12章 代数系统习题补充
近世代数题库
近世代数题库(总12页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除群一、填空题1. 设4)(x x f =是复数集到复数集的一个映射, 则)1(1-f ={_______}.2. 设τ=(134),σ=(13)(24), 则τσ=____________________.3. 群G 的元素a 的阶是m ，b 的阶是n ，ba ab =，则≤ab ，如果),(m n = 1，则=ab_____.4. 设<a >是任意一个循环群.若|a |=∞，则<a >与________________同构；若|a |=n ，则<a >与______________同构.5. 设σ=（14）（235），τ=（153）（24），则|σ| = ____，στσ1- =______.6. 设群G 的阶为m ，G a ∈，则=m a .7. 设“～”是集合A 的一个关系，如果“～”满足_________________，则称“～”是A 的元素间的一个等价关系.8. 设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S 5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)， τ是 (奇、偶)置换.9. 设群G 中元素a 的阶为m ，如果e a n =，那么m 与n 存在整除关系为 .10. 一个群G 的非空子集H 做成一个子群的充分必要条件是 .11. 设G 为群，若对于任意的元G b a ∈,，都有ba ab =，则称群G 为 群.12.n 次对称群n S 的阶是____________.13.设G =<a >是10阶循环群，则G 的全部生成元有 ，G 的子群有 个，分别是 .14.设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=Hb Ha .15.设G =<a >是循环群，则G 与整数加群同构的充要条件是 .16．在3次对称群3S 中，H ＝{(1),(123),(132)}是3S 的一个正规子群，则商群H S 3中的元素(12)H ＝{}.17．如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 .18.设集合A 有一个分类，其中i A 与j A 是A 的两个类，如果j i A A ≠，那么=j i A A .19. 凯莱定理说：任一个群都与一个 同构.20. 设G =<a >是12阶循环群, 则G 的生成元集合为｛ ｝.21. 一个群G 的一个子群H 的右陪集（或左陪集）的个数叫做H 在G 中的 .22. 设G 是一个pq 阶群，其中q p ,是素数，则G 的子群的一切可能的阶数是 ____ .23. 写出S 3的一个非平凡的正规子群_____.24. 已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于 .25. 一个有限非可换群至少含有____________个元素.26. 设G 是p 阶群（p 是素数），则G 的生成元有____________个.27. 一个有限群中元素的个数叫做这个群的 .28.设R 是实数集，规定R 的一个代数运算ab b a 2:= ，（右边的乘法是普通乘法），就结合律、交换律而言，“ ”适合如下运算律： .29. 设H 是群G 的子群，G b a ∈,，则⇔=bH aH .30. 写出三次对称群3S 的子群()(){}13,1=H 的一切左陪集 .31. 如果G 是一个含有15个元素的群，那么，G 有 个5阶子群，对于∀∈a G ，则元素a 的阶只可能是___________.32.设G 是一个pq 阶群，其中q p ,都是素数，则G 的真子群的一切可能的阶数是 ，G 的子群的一切可能的阶数是 .33. 已知群G 中的元素a 的阶等于n ，则k a 的阶等于n 的充分必要条件是 .34. 设(G ，·)是一个群，那么对于∀∈b a ,G ，(ab )－1＝___________.k36．若一个群G 的每一个元都是G 的某一个固定元a 的方幂，则G 称为 .37．5-循环置换)31425(=π，那么=-1π .38．设G 为群，G N ≤，且对于任意的G a ∈，有 ，则N 叫做G 的正规子群.39. 设G 为乘群，G a ∈，则能够使得e a m =的最小正整数m ，叫做a 的___________.设G 为加群，G a ∈，则能够使得 的最小正整数m ，叫做a 的阶.40．设τ＝(1243)(235)∈5S ，那么1-τ＝___ _.τ是 (奇、偶)置换.41. 设～是集合A 的元间的一个等价关系，它决定A 的一个分类：则a 所在的等价类a ={ ｝.42. 设A ={d c b a ,,,}，则A 到A 的映射共有________个，A 到A 的一一映射共有 ________个，A A ⨯到A 的映射共有________个（A 上可以定义 个代数运算）.43. 设G 是6阶循环群，则G 的生成元有____________个.44. 非零复数乘群*C 中由i -生成的子群是____________.45. )125(=σ，)246(=τ，则στ的阶数等于 .46．素数阶群G 的非平凡子群个数等于____________.47. 设G 是一个n 阶交换群，a 是G 的一个m （n m ≤）阶元，则商群><a G 的阶等于 .48. 设σ是集合A 到集合B 的一个映射,则存在B 到A 的映射τ,使στσ⇔=A 1 为 ;存在B 到A 的映射τ,使σστ⇔=B 1为 .49. 若群G 中的每个元素的阶都有限,则称G 为 群. 若群G 中除了单位元外,其余元素的阶都无限,则称G 为 群.50. n 阶循环群有 个生成元,有且仅有 个子群.51. 若n k ,则n 阶循环群>=<a G 必有k 阶子群,其k 阶子群为 .52. 在同构意义下,4阶群只有两个,一个是4阶循环群,另一个是 .53. 在同构意义下,6阶群只有两个,一个是6阶循环群,另一个是 .54. 非交换群G 的每个子群都是其正规子群,则称G 为 群.55. n 元置换)(21k i i i 的阶为 ，=-12121)])([(m k j j j i i i .二、选择题1. 设R B A == (实数集)，如果A 到B 的映射R x x x ∈∀+→,2:ϕ,则ϕ是从A 到B 的（ ）.A) 满射而非单射; B) 单射而非满射;C) 一一映射; D) 既非单射也非满射.2.3S 中可以与(123)交换的所有元素有（ ）.A) (1),(123),(132); B) (12),(13),(23); C) (1),(123); D)3S 中的所有元素.3.设15Z 是以15为模的剩余类加群，那么15Z 的子群共有（ ）个.A) 2 B) 4 C) 6 D) 8.4. 设c b a ,,和x 都是群G 中的元素且xac acx bxc a x ==-,12，那么=x （ ）.A) 11--a bc B) 11--a c C) 11--bc a D) ca b 1-.5. 设f 是复数集到复数集的一个映射. 如果对任意的复数x ，有4)(x x f =，则))1((1f f -=( ).A) {1，-1}; B) {i ，-i }; C) {1， -1，i ，-i }; D) 空集.6. 设A ={所有实数}，A 的代数运算是普通乘法，则以下映射作成A 到A 的一个子集A 的同态满射的是( ).A) x x 10→ B) x x 2→ C) x x → D) x x -→.7. 设G 是实数集，定义乘法k b a b a ++= :，这里k 为G 中固定的常数,那么群() ,G 中的单位元e 和元x 的逆元分别是（ ）.A) 1和x -； B) 1和0； C) -k 和k x 2-； D)k -和)2(k x +-.8.下面的集合对于给定的代数运算不能成为群的是( ).A) 全体整数对于普通减法; B) 全体不为零的有理数对于普通乘法;C) 全体整数对于普通加法; D) 1的3次单位根的全体对于普通乘法.9. 设G 是群,c b a ,,是群G 中的任意三个元素, 则下面阶数可能不相等的元素对为( ).A)ba ab , B) bac abc , C) 1,-bab a D) 1,-a a .10. 设R 是实数集合,规定R 的元素间的四个关系如下,( )是R 的等价关系.A)b a aRb ≤⇔; B) 0≥⇔ab aRb ; C) 022≥+⇔b a aRb ; D) ab aRb ⇔<0.11.设G 是一个半群，则下面的哪一个不是做成群的充要条件( ).A) G 中有左单位元，同时G 中的每个元素都有左逆元；B) 对于G 中任意元素a 和b ，G 中恰好有一个元素x 满足a x =b ；同时G 中恰好有一个元素y满足y a =b ；C) G 中有单位元，同时G 中的每个元素都有逆元；D) 在G 中两个消去律成立.12.设H 是群G 的子群，且G 有左陪集分类{}cH bH aH H ,,,. 如果子群H 的阶是6，那么G 的阶=G （ ）.A) 6 B) 24 C) 10 D) 1213. 三次对称群3S = {(1),(12),(13),(23),(123),(132)}，那么下面关于3S 的四个论述中，正确的个数是( ).(1) 3S 是交换群；(2) 3S 的2阶互异子群有三个；(3) 3S 的3阶互异子群有两个；(4) 3S 的元素(123)和(132)生成相同的循环群.A) 1 B ) 2 C) 3 D) 414. 设Z 15是以15为模的剩余类加群，那么，Z 15的子群共有（ ）个。
图论及代数系统答案A
计算机04级代数系统及图论试题（A ）答案一、证明：（1） 由表1可得<{e,a},*>的运算表如下：（酌情给1~5分）由表可知，幺元为e ，a 的逆元为a ，显然运算满足封闭性、结合律，故<{e,a},*>是一个群。
（酌情给1~5分）（2） 设{e,a}=M ，则M 的所有左陪集有bM={a,b}，cM={b,c}，dM={c,e} （酌情给1~5分）若<G ,*>是群，则应满足 |M|⎢|G|，但|M|=2，|G|=5，故<G ,*>不是群。
（酌情给1~5分）二、证明：必要性设f 是入射。
因为f(e)=e ’，所以e ∈Ker(f)。
若另有a ∈G ，使得f(a)=e ’，则f(a)=f(e)，由于f 是入射，故必有a=e ，因此Ker(f)={e}。
（酌情给1~5分）充分性设Ker(f)={e}。
对于a,b ∈G 1，如果f(a)=f(b)，则有f(b*a -1)=f(b)∆f(a -1)=f(a)∆f(a -1)= f(a*a -1)=f(e)=e ’,故b*a -1∈Ker(f)，所以b*a -1=e ，因此有（b*a -1）*a=e*a ，即b=a ，所以f 是入射。
（酌情给1~5分） 三、(a)不是格，(b),(c),(d)都是格；（酌情给1~4分）其中(b)是有界格、分配格；(c)是有界格、分配格、有补格；(d)是有界格、有补格。
（酌情给1~6分） 四、证：设a 是L 中的任意一个元素，如果21,a a 都是a 的补元，则有)()()()()()()()(2112212221211211a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ∧=∧∨∧=∨∧=∧=∧∨∧=∨∧=故有21a a =。
（酌情给1~10分）其它正确的证明方法。
（酌情给1~10分） 五、解：G 与G 的并为完全图K n ，因为n 为奇数，所以K n 中每个顶点的度为n-1，为偶数。
代数系统基础习题及答案
习题71.有理数集Q 和Q 上定义的下列运算*是否构成一个代数系统。
(1)()1*2a b a b =+ (2)()2*a b a b =-(3)2*2a b b =+(4)*10a ba b +=解答：（1）是。
（2）否。
运算不封闭（3）否。
运算不封闭（4）是2.设集合{1,2,3,,10}A = ，判断下面定义的运算关于集合A 是否封闭。
(1)*max{,}x y x y = (2)*min{,}x y x y = (3)*gcd{,}x y x y =，即x y ，的最大公约数(4)*{,}x y lcm x y = ，即x y ，的最小公倍数解答：(1)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为10，零元为1。
(2)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元为1，零元为10。
(3)封闭。
*运算满足交换律、结合律，单位元不存在，零元为1。
(4)不封闭。
3.设{1,2,3,4,6,12}A =，A 上的运算*定义为:*=a b a b - （1）写出二元运算*的运算表。
（2）A 和*能构成代数系统吗？为什么？解答：（1）运算表如下*12346121012351121012410321013943210286543206121110986（2）不能。
0,5,8,9,10,11不是A 中的元素，运算不封闭。
4.考虑有理数集Q ，设*是如下定义的Q 上的运算：*a b a b ab=+-(1)求3*4,2*(-5)和7*1/2。
(2)*在Q 上可结合吗？*在Q 上可交换吗？(3)求Q 上关于运算*的单位元。
(4)集合Q 上所有元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。
解答：(1)3434125*=+-=-，2(5)25107*-=-+=，71271721*=+-=。
(2)()()a b c a b ab c a b c ab ac bc abc**=+-*=++---+()()a b c a b c bc a b c ab ac bc abc **=*+-=++---+即()()a b c a b c **=**。
代数导引习题参考答案
代数导引习题参考答案代数导引习题参考答案代数是数学中的一个重要分支，它研究的是数与符号之间的关系。
在代数学习的过程中，习题是不可或缺的一部分。
通过解答习题，我们可以加深对代数概念和原理的理解，提高解决实际问题的能力。
在本文中，我将为大家提供一些代数导引习题的参考答案，希望对大家的学习有所帮助。
1. 简化下列代数表达式：(2x + 3y) - (x - y)答案：2x + 3y - x + y = x + 4y2. 解方程：3(x + 2) = 2(3x - 1)答案：3x + 6 = 6x - 26 + 2 = 6x - 3x8 = 3xx = 8/33. 求解不等式：2x + 5 > 3x - 2答案：2x - 3x > -2 - 5-x > -7x < 74. 计算下列多项式的乘积：(a + b)(a - b)答案：(a + b)(a - b) = a^2 - b^25. 求解方程组：2x + 3y = 124x - 2y = 8答案：通过消元法可以得到：2x + 3y = 124x - 2y = 8乘以2得到：4x + 6y = 244x - 2y = 8两式相减得到：8y = 16y = 2将y的值代入第一式得到：2x + 3(2) = 122x + 6 = 122x = 6x = 3所以方程组的解为x = 3，y = 2。
6. 求解二次方程：x^2 - 5x + 6 = 0答案：这是一个二次方程，可以通过因式分解或者求根公式来解。
尝试因式分解：(x - 2)(x - 3) = 0得到两个解：x = 2，x = 37. 计算下列代数式的值：3x^2 - 2x + 5，其中x = 2答案：将x代入代数式中得到：3(2)^2 - 2(2) + 5 = 128. 确定下列函数的定义域：f(x) = 1/(x - 3)答案：函数的定义域是指使得函数有意义的x的取值范围。
对于这个函数，由于分母不能为0，所以x不能等于3。
多所高校近世代数题库及部分答案
多所高校近世代数题库及部分答案一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ × ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（× ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（√ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（√ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ × ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ √ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（√ ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（√ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（× ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ × ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（② ）①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同；④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ）①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ；③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
代数系统习题
第三部分：代数系统1.在代数系统,S *中，若一个元素的逆元是唯一的，其运算*必定可结合。
( )2.每一个有限整环一定是域，反之也对。
( )3.任何循环群必定是阿贝尔群，反之亦真。
( )4.设(),A ∧∨是布尔代数，则(),A ∧∨一定为有补分配格。
( )5.设Q 为有理数集，Q 上运算*定义为max(,)a b a b *=，则 ,Q * 是半群。
( )6.阶数为偶数的有限群中，周期为2的元素的个数一定为偶数。
( )7.群中可以有零元（对阶数大于一的群）。
( )8.循环群一定是阿贝尔群。
( )9.每一个链都是分配格。
( )1. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的，运算定义为任,a b N ∈( )A. min(,)a b a b *=B. 2a b a b *=+C. 3a b a b *=+-D. a b a b *=+ (mod3)2. 任意具有多个等幂元的半群，它 ( )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 不能构成交换群D. 能构成交换群3. 循环群33,Z +的生成元为[][]1,2，它们的周期为 ( )A. 5B. 6C. 3D. 94. 设<A,*, >是环，则下列正确的是 ( )A. <A, >是交换群B. <A,*>是加法群C. 对*是可分配的D. *对 是可分配的5. 下面集合哪个关于减法运算是封闭的 ( )A. NB. {2|}x x I ∈C. {21|}x x I +∈D. {x |x 是质数}6. 具有如下定义的代数系统,G 〈*〉，哪个不构成群 ( )A. G={1,10}，*是模11乘B. G={1,3,4,5,9}，*是模11乘C. G ＝Q(有理数集)，*是普通加法D. G ＝Q(有理数集)，*是普通乘法7. 设G ＝{23|,m n m n I *∈}，*为普通乘法．则代数系统,G 〈*〉的么元为 () A.不存在 B. e ＝0023⨯ C. e ＝2×3 D. e ＝1123--⨯8. 任意具有多个等幂元的半群，它( A )A. 不能构成群B. 不一定能构成群C. 必能构成群D. 能构成交换群9. 在自然数集N 上，下面哪个运算是可结合的，对任意a,b N ∈ ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 5a b a b *=+D. ||a b a b *=-10. Q 为有理数集，Q 上定义运算*为a b a b ab *=+-，则,Q 〈*〉的幺元为( )A. aB. bC. 1D. 011. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ （ ）A.数的加B.数的减C. 数的乘 (D) 数的除12. ,G 〈*〉是群，则对* ( )A. 满足结合律、交换律B. 有单位元，可结合C. 有单位元，可交换D. 每元有逆元，有零元13. 实数集R 的下列运算，哪个满足结合律？ ( ) A. n m n m -= B. ()n m n m +=21 C. n m n m 2+= D. 22n m n m +=14. 下面哪一种运算不是实数集R 上的二元运算？ ( )(A) 数的加 (B) 数的减(C) 数的乘 (D) 数的除15. 在代数系统中，整环和域的关系为 ( )A. 整环一定是域B. 域下一定是整环C. 域一定是整环D. 域一定不是整环16. 具有如下定义的代数系统,G *，哪个不构成群 ( )A. {1,10}G =，*是模11乘B. {1,3,4,5,9}G =， *同(1)C. G Q = (有理数集)，*是普通加法D. G Q =，*是普通乘法17. Q 为有理数集，,Q ⨯ (其中⨯为普通乘法)不能构成 ( )A. 群B. 独异点C. 半群D. 交换半群18.下述*运算为实数集上的运算，其中可交换且可结合的运算是 ( )（A ）a*b=a+2b （B ）a*b=a+b-ab（C ）a*b=a （D ）a*b=|a+b|19. 设I 是整数集，+，分别是普通加法和乘法，则,,I +是 ( )A. 域B. 整环和域C. 整环D. 含零因子环20. R 为实数集，运算*定义为：,a b R ∈，||a b a b *=，则代数系统,R *是( )A. 半群B. 独异点C. 群D. 阿贝尔群21. 对自然数集合N ，哪种运算不是可结合的 ( )A. min(,)a b a b *=B. 3a b a b *=++C. 2a b a b *=+D. a b a b *= (mod3)22.为有理数集，Q 上定义运算*为：a b a b ab *=+-，则,Q *的么元是( )A. aB. bC. 1D. 023. 设,H ，,K 是群,G 的子群，下面哪个代数系统仍是,G 的子群( )A. ,HKB. ,H KC. ,H K -D. ,K H -24. 群,R +与{0},R -⨯ ( )A. 同态B. 同构C. 后者是的前者的子群D. (2)与(3)都正确25. 在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的 ( )A. a b a b *=-B. max(,)a b a b *=C. 2a b a b *=+D. ||a b a b *=-26. 循环群,I +的所有生成元为 ( )A. 1,0B. -1,2C. 1，2D. 1，-127. 任何一个有限群在同构的意义下可以看作是 ( )A. 循环群B. 置换群C. 变换群D. 阿贝尔群28. 下列集合关于指定的运算哪一个可以构成群？ （ ）(A) 给定a >0且1≠a ，集合{}Z n a G n ∈=关于数的乘法。
2023年新版近世代数练习题题库
§1 第一章基础知识1.1鉴定题:1.2设和所有是非空集合, 那么。
（）1.3A×B = B×A （）1.4只要是到一一映射, 那么必有唯一逆映射。
（）1.5假如ϕ是A到A一一映射,则ϕ[ϕ(a)]=a。
( )1.6集合A到B可逆映射一定是A到B双射。
（）1.7设、、所有是非空集合, 则到每个映射所有叫作二元运算。
（）1.8在整数集Z上, 定义“”：a b=ab(a,b∈Z), 则“”是Z一个二元运算。
（）1.9整数整除关系是Z一个等价关系。
( )1.10填空题:1.11若A={0,1} , 则A⨯A= __________________________________。
1.12设A = {1, 2}, B = {a, b}, 则A×B =_________________。
1.13设={1,2,3} B={a,b},则A⨯B=_______。
1.14设A={1,2}, 则A⨯A=_____________________。
1.15设集合；, 则有。
1.16假如是和间一一映射, 是一个元, 则。
1.17设A =｛a1, a2,…a8｝, 则A上不同样二元运算共有个。
1.18设A、B是集合, | A |＝| B |＝3, 则共可定义个从A到B映射, 其中有个单射, 有个满射, 有个双射。
1.19设A是n元集, B是m元集, 那么A到B映射共有____________个.1.20设A={a,b,c}，则A到A一一映射共有__________个.1.21设A={a,b,c,d,e}, 则A一一变换共有______个.1.22集合元间关系～叫做等价关系, 假如～适合下列三个条件: _____________________________________________。
1.23设 A =｛a, b, c｝, 那么A所有不同样等价关系个数为______________。
近世代数期末考试试题和答案解析
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ ）是子群。
A 、{}aB 、{}e a ,C 、{}3,a eD 、{}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群A 、G 为整数集合，*为加法B 、G 为偶数集合，*为加法C 、G 为有理数集合，*为加法D 、G 为有理数集合，*为乘法3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ ）A 、a*b=a-bB 、a*b=max{a,b}C 、 a*b=a+2bD 、a*b=|a-b|4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ ） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ ）。
A 、不可能是群B 、不一定是群C 、一定是群D 、 是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。
2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。
3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。
4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。
5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。
6、若映射ϕ既是单射又是满射，则称ϕ为-----------------。
7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。
8、a 是代数系统)0,(A 的元素，对任何A x ∈均成立x a x = ，则称a 为---------。
代数系统练习题答案
代数系统练习题答案1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1) P关于对称差运算⊕，其中P为幂集.构成代数系统；满足结合律、交换律；幺元φ；无零元；逆元为自身。
2) A={a,b,c}，*运算如下表所示：构成代数系统；满足结合律、交换律；无幺元；无逆元；零元b.2. 设集合A={a,b}，那么在A上可以定义多少不同的二元运算？在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？24个不同的二元运算；23个不同的具有交换律的二元运算3. 设A={1,2},B是A上的等价关系的集合.1) 列出B的元素.元集合上只有2种划分，因此只有2个等价关系，即B={IA，EA}2) 给出代数系统V=的运算表.3) 求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.幺元EA、零元IA；只有EA可逆，其逆元为EA.4) 说明V是否为半群、独异点和群？V是为半群、独异点，不是群4. 设A={a,b,c}，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1) 给出关于*运算的一个运算表.其中表中？位置可以是a、b、c。
2) *运算是否满足结合律，为什么？不满足结合律；a*=c ≠*b=b5. 设是一个代数系统。
*是R上的一个二元运算，使得对于R中的任意元素a,b都有a*b=a+b+a·b.证明：: 是独异点.6. 如果是半群，且*是可交换的.证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则*=a*b.*= a**b结合律= a**b 交换律= *= a*b.7. 设是一个群,则?a,b,c∈S。
试证明：群G中具有消去律,即成立: 如果a·b=a·c ,b·a=c·a 那么b=c.8. 设是群，a∈G .现定义一种新的二元运算⊙：x⊙y=x*a*y，?x,y∈G .证明：也是群 .证明：显然⊙是G上的一个二元运算。
近世代数(含答案)
近世代数一、单项选择题1、6阶有限群的任何一个子群一定不是（ C ）。
A ．2阶 B ．3阶 C ．4阶 D ．6阶2、设G 是群，G 有（ C ）个元素，则不能肯定G 是交换群。
A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个3、下面的代数系统(,*)G 中，（ D ）不是群。
A ．G 为整数集合，*为加法B ．G 为偶数集合，*为加法C ．G 为有理数集合，*为加法D ．G 为有理数集合，*为乘法4、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ C ）是子群。
A ．{}aB ．{},a eC ．{}3,e aD ．{}3,,e a a5、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ）A ．*a b a b =−B ．{}*max ,a b a b =C ．*2a b a b =+D ．a b a b +=−二、填空题1、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于（ 25 ）。
2、一个有单位元的无零因子的（ 交换环 ）称为整环。
3、群的单位元是（ 唯一 ）的，每个元素的逆元素是（ 唯一 ）的。
4、一个子群H 的右、左陪集的个数（ 相等 ）。
5、无零因子环R 中所有非零元的共同的加法阶数称为R 的（ 特征 ）。
6、设群G 中元素a 的阶为m ，如果na e =，那么m 与n 存在整除关系为（ |m n ）。
7、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则1[()]f f a −=（ a ）。
8、循环群的子群是（ 循环群 ）。
9、若{}2,5A =，{}1,0,2B =−，则A B ×=（ {}(2,1),(2,0),(2,2),(5,1),(5,0),(5,2)−− ）。
10、如果G 是一个含有15个元素的群，那么，对于a G ∀∈，则元素a 的阶只可能是（ 1,3,5,15 ）。
三、问答题 1、什么是集合A 上的等价关系？举例说明。
【答案】设R 是某个集合上的一个二元关系。
代数系统
代数系统一、单项选择题：1．设集合A={1,2,…,10}，在集合A上定义的运算，不是封闭的为（）。
（A）∀a, b∈A，a*b=lcm{a, b}（最小公倍数）（B）∀a, b∈A，a*b=gcd{a, b}（最大公约数）（C）∀a, b∈A，a*b=max{a, b}（D）∀a, b∈A，a*b=min{a, b}2．下列代数系统<G, *>（其中*是普通加法运算）中，（）不是群。
（A）G为整数集合（B）G为偶数集合（C）G为有理数集合（D）G为自然数集合3．在自然数N上定义的二元运算◦，满足结合律的是（）。
（A）a◦b=a- b（B）a◦b=a+4b（C）a◦b= min{a, b} （D）a◦b=| a- b|4．在布尔代数L中，表达是(a∧b)∨(a∧b∧c)∨(b∧c)的等价式是（）。
（A）b∧(a∨c) （B）(a∧c)∨(a∧b)（C）(a∨b)∧(a∨b∨c)∧(b∨c) （D）(b∨c)∧(a∨c)5．设集合A={a, b, c}，代数系统G=<{∅, A}, ⋃>和H=<{{a, b}, A}, ⋃>同构的映射是（）。
（A）f : G→H, f (A)=∅, f ({a, b})=A（B）f : G→H, f (∅)=A, f (A)={a, b}（C）f : G→H, f ({a, b})=∅, f (A)=A（D）f : G→H, f (∅)={a, b}, f (A)=A6．同类型的代数系统不具有的特征是（）。
（A）子代数的个数相同（B）运算的个数相同（C）相同的构成成分（D）相同元数的运算个数相同7．下列图表示的偏序集中，是格的为（）。
（A）（B）（C）（D）8．下列各代数系统中不含有零元素的是（）。
（A）<Q, *>，Q是全体有理数集，*是普通乘法运算（B）<M n(R), *>，M n(R)是全体阶n实矩阵集合，*是矩阵乘法运算（C）<Z, *>，Z是整数集，*定义为x*y=xy, x, y∈Z（D）<Z, +>，Z是整数集，+是普通加法运算9．设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A)，+,-,/为数的加、减、除运算，⋂为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有（）。
近世代数习题与答案
近世代数习题与答案一、选择题（本题共5小题,每小题3分，共15分) 一、 (从下列备选答案中选择正确答案) 1、下列子集对通常复数的乘法不构成群的是（）。
(A) ｛1，－1，i ,－i ｝ (B) ｛1，－1｝ (C) ｛1，－1，i ｝2、设H 是群Ｇ的子群，a ，b ∈Ｇ，则aH = bH 的充要条件是（）。
(A) a －1b －1∈H (B) a －1b ∈H (C) ab －1∈H 3、在模6的剩余类环Z 6 中，Z 6 的极大理想是( )。
(A) （2），（3） (B) （2） (C)（3）4、若Q 是有理数域,则(Q(2):Q)是( )。
(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命题是( )。
(A) 欧氏环是主理想环 (B) 整环是唯一分解环 (C) 主理想环是唯一分解环二、填空题（本题共5空，每空3分，共15分）（请将正确答案填入空格内） 1、R 为整环，a ，b ∈R ，b |a ，则（b ）（a ）。
2、F 是域，则[](())F x f x 是域当且仅当。
3、域F 上的所有n 阶方阵的集合M n (F )中，规定等价关系~:A ～B ?秩(A )=秩(B )，则这个等价关系决定的等价类有________个。
4、6次对称群S 6中,(1235)-1(36)=____________。
5、12的剩余类环Z 12的可逆元是。
三、判断题（本题共5小题,每小题2分，共10分）（请在你认为正确的题后括号内打“√”，错误的打“×”） 1、设G 是群，?≠H ，若对任意a,b ∈H 可推出ab ∈H ，则H≤G .. （）2、群G 中的元,a b ，()2,()7,a b ab ba ===o o ,则()14ab =o 。
( )3、商环6Z Z 是一个域。
（）4、设f 是群G 到群-G 的同态映射，若1()f H G -<，则H G <。
（）5、任意群都同构于一个变换群。
上海大学代数系统练习题教程文件
f(x)=a, f(y)=b 因为<A,*>是半群，必有x*yA，于是
a∘b=f(x)∘f(y)=f(x*y)f(A)，即∘在f(A)上封闭。 a,b,cf(A)，必有x,y,zA，使得f(x)=a，f(y)=b，f(z)=c
(a∘b)∘c=(f(x)∘f(y))∘f(z)=f(x*y)∘f(z)=f((x*y)*z)=f(x*(y*z)) =f(x)∘f (y*z)=f(x)∘(f(y)∘f(z))=a∘(b∘c)
为<A,*>是群，x–1A且f(x–1)f(A)，于是 a∘f(x–1)=f(x)∘f(x–1)=f(x*x–1)=f(e) f(x–1)∘a=f(x–1)∘f(x)=f(x–1*x)=f(e)
所以a –1= f(x)–1=f(x–1)f(A)。 因此<f(A),∘>是群。
【例7.16】设Q,＋是有理数加法群， Q-0, ·是非零有 理数乘法群，试证明群Q,＋和群Q-0,·不同构。
所以G中代数系统之间的同构关系是等价关系。 定理7.6.2 设f为由代数系统<A,*>到代数系统<B,∘>的一 个同态映射。 ⑴如果<A,*>是半群，那么同态像<f(A),∘>也是半群。 ⑵如果<A,*>是独异点，那么同态像<f(A),∘>也是独异点。 ⑶如果<A,*>是群，那么同态像<f(A),∘>也是群。 证明：⑴ 设<A,*>是半群，a,bf(A)，必有x,yA，使
12章 代数系统习题补充
1.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。
⑴A=⎨1,2⎬。
⑵B=⎨b|b是素数⎬。
⑶C=⎨c|c是偶数⎬。
⑷D=⎨2n| n∈N⎬。
解：⑴因为2×2＝4∉A，所以数的乘法运算不A上的二元运算。
⑵因为2、3∈B，2×3＝6∉B，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。
⑶∀a,b∈C，a、b是偶数，a×b也是偶数，即a×b∈C且a×b的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。
(4) ∀a,b∈D,∃n,m∈N，使a＝2n，b＝2m，a×b=2n×2m=2n+m,n+m∈N，所以a×b∈D且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。
2.集合A=⎨1,2,3,4⎬，*和ο是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=ab−b，运算ο定义为aοb=max(a, b)，试写出*和ο的运算表。
解：*和ο的运算表如表6.12和表6.13所示。
表6.12 表6.133.<N7,＋7>和<N7,×7>是代数系统，其中N7=⎨0,1,2,3,4,5,6⎬，运算＋7是模7加法，运算×7是模7乘法。
试写出＋7和×7的运算表。
解：＋7和×7的运算表如表6.14和表6.15所示。
表6.14----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------表6.154.设代数系统<A ,∗>，其中A =⎨a ,b ,c ⎬，∗是A 上的二元运算，分别由下列表给出。
习题五 代数系统
习题五代数系统一、选择题1、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）A．a*b=a-b B．a*b=max{a,b}C．a*b=a+2b D．a*b=|a-b|2、下列运算中关于整数集不能构成半群的是（）.A．a b=max{a, b} B．a b=bC．a b=2ab D．a b=|a-b|3、设有代数系统G=〈A，*〉，其中A是所有命题公式的集合，*为命题公式的合取运算，则G的幺元是（）.A．矛盾式B．重言式C．可满足式D．公式p∧q4、设群G=<A,*>中,A的元素个数大于1，若元素a∈A的逆元素为b∈A，则a*b 的运算结果是( ).A.aB.bC.G中零元素D.G中幺元5、若(A，*)是一个代数系统，且满足结合律，则(A，*)必为( ).A.半群B.独异点C.群D.可结合代数6、对于一个代数系统,以下命题成立的是( ).。
A.每个元素必有左逆元B.一个元素有左逆元,则它也是右逆元C.一个元素的左右逆元不一定相等D.一个元素的左逆元存在时必唯一7、设*是集合A上的二元运算，称Z是A上关于运算*的零元，若（）.A．有x*Z=Z*x=Z B．Z A，且有x*Z=Z*x=Z C．Z A，且有x*Z=Z*x=x D．Z A，且有x*Z=Z*x=Z 8、设Z为整数集，A为集合，A的幂集为P(A),+、-、/为数的加、减、除运算，∩为集合的交运算，下列系统中是代数系统的有( ).A.〈Z，+，/〉B.〈Z，/〉C.〈Z，-，/〉D.〈P(A)，∩〉9、设〈G,*〉是群，且|G|>1，则下列命题不成立的是( ).A. G中有幺元B. G中有零元C. G中任一元素有逆元D. G中除了幺元外无其他幂等元10、下列集合关于所给定的运算成为群的是（）.A．已给实数a的正整数次幂的全体，且a{0，1，-1}，关于数的乘法B．所有非负整数的集合，关于数的加法C．所有正有理数的集合，关于数的乘法D．实数集，关于数的除法二、填空题1、设Z是整数集，在Z上定义二元运算*为a*b=a+b+a·b，其中+和·是数的加法和乘法，则代数系统<Z,*>的幺元是，零元是.2、<，〉是模6加群， 则它的生成元是 ，24= .3、对实数的普通加法和乘法，____________是加法的幂等元，____________是乘法的幂等元.4、设A={1,5,8}，A 上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点<A,*>中，单位元是____________，零元是____________。
代数系统-环-例题
例题1、 设 <A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，A1⨯A2 是环的直积定义为：A1⨯A2 ={<a,b>|a ∈A1,b ∈A2}。
在 A1⨯A2 上定义运算 ⊕ 和 ⊗ 如下：对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2，则<a1,b1>⊕<a2,b2>=<a 1★a2,b 1★b2><a1,b1>⊗<a2,b2>=<a1 * a2,b1 * b2>证明：（1）<A1⨯A2,⊕,⊗>构成环；（2）若 A1,A2 都是有单位元的环，则 A1⨯A2也是吗？（3）若 A1,A2 都是无零因子的环，则 A1⨯A2也是吗？（1）<A1⨯A2,⊕>交换群首先运算是封闭的，是一个代数系统：对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2， <a1,b1>⊕<a2,b2>=<a 1★a2,b 1★b2>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以★运算在A1，A2上封闭，a1∈A1，a2∈A1,所以，a 1★a2∈A1,b1∈A2，b2∈A2,所以，b 1★b2∈A2，所以<a 1★a2,b 1★b2>∈A1⨯A2所以封闭结合律：对任意的<a1,b1>,<a2,b2><a3,b3>∈ A1⨯A2，(<a1,b1>⊕<a2,b2>)⊕<a3,b3>＝< (a 1★a2)★a3, (b 1★b2)★b3><a1,b1>⊕(<a2,b2>⊕<a3,b3>)＝< a 1★(a2★a3), b 1★(b2★b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以<A1,★> ,<A2,★>满足结合律所以(a 1★a2)★a3＝a 1★(a2★a3)，(b 1★b2)★b3＝b 1★(b2★b3)所以< (a 1★a2)★a3, (b 1★b2)★b3>＝< a 1★(a2★a3), b 1★(b2★b3)>所以(<a1,b1>⊕<a2,b2>)⊕<a3,b3>＝<a1,b1>⊕(<a2,b2>⊕<a3,b3>)所以满足结合律单位元：设<A1,★> ,<A2,★>上单位元分别是e1,e2则，任取<a1,b1>∈ A1⨯A2， <a1,b1>⊕<e1,e2>=<a 1★e1,b 1★e2>=<a1,b1><e1,e2>⊕<a1,b1>=<e1★a1,e2★b1>=<a1,b1>所以存在单位元<e1,e2>逆元：任取<a1,b1>∈ A1⨯A2，因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以在<A1,★>上存在a1的逆元11a -，在<A2,★>上存在b1的逆元11b -，<a1,b1>⊕<11a -,11b ->=<a1★11a -, b1★11b ->=<e1,e2>, 所以<11a -,11b ->是<a1,b1>的逆元，所以，存在逆元交换律：对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊕<a2,b2>=<a 1★a2,b 1★b2><a2,b2>⊕<a1,b1>=<a2★a 1, b2★b 1>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以<A1,★>满足交换律，<A2,★>满足交换律，所以，a 1★a2＝a2★a 1，b 1★b2＝b2★b 1，所以<a 1★a2,b 1★b2>＝<a2★a1, b2★b1>所以，<a1,b1>⊕<a2,b2>＝<a2,b2>⊕<a1,b1>所以，满足交换律<A1⨯A2, ⊗>半群首先运算是封闭的，是一个代数系统对任意的<a1,b1>,<a2,b2>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊗<a2,b2>=<a1*a2,b1*b2>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以*运算在A1，A2上封闭，a1∈A1，a2∈A1,所以，a1*a2∈A1,b1∈A2，b2∈A2,所以，b1*b2∈A2，所以<a1*a2,b1*b2>∈A1⨯A2 所以封闭结合律：对任意的<a1,b1>,<a2,b2><a3,b3>∈ A1⨯A2，(<a1,b1>⊗<a2,b2>)⊗<a3,b3>＝< (a1*a2)*a3, (b1*b2)*b3><a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊗<a3,b3>)＝< a1*(a2*a3), b1*(b2*b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环，所以<A1,*> ,<A2,*>是半群，满足结合律所以(a1*a2)*a3＝a1*(a2*a3)，(b1*b2)*b3＝b1*(b2*b3)所以< (a1*a2)*a3, (b1*b2)*b3>＝< a1*(a2*a3), b1*(b2*b3)>所以(<a1,b1>⊗<a2,b2>)⊗<a3,b3>＝<a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊗<a3,b3>)所以满足结合律⊗对⊕满足分配律对任意的<a1,b1>,<a2,b2><a3,b3>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊕<a3,b3>)＝< a1*(a2★a3), b1*(b2★b3)>(<a1,b1>⊗ <a2,b2>)⊕(<a1,b1>⊗<a3,b3>)=<( a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环,所以，a1*(a2★a3)＝( a1*a2)★(a1*a3)，b1*(b2★b3)＝(b1*b2)★(b1*b3)所以，< a1*(a2★a3), b1*(b2★b3)>＝<( a1*a2)★(a1*a3),(b1*b2)★(b1*b3)>所以，<a1,b1>⊗ (<a2,b2>⊕<a3,b3>)＝(<a1,b1>⊗ <a2,b2>)⊕(<a1,b1>⊗<a3,b3>)（<a1,b1>⊕<a2,b2>）⊗<a3,b3>＝<（a1★a2）*a3,( b1★b2)*b3>(<a1,b1>⊗ <a3,b3>)⊕(<a2,b2>⊗<a3,b3>)=<( a1*a3)★(a2*a3),(b1*b3)★(b2*b3)>因为<A1,★,*> ,<A2,★,*>都是环,所以，(a1★a2）*a3＝( a1*a3)★(a2*a3)，( b1★b2)*b3＝,(b1*b3)★(b2*b3)所以，<（a1★a2）*a3,( b1★b2)*b3>=<( a1*a3)★(a2*a3),(b1*b3)★(b2*b3)>所以，（<a1,b1>⊕<a2,b2>）⊗<a3,b3>=(<a1,b1>⊗ <a3,b3>)⊕(<a2,b2>⊗<a3,b3>)所以满足分配律（2）A1,A2 都是有单位元的环，设其单位元分别为E1，E2任取<a1,b1>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊗<E1,E2>=<a1*E1,b1*E2>=<a1,b1><E1,E2>⊗<a1,b1>=<E1*a1,E2*b1>=<a1,b1>所以存在单位元<E1,E2>(3)<A1⨯A2,⊕,⊗>的零元是<e1,e2>设<A1,★> ,<A2,★>上单位元分别是e1,e2则，任取<a1,b1>∈ A1⨯A2，<a1,b1>⊕<e1,e2>=<a1★e1,b1★e2>=<a1,b1><e1,e2>⊕<a1,b1>=<e1★a1,e2★b1>=<a1,b1>所以存在零元<e1,e2>（3）假设存在零因子<c1,c2><d1,d2>, <c1,c2>⊗<d1,d2>=<c1*d1,c2*d2>=<e1,e2>即，c1*d1=e1，c2*d2=e2,A1,A2 都是无零因子的环因为A1无零因子，所以c1，d1中有至少一个等于e1，因为A2无零因子，所以c2，d2中有至少一个等于e2，（1）若d1=el, c2=e2即取<c1,e2><e1,d2>,且c1不等于e1, d2不等于e2<c1,e2>⊗<e1,d2>=<c1*e1,e2*d2>因为c1*e1=e1,且e2*d2=e2则存在零因子<c1,e2><e1,d2>（2）同理取c1=e1，d2=e2，则存在零因子<e1,c2><d1,e2>（3）若取c1=d1= e1，c2,d2中有一个为e2,则<c1,c2><d1,d2>,中有一个等于<e1,e2>，矛盾，无零因子（4）若取c1=d1= e1，c2=d2=e2,则<c1,c2><d1,d2>,两个都等于<e1,e2>，矛盾，无零因子 所以，虽然A1,A2 中都无零因子，A1⨯A2中不一定无零因子例2、证明 <{0,1},⊕,⊗>是一个整环，其中运算 ⊕和 ⊗定义如右图。
习题与解答(代数系统) 离散答案
2
2
2
所以 ba=ab ,即 ab=ba， 因此 G 为交换群。 17、设 G 为群，a,b,c∈G, 证明： |abc|=|bca|=|cab| 证明：设|abc|=r , |bca|=t， 则 (abc) =e,
t r
(bca) =e
t
由于(abc) =(abc)(abc)……(abc) =a(bca)(bca)……(bca)a
-1 -1 -1 -1 -1 -1
则存在 h,k∈H, 使得 u=xhx ,v=xkx
-1
-1
,
则有 uv
-1
=(xhx )(xkx ) =(xhx )(xk x )=x(hk )x
-1 -1 -1 -1
-1
-1
-1
-1
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因为 H 为子群,hk 属于 H,从而 x(hk )x 属于 xHx . 即 uv ∈xHx
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21、设 G 为群，a 是 G 中给定元素，a 的正规化子 N(a)表示 G 中与 a 可交换的元素构成的集合，即 N(a)={x| x∈G∧xa=ax } 证明：N(a)是 G 的子群 证明: (1) a∈N(a), 所以 N(a)非空(因为 a∈G∧aa=aa) (2) x,y ∈N(a) 则 xa=ax ya=ay
*
=(a∧b)∨(b∧c) =(b∧a)∨(b∧c) =b∧(a∨c) (2) f =(a∨b)∧(b∨c) 14、设 B 是布尔代数， a, b∈B, 证明： a≤b a∧b =0 a ∨b=1
(1) S1= 1 , , 2 , , 3 , , 4 ，运算为普通乘法。 1 2 1 3 1 4
代数系统练习
一、填空1.下列集合中， 对普通加法和普通乘法都封闭。
（ ）（A ）{}1,0 （B ）{}2,1 （C ）{}N n n ∈2 （D ）{}N n n ∈22、在自然数集N 上，下面哪种运算是可结合的？ （ ） （A ）b a - （B ）),max(b a （C ）b a 2+ （D ）b a -3、有理数集Q 关于下列哪个运算能构成代数系统？（ ） （A ）b a b a =* （B ）()1ln 22++=*b a b a（C ）()b a b a +=*sin （D ）ab b a b a -+=*4、下列运算中，哪种运算关于整数集I 不能构成半群？（ ） （A ）()b a b a ,max =* （B ）b b a =* （C ）ab b a 2=* （D ）b a b a -=*5．设代数系统〈A ，·〉，则（ ）成立.A ．如果〈A ，·〉是群，则〈A ，·〉是阿贝尔群B ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉是循环群C ．如果〈A ，·〉是循环群，则〈A ，·〉是阿贝尔群D ．如果〈A ，·〉是阿贝尔群，则〈A ，·〉必不是循环群6．设〈L ,∧∨,〉是格，〈L ，≤〉是由这个格诱导的偏序集，则（ ）不成立.A ．对任意a L b a ,,∈≤b b a b =∨↔B ．∧∨对是可分配C ．∧∨,都满足幂等律D ．〈L,≤〉的每对元素都有最小上界与最大下界7．在下列四个哈斯图表示的偏序集中（ ）是格.8. 已知偏序集的哈斯图，如图所示，是格的为( )9. 6阶有限群的任何子群一定不是（）。
(A) 2阶(B) 3 阶(C) 4 阶(D) 6 阶10. 下列哪个偏序集构成有界格（）(1) （N,≤）(2) （Z,≥）(3) （{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4) (P(A),⊆)11. 下面代数系统中（G、＊）中（）不是群A、G为整数集合＊为加法B、G为偶数集合＊为加法C、G为有理数集合＊为加法D、G为有理数集合＊为乘法12. 设<G、＊> 是阶大于1的群，则下列命题中（）不真。
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1.通常数的乘法运算是否可以看作下列集合上的二元运算，说明理由。
⑴A=⎨1,2⎬。
⑵B=⎨b|b是素数⎬。
⑶C=⎨c|c是偶数⎬。
⑷D=⎨2n| n∈N⎬。
解：⑴因为2×2＝4∉A，所以数的乘法运算不A上的二元运算。
⑵因为2、3∈B，2×3＝6∉B，所以数的乘法运算不是B上的二元运算。
⑶∀a,b∈C，a、b是偶数，a×b也是偶数，即a×b∈C且a×b的结果是唯一的，所以数的乘法运算是C上的二元运算。
(4) ∀a,b∈D,∃n,m∈N，使a＝2n，b＝2m，a×b=2n×2m=2n+m,n+m∈N，所以a×b∈D且运算结果唯一，故数的乘法运算是D上的二元运算。
2.集合A=⎨1,2,3,4⎬，*和ο是A上的二元运算，其中运算*定义为a*b=ab−b，运算ο定义为aοb=max(a, b)，试写出*和ο的运算表。
解：*和ο的运算表如表6.12和表6.13所示。
表6.12 表6.133.<N7,＋7>和<N7,×7>是代数系统，其中N7=⎨0,1,2,3,4,5,6⎬，运算＋7是模7加法，运算×7是模7乘法。
试写出＋7和×7的运算表。
解：＋7和×7的运算表如表6.14和表6.15所示。
表6.14----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------表6.154.设代数系统<A ,∗>，其中A =⎨a ,b ,c ⎬，∗是A 上的二元运算，分别由下列表给出。
试分别讨论交换性、幂等性、单位元和逆元。
表6.3 表6.4 表6.5 表6.6解：*的交换性、幂等性、单位元和逆元如表6.16所示。
表6.165.写出代数系统<N 7,＋7>的幺元和零元，各元素的逆元。
解：代数系统<N 7,＋7>的运算表如表6.14所示。
由表知幺元为0，无零元，0逆元是0，1和6，2和5，3和4互为逆元。
6.写出代数系统<N 7,×7>的幺元和零元，各元素的逆元。
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------解：代数系统<N 7,×7>的运算表如表6.15所示，由表知幺元为1，零元为0，0无逆元，1的逆元为1，6的逆元为6，2和4，3和5互为逆元。
7.设<A ,∗>是代数系统，A 是有限集，那么⑴当运算∗在A 上是封闭的时，其运算表有何特征? ⑵当运算∗是可交换运算时，其运算表有何特征? 解：代数系统<A ,∗>，A 是有限集。
⑴当运算∗在A 上是封闭的时，其运算表中各元素的运算结果都是集合A 中的元素。
⑵当运算∗是可交换运算时，运算表关于主对角线是对称的。
8.设A=⎨1,3,5,7,9⎬，∗是A 上的二元运算，其定义分别为： ⑴a ∗b=min(a ,b ) ⑵a ∗b=a ⑶a ∗b=ab+a问：哪些运算满足幂等律？解：⑴ 满足幂等律。
因为∀a ∈A , a ∗a= min(a ,a )=a 。
⑵满足幂等律。
因为∀a ∈A , a ∗a=a 。
⑶不满足幂等律。
因为1∗1＝1×1＋1＝2≠1 9.写出<N 10,×10>的所有幂等元。
解：因为0×100=0，1×101=1，5×105=5，6×106=6，所以，0,1,5,6为幂等元。
10.设A=⎨1,2,3,4⎬，A 上的二元运算∗定义为取最大值运算，即∀a ,b ∈A ，有a ∗b=max(a ,b )证明∗是可结合的运算，并指出代数系统<A ,∗>的幺元、零元和各元素的逆元。
解：作∗运算表如表6.17所示，由表知，幺元为1，零元为4，1的逆元为1，其余元素无逆元。
(a ∗b )∗c = max(max(a ,b ),c )a ∗(b ∗c )= max(a ,max(b ,c ))以上两式都是取a ，b ，c 三者中得最大者，所以①a ≥b ≥c 和a ≥c ≥b 时，(a ∗b )∗c =a ＝a ∗(b ∗c ) ②b ≥a ≥c 和b ≥c ≥a 时，(a ∗b )∗c =b ＝a ∗(b ∗c ) ③c ≥a ≥b 和c ≥b ≥a 时，(a ∗b )∗c =c ＝a ∗(b ∗c )即∀a,b,c ∈A ，(a ∗b )∗c= a ∗(b ∗c )，∗运算满足结合律。
11.设<Z ,∗>是代数系统，∗的定义分别为：⑴a ∗b=|a+b|， ⑵a ∗b=a b ， ⑶a ∗b=a+b −1， ⑷a ∗b=a+2b ， ⑸a ∗b=2ab 。
问：哪些运算在Z 上是封闭的？哪些运算是可交换的？哪些运算是可结合的？ 解：Z 为整数集合， ⑴因为表6.17①整数加法运算在Z上封闭，绝对值运算在Z上也封闭。
②∀a,b∈Z，a∗b=|a+b|=|b+a|=b∗a③当a＝1，b＝2，c＝-3时，(a∗b)∗c=||a+b|+c|=0，a∗(b∗c)=|a+|b+c||=2，(a∗b)∗c≠a∗(b∗c)。
所以，∗运算在Z上封闭，可交换，但不可结合。
⑵因为①当b＜0时，a∗b= a b不一定是整数，例如a＝2，b＝-1，a∗b=2-1∉Z，②∀a,b∈Z，a∗b=a b，b∗a=b a，a∗b不一定等于b∗a，例如a＝2，b＝1时，a∗b=a b=2，b∗a=b a=1。
a∗b≠b∗a。
③当a=2，b=1，c=2，(a∗b)∗c=(a b)∗c=(21)∗2=22=4，a∗(b∗c)=a∗(b c)=2∗(12)=2，(a∗b)∗c ≠a∗(b∗c)。
所以∗运算在Z上不封闭，不可交换，不可结合。
⑶因为①整数加法和减法运算在Z上封闭，②∀a,b∈Z，a∗b=a＋b-1= b＋a-1= b∗a③∀a,b,c∈Z，(a∗b)∗c=(a＋b-1)＋c-1=a＋b＋c-2=a＋(b＋c-1)-1。
所以，∗运算在Z上封闭，可交换，可结合。
⑷因为①整数加法和乘法运算在Z上封闭。
②∀a,b∈Z，a∗b=a＋2b，b∗a=b＋2a。
a∗b不一定等于b∗a，如a＝1，b＝2时。
a∗b=a ＋2b=5，b∗a=b＋2a=4，a∗b≠b∗a。
③∀a,b,c∈Z，(a∗b)∗c=(a＋2b)＋2c，a∗(b∗c)=a＋2(b＋2c)=a＋2b＋4c，当a＝0，b＝0，c＝1时，(a∗b)∗c=2，a∗(b∗c)=4，(a∗b)∗c≠a∗(b∗c)。
所以，∗运算在Z上封闭，不可交换，也不可结合。
⑸因为①整数乘法运算在Z上封闭，②∀a,b∈Z，a∗b=2ab=2ba=b∗a③∀a,b,c∈Z，(a∗b)∗c=2(2ab)∗c=4abc=2a×2bc=2a(b∗c)=a∗(b∗c)。
所以，∗运算在Z上封闭，可交换，也可结合。
12.在代数系统<Z,∗>中，Z是整数集合，运算∗定义为a∗b=a＋b＋ab，证明运算∗在Z 上是封闭的，∗是可交换的和可结合的，并指出其幺元。
证明：①因为整数加法和乘法在整数集合Z上封闭，所以，∗运算在Z上是封闭的。
②因为a∗b=a＋b＋ab=b＋a＋ba=b∗a，所以，∗运算在Z上是可交换的。
③因为a∗0=a＋0＋a×0=a=0＋a＋0×a=0∗a，即0为∗运算的幺元。
13.写出<N5,＋5>的幺元和各元素的逆元。
解：∀i∈N5，i＋50=i＋0=i=0＋i=0＋5i即0为＋5的幺元。
当i＋j=j＋i=0时，i与j ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------互为逆元，即1和4，2和3互为逆元，0的逆元为0。
14.写出<N 5,×5>的幺元和各元素的逆元(如果有逆元)。
解：∀i ∈N 5，i ×51=i =1×5 i ， 所以，1为×5的幺元。
2×53＝3×52＝1，4×54＝1，所以， 0无逆元，1和4的逆元为自身，2和3互为逆元。
15.请构造一个含幺元的代数系统，且除幺元外，其它元素都没有逆元。
解：令A =⎨a ,b ,c ⎬，∗是A 上的二元运算，∗的运算表如表6.18所示。
根据运算表，a 为幺元，a 的逆元为a ，b 和c 无逆元。
16. <N k ,＋k ,×k >是代数系统，证明×k 对于＋k 是可分配的。
解： 根据＋k 和×k 的定义，一方面，因为a ×(b ＋c －k )=a ×(b ＋c )－ak ，ak mod k = 0，所以a ×(b ＋c －k ) mod k = a ×(b+c ) mod k ，故a ×k (b ＋k c )= a ×(b ＋k c ) mod k =⎩⎨⎧≥+-+⨯<++⨯kc b k k c b a kc b k c b a mod )( mod )( =a ×(b ＋c ) mod k另一方面，当a ×b ＜k 时，a ×k b 也可以看成是a ×b 除以k ，商为0的余数，则a ×k b =a ×b mod k (a ×b 除以k 的余数)，于是对于∀a,b,c ∈N k , 可设a ×b ＝ek+m ，a ×c ＝fk+n ，e,f,m,n 为自然数，0≤m,n ＜k 。