高数(上)复习题解答

《高等数学》复习题（2011——2012（1））
一.计算题
1.)1)1ln(1(
lim 0x x x -+→ )1
)1ln(1(
lim 0x x x -+→ 2122
x 0x 0x 0x ln(1+x)-x ln(1+x)-x 1+x lim lim lim xln(1+x)x x →→→===== 2. n
n n n b a ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+∞→2lim )0,0(>>b a
lim 1→∞⎧⎛⎪=+ ⎨ ⎝⎭
⎝⎭⎪⎪⎩⎭
n n
n
211
lim lim lim 222
→∞→∞→∞⋅=⋅+⋅n n n n n n 其中
1111ln ln ln ln 1111ln lim(1)lim(1)lim lim 22222
lim 2→∞→∞→∞→∞→∞=-⋅+-⋅=⋅+⋅==⎛∴= ⎝⎭
a b a b n n
n n n n n n n
n ab e n e n n n
3. n
n n x nx -∞→⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++22221lim ()
lim lim 2
22
2
22222222221122+-⋅⋅-+-→∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
n nx x n
n nx x
n x n n nx x nx x e n n
4. 若212
lim
1
x x ax b x →-++=+，求a 、b lim lim ;,221122031
→-→-++=⇒++=+⇒==由x x x ax b x ax x a b
5.求22132
x y x x -=
-+的间断点，并判别间断点的类型。

()()
x x y x x -+=
--11, x=1是跳跃间断点,x=2是无穷间断点.
6 ．
并在可导处求出的可导性　，，试讨论)(,00
)1ln()(sin x f x e x x k x f x '⎪⎩⎪⎨⎧<≥++=
01
1
sinx
sinx k+ln(1+x), x 0
f(x)=e , x 0k =1f(x), x 01+x f (x)=x =0cosx e , x 0x ≥⎧⎨<⎩=⎧>⎪⎪'⎨⎪<⎪⎩
当时，在连续。

7.已知11ln
)sin(=+-y x xy ，求0
=x dx dy
11sin()ln
1cos()()01'+'-=+-+=+x y xy x xy y xy y x y
在两端求的导数：1
cos()11
cos()-+'=
+
y xy x y x xy y
8. 设)(2
x f y = ，求dy ；
2dy =2xf (x
)dx ' 9.00002
02=2()()()
()lim
h f x h f x h f x f x h →++--''设，求
000002000000000()()2()()()
lim
lim
2()()()()1
1lim lim ()=222()
→→→→''++--+--=''''+---''=+=-h h h h f x h f x h f x f x h f x h h h
f x h f x f x h f x f x h h 注意下面的做法不正确(增加了条件:二阶导数存在并连续):
0000000()()()()
lim
lim ()
22→→''''''+--++-''==⇒⇒h h f x h f x h f x h f x h f x h 注.二阶导数存在一阶导数连续，但二阶导数连续 10. 设⎪⎩
⎪⎨⎧+=+=12223
t
e y t x ，求2
22=t dx y d 。

2224
2
225
2(1)
,,639288
=-'''''===
=t t t t e e e t e y y y t t t 11. )()1()(331x g x x f -=，其中)(x g 在点1=x 处连续，且6)1(=g ，求)1(f '。

33111()(1)(1)()0
(1)lim lim 331(0)198611
x x f x f x g x f g x x →→---'===⋅=--
12. 设4
2
2
11x x y -
+= 分别求y 的单调区间，极值和拐点
. 3222,26,:(,1),(0,1);:(1,0),(1,);
1,:(:,
y x x y x x x '''=-=-↑-∞-↓-+∞=±3
取极大值,=0取极小值0
2
凹凸其余区间2323
拐点,,)
1818
13. 求内接椭圆22
22b y a x +=1且底边平行于x 轴的等腰三角形，使面积最大。

(,()(=x s x x b
设右交点为2222()[)[2()](2)()
,.2'==+--=-+=∴b b b s x a t at a a t t a t a a at at a t x 是唯一驻点显然是s 的最大值点.当时面积最大14. 已知曲线方程为32e =--y x xy
，
求此曲线上0=y 所对应的点处的切线方程和法线方程。

10()0=-1
(,xy y =0x =-1,
e y+xy -2-y =y y =-x-1y =x+1
-'''⇒）
时切线：法线：
15.a 为何值时，x x a y 3sin 31sin +
=在3
π
=x 处有极值？它是极大还是极小？
cos cos3,()02,()0,().333
''''=+=⇒==<y a x x y a y y πππ
由由极大 16.在1，2，33，44，…，n n ，…中求出最大的一个数。

1
1022
116
6
1
ln 1
(),()(),,().23.89().
'==-
+=∴=====x x
n
x f x x f x x x e f e x x n n f n n n 设是唯一驻点且最大最大项在或.注.不能直接对中的自变量求导数 17.设c bx ax x f ++=2)(，a,b,c 为何值时，使)(x f 在1=x 处有极大值7，且曲线)(x f y =过点（2，－2）。

(1)77,(1)020,(2)24222,9,18.
'=⇒++==⇒+==-⇒++=-⇒=-=-=f a b c f a b f a b c c a b
18.给定半径的球内，内接一正圆锥，问圆锥的高和底面半径的比值为何时，圆锥体积最大？
2222
2
0,:,:,
4(),(()),(2),,33
+-==-==R h r V h r h r h R R Rh h h h R r R π
π
设球半径:锥高锥底半径则=时最大.
33 19. 已知
x
x
sin 是)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(。

xcosx-sinx sinx
xf (x)dx xf(x)f(x)dx x x
sinx
f(x)dx x
C '=-=-+=
⎰⎰⎰注：
20.
⎰
∞
+- 3
2
1x
dx
； 3
2222 3 311111111ln 2()ln ,lim lim (ln )121112111212
+∞→+∞→+∞++=+=+===---+-----⎰⎰⎰b
b b b dx x dx dx x
C x x x x x
x x x ,
21.
⎰
1
d ln x x x ；
12222 1 002
22
00022
1
ln d ln ,ln d lim (ln )2424411ln ln 11ln 11lim ln lim lim lim lim
0()112221++++→→+∞→+∞→→→=-=-=-
==-=-=-==⎰⎰a a x x a a a x x x x x x x x x x x x a x a x a a x x a a a 由其中令 22. 给定函数]1,0[),(∈x x g ，且图（1）中的三条曲线分别是：
dx x g y x g y x g y x
⎰='==1
321)(),(),(的图形，
指出图中的123,,C C C 所对应的曲线。

答案：1231
x
C g (x),C g(x)dx,C g(x)''⎰：：：
23. 设x e f x +='1)(，求)(x f
1f (
t )=1+ln t,f(x )=(ln x )dx x ln x C '+=+⎰ 24. ⎰
+dx x
x
cos 2sin 3；. 322cos 22
sin 1(4)33
(2)2cos 222cos 23ln 22cos 3ln 2cos 22
=--+==-+++++=-+++=-+++==⎰⎰⎰⎰⎰t x
x t t dx dt dt t dt dt
x t t t t x t t C x x C 25. 2
2 0
cos d lim
sin x x
x t t tdt
→⎰
⎰
2
24
0 0
0 0
cos d 2cos lim lim 2sin sin →→===⎰⎰
x x x x t t
x x x tdt
原式 26.
⎰
∞
+- 0
d x
e x x n （n 为自然数）
10
11
12132 0
d ()
0lim
122332!
.()d (0),()""+∞
+∞
-------→+∞+∞
-==-⋅+=+∴==⇒==⇒==⋅⇒⇒==>⎰
⎰⎰
⎰
b
n x x n n x n b
n x n n b n t x I x e x e x nx e dx
nx e dx I nI I I I I I I n I t x e x t I t 注若函数则是自然数阶乘函数的推广
27.计算 ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡-++
+++++∞→2
22222)1(1
21111lim n n n n n n 。

10222222
11211
lim[()()()](
)11111lim[(0)()()]1lim 12(1)1111lim 1n n n n n f f f n n n
n n n
f x dx
n f f f n
n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞⎧⋅+⋅++⋅⎪⎪=⎨
-⎪⋅+⋅++⋅⎪⎩⎡⎤
+++
+⎢⎥+++-⎢⎥⎣
⎦
⎡
⎤
⎢⎥
=⎢⋅+++⎥
⎢⎥⎢⎣⎦
⎰或4
tan 1
4
ln(sec tan )
1)
x t
t t =⎥
==+===⎰
⎰ππ
28 求半径为6的球内体积最大的正圆柱体。

2
2
2
2220(()6),()(36
),
243(
)(36),4
h h
V r h r V h h V h h h r h =+=∴=-'=-=∴==πππ其中唯一驻点当.
29. 已知5)2(,3)2(,1)0(='==f f f 计算
⎰
''1
)2(dx x f x
22 1
2
2 2
0 0
0 0
1111(2)()()()()222444='''''''==-===⎰
⎰
⎰⎰t x
t xf x dx f t dt tdf t tf t f t dt 30. 给定半径的球内，内接一正圆锥，问圆锥的高和底面半径的比值为何时，圆锥体积最大？
22223220,(02)(())(2),33
4
(34),.()0().
334,,.
33<<-+=∴-+'''-+=<∴∴==h r h h a h a r a h ah h ah a V h V h
a r a r
πππ00设r 为圆锥底面半径为圆锥高,V 圆锥体积,a 为球的半径,则
11
V=其中V(h)=1V (h)=h 是唯一驻点且h 必是最大值当h=即 31. 求曲线x y ln =当x 在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与6,2==x x 和曲线
x y ln =所围成的图形的面积最小。

66
66622
222226622221
(,ln ).:()ln 11(){[()ln ]ln }ln ln 16216
44ln ln 4ln 4ln 21644
()(4),4.
(4,ln 4)P t t P y x t t
t
S t x t t x dx xdx dx t dx xdx
t t t xdx t xdx
t t
S t t t t t t
P =-+=-+-=-+--=⋅-+-=+---'=+=-+∴=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰设切点为则过的切线方程为是唯一驻点显然当切点为时,面积最小.
32. 求曲线x y sin =和它在2
π
=
x 处的切线，以及π=x 所围成图形的面积，并求此图形绕
Ox 轴旋转所成旋转体的体积。

22
2
2
sin (sin )()22442
2
2
1π
ππ
ππππππV πdx πxdx ππxdx π=-=-=-=
⎰⎰⎰ 33.设⎩
⎨⎧≤->=0 10
sin )(x x x x x f ，求⎰-ππ2 0 )(dx x f .
2()()(1)sin (cos sin )
0 0 0
- - 0
πt x π
π
ππ
π
π
f x πdx f t dt dt t tdt πt t t =--=-+=-+-+===⎰
⎰⎰⎰
34.在一半径为5的球体中，以它的一条直径为中心线钻一半径为3的圆孔。

求钻孔后余下
的体积；
1
2
2563
3
03
3
22220
45V =-223452(5-x )d(5-x )33⋅=
+=⎰⎰πππππ
35.下列微分方程中，通解为212(cos sin )x y e C x C x =+的方程是 。

(A)450y y y '''--=； (B) 450y y y '''-+=； (C)250y y y '''-+=．； (D) 245x y y y e '''--= 36. 给出下列方程的特解形式，不必解出结果：
（1）132+='-''x y y )(*b ax x y +=
（2）x e y y y x sin 265+=+'-''
*
2*1*y y y += 1*
x y Ce =
2*y a c o s x b s i n x
=+
x y*Ce a cos x bsin x =++
（3）x e y y y x 3cos 102=+'-''
33x y*xe (acos x bsin x )=+
37. 求方程x y y 2cos 24=+''的通解。

特征方程：042
=+r 特征根为：i
2±
∴对应齐次方程的通解为x C x C Y 2sin 2cos 21+= 所给方程自由项x x x f 2cos 1cos 2)(2+==
设*
1y 是：14=+''y y 的一个特解 *2y 是x y y 2cos 4=+''的一个特解
可求得41*
1=
y ，x x y 2sin 4
*
2= ∴ 原方程的一个特解为x x
y 2sin 4
41*+=
∴原方程的通解为*y Y y +==x C x C 2sin 2cos 21++x x
2sin 4
41+ 38. 求下列方程通解： （1）b y a y x y +'-'= 原方程整理为：a
x y a x y --=--
'6
1
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+--=⎰⎰--⎰
-c dx e a x b e
y a
x dx
a
x dx
b a x C +-=)(
（2）0cos )sin 1(=-'+y y y x
01sin cos =--⋅
y dy
dx
y
1
(tan )cos x y x y
'-=
tan tan 1[]cos ydy
ydy
x e C e y
-⎰
⎰=+⎰
cos y C
x y
+=
39.（1）求连续函数1
()()2().
0x xt dt x x φφφ=>⎰，使得
（） （2）设函数()y y x =满足微分方程322x y y y e '''-+=，又若()y y x =对应的曲线在点（0，1）处的切线与曲线sin x y y e =+在该点的切线重合。

求函数()y y x =。

10
1
(1)()2()()2()()
()1()2()=,()()2x
x
xt dt x u du x u x x x u du x x x x x φφφφφφφφφ=⇒='=⇒
-=⎰⎰⎰令：=t 由
(2)特征值：1,2;齐次方程通解：212x x e C e +C
设非齐次方程*x y axe =
()()2 2.x e a x+2-a x+1ax +=代入，消去：*2.x y xe ∴=-
非齐次方程通解：2122x x x y C e C e xe =+-
利用初始条件(0)1,(0)1y y '==-确定常数，得： (12)x y x e =-
二.证明题
1. 设函数)(x f 对任意的21,x x 满足)()()(2121x f x f x x f +=+，且)(x f 在0=x 处连续，证明：)(x f 在区间),(+∞-∞内连续。

(1)lim ()(0)(00)2(0)0;(2)lim ()lim (()())()→∆→∆→+==+∆=+∆=x x x f x f f f f x x f x f x f x ==
2.证明曲线02
(lntan cos ),(),
sin t x a t a y a t
⎧
=+>⎪⎨⎪=⎩π<<t 0上任一点的切线与x 轴的交点至切点的距离恒为常数。

222222(ln tan cos ),(0)(),()2
sin cos tan cos
12(sec sin )22sin 2
:sin tan ((ln tan cos )),
2
cos (ln cos )2
()(())(sin )(cos ),M t x a t a M x t y t y a t
a t
k t
t t a t t t
y a t t x a t t
x a t a tg t d y t x t x a t a t d a
⎧
=+>⎪
⎨⎪=⎩==--=-+=++=+-=+∴=设曲线上任一点(),切线截距截距
3.若函数)(x f 对任意实数21,x x 有)()()(2121x f x f x x f ⋅=+，且1)0(='f ，证明：
)()(x f x f ='。

0(0) 1.
(0)(0)(0)(0)0,()()(0)0(0)1.(0)1()(0)()(()1)
()lim
lim ()(0)()∆→∆→='=⋅=⇒=⋅==∴=+∆-∆-'===⋅=∆∆x x f f f f f f x f x f f f f x x f f x f x f x f x f f x x x
先证若与矛盾又 4.可导的偶函数的导数是奇函数。

0()()()()()lim
lim (1)()∆→→-+∆---∆-''-==⋅-=--x x f x x f x f x x f x f x f x x x
5. a e >>b
a
判断a ,b(b )的大小
2
ln 1ln (),(),()ln ln ln ln ln ln b a
b a x x
f x f x f x x x a b
b a a b a b a b a b -'=
=∴∴>∴>∴>∴>单调下降 6. 设0>x ，证明 221)1ln(1x x x x +>+++。

()1ln((0)0=+=f x x x f 令
()ln(ln(0'=+=>f x x x x
7. 证明0>x 时，arctan ln(1)1x x x
+>+。

arctan ln(1)(1)ln(1)arctan 01+>⇔++->+x x x x x x
()(1)ln(1)arctan ,=++-f x x x x 令
()0()0.'=>f x f x 由和可证
8.证明2(0,),sin 2x x x ∈π
π＞ 2()sin ,[0,]2=-∈f x x x x π
π法1.令 02(0)()0,()cos ,22()0,)cos 2'===-'=f f f x x f x x arc ππ
ππ由在(有唯一驻点
00()0()[0,]2
(0)()0[0,]22
()0,(0,)2''<⇒∴==∴>∈f x f x f f f x x ππππ
且是上的最大值,是上的最小值, sin (0,]()210:()2()().2⎧≠∈⎪=⎨⎪=⎩
'∴=x x f x x x f x f f x πππ
法2.令可以证明<0
是的最小值 9.设)(x f 在],[31x x 上具有二阶导数，且)()()(321x f x f x f ==，321x x x <<，证明存在],[31x x ∈ξ，使0)(=''ξf 。

1211212322321213()()(,)()0,
()()(,)()0,
()()0(,)()0
f x f x x x f f x f x x x f f f x x f ξξξξξξξξ'=⇒∃∈∍='=⇒∃∈∍=''''==⇒∃∈∍=由由由 推论：0()()f
x f x n ≠⇒（n ）若至多有个零点。

10.==0.
0()
[,](),()()()()()a b f x f x f f f f R ξξλξλ'∈'∈∍+=∈设C 在(a,b)存在,a b 证明:(a,b),:
=x F(x)=e f(x)F(a)F(b)=0,F(x)ROLL λ令利用对使用定理即可.
11.如果函数)(x f 在[0,1]上有二阶导数，且0)1()0(==f f ，又设)()(x xf x F =， 求证：函数)(x F 在（0,1）内至少存在一点ξ，使0)(=''ξF 。

11(0)(1)0(0,1)()0,'==⇒∃∈∍=F F F ξξ由
(0)0(0,1)()0'''=⇒∃∈∍=F F ξξ又由
12.讨论方程ln (0).x ax a =>有几个实根
20()l n ,(0,)
1()0l i m ()l i m (),
+→+∞→=-∈+∞''=-<==-∞x x f x x ax x f x f x f x x
令由和 01().f x x a
知在驻点=取到最小值 11(1).()0,0,()∴>>>f a f x a e
即时有两个零点; 11(2).()0,,()==f a f x a e
即时恰有一个零点; 11(3).()0,,()<<f a f x a e 即时没有零点. 13.设)(x f 在(]b a ,上具有二阶导数，且)(,0)(,0)()(b c a c f b f a f <<<≥=，证明至少存在一个),(b a ∈ξ，使0)(>''ξf 。

(,),()()()(),()0;''∃∈∍-=-<a c f c f a f c a f ξξξ111且
2(,),()()()(),()0;''∃∈∍-=->c b f b f c f b c f ξξξ22且
2222()()(,),()()()(),()0.
''∴-∃∈''''''∍-=->f f f f f f ξξξξξξξξξξξ1111对显然 14.设)(x f 在（1，2）内有二阶导数，且0)1()2(==f f ，又)()1()(2x f x x F -=求证：
在（1，2）内存在ξ，使0)(=''ξF 。

112
1(1)(2)0(1,2)()0;
()2(1)()(1)()(1)0;(1,)()0.
F F F F x x f x x f x F F ξξξξξ'==⇒∃∈∍='''=-+-⇒=''⇒∃∈∍=由由 15.若)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(≤'x f ，
令⎰<<-=x a b x a dt t f a
x x F )()(1)(，求证：0)(≤'x F 10(a,x) 22 -1()()ξx
a f x f x f x f ξF x f t dt x a f ξx a x a x a x a x a ∈--'=+===-+=>-----⎰()()()()()()()() 16.设)(x f 在],[
b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)(>'x f 。

证明：存在唯一的ξa b ∈(,)，使曲线)(x f y =与两直线a x f y ==),(ξ所围成的平面图形的面积1S 是曲线)(x f y =与两直线b x f y ==),(ξ所围平面图形面积2S 的3倍。

3030
333令由a b 和33
a x
b b
a
a x x x b
a a
b x
x x
a b
F x f x f t dt f t f x dt
F f t f a dt F f b f t dt F x f x dt f t dt f t dt f x dt
F x f x x a f t dt f t dt f x b x F x f x x a =---=--<=->=-++=--++-''=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()(()())(()())()(()()),()(()())()()()()()()()()()()()()
()()()330所证结论成立f x f x f x f x b x f x '+-++-->⇒()()()()()()
3030
333()(()())(()())()(()()),()(()())()()()()()()()()()()()()
()()()=---=--<=->=-++=--++-''=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰令由a b 和33x b
a x
b b
a
a x x x b
a a
b x
x x a b
F x f x f t dt f t f x dt
F f t f a dt F f b f t dt F x f x dt f t dt f t dt f x dt
F x f x x a f t dt f t dt f x b x F x f x x a 330()()()()()()'+-++-->⇒所证结论成立.
f x f x f x f x b x f x
17.设()f x 在[0,1]可导，且21
2
10.x f e
dx -⎰(1)=2
证明：(0,1),ξ∃∈使得f f ξξξ'(
)=2()。

2222)=22ln ln F x x x x f x f x xf x x f x f x dx xdx f x C f x f x f x f x ''⇒'=⇒+⇒∴⎰⎰
()分析：由()=2(()
()()=l ne ()()()()=C e 即：可以令(x)=e e
证明：2F ,x f x ()(x)=e 221
2110
1()2()2x f e f x dx f e f ξη--⇒=⋅⋅⋅⎰(1)=2(1) 注，定积分中值定理：()()()b
a
f x dx f b a η=-⎰
(1)(),F F η∴=对F(x)使用罗尔定理即可。