第17讲 指数函数及性质八大题型总结(解析版)
精选人教版高一数学必修1第17课时指数函数的基本内容(含解析)
答案：D
解析：A项中函数的底数是自变量x，指数是常数2，故不是指数函数；B项中函数的底数是常数3，指数是2x＋1，而不是自变量x，故不是指数函数；对于C项，这个函数中4x的系数是3，不是1，故不是指数函数；D项中函数可以化为y＝9x，符合指数函数的定义，而y＝32x与y＝9x的定义域与对应关系相同，所以它们是同一函数，即y＝32x是指数函数．故选D.
4．函数y＝ 的定义域为()
A．[3，＋∞) B．[4，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(4，＋∞)
答案：B
解析：要使函数有意义，需2x－1－8≥0，则2x－1≥8＝23，∴x－1≥3.得x≥4.故选B.
5．当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总大于1，则实数a的取值范围是()
A．1＜|a|＜2 B．|a|＜1
第17课时 指数函数的基本内容
课时目标
1.理解指数函数的概念和意义．
2．会求与指数函数有关的定义域和值域．
3．会画指数函数的图象，能用指数函数的图象解决一些简单的问题．
识记强化
1．指数函数的定义．
函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数．
2．指数函数的图象与性质.
a＞1
0＜a＜1
图象
性质
定义域
R
解：根据指数函数的定义，可设指数函数为y＝f(x)＝ax，利用待定系数法可求出a的值．因为它的图象经过点(π，2)，所以2＝aπ，a＝2 ，于是f(x)＝(2 )x＝2 .所以f(0)＝20＝1,f(1)＝2 ，f(－π)＝2 ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ，求a的值．
A．A BB．A⊆B
C．A BD．A＝B
答案：A
解析：A＝{y|y＞0}，B＝{y|y≥0}，故AB.
指数函数及其性质(解析版)
微专题15 指数函数及其性质【方法技巧与总结】知识点一、指数函数的图象及性质：x y a =01a <<时图象 1a >时图象图象性质①定义域R ，值域(0,)+∞②01a =，即0x =时，1y =，图象都经过()0,1点 ③x a a =，即1x =时，y 等于底数a ④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤0x <时，1x a >0x >时，01x a <<⑤0x <时，01x a <<0x >时，1x a >⑥既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论． （2）当01a <<时，x →+∞，0y →；当1a >时x →-∞，0y →． 当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快． 当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快． （3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称．知识点二、指数函数底数变化与图像分布规律 （1）①x y a =，②x y b =，③x y c =，④x y d =，则：01b a d c <<<<<又即：,()0x ∈+∞时，x x x x b a d c <<<（底大幂大） ,0()x ∈∞－时，x x x x b a d c >>>（2）特殊函数2x y =，3x y =，1()2x y =，1()3x y =的图像：【题型归纳目录】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题 题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合 【典型例题】题型一：指数函数的图象基本性质：定点、对称性、单调性 例1．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()2x af x -=的图象关于直线2x =对称，则a ＝（ ）A ．1B ．2C ．0D ．-2【答案】B【解析】函数2xy =的图象关于y 轴对称，将函数2x y =的图象向右平移2个单位长度可得函数22x y -=的图象，所以函数22x y -=的图象关于直线2x =对称，故2a =．故选：B例2．（2022·福建·莆田二中高一期中）已知函数()21,24,2xx f x x x ⎧-≤⎪=⎨-+>⎪⎩，若实数,,a b c 满足a b c <<，且()()()f a f b f c ==，则22a c b c +++的取值范围为（ ）A ．()4,8B ．()4,16C ．()8,32D ．()16,32【答案】D【解析】作出函数()f x 的图象，如图，当0x <时，()()21120,1x xf x =-=-∈，由图可知，()()()()0,1f a f b f c ==∈，即()40,1c -∈ 得34c <<，则8216c <<，由()()f a f b =，即2121a b-=-，得1221a b -=-，求得222a b +=，∴()()222222216,32a cb c c a b c +++=+=⨯∈，故选：D例3．（2022·全国·高一课时练习）若222log xx x >>，则x 的取值范围为（ ）A ．()3,4B ．()4,+∞C ．()0,2D ．()1,2【答案】D【解析】在同一平面直角坐标系中作出函数2y x =，2x y =，2log y x =的图象如下图所示，数形结合可知：当12x <<时，222log xx x >>，x 的取值范围为()1,2.故选：D.变式1．（多选题）（2022·全国·高一单元测试）已知()2102,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，，则方程()220()xf a a R --=∈的根个数可能是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】ABD【解析】令()221xt t -=≥-，在同一坐标系中作出函数()(1)y f t t =≥-和直线y a =的图象，分析()0f t a -=的根：①当1a >时，方程()0f t a -=有一个根1t ，且12t >，方程122xt -=，对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有2个根；②当a ＝1时，方程()0f t a -=有两个根11t =-，22t =，方程122xt -=，对应1个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有3个根.③当0＜a ＜1时，方程()0f t a -=有三个根110t -<<，201t <<，312t <<，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，方程322x t -=对应2个x ，故方程()220()x f a a R --=∈有6个根.④当a ＝0时，方程()0f t a -=有两个根10t =，21t =，方程122xt -=，对应2个x ，方程222x t -=对应2个x ，故方程()220()xf a a R --=∈有4个根.故选：ABD.变式2．（多选题）（2022·全国·高一期末）(多选)已知函数()x f x a b =-的图象如图所示，则（ ）A ．a >1B ．0<a <1C ．b >1D ．0<b <1【答案】BD【解析】观察图象得，函数()x f x a b =-是单调递减的，因此，01a <<，图象与y 轴交点纵坐标0y 有：001y <<，而0x =时，1y b =-，于是得011b <-<，解得01b <<， 所以01a <<，01b <<.故选：BD变式3．（多选题）（2022·全国·高一课时练习）已知函数()21xf x =-，实数a ，b 满足()()f a f b =()a b <，则（ ）A ．222a b +>B ．a ∃，b ∈R ，使得01a b <+<C ．222a b +=D ．0a b +<【答案】CD【解析】画出函数()21xf x =-的图象，如图所示．由图知1221a b -=-，则222a b +=，故A 错，C 对．由基本不等式可得22222222a b a b a b +=+>⋅=21a b +<，则0a b +<，故B 错，D 对．故选：CD ．变式4．（2022·全国·高一单元测试）函数11x y a -=+图象过定点A ，点A 在直线()31,0mx ny m n +=>>上，则121m n+-最小值为___________. 【答案】92【解析】当1x =时，012y a =+=，11x y a -∴=+过定点()1,2A ，又点A 在直线3mx ny +=上，23∴+=m n ，即()122m n -+=， 1m >，0n >，10m ∴->，()()()21121121212512121m n m n m n m n m n -⎛⎫⎛⎫∴+=+-+=++≥ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()2112952212m n m n ⎛- +⋅= -⎝（当且仅当()2121m nm n -=-，即53m =，23n =时取等号），121m n ∴+-的最小值为92. 故答案为：92.变式5．（2022·江苏·高一专题练习）函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ，P 在幂函数()f x x α=的图象上，则(3)f =_______；【答案】27【解析】因为函数27x y a -=+（0a >，且1a ≠）的图象恒过定点P ， 所以由指数型函数性质得()2,8P ， 因为P 在幂函数()f x x α=的图象上 所以28α=，解得3α=，所以()3f x x =，()327f =.故答案为：27变式6．（2022·全国·高一课时练习）函数()120.58x y -=-的定义域为______．【答案】(),3-∞- 【解析】因为()120.580.58xxy -=-=-0.580x ->，则322x ->，即3x ->，解得3x <-，故函数()120.58x y -=-的定义域为(),3-∞-．故答案为：(),3-∞-.变式7．（2022·全国·高一单元测试）已知函数()2x f x a -[)2,+∞，则=a _________． 【答案】4【解析】由题意可知，不等式20x a -≥的解集为[)2,+∞，则220a -=，解得4a =， 当4a =时，由240x -≥，可得2242x ≥=，解得2x ≥，合乎题意. 故答案为：4.变式8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数f (x )＝ax ＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． 【解析】（1）由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0，1)，又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)； （2）()f x 的图象过点(2,0)，(0,2)-，所以2002a b a b ⎧+=⎨+=-⎩，解得3,3a b ==-， 所以()(3)3x f x =-，在同一个坐标系中，画出函数|()|y f x =和y m =的图象， 观察图象可知，当0m =或3m ≥时，两图象有一个交点， 若|()|f x m =有且仅有一个实数解，m 的范围是：0m =或3m ≥.题型二：指数 (型) 函数的单调性应用(1): 复合函数的值域问题 例4．（2022·全国·高一专题练习）函数1423x x y +=++的值域为____. 【答案】()3,+∞ 【解析】令2(0)x t t =>，∴函数()1423x x y x R +=++∈化为()()222312(0)f t t t t t =++=++>，()3f t ∴>，即函数1423x x y +=++的值域为()3,+∞．故答案为：()3,+∞例5．（2022·全国·高一单元测试）函数221()2x xy -+=的值域为（ ）A ．1[,)2+∞B ．1(,]2-∞C ．(,2]-∞D ．(0,2]【答案】A【解析】函数221()2x x y -+=定义域为R ，222(1)11x x x -+=--+≤，又函数1()2x在R 上单调递减，则221(221)x x -+≥， 所以函数221()2x x y -+=的值域为1[,)2+∞.故选：A例6．（2022·黑龙江·佳木斯一中高一期末）已知()212221x x xf x a +=+-+（其中a R ∈且a 为常数）有两个零点，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】()4,+∞【解析】设()20,xt =∈+∞，由()212221x x xf x a +=+-+有两个零点， 即方程()2210t a t +-+=有两个正解，所以()21212Δ2402010a t t a t t ⎧=-->⎪+=->⎨⎪=>⎩，解得4a >，即()4,a ∈+∞， 故答案为：()4,+∞.变式9．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数113()934x xf x --⎛⎫=++ ⎪⎝⎭在[1,)-+∞上的值域为___________. 【答案】375,44⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2113113()9334334x x xx f x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎝⎭∵[1,)x ∈-+∞则令(],3130xt ⎛⎫⎪⎭∈= ⎝2334y t t =++在(]0,3递增∴375,44y ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故答案为：375,44⎛⎤⎥⎝⎦．变式10．（2022·陕西渭南·高一期末）方程23x x k +=的解在()1,2内，则k 的取值范围是___________. 【答案】()5,10【解析】令()23,1,2xy x x =+∈，显然该函数为增函数，122315,23210+⨯=+⨯=，值域为()5,10，故510k <<. 故答案为：()5,10.变式11．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）函数()()420x xf x x --=+>的值域是______．【答案】()0,2【解析】令()20,1xt -∈=，则2y t t =+，因为函数2y t t =+在0,1上单调递增，所以()20,2y t t =+∈，故()f x 的值域为()0,2．故答案为：()0,2.变式12．（2022·全国·高一课时练习）已知函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数． (1)若函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），求函数()1y f x =的值域； (2)如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a +b 的值． 【解析】（1）函数f （x ）＝ax +b （a ＞0，a ≠1），其中a ，b 均为实数，函数f （x ）的图象经过点A （0，2），B （1，3），∴123b a b +=⎧⎨+=⎩，∴21a b =⎧⎨=⎩，∴函数f （x ）＝2x +1＞1，函数()1121xy f x ==+＜1． 又()1121x f x =+＞0，故函数()1y f x =的值域为（0，1）． （2）如果函数f （x ）的定义域和值域都是[﹣1，0]，若a ＞1，函数f （x ）＝ax +b 为增函数，∴1110b a b ⎧+=-⎪⎨⎪+=⎩，求得a 、b 无解．若0＜a ＜1，函数f （x ）＝ax +b 为减函数，∴1011b a b ⎧+=⎪⎨⎪+=-⎩，求得122a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴a +b 32=-．变式13．（2022·河南·洛宁县第一高级中学高一阶段练习）已知函数()2422ax x f x ++=.(1)当1a =时，求()f x 的值域； (2)若()f x 有最大值16，求a 的值. 【解析】(1)当1a =时，()2422xx f x ++=.因为2t y =在R 上单调递增，且()2242222y x x x =++=+-≥-， 可得24221224x x ++-≥=，所以()2124f x -≥=， 故()f x 的值域为1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.(2)令242t ax x =++，因为函数2t y =在其定义域内单调递增， 所以要使函数()f x 有最大值16，则242t ax x =++的最大值为4，故20,44424,22a a a a <⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+⨯-+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解得2a =-. 故a 的值为2-.变式14．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）的图象经过点()2,16-． (1)求a ，并比较27()4f m +与1()4f m -的大小；(2)求函数224()xx g x a -+-=的值域．【解析】（1）由已知得：216a -=，解得14a =，所以()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 因为()14xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，2227117()()2()04424m m m m m +--=-+=-+>，所以271()()44f m f m +<-；（2）因为2224(1)33x x x -+-=----≤，所以2243116444x x -+--⎛⎫⎛⎫≥= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()g x 的值域是[64,)+∞； 变式15．（2022·全国·高一专题练习）求下列函数的定义域、值域： (1)513x y -=(2)2231.2x x y --⎛⎫= ⎪⎝⎭【解析】(1)由函数解析式可知：15105x x -≥⇒≥，所以函数的定义域为：1|5x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭； 510x -≥，所以510331x -≥=，因此函数的值域为：[1,)+∞；(2)由函数的解析式可知：函数的定义域为R ，222323122x x xx y ---++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为2223(1)44x x x -++=--+≤，所以223402216xx -++<≤=，因此函数的值域为：（0，16]. 变式16．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）设函数()()()10,1x xf x a k a a a -=-->≠是定义域R 的奇函数． (1)求k 值；(2)若()10f >，试判断函数单调性并求使不等式()()2210f x tx f x +++>在定义域上恒成立的t 的取值范围；(3)若()813f =，且()()222x xg x a a mf x -=+-在[)1,+∞上最小值为2-，求m 的值．【解析】（1）()f x 是定义域为R 的奇函数，()00f ∴=，即()110k --=，解得2k =；经检验成立 （2）因为函数()x xf x a a -=-（0a >且1a ≠），又()10f >，10a a∴->，又0a >， 1a ∴>，由于x y a =单调递增，x y a -=单调递减，故()f x 在R 上单调递增，不等式化为()()221f x tx f x +>--．221x tx x ∴+>--，即()2210x t x +++>恒成立，()2240t ∴∆=+-<，解得40t -<<；（3）由已知()813f =，得183a a -=，即23830a a --=，解得3a =，或13a =-（舍去），()()()()22233333333222x x x x x x x x g x m m ----∴=+----=+-，令()33x xt f x -==-，是增函数，1x ≥，()813t f ∴≥=，则()22282223y t mt t m m t ⎛⎫=-+=-+-≥ ⎪⎝⎭，若83m ≥，当t m =时，2min 22y m =-=-，解得823m =<,不成立；若83m <，当83t =时，min 64162293y m =-+=-，解得258123m =<，成立； 所以2512m =． 题型三：指数 (型) 函数的单调性应用(2): 复合函数的单调问题例7．（2022·全国·高一单元测试）若函数241()3x axf x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,2上单调递增，则a 的取值范围为_________．【答案】1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是实数集上的减函数，所以由复合函数的单调性可知，函数24y x ax =-+在区间()1,2上单调递减， 函数24y x ax =-+的对称轴为2x a =，且开口向下，所以有21a ≤， 解得a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，故答案为：1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．例8．（2022·北京·牛栏山一中高一阶段练习）写出一个满足函数()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩在(),-∞+∞上单调递增的a 值_____________. 【答案】1（答案不唯一）【解析】因为()+1221,>=+2,x x ag x x x x a ≤⎧-⎨-⎩，当>x a 时()+121x g x -=在定义域上单调递增，当x a ≤时()()22+211x x g x x --==+-， 画出+121x y -=，2+2y x x -=的图象如下所示：要使函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增，由图可知当1a ≤时均可满足函数()g x 在(),-∞+∞上单调递增； 故答案为：1（答案不唯一）例9．（多选题）（2022·江苏·无锡市市北高级中学高一期中）函数2(65)1()()2x x f x -+-=在下列哪些区间内单调递减（ ） A ．(3),-∞ B ．(3,5)C ．(1,3)D ．(2,3)【答案】ACD【解析】由题意，函数1()2xy =在R 上单调递减，又由函数265y x x =-+-在(3),-∞上单调递增，在(3,)+∞上单调递减， 由复合函数的单调性可知，函数()f x 在(3),-∞上单调递减， 结合选项，可得选项ACD 符合题意. 故选：ACD.变式17．（2022·全国·高一单元测试）已知()()321,1,1xa x x f x a x ⎧-+≤=⎨>⎩是定义域为R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎫⎪⎝⎭B ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】由题意，132001321a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪-+≥⎩，故230121a a a ⎧<⎪⎪<<⎨⎪≥⎪⎩，解得12,23a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：B变式18．（2022·全国·高一单元测试）若2233x y x y ---<-，则（ ） A ．x y < B ．||||x y < C ．x y > D ．||||x y >【答案】A【解析】设函数()23x x f x -=-，因为函数2,3x x y y -==-都是实数集上的增函数， 所以函数()23x x f x -=-也是实数集上的增函数，由22332323()()x y x y x x y y f x y x y -----<-⇒-<-⇒<⇒<， 故选：A变式19．（2022·河南·登封市第一高级中学高一阶段练习）函数2435x x y -+-=的单调递减区间是（ ）A ．[2,)+∞B ．(,2]-∞C ．(,1]-∞D ．[1,)+∞【答案】A【解析】设243x x μ=-+-，在(,2]-∞单调递增，在[2,)+∞单调递减，5y μ=在(,)-∞+∞单调递增，根据“同增异减”可得，函数2435x x y -+-=的单调递减区间是[2,)+∞.故选：A.题型四：指数(型) 函数中的奇偶性及与单调性的综合例10．（2022·浙江温州·高一期中）已知函数()()21R 2x x f x x a-=∈+为奇函数；(1)求实数a 的值； (2)求()f x 的值域；(3)若关于x 的方程()()121001t f x b b ---=<<无实数解，求实数t 的取值范围．【解析】（1）由函数()212x xf x a -=+是定义域为R 的奇函数， 则()()f x f x -=-，即212122x x x x a a----=-++，即1221122x x x xa a --=-+⋅+， 所以122x x a a +⋅=+，即()()1210xa --=在R x ∈上恒成立，解得1a =；（2）由（1）得1a =，则()2121221212121x x x x x f x -+-===-+++，又函数2x y =单调递增，且20x >， 所以211x +>，20221x<<+， 所以()11f x -<<，即函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()()121001t f x b b ---=<<无实数解，即()121t f x b -=+无实数解，又()()22,2f x ∈-，所以112t b -+≤-或112t b -+≥， 即13t b -≤-（不成立），或11t b -≥， 又01b <<，所以10t -≤， 即1t ≤.例11．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()240,12x xa a f x a a a a-+=>≠+是定义在R 上的奇函数． (1)求a 的值；(2)求函数()f x 的值域；(3)当()1,2x ∈时，()220xmf x +->恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()002420022a a a f a a a -+-===++，解得2a =，当2a =时，()2121x x f x -=+，此时()()21122112x xx x f x f x -----===-++，所以2a =时，()2121x x f x -=+是奇函数.所以2a =；（2）由（1）可得()2121221212121x x x xxf x -+-===-+++， 因为20x >，可得211x +>，所以10121x <<+， 所以22021x-<-<+， 所以211121x -<-<+， 所以函数()f x 的值域为()1,1-； （3）由()220x mf x +->可得()22x mf x >-，即122221x x xm ->+-⋅，可得()()212122x xx m +->-对于()1,2x ∈恒成立， 令()211,3xt -=∈，则()()2121t t tt m t-=-++>，函数21y t t=-+在区间()1,3单调递增，所以221013133t t -+<-+=，所以103m ≥， 所以实数m 的取值范围为10,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．例12．（2022·贵州·黔西南州金成实验学校高一期末）已知函数4()12xf x a a=-+（0a >且1a ≠）为定义在R 上的奇函数.(1)利用单调性的定义证明函数()f x 在R 上单调递增；(2)求不等式()22(4)0f x x f x ++->的解集.(3)若函数()()1g x kf x =-有零点，求实数k 的取值范围.【解析】（1）由题意得：()40102f a =-=+，解得：2a =，142()112221x x f x +=-=-++， 任取12,x x R ∈，且12x x <，则()()()()()1212122121211111122222222222()112121212121212121x x x x x x x x x x x x f x f x +++++----=--+=-==++++++++因为12,x x R ∈，且12x x <，所以1211220x x ++-<，12210,210x x +>+>，所以()()()1221111222()02121x x x x f x f x ++--=<++，故()12()f x f x < 所以函数()f x 在R 上单调递增； （2）()22(4)0f x x f x ++->，即()22(4)f x x f x +>--，因为2()121x f x =-+为定义在R 上的奇函数， 所以()22(4)(4)f x x f x f x +>--=-，因为2()121x f x =-+为定义在R 上单调递增， 所以224x x x +>-， 解得：1x >或4x <-， 所以解集为：()(),41,-∞-+∞；（3）()()211121x g x kf x k ⎛⎫=-=-- ⎪+⎝⎭有零点， 当0k =时，()()11g x kf x =-=-，没有零点，不合题意，舍去； 当0k ≠时，即21121x k-=+有根， 其中当0x >时，21x >，212x +>，20121x<<+， 故()2()10,121x f x =-∈+， 又因为2()121x f x =-+在R 上为奇函数， 所以当0x <时，()2()11,021x f x =-∈-+， 且()00f =，所以2()121x f x =-+在R 上的值域为()1,1-， 故()()11,00,1k∈-⋃， 解得：()(),11,k ∈-∞-+∞，所以实数k 的取值范围为()(),11,k ∈-∞-+∞.变式20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且()()+22.x f x g x =(1)求()f x 与()g x 的解析式；(2)若对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x m g x -++恒成立，求实数m 的最大值． 【解析】（1）由题意()()+22xf xg x = ①，所以()()22xf xg x --+-= ，函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数与奇函数， 所以()()()(),f x f x g x g x =--=-所以()()22xf xg x --= ②，由①②解得()222x xf x -+=，22()4x xg x --=；（2）对()1,2x ∀∈，不等式()()()2220f x mg x -++恒成立，即()22222222024x x x xm --+--++，令22x x t -=-，315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则222222x x t -+=+，不等式等价于()2222024t tm +-++在315,24t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以min 622m t t ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，因为60,0t t>>，所以6626t t t t+⋅= 当且仅当6t t =即3156,24t ⎛⎫= ⎪⎝⎭时取等号， 所以246,462m m +-，即m 的最大值为46 2.变式21．（2022·辽宁·高一阶段练习）设函数()()212x xk f x k -=+-⋅（x ∈R ，k ∈Z ）．(1)若()k f x 是偶函数，求实数k 的值；(2)若存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立，求实数m 的取值范围． 【解析】(1)（1）若()k f x 是偶函数，则()()k k f x f x -=，即()()212212x x x xk k --+-⋅=+-⋅，即()()()()221212122x x x x x xk k k ----=-⋅--⋅=--，则11k -=，即2k =．(2)（2）存在[]1,2x ∈，使得()()014f mf x x +≤成立， 即2422x x x m -⋅≤-+，则()242242212x x x x xm ----+≤=⋅+-，设2x t -=，因为12x ≤≤，所以1142t ≤≤， 所以()22422141x x t t --⋅+-=+-， 令()224125y t t t =+-=+-， 因为1142t ≤≤，所以当12t =时，函数取得最大值152144y =+-=，则54m ≤， 所以实数m 的取值范围为5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．变式22．（2022·河北沧州·高一期末）已知函数()22xxf x a -=+⋅为偶函数()a ∈R . (1)判断()f x 在[0,2]上的单调性并证明；(2)求函数()2()44x x g x mf x a -=-++⋅在[1,2]-上的最小值. 【解析】(1)()f x 为偶函数，()()f x f x ∴=-， 即2222x x x x a a --+⋅=+⋅，()()1212x x a a --⋅=-⋅，则10,1a a -==.所以()22x xf x -=+.()f x 在[0,2]为增函数,证明如下：任取1x ，2x ，且1202x x ≤<≤，()()()1122122222x x x x f x f x ---=+-+211212121211222222222x x x x x x x x x x +-=-+-=-+()()1212121212121212221212222122222x x x x x x x x x x x x x x x x ++++--⎛⎫=--=--=-⋅ ⎪⎝⎭，1202x x ≤<≤，12220x x ∴-<，12210x x +->， ()121212212202x x x x x x ++-∴-⋅<.即()()12f x f x <，∴()f x 在[0,2]上单调递增.(2)()()22244x x x xg x m --=-+++，令1222([1,2])2x x xx t x -=+=+∈-，结合题意及（1）的结论可知172,4t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. ()22442222x x x x t --+=+-=-，22217()()22()22,4g x h t t mt t m m t ⎛⎫⎡⎤∴==--=---∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭.①当174m ≥时，min 1725717()4162h t h m ⎛⎫==- ⎪⎝⎭； ②当1724m <<时，2min ()()2h t h m m ==--； ③当2m ≤时，min ()(2)24h t h m ==-.综上，()2min24,2172,242571717,1624m m g x m m m m ⎧⎪-≤⎪⎪=--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩.变式23．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()2422ax x f x a ++=∈R ．当1a =时，()f x 的值域为______；若()f x 的最大值为16，则a 的值为______． 【答案】 1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】当1a =时，()2422xx f x ++=，设242t x x =++，则()2222t x =+-≥-，因为2x y =在R 上是增函数，所以24221224x x ++-≥=，即()14f x ≥，所以函数的值域是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；要使函数()f x 的最大值为16，则242t ax x =++的最大值为4，故2042444a a a <⎧⎪⎨⨯-=⎪⎩，解得2a =-．故答案为：1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；2-【过关测试】 一、单选题1．（2022·河南南阳·高一期中）已知函数()32,1,12,1,x x f x x x -⎧<-=⎨-≥-⎩若()()20f f a -+=，则实数=a （ ）A ．2-B ．2C ．4D ．6【答案】B【解析】由题知()()222422f --===-，()()20f f a -+=所以()4f a =-，因为1x <-时，()22xf x -=>，所以，1a ≥-， 所以()3124f a a =-=-，解得2a =.故选：B2．（2022·天津·高一期末）设x ∈R ，则“|2|<1x -”是“3<27x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|2|<1x -可知，1<2<1x --，即1<<3x ，根据指数函数性质，3x y =是R 上递增的指数函数，3<27x 即33<3x ，故<3x ，显然1<<3x 可推出<3x ，但反之不成立，故“|2|<1x -”是“3<27x ”的充分不必要条件. 故选：A3．（2022·山东·嘉祥县第一中学高一期中）已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x <时，()133x f x =-，则()0f x ≥的解集为（ ）A ．[)[)1,01,∞-⋃+B ．[]1,1-C ．[][)1,01,-⋃+∞D ．[)(]1,00,1-【答案】C【解析】因为函数()f x 为R 上的奇函数， 所以()00f =，又当0x <时，()133xf x =-，当0x >时，0x -<，则()()133xf x f x --=-=-，所以0x >时，()1133xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则由()0f x ≥可得，011033x x >⎧⎪⎨⎛⎫-≥ ⎪⎪⎝⎭⎩或01303x x <⎧⎪⎨-≥⎪⎩或0x =，解得1x ≥或10x -≤<或0x =，综上可得，不等式()0f x ≥的解集为[][)1,01,-⋃+∞． 故选：C ．4．（2022·全国·高一课时练习） 若存在正数x ，使得关于x 的不等式()31xx a -<成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)3,+∞ B ．[)1,-+∞C ．()1,-+∞D ．()0,+∞【答案】C【解析】由题意知13x x a ⎛⎫-< ⎪⎝⎭成立，即13xa x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭成立．令()13xf x x ⎛-⎫⎪⎝⎭=，显然()f x 在()0,+∞上单调递增，所以0x ∀>，()()01f x f >=-， 所以实数a 的取值范围是()1,-+∞． 故选：C5．（2022·全国·高一课时练习）若实数x ，y 满足2022202320222023x y y x --+<+，则（ ） A ．1x y> B ．1x y< C ．0x y -< D ．0x y ->【答案】C【解析】令()20222023x xf x -=-，由于2022x y =，2023x y -=-均为R 上的增函数，所以()20222023x x f x -=-是R 上的增函数．因为2022202320222023x y y x --+<+，所以2022202320222023x x y y ---<-，即()()f x f y <，所以x y <，所以0x y -<． 故选：C ．6．（2022·全国·高一单元测试）在同一坐标系中，函数2y ax bx =+与函数xy b =的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】函数x y b =的是指数函数，0b >且1b ≠，排除选项C ，如果0a >，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：b x a=-， 所以B 正确；对称轴在x 轴左侧，C 不正确； 如果0a <，二次函数有一个零点0bx a=->，所以D 不正确． 故选：B ．7．（2022·全国·高一专题练习）若2525x x y y ---≤-，则有（ ） A ．0x y +≥ B ．0x y +≤ C ．0x y -≤ D ．0x y -≥【答案】B【解析】构造函数()25x xf x -=-，易得函数()f x 单调递增，由2525x x y y ---≤-，可得()()f x f y ≤-，0x y x y ∴≤-⇒+≤， 故选：B.8．（2022·云南·昆明市官渡区第一中学高一阶段练习）已知函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩若()()22f a f a -≥-，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[2,1]- B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(,1]-∞D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A【解析】因为()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩，当0x ≤时()3xf x -=单调递减，且()1f x ≥，当0x >时，3()f x x =-单调递减，且()0f x <，所以函数()33,0,0x x f x x x -⎧≤=⎨->⎩在定义域上单调递减，因为()22()f a f a -≥-，所以22a a -≤-，解得21a -≤≤，即实数a 的取值范围为：[2,1]-. 故选：A. 二、多选题9．（2022·山东·青岛二中高一期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x R ∈，用[]x 表示不超过的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如[]3.54-=-，[]2.12=．已知函数()()1112x xa f x a a =->+，则关于函数()()g x f x =⎡⎤⎣⎦的叙述中正确的是（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()g x 是偶函数 C ．()f x 在R 上是增函数 D ．()g x 的值域是{}1,0-【答案】ACD【解析】A 选项：()()()1211122121x x x x x x xa a a a f x a a a ---=-==+++，()()()112121x xxx a a f x a a -----==++，∴()()f x f x -=-， ∴()f x 为奇函数，故A 正确；B 选项：∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦∴()()11g f ⎡⎤=⎣⎦，()()11g f ⎡⎤-=-⎣⎦，∵()f x 为奇函数，∴()()f x f x =--，∴()()11f f =--，∴()()11g g ≠-，故B 错误；C 选项：()()11111111112121221x x x x x xa a f x a a a a +-=-=-=--=-++++， ∵1a >，∴x a 为增函数，∴11xa +为减函数， ∴()1121xf x a =-+为增函数，故C 正确； D 选项：∵0x a >，∴11x a +>，∴111xa <+，∴()1122f x -<<． 又∵()()g x f x =⎡⎤⎣⎦，∴()g x 的值域为{}1,0-，故D 正确． 故选：ACD ．10．（2022·河南南阳·高一期中）不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．{}3,4x ∈ B ．0x ≤C ．1x ≥D ．02x ≤≤【答案】AB【解析】令20x t =>，所以，不等式()()3242787170x x t t t t +-+=-+=--≥，解得7t ≥或01t <≤所以，27x ≥或021x <≤，解得2log 7x ≥或0x ≤， 所以，不等式34270x x +-+≥的解集为(][)2,0log 7,-∞+∞，因为所求的是不等式34270x x +-+≥成立的一个充分不必要条件， 故只需满足是(][)2,0log 7,-∞+∞真子集即可，所以，只有AB 选项满足，CD 选项不满足. 故选：AB11．（2022·全国·高一课时练习）（多选）定义在[]1,1-上的函数()2943x xf x =-⋅+⋅，则下列结论中正确的是（ ）A ．()f x 的单调递减区间是[]0,1B ．()f x 的单调递增区间是[]1,1-C ．()f x 的最大值是()02f =D ．()f x 的最小值是()16f =-【答案】ACD【解析】设3x t =，[]1,1x ∈-，则3x t =是增函数，且1,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，又函数()2224212y t t t =-+=--+在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在[]1,3上单调递减，因此()f x 在[]1,0-上单调递增，在[]0,1上单调递减，故A 正确，B 错误；()()max 02f x f ==，故C 正确；()1019f -=，()16f =-，因此()f x 的最小值是6-，故D 正确． 故选:ACD ． 三、填空题12．（2022·山东省青岛第十九中学高一期中）若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 对于R 上任意两个不相等实数12,x x ，不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】[)4,8【解析】若函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩对于R 上任意两个不相等实数12,x x ， 不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦恒成立，则函数()f x 在R 上单调递增，则1402422a aa a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪≥-+⎪⎩，解得：48a ≤<，故实数a 的取值范围为[)4,8, 故答案为：[)4,8．13．（2022·内蒙古·北方重工集团第五中学高一阶段练习（文））已知函数()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2其中0a >且1a ≠，则函数()(0)y f x x =≥的值域是________． 【答案】(]02，【解析】因为()()10x f x a x -=≥的图象经过点1(2,),2所以2112a -=，解得12a =，则()()1102x f x x -⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，因为0x ≥，所以11x -≥-，所以12102x -⎛⎫< ⎝⎭≤⎪，即函数()(0)y f x x =≥的值域是(]02，， 故答案为：(]02，14．（2022·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数()142f x x x =+-．若存在()2,x ∈+∞，使得()42a a f x ≤-成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】[2,)+∞【解析】因为()2,x ∈+∞，所以20x ->， 所以()1144(2)822f x x x x x =+=-++-- 124(2)8122x x ≥-⋅=-， 当且仅当14(2)2x x -=-，即52x =时取等号，所以min ()12f x =，因为存在()2,x ∈+∞，使得()42a af x ≤-成立， 所以()min 42a af x ≤-，即1242a a ≤-，所以()222120a a --≥，即23a ≤-（舍去），或24a ≥，得2a ≥，所以a 的取值范围为[2,)+∞， 故答案为：[2,)+∞15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()()22133xa x f x +-+=在(),1-∞上单调递减，则实数a 的取值范围是______．【答案】1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】因为3x y =是R 上的增函数，()2213y x a x =+-+在21,2a -⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，所以，根据复合函数单调性，要使()f x 在(),1-∞上单调递减，需2112a --≥，解得12a ≤-，所以，实数a 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．故答案为：1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭16．（2022·全国·高一课时练习）若函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则实数a 的取值范围是______． 【答案】35,46⎛⎤⎥⎝⎦【解析】函数11x y a -=-（0a >，且1a ≠）的图象是将函数x y a =（0a >，且1a ≠）的图象向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到的，故函数1()1x f x a -=-（0a >，且1a ≠）的图象恒过点()1,0．当01a <<时，结合函数()f x 的图象：若函数()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．当1a >时，结合函数()f x 的图象：若()f x 在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则()()1321232112a a a a ⎧⎪>⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，无实数解． 综上，实数a 的取值范围为35,46⎛⎤⎥⎝⎦．解法二： 若()32112a a x -<<<，则110x a -->，所以()11x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，不符合题意；当01a <<时，函数1x y a -=在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，要使函数1()1x f x a -=-在区间()321,2a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则110x a -->在区间()321,2a a -⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()()01321232112a a a a ⎧⎪<<⎪-⎪<⎨⎪⎪-≤⎪⎩，解得3546a <≤．故实数a 的取值范围是35,46⎛⎤ ⎥⎝⎦．故答案为：35,46⎛⎤⎥⎝⎦.四、解答题17．（2022·山东·青岛二中高一期中）已知函数()()2,R f x x bx c b c =++∈，且()0f x ≤的解集为[]1,2-.(1)求函数()f x 的解析式；(2)解关于x 的不等式()()21mf x x m >--（其中0m>）；(3)设()()232xf xg x --=，若对任意的1x ，[]21,2x ∈，都有()()12g x g x t -≤，求t 的取值范围.【解析】（1）由()0f x ≤的解集为[1,2]-可得1,2-是方程20x bx c ++=的两个根，所以122b c -+=-⎧⎨-=⎩，解得1,2b c =-=-，所以2()2f x x x =--； （2）()()21mf x x m >--，化简有()222(1)m x x x m -->--即()2220mx m x -++>，可整理得()()()2100mx x m -->>， ①当2m =时，21m=，不等式的解集为()(),11-∞⋃+∞，； ②当02m <<时，21m>，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；③当2m >时，21m<，不等式的解集为()2,1,m ⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭；（3）由题意，()()21322xx f x g x ---==，对任意的[]12,1,2x x ∈，都有12|()()|g x g x t -≤， 则当[]1,2x ∈时，max min ()()g x g x t -≤，因为当[]1,2x ∈时，()g x 单调递增，所以()max 22()g x g ==，()0min 1()21g x g ===，所以max min 2)1(1()g x g x =--=， 所以1t ≥，即t 的取值范围为[)1,+∞18．（2022·广东·深圳外国语学校高一期中）已知函数()f x 对任意的实数,m n 都有()()()1f m n f m f n +=+-，且当0x >时，有()1f x >．(1)求证：()f x 在R 上为增函数；(2)若()()923292x x xf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∈+∞恒成立，求实数k 的取值范围．【解析】（1）设12x x <，令2m n x +=，1n x =，()()()22111f x f x x f x ∴=-+-， 则()()()21211f x f x f x x -=--；210x x ->，()211f x x ∴->，()()210f x f x ∴->，()f x ∴在R 上为增函数.（2）由题意得：()()()92329392312x x x x x f f k f k -⋅+⋅-=⋅-⋅-+>，()39231x x f k ∴⋅-⋅->，令0m n ==，则()()0201f f =-，解得：()01f =，()f x 为R 上的增函数，39230x x k ∴⋅-⋅->，3923x x k ∴<⋅-⋅，令31x t =≥，设()()2321g t t t t =-≥，()()min 11g t g ∴==，1k ∴<，即实数k 的取值范围为(),1-∞.19．（2022·福建省福州高级中学高一期末）已知函数()421x x f x k =+⋅+，()421x x g x =++． (1)若对于任意的R x ∈，()0f x >恒成立，求实数k 的取值范围； (2)若()()()f x h xg x =，且()h x 的最小值为2-，求实数k 的值． 【解析】（1）由()0f x >，得4210x xk +⋅+>恒成立，所以22x x k ->--对于任意的R x ∈，恒成立，因为()22222222x x x x x x -----=-+≤-⋅-，当且仅当22x x -=，即=0x 时取等号， 所以2k >-，即实数k 的取值范围为(2,)-+∞（2）()421221()111()421421212x x x x x x x x x x f x k k k h x g x +⋅+⋅--===+=+++++++，令1121221322x xx xt =++≥⋅=，当且仅当122x x =，即=0x 时取等号，则11(3)k y t t-=+≥， 当1k 时，11(3)k y t t -=+≥为减函数，则21,3k y +⎛⎤∈ ⎥⎝⎦无最小值，舍去， 当=1k 时，=1y 最小值不是2-，舍去， 当1k <时，11(3)k y t t -=+≥为增函数，则2,13k y +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，最小值为223k +=-，解得=8k -，综上，=8k -20．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ．(1)求a b +的值；(2)当3x ≤-时，函数11xy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方，求实数t 的取值范围．【解析】（1）∵函数()xf x ba =（其中a ，b 为常数，且0a >，1a ≠）的图象经过点()1,1M ，()3,9N ，∴319ba ba =⎧⎨=⎩∴29a =，∴3a =-（舍）或3a =，13b =，∴103a b +=； （2）由（1）得当3x ≤-时，函数133xy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象恒在函数2y x t =+图象的上方， 即当3x ≤-时，不等式13203xx t ⎛⎫+--> ⎪⎝⎭恒成立，亦即当3x ≤-时，min 1323x t x ⎡⎤⎛⎫<+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦．设()()13233xg x x x ⎛⎫=+-≤- ⎪⎝⎭，∵13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，2y x =-在(],3-∞-上单调递减，∴()1323xg x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(],3-∞-上单调递减，∴()()min 336g x g =-=， ∴36t <．。
指数函数知识点总结
指数函数知识点总结指数函数是数学中非常重要的一个概念，广泛应用于自然科学、工程技术和经济学等领域。
它具有许多独特的特性和性质，对于我们理解和应用数学具有重要的意义。
本文将对指数函数的定义、性质及其应用进行总结。
一、指数函数的定义和性质指数函数定义为以自然数e为底数的幂函数，即f(x)=a^x，其中a为底数，x为指数。
其中，底数a是正数且不等于1的任何实数。
指数函数的图像呈现出递增或递减的特点，取决于底数a的大小。
1. 当底数a大于1时，指数函数呈现递增的特性。
以a=2为例，f(x)=2^x的图像在坐标系中逐渐上升，呈现出指数增长的趋势。
指数函数在此情况下，也被称为增长函数。
2. 当底数a小于1且大于0时，指数函数呈现递减的特性。
以a=0.5为例，f(x)=0.5^x的图像在坐标系中逐渐下降，呈现出指数衰减的趋势。
指数函数在此情况下，也被称为衰减函数。
3. 当底数a等于1时，指数函数的值始终为1，即f(x)=1^x=1。
在此情况下，指数函数的图像为一条水平线，没有任何变化。
指数函数具有很多独特的性质，其中一些重要的性质如下：1. 指数函数的定义域为实数集。
任何实数都可以作为指数函数的自变量。
2. 指数函数的值域为正实数集。
由于底数a为正数，指数函数的幂结果始终大于0。
3. 当指数函数的底数a大于1时，映射为一对一。
即不同的指数x 对应不同的函数值f(x)。
4. 指数函数的图像都通过点(0,1)。
这是因为任何数的零次幂都等于1。
5. 指数函数具有对称轴的性质。
即f(x)=a^x的图像关于y轴对称。
二、指数函数的应用指数函数在自然科学、工程技术和经济学等领域应用广泛，主要体现在以下几个方面：1. 人口增长模型：指数函数可以用来描述人口的增长趋势。
如果一个国家的人口增长率呈现出指数增长，即人口每年以固定比例增加，那么可以使用指数函数来建立人口增长模型，预测未来的人口数量。
2. 金融利率计算：指数函数在金融学中有广泛的应用。
指数函数的性质及常考题型(含解析)
【变式 1-2】下列函数：① = 3 ；② = 6 ；③ = 6 ⋅ 2 ；④ = 8 + 1；⑤ = −6 .
其中一定为指数函数的有（
A．0 个
）
B．1 个
C．2 个
D．3 个
【解题思路】根据指数函数的定义判断即可；
【解答过程】解：形如 =
( > 0且 ≠ 1)为指数函数，其解析式需满足①底数为大于
数
函
数
︶
如图是指数函数（1）y＝ax，
（2）y＝bx，
（3）y＝cx，(4)y＝dx 的图象，底数 a，b，c，
d 与 1 之间的大小关系为 c>d>1>a>b．
由此我们可得到以下规律：在 y 轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．
3．比较指数幂的大小的方法
比较指数幂的大小的方法（分三种情况）
：
（1）底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断；
培
优
篇
高
【变式 5-2】已知函数() = ⋅ 的图像经过点(1,2)，(2,4)．
中
（1）求()的解析式；
数
（2）解不等式( + 3) > (4)．
学
︵
指
数
函
数
︶
【变式 5-3】已知函数() = + (0 < < 1)的图象经过点(0, −1)．
（1）求实数 b；
B．0 < < 1,0 < < 1
指
C．0 < < 1, > 1
D． > 1,0 < < 1
数
函
【变式 6-2】如图中，①②③④中不属于函数 = 3 ， = 2 ， =
指数函数及其性质题型及解析
指数函数及其性质题型及解析1.下列函数中，是指数函数的是（）①y=（-2）x②y=（）x③y=x2 ④y=x-1⑤y=5x+1⑥y=x4⑦y=3x⑧y=﹣2•3x ⑨y=πx⑩y=（-3）x分析：根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义进行判断即可．解：根据指数函数y=a x（a＞0且a≠1）的定义，得；①中y=（﹣2）x底数﹣2＜0，不是指数函数，②中y=是指数函数，③，④都是幂函数，不是指数函数；⑤y=5x+1不是指数函数；⑥y=x4是幂函数，不是指数函数；⑦y=3x是指数函数；⑧y=﹣2•3x不是指数函数．⑨满足指数函数的定义，故正确；⑩﹣3＜0，不是指数函数，故错误．2.为了得到函数y=2x﹣3﹣1的图象，只需把函数y=2x上所有点（）A．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度C．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度分析：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．解：函数图象的平移问题：在x上的变化符合“左加右减”，而在y上的变化符合“上加下减”．把函数y=2x 的图象向右平移3个单位长度得到函数y=2x﹣3的图象，再将所得图象再向下平移1个单位长度，得到函数y=2x﹣3﹣1的图象，故选A3.若指数函数的图象经过点（2／3，4），求该函数的解析式及f（﹣1／2）的值分析：设出指数函数的解析式，利用函数图象经过点的坐标求出函数解析式，再计算f（﹣1／2）的值解：设指数函数y=f（x）=a x（a＞0且a≠1），且函数的图象经过点（2／3，4），∴=4，解得a=8；∴该函数的解析式为y=f（x）=8x，∴f（﹣）===4.①若函数y=（3a﹣1）x为指数函数，求a的取值范围分析：由函数y=（3a﹣1）x为指数函数，知，由此能求出a的取值范围；根据指数函数的定义可得求解即可，解：∵函数y=（3a﹣1）x为指数函数，∴，解得a＞，且a，∴a的取值范围为（，）∪（，+∞）．②函数y=（2a2﹣3a+2）a x是指数函数，求a的取值解：若函数y=（2a2﹣3a+2）a x是指数函数，则解得：a=5.已知x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值恒大于1，求实数a的取值范围分析：利用指数函数的性质，可知其底数a2﹣8＞1，解之即得实数a的取值范围解：因为x＞0，指数函数y=（a2﹣8）x的值大于1恒成立，∴a2﹣8＞1，即a2＞9，解得a＞3或a＜﹣3．∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）6.已知指数函数f（x）=（a﹣1）x.（1）若f（x）在R上是增函数，求a的取值范围（2）若f（x）是R上的减函数，求a的取值范围分析：根据指数函数的图象和性质，即可得到答案．欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的增函数，只须其底数大于1即可，从而求得a的取值范围．欲使得指数函数f（x）=（a﹣1）x是R上的减函数，只须其底数小于1即可，从而求得a的取值范围解：（1）指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是增函数，∴a﹣1＞1，即a＞2，故a的取值范围是（2，+∞）（2）指数函数f（x）=（a﹣1）x在R上是减函数，∴0＜a﹣1＜1，即1＜a＜2，故a的取值范围是（1，2）7.在同一坐标系作出下列函数的图象，并指出它们与指数函数y=2x的图象的关系（1）y=2x+1与y=2x+2；（2）y=2x﹣1与y=2x﹣2；（3）y=2x﹣1与y=2x+1．分析：（1）y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向左平移1单位得到；y=2x+2的图象由函数y=2x的图象向左平移2单位得到；（2）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向右平移1个单位得到；y=2x﹣2的图象由函数y=2x的图象向右平移2个单位得到；（3）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向下平移1个单位得到；y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向上平移1个单位得到．解：y=2x+1与y=2x+2的图象如图，y=2x﹣1与y=2x﹣2的图象如图，y=2x﹣1与y=2x+1的图象如图（1）y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向左平移1单位得到；y=2x+2的图象由函数y=2x的图象向左平移2单位得到；（2）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向右平移1个单位得到；y=2x﹣2的图象由函数y=2x的图象向右平移2个单位得到；（3）y=2x﹣1的图象由函数y=2x的图象向下平移1个单位得到；y=2x+1的图象由函数y=2x的图象向上平移1个单位得到．8.指数函数y=a x y=b x y=c x y=d x在同一坐标系中图象如图，求a、b、c、d大小关系分析：比较指数函数的底数的大小，根据函数图象的单调性可知c＞1，d＞1，0＜a＜1，0＜b＜1，然后再比较c，d的大小，a，b的大小．解：由函数的图象可知，c＞d＞1＞a＞b＞09.比较大小①0.70.8，0.80.7②30.8与30.7 ③0.70.1与0.7﹣0.1分析：先分析底数与1的关系，进而确定对应函数的单调性，再比较两个式子指数的大小，由指数函数y=0.7x 为单调递减函数可得，0.70.8＜0.70.7，由幂函数y=x0.7为增函数可得，0.70.7＜0.80.7，，从而可得解：①由指数函数y=0.7x为单调递减函数可得，0.70.8＜0.70.7，由幂函数y=x0.7为增函数可得，0.70.7＜0.80.7，所以，0，70.8＜0.70.7＜0.80.7②∵3＞1，∴y=3x为增函数，又∵0.8＞0.7，∴30.8＞30.7③∵0＜0.7＜1，∴y=0.7x为减函数，又∵0.1＞﹣0.1．∴0.70.1＜0.7﹣0.1．10.解关于x的不等式（1）＞34（2）a2x+1≥a x﹣5分析：（1）直接由指数函数的单调性化指数不等式为一元二次不等式求解；（2）对a分类讨论，然后由指数函数的单调性化指数不等式为一元一次不等式求解．解：（1）由＞34，得x2﹣3x＞4，解得：x＜﹣1或x＞4．∴不等式＞34的解集为（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）；（2）当0＜a＜1时，由a2x+1≥a x﹣5，得2x+1≤x﹣5，解得x≤﹣6；当a＞1时，由a2x+1≥a x﹣5，得2x+1≥x﹣5，解得x≥﹣6．∴当0＜a＜1时，原不等式的解集为（﹣∞，﹣6]；当a＞1时，原不等式的解集为[6，+∞）11.2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少？x年后的人口是2000年人口的多少倍？解：设经过x年我国人口将达到y亿人，则y=13(1+1%)x（亿人），y÷13=(1+1%)x（倍）。
根据指数函数知识点及题型归纳总结
根据指数函数知识点及题型归纳总结指数函数是数学中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
本文将对指数函数的知识点和常见题型进行归纳总结，帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
一、知识点总结1. 定义：指数函数是以底数为常数，指数为变量的函数，一般形式为 f(x) = a^x，其中 a 是底数，x 是指数。
2. 指数的性质：- 正指数：a^x 是递增函数，即 x1 < x2，则 a^x1 < a^x2。
- 负指数：a^x 是递减函数，即 x1 < x2，则 a^x1 > a^x2。
- 零指数：a^0 = 1，任意数的零次方等于 1。
3. 底数的性质：- a > 1 时，指数函数呈现增长态势；- 0 < a < 1 时，指数函数呈现衰减态势；- a = 1 时，指数函数为常数函数。
4. 指数函数的图像：根据底数的不同，指数函数的图像可以是上升的曲线、下降的曲线或是一条直线。
5. 指数函数的特殊情况：- 当底数为 e（自然对数的底数）时，指数函数被称为自然指数函数，常用记作 f(x) = e^x。
- 当底数为 10 时，指数函数被称为常用对数函数，常用记作f(x) = log10(x)。
二、题型归纳1. 指数函数的图像绘制：- 根据给定的底数和定义域绘制指数函数的图像。
2. 指数函数的性质应用：- 判断给定的函数是指数函数还是其他类型的函数。
- 比较多个指数函数的增长趋势。
- 求解包含指数函数的方程或不等式。
3. 指数函数的变形与组合：- 利用指数函数的特性进行函数的变形与组合，如 f(x) = a^(2x)、f(x) = a^(x+1) 等。
4. 自然指数函数与常用对数函数的特性：- 探究自然指数函数和常用对数函数的特点及应用。
总结：指数函数是数学中重要的函数类型之一，掌握其基本概念及性质对于理解和应用数学知识具有重要意义。
通过练不同类型的题目，读者可以更好地熟悉指数函数的特点和应用，提高解题能力。
指数函数性质总结
指数函数性质总结指数函数是数学中一种重要的函数类型，它的表达形式是$y=a^x$，其中$a$为底数，$x$为指数。
指数函数具有以下几个重要的性质，下面将对这些性质进行详细总结。
性质一：幂乘法则指数函数的幂乘法则是指，当底数相同时，指数相加的结果等于对应幂相乘的结果。
即对于任意实数$a$和指数$x_1$、$x_2$，有$a^{x_1} \cdot a^{x_2} = a^{x_1 + x_2}$。
这个性质可以通过指数函数的定义和乘法法则推导得出。
性质二：指数为0和1的特殊情况当指数等于0时，指数函数的结果总是等于1。
即$a^0 = 1$，其中$a$为任意非零实数。
这是因为任何非零实数的0次方都是1。
当指数等于1时，指数函数的结果总是等于底数本身。
即$a^1 = a$，其中$a$为任意实数。
这是因为任何实数的1次方都等于它本身。
性质三：指数为负数的情况当指数为负数时，指数函数的结果等于底数的倒数的绝对值。
即当$x<0$时，$a^x=\frac{1}{|a^x|}$。
这是因为指数函数的值随着指数的增减而变化，当指数为负数时，结果是正数的倒数。
性质四：指数为分数的情况当指数为分数时，指数函数的结果等于底数的对应幂的开方。
即当$x=\frac{m}{n}$时，$a^x = \sqrt[n]{a^m}$，其中$a$为任意正实数，$m$和$n$为正整数。
这是因为指数为分数等于一个数的多次方根。
性质五：指数函数的图像特点指数函数的图像是一种特殊的曲线，其特点如下：1. 当底数$a>1$时，指数函数随着$x$的增大而迅速增大，曲线趋近于正无穷大。
当$a<1$时，指数函数随着$x$的增大而逐渐趋近于0，曲线接近于$x$轴。
这种特点称为“爆炸增长”和“衰减到零”。
2. 指数函数在$x=0$处取得函数值为1的极值点，称为“基准点”。
当底数$a>1$时，函数在基准点的右侧逐渐增大；当$a<1$时，函数在基准点的右侧逐渐减小。
指数函数知识点总结
指数函数知识点总结指数函数是高中数学中的重要内容，它在数学和科学领域中都有着广泛的应用。
指数函数的概念和性质对于学生来说是一个比较抽象和难以理解的内容，但只要我们掌握了其中的一些关键知识点，就能够很好地理解和运用指数函数。
本文将对指数函数的知识点进行总结，希望能够帮助学生更好地掌握这一部分内容。
一、指数函数的定义。
指数函数是以指数为自变量的函数，一般写作y=a^x，其中a是底数，x是指数，y是函数值。
当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
指数函数的图像一般为一条曲线，随着指数的增大或减小而逐渐增长或减小。
二、指数函数的性质。
1. 指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。
2. 当底数a大于1时，函数呈现增长趋势；当底数a在0和1之间时，函数呈现下降趋势。
3. 指数函数的图像一般为一条曲线，随着指数的增大或减小而逐渐增长或减小。
4. 指数函数的图像经过点(0,1)，并且不过x轴。
三、指数函数的运算。
1. 指数函数的乘法，a^m a^n = a^(m+n)。
2. 指数函数的除法，a^m / a^n = a^(m-n)。
3. 指数函数的幂运算，(a^m)^n = a^(mn)。
四、指数函数的应用。
1. 指数函数在经济学中的应用，例如复利计算、指数增长模型等。
2. 指数函数在生物学中的应用，例如细菌繁殖、人口增长等。
3. 指数函数在物理学中的应用，例如放射性衰变、电路中的电流变化等。
五、指数函数的解析式和图像。
1. 当底数a大于1时，指数函数的解析式为y=a^x，图像为逐渐增长的曲线。
2. 当底数a在0和1之间时，指数函数的解析式为y=a^x，图像为逐渐减小的曲线。
六、指数函数与对数函数的关系。
指数函数和对数函数是互为反函数的函数关系，它们之间有着密切的联系。
指数函数的解析式为y=a^x，对数函数的解析式为y=loga(x)，它们之间的关系可以通过换底公式进行转换。
指数函数(解析版)
考点14 指数函数【命题解读】在高考中指数函数部分往往与其他知识点交汇考查，也常与函数的图像结合考查。
重点考查与此有关的性质。
【基础知识回顾】 ．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是变量，函数的定义域是R ，a 是底数． (2)指数函数的图象与性质a ＞10＜a ＜1图象定义域 (1)R 值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0，1)，即x ＝0时，y ＝1(4)当x ＞0时，y ＞1；当x ＜0时，0＜y ＜1 (5)当x ＜0时，y ＞1；当x ＞0时，0＜y ＜1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数[常用结论]1．指数函数图象的画法画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，⎝⎛⎭⎫－1，1a .2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象越高，底数越大．3．指数函数y＝a x(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．1、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．b＜a＜c D．b＜c＜a【答案】C【解析】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c. 2、函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )A.a>1，b<0B.a>1，b>0C.0<a<1，b>0D.0<a<1，b<0【答案】D【解析】由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a<1. 函数f(x)＝a x－b的图象是在f(x)＝a x的基础上向左平移得到的，所以b<0.3、若函数y＝(a2－1)x是R上的减函数，则实数a的取值范围是( )A. 1<a< 2B. －2<a<－1C. 1<a<2，或－2<a<－1D.22<a<1，或1<a< 2【答案】C【解析】由y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a2－1<1，∴1<a2<2，即1<a<2或－2<a<－1.∴数a的取值范围是1<a<2或－2<a<－1.故选C.4、已知函数f(x)＝a x－3＋2的图像恒过定点A，则A的坐标为．【答案】(3，3)【解析】 由a 0＝1知，当x －3＝0，即x ＝3时，f(3)＝3，即图像必过定点(3，3)． 5、函数的值域为（ ）A ．B ．C ．（0，]D ．（0，2]【答案】A【解析】令t （x ）＝2x ﹣x 2＝﹣（x ﹣1）2+1≤1 ∵单调递减∴即y故选：A ．考向一 指数函数的性质与应用例1、（1）．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0．53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b ＜a ＜cB ．c ＜a ＜bC ．c ＜b ＜aD ．a ＜b ＜c ．（2）．如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a ＞0，a ≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a 的值为（ ） A ．3 B ．13 C ．-5 D ．3或13．（3）．已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________． 【解析】（1）．B 由函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，得m ＝0，即f (x )＝2|x |－1，其图象过原点，且关于y 轴对称， 在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． 又a ＝f (log 0．53)＝f (－log 23)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)， c ＝f (0)，且0＜log 23＜log 25，所以c ＜a ＜b ．（2）．D 令a x ＝t ，则y ＝a 2x ＋2a x －1＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2．当a ＞1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上单调递增，所以y max ＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3(负值舍去)．当0＜a ＜1时，因为x ∈[－1，1]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 又函数y ＝(t ＋1)2－2在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上单调递增，则y max ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14，解得a ＝13(负值舍去)． 综上知a ＝3或a ＝13．（3）令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m 2上单调递减，而y ＝2t 为R 上的增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．变式1、（1）函数f(x)＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的单调减区间为 ．（2）(一题两空)已知函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，则a 的取值范围为________，f (－4)与f (1)的大小关系是________．（3）（2019·福建泉州五中模拟）设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1，1]上的最大值是14，则实数a 的值为________．【答案】（1） (－∞，1] （2）(1，＋∞) f (－4)＞f (1)（3）13或3【解析】（1）设u ＝－x 2＋2x ＋1，∵y ＝12a⎛⎫⎪⎝⎭在R 上为减函数，∴函数f (x )＝22112x x -++⎛⎫⎪⎝⎭的减区间即为函数u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间．又u ＝－x 2＋2x ＋1的增区间为(－∞，1]，∴f (x )的减区间为(－∞，1]．（2）因为|x ＋1|≥0，函数f (x )＝a |x ＋1|(a ＞0，且a ≠1)的值域为[1，＋∞)，所以a ＞1.由于函数f (x )＝a|x ＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且它的图象关于直线x ＝－1对称，则函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数，故f (1)＝f (－3)，f (－4)＞f (1)．（3）令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)．①当0<a <1，x ∈[－1，1]时，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13.②当a >1时，x ∈[－1，1]，t ＝a x∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ，此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数．所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去)．综上得a ＝13或3.变式2、（江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测】不等式23122x x --<的解集为_______. 【答案】(﹣1，2) 【解析】由题23122x x --<则2311222x x ---<=，故23112x x x --<-⇒-<< 故填(﹣1，2)变式3、设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x ≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是 ；【答案】(－3，1)【解析】当a <0时，不等式f (a )<1可化为12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭－7<1，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<8，即12a ⎛⎫ ⎪⎝⎭<312-⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴a >－3.又a <0，∴－3<a <0.当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1.∴0≤a <1， 综上，a 的取值范围为(－3，1)．变式4、(2020·包头模拟)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______. 【答案】12.【解析】(1)当a <1时，41－a＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立.故a 的值为12.方法总结： 指数函数的性质有着广泛的应用，常见的有：比较大小，解不等式，求函数的单调区间和值域、最值等等．(1)比较两个幂值的大小问题是常见问题，解决这类问题首先要分清底数是否相同；若底数相同，则可利用函数的单调性解决；若底数不同，则要利用中间变量进行比较．(2)与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域(最值)、单调性、奇偶性问题，常常需要借助换元等手段将其化归于指数函数来解，体现化归与转化思想的运用．(3)在利用指数函数的性质解决与指数函数相关的问题时，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时须分底数0<a <1和a >1两种情形进行分类讨论，防止错解考向二 指数函数的图像与性质例2、如图，过原点O 的直线与函数y ＝2x 的图像交于A ，B 两点，过点B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图像于点C ，若AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是________． 【答案】(1,2)．【解析】设C (a,4a )，则A (a,2a )，B (2a,4a )．又O ，A ，B 三点共线，所以2a a ＝4a2a ，故4a ＝2·2a ，所以2a ＝0(舍去)或2a ＝2，即a ＝1，所以点A 的坐标是(1,2)．变式1、（2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟）已知过点O 的直线与函数3x y =的图象交于A 、B 两点，点A 在线段OB 上，过A 作y 轴的平行线交函数9x y =的图象于C 点，当BC ∥x 轴，点A的横坐标是 【答案】3log 2【解析】根据题意，可设点(),3a A a ，则(),9a C a ,由于BC ∥x 轴，故9aC B y y ==，代入3x y =，可得2B x a =，即()2,9aB a ，由于A 在线段OB 上，故OA OB k k =，即392a a a a=，解得 3log 2a =.变式2、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c <<C ．b c a <<D ．b a c <<【答案】C 【解析】在同一直角坐标系内，作出函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3log y x =，3x y =，13log y x =的图像如下：因为31log 3a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log b b =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以a 是13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭与3log y x =交点的横坐标；b 是3x y =与13log y x =交点的横坐标；c 是13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与13log y x =交点的横坐标；由图像可得：b c a <<. 故选：C.变式3、（2019·广西北海一中月考）函数y ＝a x－1a (a >0，且a ≠1)的图象可能是( )【答案】D【解析】当a >1时，y ＝a x－1a 是增函数．当x ＝0时，y ＝1－1a ∈(0，1)，A ，B 不满足． 当0<a <1时，y ＝a x－1a 在R 上是减函数．当x ＝0时，y ＝1－1a <0，C 错，D 项满足． 变式4、 已知f(x)＝|2x －1|.(1)求f(x)的单调区间；(2)比较f(x ＋1)与f(x)的大小；(3)试确定函数g(x)＝f(x)－x 2的零点的个数．【解析】 (1)由f(x)＝|2x－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x ，x<0可作出函数的图像如图所示．因此函数f(x)的单调减区间是(－∞，0)上，单调增区间是(0，＋∞)． (2)在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x ＋1)的图像如图所示．由图像知，当012x +－1＝1－02x ，即x 0＝log 223时，两图像相交，当x<22log 3时，f(x)>f(x ＋1)； 当x ＝22log 3时，f(x)＝f(x ＋1)；当x>22log 3时，f(x)<f(x ＋1)．(3)将g(x)＝f(x)－x 2的零点个数问题转化为函数f(x)与y ＝x 2的图像的交点个数问题，在同一坐标系中，分别作出函数f(x)＝|2x －1|和y ＝x 2的图像(如图所示)，有四个交点，故g(x)有四个零点．方法总结：指数函数的图像直观的刻画了指数函数的性质，在解题中有着十分广泛的应用．(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除； (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论；(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数函数图像，数形结合求解．考向三 指数函数的综合运用例3、关于函数f (x )＝14x＋2的性质，下列说法中正确的是( )A ．函数f (x )的定义域为RB ．函数f (x )的值域为(0，＋∞)C ．方程f (x )＝x 有且只有一个实根D ．函数f (x )的图象是中心对称图形 【答案】 ACD【解析】 函数f (x )＝14x ＋2的定义域为R ，所以A 正确；因为y ＝4x在定义域内单调递增，所以函数f (x )＝14x ＋2在定义域内单调递减，所以函数的值域为⎝⎛⎭⎫0，12，所以方程f (x )＝x 只有一个实根，所以B 不正确，C 正确； 因为f (x ＋1)＋f (－x )＝14x ＋1＋2＋14－x ＋2＝14·4x ＋2＋4x 2·4x ＋1＝12，∴f (x )关于⎝⎛⎭⎫12，14对称，所以D 正确．变式1、（2020届江苏省南通市如皋市高三上学期教学质量调研(二)）已知函数(),413,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩，若16f f a =，则实数a = _____．【答案】1-【解析】∵函数(),413,1x x f x x x ⎧≥=⎨+<⎩,16f f a =, ∴当1a ≥时,44a f a ＝,4(())4416aa f f a f ,解得12a =,不合题意． 当1a <时, 3f a a = , 当31a 时,33416af f a f a ==,解得1a =-,当31a 时,33316f f a f a a ==,解得10a =,不合题意．综上,实数1a =-． 故答案为：1-．变式2、已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1) 求a ，b 的值；(2) 若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围．【解析】 (1) ∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0，即b －1a ＋2＝0⇒b ＝1，∴f (x )＝1－2xa ＋2x ＋1.又由f (1)＝－f (－1)，得1－2a ＋4＝－1－12a ＋1⇒a ＝2. 经检验知，a ＝2，b ＝1为所求．(2)(方法1)由(1)得f (x )＝1－2x 2＋2x ＋1＝－12＋12x ＋1，易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数．∵f (x )是奇函数，∴f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0⇔f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (k －2t 2)． ∴t 2－2t >k －2t 2，即对一切t 有3t 2－2t －k >0.∴Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.(方法2)由(1)知f (x )＝1－2x2＋2x ＋1， ∴222211222ttt t --+-+＋222211222tkt k --+-+<0，即(2212t k -+＋2)(1－222t t -)＋(2222t t -+＋2)(1－222t k -<0，即2322t t k --1，故3t 2－2t －k >0.上式对一切t ∈R 均成立，从而Δ＝4＋12k <0⇒k <－13.变式3、设a 是实数，f (x )＝a －22x ＋1(x ∈R )． (1) 试证明对于任意a ，f (x )都为增函数； (2) 试确定a 的值，使f (x )为奇函数． 【证明】 (1)设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝1221x a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭－2221x a ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=21222121x x -++＝()()12122(22)2121x x x x -++. 由于指数函数y ＝2x在R 上是增函数，且x 1<x 2，∴12x <22x ，即1222x x -<0.又由2x>0，得12x ＋1>0，22x ＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．∵此结论与a 的取值无关，∴对于a 取任意实数， f (x )均为增函数．(2)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即a －22－x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －22x＋1，变形得2a ＝2·2x （2－x ＋1）·2x ＋22x ＋1＝2·（2x ＋1）2x ＋1＝2，解得a ＝1. 方法总结：指数函数性质的综合应用，其方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解以上问题都是指数型函数问题，关键应判断其单调性，对于形如y ＝a f (x )的函数的单调性，它的单调区间与f (x )的单调区间有关：若a >1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调增(减)区间；若0<a <1，函数f (x )的单调增(减)区间即函数y ＝a f (x )的单调减(增)区间1、(2018全国卷Ⅱ)函数2()--=x x e e f x x的图像大致为【答案】B【解析】当0<x 时，因为0--<x x e e ，所以此时2()0--=<x x e e f x x，故排除A ．D ；又1(1)2=->f e e ，故排除C ，选B ．2、（2020届山东省烟台市高三上期末）设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】 由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5x y =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3x y =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<,故选：A 3、（2017北京）已知函数1()3()3x x f x =-，则()f x A ．是奇函数，且在R 上是增函数 B ．是偶函数，且在R 上是增函数 C ．是奇函数，且在R 上是减函数 D ．是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】11()3()(3())()33x x x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数， ()(33)3ln33ln30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．4、（2012山东）若函数在[1,2]-上的最大值为4，最小值为m ，且函数()(0,1)x f x a a a =>≠()(14g x m =-在上是增函数，则a ＝ ．【答案】 【解析】 当时，有，此时，此时为减函数，不合题意．若，则，故，检验知符合题意． 5、已知函数f (x )＝3x－13|x |． (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)判断x >0时，f (x )的单调性；(3)若3tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈⎣⎡⎦⎤12，1恒成立，求m 的取值范围． 【解析】：(1)当x ≤0时，f (x )＝3x －3x ＝0，不满足f (x )＝2．当x >0时，f (x )＝3x－13x ，令3x －13x ＝2． 03 1.x x >∴>，∴(3x )2－2·3x －1＝0，解得3x ＝1±2．∵3x >1，∴3x ＝1＋2．∴x ＝log 3(1＋2)．0x >，1=33x x f x ∴-函数可化为（）. (2)∵y ＝3x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝13x 在(0，＋∞)上单调递减，∴f (x )＝3x －13x 在(0，＋∞)上单调递增．(3)∵t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，∴f (t )＝3t －13t >0．∴3t f (2t )＋mf (t )≥0化为3t⎝⎛⎭⎫32t －132t ＋m ⎝⎛⎭⎫3t －13t ≥0， 即3t⎝⎛⎭⎫3t ＋13t ＋m ≥0，即m ≥－32t －1． 令g (t )＝－32t－1，则g (t )在⎣⎡⎦⎤12，1上递减， ∴g (x )max ＝－4．∴所求实数m 的取值范围是[－4，＋∞)．[0,)+∞141a >214,a a m -==12,2a m ==()g x =01a <<124,a a m -==11,416a m ==。
指数函数及其性质(含知识点、例题、练习、测试)
指数函数及其性质 知识点一 指数函数及图像性质1.指数函数概念：定义：一般地，函数(0,1)x y a a a =>≠且叫做指数函数（exponential function ），其中x 是自变量，函数的定义域为R ，a 是底数.2. 指数函数的图象和性质：作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： 1()2x y =， 2x y =图像性质总结 底数 a >1 0<a <1图象性质 函数的定义域为R ，值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即x ＝0时，y ＝1 当x >0时，恒有y >1；当x <0时，恒有0<y <1当x >0时，恒有0<y <1； 当x <0时，恒有y >1 函数在定义域R 上为增函数 函数在定义域R 上为减函数题型一 指数函数求值【例1】已知指数函数()xf x a =（a ＞0且a ≠1）的图象过点（3，π），求(0),(1),(3)f f f -的值.题型二 比较大小【例2】比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与 1.73( 2 )0.10.8-与0.20.8-( 3 ) 1.70.3 与 0.93.1题型三 指数函数性质【例3】求下列函数的定义域与值域：（1）442x y -= （2）||2()3x y =【过关练习】1、 函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，则a 的值为 .2、 比较大小：0.70.90.80.8,0.8, 1.2a b c ===； 01, 2.50.4,-0.22-, 1.62.5.思考探究：在[m ，n ]上，()(01)x f x a a a =>≠且值域问题？知识点二 指数函数应用1. 指数函数的应用模型（应用题）2. 指数形式的函数定义域、值域题型 函数综合【例1】 2017年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x 年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？【例2】指数函数与函数性质综合1、已知函数[]2,1,2329∈+•-=x y xx ，求这个函数的值域；2、求函数2121x x y -=+的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.【过关练习】1、 一片树林中现有木材30000m 3，如果每年增长5%，经过x 年树林中有木材y m 3，写出x ，y 间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m 32. ① 求函数y =的定义域和值域.② 求下列函数的定义域、值域：21x y =+; y =110.4x y -=.【补救练习】 1、已知函数y ＝kx ＋a 的图象如图所示，则函数y ＝a x ＋k 的图象可能是( )2、比较下列各组数的大小： 13222()0.45--与（） ； 0.760.75333-（）与（）.【巩固练习】1、函数f (x )＝2|x －1|的图象是( )2、下列函数中值域为正实数的是( )A ．y ＝－5xB ．y ＝⎝⎛⎭⎫131－x C ．y ＝⎝⎛⎭⎫12x －1 D ．y ＝1－2x 【拔高练习】1、当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．(－4,3)C ．(－1,2)D ．(－3,4)2、某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃ 的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．【补救练习】 B ＞＜【巩固练习】B B 【拔高练习】 C 24。
指数函数及其性质知识点总结超详细版（共66页）
指数函数及其性质知识点总结本节知识点（1）指数函数的概念（2）指数函数的图象和性质（3）指数函数的定义域和值域（4）指数函数的单调性及其应用（5）指数函数的图象变换知识点一指数函数的概念一般地,函数xa y （0a且1a ）叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R .1.为什么规定“0a 且1a”?答:若0a ,则当0x 时,0xa ,当x ≤0时,xa 无意义;若0a,则对于x 的某些值,xa 无意义,如函数xy2,当41,21x时,函数无意义;若1a ,则对任意的xR ,都有1xa,没有研究的必要.基于上面的原因,在指数函数的定义中,规定0a 且1a .上面的定义,是形式定义.2.为什么指数函数的定义域是R ?答:对于指数幂来说,当底数大于0时,指数已经由整数指数推广到了实数指数,所以在指数函数的定义里面,自变量的取值范围是全体实数,即函数的定义域为R .3.指数函数的结构特征指数函数的定义是形式上的定义,其函数解析式的结构具有非常明显的特征,如下:（1）指数中只有一个自变量x ,而不是含自变量的多项式;（2）xa 的系数必须为1,不能是其它的数字,也不能含有自变量;（3）底数a 必须满足0a且1a的一个常数.根据上面的三个特征,可以判断一个函数是否为指数函数,也可以在已知指数函数的前提下,求参数的值或参数的取值范围.例1. 已知函数xa axf 32是指数函数,求a 的值.分析:本题考查指数函数的定义,指数函数的定义有三个特征: （1）指数的位置只有一个自变量,但不是含自变量的多项式; （2）底数是一个大于0且不等于1的常数;（3）xa 的系数必须为 1. 解:∵函数xa axf 32是指数函数∴10132aaa,解之得:2a .例2. 已知指数函数32aa ayx的图象过点4,2,则a _________.解:由题意可得:10032aaa a,解之得:2a或3a.∵函数的图象经过点4,2∴2a.例3. 若指数函数x f 的图象经过点9,2,求x f 的解析式及1f 的值.解:设函数xa x f . ∵其图象经过点9,2,∴2239a,∴3a.∴x f 的解析式为xx f 3.∴31311f.例4. 函数xa aay 442是指数函数,则a 的值是【】（A ）4（B ）1或3（C ）3（D ）1解:由题意可得:101442aaa a,解之得:3a .∴xy3.选择【 C 】.例5. 若函数xa y 12（x 是自变量）是指数函数,则a 的取值范围是_________. 解:∵函数xa y 12是指数函数∴112012a a ,解之得:21a且1a .∴a 的取值范围是121aaa 且.例6. 若函数xaa y 32是指数函数,求实数a 的取值范围.解:∵函数xaay32是指数函数∴130322aaa a ,解之得:213303aa a或.∴实数a 的取值范围是213303aaaa 且或.知识点二指数函数的图象和性质一般地,指数函数xa y（0a且1a ）的图象和性质如下表所示:1a 1a 图象（在x 轴上方）xyO 1yx1O定义域R值域,0性质（1）图象过定点1,0;（2）在R 上为减函数（2）在R 上为增函数指数函数函数值的特点:（1）当10a 时,若0x ,则恒有1y ;若0x,则恒有10y ;（2）当1a 时,若0x ,则恒有10y;若0x,则恒有1y.1. 指数函数图象的画法对于指数函数xa y （0a且1a ）,当0x 时,1y;当1x 时,a y ;当1x时,ay1.所以指数函数的图象经过三个关键点:1,0,a ,1和a1,1.在画指数函数图象的草图时,应抓住以上三个关键点作图.（1）由于指数函数xa y （0a且1a ）的图象经过点a ,1,所以指数函数的图象与直线1x 的交点的纵坐标等于函数的底数.交点的位置越高,底数a 就越大.（2）由于指数函数xa y（0a且1a ）的图象经过点a1,1,所以指数函数的图象与直线1x 的交点的纵坐标等于底数的倒数.交点的位置越高,a 1越大,底数就越小.2. 函数xa y（0a且1a ）与函数xay1（0a 且1a ）的图象的关系在同一平面直角坐标系中,函数xa y （0a且1a ）与函数xay1（0a 且1a）的图象关于y 轴对称.即两个指数函数底数互为倒数,图象关于y 轴对称.如下图所示,指数函数xy2与xy21的图象关于y 轴对称.yxy = 2xy = 2x1OxyO 11y = 2xy = 2x（1）指数函数xa y （0a且1a ）与函数xa y （0a且1a ）的图象关于x 轴对称.如上右图所示,指数函数xy2与函数xy2的图象关于x 轴对称.（2）指数函数xa y（0a且1a ）与函数xa y （0a 且1a ）（即xay1）的图象关于原点对称（成中心对称）.如下图所示,指数函数xy 2与函数xy 2（即xy21）的图象关于原点对称.xyO11y = 2xy = 2x3.与指数函数有关的恒过定点问题由于指数函数xa y （0a且1a ）的图象恒过定点1,0,因此我们讨论与指数函数有关的函数的图象过定点的问题时,只需令指数等于0,解出相应的y x,,即为定点坐标.例7. 函数531x ax f （1,0aa且）的图象恒过定点_________.解:令01x ,则1x ,2513y.∴函数531x a x f （1,0aa且）的图象恒过定点2,1.例8. 函数1x ay （1,0a a 且）的图象恒过定点P,则点P 的坐标为【】（A ）1,0（B ）1,1（C ）1,1（D ）0,1解:令01x ,则1x,10ay.∴定点P 的坐标为1,1.选择【 B 】. 例9. 函数1x ay （1,0a a 且）的图象恒过的定点坐标为_________. 解:令01x ,则1x,10ay.∴函数1x ay（1,0aa且）的图象恒过定点1,1.例10. 函数33xay （1,0aa且）的图象过定点_________.解:令03x ,则3x,43130ay.∴函数33xay（1,0aa且）的图象过定点4,3.例11. 如果指数函数xa x f 1是R 上的减函数,那么a 的取值范围是【】（A ）2a （B ）2a （C ）21a（D ）10a 分析对于指数函数xa y（0a且1a）,当10a时,函数的图象从左到右是下降的,函数为R 上的减函数.解:∵函数xax f 1是R 上的减函数∴110a ,解之得:21a .∴a 的取值范围是2,1.选择【 C 】. 例12. 已知集合3xx A ,42xx B ,则B A__________.分析:指数函数xy 2为R 上的增函数.解:42x,222x∵函数xy 2为R 上的增函数∴2x ,∴2x x B∴32xx BA.例13. 解不等式22112x . 解:22121x ,2221x∵函数xy2为R 上的增函数∴121x ,解之得:0x .∴原不等式的解集为0,.例14. 不等式422xx的解集为__________.解:2222xx∵函数xy 2为R 上的增函数∴22xx,解之得:21x .∵原不等式的解集为2,1.4.指数函数xa y（0a且1a）的底数a 对函数图象的影响底数a 与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”:（1）当1a 时,指数函数的图象是上升的,函数是R 上的增函数.底数越大,函数图象在y轴右侧部分越接近于y 轴,即图象越陡,说明函数值增长得越快;（2）当10a 时,指数函数的图象是下降的,函数为R 上的减函数.底数越小,函数图象在y 轴左侧部分越接近于y 轴，即函数图象越陡,说明函数值减小得越快.xy1,f11,e11,d1y = fxy = e xy = dx1, c ()y = cx1, b ()y = b x1, a ()y = axx = 1x = 1y = 1111O根据上面的介绍,在上图中,各个指数函数的底数之间的大小关系为:01f e d cba.前面已经提到,因为指数函数xa y （0a ,且1a ）的图象经过三个关键点:1,0,a ,1和a1,1,所以直线1x 与指数函数图象的交点即为点a ,1,交点的纵坐标等于指数函数的底数,故底数越大,交点的位置越高.于是有下面的结论:结论底数a 的大小决定了指数函数图象相对位置的高低:不论是1a 还是10a ,在第一象限内底数越大,函数图象越靠上.简记为:在y 轴右侧,底大图高.另外,直线1x 与指数函数图象的交点为a1,1（即1,1a）,交点的纵坐标等于底数的倒数,故底数越小,倒数越大,交点的位置越高.简记为:在y 轴左侧,底大图低. 5.指数函数xa y （0a且1a ）与xb y （0b且1b ）的图象特点（1）若1ba ,则当0x 时,总有10xxba;当0x时,总有1xxba;当0x 时,总有1xxb a;（2）若10a b,则当0x时,总有1xxab;当0x时,总有1xxba;当0x时,总有10xxab . 综上所述,当0x ,0b a ,且1a ,1b 时,总有xxb a ; 当0x,0ba,且1a ,1b时,总有xxb a.6. 指数函数xa y （0a 且1a）的图象和性质再说明指数函数xa y （0a 且1a ）的定义域是R ,值域是,0.图象: （1）若1a ,当x 时,0y ,即x 的值越小,函数的图象越接近于x 轴,但不相交;（2）若10a,当x时,0y .即x 的值越大,函数的图象越接近于x 轴,但不相交.因此,x 轴（即直线0y ）是指数函数xa y（0a且1a ）的图象的一条渐近线.性质: （1）若1a ,则当0x时,总有1y ,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1y 的上方;当0x 时,总有10y,即函数图象y 轴左侧的部分在直线1y和x 轴之间.（2）若10a,则当0x 时,总有10y,即函数图象y 轴右侧的部分在直线1y和x 轴之间;当0x 时,总有1y ,即函数图象y 轴左侧的部分在直线1y的上方.例15. 设0x ,且xxa b 1,则【】（A ）1a b（B ）10b a（C ）a b 1（D ）ba1解法一:∵0x ,且xxab1∴指数函数xa y（0a且1a ）和xb y（0b且1b ）在y 轴右侧的图象xy1b aObammg x =13xf x =12x都在直线1y 的上方,它们的的图象是上升的,∴1a,1b ∵在y 轴右侧,指数函数xa y （0a且1a ）的图象在xb y （0b且1b ）的图象的上方∴根据第一象限“底大图上”,有b a .∴1b a.选择【 C 】.解法二:∵x xa b 1,∴xx aab b,∵0x ,∴1,1ab .∵xxa b,0xa ,0x ∴1xxxaba b ,∴10ab ,∴b a.∴1b a.例16. 已知实数b a,满足ba3121,给出下面的五种关系,则其中可能成立的序号为__________. ①b a;②a b;③0a b ; ④0b a ; ⑤0a b .分析:采用数形结合的方法解决本题:在同一平面直角坐标系中分别画出指数函数xy21和xy31的草图,在画图时要注意y 轴左侧“底小图高”和y 轴右侧“底大图高”，还有指数函数的图象都经过定点1,0.解:如下图所示,在同一平面直角坐标系中分别画出函数xy21和xy31的图象.为便于观察并发现问题,设m ba3121.当0x 时,有0b a ; 当0x 时,有a b 0; 当0x时,有0ba,此时1m.∴可能成立的序号为②④⑤.例17. 设3132a ,3231b,3131c,则c b a ,,的大小关系是【】（A ）b c a （B ）c b a （C ）bac（D ）acb分析:（1）对于同底数幂比较大小,则可以利用指数函数的单调性比较.如本题中b与c 的大小比较;（2）对于非同底数幂比较大小,则要借助于中间量或借助于指数函数的图象比较大小.如本题中a 与c 的大小比较.本题知识储备（1）对于指数函数xa y （0a且1a ）,当10a 时,函数在R 上为减函数,即y 随x 的增大而减小.（2）对于指数函数xa y （0a且1a ）与xb y （0b且1b ）,若b a ,则当0x 时,xxb a;当0x时,xxb a .解:∵指数函数xy31在R 上为减函数∴31323131,即b c.∵3132,∴31313132,即c a .∴b ca,选择【 A 】.另外,也可以这样比较a 与c 的大小:∵1223132313231313131ca ,∴c a.例18. 设6.06.0a,5.16.0b,6.05.1c,则c b a ,,的大小关系是__________. 解:∵指数函数xxy 536.0在R 上为减函数∴6.05.16.06.0,即a b .∵16.06.006.0,15.15.106.0∴6.06.05.16.0,即c a .∴c ab.另外,根据:对于指数函数xa y（0a且1a ）与xb y（0b 且1b ）,若b a ,则当0x 时,xxb a;当0x时,xxb a .可直接得到c a.例19. 设9.014y ,61.028y ,5.1321y ,则【】（A ）321y y y （B ）312y y y （C ）231y y y （D ）123y y y 分析:三个幂是不同底数的幂,但每个幂根据底数与2的关系都可以化为以2为底的幂,最后借助于指数函数的单调性即可得到三者之间的大小关系.解:∵9.014y ,61.028y ,5.1321y ∴8.19.02122y ,83.161.03222y ,5.15.11322y .∵指数函数xy 2在R 上为增函数∴83.18.15.1222,即61.09.05.18421∴312y y y .选择【 B 】.例20. 设1212121ab,那么【】（A ）abab a a （B ）baaa b a （C ）a a b baa （D ）aa b a ba解:∵1212121ab,∴121212121ab.∵指数函数xy 21为R 上的减函数∴10b a.在同一平面直角坐标系中分别画出函数xa y 与xb y的图象如下页图所示.xya b a a b aby = ax y = b xa 1O由图象可得:aabb aa.选择【 C 】.知识点三指数函数的定义域和值域1 定义域（1）指数函数xa y （0a且1a ）的定义域为R .（2）函数xf ay （0a 且1a）的定义域与函数x f 的定义域相同.（3）函数xaf y的定义域与函数x f 的定义域不一定相同.例如,函数x x f 的定义域为,0,而函数xa y的定义域为R .注意:求指数型复合函数的定义域时,先观察函数是xaf y型还是xf ay型.例21. 函数3121xx f x的定义域为【】（A ）0,3（B ）1,3（C ）,33,（D ）1,33,解:由题意可得:3021xx,解之得:x 3≤0.∴函数x f 的定义域为0,3.选择【 A 】.例22. 求下列函数的定义域: （1）xy211; （2）153x y .解:由题意可知:x211≥0,∴x21≤121,∴x ≥0.∴该函数的定义域为,0;（2）由题意可知:15x ≥0,解之得:x ≥51.∴该函数的定义域为,51.例23. 函数2311x xf x的定义域为__________.解:由题意可得:20311xx,解之得:x ≥0且2x .∴函数x f 的定义域为,22,0.例24. 求函数423212xxx f 的定义域.解:由题意可得:042322xx∴04212xx,解之得:12x（舍去）,42x.∵函数xy2为R 上的增函数,2242x,∴2x.∴函数x f 的定义域为,2.2 值域（1）指数函数xa y （0a且1a ）的值域为,0.（2）求形如xf ay 的函数的值域时,设x f t,先求出x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数ta y 的单调性,即可求出函数xf ay 的值域.（3）求形如xaf y的函数的值域时,转化为求,0xat 时,函数t f y 的值域.例25. 求函数1241x xy 的值域. 解:122212421xxx xy . 设xt 2,则0t,∴211222t tty.∵,0t∴21min f y ,无最大值.∴函数1241x xy的值域为,2.例26. 求函数1241x xy 的值域. 解:122212421xxx xy . 设xt2,则0t ,∴211222t tty.∴函数在,0t 上为增函数∴函数1241x xy的值域为,1.注意例25和例26的区别. 例27. 已知函数1x ax f （x ≥0）的图象经过点21,2,其中0a ,且1a .（1）求a 的值;（2）求函数x f 的值域. 分析:求指数函数xa y （0a且1a ）的解析式,只需要其图象上一个点的坐标即可. 解:（1）把21,2代入1x axf 得:21a; （2）由（1）知121x xf ,为R 上的减函数∵x ≥0,∴1x ≥1,∴x f 0≤2211.∴函数x f 的值域为2,0. 注意:指数函数xa y（0a且1a ）的图象位于x 轴的上方,并且在一个方向上无限接近于x 轴,函数的值域为,0.本题易错结果为2,.总结求形如xf ay的函数的值域时,设x f t,先求出x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数ta y 的单调性,即可求出函数xf ay的值域.例28. 若函数1xax f （0a且1a ）的定义域和值域都是2,0,求实数a 的值.分析:指数函数的单调性与底数和1的大小关系有关,若关系不明确,必要时要进行分类讨论. 解:由题意可知: 当10a 时,函数1xax f 在2,0上为减函数∴12120aa ,显然无解;当1a 时,函数1xax f 在2,0上为增函数∴210120aa ,解之得:3a （3a 舍去）.综上所述,实数a 的值为3.例29. 求下列函数的定义域和值域:（1）412x y; （2）32221x x y.本题知识点储备（1）函数xf ay （0a 且1a ）的定义域与函数x f 的定义域相同.（2）求形如xf ay 的函数的值域时,设x f t,先求出x f 的值域（即t 的范围）,然后根据函数ta y的单调性,即可求出函数xf ay的值域.解:（1）由题意可得:04x,解之得:4x.∴函数412x y 的定义域为,44,.∵041x,∴12241x y,且0y.∴函数412x y的值域为10y y y 且;（2）函数32221x x y的定义域为R .∵413222xxx ≥4∴32221x x≤16214,且021322x x.∴函数32221x x y的值域为16,0.例30. 求下列函数的定义域和值域: （1）xy32; （2）222xx y.解:（1）函数xy 32的定义域为R .∵x ≥0,∴x ≤0.∴1320miny ∴函数xy 32的值域为,1;（2）函数222xxy 的定义域为R .∵11222x xx ≤1∴2211max f y ,且0y.∴函数222xxy的值域为2,0.例31. 如果函数122xxaay （0a且1a ）在1,1上有最大值,且最大值为14,试求a 的值. 分析:这是求xaf y型函数的定义域和值域.求形如xaf y的函数的值域时,转化为求,0xat时,函数t f y 的值域.解:121222xxxxa aa ay . 设xa t,则0t ,∴211222t tty.当1a 时,∵1,1x ,∴a a t,1.∵函数212ty 在a at,1上为增函数∴14122max aaa f y ,解之得:3a（5a 不符合题意,舍去）;当10a时,∵1,1x ,∴aa t1,∵函数212ty在aa t1,上为增函数∴1412112maxaaafy ,解之得:31a（51a 不符合题意,舍去）. 综上所述,3a 或31a. 例32. 求函数12141xxy的值域.解:12121121412xxxxy设x t21,则0t,∴4321122tt ty.∴函数43212ty 在,0t 上为增函数.取0t,得1y.∴函数12141xxy的值域为,1. 例33. 已知3,2x ,求函数12141x x x f 的最值.解:1212112141121412xxxxxxxf .设xt21,∵3,2x ,∴4,81t .∴4321122tt ty∵4,81t∴134,4321maxminf y fy .例34. 若122x≤241x ,则函数xy 2的值域是_________.解:∵122x≤241x ,∴122x≤xx 242222.∵函数xy 2在R 上为增函数∴12x≤x 24,解之得:3≤x ≤1,即1,3x.∴函数xy2在1,3上的值域为2,81.例35. 1331xx x f 的值域是【】（A ）,3（B ）3,0（C ）2,0（D ）,2解法一:13331331xxxx x f 设xt 3,则,0t,133131313t t t t tt f .∵,0t ,∴0133t ,∴31330t .∴30tf ,即函数1331x x xf 的值域为3,0.选择【 B 】.解法二:xxxxxx xf 3113311313331331.∵031x,∴1311x,∴33113x,∴3,0xf .例36. 已知定义在R 上的偶函数x f 满足:当x ≥0时,xxa x f 22,251f .（1）求实数a 的值;（2）用定义法证明x f 在,0上是增函数;（3）求函数x f 在2,1上的值域.解:（1）∵当x ≥0时,x xax f 22,251f ∴2522a ,解之得:1a ; （2）证明:由（1）可知:x xx f 212. 任取,0,21x x ,且21x x ,则212121212122112122221212221221221x x x x x x x x x x x x x x x f x f ∵,0,21x x ,且21x x ∴02,012,022212121x x x x x x ∴2121,0x f x f x f x f .∴x f 在,0上是增函数;（3）∵函数x f 为偶函数,且在,0上为增函数∴x f 在0,上为减函数∴20minf x f .∵252211f,4174142f ,25417∴在区间2,1上4172maxf xf .∴函数x f 在2,1上的值域为417,2.利用单调性法求最值的结论（1）如果函数x f y 在区间b a,上单调递增,在区间c b,上单调递减,那么函数x f y 在区间c a,上有最大值)()(max b f x f .如下页图所示;（2）如果函数x f y 在区间b a,上单调递减,在区间c b,上单调递增,那么函数x f y 在区间c a,上有最小值)()(minb f x f .如下图所示.xyf xmax = fbf c f a f bcbaOxyf xmin = fbcbaOf cf bf a 第（3）问另解:∵函数x f 为定义在R 上的偶函数∴x f 在区间0,1和1,0上的值域相同∴x f 在2,1上的值域即在2,0上的值域.∵x f 在,0上为增函数∴x f 在2,0上为增函数∴20minf xf ,4172maxf xf .∴函数x f 在2,1上的值域为417,2.例37. 设函数axx f 1021,a 是不为零的常数.（1）若213f ,求使x f ≥4的x 的取值范围; （2）当2,1x时,x f 的最大值是16,求a 的值.解:（1）∵axxf 1021,213f ∴2121310a,∴1310a ,解之得:3a .∴103310122x xxf .∵x f ≥4,∴1032x ≥22,∴103x ≥2,解之得:x ≥4.∴使x f ≥4的x 的取值范围是,4; （2）10101102221ax axaxx f .当0a 时,x f 在2,1上为增函数∴4102max21622a f x f ,∴4102a ,解之得:7a ;当0a 时,x f 在2,1上为减函数∴410max21621a f xf ,∴410a ,解之得:14a .综上所述,7a 或14a .例38. 已知函数axax f 3（0a 且1a ）.（1）当2a时,4xf ,求x 的取值范围;（2）若x f 在1,0上的最小值大于1,求a 的取值范围. 解:（1）当2a 时,xaxaxf 2332.∵4xf ,∴223242x,∴223x ,解之得:21x.∴x 的取值范围是,21;（2）∵0a 且1a ∴函数ax y 3在1,0上为减函数.当1a时,x f 在1,0上为减函数∴03min11a af x f a,∴03a,解之得:3a .∴31a ;当10a时,x f 在1,0上为增函数∴103minaf xf ,显然不成立.综上所述,a 的取值范围是3,1.例39. 已知函数1ax ax f 的图象（0a 且1a ）过点2,21.（1）求实数a 的值; （2）若函数121xf xg ,求函数x g 的解析式;（3）在（2）的条件下,若函数12x mg xg x F ,求x F 在0,1x 上的最小值m h .本题知识储备求形如xaf y 的函数的值域时,转化为求,0xat 时,函数t f y 的值域.解:（1）∵函数1ax axf 的图象过点2,21∴2121aa,解之得:21a.∴实数a 的值为21;（2）由（1）知:12121xxf ∵121xf xg ∴xx xg 2111212121;（3）∵12xmg xg x F ∴xxx xmmxF 212212121212.设xt 21,∵0,1x,∴2,1t∴2222m mt mttt F ,2,1t .①当2m时,t F 在2,1t 上为减函数∴442222minmmmF tF ,∴44m mh ;②当1≤m ≤2时,2minm mF t F ,∴2m mh ;③当1m 时,t F 在2,1t上为增函数∴121122m mm F tF ,∴12m m h .综上所述,1,1221,2,442mm mm m m mh . 例40. 已知函数xa x f ,m axg x2,其中1,0,0a a m 且.当1,1x 时,x f y的最大值与最小值之和为25. （1）求a 的值; （2）若1a,记函数x mf xg xh 2,求当1,0x 时,x h 的最小值m H .分析:（1）指数函数xa xf （10a a 且）在其定义域内为单调函数,所以指数函数在给定闭区间上的最值在区间的端点处取得,故本问不用进行分类讨论.解:（1）∵函数xa x f （10a a且）在1,1上为单调函数∴由题意可知:2511ff .∴251aa,解之得:2,2121a a .∴a 的值为21或2;（2）∵1a ,∴2a ,∴m xg x f xx22,2.∵x mf x g x h 2∴m m m mx h xxxx22222222.设xt 2,∵1,0x,∴t 2,1∴mmmtmmt tt h 2222①当2m 时,t h 在2,1上为减函数∴432minmh th ,即43mmH ;②当1≤m ≤2时,m mm h t h 2min,即m mmH 2;③当1m 时,t h 在2,1上为增函数∴11minm h th ,即1m m H . 综上所述,1,121,2,432mm mm mm mmH .例41. 已知函数1242xxa x f .（1）当1a 时,解不等式0x f ;（2）当21a,x 2,0时,求x f 的值域.解:（1）当1a 时,122212422xxxxx f .设xt2,则0t,122tttf .∵0x f ,∴0122t t ,解之得:1t或21t.∵0t ∴1t,∴0212x,∴0x.∴不等式0x f 的解集为,0;（2）当21a 时,1221242xxxxxf .设xt2,∵x 2,0,∴t4,1,4521122tt tt f ∵t f 在4,1上为增函数∴114,11maxminf tf f tf .∴函数t f 的值域为11,1,即函数x f 在x 2,0上的值域为11,1. 例42. 已知函数xxb a x f （其中b a,为常数,10,10bbaa且且）的图象经过点6,1A ,43,1B.（1）求函数x f 的解析式;（2）若b a ,函数211xxbaxg ,求函数x g 在2,1上的值域.解:（1）把6,1A ,43,1B分别代入xxb ax f 得:43116b ab a ,解之得:42ba 或24ba .∴函数x f 的解析式为xxx f 42;（2）若b a ,则2,4ba ∴22141211xxxxbaxg 设xt 21,∵x2,1,∴t 2,41,4721222tt tt g .∴4721mingtg ,42maxg tg .∴t g 在2,41上的值域为4,47,即函数x g 在2,1上的值域为4,47.说明:方程组43116bab a可以这样求解:∵43116bab a ,∴86abb a .∴b a,是方程0862x x 的两个实数根（方程思想）. 解之得:4,221x x ,∴42b a 或24b a .例43. 函数221341xxy,x2,2的值域是__________.解:设xt21,∵x2,2,∴t 4,41,41232322tt ty.∴64,4123max min f y f y∴函数41232t y在t4,41上的值域为6,41.∴函数221341xxy,x2,2的值域是6,41.例44. 已知函数ax xx f 223（a R ）.（1）若271f ,求a 的值;（2）若x f 有最大值9,求a 的值. 解:（1）∵271f ∴3213273a,∴31a,解之得:2a;（2）设11222a xax xx g ∴11maxag x g ∴21max3933maxa x g xf ,∴21a ,解之得:1a .例45. 若函数m x f x3的最大值为2,则实数m 的值为【】（A ）1（B ）2（C ）3（D ）4解:设xx g 3,则x g 0≤130,即函数x g 的最大值为 1.∵函数m x f x3的最大值为2∴2maxmxg ,∴21m解之得:1m .选择【 A 】.例46. 例45的第三种解法以下几例为求xaf y 型函数的值域1331x x xf 的值域是【】（A ）,3（B ）3,0（C ）2,0（D ）,2解:设xt 3,则0t,13t t tf y.∴03yy t,解之得:30y.选择【 B 】.例47. 函数xy328（x ≥0）的值域为__________.不等分析法和单调性法解:∵x ≥0,∴x ≤0,∴x 3≤3∴x32≤823,∴8≤023x.∴0≤8283x,0≤8y,即函数xy 328（x ≥0）的值域为8,0.注意:不要漏掉023x这一范围.例48. 函数xy 416的值域是__________. 解:由题意可知:x40≤16,∴16≤04x,∴0≤16416x.∴0≤4416x,0≤4y.∴函数xy416的值域是4,0.例49. 函数xxxf 242的定义域是__________,值域是__________.解:由题意可知:0242xx,∴024x,解之得:2x .∴函数x f 的定义域是2,.设xt 2,则40t（2x ）,tt t t g 4414.∵40t,∴04t,∴440t,∴144t（可结合图象）∴0441t,0tg ,∴0xf ∴函数x f 的值域为,0.例50. 函数xxy112的值域为__________.解:xxx xxy 12112111222∵012x,∴1121x,∴21221121x,即21y.∵0y ,∴该函数的值域为,2121,0.例51. 函数xxx x x f 10101010的值域是【】（A ）,11,（B ）,11,（C ）1,1（D ）1,1解:11021110211011011010110101101010101022222xx xx xxxx xxx x xxf .∵0102x,∴11102x,∴2110202x,∴110222x∴11102112x,即11xf .∴函数xxx x xf 10101010的值域是1,1.选择【 D 】.解法二:11011010110101101010101022xx x xxxxxx x xf 设t x210,则0t,11t t y∴011y y t,∴011y y ,解之得:11y.∴函数x f 的值域为1,1.例52. 求下列函数的值域: （1）11xx a a y （0a,且1a ）;（2）124xxy. 解:（1）12112111xxxxx aaaaa y .∵0xa,∴11xa,∴2120xa,∴122xa∴11211xa,即11y.∴该函数的值域为1,1.解法二:设xa t ,则0t,11t t y∴011y y t,∴011y y ,解之得:11y.∴该函数的值域为1,1.（2）1221242xxxxy 设xt2,则0t ,4321122tt t y ∵,0t,∴4321minf y .∴函数124xxy的值域为,43. 例53. 已知函数b ax f x（10aa且）的定义域和值域都是0,1,则b a_________.解:当10a 时,函数x f 在0,1上为减函数∴1001f f ,即1101bba,解之得:221ba .∴ba 23; 当1a时,函数x f 在0,1上为增函数∴0011f f,即0111bb a,显然方程组无解.综上所述,b a 23.例54. 函数124xy 的值域为【】（A ）,1（B ）1,1（C ）,1（D ）1,1解:由题意可知:x20≤4,∴4≤02x,∴0≤424x∴0≤224x,∴1≤1124x,即1≤1y.∴函数124xy 的值域为1,1,选择【 D 】.例55. 已知函数13xx f ,则x f 的【】（A ）定义域是,0,值域是R（B ）定义域是R ,值域是,0（C ）定义域是R ,值域是,1（D ）定义域、值域都是R 解:函数13xx f 的定义域为R .∵03x,∴13x,即1xf ∴函数13xxf 的值域为,1.选择【 C 】. 例56. 下列各函数中,值域为,0的是【】（A ）22xy （B ）xy21（C ）12x xy（D ）113x y 解:（A ）函数22x y 的定义域为R ,值域为,0,故（A ）正确;（B ）∵x20≤1,∴1≤02x,∴0≤121x,∴0≤121x.∴函数xy 21的值域为1,0; （C ）∵4321122xx xy≥43∴函数12x xy的值域为,43;（D ）对于函数113x y,因为011x,所以13y ,且0y ,故该函数的值域为,11,0.例57. 关于x 的方程0131a x有解,则a 的取值范围是__________.解:∵0131a x,∴131a x∵x ≥0,∴x310≤1∵方程0131a x有解∴10a ≤1,解之得:a 1≤0.∴a 的取值范围是0,1.例58. 关于x 的方程aa x52353有正实数根,则实数a 的取值范围是_________. 分析:该方程有正实数根指的是0x .解:∵方程aa x52353有正实数根∴0x ,∴153530x,∴15230aa .解之得:4332a,即实数a 的取值范围是43,32. 例59. 已知方程013329k xx有两个实数解,求实数k 的取值范围.分析:设xt 3,则0t,方程可转化为关于t 的一元二次方程,且方程有两个正实数根.结论一元二次方程002a cbx ax有两个正实数根的条件是02121a c x x ab x x 解:设xt3,则0t,∵013329k xx,∴01322k t t由题意可知:方程01322k tt有两个正实数根∴013020134221212kt t t t k ,解之得:k 31≤32.∴实数k 的取值范围是32,31. 例60. 已知函数122xxa ay （0a 且1a ）,当x ≥0时,求该函数的值域.解:设xa t ,则0t,211222ttty.当1a时,∵x ≥0,∴t ≥1∵函数212t y 在,1上为增函数∴21min f y ,∴函数的值域为,2;当10a时,∵x ≥0,∴t 0≤1∴y f 0≤1f ,∴y 1≤2,即函数的值域为2,1.综上所述,当1a 时,函数的值域为,2;当10a 时,函数的值域为2,1.知识点四指数函数的单调性及其应用1 单调性当1a 时,函数xa y在R 上为增函数;当10a 时,函数xa y 在R 上为减函数.利用这一性质,可以判断复合函数xf ay的单调性,判断的依据是:同增异减.如下表:指数函数的单调性指数型复合函数的单调性当1a 时,函数xa y在R 上为增函数当1a 时,若x f t在n m,上单调递增,则函数xf ay 在n m,上单调递增;若x f t 在q p,上单调递减,则函数xf ay在q p,上单调递减.当10a 时,函数xa y 在R 上为减函数当10a时,若x f t 在n m,上单调递增,则xf a y 在n m,单调递减;若x f t 在q p,上单调递减,则xf ay在q p,上单调递增.注意讨论形如xf a y 的函数的单调性,首先要确定函数x f 的单调性,然后结合底数a 的范围来确定函数xf ay的单调性.确定的依据是:同增异减.2 单调性的应用（1）应用于比较大小类型一比较同底数不同指数的幂的大小,利用指数函数的单调性进行比较;类型二比较不同底数同指数的幂的大小,借助于函数的图象比较大小,或者借助于口诀:在y 轴右侧（即0x ）底大图高（函数值大）,在y 轴左侧,底小图高;类型三比较不同底数不同指数的幂的大小,利用中间量（如0和1）并结合函数的单调性比较大小.（2）应用于解简单不等式不等式可化为xg xf aa的形式,利用指数函数的单调性,将不等式转化为xg x f （当1a 时）或x g xf （当10a 时）,然后进行求解.例61. 求函数xy 2的单调性.解:设x t ,则函数t 在0,上为增函数,在,0上为减函数∴函数xy2在0,上为增函数,在,0上为减函数.例62. 求函数xy 21的单调性.解:设x t ,则函数t 在0,上为增函数,在,0上为减函数∴函数xy21在0,上为减函数,在,0上为增函数.例63. 函数xx y 2221的单调递增区间是【】（A ）,1（B ）1,（C ）,1（D ）1,解:设11222x x xt,则函数t 在1,上为增函数,在,1上为减函数∵指数函数ty21在R 上为减函数∴函数xx y2221的单调递增区间为,1.选择【 C 】.例64. 求函数2222x x x f 的单调区间.解:设312222x x xt,则ty xf 2.∵函数t 在1,上为增函数,在,1上为减函数,函数ty2在R 上为增函数∴函数x f 的单调递增区间为1,,单调递减区间为,1.例65. 求函数32212x xy 的单调区间. 解:3222322212xxx xy 设xt 2,则0t,且函数xt2在R 上为增函数∴213222tt ty∴函数212ty 在t1,0上为减函数,此时0,x;在,1t上为增函数,此时,0x .∴函数32212x xy的单调递增区间为,0,单调递减区间为0,.例66. 求函数1121x x y的单调区间.解:设12112111xxx xx t ,,11,x,则ty21,且1t .∵函数121x t 在1,和,1上均为增函数函数ty21在,11,t 上为减函数∴函数1121x x y的单调递减区间为1,和,1,无单调递增区间.。
指数函数及其性质(含解析、答案)
A 基础练习2.1.2指数函数（1时） 1．下列函数是指数函数的是( ) A ．y ＝－2xB ．y ＝2x ＋1 C ．y ＝2－x D ．y ＝1x【解析】 y ＝2－x＝⎝⎛⎭⎫12x，符合指数函数的定义，故选C.【答案】 C 2．函数y ＝(a －2)x 在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A ．a>0且a ≠1B ．a>3C ．a<3D ．2<a<3【解析】 由指数函数单调性知，底数大于1时为增函数，∴a －2>1，∴a>3，故选B. 【答案】 B 3．已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x ，若实数m 、n 满足f(m)>f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【解析】 ∵a ＝5－12∈(0,1)， 故a m >a n ⇒m<n. 【答案】 m<n4．已知指数函数f(x)的图象过点(2,4)，求f(－3)的值．【解析】 设指数函数f(x)＝a x (a>0且a ≠1)，由题意得a 2＝4，∴a ＝2，∴f(x)＝2x ， ∴f(－3)＝2－3＝18.B 综合应用一、选择题(每小题5分，共20分) 1．函数y ＝a x －2＋1(a>0，a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)【解析】 由于函数y ＝a x 经过定点(0,1)，所以函数y ＝a x－2经过定点(2,1)，于是函数y ＝a x －2＋1经过定点(2,2)．【答案】 D2．f(x)＝⎝⎛⎭⎫12|x|，x ∈R ，那么f(x)是( ) A ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数 C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数 D ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数 【解析】因为函数f(x)= |x|= 图象如右图． 由图象可知答案显然是D. 【答案】 D3．下列四个函数中，值域为(0，＋∞)的函数是( )A ．y ＝21x B ．y ＝2x －1C ．y ＝2x ＋1D ．y ＝⎝⎛⎭⎫122－x【解析】 在A 中，∵1x ≠0，∴21x≠1，即y ＝21x的值域为(0,1)∪(1，＋∞)．在B 中，2x －1≥0，∴y ＝2x －1的值域为[0，＋∞)． 在C中，∵2x >0，∴2x ＋1>1.∴y ＝2x ＋1的值域为(1，＋∞)． 在D 中，∵2－x ∈R ，∴y ＝⎝⎛⎭⎫122－x>0. ∴y ＝⎝⎛⎭⎫122－x 的值域为(0，＋∞)．故选D.【答案】 D 4．方程4x －1＝116的解为( ) A ．2 B ．－2 C ．－1 D ．1 【解析】 ∵4x －1＝116＝4－2，∴x －1＝－2，∴x ＝－1.故选C. 【答案】 C二、填空题(每小题5分，共10分) 5．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则实数a 的取值范围为________．【解析】 由a x －1≥0，得a x ≥1＝a 0，因为x ∈(－∞，0]，由指数函数的性质知0<a<1.【答案】 (0,1)6．函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x－1，x ∈[－1,2]的值域为________．【解析】 函数y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在区间[－1,2]上是减函数，所以⎝⎛⎭⎫132≤⎝⎛⎭⎫13x ≤⎝⎛⎭⎫13－1，即19≤⎝⎛⎭⎫13x ≤3， 于是19－1≤f(x)≤3－1，即－89≤f(x)≤2.【答案】 [－89，2]三、解答题(每小题10分，共20分) 7．已知函数f(x)＝a x －2(x ≥0)的图象经过点⎝⎛⎭⎫4，19，其中a>0且a ≠1. (1)求a 的值；(2)求函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域． 【解析】 (1)函数图象过点⎝⎛⎭⎫4，19， 所以a 4－2＝19＝⎝⎛⎭⎫132，∴a ＝13，(2)f(x)＝⎝⎛⎭⎫13x －2(x ≥0)， 由x ≥0，得x －2≥－2， ∴0<⎝⎛⎭⎫13x －2≤⎝⎛⎭⎫13－2＝9，∴函数y ＝f(x)(x ≥0)的值域为(0,9]． 8．画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x 的图象经过怎样的变换得到的．(1)y ＝2x －1；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x|； (4)y ＝－2x .【解析】 如图所示．y=2x-1的图象是由y=2x 的图象向右平移1个单位得到；y=2x+1的图象是由y=2x 的图象向上平移1个单位得到；y=2|x|的图象是由y=2x 的y 轴右边的图象和其关于y 轴对称的图象组成的；y=-2x 的图象与y=2x 的图象关于x 轴对称．9．(10分)函数f(x)＝a x (a>0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2，求a的值．【解析】 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．(2)若0<a<1，则f(x)在[1,2]上递减， ∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，所求a 的值为12或32.2.1.2指数函数（2时） A 基础练习1．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<2x ＋1<4，x ∈Z ，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,1} B ．{－1} C ．{0} D ．{－1,0} 【解析】 因为N ＝{x|2－1<2x ＋1<22，x ∈Z }，又函数y ＝2x 在R 上为增函数， ∴N ＝{x|－1<x ＋1<2，x ∈Z } ＝{x|－2<x<1，x ∈Z }＝{－1,0}． ∴M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．故选B.【答案】 B2．设14<⎝⎛⎭⎫14b <⎝⎛⎭⎫14a<1，那么( )A ．a a <a b <b aB ．a a <b a <a bC ．a b <a a <b aD ．a b <b a <a a【解析】 由已知及函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x是R 上的减函数， 得0<a<b<1.由y ＝a x (0<a<1)的单调性及a<b ，得a b <a a .由0<a<b<1知0<a b <1.∵⎝⎛⎭⎫a b a <⎝⎛⎭⎫a b 0＝1.∴a a <b a.故选C. 也可采用特殊值法，如取a ＝13，b ＝12.【答案】 C3．已知函数f(x)＝a －12x ＋1，若f(x)为奇函数，则a ＝________.【解析】 解法1：∵f(x)的定义域为R ，又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，即a －120＋1＝0.∴a ＝12.解法2：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a －12－x ＋1＝12x ＋1－a ，解得a ＝12.【答案】 124．函数y ＝2－x 2＋ax －1在区间(－∞，3)内递增，求a 的取值范围．【解析】 对u ＝－x 2＋ax －1＝－⎝⎛⎭⎫x －a 22＋a 24－1，增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a 2，∴y 的增区间为⎝⎛⎦⎤－∞，a2，由题意知3≤a2，∴a ≥6. ∴a 的取值范围是a ≥6. B 综合应用一、选择题(每小题5分，共20分) 1．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 【解析】 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5，∵y ＝2x 在定义域内为增函数， 且1.8>1.5>1.44， ∴y 1>y 3>y 2. 【答案】 D2．若⎝⎛⎭⎫142a ＋1<⎝⎛⎭⎫143－2a，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，＋∞B.()1，＋∞ C ．(－∞，1) D.⎝⎛⎭⎫－∞，12 【解析】 函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x在R 上为减函数，∴2a ＋1>3－2a ，∴a>12.故选A.【答案】 A3．设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f(x)＝3x －1，则有( )A ．f(13)<f(32)<f(23)B ．f(23)<f(32)<f(13)C ．f(23)<f(13)<f(32)D ．f(32)<f(23)<f(13)【解析】 因为f(x)的图象关于直线x ＝1对称，所以f(13)＝f(53)，f(23)＝f(43)，因为函数f(x)＝3x －1在[1，＋∞)上是增函数，所以f(53)>f(32)>f(43)，即f(23)<f(32)<f(13)．故选B.【答案】 B4．如果函数f(x)＝(1－2a)x 在实数集R 上是减函数，那么实数a 的取值范围是( )A ．(0，12)B ．(12，＋∞)C ．(－∞，12)D ．(－12，12)【解析】 根据指数函数的概念及性质求解．由已知得，实数a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧1－2a>01－2a<1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a<12a>0，即a ∈(0，12)．故选A.【答案】 A二、填空题(每小题5分，共10分) 5．设a>0，f(x)＝e x a ＋ae x (e>1)，是R 上的偶函数，则a ＝________.【解析】 依题意，对一切x ∈R ，都有f(x)＝f(－x)，∴e x a ＋a e x ＝1ae x ＋ae x ， ∴(a －1a )(e x －1e x )＝0.∴a －1a ＝0，即a 2＝1.又a>0，∴a ＝1. 【答案】 16．下列空格中填“>、<或＝”． (1)1.52.5________1.53.2，(2)0.5－1.2________0.5－1.5.【解析】 (1)考察指数函数y ＝1.5x . 因为1.5>1，所以y ＝1.5x 在R 上是单调增函数．又因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)考察指数函数y ＝0.5x .因为0<0.5<1，所以y ＝0.5x 在R 上是单调减函数．又因为－1.2>－1.5，所以0.5－1.2<0.5－1.5.【答案】 <，<三、解答题(每小题10分，共20分) 7．根据下列条件确定实数x 的取值范围：a<⎝⎛⎭⎫1a 1－2x(a>0且a ≠1)．【解析】 原不等式可以化为a 2x －1>a 12，因为函数y ＝a x (a>0且a ≠1)当底数a 大于1时在R 上是增函数；当底数a 大于0小于1时在R 上是减函数，所以当a>1时，由2x －1>12，解得x>34；当0<a<1时，由2x －1<12，解得x<34.综上可知：当a>1时，x>34；当0<a<1时，x<34.8．已知a>0且a ≠1，讨论f(x)＝a －x 2＋3x ＋2的单调性．【解析】 设u ＝－x 2＋3x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋174， 则当x ≥32时，u 是减函数，当x ≤32时，u 是增函数．又当a>1时，y ＝a u 是增函数，当0<a<1时，y ＝a u 是减函数，所以当a>1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是减函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是增函数．当0<a<1时，原函数f(x)＝a －x 2＋3x ＋2在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是增函数，在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是减函数．9．(10分)已知函数f(x)＝3x ＋3－x . (1)判断函数的奇偶性；(2)求函数的单调增区间，并证明．【解析】 (1)f(－x)＝3－x ＋3－(－x)＝3－x＋3x ＝f(x)且x ∈R ，∴函数f(x)＝3x ＋3－x是偶函数．(2)由(1)知，函数的单调区间为(－∞，0]及[0，＋∞)，且[0，＋∞)是单调增区间．现证明如下：设0≤x 1<x 2，则f(x 1)－f(x 2)＝3x 1＋3－x 1－3x 2－2－x 2＝3x 1－3x 2＋13x 1－13x 2＝3x 1－3x 2＋3x 2－3x 13x 13x 2＝(3x 2－3x 1)·1－3x 1＋x 23x 1＋x 2.∵0≤x 1<x 2，∴3x 2>3x 1，3x 1＋x 2>1， ∴f(x 1)－f(x 2)<0，即f(x 1)<f(x 2)， ∴函数在[0，＋∞)上单调递增， 即函数的单调增区间为[0，＋∞)．。
对指数函数及其性质经典题型总结
对指数函数及其性质经典题型总结指数函数是数学中常见的一类函数，具有一些独特的性质。
本文对指数函数及其性质的经典题型进行总结，旨在帮助读者更好地理解和应用指数函数。
一、指数函数的定义指数函数是以底数为常数，指数为变量的数学函数，可以表示为：y = a^x，其中a为底数，x为指数。
二、指数函数的性质1. 指数函数的图像特点- 当a>1时，指数函数呈现递增的趋势，图像从左下向右上倾斜。
- 当0<a<1时，指数函数呈现递减的趋势，图像从左上向右下倾斜。
- 当a=1时，指数函数的图像为一条水平直线。
2. 指数函数的基本性质- a^0 = 1，任何数的0次方都等于1。
- a^m * a^n = a^(m+n)，同底数相乘，指数相加。
- (a^m)^n = a^(m*n)，同底数相乘，指数相乘。
- (a*b)^n = a^n * b^n，底数相乘，指数不变。
- (a^n)^m = a^(n*m)，指数相乘，底数不变。
三、指数函数的经典题型1. 指数函数的求值问题- 根据指数函数的定义，计算给定指数函数的特定值。
2. 指数函数的图像问题- 根据指数函数的性质和底数的取值范围，画出指数函数的图像。
3. 指数函数的运算问题- 根据指数函数的性质，进行指数函数的加法、减法、乘法和除法运算。
4. 指数函数的应用问题- 利用指数函数的性质，解决实际生活中的问题，如人口增长、物质衰变等。
四、总结指数函数是数学中重要且常用的一类函数，具有特定的图像特点和基本性质。
熟练掌握指数函数的经典题型可以帮助我们更好地应用指数函数解决问题。
文档总字数：XXX字。
高中数学指数函数的性质及相关题目解析
高中数学指数函数的性质及相关题目解析一、指数函数的定义与性质指数函数是高中数学中重要的一类函数，它的定义形式为$f(x)=a^x$，其中$a$为常数且$a>0$且$a\neq 1$。
指数函数具有以下几个性质：1. 定义域和值域：指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。
2. 增减性：当$a>1$时，指数函数是递增函数；当$0<a<1$时，指数函数是递减函数。
3. 对称性：指数函数关于$y$轴对称。
4. 连续性：指数函数在其定义域上连续。
5. 无界性：当$a>1$时，指数函数在$x\to-\infty$时趋于0；当$0<a<1$时，指数函数在$x\to+\infty$时趋于0。
二、指数函数的常见题型及解析1. 指数函数的图像与性质题目：已知函数$f(x)=2^x$，求函数$f(x)$的图像及其性质。
解析：我们可以通过计算$f(x)$在不同$x$值上的函数值，绘制出函数$f(x)$的图像。
例如，当$x=-2$时，$f(x)=2^{-2}=\frac{1}{4}$；当$x=-1$时，$f(x)=2^{-1}=\frac{1}{2}$；当$x=0$时，$f(x)=2^0=1$；当$x=1$时，$f(x)=2^1=2$；当$x=2$时，$f(x)=2^2=4$。
根据这些函数值，我们可以绘制出函数$f(x)$的图像。
同时，根据指数函数的性质，我们可以得出以下结论：函数$f(x)=2^x$是递增函数，对称于$y$轴，定义域为全体实数，值域为正实数集$(0,+\infty)$。
此外，由于$a>1$，所以函数$f(x)$在$x\to-\infty$时趋于0。
2. 指数函数的性质应用题题目：已知指数函数$f(x)=2^x$，若$f(a)=8$，求实数$a$的值。
解析：根据题目中已知条件$f(a)=8$，我们可以得到方程$2^a=8$。
由指数函数的性质可知，$2^3=8$，因此$a=3$。
对指数增长及其性质经典题型总结
对指数增长及其性质经典题型总结
指数增长是指以固定比率不断增长的现象，其性质在数学和经
济领域中经常被讨论。
本文将就指数增长及其性质的经典题型进行
总结。
1.指数函数的定义
指数函数是以自然对数为底的指数函数，通常表示为f(x) = a^x，其中a为常数。
指数函数的图像通常是一个递增曲线，在x轴的左
侧趋近于0，在x轴的右侧趋近于正无穷。
2.指数增长的特点
指数增长的特点包括：
增长速度逐渐加快：指数增长的特点是随着时间的推移，增长
速度逐渐加快。
这是因为指数函数中指数的幂次不断增加，导致函
数值呈指数级增长。
微小变化产生巨大影响：在指数增长中，微小的变化可能会导
致巨大的影响。
这是因为指数函数具有极高的敏感性，即微小的增
长或减少在函数值中会产生巨大差异。
3.简单指数增长题型
针对指数增长的经典题型包括：
初始值和增长率已知：题目给出初始值和增长率，要求计算某
一特定时刻的函数值。
可通过代入公式来计算得出结果。
值已知推导指数函数：题目给出函数值和对应的自变量值，要
求推导出指数函数的表达式。
可通过代入公式再解方程的方式求解。
指数方程求解：题目给出指数方程，要求求解方程的解。
可通
过变换方程形式、对数求解等方法来求解。
以上仅是指数增长及其性质经典题型的简单总结，实际解题过
程中还可能遇到更复杂的情况。
继续深入研究指数增长的相关知识，加强解题能力，掌握更多解题技巧，才能更好地应对各种题型和问题。
指数题型及知识点总结
指数题型及知识点总结一、指数的基本概念1.1 指数的定义在数学中，指数是用来表示数的幂的概念。
对于正整数n和任意实数a，a的n次幂表示为a^n，其中a称为底数，n称为指数。
指数的作用是表示底数连乘的次数，例如2^3表示2连乘3次，即2*2*2=8。
1.2 指数的性质指数有一些重要的性质，这些性质在指数运算中起着重要的作用，具体如下：（1）相同底数的指数相乘，指数相加。
a^m * a^n = a^(m+n)（2）相同底数的指数相除，指数相减。
a^m / a^n = a^(m-n)（3）幂的幂，底数不变，指数相乘。
(a^m)^n = a^(m*n)（4）任何非零数的0次幂为1。
a^0 = 1 （a≠0）（5）任何非零数的负整数次幂为其倒数的相应幂。
a^(-n) = 1/(a^n) （a≠0）以上是指数的基本概念和性质，了解这些概念和性质是理解指数运算的基础。
二、指数的运算规则在指数运算中，有一些基本的运算规则需要掌握，下面是一些常见的指数运算规则：2.1 同底数的指数相乘或相除对于同一个底数的指数，可以将它们的指数相加或相减。
例如，a^m * a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)。
2.2 幂的乘法对于不同的底数但相同的指数，可以直接相乘。
例如，a^m * b^m = (a*b)^m。
2.3 幂的除法同样的，对于不同的底数但相同的指数，可以直接相除。
例如，a^m / b^m = (a/b)^m。
2.4 幂的幂对于幂的幂，底数不变，指数相乘。
例如，(a^m)^n = a^(m*n)。
了解这些运算规则有助于学生在解题时能够灵活应用，简化计算步骤。
三、常见的指数题型及解题方法在高中数学中，常见的指数题型主要包括：简化指数、整数指数运算、有理数指数运算、指数方程以及指数不等式等。
下面将针对这些题型分别介绍解题方法。
3.1 简化指数简化指数是指将指数表达式化简为最简形式的运算。
具体步骤如下：（1）将底数相同的指数相加或相减；（2）将幂的乘方化简；（3）将零指数、一指数和负指数的化简。
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【详解】当 时， 为增函数，所以 ，当 时， 为增函数，所以 ，解得 ，因为 在 上为增函数，所以 ，解得 ，综上可知 。
【例7】已知函数 ，如果对任意 ， 恒成立，则满足条件的 的取值范围是．
【答案】
【详解】因 所以 在 上为奇函数，并且为减函数，所以 ，所以 ，所以 在 上恒成立，所以 ，当 时， ，所以 ，解得 。
【详解】∵ ，又 ，
∴根据指数函数图像即可判断选项C符合.
故选：C.
题型三： 指数函数的定点
【例1】当 且 时，函数 必过定点.
【答案】
【详解】法一： 必过定点 ，将 向右平移2个单位得到 ，所以 必过定点 ，将 向下平移3个单位得到 ，所以函数 必过定点
法二：令 ，得到 ，所以 ，所以函数 必过定点
2.函数 在R上是减函数，则 的取值范围是（）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【详解】因函数 在R上是减函数，所以 ，所以 ，所以
3.（2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数 则关于t的不等式 的解集为________.
【答案】 .
【分析】先判断出 是奇函数且在R上为减函数，利用单调性解不等式.
(2)当 时， ， ； 的值越小，图象越靠近 轴，递减的速度越快．
当 时 ， ； 的值越大，图象越靠近 轴，递增速度越快．
(3)指数函数 与 的图象关于 轴对称．
函数① ；② ；③ ；④ 的图象如图2-3-1所示，则 ；
即 ， (底大幂大)； 时， ．
图2-3-1图2-3-2
(4)特殊函数：函数 ， ， ， 的图象如图2-3-2所示．
【例8】已知函数 ，则不等式 的解集是．
【答案】
【详解】因 所以 在 上为奇函数，并且为减函数，因
，设 ，则 在 上为奇函数，并且为减函数，所以 ，所以， ，即 ，解得 。
【题型专练】
1.（2021新高考1卷）已知函数 是偶函数，则 __________．
【答案】
【详解】因为 为偶函数，所以 为奇函数，所以 ，解得
【详解】解：根据图象可知，函数关于 对称，且当 时， ，故排除B、D两项；
当 时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C项，当 时， 单调递减，故排除C项.
故选：A.
5．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（文））函数 的图象的大致形状是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分 和 去掉绝对值化简函数解析式，即可判断函数图像.
故选：C
【例4】（2022·全国·高一专题练习）如图所示，函数 的图像是（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将原函数变形为分段函数，根据 及 时的函数值即可得解.
【详解】 ，
时， 时， .
故选：B.
【例5】如图的曲线C1、C2、C3、C4是指数函数 的图象，而 ，则图象C1、C2、C3、C4对应的函数的底数依次是________、________、________、________．
1)若 ；若 ；若 ；
2)当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断 ，或 即可．
【题型目录】
题型一：指数函数的概念
题型二：指数函数的图像
题型三：指数函数的定点
题型四：指数函数的奇偶性、单调性
题型五：利用指数函数性质比较大小
题型六：解指数函数不等式
题型七：指数函数的值域问题
题型八：指数函数的解答题
【详解】函数 的定义域为R.
因为 ，所以 ，所以 ，
即 是奇函数.
因为 为增函数，所以 为减函数，所以 在R上为减函数.
所以 可化为 .
所以 ，解得： 或 .
故答案为： .
4.函数 的单调递减区间是.
【答案】
【详解】设 ，此函数为增函数， ，对称轴为 ，所以 在 为增函数，在 为减函数，所以原函数在 为减函数（符合函数单调性：同增异减）
故选：BC.
2.（2022·全国·高一专题练习）下列函数中是指数函数的是__________(填序号)．
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ．
【答案】③
【分析】利用指数函数的定义逐个分析判断即可
【详解】① 的系数不是 ，不是指数函数；
② 的指数不是自变量 ，不是指数函数；
③ 是指数函数；
④ 的底数是 不是常数，不是指数函数；
故选：B
【例3】（2022·山东青岛·高二期末）函数 与函数 的图象（）
A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于原点对称D．关于直线 对称
【答案】C
【分析】在同一坐标系中，作出两个函数的图象判断.
【详解】解：在同一坐标系中，作出函数 与函数 的图象，如图所示：
由图象知：函数 与函数 的图象关于原点对称，
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】令 ，则 ，因 与 分别是定义域上的奇函数与偶函数，所以 ①，又因 ②，由①②解得 ，所以 为增函数，所以
【例4】已知 ，则下列正确的是（）
A．奇函数，在R上为增函数B．偶函数，在R上为增函数
C．奇函数，在R上为减函数D．偶函数，在R上为减函数
【答案】A
【详解】因 ，所以 为奇函数，因 为增函数， 为减函数，所以 为增函数，所以 在R上为增函数
所以 为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B；
当 时 ， ， ，所以 ，所以 ，故排除D；
当 时 ，因为 ，所以 ，即 ，故排除C；
故选：A
4．（2023·全国·高三专题练习）下图中的函数图象所对应的解析式可能是（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.
⑤ 的指数不是自变量 ，不是指数函数；
⑥ 是幂函数．
故答案为：③
3.（2023·全国·高三专题练习）若函数 是指数函数，则 等于（）
A． 或 B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得出关于实数 的等式与不等式，即可解得实数 的值.
【详解】由题意可得 ，解得 .
故选：C.
4.（2021·全国高一专题练习）若函数 ( ，且 )是指数函数，则 ______， ______.
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】讨论 时和 时，函数 的图象增减即可判断出可能的图象，即得答案.
【详解】当 时， 为指数函数，且递减，
为幂函数，且在 时递增，递增的幅度随x的增大而增加的更快，故A错误，B正确；
当 时， 为指数函数，且递增，
为幂函数，且在 时递增，递增的幅度越往后越平缓，故C,D错误,
【典型例题】
题型一：指数函数的概念
【例1】函数 是指数函数，求 的值．
【答案】
【解析】因为函数 是指数函数，所以 ，解得
【例2】指出下列函数哪些是指数函数？
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；
（5） ；（6） ．
【答案】（1）（5）（6）
【解析】由指数函数的定义可知
【例3】下列函数式中，满足 的是( )
【详解】解析 ，
函数 为偶函数，且过 ， ，
函数在 上递增，在 上递减，故C符合.
故选：C.
3.（2022·浙江衢州·高二阶段练习）函数 的部分图象大致为（）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的奇偶性，再对 和 时函数值的情况讨论，利用排除法即可判断；
【详解】解：因为 ，故B错，D对．
故选：CD．
【题型专练】
1．（2021·上海交大附中高一期中）在同一坐标系中，函数 与函数 的图象可能为（）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】判断b的范围，结合二次函数的开口方向，判断函数的图象即可．
【详解】解：函数 的是指数函数， 且 ，排除选项C，
【详解】对于A中，由 ，可得函数 为奇函数，函数 的图象关于原点对称，故选项A正确，选项B错误；
对于C中，设 ，可得 ，所以 ，即 ，解得 ，
即函数 的值域为 ，所以C正确；
第17讲 指数函数及性质八大题型总结
【知识点梳理】
1.指数函数的定义及图像
图象
性质
①定义域 ，值域
② ，即时 ， ，图象都经过 点
③ ，即 时， 等于底数
④在定义域上是单调减函数
在定义域上是单调增函数
⑤ 时， ； 时，
时， ； 时，
⑥既不是奇函数，也不是偶函数
(1)当底数大小不定时，必须分“ ”和“ ”两种情形讨论．
【答案】
【详解】 ，令 ，得 ， ，
函数 的图象恒过定点 ，
故答案为： .
2.（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数 ，（ 且 ）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】令指数为 ，求出 ，再代入计算可得；
【详解】解：令 ，解得 ，
所以当 时， ，
所以函数 过定点 .
故选：B．
6.（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，下面说法正确的有（ ）
A． 的图象关于原点对称
B． 的图象关于y轴对称
C． 的值域为
D． ，且 ，
【答案】AC
【分析】根据函数奇偶性的定义和判定方法，可判定A正确，B不正确；化简函数为 ，结合 ，求得 的取值范围，可判定C正确；结合函数 的单调性，可判定D错误.
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】因为 ，所以
【题型专练】
1.（2023·全国·高三专题练习）下列函数是指数函数的有（）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】根据指数函数的定义逐一判断即可.