递推算法(C++版)
递推法
输入：x=1 y=2 z=8 输出：37
分析
首先我们来看样例：每隔1个月产2对卵，求过8 月（即第8+1=9月）的成虫个数
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … 新增卵 0 2 2 2 6 10 14 26 46 … 成虫 1 1 1 3 5 7 13 23 37 …
计算河心n个石礅可承载的最大青蛙数
设f[i]表示河心i个石礅可承载的最大青蛙数(1<=i<=n) 左岸为A,右岸为D
(1) 0个石礅,f[0]=0 (2) 1个石礅,f[1]=m+1 (3) 2个石礅s1,s2，f[2]=?
(1)A上m+1只青蛙s1 (2) A上m+1只青蛙 s2 , (3)s1上的m+1青蛙 s2 (4) A上m+1只青蛙s1 因此，f[2]=m+1+f[1]+f[1]=3*(m+1) (4) 3个石礅s1,s2,s3, (1)A上3(m+1)只青蛙s1,s2 (2) A上m+1只青蛙 s2 , (3)s1,s2上的3(m+1)青蛙 s2 (4) A上3(m+1)只青蛙s1,s2 因此，f[3]=m+1+2*f[2]=7*(m+1) …… (5) n个石礅? (1)A上f(n-1)只青蛙s1…sn-1 (2) A上m+1只青蛙 sn (3)s1…sn-1上的f(n-1)只青蛙sn (4) A上f(n-1)只青蛙s1…sn-1 因此， f[n]=m+1+2*f[n-1]
分析
设数组A[i]表示第i月新增的成虫个数。 由于新成虫每过x个月产y对卵，则可对每个A[i]作如下
算法总结之递推与递归
算法总结之递推与递归递推算法递归算法⼤致包括两⽅⾯的内容：1）递归起点； 2）递归关系递推起点递归起点⼀般由题⽬或者实际情况确定，不由递归关系推出。
如果⽆法确定递归起点，那么递归算法就⽆法实现。
可见，递归起点是递归算法中的重要⼀笔。
递推关系递归关系是递归算法的核⼼。
常见的递归关系有以下⼏项：1）⼀阶递推；2）多阶递推；3）间接递推；4）逆向递推；5）多维递推。
下⾯通过栗⼦来详细介绍⼀下上述类别的递推关系。
1. ⼀阶递推在计算f(i)时，只⽤到前⾯项中的⼀项，如等差数列。
公差为3的等差数列，其递推关系为：f(i)=f(i-1)+3eg. 平⾯上10条直线最多能把平⾯分成⼏部分？分析：以直线数⽬为递推变量，假定i条直线把平⾯最多分成f(i)部分，则f(i-1)表⽰i-1条直线把平⾯分成的最多部分。
在i-1条直线的平⾯上增加直线i，易得i与平⾯上已经存在了的i-1条直线最多各有⼀个交点，即直线i最多被分成i段，⽽这i段将会依次将平⾯⼀分为⼆，即直线i将最多使平⾯多增加i部分。
所以，递推关系可表⽰为：f(i)=f(i-1)+i易得当0条直线时，平⾯为1部分。
所以f(0)=1为递推起点。
上述分析可⽤下⾯代码表⽰（c++）：#define MAX 100int f[MAX] //存放f（i）int lines(int n){//输⼊n为直线数⽬//输出最多部分数int i;f(0)=1;for(i=1;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]+3;}return f[i];}2. 多阶递推在计算f(i)时，要⽤到前⾯计算过的多项，如Fibonacci数列。
eg.求Fibonacci的第10项。
分析：总所周知，Fibonacci数列中的第n项等于第n-1项加上n-2项。
所以递推关系为f(i)=f(i-1)+f(i-2);且f[0]=f[1]=1。
C++代码如下：#define MAX 100int f[MAX];int fib(int n){//输⼊n为项数//输出第n个fib数int i;f[0]=0;f[1]=1;for(i=2;i<=n;i++){f[i]=f[i-1]+f[i-2];}return f[n]}3. 间接递推在计算f[i]时需要中间量，⽽计算中间量要⽤到之前计算过的项。
递推法
递推计算方法和应用数学中有不少算法属递推算法。
递推算法就是在一个循环体内随着循环控制变量的变化，逐一通过前面的k 个已知的或已算出的值计算当前待算的值的算法，所用的算式称为递推计算公式。
递推算法分为一维递推算法、二维递推算法和广义递推算法三类。
注意广义递推算法不用了解，一维递推算法又分单步算法和多步算法。
同类递推算法对应相同的基本程度模块，可以作为一个基本类型。
算式给出后程序就能给出，程序和算式有映射关系。
一维递推算法一维递推算法分为单步算法和多步算法。
所谓单步算法是指能用下面的公式表示的算法上式称为一维递推单步算式，00a x =为表头值。
它所对应的程序模块为x[0]:=a;for i=1 to n dox[i]:=f(x[i-1])多步法是指能用下面的公式表示的算法上式表示的算式称为一维递推多步算式，该算法称为一维多步（K 步）算法，1,1,0...-k x x x 的值称为表头值。
它所对应的程序模块为：for i:=0 to k-1 dox[i]:=a[i];for i:=k to n dox[i]:=f(x[i-k],x[i-k+1],…x[i -1]];这里要强调的是，为了使算式和程序之间有一对一的映射关系，应尽量使用数组元素，这也是称为一维递推算法的原因例1计算菲波拉契数列的前21项公式为程序为program p24;varf:array[0..21] of integer;i:integer;beginf[0]:=0;f[1]:=1;for i:=2 to 21 dof[i]:=f[i-1]+f[i-2];for i:=0 to 21 dowrite(f[i],' ');end.该程序和算法的特色为：1. 程序和数学公式有一对一的关系，编程难度低；2. 数组元素的序号本身具有时间顺序特征，程序中不出现数据传递；3. 程序由输入、计算和输出三部分组成，每个程序段都具有明确的单一功能，结构规范 程序中增加一个一维数组并不会发生内存溢出，但却能方便程序设计例2 小数十翻二。
Fibonacci数列(c语言算法题目含答案)
s3 = s1 + s2;
if (s3 > 10007)
s3 -= 10007;
Байду номын сангаас s1 = s2;
s2 = s3;
}
return s3;
}
int main()
{
int n;
scanf("%d", &n);
printf("%d", F(n));
return 0;
}
问题描述
Fibonacci数列的递推公式为：Fn=Fn-1+Fn-2，其中F1=F2=1。
当n比较大时，Fn也非常大，现在我们想知道，Fn除以10007的余数是多少。
输入格式
输入包含一个整数n。
输出格式
输出一行，包含一个整数，表示Fn除以10007的余数。
说明：在本题中，答案是要求Fn除以10007的余数，因此我们只要能算出这个余数即可，而不需要先计算出Fn的准确值，再将计算的结果除以10007取余数，直接计算余数往往比先算出原数再取余简单。
样例输入
10
样例输出
55
样例输入
22
样例输出
7704
数据规模与约定
1 <= n <= 1,000,000。
答案
#include <stdio.h>
int F(int n)
{
int i, s1 = 1, s2 = 1, s3 = 1;
for (i = 3; i <= n; i++)
C语言迭代法详细讲解
迭代法迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程,跟迭代法相对应的是直接法（或者称为一次解法），即一次性解决问题。
迭代法又分为精确迭代和近似迭代。
“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法。
迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法。
它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值。
利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作：一、确定迭代变量。
在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量。
二、建立迭代关系式。
所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式（或关系）。
迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成。
三、对迭代过程进行控制。
在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题。
不能让迭代过程无休止地重复执行下去。
迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来；另一种是所需的迭代次数无法确定。
对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制；对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件。
例 1 ：一个饲养场引进一只刚出生的新品种兔子，这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子，新生的兔子也如此繁殖。
如果所有的兔子都不死去，问到第12 个月时，该饲养场共有兔子多少只？分析：这是一个典型的递推问题。
我们不妨假设第 1 个月时兔子的只数为u 1 ，第 2 个月时兔子的只数为u 2 ，第 3 个月时兔子的只数为u 3 ，……根据题意，“这种兔子从出生的下一个月开始，每月新生一只兔子”，则有u 1 ＝ 1 ，u 2 ＝u 1 ＋u 1 × 1 ＝ 2 ，u 3 ＝u 2 ＋u 2 × 1 ＝4 ，……根据这个规律，可以归纳出下面的递推公式：u n ＝u n － 1 × 2 (n ≥ 2)对应u n 和u n － 1 ，定义两个迭代变量y 和x ，可将上面的递推公式转换成如下迭代关系：y=x*2x=y让计算机对这个迭代关系重复执行11 次，就可以算出第12 个月时的兔子数。
第二讲 递归与递推
江 苏 省 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 夏 令 营 C 层 次 教 学
例5、由m个A，n个B组成若干个排列。从某个排列 的位置1开始数，数到任意位置时都能保证A的个数 不少于B的个数，则称该排列为合理排列。例如： 当m=2，n=2时排列有 A A B B(合理) A B A B(合 理)A B B A(不合理) B B A A(不合理) 合理排列数有2 种 输入：只有一行两个整数m,n（1≤n≤m≤12）（用 空格分隔） 输出：一个整数（所有的合理排列数） 【样例】 输入 输出 32 5
递归过程例析
先以三个盘的移动为例，看一下移动过程。
江 苏 省 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 夏 令 营 C 层 次 教 学
2008年冬令营
递归过程例析
分析 1、当n=1时，只需要移动一次A---C； 2、当n=2时，需要移动三次； A---1---B； A---2---C； B---1---C； 3、当n>=3时，先将前n-1个盘子以C为 中介移到B柱子；再将第n个盘子移到 C柱子；最后将n-1个盘子以A为中介 从B柱移到C柱。
递归关系式——如何求？ 运用函数的前驱值来计算函数当前值的关系式
江 苏 省 青 少 年 信 息 学 奥 林 匹 克 夏 令 营 C 层 次 教 学
2008年冬令营
递归
例3、用递归方法求两个正整数m和n的最大公 约数。
分析：求两个数的最大公约数可以用辗转 相除法，即求m与n的最大公约数等价于求（m mod n）的值与n的最大公约数，此时的n可以当 作新的m ，而（m mod n）的值当作新的n ，所 以原问题的求解又变成求新的m与n的最大公约 数问题，继续下去，直至(m mod n)为0，最大 公约数就是最终存放在n中的值。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { int f[1001][2],n,i,x; cin>>n; f[1][1]=1;f[1][0]=9; for(i=2;i<=n;i++) { x=f[1][0]; if(i==n)x--; f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; } cout<<f[n][0]; return 0; }
下面是输入n，输出x1~xn的c++程序： #include<iostream> using namespace std; int main() { int n,i,j,a[101]; cout<<"input n:"; //输入骨牌数 cin>>n; a[1]=1;a[2]=2; cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl; cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl; for (i=3;i<=n;i++) //递推过程 { a[i]=a[i-1]+a[i-2]; cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl; } } 下面是运行程序输入 n=30，输出的结果： input n: 30 x[1]=1 x[2]=2 x[3]=3 ........ x[29]=832040 x[30]=1346269
c++递推算法详解
有2行n列的长方形方格，要求用n个1*2的骨牌铺满。有多少种铺法？ 如n=3时有以下3种覆盖方法：
方法一
状态：f[i]表示铺满2*i的长方形的方案数 找规律,手工或搜索求出i=1,2,3,4,5的方案数分别为1，2，3，5，8,容易发现 f[i]=f[i-1]+f[i-2](i>=3) 边界条件：f[1]=1,f[2]=2 递推关系式 1 i=1 f[i]= 2 i=2 f[i-1]+f[i-2] i>=3 答案为f[n]，时间复杂度为O(n)。
方法一
根据二项式定理可知： (ax+by)k= = 取i=n,xnym的系数为 其中an和bm可以用快速幂来计算，在lg(n)+lg(m)内完成。 计算 可以用递推来求解。 状态：f[i,j]表示从i个数中选j个数的方案数。f[k,n]就是答案。 根据第i数选还是不选来进行分析： 1.选择第i个数：此情况的方案数等价于从i-1个数中选择j-1个数的方案数即f[i-1,j-1]; 2.不选第i个数：此情况的方案数等价于从i-1个数中选择j个数的方案数即f[i-1,j] 所以f[i,j]=f[i-1,j-1]+f[i-1,j] 边界条件：f[i,0]=1,f[i,i]=1。 计
【问题描述】 栈是常用的一种数据结构，有n个元素在栈顶端一侧等待进栈，栈顶端另一侧是出栈序列。你已经知道栈的操作有两种：push和pop，前者是将一个元素进栈，后者是将栈顶元素弹出。现在要使用这两种操作，由一个操作序列可以得到一系列的输出序列。请你编程求出对于给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n，经过一系列操作可能得到的输出序列总数。 【输入】 【输出】 就一个数n(1≤n≤1000)。 一个数，即可能输出序列的总数目。 【样例】 stack.in stack.out 3 5
基本算法2-递推法实例
一般地，设原来的符合题意的n-1条直线把这平面分成 个区域，再增加一条直线l，就变成n条直线，按题设条 件，这l必须与原有的n-1条直线各有一个交点, 且这n-1个交点 及原有的交点互不重合。这n-1个交点把l划分成n个区间，每 个区间把所在的原来区域一分为二，所以就相应比原来另增 了n个区域，即：
const max=100; var
f1,f2,s:array[1..max] of longint; i,j,k,l,n:longint; begin readln(n); f1[max]:=0 ; f1[max-1]:=1; {F0=10} for i:= 1 to n do
begin f2:=f1; k:=0; { ×7 } for j:= max downto 1 do begin k:=k+f1[j]*7; f1[j]:=k mod 10; k:=k div 10; end;
end.
var a,b:array[1..100] of longint; i,j,n:longint;
begin readln(n); a[100]:=4 ; b[100]:=1; for i:= 2 to n do begin for j:= 100 downto 1 do b[j]:=b[j]*2; for j:= 100 downto 2 do if b[j]>=10 then begin b[j-1]:=b[j-1]+b[j] div 10 ; b[j]:=b[j] mod 10; end; for j:= 100 downto 1 do begin a[j]:=a[j]+b[j]; if a[j]>=10 then begin a[j-1]:=a[j-1]+a[j] div 10 ; a[j]:=a[j] mod 10; end; end; end; j:=1; while a[j]=0 do j:=j+1; for i:= j to 100 do write(a[i]) ;
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
【例6】过河卒（Noip2002） 【问题描述】 棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向 下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如C点），该马 所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图3-1中的C点 和P1，„„，P8，卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点 (0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给 出的，C≠A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
min{m , n}1 i 0
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【例3】棋盘格数
设有一个N*M方格的棋盘（ l≤ N≤100，1≤M≤100）。求出该棋盘中包含有多少 个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。 例如：当 N=2， M＝3时： 正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。 长方形的个数有10个：即2*1的长方形有4个：1*2的长方形有3个：3*1的长 方形有2个：3*2的长方形有1个： 程序要求：输入：N，M 输出：正方形的个数与长方形的个数 如上例：输入：2 3 输出：8 10 【算法分析】 1.计算正方形的个数s1 边长为1的正方形个数为n*m 边长为2的正方形个数为(n-1)*(m-1) 边长为3的正方形个数为(n-2)*(m-2) ………… 边长为min{n，m}的正方形个数为(m-min{n，m}+1)*(n-min{n，m}+1) 根据加法原理得出
几种最小二乘法递推算法的小结
递推最小二乘法的一般步骤：1. 根据输入输出序列列出最小二乘法估计的观测矩阵ϕ：] )(u ... )1( )( ... )1([)(T b q n k k u n k y k y k ------=ϕ没有给出输出序列的还要先算出输出序列。
本例中， 2)]-u(k 1),-u(k 2),-1),-y(k -[-y(k )(T =k ϕ。
2. 给辨识参数θ和协方差阵P 赋初值。
一般取0θ=0或者极小的数，取σσ,20I P =特别大，本例中取σ=100。
3. 按照下式计算增益矩阵G ：)()1()(1)()1()(k k P k k k P k G T ϕϕϕ-+-= 4. 按照下式计算要辨识的参数θ：)]1(ˆ)()()[()1(ˆ)(ˆ--+-=k k k y k G k k T θϕθθ5. 按照下式计算新的协方差阵P ：)1()()()1()(---=k P k k G k P k P T ϕ6. 计算辨识参数的相对变化量，看是否满足停机准则。
如满足，则不再递推；如不满足，则从第三步开始进行下一次地推，直至满足要求为止。
停机准则：εϑϑϑ<--)(ˆ)1(ˆ)(ˆmax k k k i i i i 本例中由于递推次数只有三十次，故不需要停机准则。
7. 分离参数：将a 1….a na b 1….b nb 从辨识参数θ中分离出来。
8. 画出被辨识参数θ的各次递推估计值图形。
为了说明噪声对递推最小二乘法结果的影响，程序5-7-2在计算模拟观测值时不加噪声， 辨识结果为a1 =1.6417，a2 = 0.7148，b1 = 0.3900，b2 =0.3499，与真实值a1 =1.642， a2 = 0.715， b1 = 0.3900，b2 =0.35相差无几。
程序5-7-2-1在计算模拟观测值时加入了均值为0，方差为0.1的白噪声序列，由于噪声的影响，此时的结果为变值，但变化范围较小，现任取一组结果作为辨识结果。
数据结构-使用C语言 朱战立 第6章递归
6.7设计举例
6.7.1 一般递归算法设计举例
例6-5 设计一个输出如下形式数值的递归算法。 n n n ... n
...... 3 2 1 3 2 3
18
问题分析：该问题可以看成由两部分组成：一部分是输出一 行值为n的数值；另一部分是原问题的子问题，其参数为n-1。 当参数减到0时不再输出任何数据值，因此递归的出口是当参 数n≤0时空语句返回。
（ 3 ）分析当调用语句为 Gcd(97, 5) 时算法的 执行过程和执行结果；
（4）编写求解该问题的循环结构算法。
23
解：
递归算法如下： int Gcd(int n, int m) { if(n < 0 || m < 0) exit(0); if(m == 0) return n; else if(m > n) return Gcd(m, n); else return Gcd(m, n % m); }
7
递归算法如下：
int BSearch(int a[], int x, int low, int high) { int mid; if(low > high) return -1; mid = (low + high) / 2; if(x == a[mid]) return mid; else if(x < a[mid]) return BSearch(a, x, low, mid-1); /*在下半区查找*/ else return BSearch(a, x, mid+1, high); } /*在上半区查找*/ /*查找成功*/ /*查找不成功*/
Move Disk 2 from Peg A to Peg C
Move Disk 1 from Peg B to Peg C
递推算法解析集锦
递推算法集锦一、编写程序求50以内的勾股弦数。
即满足c*c=b*b+a*a的三个自然数，要求b>a。
将所有符合要求的a,b,c组合输出至屏幕。
解答：采用穷举算法，在主函数中实现。
#include<iostream>using namespace std;int main(){int a,b,c,count=0;cout<<"勾股弦数有："<<endl;for(c=5;c<=50;c++) //产生50以内的数for(b=4;b<c;b++)for(a=3;a<b;a++){if(c*c==b*b+a*a){cout<<c<<','<<b<<','<<a<<"\t\t"<<c*c<<'='<<b*b+a*a<<endl;count++;if(count%10==0) cout<<endl;}}cout<<"共计："<<count<<"个。
"<<endl;return 0;}二、设计函数factors(num,k)，返回整数m中包含因子k的个数，如果没有该因子，则返回0。
（提示：必须先判断整数m能否被k整除。
）解法一：迭代法#include<iostream.h>int factors(int num,int k){ //缺省返回值为整型int count=0;while(num%k==0){count++;num/=k;}return count;}void main(){cout<<"factors(1875,5)="<<factors(1875,5)<<endl;cout<<"factors(64,3)="<<factors(64,3)<<endl;}解法二：递归函数，传值调用# include<iostream.h># include<iomanip.h>int factors(int m,int k,int num){if(m%k!=0){num=0; return num;}if(m%k==0)num=1;num+=factors(m/k,k,num);return num;}void main(){int m,k,num=0;cout<<"\n请输入一个整数和一个因子：";cin>>m>>k;cout<<'\n'<<m<<"的因子数目为：";cout<<factors(m,k,num)<<'\n';cout<<endl;}解法三：递归函数，使用引用参数#include<iostream.h>void factors(int m,int k,int &num){if(m%k!=0) return ;if(m%k==0)num++;factors(m/k,k,num);return ;}void main(){int m,k,num=0;cout<<"\n请输入一个整数和一个因子：";cin>>m>>k;cout<<'\n'<<m<<"的因子数目为：";factors(m,k,num);cout<<num<<endl;}三、歌德巴赫猜想指出：任何一个充分大的偶数都可以表示为两个素数之和。
递归与递推——精选推荐
递归与递推递推递归递归：从已知问题的结果出发，⽤迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为递归。
递推：从已知道的若⼲项出发，利⽤递推关系依次推算出后⾯的未知项的⽅法，我们称为递推算法。
递推与递归不同：递归是从未知到已知逐步接近解决问题的过程，⽽递推从已知到未知。
递推算法是⼀种⽤若⼲步可重复运算来描述复杂问题的⽅法。
递推是序列计算中的⼀种常⽤算法。
通常是通过计算前⾯的⼀些项来得出序列中的指定项的值。
递推的关系式可以暴枚找规律，也可以化繁为简，例如铺砖问题，最后⼀列砖铺与不铺，以及最后两列砖铺与不铺的情况相加即可求出关系式。
⽽关于递归，就是函数中再次调取函数，从⽽使困难的问题化为“1+1”类型简单的问题，得出结果再还原，操作过程类似于“U”型。
递归的重点是找到递归关系和递归出⼝。
……（概念太多，直接摆题）经典例题统计奇数和偶数个3内存限制：128 MiB时间限制：1000 ms标准输⼊输出题⽬类型：传统评测⽅式：⽂本⽐较题⽬描述在所有的N位正整数中，有多少个数中有偶数个数字3？⼜有多少个数有奇数个3？由于结果可能很⼤，你只需要输出这个答案对12345取余的值。
输⼊格式输⼊⼀个数N(1<=N<=1000)，输⼊形式为⽂件输⼊，以读到0或⽂件末尾结束。
输出格式对于每⼀个N位正整数，输出有多少偶数个3以及多少奇数个3，中间⽤空格隔开。
样例样例输⼊2样例输出73 17数据范围与提⽰分别找出奇数偶数的递推式样例说明：在所有的2位数字，包含0个3的数有72个，包含2个3的数有1个，共73个对于⼀位数，除3外，其他全为含有偶数个三（数组元素初始化），紧接着，对于两位数，13，23，30~39（除33外）【这⾥有9个数，也可以进⾏思考】，43，53，63，73，83，93含有奇数个三，再看三位数（差不多就可以找到规律……）。
声明：a数组存储含奇数个三的个数，b数组⽤于存储偶数i的数值 1 2 3 ……a[i] 1 17 674 ……b[i] 8 73 226 ……So,a[i]=(b[i-1]+a[i-1]*9)%12345,b[i]=(a[i-1]+b[i-1]*9)%12345;#include<cstdio>using namespace std;int main(){int n,a[10005],b[10005];a[1]=1,b[1]=8;for(int i=2;i<=1001;i++){a[i]=(b[i-1]+a[i-1]*9)%12345;b[i]=(a[i-1]+b[i-1]*9)%12345;}while(scanf("%d",&n)!=EOF){if(n==0)return 0;printf("%d %d\n",b[n],a[n]);}return 0;}Hanoi塔内存限制：128 MiB时间限制：1000 ms标准输⼊输出题⽬类型：传统评测⽅式：⽂本⽐较题⽬描述问题的提出：Hanoi塔由n个⼤⼩不同的圆盘和三根⽊柱a,b,c组成。
第4章 递归算法(C++版)
【例3】Hanoi汉诺塔问题
有N个圆盘，依半径大小（半径都不同），自下而上套在A柱上，每次只允 许移动最上面一个盘子到另外的柱子上去（除A柱外，还有B柱和C柱，开始时这 两个柱子上无盘子），但绝不允许发生柱子上出现大盘子在上，小盘子在下的情 况，现要求设计将A柱子上N个盘子搬移到C柱去的方法。 【算法分析】 本题是典型的递归程序设计题。 (1)当N=1 时，只有一个盘子，只需要移动一次:A—>C; (2)当N=2时，则需要移动三次： A------ 1 ------> B, A ------ 2 ------> C, B ------ 1------> C. (3)如果N=3，则具体移动步骤为：
【参考程序】 #include<iostream> #include<cstdlib> using namespace std; int a[11]; void search(int,int,int); int main() //主程序 { int k,x,L=1,R=10; cout<<"输入10个从大到小顺序的数："<<endl; for (k=1;k<=10;k++) cin>>a[k]; cin>>x; search(x,L,R); system("pause"); } void search(int x,int top,int bot) //二分查找递归过程 { int mid; if (top<=bot) { mid=(top+bot)/2; //求中间数的位置
假设把第3步，第4步，第7步抽出来就相当于N=2的情况（把上面2片 捆在一起，视为一片）：
(完整版)C程序常用算法
一、基本算法1．交换(两量交换借助第三者）例1、任意读入两个整数，将二者的值交换后输出.main（）{int a，b,t；scanf（"%d％d"，＆a,&b）;printf(”％d,％d\n”,a,b)；t=a; a=b; b=t；printf（"％d，%d\n"，a,b）;｝【解析】程序中加粗部分为算法的核心，如同交换两个杯子里的饮料，必须借助第三个空杯子。
假设输入的值分别为3、7,则第一行输出为3，7；第二行输出为7，3。
其中t为中间变量，起到“空杯子”的作用。
注意：三句赋值语句赋值号左右的各量之间的关系！【应用】例2、任意读入三个整数，然后按从小到大的顺序输出.main()｛int a，b，c，t;scanf（”%d%d％d”，＆a,＆b，＆c）;/*以下两个if语句使得a中存放的数最小*/if（a>b）｛t=a; a=b； b=t；}if(a〉c){ t=a； a=c; c=t;｝/＊以下if语句使得b中存放的数次小＊/if（b〉c) { t=b; b=c; c=t; }printf（”％d,%d,％d\n”,a，b，c)；}2．累加累加算法的要领是形如“s=s+A”的累加式，此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累加功能。
“A”通常是有规律变化的表达式，s在进入循环前必须获得合适的初值,通常为0。
例1、求1+2+3+……+100的和。
main（){int i,s；s=0； i=1;while（i<=100)｛s=s+i； /*累加式＊/i=i+1； /＊特殊的累加式＊/｝printf（”1+2+3+...+100=%d\n”，s）;}【解析】程序中加粗部分为累加式的典型形式，赋值号左右都出现的变量称为累加器，其中“i = i + 1”为特殊的累加式,每次累加的值为1，这样的累加器又称为计数器。
3．累乘累乘算法的要领是形如“s=s＊A"的累乘式,此式必须出现在循环中才能被反复执行，从而实现累乘功能。
第6章 递归(C++版)
• 例6.18 用递归方法求两个数m和n的最大公约数。(m>0，n>0) 【分析】求两个数的最大公约数，可以用枚举因子的方法，从两者中 较小的数枚举到能被两个数同时整除且是最大的约数的方法；也可以 用辗转相除法，这里采用递归实现辗转相除算法： ①求m除以n的余数; ②如果余数不为0，则让m=n，n=余数，重复步骤①，即调用子程序; ③如果余数为0，则终止调用子程序; ④输出此时的n值。
2．函数的调用 声明了函数原型之后，便可以按如下形式调用函数： 函数名（实参列表） 例如语句sum+=js(i); 实参列表中应给出与函数原型形参个数相同、类型相 符的实参。在主调函数中的参数称为实参，实参一般应具 有确定的值。实参可以是常量、表达式，也可以是已有确 定值的变量，数组或指针名。函数调用可以作为一条语句 ，这时函数可以没有返回值。函数调用也可以出现在表达 式中，这时就必须有一个明确的返回值。
它的执行流程如下图所示：
采用有参函数编写程序如下： #include<iostream> using namespace std; int fac(int ); int main() { int x; cin>>x; cout<<x<<"!="<<fac(x)<<endl; //主程序调用fac(x) 求x ! return 0; } int fac(int n) //函数fac(n) 求n ! { return n==0 ? 1 : n*fac(n-1); //调用函数fac(n-1)递归求(n-1) ! } 【说明】： 这里出现了一个小东西，三元运算符“?:”。a?b:c的含义是：如果 a为真，则表达式的值是b，否则是c。所以n==0 ? 1 : n*fac(n-1)很好地 表达了刚才的递归定义。
c语言求组合数递推法
c语言求组合数递推法是一种通过已知的几个起始值，然后通过一定的规则逐步推导出其他值的方法。
在计算组合数时，我们可以使用如下递推公式：
C(n, k) = C(n-1, k-1) + C(n-1, k)
其中，C(n, k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
下面是一个使用C语言实现组合数递推法的示例代码：
在上面的代码中，我们定义了一个combination函数，用于计算组合数。
该函数采用递归的方式实现，如果k等于0或等于n，则返回1，否则调用自身计算C(n-1, k-1)和C(n-1, k)的和。
在main函数中，我们调用combination函数计算组合数，并输出结果。
需要注意的是，递推法虽然简单易懂，但是当n和k较大时，递归的深度会非常大，可能会导致栈溢出等问题。
因此，在实际应用中，可以考虑使用其他算法，如动态规划等来计算组合数。
掌握三种方法求1到100的累加和
①掌握三种方法求1到100的累加和。
文件名为ex3-1.c，内容如下：# include <stdio.h>main(){ int sum=0,i=1;while(i<=100)sum+=i++; // 等价于：{ sum=sum+i; i++; }printf("sum is %d\n",sum);}文件名为ex3-2.c，内容如下：# include <stdio.h>main(){ int sum=0,i=1;dosum+=i++;while(i<=100);printf("sum is %d\n",sum);}文件名为ex3-3.c，内容如下：# include <stdio.h>main(){ int sum=0,i;for(i=1;i<=100;i++)sum+=i;printf("sum is %d\n",sum);}②程序二，程序文件名为ex3-4.c。
（掌握递推算法（求 值））# include <stdio.h># include <math.h>void main(){ int s=1;float n=1,t=1,pi=0;while(fabs(t)>1e-6) //当前项实数t的绝对值大于1*10-6则执行循环体{ pi=pi+t; //累加当前项n=n+2; //推算下一项的分母s=-s; //推算下一项的符号t=s/n; //计算下一项的值}pi=pi*4;printf("pi= %f\n",pi);}③程序三，程序文件名为ex3-5.c。
（掌握迭代算法（处理fibonacci数列前40项））# include <stdio.h>void main(){ long f1=1,f2=1;int i;for(i=1;i<=20;i++){ printf("%12ld %12ld",f1,f2); //输出当前的两项if(i%2==0) //循环2次后输出回车换行，即一行输出4个数printf("\n");f1=f1+f2; //推算之后的第一项f2=f1+f2; //推算之后的第二项}}④程序四，程序文件名为ex3-6.c 。
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【例3】棋盘格数
设有一个N*M方格的棋盘（ l≤ N≤100，1≤M≤100）。求出该棋盘中包含有多少 个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。 例如：当 N=2， M＝3时： 正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。 长方形的个数有10个：即2*1的长方形有4个：1*2的长方形有3个：3*1的长 方形有2个：3*2的长方形有1个： 程序要求：输入：N，M 输出：正方形的个数与长方形的个数 如上例：输入：2 3 输出：8 10 【算法分析】 1.计算正方形的个数s1 边长为1的正方形个数为n*m 边长为2的正方形个数为(n-1)*(m-1) 边长为3的正方形个数为(n-2)*(m-2) ………… 边长为min{n，m}的正方形个数为(m-min{n，m}+1)*(n-min{n，m}+1) 根据加法原理得出
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { long long a[101]={0},b[101]={0},i,j,x,y,z; cin>>x>>y>>z; for(i=1;i<=x;i++){a[i]=1;b[i]=0;} for(i=x+1;i<=z+1;i++) //因为要统计到第z个月后，所以要for到z+1 { b[i]=y*a[i-x]; a[i]=a[i-1]+b[i-2]; } cout<<a[z+1]<<endl; return 0; }
【例6】过河卒（Noip2002） 【问题描述】 棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向 下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如C点），该马 所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图3-1中的C点 和P1，„„，P8，卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点 (0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给 出的，C≠A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
（4）当n=3时：骨牌可以全部竖排，也可以认为在方格中已经有一个竖排 骨牌，则需要在方格中排列两个横排骨牌（无重复方法），若已经在方格中排 列两个横排骨牌，则必须在方格中排列一个竖排骨牌。如上右图，再无其他排 列方法，因此铺法总数表示为x3=3。 由此可以看出，当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的 和。 （5）推出一般规律：对一般的n，要求xn可以这样来考虑，若第一个骨牌是 竖排列放置，剩下有n-1个骨牌需要排列，这时排列方法数为xn-1；若第一个骨 牌是横排列，整个方格至少有2个骨牌是横排列（1*2骨牌），因此剩下n-2个 骨牌需要排列，这是骨牌排列方法数为xn-2。从第一骨牌排列方法考虑，只有 这两种可能，所以有： xn=xn-1+xn-2 （n>2） x1=1 x2=2 xn=xn-1+xn-2就是问题求解的递推公式。任给n都可以从中获得解答。例如n=5， x3=x2+x1=3 x4=x3+x2=5 x5=x4+x3=8
min{m , n}1 i 0
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【例2】 有 2χn的一个长方形方格，用一个1*2的骨牌铺满方格。
编写一个程序，试对给出的任意一个n(n>0), 输出铺法总数。 【算法分析】 （1）面对上述问题，如果思考方法不恰当，要想获得问题的解 答是相当困难的。可以用递推方法归纳出问题解的一般规律。 （2）当n=1时，只能是一种铺法，铺法总数有示为x1=1。 （3）当n=2时：骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再 无其他方法，如下左图所示，因此，铺法总数表示为x2=2；
【例5】位数问题 【问题描述】 在所有的N位数中，有多少个数中有偶数个数字3？由于结果可能很大， 你只需要输出这个答案对12345取余的值。 【输入格式】 读入一个数N 【输出格式】 输出有多少个数中有偶数个数字3。 【输入样例】 2 【输出样例】 73 【数据规模】 1<=N<=1000 【样例说明】 在所有的2位数字，包含0个3的数有72个，包含2个3的数有1个，共73 个
【算法分析】 跳马是一道老得不能再老的题目，我想每位编程初学者都学过，可能是 在学回溯或搜索等算法的时候，很多书上也有类似的题目，一些比赛中也 出现过这一问题的变形（如NOIP1997初中组的第三题）。有些同学一看 到这条题目就去搜索，即使你编程调试全通过了，运行时你也会发现：当 n,m=15就会超时。 其实，本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的一个点，只能从左边过 来（我们称之为左点）或是从上面过来（我们称之为上点），所以根据加 法原理，到达某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左点的路径 数目之和，因此我们可以使用逐列（或逐行）递推的方法来求出从起点到 终点的路径数目。障碍点（马的控制点）也完全适用，只要将到达该点的 路径数目设置为0即可。 用F[i][j]表示到达点(i,j)的路径数目，g[i][j]表示点(i, j)有无障碍，g[i][j]=0 表示无障碍，g[i][j]=1表示有障碍。 则，递推关系式如下： F[i][j] = F[i-1][j] + F[i][j-1] //i>0且j>0且g[i][j]= 0 递推边界有4个： F[i][j] = 0 //g[i][j] = 1 F[i][0] = F[i-1][0] //i > 0且g[i][j] = 0 F[0][j] = F[0][j-1] //j > 0且g[i][j] = 0 F[0][0] = 1 考虑到最大情况下：n=20,m=20，路径条数可能会超过231-1,所以要用 高精度。
【例1】数字三角形。如下所示为一个数字三角形。请编一个程序计算从顶到 底的某处的一条路径，使该路径所经过的数字总和最大。只要求输出总和。 1、 一步可沿左斜线向下或右斜线向下走； 2、 三角形行数小于等于100； 3、 三角形中的数字为0，1，…，99； 测试数据通过键盘逐行输入，如上例数据应以如下所示格式输入： 5 7 38 810 2744 45265 【算法分析】 此题解法有多种，从递推的思想出发，设想，当从顶层沿某条路径走到第i 层向第i+1层前进时，我们的选择一定是沿其下两条可行路径中最大数字的方向 前进，为此，我们可以采用倒推的手法，设a[i][j]存放从i,j 出发到达n层的最大 值，则a[i][j]=max{a[i][j]+a[i+1][j]，a[i][j]+a[i+1][j+1]}，a[1][1] 即为所求的数字总 和的最大值。
【算法分析】 方法一：排列组合(但需要运用动态规划)。 可以列出公式,在n个格子中放x个3(其中x为偶数,包括0).。 c(n,x)*9^(n-x)-c(n-1,x)*9^(n-x-1) 含义为在n个格子中取x个3,且不考虑第 一位的特殊情况为c(n,x)*9^(n-x)。 而第一位为0的情况,为c(n-1,x)*9^(n-x-1),两者减下,就为答案。 方法二：递推 考虑这种题目,一般来说都是从第i-1位推导第i位,且当前位是取偶数还是 取奇数的。 恍然大悟.可以用f[i][0]表示前i位取偶数个3有几种情况,f[i][1]表示前i位取 奇数个3有几种情况。 则状态转移方程可以表示为: f[i][0]=f[i-1][0]*9+f[i-1][1];f[i][1]=f[i-1][0]+f[i-1][1]*9; 边界条件:f[1][1]=1;f[1][0]=9;
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { int f[1001][2],n,i,x; cin>>n; f[1][1]=1;f[1][0]=9; for(i=2;i<=n;i++) { x=f[1][0]; if(i==n)x--; f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; } cout<<f[n][0]; return 0; }
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { int n,i,j,a[101][101]; cin>>n; for (i=1;i<=n;i++) for (j=1;j<=i;j++) cin>>a[i][j]; //输入数字三角形的值 for (i=n-1;i>=1;i--) for (j=1;j<=i;j++) { if (a[i+1][j]>=a[i+1][j+1]) a[i][j]+=a[i+1][j]; //路径选择 else a[i][j]+=a[i+1][j+1]; } cout<<a[1][1]<<endl; }
第三章 递推算法
递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都 有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。 这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知 条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算 时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式）， 那么，从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。无 论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。这种处理问题的 方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出 计算机擅长于重复处理的特点。 递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即 递推关系）。递推算法避开了求通项公式的麻烦，把一个复 杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。一般说 来，可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。