递推算法分析

for(k=4;k<=n;k++)
f[k]=f[k-1]+f[k-3];
printf("%d",f[n]);
3.2 水手分椰子


案例提出
五个水手来到一个岛上，采了一堆椰子。一段时间后， 第一个水手醒来，悄悄地将椰子等分成五份，多出一个椰 子，便给了旁边的猴子，然后自己藏起一份，再将剩下的 椰子重新合在一起。不久，第二名水手醒来，同样将椰子 等分成五份，恰好也多出一个，也给了猴子。然后自己也 藏起一份，再将剩下的椰子重新合在一起。以后每个水手 都如此分了一次并都藏起一份，也恰好都把多出的一个给 了猴子。第二天，五个水手醒来，把剩下的椰子分成五份， 恰好又多出一个，给了猴子。 问原来这堆椰子至少有多少个?
4. 递推算法框架描述
（ 1 ）
简单顺推算法 顺推即从前往后推，从已求得的规模为 1,2,…,i-1的一系列解，推出问题规模为i的解， 直至得到规模为n的解：
f(1—i-1)=<初始值>； for(k=i;k<=n;k++)
// 确定初始值

f(k)=<递推关系式>； // 根据递推关系实施顺推
习题3: 1, 2, 3, 5, 6, 7
第3章上机
（1） 上机通过本章递推序列、幂序列、水手 分椰子与猴子爬山等案例； （2） 上机通过习题 3-5, 3-6, 3-7; （3） 上机通过习题 3-9, 比较递推与迭代所 得结果。
1、输出斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、…… 的前n项。 （ 每行输出10个数）
2、求斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、…… 的前n项的和。
例2：求n！。
算法描述： int fact(int n) { int i,s=1; for(i=1;i<=n;i++) s=s*i; return s; }
3. 递推的实施步骤
（1）确定递推变量
递推变量可以是简单变量，也可以是一维或多维数组。 （2）建立递推关系 递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键。 （3）确定初始（边界）条件 根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始（边界） 值，这是递推的基础。 （4）对递推过程进行控制 递推过程控制：递推在什么时候结束，满足什么条件结束。
（3）较复杂的递推问题需设置多重循环递推。
例1：求斐波那契数列：1、1、2、3、5、8、……的第n
项。 问题分析： 斐波那契数列具有下列递推关系 a[n]=a[n-2]+a[n-1]， a[1]=1,a[2]=1，q且其中 n>=3 算法描述： int fib(int n) { int i,f1=1,f2=1,f; for(i=3;i<=n;i++) { f=f1+f2; f1=f2; f2=f;} if(n==1||n==2) return 1; else return f; } }

1. 算法分析
设爬k级台阶的不同爬法为f(k)种。 （1） 探求f(k)的递推关系。 上山最后一步到达第30级台阶，共有f(30)种不同的 爬法；到第30•级之前位于哪一级呢？无非是位于第29 级（上跳1级即到），有f(29)种；或位于第27级（上跳 3级即到），有f(27)种；于是有 f(30)=f(29)+f(27)
第三章
教学要求

递 推
了解递推算法的概念与各类递推设计
要领

应用递推算法求解实际问题
1. 递推的概念
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。思 想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若干个重 复的简单运算，以充分发挥计算机善长重复处理的 特点
2. 递推关系
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项之间的 关系，即递推关系。 递推关系是一种高效的数学模型，是递推应用的 核心。 递推关系不仅在各数学分支中发挥着重要的作用， 由它所体现出来的递推思想在各学科领域中更是显 示出其独特的魅力。

一般地有递推关系：f(k)=f(k-1)+f(k-3) （k>3） （2） 确定初始条件 f(1)=1；即1=1; f(2)=1；即2=1+1; f(3)=2；即 3=1+1+1；3=3

2. 算法描述

printf("请输入台阶总数n:"); scanf("%d",&n); f[1]=1;f[2]=1;f[3]=2; // 赋初值 // 实施递推
例3：求n！。
算法描述： int fact(int n) { int i,s=1; for(i=1;i<=n;i++) s=s*i; return s; }
3.1 猴子爬山

案例提出：
一个顽猴在一座有 30 级台阶的小山上爬山跳跃， 猴子上山一步可跳 1 级，或跳 3 级，试求上山的 30 级台阶有多少种不同的爬法。
求解方法 找规律：
a[1]=1 a[2]=1 a[3]=2=1+1=a[1]+a[2] a[4]=3=1+2=a[2]+a[3] a[5]=5=2+3=a[3]+a[4] a[6]=8=3+5=a[4]+a[5] 则有： a[n]=a[n-2]+a[n-1]， a[1]=1,a[2]=1 有了这个递推方程，程序就很简单了。

2. 算法描述
int
i; double k,x,y[7]; i=1;k=1.0;y[1]=k; while(i<=5) { i++;y[i]=(4*y[i-1]-1)/5; if(y[i]!=（int）y[i]) { k=k+1.0;y[1]=k;i=1;} } x=5*y[1]+1; printf("原有椰子至少有：%6.0f个.\n",x);
1. 算法分析来自百度文库
设置y数组，第i个水手藏椰子数为 y(i)(i=1,2,…,5)个，第二天5个水手醒来后各分 得椰子为y(6)个，依题意原来这堆椰子数为 x=5*y(1)+1 为了求取y(1)，实施递推。相邻两人所藏椰子 数y(i)与y(i+1)之间的关系为 4*y(i)=5*y(i+1)+1 (i=1,2,…,5) （3 ） 习惯按时间顺序递推，从y(i)推出y(i+1)，即 y(i+1)=(4*y(i)-1)/5 (i=1,2,…,5) （4）
// 输出n规模的解f(n)
print(f(n))；
（ 2 ）
简单逆推算法
逆推即从后往前推，从已求得的规模为n,n−1,…,i+1的 一系列解，推出问题规模为i的解，直至得到规模为1的解： f(n—i+1)=<初始值>； // 确定初始值 for(k=i;k>=1;k--) f(k)=<递推关系式>； // 实施逆推 print(f(1))；

第二个问题，递推何时结束？ 问题本身没有边界条件限制，只要求上面5个递 推方程所涉及的6个量y(i)都是正整数。也就是说， 若有6个整数y(i)满足5个方程4*y(i)=5*y(i+1)+1， (i=1,2,…,5)即为一个解。 首先y(1)赋初值k(取值从1开始递增)后推出y(2)， 由y(2)推出y(3)，…，依此经5次递推得y(6)。如 果某一次推出的不是整数，则中止继续往后推，返 回k增1后赋值给y(1)，从头开始。如果5次递推都 是整数，则输出原有椰子数5*y(1)+1后结束。