近世代数模拟试题
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{ 1、设置换σ 和τ 分别为：σ = ⎡⎢ ，τ = ⎡⎢⎥ ，判断 和 的奇偶性，并把 和12345678 ⎤ 12345678 ⎤⎣64173528⎦⎣23187654⎦矩阵，且 A = B + C 。
若令有 A = B + C ，这里 B 和 C 分别为对称矩阵和反对称矩阵，则 2 2 ..世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分)在每小题列出的四个备选项中 只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无 分。
1、设 A ＝B ＝R(实数集)，如果 A 到 B 的映射 ϕ ：x→x ＋2，∀ x∈R ，则 ϕ 是从 A 到 B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射2、设集合 A 中含有 5 个元素，集合 B 中含有 2 个元素，那么，A 与 B 的积集合 A×B 中含有（ d ）个元素。
A 、2 B 、5 C 、7 D 、103、在群 G 中方程 ax=b ，ya=b ， a,b∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当 G 为有限群，子群 H 所含元的个数与任一左陪集 aH 所含元的个数（c ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群 G 的子群 H 的阶必须是 n 的（d ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共 10 小题，每空 3 分，共 30 分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合 A = {- 1,0,1}； B = 1,2}，则有 B ⨯ A = 。
2、若有元素 e∈R 使每 a∈A ，都有 ae=ea=a ，则 e 称为环 R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环 R 的乘法交换，则称 R 是一个交换环。
《近世代数》模拟试题及答案
近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。
A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕg a是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪-⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解： e 是R 的单位元。
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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。
错选、多选或未选均无分。
１、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射ﻩB、单射而非满射C、一一映射ﻩﻩﻩD、既非单射也非满射２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。
A、2 ﻩﻩﻩB、5 Ｃ、7ﻩﻩﻩﻩD、10３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ）Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。
5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( )A、倍数B、次数Ｃ、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
１、设集合；,则有------－--。
2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。
3、环得乘法一般不交换。
如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。
4、偶数环就就是-－----－--得子环。
５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。
6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。
7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。
８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。
９、一个除环得中心就就是一个--－－---。
三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分)１、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。
《近世代数》模拟试题1及答案.pdf
近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分)1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）.A. 0B. 1C. －1D. 1/n，n是整数2、下列说法不正确的是（）.A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。
G对这个乘法来说作成一个群;B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群;C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群;D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群.3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ).A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）.A. Z没有生成元.B. 1是其生成元.C. －1是其生成元.D. Z是无限循环群.5. 下列叙述正确的是（）。
A. 群G是指一个集合.B. 环R是指一个集合.C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在.二. 计算题(每题10分，共30分)1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭，的阶.2. 试求出三次对称群{}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明.三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分).1. 证明: 在群中只有单位元满足方程2.x x=2．设G是正有理数乘群，G是整数加群. 证明：:2n bn aϕ是群G到G的一个满同态，其中,a b是整数，而(,2)1ab=.3．设S是环R的一个子环.证明: 如果R与S都有单位元，但不相等，则S的单位元必为R的一个零因子.近世代数模拟试题答案2008年11月一、单项选择题(每题5分，共25分)1. A2. D3. D 4 . A 5 . C二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 解：易知 c 的阶无限， (3分)d 的阶为2. （3分）但是 11,01cd ⎛⎫=⎪−⎝⎭（2分）的阶有限，是2. （2分） 2. 解：3S 的以下六个子集{}{}{}123(1),(1),(12),(1),(13),H H H ==={}{}4563(1),(23),(1),(123),(132),H H H S === （7分）对置换乘法都是封闭的，因此都是3S 的子集. （3分） 3. 解：e 是R 的单位元。
(完整word版)近世代数期末考试题库(包括模拟卷和1套完整题)
多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f。
（ ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（ ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ ）6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（ ） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（ ） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ ） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ ）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ ） ①在整数集Z 上，abba b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
近世代数期末模拟考试与答案
近 世 代 数 试 卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分）1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=⋃x 且。
（ f ）2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ⨯到D 的每个映射都叫作二元运算。
（ f ）3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。
（ t ）4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。
（t ）5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。
（ f ）6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ⊆∈∀∈∀-1;,。
（ t ）7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。
（ t ）8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。
（ t ）9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。
（ f ）10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。
（ f ）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每小题1分，共10分）1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ⨯⨯⨯ 21到D 的一个映射，那么（ 2 ） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ⨯⨯⨯ 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。
2、指出下列那些运算是二元运算（ 3 ）4①在整数集Z 上，abba b a +=； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题一、单项选择题每题5分,共25分1、在整数加群Z,＋中,下列那个是单位元;A 0B 1C －1D 1/n,n是整数2、下列说法不正确的是;A G只包含一个元g,乘法是gg＝g;G对这个乘法来说作成一个群B G是全体整数的集合,G对普通加法来说作成一个群C G是全体有理数的集合,G对普通加法来说作成一个群D G是全体自然数的集合,G对普通加法来说作成一个群3、下列叙述正确的是;A 群G是指一个集合B 环R是指一个集合C 群G是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在D 环R是指一个非空集合和一个代数运算,满足结合律,并且单位元,逆元存在4、如果集合M的一个关系是等价关系,则不一定具备的是;A 反身性B 对称性C 传递性D 封闭性S的共轭类;5、下列哪个不是3A 1B 123,132,23C 123,132D 12,13,23二、计算题每题10分,共30分S的正规化子和中心化子;1.求S＝{12,13}在三次对称群32.设G ＝{1,－1,i,－i},关于数的普通乘法作成一个群,求各个元素的阶;3.设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,求出其右零因子;三、证明题每小题15分,共45分1、设R 是由一切形如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x x,y 是有理数方阵作成的环,证明⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0是其零因子;2、设Z 是整数集,规定a ·b ＝a ＋b －3;证明：Z 对此代数运算作成一个群,并指出其单位元;3、证明由整数集Z和普通加法构成的Z,＋是无限阶循环群;近世代数模拟试题答案一、单项选择题每题5分,共25分1． A2． D3． C4． D5． B二、计算题每题10分,共30分1． 解：正规化子NS ＝{1,23};;;;;;;;;;;;6分中心化子CS ＝{1};;;;;;;;;;;;;;;;;;4分2． 解：群G 中的单位元是1;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分1的阶是1,－1的阶是2,i 和－i 的阶是4;;;;4×2分3． 解：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,xb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;3分因为x 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分因此右零因子为⎪⎪⎭⎫⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分三、证明题每小题15分共45分 1．证明：设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;2分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;5分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;8分同理设其右零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分 所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,b a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,y x ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,0,yb xa ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;12分 因为x,y 任意,所以a ＝b ＝0;;;;;;;;;;;;;;;;;14分因此零因子为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,00,0;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分2．明：首先该代数运算封闭;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;3分其次我们有：a ·b ·c ＝a ＋b －3·c ＝a ＋b －3＋c －3＝a ＋b ＋c －3－3＝a ·b ·c,结合律成立;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;6分令e ＝3,验证a ·e ＝a ＋e －3＝a,有单位元;;;;7分对任意元素a,6－a 是其逆元,因为a ·6－a ＝3;;;8分因此,Z 对该运算作成一个群;显然,单位元是e ＝3;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分3．证明：首先证明Z,＋是群,+满足结合律,对任意的Z x ∈,x x x =+=+00,0是运算+的单位元又由于： ()()0=+-=-+x x x x所以 ,1x x -=-从而Z,＋为群;;;;;;;;;2分由于+满足交换律,所以Z,＋是交换群;;;;4分Z,＋的单位元为0,对于1Z ∈,由于 1+-1=0,所以111-=-,;;;5分于是对任意Z k ∈,若0=k ,则：010=；若0>k ,则k k =+++=1111 ;;;;;;;;;;;8分若0<k ,则()()()k k k k ------===111111)1()1()1(---++-+-=个k))(1(k --= k = ;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;10分综上,有k k =1,对任意的Z k ∈. 因而,{}Z k Z k ∈=1,从而Z,＋是无限阶循环群;;;;;;;;;;;;;;;;;;15分。
近世代数模拟试题--附详细答案
近世代数模拟试题一一、单项选择题<本大题共5小题,每小题3分,共15分>在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R<实数集>,如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2,∀x ∈R,则ϕ是从A 到B 的〔 〕A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素,集合B 中含有2个元素,则,A 与B 的积集合A ×B 中含有〔 〕个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b,ya=b, a,b ∈G 都有解,这个解是〔 〕乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的<两方程解一样> 4、当G 为有限群,子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数〔 〕A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的〔 〕A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题<本大题共10小题,每空3分,共30分>请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ,则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A,都有ae=ea=a,则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换,则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群的单位元是---,元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆,如果I 是R 的最##想,则---------。
近世代数期末考试题库完整
世代数模拟试题一一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A=B=R（实数集），如果A至UB的映射中：x-x+2,Vx€R,则中是从A至UB的（c）A、满射而非单射B、单射而非满射C、一一映射D、既非单射也非满射2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合AXB中含有（d）个元素。
A、2B、5C、7D、103、在群G中方程ax=b,ya=b,a,b6G都有解，这个解是（b）乘法来说A、不是唯一B、唯一的C、不一定唯一的D、相同的（两方程解一样）4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c）A、不相等B、0C、相等D、不一定相等。
5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d）A、倍数B、次数C、约数D、指数二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合A“T0」＞；B=42},则有BMA=。
2、若有元素e6R使每a6A,都有ae=ea=a,则e称为环R的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A的若干个-变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1,元a的逆元是a-1。
8、设I和S是环R的理想且1=S=R,如果I是R的最大理想，那么。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）［写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
奇1、解：把仃和工写成不相杂轮换的乘积：二三(1653)(247)(8).=(123)(48)(57)(6)可知仃为奇置换，七为偶置换。
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多所高校近世代数题库一、〔2021年近世代数〕判断题〔以下命题你认为正确的在题后括号内打“√〞，错的打“×〞；每题1分，共10分〕1、设A与B都是非空集合，那么A B xx A且x B。
〔〕2、设A、B、D都是非空集合，那么AB到D的每个映射都叫作二元运算。
〔〕3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射G f1。
〔〕4G a中生成元a的阶是无限的，那么与整数加群同构。
〔〕、如果循环群5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。
〔〕6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为gG,h H;g1Hg H。
〔〕7、如果环R的阶2，那么R的单位元10。
〔〕8、假设环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。
〔〕9、F(x)中满足条件p()0的多项式叫做元在域F上的极小多项式。
〔〕10、假设域E的特征是无限大，那么E含有一个与Z同构的子域，这里Z是整数环，p是由素数p生成的主理想。
p〔〕二、〔2021年近世代数〕单项选择题〔从以下各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。
答案选错或未作选择者，该题无分。
每题f是1分，共10分〕、设12n和D 都是非空集合，而12An到D的一个映射，那么〔〕1A,A,,A AA①集合A1,A2,,A n,D中两两都不相同；②A1,A2,,A n的次序不能调换；③A1A2A n中不同的元对应的象必不相同；④一个元a1,a2, ,a n的象可以不唯一。
2、指出以下那些运算是二元运算〔〕①在整数集Z上，a b a b②在有理数集Q上，a b ab；；ab③在正实数集R上，ab alnb；④在集合n Zn0上，a ba b。
3、设是整数集Z上的二元运算，其中a b maxa,b 〔即取a与b中的最大者〕，那么在Z中〔〕①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。
4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:a b a b k，这里k为G中固定的常数。
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世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ c ） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ d ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（b ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（c ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（d ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B 。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的单位元。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个交换环。
4、偶数环是整数环的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个变换全。
6、每一个有限群都有与一个置换群同构。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a 的逆元是a-1。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
9、一个除环的中心是一个-域-----。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=6417352812345678σ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
(完整版)近世代数复习
世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ）A 、满射而非单射B 、单射而非满射C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说A 、不是唯一B 、唯一的C 、不一定唯一的D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ）A 、不相等B 、0C 、相等D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ）A 、倍数B 、次数C 、约数D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)1、设集合{}1,0,1A =-；{}1,2B =，则有B A ⨯= 。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的 。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个 。
4、偶数环是 的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个 。
6、每一个有限群都有与一个置换群 。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是 ，元a 的逆元是 。
8、设I 和S 是环R 的理想且I S R ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么 。
9、一个除环的中心是一个 。
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）1、设置换σ和τ分别为：1234567864173528σ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234567823187654τ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。
2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
近世代数基础模拟试题01
《近世代数基础》模拟试题一1．设M 是西昌学院全体学生的集合，以下关系中哪个是M 上的等价关系？（ ）A ．同姓关系B ．朋友关系C ．师生关系D ．不同乡关系 2．以下映射哪个是代数结构),(⋅R 的自同态？（ ）A ． x x 2→B ． x x -→C ． ||x x →D ． 32x x →3．在有理数集Q 上定义代数运算2b)(a b a += ，则这个代数运算（ ）。
A ．既适合结合律又适合交换律B ．适合结合律但不适合交换律C ．不适合结合律但适合交换律D ．既不适合结合律又不适合交换律4．12U 对输的乘法构成一个群，它的子群共有（ ）个。
A ．6B ．8C ．10D ．125．设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫⎝⎛=Z b a b a R ,00，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是 （ ）。
A ．有单位元的可换环B ．无单位元的可换环C ．无单位元的非可换环D ．有单位元的非可换环6．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )。
A ．(1)，(132)B ．(12)，(13)，(23)C ．(1)，(123)，(132)D ．3S 中的所有元素一、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填 写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
7． =]:)3Q 2,[Q( ( )A ．2B ．3C ．4D ．68．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )。
A ．B ．C ．D ．9．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )A ．B ．C ．(1)，(123)，(132)D ．10．在3次对称群3S 中可以与(132)乘积可交换的所有元素为( )A ．B ．C ．D ．11．设},,{c b a A =，则A 的一一变换共有______个。
12．由实数集合R 上的等价关系: 1~≥+⇔∈∀22b a b a R,b a,所决定的集合R 上的元素的分类共有 个。
近世代数期末考试试题库
三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）
1、设置换 和 分别为： ， ，判断 和 的奇偶性，并把 和 写成对换的乘积。2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把 和 写成不相杂轮换的乘积：
2、设E是所有偶数做成的集合，“ ”是数的乘法，则“ ”是E中的运算，（E， ）是一个代数系统，问（E， ）是不是群，为什么？
1、解：H的3个右陪集为：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}
H的3个左陪集为：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}
A、(1)，(123)，(132)B、12)，(13)，(23)
C、(1)，(123)D、S3中的所有元素
二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1、群的单位元是--------的，每个元素的逆元素是--------的。
2、如果 是 与 间的一一映射， 是 的一个元，则 ----a------。
A、4个 B、5个 C、6个 D、7个
3、有限布尔代数的元素的个数一定等于（ d ）。
4、下列哪个偏序集构成有界格（ d ）
A、偶数 B、奇数 C、4的倍数 D、2的正整数次幂
A、（N, ） B、（Z, ）
C、（{2,3,4,6,12},|（整除关系）） D、 (P(A), )
5、设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（ a ）
近世代数模拟试题及答案
近世代数模拟试题及答案一、选择题1. 下列哪个集合不是群？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 实数集R答案：A2. 在群G中，若a, b属于G，且a*b=b*a对所有a, b成立，则称G 为交换群。
以下哪个不是交换群？A. 整数加法群B. 奇数乘法群C. 偶数乘法群D. 所有实数的加法群答案：C二、填空题1. 一个环R，如果满足乘法交换律，则称R为_________。
答案：交换环2. 有限群的阶是指群中元素的个数，设群G的阶为n，则群G的拉格朗日定理表明，G的任何子群的阶都是n的_________。
答案：因数三、简答题1. 解释什么是子群，并给出一个例子。
答案：子群是指一个群G的一个非空子集H，使得H中的元素在G的运算下封闭，并且包含G的单位元。
例如，整数集Z在加法运算下构成自然数集N的一个子群。
2. 描述什么是环的零因子，并给出一个例子。
答案：在环R中，如果存在非零元素a和b，使得a*b=0，则称a和b为零因子。
例如，在模6的剩余类环Z6中，元素3和3是零因子，因为3*3=9≡0 (mod 6)。
四、计算题1. 给定群G={1, a, a^2, a^3}，其中a^4=1，求证G是一个群，并找出它的所有子群。
答案：首先验证群的四个基本性质：- 封闭性：对于任意g, h属于G，g*h也属于G。
- 结合律：对于任意g, h, k属于G，(g*h)*k = g*(h*k)。
- 单位元：1是G的单位元，因为对于任意g属于G，1*g = g*1 = g。
- 逆元：对于任意g属于G，存在g的逆元g^(-1)，使得g*g^(-1) = g^(-1)*g = 1。
例如，a的逆元是a^3。
G的子群有：- {1}：平凡子群。
- {1, a^2}：由a^2的幂构成的子群。
- G本身：{1, a, a^2, a^3}。
2. 证明在任何交换环中，如果a和b是可逆元素，则它们的乘积ab也是可逆的。
答案：设a和b是交换环R中的可逆元素，存在a^(-1)和b^(-1)使得a*a^(-1)=1且b*b^(-1)=1。
近世代数期末考试题库
近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射ϕ：x →x ＋2，∀x ∈R ，则ϕ是从A 到B 的（ ） A 、满射而非单射B 、单射而非满射 C 、一一映射D 、既非单射也非满射2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（ ）个元素。
A 、2B 、5C 、7D 、103、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（ ）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样)4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（ ） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。
5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（ ） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=⨯A B ---------。
2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。
3、环的乘法一般不交换。
如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。
4、偶数环是---------的子环。
5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。
6、每一个有限群都有与一个置换群--------。
7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。
8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ⊆⊆，如果I 是R 的最大理想，那么---------。
近世代数模拟试题
近世代数模拟试题一、选择题（每题4分，共40分）1. 以下哪个选项是群的一个例子？A. 整数集合B. 偶数集合C. 正实数集合D. 所有实数的集合2. 群的运算满足以下哪个性质？A. 封闭性B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足3. 在群中，单位元具有什么性质？A. 唯一性B. 可逆性C. 交换性D. 以上都不是4. 以下哪个选项是环的一个例子？A. 整数集合B. 有理数集合C. 复数集合D. 所有选项都是5. 环中的加法运算满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足6. 以下哪个选项是域的一个例子？A. 整数集合B. 有理数集合C. 实数集合D. 所有选项都是7. 域中的乘法运算满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足8. 向量空间中的向量加法满足以下哪个性质？A. 交换律B. 结合律C. 存在单位元D. 所有选项都满足9. 线性变换的定义域和值域必须是？A. 向量空间B. 群C. 环D. 域10. 以下哪个选项是线性无关的例子？A. 一组线性方程的解B. 一组线性方程的系数C. 一组线性方程的增广矩阵D. 一组线性方程的系数矩阵二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果一个群的元素个数是有限的，则称该群为________群。
12. 群的运算满足封闭性，即对于任意两个元素a和b，它们的运算结果________。
13. 环中的元素a和b，如果满足ab=ba，则称这两个元素________。
14. 域中的元素a和b，如果满足ab=1，则称b为a的________。
15. 向量空间中的一组向量，如果它们之间不存在非平凡的线性组合等于零向量，则称这组向量________。
三、解答题（每题20分，共40分）16. 给定一个群G，证明群G中的单位元是唯一的。
17. 证明如果一个环R的乘法运算满足交换律，则称R为交换环。
近世代数模拟试题四
近世代数模拟试题三一、填空题1、如果f 是A 与A 间的一一映射，a 是A 的一个元，则()[]=-a f f 1 。
2、如果G 是一个交换群，那么G 的任一个子群H 都是-------------子群。
3、设 为 的子群. 则 在 中左陪集的个数与右陪集的个数--------。
.4、设集合M=﹛1，2，3﹜，G 是M 上的置换群，H=﹛I ，（1，3）﹜是G 的子群，则H 的右陪集为 。
5、变换群一般 ------------- 交换群。
6、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---------，元a 的逆元是-----------。
7、任一个群G 的子群G 和e 总是-------------子群。
8、设 , 为 的两个子群, 则 为 的子群的充分必要条件是-----------------。
.9、集合A 到A 的所有变换的集合，关于变换的乘法是一个-----------群。
二、选择题1、下面的代数系统（G ，*）中，（ ）不是群。
A. G 为整数集合，*为加法B. G 为偶数集合，*为加法C.G 为有理数集合，*为加法D. G 为有理数集合，*为乘法2、剩余类加群Z18的子群有( )。
A.3个B.6个C.9个D.12个3、设S 是群G 的非空子集，G 的含 S 的所有的子群的交仍是G 的子群，这个子群称为G 的由（ ）子群。
A 、G 生成的B 、G 不作成的C 、S 生成的D 、元0生成的。
4、设21:R R f →是环同态满射，b a f =)(，那么下列错误的结论为（ ）A.若a 是零元，则b 是零元；B.若a 是单位元，则b 是单位元；C.若a 不是零因子，则b 不是零因子；D 若2R 是不交换的，则1R 不交换。
5、子群包含的三层意思是（ ）A 、H G ；H 成群；H 与G 有相同的运算B 、H ≠G ；H 是G 的子半群；H 有两种运算。
C 、H G ；H 有单位元；H 的运算相同。
近世代数模拟试题
近世代数模拟试题一、选择题（每题2分，共20分）1. 群的定义中，下列哪一项不是必要的？A. 封闭性B. 单位元存在性C. 逆元存在性D. 交换律2. 对于一个环，以下哪项是正确的？A. 必须有加法单位元B. 必须有乘法单位元C. 必须满足交换律D. 必须满足分配律3. 以下哪个选项正确描述了域的特征？A. 域中的每个元素都有逆元素B. 域中的每个元素都有加法逆元素C. 域中的乘法是交换的D. 域中的乘法是结合的4. 如果一个群G的所有元素的阶都是有限的，那么G被称为：A. 阿贝尔群B. 循环群C. 有限群D. 正规子群5. 以下哪个选项是群的同态映射？A. 恒等映射B. 逆映射C. 任意映射D. 单位元映射二、填空题（每空1分，共10分）1. 一个群G的拉格朗日定理指出，如果H是G的一个子群，那么|H|整除______。
2. 环R中的元素a被称为______，如果对于R中的每个元素b，都有ab=ba。
3. 一个环R被称为______，如果它的乘法满足交换律。
4. 一个环R的雅可比恒等式是a^2(b+c)=ab^2+ac^2，这表明R是一个______。
5. 一个群G的正规子群N，如果它满足G/N是一个阿贝尔群，那么N 被称为G的______。
三、简答题（每题10分，共20分）1. 解释什么是群的同构，并给出一个例子。
2. 描述环的整环和域的区别。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：如果一个群G的阶是素数p，那么G是循环群。
2. 证明：如果一个环R有单位元且每个非零元素都是可逆的，那么R是一个域。
五、应用题（每题15分，共30分）1. 已知群G={1, a, b, c}，其中a^2=b^2=c^2=1，且ab=c，ba=c。
确定G是否为阿贝尔群，并找出所有可能的群结构。
2. 考虑环Z_6，其中Z_6是由模6的整数组成的环。
证明Z_6不是域，并找出它的所有单位元素。
注意：请根据所学知识，认真审题，仔细作答。
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近世代数模拟试题
一、填空题（每空3分，共30分）
1、如果循环群Ga中生成元a的阶是无限的，则G与-----------同构。
2、实数域R的全部理想是-------
3、n次对称群Sn的阶是____________.
4、一个有限非可换群至少含有____________个元素.
5、假定R是整数环，则：（2，5）=----------------。
6、设A={1，2，…，10},给出一个A某A到A的映射，这个映射------------单射。
7、全体整数对于普通加法来说作成一个群，这个群的单位元是------，a的逆元是---------。
8、凯莱定理说：任一个子群都同一个同构。
9、阶是素数的群一定是-------------群。
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、每一个有限群都与一个置换群（）
A、同态
B、相等
C、同构
D、不相等
2、从同构的意义讲，阶为4的群只有（）个。
A.1
B.2
C.3
D.4
3、指出下列那些运算是二元运算（）
A、在整数集Z上，ababab；
B、在有理数集Q上，abab；
nZn0ababC、在正实数集R上，abalnb；D、在集合上，。
4、设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，
则S中与元（123）不能交换的元的个数是()。
A.1
B.2
C.3
D.4
5、同构的观点看，循环群有且只有两种，分别（）
A、G=（a）与G的子群
B、（Z，+）与（Zn，+）
C、变换群与置换群
D、（Q，+）与（Zn，+）
三、简答题（每小题8分，共40分。
下列题正确错误均需说明，正
确的，予以证明；错误的，给出反例。
判断3分，说明5分，判断错误，
全题无分。
）
1、若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。
1aa,那么a的阶是0。
2、在一个群G里，若
3、任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。
4、假定R是整数环，则：（2，5）=（1）
5、两个理想的交集是一个理想。
四、证明题（共15分）
1、设K是数域F上n阶矩阵全体构成的矩阵环。
证明矩阵的相似关
系是一个等价关系。
一、填空题（每空3分，共30分）
1ffafaAAA1、如果是与间的一一映射，是的一个元，则
2、如果G是一个交换群，那么G的任一个子群H都是-------------子群。
3、设
为
的子群.则
在
中左陪集的个数与右陪集的个数--------。
.
4、设集合M=﹛1，2，3﹜，G是M上的置换群，H=﹛I，（1，3）﹜是G的子群，则H的右陪集为
5、变换群一般-------------交换群。
6、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---------，元a的逆元是-----------。
7、任一个群G的子群G和e总是-------------子群。
8、设
,为
的两个子群,则
为
的子群的充分必要条件是-----------------。
.
9、集合A到A的所有变换的集合，关于变换的乘法是一个-----------群。
二、选择题（每小题3分，共15分）
1、下面的代数系统（G，某）中，（）不是群。
A.G为整数集合，某为加法
B.G为偶数集合，某为加法
C.G为有理数集合，某为加法
D.G为有理数集合，某为乘法
2、剩余类加群Z18的子群有()。
A.3个
B.6个
C.9个
D.12个
3、设S是群G的非空子集，G的含S的所有的子群的交仍是G的子群，这个子群称为G的由（）子群。
A、G生成的
B、G不作成的
C、S生成的
D、元0生成的。
4、设f:R1R2是环同态满射，f(a)b，那么下列错误的结论为（）
A.若a是零元，则b是零元；
B.若a是单位元，则b是单位元；
C.若a不是零因子，则b不是零因子；D若R2是不交换的，则R1不交换。
5、子群包含的三层意思是（）
A、HG；H成群；H与G有相同的运算
B、H≠G；H是G的子半群；H有两种运算。
C、HG；H有单位元；H的运算相同。
三、简答题（每小题8分，共40分。
下列题正确错误均需说明，正
确的，予以证明；错误的，给出反例。
判断3分，说明5分，判断错误，
全题无分。
）
1、A={所有不等于零的偶数}。
找一个集合D，使得普通除法是A某A
到D的代数运算，是不是可以找到一个以上的这样的D？
AB某某A且某B2、设A与B都是非空集合，那么。
3、A={所有实数}，A的元间的关系以及是不是等价关系？
4、设A、B、D都是非空集合，则AB到D的每个映射都叫作二元运算。
5、是否存在一个有两个元的群的例，若存在请举一个有两个元的群
的例，并写出它的运算表。
四、证明题（共15分）
1、验证集
合
Aa|a,是整数b关于普通加法和乘法是一个整环.是域吗？。