二次函数特殊四边形解题思路,二次函数解特殊四边形的典型例题及答案解析
二次函数背景下的特殊四边形存在性判定(解析版)
备战2020年中考数学压轴题之二次函数专题06 二次函数背景下的特殊四边形存在性判定【方法综述】知识准备：特殊四边形包括平行四边形、菱形、矩形和正方形。
它们的判定方法如下：平行四边形的判定方法:两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；矩形判的定方法有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形有三个角是直角的四边形是矩形菱形判定方法有一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形四条边相等的四边形是矩形正方形的判定方法平行四边形+矩形的特性；平行四边形+菱形的特性解答时常用的技巧：（1）.根据平行四边形的对角线互相平分这条性质，应用中点坐标公式，可以采用如下方法：已知点A、B、C三点坐标已知，点P在某函数图像上，是否存在以点A、B、C、P为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标。
如，当AP、BC为平行四边形对角线时，由中点坐标公式，可得a+m=c+e，n+b=d+f则m= c+e-a;n= d+f-b，点P坐标可知，将其带入到函数关系式进行验证，如果满足函数关系式，即为所求P点，同理，根据分类讨论可以得到其它情况的解答方法。
（2）.菱形在折叠的情况下，可以看成是等腰三角形以底边所在直线折叠所得，因此，菱形的存在性讨论，亦可以看做等腰三角形的存在性讨论。
（3）.矩形中的直角证明出来常规直角的探究外，还有主要是否由隐形圆的直径所对圆周角得到。
【典例示范】类型一平行四边形的存在性探究例1：如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(－4，0)，B(0，－4)，C(2，0)三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△AMB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；(3)若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y＝－x上的动点，判断有几个位置能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形为平行四边形(要求PQ∥OB)，直接写出相应的点Q的坐标．【答案】（1）y＝12x2＋x－4；（2）当m＝－2时，S有最大值，S最大＝4；（3）满足题意的Q点的坐标有三个，分别是（－2＋2－，（－2－2＋，（－4，4）.【思路引导】（1）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式，利用待定系数法求解即可；（2）利用抛物线的解析式表示出点M 的纵坐标，从而得到点M 到x 轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P 、Q 的坐标，然后求出PQ 的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x 的一元二次方程即可得解．【解析】（1）设抛物线的解析式为y=a （x+4）（x -2），把B （0，-4）代入得，-4=a×（0+4）（0-2），解得a=12， ∴抛物线的解析式为：y=12（x+4）（x -2），即y=12x 2+x -4； （2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D ，设M 点的坐标为（m ，n ）， 则AD=m+4，MD=-n ，n=12m 2+m -4， ∴S=S △AMD +S 梯形DMBO -S △ABO =111(4)()(4)()44222m n n m +-+-+--⨯⨯= -2n -2m -8=-2×（12m 2+m -4）-2m -8=-m 2-4m =-（m+2）2+4（-4＜m ＜0）；∴S 最大值=4．（3）设P （x ，12x 2+x -4）． ①如图1，当OB 为边时，根据平行四边形的性质知PQ ∥OB ，∴Q 的横坐标等于P 的横坐标，又∵直线的解析式为y=-x ，则Q （x ，-x ）．由PQ=OB ，得|-x -（12x 2+x -4）|=4，解得x=0，-4，-x=0不合题意，舍去．由此可得Q （-4，4）或（-2--2-；②如图2，当BO 为对角线时，知A 与P 应该重合，OP=4．四边形PBQO 为平行四边形则BQ=OP=4，Q 横坐标为4，代入y=-x 得出Q 为（4，-4）．故满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是（-4，4），（4，-4），（-，2-，（-2-．【方法总结】本题是二次函数综合题，交点式求解析式，二次函数与三角形面积最值问题的公共底的辅助线的做法要注意，二次函数中存在平行四边形的方法，要分别对已知边的分别为平行四边形的边或是对角线进行分类讨论.针对训练1．如图，二次函数的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A （﹣4，0）．（1）求抛物线与直线AC 的函数解析式；（2）若点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，四边形OCDA 的面积为S ，求S 关于m 的函数关系式；（3）若点E 为抛物线上任意一点，点F 为x 轴上任意一点，当以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形时，请求出满足条件的所有点E 的坐标．【答案】（1）（2）S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）（3）（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）【解析】 （1）∵A （﹣4，0）在二次函数y=ax 2﹣x+2（a≠0）的图象上， ∴0=16a+6+2，解得a=﹣， ∴抛物线的函数解析式为y=﹣x 2﹣x+2； ∴点C 的坐标为（0，2），设直线AC 的解析式为y=kx+b ，则， 232(0)2y ax x a =-+≠122y x =+32--32-3212123204{2k b b=-+=解得，∴直线AC 的函数解析式为：；（2）∵点D （m ，n ）是抛物线在第二象限的部分上的一动点，∴D （m ，﹣m 2﹣m+2），过点D 作DH ⊥x 轴于点H ，则DH=﹣m 2﹣m+2，AH=m+4，HO=﹣m ，∵四边形OCDA 的面积=△ADH 的面积+四边形OCDH 的面积，∴S=（m+4）×（﹣m 2﹣m+2）+（﹣m 2﹣m+2+2）×（﹣m ），化简，得S=﹣m 2﹣4m+4（﹣4＜m ＜0）；（3）①若AC 为平行四边形的一边，则C 、E 到AF 的距离相等，∴|y E |=|y C |=2，∴y E =±2．当y E =2时，解方程﹣x 2﹣x+2=2得，x 1=0，x 2=﹣3，∴点E 的坐标为（﹣3，2）；当y E =﹣2时，解方程﹣x 2﹣x+2=﹣2得，x 1=，x 2=，∴点E 的坐标为（，﹣2）或（，﹣2）；②若AC 为平行四边形的一条对角线，则CE ∥AF ，∴y E =y C =2，∴点E 的坐标为（﹣3，2）．综上所述，满足条件的点E 的坐标为（﹣3，2）、（，﹣2）、（，﹣2）．1{22k b ==122y x =+123212321212321212321232123232-32-+32-32-32--32-+2．（云南省弥勒市2019届九年级上学期期末考试数学试题）如图，抛物线y =x 2−2x −3与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2.（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，写出所有满足条件的F 点坐标（请直接写出点的坐标，不要求写过程）；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）A(−1,0)，B(3,0)，y =−x −1。
53 二次函数中的四边形综合问题
晦，∴
켈 晦，
∵△PHC∽△BDP，∴
= 켈=
3，以 P、C、B 为顶点的三角形与△AOC 不相
似． 综上所述：P、C、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，此时点 P 的坐标（1，﹣4）．
5、如图，在平面直角些标系中，二次函数 y＝ax2+bx﹣ 3 的图象经过点 A（﹣1，0），C（2，0），与 y 轴
根据题意，点 E（2，1），
∴EF=CF=2，
∴EC=2，
根据菱形的四条边相等，
∴ME=EC=2 2 ，∴M（2，1-2 2 ）或（2，1+2 2 ）
当 EM=EF=2 时，M（2，3）
∴点 M 的坐标为 M1（2，3），M2（2，1﹣2 2 ），M3（2，1+2 2 ）．
4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，B 点的坐标为（3，0）， 与 y 轴交于点 C（0，﹣3），点 P 是直线 BC 下方抛物线上的任意一点． （1）求这个二次函数 y=x2+bx+c 的解析式． （2）连接 PO，PC，并将△POC 沿 y 轴对折，得到四边形 POP′C，如果四边形 POP′C 为菱形,求点 P 的坐 标． （3）如果点 P 在运动过程中，能使得以 P、C、B 为顶点的三角形与△AOC 相似，请求出此时点 P 的坐标．
∴ 5 t2 15 t= 5 ， 4 42
解得 t1=1，t2=2，
∴当 t=1 或 2 时，四边形 BCMN 为平行四边形，
3
①当 t=1 时，MP= ，PC=2，
2 5
∴MC= =MN，此时四边形 BCMN 为菱形，
2
②当 t=2 时，MP=2，PC=1，
二次函数与四边形动点问题(含答案)
72x =B(0,4) A(6,0)E FxyO二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．A练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．5-4- 3-2-1- 1 2 3 455 4 3 2 1 A EBC '1- O2l 1lx y二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x 轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线Px …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．图10练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .(1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.B CPO D QA BPCO DQ Ay32 1 O1 2 x三．二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．图2OC A Bxy DPE F 图1FE PD y xBA C O例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ∆是等腰三角形．练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自 变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，xN MQ PHGFEDCBA图11QPN M HGFED CBA图10若不存在，说明理由．练习2..(江西省) 25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．x图1x图2x图3)x图4答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式27(2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725(326y x =--，顶点为725(,).26-（2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725(326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264(2522OAES SOA y y ==⨯⨯⋅=-=--+．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的5-4-3-2-1-12 3D554 32 1 ACEM BC '1-O 2l 1l xy取值范围是1＜x ＜6． ①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF 为正方形．练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--．又点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =．∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）． （2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD =，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠=，30BAM ∠=（或30ABM ∠=），114222BM AB ∴==⨯=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，． 但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的5-4-3-2- 1-1 2 3 4554 3 2 1 AEBC '1- O 2l1lxy对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是 2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+． 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形． 由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得1222t t ==，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时2t =．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
二次函数中动点及特殊四边形综合问题解析及训练
二次函数中动点与特殊四边形综合问题解析与训练一、知识准备:n物线与直线形的结合表形式之一是，以搪物线为载体，探时是否存在一些点，使其能构成某些特殊四边形，有以下常风的根本形式(1J搪物线上的点能否构成平行四边形〔2〕搪锄线上的点能否相成矩形，菱形，正方形(3)搪物线上的点能否成成梯形。
特珠四边形的性质与是解决这类问题的根底，而待定系数法，数形结合，分类时论是解决这类问题的关键二、二题精析(一)【抛物线上的点能否构成平行四边形】例一、如图，他枷线y = —/+公+。
与直线y = J%+2交于C,。
两点，其中点。
在丁轴上,7点。
的坐标为(3,—)。
点P是y轴右倒的抛物线上一就点，过点P作PEJ_x轴于点E,交2CD于点尸.(1)求槌物线的解析式；〔2〕假设点P的横坐标为机，当初为何值时，以O,C,P,尸为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由。
〔3〕假设存在点P,使/PCF = 45。
，请直接写出相应的点P的坐标【解答】〔1〕∙.∙直线y = Jx+2经过点C,.∙.C(0,2)7∙.∙搪物线y = —炉+瓜+c经过点C(0,2), D (3,-)2 = c [ 7b =一/. 7 , ，〈 2—=—32 + 3/7 + c c〔2 〔。
= 27他物线的解析式为y = -∕+]χ+2〔2〕∙.∙点P的横坐标为团且在地物线上7 19.∙. P(m, 一"Γ + —m÷2), F(m, — m + 2)∙.∙p/〃 C。
，.•.当相=CO时，以。
,C,P,b为顶点的四边形是平行四边形7 1① 当0 v〃z<3 时，PF = -m2 + —m + 2-(-m + 2) = -m2 +3m2 2.∙. -m2 + 3/7? = 2 ,解得：m l=l,m2=2即当〃2 = 1或2时，四边形0。
尸是平行四边形1 7② 当m≥3 时，PF - (―m + 2)-(-m2 + — m + 2) = m2 -3m2 27 o _ ⅛tn ZB 3 + Jl 7 3 —∖∣17 r . ."r -3m= 2 ,解得：m1= ---,m, =--—〔舍去〕2-2即当叫二三普时，四边形OCFP是平行四边形〔3〕如图，当点P在。
中考数学解答题压轴题突破 重难点突破七 二次函数综合题 类型四：二次函数与特殊四边形问题
Ⅰ)如答图①，连接AC，分别过点A，B作对边的平行线交于 点F. 在▱ ACBF中，∵C(0，－5)向右平移1个单位长度，再向上平 移5个单位长度得到A(1，0)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(6，5)；
解：设点Q的坐标为(a，b)，过点Q作QM∥x轴，过点B作BM∥y轴，交QM 于点M，过点F作FN∥y轴交QM于点N，过点E作EK∥x轴交BM于点K， ∴△BMQ≌△QNF≌△EKB， ∴NF＝KB＝MQ＝|a＋2|，QN＝EK＝BM＝|b|， ∴点F的坐标为 (a－b，a＋b＋2)， 点E的坐标为 (－2－b，a＋2)，
Ⅱ)如答图②，分别过点A，C作BC，AB的平行线交于点 F，在▱ ABCF中，∵B(5，0)向左平移5个单位长度，再向 下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴A(1，0)按照相同的平移方式得到F(－4，－5)；
Ⅲ)如答图③，连接AC，分别过点B，C作对边的平行线交 于点F.在▱ ACFB中，∵A(1，0)向左平移1个单位长度，再 向下平移5个单位长度得到C(0，－5)， ∴B(5，0)按照相同的平移方式得到F(4，－5)； 综上所述，满足条件的点F分别为(6，5)，(－4，－5)或 (4，－5)．
(1)求抛物线的函数解析式； (2)把抛物线 y＝x2＋bx＋c 平移，使得新抛物线的顶点 为点 P(2，－4)．M 是新抛物线上一点，N 是新抛物线对 称轴上一点，直接写出所有使得以点 A，B，M，N 为顶点 的四边形是平行四边形的点 M 的坐标，并把求其中一个 点 M 的坐标的过程写出来．
解：(1)该抛物线的函数解析式为y＝x2－72x－1. (2)满足条件的点M的坐标为 (2，－4)，(6，12)，(－2，12)． 由题意可知，平移后抛物线的函数解析式为 y＝x2－4x， 对称轴为直线x＝2，如答图．
【中考数学几何模型】第二十二节：二次函数特殊平行四边形存在性问题
中考数学几何模型第二十二节:二次函数特殊平行四边形存在性问题422.二次函数正方形存在性问题(初三)在平面直角坐标系中,抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点,交y 轴于点C .(1)求抛物线的表达式,(2)如图,直线y =34x +94与抛物线交于A,D 两点,与直线BC 交于点E .若M(m,0)是线段AB 上的动点,过点M 作x 轴的垂线,交抛物线于点F ,交直线AD 于点G ,交直线BC 于点H .①当点F 在直线AD 上方的抛物线上,且S △EFG =59S △OFG 时,求m 的值;②在平面内是否存在点P ,使四边形EFHP 为正方形?若存在,请直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.423.二次函数面积最大值矩形存在性问题(初三)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y =ax 2+2x +c(a ≠0)与x 轴交于点A 、B ,与y 轴交于点C ,连接BC,OA =1,对称轴为直线x =2,点D 为此拋物线的顶点.(1)求抛物线的解析式(2)抛物线上C 、D 两点之间的距离是_______(3)点E 是第一象限内抛物线上的动点,连接BE 和CE ,求△BCE 面积的最大值;(4)点P 在抛物线对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形,请直接写出点Q 的坐标.424.二次函数线段最大值相等角矩形存在性问题(初三)如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(―1,0),点B(―3,0),且0O=OC.(1)求抛物线的解析式(2)点P在抛物线上,且∠POB=∠ACB,求点P的坐标;(3)抛物线上两点M,N,点M的横坐标为m,点N的横坐标为m+4.点D是抛物线上M,N之间的动点,过点D作y轴的平行线交MN于点E.①求DE的最大值②点D关于点E的对称点为F,当m为何值时,四边形MDNF为矩形.425.二次函数菱形存在性三角形相似存在性问题(初三)如图,已知直线y=―2x+4分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线过A,B两点,点P是线段AB上一动点,过点P作PC⊥x 轴于点C,交抛物线于点D.(1)若抛物线的解析式为y=―2x2+2x+4,设其顶点为M,其对称轴交AB于点N.①求点M、N的坐标;②是否存在点P,使四边形MNPD为菱形?并说明理由(2)当点P的横坐标为1时,是否存在这样的抛物线,使得以B、P、D为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出满足条件的抛物线的解析式;若不存在,请说明理由.426.二次函数菱形存在性问题(初三)如图,抛物线y=x2+2x―8与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C.(1)求A,B,C三点的坐标(2)连接AC,直线x=m(―4<m<0)与该抛物线交于点E,与AC交于点D,连接OD.当OD⊥AC时,求线段DE的长;(3)点M在y轴上，点N在直线AC上,点P为拋物线对称轴上一点,是否存在点M,使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形?若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.427.二次函数菱形存在性问题三角形面积相等问题(初三)x2+2x―6与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,连接AC,BC.如图,抛物线y=12(1)求A、B,C三点的坐标并直接写出直线AC,BC的函数表达式.(2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点,过点P作BC的平行线1,交线段AC于点D.①试探究:在直线1上是否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形,若存在,求出点E的坐标,若不存在,请说明理由;②设抛物线的对称轴与直线1交于点M,与直线AC交于点N.当S△DWN=S△AOC时,请直接写出DM的长.428.二次函数三角形面积最大值菱形存在性问题(初三)如图,在平面直角坐标系中,Rt△ABC的边BC在x轴上,∠ABC=90∘,以A为顶点的抛物线y=―x2+bx+c经过点C(3,0),交y轴于点E(0,3),动点P在对称轴上.(1)求抛物线解析式;(2)若点P从A点出发,沿A→B方向以1个单位/秒的速度匀速运动到点B停止,设运动时间为t秒,过点P作PD⊥AB 交AC于点D,过点D平行于y轴的直线1交抛物线于点Q,连接AQ,CQ,当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?(3)若点M是平面内的任意一点,在x轴上方是否存在点P,使得以点P,M,EC为顶点的四边形是菱形,若存在,请直接写出符合条件的M点坐标;若不存在,请说明理由.429.二次函数菱形存在性问题(初三)已知抛物线F:y=x2+bx+c的图象经过坐标原点0,且与x轴另一交点为(―33,0).(1)求抛物线F的解析式.x+m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1,y1)和点B(x2,y2)(点A在第二象限)，求y2―y1的(2)如图1,直线1:y=33值(用含m的式子表示);,设点A′是点A关于原点0的对称点,如图2.(3)在(2)中,若m=43①判断△AA′B的形状,并说明理由;②平面内是否存在点P,使得以点A、B、A′、P为顶点的四边形是菱形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.430.二次函数线段最大值菱形存在性问题(初三)如图,二次函数y =x 2+bx +c 的图象交x 轴于点A(―3,0),B(1,0),交y 轴于点C .点P(m,0)是x 轴上的一动点，PM ⊥x 轴，交直线AC 于点M ，交抛物线于点N .(1)求这个二次函数的表达式:(2)①若点P 仅在线段A0上运动，如图，求线段MN 的最大值;②若点P 在x 轴上运动,则在y 轴上是否存在点Q ,使以M,N,C,Q 为顶点的四边形为菱形.若存在,请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由.431.二次函数菱形存在性问题(初三)如图,一次函数y =33x ―3图象与坐标轴交于点A 、B ,二次函数y =33x 2+bx +c 图象过A 、B 两点.(1)求二次函数解析式(2)点B 关于抛物线对称轴的对称点为点C ,点P 是对称轴上一动点,在抛物线上是否存在点Q ,使得以B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,请说明理由.答案422【解】(1)∵抛物线y =―13x 2+bx +c 交x 轴于A(―3,0),B(4,0)两点,∴y =―13(x +3)(x ―4)=―13x 2+13x +4;(2)①如图1,∵B(4,0),C(0,4),∴设BC 的解析式为:y =kx +n,则{4k +n =0n =4,解得{k =―1n =4∴BC 的解析式为:y =―x +4,∴―x +4=34x +94,解得:x =1,∴E(1,3),∵M(m,0),且MH ⊥x 轴,∴G (m,34m +94),F (m,―13m 2+13m +4),∴FG =―13m 2+13m +4―(34m +94)=―13m 2―512m +74∵S △EFG =59S △OEG ,△EFG 和△OEG 的水平宽度相同,∴FG =59ON,∴―13m 2―512m +74=59×94解得:m 1=34,m 2=―2;②存在,由①知:E(1,3),且∠CBM =45∘∴过点E 作AB 的平行线,与抛物线的交点就是正方形EFHP 的顶点F.∴FH =EF,∠EFH =∠FHP =∠HPE =90∘,∵M(m,0),且MH ⊥x 轴,∴H(m,―m +4),F (m,―13m 2+13m +4),分两种情况:第一种情况:当―3⩽m <1时,如图1,点F 在EP 的左侧∴FH =(―m +4)―(―13m 2+13m +4)=13m 2―43m,∴13m 2―43m =1―m,解得:m 1=1+132(舍),m 2=1―132,∴H(1―132,7+132),∴P (1,7+132),第二种情况:当1<m <4时,点F 在PE 的右边,如图2,同理得―13m 2+43m =m ―1,解得:m 1=1+132,m 2=1―132(舍)，同理得P (1,7―132);综上,点P 的坐标为:(1,7+132)或(1,7―132).423【解】(1)∵OA =1,∴A(―1,0),又∵对称轴为x =2,∴B(5,0),将A,B 代入解析式得:{0=a ―2+c0=25a +10+c ,解得{a =―12c =52,∴y =―12x 2+2x +52(2)由(1)得:C (0,52),D (2,92),∴由两点距离公式可得:CD =22,故答案为22;(3)∵B(5,0),C (0,52),∴直线BC 的解析式为:y =―12x +52,设E (x,―12x 2+2x +52),且0<x <5,如图,作EF ⊥x 轴交BC 于点F,则F (x,―12x +52),∴EF =―12x 2+2x +52―(―12x +52)=―12x 2+52x,S △BCE =12×EF ×BO =12×(―12x 2+52x )×5=―54(x ―52)2+12516当x =52时,S △BCE 有最大值为12516;(4).设P(2,y),Q(m,n),由(1)知B(5,0),C (0,52),分三种情况讨论:①若BC 为矩形的对角线,由中点坐标公式得:{5+0=2+m 0+52=y +n ,解得:{m =3n =52―y ,又∵∠BPC =90∘,∴PC 2+PB 2=BC 2,即:22+(52―y )2+32+y 2=52+(52)2,解得y =4或y =―32,∴n =―32或n =4,∴Q (3,―32)或Q(3,4)，②若BP 为矩形的对角线,由中点坐标公式得{5+2=0+m 0+y =52+n ,解得:{m =7n =y ―52,又∵∠BCP =90∘,BC 2+CP 2=BP 2即:52+(52)2+22+(52―y )2=32+y 2,解得y =132,∴Q(7,4),③若BQ 为矩形的对角线,由中点坐标公式得:{5+m =2+00+n =y +52,解得:{m =―3n =y +52,又∵∠BCQ =90∘,∴BC 2+CQ 2=BQ 2,即:52+(52)2+m 2+(52―n )2=(5―m)2+n 2,解得n =―72,∴Q (―3,―72),综上,点Q 的坐标为(3,―32)或(3,4),或(7,4)或(―3,―72).解法二,也可以构造利用一线三等角三角形相似来解决。
(新)中考数学典型二次函数与特殊四边形试题(含答案解析)
（新）中考数学典型二次函数与特殊四边形试题（含答案解析）（新）中考数学典型二次函数与特殊四边形试题（含答案解析）1．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx =+经过点()2,5-，且与直线12y x =-在第二象限交于点A ，过点A 作AB x ⊥轴，垂足为点()4,0B -．若P 是直线OA 上方该抛物线上的一个动点，过点P 作PC x ⊥轴于点C ，交OA 于点D ，连接OP ，PA ．（1）求抛物线的解析式； （2）求AOP 的面积S 的最大值；（3）连接PB 交OA 于点E ，如图2，线段PB 与AD 能否互相平分？若能，请求出点E 的坐标；若不能，请说明理由．2．如图1，已知二次函数y ＝ax 232+x +c 的图象与y 轴交于点C （0，4），与x 轴交于点A 、点B ，点B 坐标为（8，0）． （1）请直接写出二次函数的解析式；（2）在直线BC 上方的抛物线上是否存在点P ，使△PBC 的面积为16？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线BC 于点E ，连接AE ，点N 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点M ，使得以M 、N 、A 、E 为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M 的坐标；如果不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，已知直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，过A 、B 两点的抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于另一点(1,0)C -． （1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）探究1：在抛物线上直线AB 下方是否存在一点P ，使△ABP 面积最大？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）探究2：在（2）的基础上，平面内是否存在一点M 使以A 、B 、P 、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存在请直接写出M 点坐标，若不存在请说明理由．4．如图，已知点B （3，0），C （0，-3），经过B ．C 两点的抛物线y =x 2-bx +c 与x 轴的另一个交点为A ． （1）求抛物线的解析式;（2）点D 在抛物线的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．（3）若点E （2，-3），在坐标平面内是否存在点P ，使以点A ，B ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．5．如图，经过B (3，0)，C (0，－3)两点的抛物线y ＝x 2－bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ． （1）求抛物线的解析式；（2）已知点M 在抛物线上，求ABM S △=8时的点M 坐标； （3）点D 在抛物线的对称轴上，当ACD 的周长最小时，求D 的坐标；（4）已知E (2．-3)，请直接写出能以点A ，B ，E ，P 为顶点的四边形是平行四边形的点P 坐标．（新）中考数学典型二次函数与特殊四边形试题（含答案解析）6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标为(2,9)，与y 轴交于点(0,5)A ，与x 交于点E ，B ．（1）求二次函数2y ax bx c =++的表达式；（2）过点A 作AC 平行于x 轴，交抛物线于点C ，点P 为抛物线上的一点（点P 在AC 上方），作PD 平行于y 轴交AB 于点D ，当点P 在何位置时，四边形APCD 的面积最大？求出最大面积；（3）若点M 在抛物线上，点N 在其对称轴上，以A ，E ，N ，M 为顶点的四边形是平行四边形，且AE 为其一边，求点M 的坐标． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线22y axbx =++与x 轴分别交于点()1,0A -、()3,0B ，与y 轴交于点C ，连接BC ．点P 是BC 上方抛物线上一点，过点P 作y 轴的平行线，交BC 于点N ，分别过,P N 两点作x 轴的平行线，交抛物线的对称轴于点,Q M ，设点P 的横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P 在抛物线对称轴左侧时，求四边形PQMN 的周长的最大值；（3）当四边形PQMN 为正方形时，求m 的值．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+4x +c （a ≠0）与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，连接BC ，OA ＝1，对称轴为x ＝2，点D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）抛物线上C ，D 两点之间的距离是 ；（3）点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ．求△BCE 面积的最大值； （4）平面内存在点Q ，使以点B 、C 、D 、Q 为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点Q 的坐标．9．如图，已知抛物线2y x bx c =-++（b ，c 是常数）经过()0,2A ，()4,0B 两点．（Ⅰ）求该抛物线的解析式；（Ⅱ）作垂直x 轴的直线x t =，在第一象限交直线AB 于M ，交这条抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？（Ⅲ）在（Ⅱ）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，请直接写出第四个顶点D 的所有坐标（不必写解答过程）．10．如图，抛物线y ＝﹣x 2+3x +m 与x 轴的一个交点为A (4，0)，另一交点为B ，且与y 轴交于点C ，连接AC ．（1）求m 的值及该抛物线的对称轴；（2）已知该抛物线上有一点D (x ，y )（x ＞0，y ＞0），使得S △ABD ＝S △ABC ，求点D 的坐标；（3）若点P 在直线AC 上，点Q 是平面内一点，是否存在点Q ，使以点A 、点B 点P 、点Q 为顶点的四边形为正方形/若存在，请直接写出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由．142,2y∴ ()4,2A -，164425a b a b 1,92ab∴抛物线的解析式为292y x =--⎫，则点4,2,PD 242t t --=∴2t =-+222,1,2∴点E 的坐标为222,1,2∴点E的坐标为⎝⎭∴点E的坐标为6624⎛- ⎝⎭或6624⎛- ⎝⎭． 2．（1）二次函数解析式213442y x x =-++，（2）存在，点P （4，6）；（3）存在，点M 的坐标为（-1，94）或（-3，114-）或（9，114-）． 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式，二次函数232y ax x c =++的图象经过C （0，4），点B（8，0）．代入解析式得出方程组464120c a c =⎧⎨++=⎩，解方程组即可；（2）存在，过点P 作PG 平行y 轴，交BC 于G ，先求出BC 解析式为：142y x =-+，设点P（m , 213442m m -++）,点G （m ，142m -+），求出PG =2124m m -+，根据三角形面积得出28160m m -+=，解方程即可；（3）存在：设点()M M M x y ，，213442MM M y x x =-++，先求出对称轴3x =,点()3,N N y ，点E （4，2），点A （-2，0），分三种情况，当AE 为对角线，四边形MANE 为平行四边形，四点横坐标应满足：324M x +=-+，当ME 为对角线，四边形AMNE 为平行四边形，四点横坐标应满足：423M x +=-+，当EN 为对角线，四边形ANME为平行四边形，四点横坐标应满足：243M x -=+，正确纵坐标即可． 【详解】解：（1）二次函数232y ax x c =++的图象经过C （0，4），点B （8，0）．代入解析式得：464120c a c =⎧⎨++=⎩， 解得414c a =⎧⎪⎨=-⎪⎩∴二次函数解析式213442y x x =-++， （2）存在，过点P 作PG 平行y 轴，交BC 于G ， 设BC 解析式为：y kx b =+，将B 、C 两点坐标代入解析式得：480b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：412b k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴BC 解析式为：142y x =-+，设点P （m , 213442m m -++）,点G （m ，142m -+），∴PG =2213114424224m m m m m ⎛⎫-++--+=-+ ⎪⎝⎭， ∴S △PBC =21118216224OB PG m m ⎛⎫⋅=⨯⨯-+=⎪⎝⎭，整理得28160m m -+=， △=64-64=0，∴()12842m m --===， ∴4m =，213134164464242m m -++=-⨯+⨯+=点P （4，6）综合点M 的坐标为（-1，94）或（-3，114-）或（9，114-）． 【点睛】本题考查待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，利用三角形面积列方程，平行四边形性质，掌握待定系数法求抛物线解析式，一次函数解析式，利用三角形面积列方程，平行四边形性质是解题关键．3．（1）213222y x x =--，顶点坐标32528⎛⎫-⎪⎝⎭，；（2）存在，P （2，-3）；（3）存在，()1-2-5M ，，()22,1M ，()36-1M ，【分析】（1）根据直线的解析式求出A ，B 坐标，把A 、B 、C 点坐标分别代入二次函数解析式即可求出二次函数解析式，再求出其顶点坐标； （2）设P 点坐标为（x ,213222x x --）（0<x <4），过点P 作PD ⊥AC 于点D ，交AB 于点E ，则E 的坐标表示为（x ，122x -），表示出12ABP S AO PE ∆=⨯()224x =--+，故可求解； （3）根据题意作图，根据平行四边形的性质及平移的特点即可求解．【详解】(1) 直线122y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，令y =0，即122y x =-=0，解得x =4，∴ A （4，0） 令x =0，即122y x =-=-2，∴B （0，-2） 将A （4，0）、B （0，-2）、(1,0)C -点坐标分别代入二次函数解析式2y ax bx c =++得164020a b c c a b c ++=⎧⎪=-⎨⎪-+=⎩ 解得12322a b c ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎪⎩∴二次函数解析式为：213222y x x =--化成顶点式为：21325228y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ∴抛物线的顶点坐标为325-28⎛⎫⎪⎝⎭，； （2）设P 点坐标为（x ,213222x x --）（0<x <4） 过点P 作PD ⊥AC 于点D ，交AB 于点E ，则E 的坐标表示为（x ，122x -）解：（1）将点(3,0),(0,3)B C -代入抛物线2y x bx c =-+，得，9303b c c -+=⎧⎨=-⎩，解得23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =--； （2）如图：由223y x x =--得 对称轴为21221bx a -=-=-=⨯ 点A ，B 关于直线1x =对称，∴连结BC 与对称轴为1x =的交点就是符合条件的点D ，设直线BC 的解析式为y mx n =+， 将(3,0),(0,3)B C -代入解析式得303m n n +=⎧⎨=-⎩，解得13m n =⎧⎨=-⎩∴3y x =-当1x =时，2y =-， ∴点D 的坐标为()1,2-； （3）存在， 如图：①当AB 为边长，BE 为边长， 如图四边形1ABEP 为平行四边形∵对称轴为1x =，()3,0B ∴1231⨯-=- ∴(1,0)A -3(1)4AB =--= ∴14PE AB == ∵(2,3)E -∴11422CP PE CE =-=-= ∴1(2,3)P --②当AB 为边长，AE 为边长， ∵24EP AB ==∴22426CP P E CE =+=+= ∴2(6,3)P -③当AB 为对角线，四边形1ABEP 为平行四边形 ∵四边形1ABEP 为平行四边形 易得3P 恰好交y 轴 ∴()30,3P综上所述，1(2,3)P --，2(6,3)P -，3(0,3)P ． 5．（1）y ＝x 2－2x －3；（2）M 1(1，-4)，M 2(1+2最小，故ACD∴y ＝x －3当x ＝1时，y ＝－2， ∴点D 的坐标为(1，－2)； （4）如图：设点P 的坐标为（s ，t ）， ①当AB 是平行四边形的边时，点A 向右平移4个单位得到点B ，则点E （P ）向右平移4个单位得到点P （E ）， 则2±4＝s ，t ＝−3， ∴s ＝6或−2， 故点P 的坐标为（6，−3）或（−2，−3）； ②当AB 是平行四边形的对角线时，由中点公式得：11(13)(2)2211(00)(3)22s t ⎧-+=+⎪⎪⎨⎪+=-+⎪⎩，解得03s t =⎧⎨=⎩， 故点P 的坐标为（0，3）；综上所述，P 1 (－2，－3)，P 2 (6，－3)，P 3(0，3)．6．（1）245y x x =-++;（2）点P 的坐标为53524⎛⎫⎪⎝⎭，，四边形APCD 的面积最大值为252，（3）(3,8)M 或(1,8)【分析】（1）设抛物线为2(2)9y a x =-+将()0,5A 代入，待定系数法求二次函数解析式即可；（2）先令5y =求得点C 的坐标，求得直线AB 的解析式，设()2,45P m mm -++，则(),5D m m -+，根据12A C APCD S PD x x =⨯⨯-四边形求得表达式，根据二次函数的性质即可求得最值和P 的坐标；（3）根据题意作出图形，根据平行四边形的性质，①当1EM 为对角线时，②当2EM 为边时，通过平移的方法求得,M N 坐标的对应关系，进而根据点M 在抛物线上，解方程即可求得M 的坐标． 【详解】解：（1）设抛物线为2(2)9y a x =-+将()0,5A 代入，549a =+解得1a =-∴22(2)945y x x x =--+=-++∴二次函数的表达式为245y x x =-++（2）令0y =，则2450x x -++= 解得121,5x x =-=∴()()5,0,1,0B E -令0x =，则5y =∴()0,5A设直线AB 的解析式为y kx b =+，将()0,5A ，()5,0B 代入则1(1(3,5)M a+2∴解得b224,233P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则2,23N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，表示出四边形PQMN 的周长计算即可；（3）分两种情况，当01m <<和13m <<时分别计算即可； 【详解】解：（1）当0x =时，222y ax bx =++=， ∴()0,2C ，设抛物线解析式为()()13y a x x =+-， 把()0,2C 代入得：()132a ⨯⨯-=， 解得：23a =-，∴抛物线的解析式为224233y x x =-++（2）∵抛物线与x 轴分别交于点()()A 1,0B 3,0-、， ∴抛物线的对称轴为直线1x =， 设直线BC 的解析式为y px q =+，把()0,2C ，()3,0B 代入得：230q p q =⎧⎨+=⎩，解得232p q ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴直线BC 的解析式为223y x =-+，设224,233P m m m ⎛⎫-++⎪⎝⎭，则2,23N m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， ∴2224222223333PN m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭，而1PQ m =-，∴四边形PQMN 的周长()222244311221220133344m m m m m m m ⎛⎫⎛⎫=-++-=-++=--+<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当34m =时，四边形PQMN 的周长有最大值，最大值为114．（3）当01m <<时，1PQ m =-，当PQ PN =时，四边形PQMN 为正方形，即22213m m m -+=-， 整理得：22930m m -+=，解得：1m =（舍去），2m =当13m <<时，1PQ m =-，若PQ PN =时，四边形PQMN 为正方形，即22213m m m -+=-， 整理得：22330m m --=，解得：1m =（舍去），2m =∴当m =m 时，四边形PQMN 为正方形．8．（1）抛物线的解析式为245y x x =-++；（2（3）BCE 面积的最大值为1258；（4）点Q 的坐标为(7,4)或(3,14)-或(3,4)-．【分析】（1）先根据对称轴可得a 的值，再根据1OA =可得点A 的坐标，代入抛物线的解析式即可得； （2）利用抛物线的解析式分别求出点,C D 的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得；（3）过点E 作x 轴的垂线，交BC 于点F ，先利用待定系数法求出直线BC 的解析式，再设点E利用二次函数的性质求解即可抛物线将点(A-为（m，∴-1+2m=BCECEFBEFSSS∴=+，2211(5)(5)(5)22t t t t t t =-++--+， 252522t t =-+， 255125()228t =--+， 由二次函数的性质得：在05t <<内，当52t =时，BCES取最大值，最大值为1258， 即BCE 面积的最大值为1258； （4）设点Q 的坐标为()Q Q x y ，， 由题意，分以下三种情况：当BD 为平行四边形BCDQ 的对角线时，∴025590Q Qx y +=+⎧⎨+=+⎩ 解得74Q Qx y =⎧⎨=⎩∴点Q 的坐标为(7,4)；②当BC 为平行四边形BDCQ 的对角线时，∴205950Q Qx y +=+⎧⎨+=+⎩ 解得34Q Qx y =⎧⎨=-⎩点Q 的坐标为(3,4)-；③当BQ 为平行四边形BCQD 的对角线时，502059Q Q x y +=+⎧⎨+=+⎩解得314Q Qx y =-⎧⎨=⎩点Q 的坐标为(3,14)-；综上，点Q 的坐标为(7,4)或(3,14)-或(3,4)-． 9．（Ⅰ）y =﹣x 2+72x +2；（Ⅱ）当t =2时，MN 有最大值，最大值为4；（Ⅲ）D 点坐标为（0，6）或（0，﹣2）或（4，4） 【分析】（Ⅰ）把A 、B 两点坐标代入抛物线y =﹣x 2+bx +c 得关于b 、c 方程组，则解方程组即可得到抛物线解析式；综上所述：D 点坐标为（0，6）或（0，﹣2）或（4，4）．10．（1）4m =，抛物线的对称轴为直线32x =；（2）点D 的坐标为()3,4；（3）存在，点Q 的坐标为()4,5或35,22⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】（1）直接将点A 的坐标代入二次函数解析式即可求出m 的值，写出二次函数的顶点式即可得到二次函数对称轴；（2）∵S △ABD ＝S △ABC ，且D (x ，y )（x ＞0，y＞0），则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要高和OC 的长相等即可，因此要计算4y =时对应的点即可；（3）分AB 为正方形的边、AB 为正方形的对角线两种情况，通过画图，利用正方形的性质求解．【详解】解：（1）把()4,0A 代入抛物线23y x x m =-++，得：16120m -++=， 解得4m =，∴抛物线的解析式为223253424y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭， ∴该抛物线的对称轴为直线32x =； （2）∵抛物线234y x x =-++交y 轴于点C ， ∴当0x =时，2344y x x =-++=，∴点C 的坐标为()0,4． ∵,0ABD ABC S S y =>， ∴4y =．当4y =时，2344x x -++=， 解得0x =或3x =， ∴只有()3,4符合题意，点D 的坐标为()3,4；（3）存在，点Q 的坐标为()4,5或35,22⎛⎫⎪⎝⎭． ∵C 的坐标为()0,4，A (4，0)，∴4AO OC ==，故PAB 45∠=︒．①如图，当AB 是正方形的边时，对应的正方形为ABP Q ''． ∵5AB =，。
二次函数与四边形的动点问题(含问题详解)
72x =B(0,4) A(6,0)E FxyO二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平 行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点 A （6，0）和 B （0，4）． （1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．A练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30o的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，．（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．5-4- 3-2-1- 1 2 3 455 4 3 2 1 A EBC '1- O 2l 1lx y二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x 轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线Px …-3 -2 1 2 …y …-52-4 -520 …(1) 求A、B、C三点的坐标；(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH，点H的坐标为（－8，0），点N的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH绕点O旋转180°的图形OABC，并写出顶点A，B，C的坐标（点M的对应点为A，点N的对应点为B，点H的对应点为C）；（2）求出过A，B，C三点的抛物线的表达式；（3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分别在线段CO，OA，AB上，求四边形BEFG的面积S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积S是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．图10练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D →方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式； （2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .(1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.B CPO D QA BPCO DQ Ay321 O1 2 x三．二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．图2OC A Bxy DPE F 图1FE P D y xBA C O例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？ （3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE ∆是等腰三角形．练习1.（07年河池市）如图12， 四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）． 点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点 （填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自 变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．x NM QP H G FE D C B A 图11 Q P N M H GF E D C B A 图10练习2..(江西省) 25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，， ， ；（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为 ；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为 （不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．x图1x图2x图3)x图4答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F，分别是1234(1,0),(3,0),(4(4F F F F - 练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式27(2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725(326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725(326y x =--，∴y<0，即 －y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF Y 的对角线， ∴2172264()2522OAE S S OA y y ==⨯⨯⋅=-=--+V ．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的 取值范围是1＜x ＜6．5-4-3-2-1-12 3D554 32 1 ACEM BC '1-O 2l 1l xy①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）． 点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF Y 是菱形； 点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF Y 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF Y 是正方形，此时点E 的 坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ， 使OEAF Y 为正方形．练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--．又Q 点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =．∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）． （2）P Q 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD =Q ，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时， P P OD ' ∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠=o ，30BAM ∠=o Q （或30ABM ∠=o ），114222BM AB ∴==⨯=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=o．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =．∴点M 的坐标为(43)-，． 但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的5-4-3-2- 1-1 2 3 4554 3 2 1 AEBC '1- O 2l1lxy对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，． 设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+． 根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2ADN S S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）． 所以74t =时，S 有最大值814． 提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得1222t t ==，（舍）． 所以在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时2t =．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
二次函数与四边形问题(经典)
二次函数------四边形1、（广东）如图，抛物线y=﹣x2+x+1与y轴交于A点，过点A的直线与抛物线交于另一点B，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C（3，0）（1）求直线AB的函数关系式；（2）动点P在线段OC上从原点出发以每秒一个单位的速度向C移动，过点P作PN⊥x轴，交直线AB于点M，交抛物线于点N．设点P移动的时间为t秒，MN的长度为s个单位，求s与t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P与点O，点C重合的情况），连接CM，BN，当t为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t值，平行四边形BCMN是否菱形？请说明理由．2、（湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（﹣1，﹣4），与y轴交于点C（0，﹣3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．3．（贵州遵义）如图，已知抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的顶点坐标为Q ()1,2-，且与y 轴交于点C ()3,0，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的右侧），点P 是该抛物线上一动点，从点C 沿抛物线向点A 运动（点P 与A 不重合），过点P 作PD ∥y 轴，交AC 于点D ． (1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点P 的坐标；(3)在问题(2)的结论下，若点E 在x 轴上，点F 在抛物线上，问是否存在以A 、P 、E 、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点F 的坐标；若不存在，请说明理由．4.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．5.（湖北十堰）已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C ． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式；⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由．A6、（福建莆田）已知，如图抛物线23(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧。
二次函数与特殊四边形存在问题(学生版)
二次函数与几何综合专题---- 平行四边形存在性问题【模型解读】考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分．这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： （1）对边平行且相等可转化为：A B D CAB DC x x x x y y y y -=-⎧⎨-=-⎩，可以理解为点B 移动到点A ，点C 移动到点D ，移动路径完全相同．（2）对角线互相平分转化为：2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，可以理解为AC 的中点也是BD 的中点．【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：A B D C A C D BA B D C AC D B x x x x x x x x y y y y y y y y -=-+=+⎧⎧→⎨⎨-=-+=+⎩⎩， 2222A CB DAC BD x x x x y y y y ++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩→A C B D A C B D x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩． 当AC 和BD 为对角线时，结果可简记为：A C B D +=+（各个点对应的横纵坐标相加）y D -y Cx D -x Cy A -y Bx A -x BABC DDCBA引例：已知A （1，1）、B （3，2），点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求C 、D 坐标．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（0，n ），又A （1，1）、B （3，2）． （1）当AB 为对角线时，130120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得43m n =⎧⎨=⎩，故C （4，0）、D （0，3）；（2）当AC 为对角线时，130102m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =⎧⎨=-⎩，故C （2，0）、D （0，-1）；（3）当AD 为对角线时，103120m n +=+⎧⎨+=+⎩，解得21m n =-⎧⎨=⎩，故C （-2，0）、D （0，1）．【动点综述】“三定一动”的动点和“两定两动”的动点性质并不完全一样，“三定一动”中动点是在平面中，横纵坐标都不确定，需要用两个字母表示，这样的我们姑且称为“全动点”，而有一些动点在坐标轴或者直线或者抛物线上，用一个字母即可表示点坐标，称为“半动点”．从上面例子可以看出，虽然动点数量不同，但本质都是在用两个字母表示出4个点坐标．若把一个字母称为一个“未知量”也可理解为：全动点未知量=半动点未知量×2．找不同图形的存在性最多可以有几个未知量，都是根据图形决定的，像平行四边形，只能有2个未知量．究其原因，在于平行四边形两大性质： （1）对边平行且相等； （2）对角线互相平分．但此两个性质统一成一个等式： A C B DAC BD x x x x y y y y +=+⎧⎨+=+⎩，两个等式，只能允许最多存在两个未知数，即我们刚刚所讲的平行四边形存在性问题最多只能存在2个未知量．【模型实例】1.如图，已知抛物线y＝ax2+bx+4经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，求直线BC的解析式；（3）请在抛物线的对称轴上找一点P，使AP+PC的值最小，求点P的坐标，并求出此时AP+PC的最小值；（4）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A、C、M、N四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2.将抛物线y＝ax2（a≠0）向左平移1个单位，再向上平移4个单位后，得到抛物线H：y＝a（x﹣h）2+k．抛物线H与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．已知A（﹣3，0），点P是抛物线H上的一个动点．（1）求抛物线H的表达式；（2）如图1，点P在线段AC上方的抛物线H上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD 交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，求△PEF的面积的最大值；（3）如图2，点Q是抛物线H的对称轴l上的一个动点，在抛物线H上，是否存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．3.如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3的图象与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于点B，交y轴于点D（0，3）．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P（m，0）为线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线EF，分别交抛物线与直线l于点E，F，连接CE，CF，BE，求四边形CEBF面积的最大值及此时m的值；（3）点M为y轴右侧抛物线上一动点，过点M作直线MN∥AC交直线l于点N，是否存在点M，使以A，C，M，N四点为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【课后练习】1.如图，已知二次函数y=−38x2+bx+c的图象与x轴交于点A、C，与y轴交于点B，直线y=34x+3经过A、B两点．（1）求b、c的值．（2）若点P是直线AB上方抛物线上的一动点，过点P作PF⊥x轴于点F，交直线AB于点D，求线段PD 的最大值．（3）在（2）的结论下，连接CD，点Q是抛物线对称轴上的一动点，在抛物线上是否存在点G，使得以C、D、G、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．2.已知，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交点为A（﹣1，0）和点B，与y轴交点为C（0，﹣3），直线L：y＝kx﹣1与抛物线的交点为点A和点D．（1）求抛物线和直线L的解析式；（2）如图，点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），当点M在直线L下方时，过点M作MN∥x轴交L 于点N，求MN的最大值；（3）点M为抛物线上一动点（不与A、D重合），M'为直线AD上一动点，是否存在点M，使得以C、D、M、M′为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点M的坐标，如果不存在，请说明理由．二次函数与几何综合专题---- 菱形存在性问题【模型解读】作为一种特殊的平行四边形，我们已经知道可以从以下几种方式得到菱形： （1）有一组邻边相等的平行四边形菱形； （2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形； （3）四边都相等的四边形是菱形．坐标系中的菱形存在性问题也是依据以上去得到方法．和平行四边形相比，菱形多一个“对角线互相垂直”或“邻边相等”，故若四边形ABCD 是菱形，则其4个点坐标需满足：A CB D AC BD x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=即根据菱形的图形性质，我们可以列出关于点坐标的3个等式， 故菱形存在性问题点坐标最多可以有3个未知量．因此就常规题型而言，菱形存在性至少有2个动点，多则有3个动点，可细分如下两大类题型： （1）2个定点+1个半动点+1个全动点 （2）1个定点+3个半动点引例：如图，在坐标系中，A 点坐标（1,1），B 点坐标为（5,4），点C 在x 轴上，点D 在平面中，求D 点坐标，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是菱形．【分析】设C 点坐标为（m ，0），D 点坐标为（p ，q ）． （1）当AB 为对角线时，由题意得：（AB 和CD 互相平分及AC =BC ） ()()()()2222151********m p q m m ⎧+=+⎪⎪+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩，解得：398985m p q ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩（2）当AC 为对角线时，由题意得：（AC 和BD 互相平分及BA =BC ）()()()()2222151041514504m p qm ⎧+=+⎪⎪+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩，解得：223m p q =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩或843m p q =⎧⎪=⎨⎪=-⎩ （3）当AD 为对角线时，由题意得：()()()()2222151401514110p mq m ⎧+=+⎪⎪+=+⎨⎪-+-=-+-⎪⎩，解得：153m p q ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩153m p q ⎧=-⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩【模型实例】1.如图，已知直线与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，抛物线y ＝ax 2+3x +c 经过B 、C 两点，与x 轴的另一个交点为A ，点E 的坐标为．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点E ，F 关于抛物线的对称轴直线l 对称，Q 点是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以E 、F 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+2交x轴于点A、B，交y轴于点C．（1）求△ABC的面积；（2）如图，过点C作射线CM，交x轴的负半轴于点M，且∠OCM＝∠OAC，点P为线段AC上方抛物线上的一点，过点P作AC的垂线交CM于点G，求线段PG的最大值及点P的坐标；（3）将该抛物线沿射线AC方向平移个单位后得到的新抛物线为y′＝ax2+bx+c（a≠0），新抛物线y′与原抛物线的交点为E，点F为新抛物线y′对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点Q，使以点A、E、F、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．3.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A，B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C，直线AC的解析式为y＝x﹣2．（1）求抛物线的解析式；（2）已知k为正数，当0＜x≤1+k时，y的最大值和最小值分别为m，n，且m+n＝，求k的值；（3）点P是平面内任意一点，在抛物线对称轴上是否存在点Q，使得以点A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【课后练习】1.如图1，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点B、C（点B在点C左侧），与y轴相交于点A．已知点B坐标为B（1，0），BC＝3，△ABC面积为6．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P为直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD∥AB，交线段AC于点D．求PD长度的最大值及此时P点的坐标；（3）如图2，将抛物线向左平移个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴l上一点，N为平面内一点，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点N的坐标，并写出求解其中一个N点坐标的过程．2.如图，抛物线y＝ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，连接BC，交对称轴于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点P是直线BC上方的抛物线上一点，连接PC，PD．求△PCD的面积的最大值以及此时点P的坐标；（3）将抛物线y＝ax2+bx+3向右平移1个单位得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点E，点F是新抛物线的对称轴上的一点，点G是坐标平面内一点．当以D、E、F、G四点为顶点的四边形是菱形时，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个点F的坐标的过程．二次函数与几何综合专题---- 矩形存在性问题【模型解读】矩形的判定：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形； （3）有三个角为直角的四边形．【题型分析】矩形除了具有平行四边形的性质之外，还有“对角线相等”或“内角为直角”，因此相比起平行四边形，坐标系中的矩形满足以下3个等式：A CB D AC BD x x x x y y y y ⎧+=+⎪⎪+=+⎨=（AC 为对角线时）因此在矩形存在性问题最多可以有3个未知量，代入可以得到三元一次方程组，可解． 确定了有3个未知量，则可判断常见矩形存在性问题至少有2个动点，多则可以有3个． 题型如下：（1）2个定点+1个半动点+1个全动点； （2）1个定点+3个半动点．引例：已知A （1，1）、B （4，2），点C 在x 轴上，点D 在坐标系中，且以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是矩形，求D 点坐标．【分析】设C 点坐标为（a ，0），D 点坐标为（b ，c ），又A （1，1）、B （4，2）． 先考虑平行四边形存在性：（1）AB 为对角线时，14120a b c +=+⎧⎨+=+⎩，满足此条件的C 、D 使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，另外AB =CD=综合以上可解：323a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩或233a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩．故C （3，0）、D （2，3）或C （2，0）、D （3，3）．（2）AC为对角线时，14102a bc+=+⎧⎨+=+⎩，另外AC=BD得：143531abc⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩．故C14,03⎛⎫⎪⎝⎭、D5,13⎛⎫-⎪⎝⎭．（3）AD为对角线时，14120b ac+=+⎧⎨+=+⎩，另外AD=BC综合以上可解得：431331abc⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩．故C14,03⎛⎫⎪⎝⎭、D13,13⎛⎫⎪⎝⎭．【小结】这个方法是在平行四边形基础上多加一个等式而已，剩下的都是计算．【模型实例】1.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+x+c经过A（﹣2，0），B（0，4）两点，直线x＝3与x轴交于点C．（1）求a，c的值；（2）经过点O的直线分别与线段AB，直线x＝3交于点D，E，且△BDO与△OCE的面积相等，求直线DE 的解析式；（3）P是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC和直线x＝3上是否分别存在点F，G，使B，F，G，P为顶点的四边形是以BF为一边的矩形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线y＝ax2+2x+c的对称轴是直线x＝1，与x轴交于点A，B（3，0），与y轴交于点C，连接AC．（1）求此抛物线的解析式；（2）已知点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作DM⊥x轴，垂足为点M，DM交直线BC于点N，是否存在这样的点N，使得以A，C，N为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；（3）已知点E是抛物线对称轴上的点，在坐标平面内是否存在点F，使以点B、C、E、F为顶点的四边形为矩形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点E，一次函数y＝x+1与抛物线交于A、D两点，交y轴于点C，且D（4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P是第四象限内抛物线上的一点，过点作PQ⊥AD交AD于点Q，求PQ的最大值以及相应的P点坐标；（3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到新抛物线，新抛物线与原抛物线交于点R，M点在原抛物线的对称轴上，在平面内是否存在点N，使得以点A、R、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．【课后练习】1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC＝2OA．（1）试求抛物线的解析式；（2）直线y＝kx+1（k＞0）与y轴交于点D，与抛物线交于点P，与直线BC交于点M，记m＝，试求m 的最大值及此时点P的坐标；（3）在（2）的条件下，m取最大值时，点Q是x轴上的一个动点，点N是坐标平面内的一点，是否存在这样的点Q、N，使得以P、D、Q、N四点组成的四边形是矩形？如果存在，请求出点N的坐标；如果不存在，请说明理由．2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．点D（2，3）在该抛物线上，直线AD与y轴相交于点E，点F是直线AD上方的抛物线上的动点．（1）求该抛物线对应的二次函数的关系式；（2）当点F到直线AD距离最大时，求点F的坐标；（3）如图，点M是抛物线的顶点，点P的坐标为（0，n），点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形．①求n的值；②若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标．二次函数与几何综合专题----正方形存在性问题【模型解读】作为特殊四边形中最特殊的一位，正方形拥有更多的性质，因此坐标系中的正方形存在性问题变化更加多样，从判定的角度来说，可以有如下：（1）有一个角为直角的菱形；（2）有一组邻边相等的矩形；（3）对角线互相垂直平分且相等的四边形．依据题目给定的已知条件选择恰当的判定方法，即可确定所求的点坐标．从未知量的角度来说，正方形可以有4个“未知量”，因其点坐标满足4个等量关系，考虑对角线性质，互相平分（2个）垂直（1个）且相等（1个）．从动点角度来说，关于正方形存在性问题可分为：（1）2个定点+2个全动点；（2）1个定点+2个半动点+1个全动点;甚至可以有：（3）4个半动点．不管是哪一种类型，要明确的是一点，我们肯定不会列一个四元一次方程组求点坐标！常用处理方法：思路1：从判定出发若已知菱形，则加有一个角为直角或对角线相等；若已知矩形，则加有一组邻边相等或对角线互相垂直；若已知对角线互相垂直或平分或相等，则加上其他条件．思路2：构造三垂直全等若条件并未给关于四边形及对角线的特殊性，则考虑在构成正方形的4个顶点中任取3个，必是等腰直角三角形，若已知两定点，则可通过构造三垂直全等来求得第3个点，再求第4个点．引例：在平面直角坐标系中，A（1,1），B（4,3），在平面中求C、D使得以A、B、C、D为顶点的四边形是正方形．如图，一共6个这样的点C 使得以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰直角三角形．至于具体求点坐标，以1C 为例，构造△AMB ≌△1C NA ，即可求得1C 坐标．至于像5C 、6C 这两个点的坐标，不难发现，5C 是3AC 或1BC 的中点，6C 是2BC 或4AC 的中点．题无定法，具体问题还需具体分析，如上仅仅是大致思路．【模型实例】1.如图，某一次函数与二次函数y ＝x 2+mx +n 的图象交点为A （﹣1，0），B （4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为 （1，2） ；（3）点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE ⊥x 轴，交线段AB 于点E ，求线段DE 长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．2.如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，P为y轴上的动点，连接AP，以AP为对角线作正方形AMPN．（1）求抛物线的解析式；（2）当正方形AMPN与△AOP面积之比为5：2时，求点P的坐标；（3）当正方形AMPN有两个顶点在抛物线上时，直接写出点P的坐标．3.如图，抛物线y＝x2+2x的顶点为A，与x轴交于B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）请求出A、B、C三点的坐标；（2）平移抛物线，记平移后的抛物线的顶点为D，与y轴交于点E，F为平面内一点，若以A、D、E、F为顶点的四边形是正方形，且平移后的抛物线的对称轴在y轴右侧，请求出满足条件的平移后抛物线的表达式．【课后练习】1.已知抛物线L：y＝﹣ax2+2ax+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），且AB＝4．（1）求A、B两点的坐标；（2）将抛物线L沿x轴翻折后得到的新抛物线记为L'，且记L和L'的顶点分别记为M、M'，要使点A、B、M、M'为顶点的四边形是正方形，请求抛物线L的解析式．。
二次函数中考精品压轴题(四边形的存在性问题)解析精选
二次函数中考精品压轴题（四边形与存在性问题）解析精选【例1】综合与实践：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x 2+2x+3与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求直线AC 的解析式及B ．D 两点的坐标；（2）点P 是x 轴上一个动点，过P 作直线l ∥AC 交抛物线于点Q ，试探究：随着P 点的运动，在抛物线上是否存在点Q ，使以点A ．P 、Q 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出M 点的坐标．【答案】解：（1）当y=0时，﹣x 2+2x+3=0，解得x 1=﹣1，x 2=3。
∵点A 在点B 的左侧，∴A ．B 的坐标分别为（﹣1，0），（3，0）。
当x=0时，y=3。
∴C 点的坐标为（0，3）。
设直线AC 的解析式为y=k 1x+b 1（k 1≠0），则111b =3k +b =0⎧⎨-⎩，解得11k =3b =3⎧⎨⎩。
∴直线AC 的解析式为y=3x+3。
∵y=﹣x 2+2x+3=﹣（x ﹣1）2+4，∴顶点D 的坐标为（1，4）。
（2）抛物线上有三个这样的点Q 。
如图，①当点Q 在Q 1位置时，Q 1的纵坐标为3，代入抛物线可得点Q 1的坐标为（2，3）；②当点Q 在点Q 2位置时，点Q 2的纵坐标为﹣3，代入抛物线可得点Q 2坐标为（1+7，﹣3）；③当点Q 在Q 3位置时，点Q 3的纵坐标为﹣3，代入抛物线解析式可得，点Q 3的坐标为（1﹣7，﹣3）。
综上可得满足题意的点Q 有三个，分别为：Q 1（2，3），Q 2（1+7，﹣3），Q 3（1﹣7，﹣3）。
（3）点B 作BB′⊥AC 于点F ，使B′F=BF ，则B′为点B 关于直线AC 的对称点．连接B′D 交直线AC 与点M ，则点M 为所求。
过点B′作B′E ⊥x 轴于点E 。
二次函数中寻找特殊四边形问题
二次函数中寻找特殊四边形问题1．已知，如图抛物线y＝ax2＋3ax＋c(a>0)与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A 点在B点左侧．点B的坐标为(1,0)，OC＝3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD的面积的最大值；(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．2．在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx 2=++的图象与x 轴交于A （－3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C ．（1）求这个二次函数的关系解析式；（2）点P 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P ，使△ACP 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由；（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q ，使以A 、C 、M 、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．3．已知抛物线2y ax 2ax c =-+与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点，点A 的坐标是（－1，0），O（1）求抛物线的函数表达式； （2）直接写出直线BC 的函数表达式；（3）如图1，D 为y 轴的负半轴上的一点，且OD=2，以OD 为边作正方形ODEF.将正方形ODEF 以每秒1个单位的速度沿x 轴的正方向移动，在运动过程中，设正方形ODEF 与△OBC 重叠部分的面积为s ，运动的时间为t 秒（0＜t≤2）.求：①s 与t 之间的函数关系式； ②在运动过程中，s 是否存在最大值？如果存在，直接写出这个最大值；如果不存在，请说明理由．（4）如图2，点P （1，k ）在直线BC 上，点M 在x 轴上，点N 在抛物线上，是否存在以A 、M 、N 、P 为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出M 点坐标；若不存在，请说明理由.4y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t 取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．5．已知抛物线2 + 1(如图所示)．(1)填空：抛物线的顶点坐标是(______，______)，对称轴是_____；(2)已知y轴上一点A(0，2)，点P在抛物线上，过点P作PB⊥x轴，垂足为B．若△PAB 是等边三角形，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，点M在直线．．AP上．在平面内是否存在点N，使四边形OAMN为菱形?若存在，直接写出所有．．满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，在矩形OABC中，AO=10，AB=8，沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC，使点B 落在OA边上的点E处．分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，抛物线y=ax2+bx+c经过O，D，C三点．（1）求AD的长及抛物线的解析式；（2）一动点P从点E出发，沿EC以每秒2个单位长的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ADE 相似？（3）点N在抛物线对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标（不写求解过程）；若不存在，请说明理由．7．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y 轴交于点N．其顶点为D．（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．8．已知，在Rt △OAB 中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2．若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内．将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线2y ax bx(a 0)=+≠经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；（3）若上述抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一动点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M ，问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．9．在平面直角坐标系中，已知抛物线22y x x c =-++过点()1,0A -；直线l ：与x 轴交于点B ，与y 轴交于点C ，与抛物线的对称轴交于点M ；抛物（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AP l ⊥于点P ，P 为垂足，求点P 的坐标．（3）若N 为直线 l 上一动点，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点E ．问：是否存在这样的点N ，使得点D 、M 、N 、E 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N 的横坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，已知抛物线y = ax 2+ bx －4与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，经过A 、B 、C 三点的圆的圆心M （1，m ）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M（1）求m 的值及抛物线的解析式；（2）点P 是线段AB 上的一个动点，过点P 作PN ∥BC ，交AC 于点N ，连接CP ，当PNC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）点),2(k D 在（1）中抛物线上，点E 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点F ，使以A D E F 、、、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，直接写出所有满足条件的点F 的坐标，若不存在，请说明理由。
初中数学中考复习 第12关 以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题(解析版)
第十二关以二次函数与特殊四边形问题为背景的解答题【总体点评】二次函数在全国中考数学中常常作为压轴题，同时在省级，国家级数学竞赛中也有二次函数大题，很多学生在有限的时间内都不能很好完成。
由于在高中和大学中很多数学知识都与函数知识或函数的思想有关，学生在初中阶段函数知识和函数思维方法学得好否，直接关系到未来数学的学习。
二次函数与特殊平行四边形的综合问题属于初中阶段的主要内容，其主要涉及：二次函数的表达式、二次函数动点问题的讨论、特殊平行四边形的性质（主要包括线段之间的关系、角度的大小等等）。
在中考中，往往作为压轴题的形式出现，也给很多中学生造成了很大的压力。
【解题思路】以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热点，其图形复杂，知识覆盖面广，综合性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．对这类题，常规解法是先画出平行四边形，再依据“平行四边形的一组对边平行且相等”或“平行四边形的对角线互相平分”来解决．【典型例题】【例1】（2019·山东中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D （2，4），与y轴交于点C，作直线BC，连接AC，CD．（1）求抛物线的函数表达式；（2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD=∠ACO的点E的坐标；（3）点M在y轴上且位于点C上方，点N在直线BC上，点P为第一象限内抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长．【答案】（1）y=﹣x2+x+4；（2）点E的坐标为（1，），（3，）；（3）菱形的边长为4﹣4．【解析】试题分析：（1）把点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4）代入y=ax2+bx+c，用待定系数法求出抛物线解析式即可．（2）分点E在直线CD上方的抛物线上和点E在直线CD下方的抛物线上两种情况，用三角函数求解即可；（3）分CM为菱形的边和CM为菱形的对角线两种情况，用菱形的性质进行计算即可.试题解析：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），点B（4，0），点D（2，4），∴设抛物线解析式为y=a（x+2）（x﹣4），∴﹣8a=4，∴a=﹣，∴抛物线解析式为y=﹣（x+2）（x﹣4）=﹣x2+x+4；（2）如图1，①点E在直线CD上方的抛物线上，记E′，连接CE′，过E′作E′F′⊥CD，垂足为F′，由（1）知，OC=4，∵∠ACO=∠E′CF′，∴tan∠ACO=tan∠E′CF′，∴=，设线段E′F′=h，则CF′=2h，∴点E′（2h，h+4）∵点E′在抛物线上，∴﹣（2h）2+2h+4=h+4，∴h=0（舍）h=∴E′（1，），②点E在直线CD下方的抛物线上，记E，同①的方法得，E（3，），点E的坐标为（1，），（3，）（3）①CM为菱形的边，如图2，在第一象限内取点P′，过点P′作P′N′∥y轴，交BC于N′，过点P′作P′M′∥BC，交y轴于M′，∴四边形CM′P′N′是平行四边形，∵四边形CM′P′N′是菱形，∴P′M′=P′N′，过点P′作P′Q′⊥y轴，垂足为Q′，∵OC=OB，∠BOC=90°，∴∠OCB=45°，∴∠P′M′C=45°，设点P′（m，﹣m2+m+4），在Rt△P′M′Q′中，P′Q′=m，P′M′=m，∵B（4，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，∵P′N′∥y轴，∴N′（m，﹣m+4），∴P′N′=﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）=﹣m2+2m，∴m=﹣m2+2m，∴m=0（舍）或m=4﹣2，菱形CM′P′N′的边长为（4﹣2）=4﹣4．②CM为菱形的对角线，如图3，在第一象限内抛物线上取点P，过点P作PM∥BC，交y轴于点M，连接CP，过点M作MN∥CP，交BC于N，∴四边形CPMN是平行四边形，连接PN交CM于点Q，∵四边形CPMN是菱形，∴PQ⊥CM，∠PCQ=∠NCQ，∵∠OCB=45°，∴∠NCQ=45°，∴∠PCQ=45°，∴∠CPQ=∠PCQ=45°，∴PQ=CQ，设点P（n，﹣n2+n+4），∴CQ=n，OQ=n+2，∴n+4=﹣n2+n+4，∴n=0（舍），∴此种情况不存在．∴菱形的边长为4﹣4．【例2】（2018·辽宁中考真题）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P 从点A 个单位长度的速度沿线段AB 向点B 运动，点Q 从点C 出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA 向点A 运动，点P ，Q 同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t ＞0）．以PQ 为边作矩形PQNM ，使点N 在直线x=3上． ①当t 为何值时，矩形PQNM 的面积最小？并求出最小面积； ②直接写出当t 为何值时，恰好有矩形PQNM 的顶点落在抛物线上．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x 2+3x+4；（2）①当t=65时，面积最小是165；②t=23 2. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可；（2）①分别用t 表示PE 、PQ 、EQ ，用△PQE ∽△QNC 表示NC 及QN ，列出矩形PQNM 面积与t 的函数关系式问题可解；②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系，表示点M 坐标，分别讨论M 、N 、Q 在抛物线上时的情况，并分别求出t 值． 【详解】（1）由已知，B 点横坐标为3， ∵A 、B 在y=x+1上， ∴A （﹣1，0），B （3，4），把A （﹣1，0），B （3，4）代入y=﹣x 2+bx+c 得，10934b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得：34b c =⎧⎨=⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣x 2+3x+4； （2）①如图，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，∵直线y=x+1与x 轴夹角为45°，P 个单位长度， ∴t 秒时点E 坐标为（﹣1+t ，0），Q 点坐标为（3﹣2t ，0）， ∴EQ=4﹣3t ，PE=t ， ∵∠PQE+∠NQC=90°， ∠PQE+∠EPQ=90°， ∴∠EPQ=∠NQC ， ∴△PQE ∽△QNC ， ∴12PQ PE NQ QC ==， ∴矩形PQNM 的面积S=PQ•NQ=2PQ 2， ∵PQ 2=PE 2+EQ 2，∴S=22=20t 2﹣48t+32，当t=625b a -=时， S 最小=20×（65）2﹣48×65+32=165；②由①点Q 坐标为（3﹣2t ，0），P （﹣1+t ，t ），C （3，0）， ∴△PQE ∽△QNC ，可得NC=2QE=8﹣6t ， ∴N 点坐标为（3，8﹣6t ），由矩形对边平行且相等，P （﹣1+t ，t ），Q （3﹣2t ，0），∴点M 坐标为（3t ﹣1，8﹣5t ） 当M 在抛物线上时，则有8﹣5t=﹣（3t ﹣1）2+3（3t ﹣1）+4，解得t=109±， 当点Q 到A 时，Q 在抛物线上，此时t=2， 当N 在抛物线上时，8﹣6t=4， ∴t=23，综上所述当t=23、109±或2时，矩形PQNM 的顶点落在抛物线上． 【名师点睛】本题是代数几何综合题，考查了二次函数、一次函数、三角形相似和矩形的有关性质，熟练掌握相关知识以及应用数形结合和分类讨论的数学思想是解题的关键． 【例3】（2019·山西中考真题）综合与探究如图，抛物线26y ax bx =++经过点A(-2,0)，B(4,0)两点，与y 轴交于点C ，点D 是抛物线上一个动点，设点D 的横坐标为(14)m m <<.连接AC ，BC ，DB ，DC ， (1)求抛物线的函数表达式； (2)△BCD 的面积等于△AOC 的面积的34时，求m 的值； (3)在(2)的条件下，若点M 是x 轴上的一个动点，点N 是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M,使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)233642y x x =-++；(2)3；(3)1234(8,0),(0,0),(M M M M .【解析】 【分析】(1)利用待定系数法进行求解即可；(2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ，先求出S △OAC =6，再根据S △BCD =34S △AOC ，得到S △BCD =92，然后求出BC 的解析式为362y x =-+，则可得点G 的坐标为3(,6)2m m -+，由此可得2334DG m m =-+，再根据S △BCD =S △CDG +S △BDG =12DG BO ⋅⋅，可得关于m 的方程，解方程即可求得答案；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图，以BD 为边时，有3种情况，由点D 的坐标可得点N 点纵坐标为±154，然后分点N 的纵坐标为154和点N 的纵坐标为154-两种情况分别求解；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合，根据平行四边形的对边平行且相等可求得BM 1=N 1D=4，继而求得OM 1= 8，由此即可求得答案. 【详解】(1)抛物线2y ax bx c =++经过点A(-2,0)，B(4,0)，∴426016460a b a b -+=⎧⎨++=⎩，解得3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线的函数表达式为233642y x x =-++； (2)作直线DE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点G ，作CF ⊥DE ，垂足为F ， ∵点A 的坐标为(-2,0)，∴OA=2，由0x =，得6y =，∴点C 的坐标为(0,6)，∴OC=6，∴S △OAC =1126622OA OC ⋅⋅=⨯⨯=， ∵S △BCD =34S △AOC ，∴S △BCD =39642⨯=，设直线BC 的函数表达式为y kx n =+，由B ，C 两点的坐标得406k n n +=⎧⎨=⎩，解得326k n ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC 的函数表达式为362y x =-+， ∴点G 的坐标为3(,6)2m m -+， ∴2233336(6)34224DG m m m m m =-++--+=-+，∵点B 的坐标为(4,0)，∴OB=4，∵S △BCD =S △CDG +S △BDG =1111()2222DG CF DG BE DG CF BE DG BO ⋅⋅+⋅⋅=⋅+=⋅⋅， ∴S △BCD =22133346242m m m m -+⨯=-+（）， ∴239622m m -+=，解得11m =(舍)，23m =， ∴m 的值为3；(3)存在，如下图所示，以BD 为边或者以BD 为对角线进行平行四边形的构图， 以BD 为边时，有3种情况， ∵D 点坐标为15(3,)4，∴点N 点纵坐标为±154，当点N 的纵坐标为154时，如点N 2， 此时233156424x x -++=，解得：121,3x x =-=(舍)， ∴215(1,)4N -，∴2(0,0)M ；当点N 的纵坐标为154-时，如点N 3，N 4，此时233156424x x -++=-，解得：1211x x ==∴315(1)4N +-，415(1)4N -，∴3M ，4(M ；以BD 为对角线时，有1种情况，此时N 1点与N 2点重合， ∵115(1,)4N -，D(3，154)，∴N 1D=4， ∴BM 1=N 1D=4， ∴OM 1=OB+BM 1=8， ∴M 1(8，0)，综上，点M 的坐标为：1234(80)(00)(M M M M ，，，，.【名师点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.【方法归纳】这类问题，在题中的四个点中，至少有两个定点，用动点坐标“用字母表示”分别设出余下所有动点的坐标（若有两个动点，显然每个动点应各选用一个参数字母来“用字母表示”出动点坐标），任选一个已知点作为对角线的起点，列出所有可能的对角线（显然最多有3条），此时与之对应的另一条对角线也就确定了，然后运用中点坐标公式，求出每一种情况两条对角线的中点坐标，由平行四边形的判定定理可知，两中点重合，其坐标对应相等，列出两个方程，求解即可。
2023年九年级数学中考专题：二次函数综合压轴题(特殊四边形问题)(含简单答案)
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)当 的面积等于 的面积的 时，求m的值．
(3)当 时，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B、D、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)点 的坐标为 ， ，
5．(1) ，
(2)2
(3) 或 或
6．(1)
(2)
(3)矩形的周长
7．(1) ， ；
(2)存在， 或 ；
(3) 或 或 或 ．
8．(1) ，
(2)当 时，
(3)存在， 或 或
9．(1)
(2) 的面积最大值为4
(3)四边形 能构成菱形，点 的坐标为 或
10．(1)
(2)
(3)存在， 或 或
15．如图所示，在矩形 中，把点 沿 对折，使点 落在 上的 点．已知 ．
(1)求 点的坐标；
(2)如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与抛物线仅一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线经过 ，且直线 是该抛物线的切线．求抛物线的解析式．并验证点 是否在该抛物线上．
(3)在（2）的条件下，若点 是位于该二次函数对称轴右侧图象上不与顶点重合的任意一点，试比较 与 的大小(不必证明)，并写出此时点 的横坐标 的取值范围．
11．(1) ；
(2) ；
(3) 、 、 ．
12．(1)
(2)
(3)M的坐标为 或 或 或
13．(1)
(2)13.5
(3)存在， ， 或
14．(1)
(2)点 的坐标为 或 或 或
初三中考数学专题复习：二次函数综合题(特殊四边形问题)含答案
中考数学专题复习：二次函数综合题（特殊四边形问题）1．在平面直角坐标系中，抛物线24y x x c =--+与x 轴交于点A ，B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且点A 的坐标为(5,0)-．(1)求点C 的坐标；(2)如图1，若点P 是第二象限内抛物线上一动点，求点P 到直线AC 距离的最大值；(3)如图2，若点M 是抛物线上一点，点N 是抛物线对称轴上一点，是否存在点M 使以A ，C ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()220y ax x c a =++≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，连接BC ，1OA =，对称轴为直线2x =，点D 为此抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式及D 点坐标；(2)点E 是第一象限内抛物线上的动点，连接BE 和CE ，求BCE 面积的最大值；(3)点P 在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q ，使以点B 、C 、P 、Q 为顶点的四边形为矩形，请直接写出点Q 的坐标．3．如图，抛物线23y ax x c =++与x 轴交于点A ，B ，直线1y x =+与抛物线交于点,(3,)A C n ．点P 为对称(1)求抛物线的解析式及其顶点的坐标．(2)已知直线:5l x m =+与直线AC 交于点D ，过点P （横坐标为m ），作PE l ⊥于点E ，以,PE DE 为边作矩形PEDF ．①当抛物线的顶点在矩形PEDF 内部时，m 的取值范围为________（请直接写出）. ①在①的条件下，求矩形PEDF 的周长的最小值．4．综合与探究已知：如图，二次函数2y ax bx c =++的图象的顶点为(1,4)D -，与x 轴交于B ，A 两点，与y 轴交于点(0,3)C ，点E 为抛物线对称轴上的一个动点．(1)求二次函数的解析式；(2)当ACE 的周长最小时，点E 的坐标为____________；(3)当点E 在x 轴上方且BAE BDE ∠=∠时，试判断CE 与BD 的位置关系，并说明理由；(4)若点N 是y 轴上的一点，坐标平面内是否存在P ，使以D 、B 、N 、P 为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．过点A 、C 的直线交二次函数的图象于点D ．(1)求二次函数和直线AC 的函数表达式； (2)连接DB ，则DAB 的面积为________；(3)在y 轴上确定点Q ，使得135AQB ∠=︒，点Q 的坐标为________；(4)点M 是抛物线上一点，点N 为平面上一点，是否存在这样的点N ，使得以点A 、点D 、点M 、点N 为顶点的四边形是以AD 为边的矩形？若存在，请你直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y =−x 2+6x −5与x 轴交于点A 和点B ，与y 轴交于点C ，经过B 、C 两点的直线为y =x −5，(1)写出相应点的坐标：A ______，B ______，C ______；(2)点P 从A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位的速度向B 运动，同时点E 从B 出发，在线段BC 上以每秒2个单位的速度向C 运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t 秒，求t 为何值时，△PBE 的面积最大，并求出最大值．(3)过点A 作AM ①BC 于点M ，过抛物线上一动点N （不与点B 、C 重合）作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ．若点A 、M 、N 、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点N 的横坐标．抛物线于点D ．(1)直接写出A ，B 两点的坐标；(2)若直线(-30)y m m =<<与线段AD ，BD 分别交于G ，H 两点，过G 点作EG ①x 轴于点E ，过点H 作HFx ⊥轴于点F ，求矩形GEFH 的最大面积；(3)若直线1y kx =+将四边形ABCD 分成左、右两个部分，面积分别为1S 、2S ，且12S : S =4: 5，求k 的值．8．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y kx =+分别交x 轴、y 轴于A ，B 两点，经过A ，B 两点的抛物线2y x bx c =-++与x 轴的正半轴相交于点()1,0C ．(1)求点B 的坐标和抛物线的解析式；(2)若P 为线段AB 上一点，APO ACB ∠=∠，求AP 的长；(3)在（2）的条件下，设M 是y 轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N ，使得以A ，P ，M ，N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线2y x bx c =++经过B （3，0）、()0,3C -两点，与x 轴的另一个交点为A ，顶点为D ．(1)求该抛物线的解析式；(2)点E 为该抛物线上一动点（与点B 、C 不重合），①当点E 在直线BC 的下方运动时，求CBE △的面积的最大值；①在①的条件下，点M 是抛物线的对称轴上的动点，在该抛物线上是否存在点P ，使以C 、E 、P 、M 为顶点的四角形为平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，二次函数()230y ax bx a =+-≠的图象交x 轴于()1,0A -，B 两点，交y 轴于点C ，且OB ＝OC ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)设点D 是y 轴右侧抛物线上一点（D 不与B 重合），过点D 作DE ①x 轴，垂足为点E ，交直线BC 于点F ，若DF ＝2EF ，求点D 的坐标；(3)在（1）的条件下，平面内是否存在点G ，使得以点B ，C ，D ，G 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，直线y =x −5交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，抛物线y =ax 2−4x +c 经过A ，B 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)以AB 为边作矩形ABCD ，设点C 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示C ，D 两点的坐标；①当CD 边与抛物线只有一个公共点时，请直接写出m 的取值范围．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =++与直线AB 交于点()0,4A -，()4,0B ．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P 是直线AB 下方拋物线上的一动点，过点P 作x 轴的平行线交AB 于点C ，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点D ，求PC PD +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）中PC PD +取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E 为点P 的对应点，平移后的抛物线与y 轴交于点F ，M 为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N ，使得以点E ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N 的坐标，并写出求解点N 的坐标的其中一种情况的过程．13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线234y x bx c =-++与x 轴交于点(4,0)A ，与y 轴交于点(0,3)B ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P 为直线AB 上方抛物线上一动点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，交AB 于点M ，求65PM AM +的最大值及此时点P 的坐标；(3)在（2）的条件下，点P '与点P 关于抛物线234y x bx c =-++的对称轴对称．将抛物线234y x bx c=-++向右平移，使新抛物线的对称轴l 经过点A ．点C 在新抛物线上，点D 在l 上，直接写出所有使得以点A 、P '、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形的点D 的坐标，并把求其中一个点D 的坐标的过程写出来．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．已知()3,0A ，该抛物线的对称轴为直线1x =．(1)求该抛物线的函数表达式； (2)求点B 、C 的坐标；(3)将线段BC 平移，使得平移后线段的一个端点在这条抛物线上，另一个端点在x 轴上，若将点B 、C 平移后的对应点分别记为点D 、E ，求以B 、C 、D 、E 为顶点的四边形面积的最大值．15．如图，已知抛物线2y x bx c =-++与一直线相交于A (-1，0)，B (2，3)两点，抛物线的顶点为M ．(1)求抛物线的表达式及顶点M 的坐标；(2)若C 是抛物线上位于直线AB 上方的一个动点，设点C 的横坐标为t ，过点C 作y 轴的平行线交AB 与D ，当t 为何值时，线段CD 的长最大，并求其最大值；(3)若抛物线的对称轴与直线AB 相交于点N ，E 为直线AB 上的任意一点，过点E 作EF ∥AB 交抛物线于点F ，以M ，N ，E ，F 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求出点E 的坐标；若不能，请说明理由．16．如图，抛物线26y ax bx =+-与x 轴交于点()6,0A -和点()2,0B ．与y 轴交于点C ，连接AC ，BC ．(1)求该抛物线的函数解析式；(2)点P 是直线AC 下方抛物线上的一个动点，过点P 作BC 的平行线l ，交线段AC 于D ．①试探究：在直线l 上是否存在点E ，使得以点D ，C ，B ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．①设抛物线的对称轴与直线l 交于点M ，与直线AC 交于点N ．当DMN AOC S S =△△时，请直接写出DM 的长．17．如图，直线4y x =-+与x 轴交于点C ，与y 轴交于点B ，抛物线2y ax x c =++经过B ，C 两点．(1)求抛物线的解析式；(2)E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，当点E 到直线BC 的距离最大时，求点E 的坐标；(3)Q 是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P ，使得以P ，Q ，B ，C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P 的坐标：若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y =- x 2+bx +c 的顶点D 坐标为（1，4），且与x 轴相交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴相交于点C ，点E 在x 轴上方且在对称轴左侧的抛物线上运动，点F 在抛物线上并且和点E 关于抛物线的对称轴对称，作矩形EFGH ，其中点G ，H 都在x 轴上．(1)求抛物线解析式； (2)设点F 横坐标为m ，①用含有m 的代数式表示点E 的横坐标为________（直接填空）； ①当矩形EFGH 为正方形时，求点G 的坐标； ①连接AD ，当EG 与AD 垂直时，求点G 的坐标；(3)过顶点D 作DM ①x 轴于点M ，过点F 作FP ①AD 于点P ，直接写出△DFP 与△DAM 相似时，点F 的坐标．19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21:C y ax bx c =++与坐标轴交于A ，B ，C 三点，其中2OA OC OB ==，()0,4D 是OA 的中点．(1)求该二次函数的解析式．(2)如图1，若E 为该抛物线在第一象限内的一动点，点F 在该抛物线的对称轴上，求使得ECD 的面积取最大值时点E 的坐标，并求出此时EF CF +的最小值．(3)如图2，将抛物线1C 向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度得到抛物线2C ，M 为抛物线2C 上一动点，N 为平面内一动点，是否存在这样的点M ，N 使得四边形DMCN 为菱形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．20．如图，抛物线y ＝﹣x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A （﹣1，0），B （3，0），与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，抛物线的顶点为D ，连接BC ，CD ，BD ． ①求BD 所在直线的解析式；①E 为线段BD 上一动点，当直线CE 分①CBD 两部分的面积之比为1①3时，求点E 的坐标；(3)如图2，P 为x 轴上方抛物线上的一动点，以线段PB 为一边，在直线x ＝3左侧作正方形BPMN ，当点M 或点N 位于抛物线对称轴上时，请直接写出点P 坐标．答案1．(1)(0,5)(2)PE (3)存在，M 的坐标为(3,8)-或（3，-16）或(7,16)--2．(1)解析式为215222y x x =-++ ；D （2，92） (2)S △BCE 有最大值为12516 (3)（33,2-）或（3，4）或（7，4）或 （73,2--）3．(1)234y x x =-++；顶点坐标为325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2)①1342m <<；①矩形PEDF 周长的最小值为12 4．(1)223y x x =--+(2)(1,2)-(3)CE BD ∥(4)存在，1234152,,2,,(4,3)(4,1)22P P P P ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5．(1)24y x =-+；2y x =+(2)6(3)(0,2)或(0,2-(4)存在，1(3,1)N -或2(6,2)N -6．(1)（1，0），（5，0），（0，-5）(2)当t =2时，S △BEP 最大为(3)点N 的横坐标为：4．7．(1)A ，B 两点的坐标分别为A (3,0)-，B (1,0)(2)矩形GEFH 的最大面积为3 (3)157k =8．(1)点B 的坐标为(0，3)；223y x x =--+(2)AP =(3)存在，(2-，3)、 (2，5-)或（－4，－5）9．(1)223y x x =--(2)①最大值为278；①存在，57,24⎛⎫- ⎪⎝⎭、17,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭、115,24⎛⎫- ⎪⎝⎭10．(1)223y x x =--(2)23（，）-(3)存在，16--（，）或10（，）或50（，）11．(1)抛物线的解析式为y =x 2-4x -5；(2)①点C 的坐标为(m ，-m -5)；点D 的坐标为(m +5，-m )；①-7≤m ≤3且m ≠0．12．(1)2142y x x =-- (2)254，335,28P ⎛⎫- ⎪⎝⎭ (3)1145,28N ⎛⎫ ⎪⎝⎭；21513,28N ⎛⎫- ⎪⎝⎭；3113,28N ⎛⎫- ⎪⎝⎭13．(1)239344y x x =-++ (2)65PM MA +最大值为：274， 912P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， (3)454,16D ⎛⎫- ⎪⎝⎭、454,16D ⎛⎫ ⎪⎝⎭、994,16D ⎛⎫ ⎪⎝⎭14．(1)2y x 2x 3=-++(2)()1,0B -，()0,3C(3)9+15．(1)2y x 2x 3=-++，顶点M 的坐标为（1，4）(2)当12t =时，CD 的长最大，最大值为94(3)能，点E 的坐标为：（0，116．(1)21262y x x =+-(2)①存在，点E 的坐标为()6,8--或者(2-；①17．(1)2142y x x =-++ (2)（2，4）(3)（5，72-）或（-3，72-）或（3，52）18．(1)2y x 2x 3=-++(2)①2m -；①G 点坐标为)；①G 0） (3)F 点坐标为（73，209）19．(1)2184y x x =-++(2)353,4E ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)存在；点M 的坐标为6-+或(6---20．(1)2y x 2x 3=-++(2)①26y x =-+；①E （32，3）(3)1(1P ，2(1P ，3P ⎝⎭。
中考体系-109.二次函数与特殊四边形1(最全,含答案)
二次函数与特殊四边形-1一、 二次函数与平行四边形 1、判断形状2、已知三个定点，构成平行四边形3、已知两个定点，构成平行四边形二、 二次函数与矩形 三、 二次函数与菱形 四、 二次函数与正方形 五、 二次函数与梯形 六、 二次函数与直角梯形 七、 二次函数与等腰梯形一、二次函数与平行四边形 1、判断形状1. 【易】（平行四边形）（2011年南昌中考）如图所示，抛物线m ：2y ax b =+（0a <，0b >）与x 轴交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ．将抛物线m 绕点B 旋转180︒，得到新的抛物线n ，它的顶点为1C ，与x 轴的另一个交点为1A ． ⑴ 当1a =-，1b =时，求抛物线n 的解析式；⑵ 四边形11AC A C 是什么特殊四边形，请写出结果并说明理由； ⑶ 若四边形11AC A C 为矩形，请求出a ，b 应满足的关系式．【答案】⑴ 当11a b =-=，时，抛物线m 的解析式为：21y x =-+． 令0x =，得：1y =． ∴()01C ，． 令0y =，得：1x =±． ∴()10A -，，()10B ， ∵C 与1C 关于点B 中心对称，∴抛物线n 的解析式为：()222143y x x x =--=-+ ⑵ 四边形11AC A C 是平行四边形．理由：∵C 与1C 、A 与1A 都关于点B 中心对称， ∴11AB BA BC BC ==，， ∴四边形11AC A C 是平行四边形． ⑶ 令0x =，得：y b =．∴()0C b ，． 令0y =，得：20ax b +=，∴x =∴0A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0B ⎫⎪⎪⎭，∴AB =BC = 要使平行四边形11AC A C 是矩形，必须满足AB BC =，∴=， ∴24b b b a a ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，∴3ab =-．∴a ，b 应满足关系式3ab =-．2、已知三个定点，构成平行四边形2. 【易】（平行四边形）（2011年连云港中考）抛物线212y x x a =-+与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，其顶点在直线2y x =-上． （1）求a 的值；（2）求A ，B 的坐标；（3）以AC ，CB 为一组邻边作平行四边形ACBD ，则点D 关于x 轴的对称点D '是否在该抛物线上？请说明理由．【答案】⑴ 抛物线的顶点坐标为112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵顶点在直线2y x =-上，∴122a -=-．即32a =-． ⑵ 由⑴知，抛物线表达式为21322y x x =--，令0y =，得213022x x --=．解之得：11x =-，33x =．∴A 的坐标()10-，，B 的坐标()30，； ⑶ ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴点C ，D 关于对角线交点()10，对称 又∵点D '是点D 关于x 轴的对称点，点C ，D '关于抛物线的对称轴对称． ∴D '在抛物线上．3. 【易】（平行四边形）（2012年湖南娄底）已知二次函数()2222y x m x m =---的图象与x 轴交于点()10A x ，和点()20B x ，，12x x <与y 轴交于点C ，且满足121112x x +=． ⑴ 求这个二次函数的解析式； ⑵ 探究：在直线3y x =+上是否存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．【答案】⑴ ∵二次函数()2222y x m x m =---的图象与x 轴交于点()10A x ，和点 ()20B x ，，12x x <，∴令0y =，即()22220x m x m ---=①，则有：2122x x m +=-，122x x m =-． ∴2121212112122x x m x x x x m +-+===-， 化简得到：220m m +-=， 解得12m =-，21m =．当2m =-时，方程①为：2240x x -+=，其判别式24120b ac ∆=-=-<，此时抛物线与x 轴没有交点，不符合题意，舍去；当1m =时，方程①为：220x x +-=，其判别式2490b ac ∆=-=>，此时抛物线与x 轴有两个不同的交点，符合题意．∴1m =．∴抛物线的解析式为22y x x =+-．⑵ 存在．理由如下：假设在直线3y x =+上是否存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形． 如图所示，连接PA ．PB ．AC ．BC ，过点P 作PD x ⊥轴于D 点． ∵抛物线22y x x =+-与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于C 点， ∴()20A -，，()10B ，，()02C ，．∴1OB =，2OC =． ∵PACB 为平行四边形， ∴PA BC ∥，PA BC =． ∴PAD CBO ∠=∠， ∴APD OCB ∠=∠．在Rt PAD △与Rt CBO △中，∵PAD CBO ∠=∠，PA BC =，APD OCB ∠=∠， ∴Rt Rt PAD CBO △≌△（AAS ）． ∴2PD OC ==，即2P y =． ∵直线解析式为3y x =+，∴1P x =﹣．∴()12P ﹣，． ∴在直线3y x =+上存在一点P ，使四边形PACB 为平行四边形，P 点坐标为()12-，．4. 【中】（平行四边形+三角函数）（2011年上海金山区初三二模）已知抛物线2y ax bx c =++(0)a ≠过点()30A -，，()10B ，，(03)C ，三点 ⑴ 求抛物线的解析式；⑵ 若抛物线的顶点为P ，求PAC ∠正切值；⑶ 若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．【答案】⑴ 由题意得：93003a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩解得123a b c =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩∴223y x x =--+⑵ ()222314y x x x =--+=-++ ∴()14P -，∴PA =PC，AC =∵222PA PC AC =+ ∴90PCA ∠=︒∴1tan 3PC PAC AC ∠===x⑶ ∵直线AC 的解析式是：3y x =+ 直线AP 的解析式是：26y x =+ 直线PC 的解析式是：3y x =-+当AC 是平行四边形的一条对角线是： 直线MC 的解析式是：23y x =+ 直线AM 的解析式是：3y x =-- ∴()21M --，当PC 是平行四边形的一条对角线时：同理可得 ∴()27M ，当AP 是平行四边形的一条对角线时：∴()41M -，5. 【中】（平行四边形）（2013年浙江省初中毕业生学业考试（嘉兴卷））如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()221144y x m m m =--+的 顶点为A ，与y 轴的交点为B ，连结AB ，AC AB ⊥，交y 轴于点C ，延长CA 到点D ，使AD AC =，连结BD ．作AE x ∥轴，DE y ∥轴． （1）当2m =时，求点B 的坐标； （2）求DE 的长?（3）①设点D 的坐标为x y （，），求y 关于x 的函数关系式？②过点D 作AB 的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P ，当m 为何值时，以A ，B ，D ，P 为顶点的四边形是平行四边形？图1 图2【答案】（1）当2m =时，()21214y x =-+ 把0x =代入()21214y x =-+，得：2y = ∴点B 的坐标为02（，） （2）延长EA ，交y 轴于点F∵AD AC =，90AFC AED ∠=∠=︒，CAF DAE ∠=∠ ∴AFC AED ≌△△ ∴AF AE =，∵点214A m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，，点()0B m ， ∴AF AE m ==，221144BF m m m m ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭∵90ABF BAF DAE =︒-=∠∠∠，90AFB DEA ==︒∠∠，∴ABF DAE ∽△△ ∴BF AE AF DE =，即：21||4||m m m DE= ∴4DE =（3）①∵点A 的坐标为214m m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，， ∴点D 的坐标为21244m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，， ∴2x m =，2144y m m =-++∴214422x xy ⎛⎫=-⋅++ ⎪⎝⎭∴所求函数的解析式为：2114162y x x =-++ ②作PQ DE ⊥于点Q ，则DPQ BAF ≌△△（Ⅰ）当四边形ABDP 为平行四边形时（如图1）， 点P 的横坐标为3m点P 的纵坐标为：22211144442m m m m m ⎛⎫⎛⎫-++-=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把21342P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，的坐标代入2114162y x x =-++得： ()()2211143342162m m m m -++=-⨯+⨯+ 解得：0m =（此时A ，B ，D ，P 在同一直线上，舍去） 或8m =（Ⅱ）当四边形ABDP 为平行四边形时（如图2）， 点P 的横坐标为m点P 的纵坐标为：22114444m m m m ⎛⎫⎛⎫-+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭把()4P m m +，的坐标代入2114162y x x =-++得： 21144162m m m +=-++ 解得：0m =（此时A ，B ，D ，P 在同一直线上，舍去）或8m =- 综上所述：m 的值8或8-．6. 【中】（线段最值+平行四边形）（2012年湖南株洲）如图，一次函数122y x =-+分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，抛物线2y x bx c =++-过A 、B 两点．⑴ 求这个抛物线的解析式； ⑵ 作垂直x 轴的直线x t =，在第一象限交直线AB 于M ，交这个抛物线于N ．求当t 取何值时，MN 有最大值？最大值是多少？⑶ 在（2）的情况下，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，求第四个顶点D 的坐标．【答案】解：⑴ ∵122y x =-+分别交y 轴、x 轴于A 、B 两点，∴A 、B 点的坐标为：()02A ，，()40B ，． 将0x =，2y =代入2y x bx c =++-得2c =；备用图将4x =，0y =代入2y x bx c =++-得01642b =-++， 解得72b =． ∴抛物线解析式为：2722y x x =-++． ⑵ 如图1，设MN 交x 轴于点E ，则()0E t ，． 可知∵M E x x t ==， ∴122M y ME t ==-+．又∵N 点在抛物线上，且N x t =， ∴2722N y t t =++﹣．∴2712222N MN y ME t t t ⎛⎫=-=-++-- ⎪⎝⎭()22424t t t =-+=--+．∴当2t =时，MN 有最大值4．⑶ 由⑵可知，()02A ，，()21M ，，()25N ，． 如图2，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形．①当D 在y 轴上时，设D 的坐标为()0a ，， 由AD MN =，得2|4a -=，解得16a =，22a =﹣， 从而D 为()06，或()02D -，．②当D 不在y 轴上时，由图可知D 为1D N 与2D M 的交点，图1由()106D ，，()25N ，易得1D N 的方程为162y x =-+； 由()202D -，，()21M ，易得2D M 的方程为322y x =-． 由两方程联立解得D 为()44，．综上所述，所求的D 点坐标为()06，，()02-，或()44，．7. 【中】（平行四边形+圆）（湖北十堰）已知抛物线22y ax ax b =-++与x 轴的一个交点为()10A -，，与y 轴的正半轴交于点C ．⑴ 直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；⑵ 当点C 在以AB 为直径的P 上时，求抛物线的解析式；⑶ 坐标平面内是否存在点M ，使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】⑴ 对称轴是直线：1x =，点B 的坐标是()30，．⑵ 如图，连接PC ，∵点A 、B 的坐标分别是()10A -，、()30B ，， ∴4AB =．∴114222PC AB ==⨯=． 在Rt POC △中，∵211OP PA OA =-=-=，∴OC =∴b =当10x y =-=，时，20a a --，∴a =∴2y x =． ⑶ 存在．理由：如图，连接AC 、BC ．设点M 的坐标为()M x y ，．①当以AC 或BC 为对角线时，点M 在x 轴上方，此时CM AB ∥，且CM AB =．由⑵知，4AB =，∴=4x，y OC ==． ∴4x =±．∴点M的坐标为(4M或(4-． ②当以AB 为对角线时，点M 在x 轴下方．过M 作MN AB ⊥于N ，则90MNB AOC ∠=∠=︒． ∵四边形AMBC 是平行四边形， ∴AC MB =，且AC MB ∥． ∴CAO MBN ∠=∠． ∴AOC BNM △≌△．∴1BN AO ==，MN CO = ∵3OB =，∴312ON =-=．∴点M的坐标为(2M ，．综上所述，坐标平面内存在点M ，使得以点A 、B 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为(14M，(24M -，(32M -，．8. 【中】（平行四边形+轴对称）（浙江湖州）已知抛物线22y x x a =-+（0a <）与y 轴相交于点A ，顶点为M ．直线12y x a =-分别与x 轴，y 轴相交于B C ，两点，并且与直线AM 相交于点N ．M⑴ 填空：试用含a 的代数式分别表示点M 与N 的坐标，则()()M N ， ， ， ； ⑵ 如图，将NAC △沿y 轴翻折，若点N 的对应点N ′恰好落在抛物线上，AN ′与x 轴交于点D ，连结CD ，求a 的值和四边形ADCN 的面积；⑶ 在抛物线22y x x a =-+（0a <）上是否存在一点P ，使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，试说明理由．【答案】⑴ ()11M a -，，4133N a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．⑵ 由题意得点N 与点N ′关于y 轴对称，∴N '4133a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，将N ′的坐标代入22y x x a =-+得21168393a a a a -=++，∴10a =（不合题意，舍去），294a =-．∴343N ⎛⎫ ⎪⎝⎭-，，∴点N 到y 轴的距离为3． ∵940A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，N '334⎛⎫ ⎪⎝⎭，，∴直线AN '的解析式为94y x =-，它与x 轴的交点为904D ⎛⎫⎪⎝⎭，，∴点D 到y 轴的距离为94．∴1919918922224163ACN ACD ADCN S S S =+==⨯⨯+⨯⨯四边形△△．⑶ 当点P 在y 轴的左侧时，若ACPN 是平行四边形，则PN 平行且等于AC ，备用图xx∴把N 向上平移2a -个单位得到P ，坐标为4733a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，代入抛物线的解析式，得：27168393a a a a -=-+∴10a =（不舍题意，舍去），238a =-，∴1728P ⎛⎫ ⎪⎝⎭-，．当点P 在y 轴的右侧时，若APCN 是平行四边形，则AC 与PN 互相平分， ∴OA OC =，OP ON =． ∴P 与N 关于原点对称， ∴4133a a P ⎛⎫ ⎪⎝⎭-，，将P 点坐标代入抛物线解析式得：21168393a a a a =++，∴10a =（不合题意，舍去），2158a =-， ∴5528P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴存在这样的点11728P ⎛⎫-⎪⎝⎭，或25528P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，能使得以P A C N ，，，为顶点的四边形是平行四边形．9. 【难】（平行四边形+面积）（2013年湘潭市初中毕业学业考试数学试题卷）如图，在坐标系xOy 中，ABC △是等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，()10A ，，()02B ，，抛物线2122y x bx =+-的图象过C 点。