，解得1x =，则点()1,2P ， 所以，阴影部分区域的面积为()123210111233S xx dx x x x ⎛⎫=+-=-+= ⎪⎝⎭⎰， 矩形OAPB 的面积为122S '=⨯=，因此，所求概率为16S P S =='. 故选：A. 【点睛】本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.8．设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可． 【详解】由“l 22og log a b <”，得2211log log a b<，得22log 0log 0a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞，即011a b <<⎧⎨>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，故“22log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，故选C ． 【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．9．已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪=⎨⎪⎩，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12,23⎛⎤⎥⎝⎦B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【解析】根据[x]的定义先作出函数f （x ）的图象，利用函数与方程的关系转化为f （x ）与g （x ）=ax 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当01x ≤＜时，[]0x =， 当12x ≤＜时，[]1x =， 当23x ≤＜时，[]2x =， 当34x ≤＜时，[]3x =，若()0f x ax -=有且仅有3个零点， 则等价为()=f x ax 有且仅有3个根， 即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点， 作出函数()f x 和()g x 的图象如图，当a=1时，()g x x =与()f x 有无数多个交点， 当直线()g x 经过点21A （，）时，即()221g a ==，12a =时，()f x 与()g x 有两个交点，当直线()g x 经过点()32B ，时，即()332g a ==23a =，时，()f x 与()g x 有三个交点，要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和23y x =之间， 即1223a ≤＜， 故选：A ．【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.10．已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞【答案】C【解析】根据题意，由函数的图象变换分析可得函数()y f x =为偶函数，又由函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，分析可得()()()1222log 2log 2log 2f a f f a f a ⎛⎫<-⇒<⇒< ⎪⎝⎭，解可得a 的取值范围，即可得答案.【详解】将函数()1y f x =-的图象向左平移1个单位长度可得函数()y f x =的图象， 由于函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，则函数()y f x =的图象关于y 轴对称，即函数()y f x =为偶函数，由()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，得()()2log 2f a f <， Q 函数()y f x =在区间[)0,+∞上单调递增，则2log 2a <，得22log 2-<<a ，解得144a <<. 因此，实数a 的取值范围是1,44⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C. 【点睛】本题考查利用函数的单调性与奇偶性解不等式，注意分析函数()y f x =的奇偶性，属于中等题.11．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 的直线与椭圆交于P 、Q 两点.若2PF Q ∆的内切圆与线段2PF 在其中点处相切，与PQ 相切于点1F ，则椭圆的离心率为（ ）A ．2B ．2C ．3D ．3【答案】D【解析】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，设1PF m =，2PF n =，可得2m n a +=，由切线的性质：切线长相等推得12m n =，解得m 、n ，并设1QF t =，求得t 的值，推得2PF Q ∆为等边三角形，由焦距为三角形的高，结合离心率公式可得所求值． 【详解】可设2PF Q ∆的内切圆的圆心为I ，M 为切点，且为2PF 中点，12PF PM MF ∴==， 设1PF m =，2PF n =，则12m n =，且有2m n a +=，解得23a m =，43an =，设1QF t =，22QF a t =-，设圆I 切2QF 于点N ，则2223aNF MF ==，1QN QF t ==，由22223a a t QF QN NF t -==+=+，解得23a t =，43a PQ m t ∴=+=，2243aPF QF ==Q ，所以2PF Q ∆为等边三角形， 所以，3423ac =，解得33c a =. 3故选：D. 【点睛】本题考查椭圆的定义和性质，注意运用三角形的内心性质和等边三角形的性质，切线的性质，考查化简运算能力，属于中档题．12．已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-u u u v u u u v u u u v，．点P 为BC 边上的动点，则()PC PA PB PC ⋅++u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为（ ）A ．2B ．34-C ．2-D ．2512-【答案】D【解析】以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-u u u r u u u r，可得()()120222x y x +⋅=+=-，，，即20x y =-≠，， 则()()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++u u u r u u u r u u u r u u u r，， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--21253612a ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当16a =时，()PC PA PB PC ⋅++u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值为2512-．故选D ．【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．二、填空题13．设x 、y 满足约束条件20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩，若2z x y =+的最小值是1-，则m 的值为__________. 【答案】1-【解析】画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，由2z x y =+得2y x z =-+，显然直线过()2,A m m ---时，z 最小，代入求出m 的值即可． 【详解】作出不等式组20200x y x y y m +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩所表示的可行域如下图所示：联立200x y y m -+=⎧⎨+=⎩，解得2x m y m =--⎧⎨=-⎩，则点()2,A m m ---.由2z x y =+得2y x z =-+，显然当直线2y x z =-+过()2,A m m ---时，该直线y 轴上的截距最小，此时z 最小，241m m ∴---=-，解得1m =-.故答案为：1-． 【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题． 14．若4sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2α=__________. 【答案】725-【解析】由已知利用两角差的正弦函数公式可得2sin cos 5αα-=，两边平方，由同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解． 【详解】)24sin sin cos cos sin sin cos 44425πππααααα⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭Q ，得2sin cos 5αα-=， 在等式42sin cos 5αα-=两边平方得321sin 225α-=，解得7sin 225α=-. 故答案为：725-. 【点睛】本题主要考查了两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．15．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为________.【答案】83π+【解析】根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据求出它的体积． 【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示：结合图中数据，计算它的体积为21112241282323V ππ=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故答案为：83π+.【点睛】本题考查了根据三视图求简单组合体的体积应用问题，是基础题． 16．已知函数()()()202ln f x a x x xa =+>-有两个极值点1x 、()212x x x <，则()()12f x f x +的取值范围为_________.【答案】(),16ln 224-∞-【解析】确定函数()y f x =的定义域，求导函数，利用极值的定义，建立方程，结合韦达定理，即可求()()12f x f x +的取值范围． 【详解】函数()()22ln f x a x x x =-+的定义域为()0,∞+，()21222212x ax a f x a x x x -+⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，依题意，方程22220x ax a -+=有两个不等的正根1x 、2x （其中12x x <）， 则241604a a a ∆=->⇒>，由韦达定理得120x x a +=>，120x x a =>， 所以()()()()()22121212122ln 2f x f x a x x x x a x x +=++-+()()()2222121212122ln 222ln 222ln 2a x x x x x x a x x a a a a a a a a a⎡⎤=++--+=+--=--⎣⎦，令()()22ln 24h a a a a a a =-->，则()2ln 2h a a a '=-，()()2122a h a a a-''=-=， 当4a >时，()0h a ''<，则函数()y h a '=在()4,+∞上单调递减，则()()44ln 280h a h '<=-<，所以，函数()y h a =在()4,+∞上单调递减，所以，()()416ln 224h a h <=-. 因此，()()12f x f x +的取值范围是(),16ln 224-∞-. 故答案为：(),16ln 224-∞-. 【点睛】本题考查了函数极值点问题，考查了函数的单调性、最值，将()()12f x f x +的取值范围转化为以a 为自变量的函数的值域问题是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.三、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-.数列{}n b 满足2log n n b a =，其前n 项和为n T .（1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）设1n n nc a T =+，求数列{}n c 的前n 项和n C . 【答案】（1）2n n a =，n b n =；（2）1221n n C n +=-+.【解析】（1）令1n =可求得1a 的值，令2n ≥，由22n n S a =-得出1122n n S a --=-，两式相减可推导出数列{}n a 为等比数列，确定该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求得数列{}n a 的通项公式，再利用对数的运算性质可得出数列{}n b 的通项公式； （2）运用等差数列的求和公式，运用数列的分组求和和裂项相消求和，化简可得n T . 【详解】（1）当1n =时，1122S a =-，所以12a =；当2n ≥时，()112222n n n n n a S S a a --=-=---，得12n n a a -=，即12nn a a -=， 所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2 的等比数列，1222n n n a -∴=⨯=.2log 2n n b n ∴==；（2）由（1）知数列{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列，()1(1)1122n n n n n T n -+∴=⨯+⨯=. ()11212221n n n n n c n n ⎛⎫+- ⎪+=+⎝=+⎭∴，()121111122122221212231121n nn C n n n +-⎛⎫⎛⎫∴=++++-+-++-=+- ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭L L 1221n n +=-+. 所以1221n n C n +=-+. 【点睛】本题考查数列的递推式的运用，注意结合等比数列的定义和通项公式，考查数列的求和方法：分组求和法和裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．18．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，E ，F 分别为AB ，11B C 的中点．（1）求证：1//B E 平面ACF ；（2）求平面1CEB 与平面ACF 所成二面角(锐角)的余弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）28619. 【解析】（1）取AC 中点为M ，通过证明FM //1B E ，进而证明线面平行；（2）取BC 中点为O ，以O 为坐标原点建立直角坐标系，求得两个平面的法向量，用向量法解得二面角的大小. 【详解】（1）证明：取AC 的中点M ，连结EM ，FM ，如下图所示：在ABC ∆中，因为 E 为AB 的中点，//EM BC ∴，且12EM BC =， 又F 为11B C 的中点，11//B C BC ，1B F BC ∴//，且112B F BC =， 1EM B F ∴//，且1EM B F =，∴四边形1EMFB 为平行四边形，1//B E FM ∴又MF ⊂平面ACF ，BE ⊄平面ACF ， 1//B E ∴平面ACF ，即证.（2）取BC 中点O ，连结AO ，OF ，则AO BC ⊥，OF ⊥平面ABC ， 以O 为原点，分别以OB ，AO ，OF 为x ，y ，z 轴， 建立空间直角坐标系，如下图所示：则()0,3,0A -，()1,0,0B ，()1,0,0C -，13,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,0,2F ，()11,0,2BCE u u u r 33,22⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，CF uuur (1,0,2)=，CA u u u r ()1,3,0=-，1CB u u u r (2,0,2)= 设平面1CEB 的一个法向量m r(),,x y z =，则100m CE m CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r r u u u r r ，则300x y x z -=+=⎪⎩，令1x =．则m r3,1)=-，同理得平面ACF 的一个法向量为n r3132⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 则286,?m n cos m n n m ⋅==r rr rr r ， 故平面1CEB 与平面ACF 286. 【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及利用向量法求解二面角的大小，属综合中档题. 19．2020年，山东省高考将全面实行“[36+选]3”的模式（即：语文、数学、外语为必考科目，剩下的物理、化学、历史、地理、生物、政治六科任选三科进行考试）.为了了解学生对物理学科的喜好程度，某高中从高一年级学生中随机抽取200人做调查.统计显示，男生喜欢物理的有64人，不喜欢物理的有56人；女生喜欢物理的有36人，不喜欢物理的有44人.（1）据此资料判断是否有75%的把握认为“喜欢物理与性别有关”；（2）为了了解学生对选科的认识，年级决定召开学生座谈会.现从5名男同学和4名女同学（其中3男2女喜欢物理）中，选取3名男同学和2名女同学参加座谈会，记参加座谈会的5人中喜欢物理的人数为X ，求X 的分布列及期望()E X .()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.【答案】（1）有75%的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）分布列见解析，()145E X =. 【解析】（1）根据题目所给信息，列出22⨯列联表，计算2K 的观测值，对照临界值表可得出结论；（2）设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有m 人，女同学有n 人，则X m n =+，确定X 的所有取值为1、2、3、4、5．根据计数原理计算出每个X 所对应的概率，列出分布列计算期望即可． 【详解】（1）根据所给条件得22⨯列联表如下：()222006444563641.323100100120803K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以有75%的把握认为喜欢物理与性别有关；（2）设参加座谈会的5人中喜欢物理的男同学有m 人，女同学有n 人，则X m n =+， 由题意可知，X 的所有可能取值为1、2、3、4、5．()12232232541120C C C P X C C ==⋅=，()12121123223222323254543210C C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，()1212321123223322223232325454547315C C C C C C C C C P X C C C C C C ==⋅+⋅+⋅=，()21321132322232325454146C C C C C C P X C C C C ==⋅+⋅=，()323232541560C C P X C C ==⋅=.所以X 的分布列为：所以()1371114123452010156605E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了独立性检验、离散型随机变量的概率分布列．离散型随机变量的期望．属于中等题．20．已知点P 在抛物线()220C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO为半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值． 【答案】(1) 24x y = (2)4【解析】（1）将点P 横坐标代入抛物线中求得点P 的坐标，利用点P 到准线的距离d 和勾股定理列方程求出p 的值即可；（2）设A 、B 点坐标以及直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算AF BF -的值即可． 【详解】（1）将点P 横坐标2P x =代入22x py =中，求得2P y p=， ∴P （2，2p），2244OP p =+，点P 到准线的距离为22p d p =+， ∴222||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ∴22222212p p p ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得24p =，∴2p =， ∴抛物线C 的方程为：24x y =；（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，； 设()()1122A x y B x y ，，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，∴121244x x k x x +==-，，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==，221HB y k x +=， ∴1212111y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()22221212121110164x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，221216x x -=，则()22121211||||1116444AF BF y y x x -=+--=-=⨯=． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题． 21．已知函数()()214f x x a a R x =-+-∈，ln ()xg x x=. （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；（2）用{}max ,m n 表示m 、n 中的最大值，设函数()()(){}()max ,0h x xf x xg x x =>，当0<<3a 时，讨论()h x 零点的个数.【答案】（1）34a =；（2）见解析. 【解析】（1）设切点坐标为()0,0x ，然后根据()()000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩可解得实数a 的值；（2）令()()3114f x xf x x ax ==-+-，()()()1ln 0g x xg x x x ==>，然后对实数a进行分类讨论，结合1f 和()11f 的符号来确定函数()y h x =的零点个数.【详解】（1）()214f x x a x =-+-Q ，()2124f x x x'∴=-+， 设曲线()y f x =与x 轴相切于点()0,0x ，则()()0000f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即2000201041204x a x x x ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解得01234x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以，当34a =时，x 轴为曲线()y f x =的切线； （2）令()()3114f x xf x x ax ==-+-，()()()1ln 0g x xg x x x ==>，则()()(){}11max ,h x f x g x =，()213f x x a '=-+，由()10f x '=，得x =当x ⎛∈ ⎝时，()10f x '>，此时，函数()1y f x =为增函数；当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()10f x '<，此时，函数()1y f x =为减函数.03a <<Q，01∴<<. ①当10f <，即当304a <<时，函数()y h x =有一个零点； ②当10f =，即当34a =时，函数()y h x =有两个零点；③当()11010f f ⎧>⎪⎨⎪<⎩，即当3544a <<时，函数()y h x =有三个零点； ④当()11010f f ⎧>⎪⎨⎪=⎩，即当54a =时，函数()y h x =有两个零点； ⑤当()11010f f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即当534a <<时，函数()y h x =只有一个零点. 综上所述，当304a <<或534a <<时，函数()y h x =只有一个零点； 当34a =或54a =时，函数()y h x =有两个零点； 当3544a <<时，函数()y h x =有三个零点. 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．22．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，)[0απ∈，）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223cos ρρθ=+．（l ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程：（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B两点，且AB =．求直线l 的方程．【答案】(1)见解析(2) 10x y -+=【解析】（1）将1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩消去参数t 可得直线的普通方程，利用x=ρcosθ，222x y ρ=+ 可将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）利用直线被圆截得的弦长公式AB =【详解】（1）由1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩消去参数t 得0xsin ycos cos ααα-+=（)[0απ∈，）， 由223cos ρρθ=+得曲线C 的直角坐标方程为：22230x y x +--=（2）由22230x y x +--=得()2214x y -+=，圆心为（1，0），半径为2，圆心到直线的距离为sin cos d αα=+=，∴AB ===21sin α=，∵)[0απ∈，，∴)2[02απ∈，，∴，4πα=， 所以直线l 的方程为：10x y -+=．【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与计算能力，属于基础题．23．已知函数()1f x x =-．（1）求不等式()1f x x x ++＜的解集；（2）若函数()()()22[]3g x log f x f x a =++-的定义域为R ,求实数a 的取值范围．【答案】(1) ()0+∞，(2) 32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭， 【解析】（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数()g x 的定义域为R ，只要()()()32h x f x f x a =++-的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案．【详解】（1）不等式()111f x x x x x x ++⇔-++＜＜111x x x x ≥⎧⎨-<++⎩或1111x x x x -<<⎧⎨-<++⎩或111x x x x ≤-⎧⎨-<--⎩， 解得1x ≥或01x <<，即x>0,所以原不等式的解集为()0+∞，． （2）要使函数()()()22[]3g x log f x f x a =++-的定义域为R ，只要()()()32h x f x f x a =++-的最小值大于0即可，又()()()21221232||h x x x a x x a a =++--≥+---=-，当且仅当2[]1x ∈-，时取等，只需最小值32a -＞0，即32a ＜． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．。