递推算法
递推算法、顺推、逆推概念
递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法、顺推、逆推是非常重要的概念。
这些概念在算法设计、程序编写等方面都有着广泛的应用。
本文将详细介绍这些概念的含义、应用以及实现方法。
一、递推算法递推算法是一种基于已知的初始条件和递推公式来计算未知项的算法。
在递推算法中，我们需要根据问题的特点，找到递推公式，然后通过递推公式来推导出后续的解。
递推算法通常用于计算数列、矩阵、图形等数学问题，也可以用于解决计算机科学中的一些问题。
例如，斐波那契数列就是一个典型的递推算法问题。
斐波那契数列的递推公式如下：F(n) = F(n-1) + F(n-2)其中，F(0)=0，F(1)=1。
这个递推公式的意思是，斐波那契数列的第n个数等于前两个数之和。
我们可以通过递推公式来计算斐波那契数列的任意一项。
例如，我们可以通过递推公式计算出斐波那契数列的前10项：F(0) = 0F(1) = 1F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 = 13F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 = 21F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 = 34递推算法的优点是简单、易于理解和实现。
但是，递推算法的时间复杂度可能会很高，因为在计算每一项时都需要计算前面的项。
因此，在使用递推算法时，需要注意时间复杂度的问题。
二、顺推和逆推顺推和逆推是递推算法中的两种常见实现方法。
顺推是从已知的初始条件开始，按照递推公式依次计算每一项的值，直到计算出所需的项。
而逆推则是从所需的项开始，倒推出前面的所有项。
顺推通常用于计算数列、矩阵等递推算法问题。
递推法算法
递推法算法递推法算法是一种常用的数学和计算机科学中的算法思想，它通过利用问题中的已知信息，通过递推关系来求解未知信息。
在实际应用中，递推法算法广泛用于解决递推问题、数列问题、动态规划等。
本文将介绍递推法算法的基本原理和应用场景。
一、递推法算法的基本原理递推法算法的基本原理是通过已知信息推导出未知信息的方法。
它利用问题中的递推关系，通过逐步迭代计算，将已知信息不断传递到后续的未知信息中，从而求解整个问题。
在递推法算法中，首先确定初始条件，也就是已知的起始信息。
然后，根据递推关系，计算出下一个未知信息。
接着，将这个未知信息作为已知信息，再次利用递推关系计算下一个未知信息。
如此反复，直到得到问题的最终解。
递推法算法在数学和计算机科学中有广泛的应用场景。
下面分别介绍几个常见的应用场景。
1.递推问题递推问题是指通过前一项或前几项的信息，推导出下一项的信息的问题。
例如斐波那契数列，每一项都是前两项的和。
利用递推法算法，可以通过已知的前两项计算出后续的所有项。
2.数列问题数列问题是指通过已知的数列前几项的信息，推导出数列的通项公式或后续的项。
例如等差数列和等比数列，通过递推法算法可以快速求解出数列的通项公式，从而计算出数列的任意一项。
3.动态规划动态规划是一种通过将一个复杂问题分解为多个子问题来求解的方法。
递推法算法在动态规划中起到了关键的作用。
通过递推法算法，可以将大问题分解为多个小问题，并通过已知的小问题的解来计算出大问题的解。
三、递推法算法的优势递推法算法具有以下几个优势。
1.简单易懂递推法算法的思想简单易懂，适用于各种问题的求解。
只要找到递推关系和初始条件，就可以通过简单的迭代计算得到问题的解。
2.高效快捷递推法算法通过利用已知信息和递推关系，避免了重复计算和不必要的操作，从而提高了计算效率。
在实际应用中，递推法算法常常能够大幅减少计算时间。
3.灵活性强递推法算法的灵活性强，适用于各种形式的问题。
只要能够找到递推关系和初始条件，就可以使用递推法算法来解决问题。
稳定的递推算法
稳定的递推算法1 稳定的递推算法是什么？稳定的递推算法是指一种通过已知的初始值和递推公式计算后续值的数学算法。
这种算法不仅能够正确和快速地计算出数列中每一项的值，而且其计算过程是稳定可靠的，不会出现数据不准确或计算错误的情况。
2 递推算法的基本原理递推算法是一种基于数学归纳法的算法。
具体地说，其基本原理是依据已知的初值和递推关系式，逐步推导出数列中的每一项的值。
递推算法的一般形式为：f(n) = g(f(n-1))其中，f(n) 是数列中第 n 项的值，g 是递推关系式，f(n-1) 是数列中的前一项。
3 稳定递推算法的特点稳定递推算法有以下特点：1. 不会出现“死循环”：这是因为递推公式和初值的限制条件能够确保计算过程的唯一性和有限性。
2. 对于相同的初值和递推公式，计算结果的可复现性非常好，而且速度较快。
3. 稳定递推算法的计算量较小，适用于大型数列的计算。
4 稳定递推算法在计算机科学中的应用稳定递推算法在计算机科学中有着广泛的应用，特别是在数据结构和算法领域。
下面介绍其中两个经典的例子：1. 斐波那契数列斐波那契数列是指这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、… 其中每一项都是前两项的和。
这个数列可以使用递推算法进行计算，而且计算速度很快。
2. 动态规划算法动态规划算法是一种递推算法，其应用广泛，涵盖了很多领域，比如图像处理、自然语言处理、人工智能等。
动态规划算法通常是在递归的基础上进行计算，但是由于递推公式的稳定性，其速度通常会比递归算法快得多。
5 稳定递推算法的实现方式稳定递推算法的实现方式通常是使用循环结构，在每一次循环中，根据递推公式和前一项的值计算出当前项的值，并赋值给当前项。
循环的次数就是要求的数列的项数。
6 稳定递推算法的优化稳定递推算法的优化主要是通过改善递推公式和优化循环结构来提高算法的效率和稳定性。
一些文献指出，使用矩阵乘法等方法可在一定程度上提高递推算法的计算速度。
递推算法详解 -回复
递推算法详解-回复什么是递推算法？递推算法，也称为迭代算法，是一种解决问题的数学或计算方法。
它通过定义初始条件和递推公式来计算求解一个问题的过程，并将问题的规模逐步缩小，直至达到基本情况可以被直接求解。
递推算法常常在计算机科学、数学、物理学等领域中被广泛应用。
递推算法的基本思想是通过已知结果计算未知结果，并逐步推导出整体的解。
它通常涉及将问题划分为一系列相互依赖的子问题，并根据子问题的解来推导出更大规模问题的解。
递推算法的核心是找到递归公式或迭代关系，通过不断迭代计算的方式逐步逼近最终解。
递推算法的特点是具有清晰的步骤和明确的终止条件。
它的执行过程可以看作是一系列有序的操作步骤，每一步都在上一步的基础上进行计算，直到达到终止条件为止。
递推算法通常使用迭代结构或递归函数实现，具有高效、可靠、易于理解的优点。
递推算法在实际问题中的应用非常广泛。
它可以用于解决数列求和、排列组合、动态规划、图算法等各种问题。
在数学中，斐波那契数列就是一个常见的递推数列，其递推公式为F(n) = F(n-1) + F(n-2)，然后给定初始条件F(0) = 0，F(1) = 1，通过递推公式可以依次求解出每一个数的值。
递推算法的步骤可以总结为以下四个：1. 找到基本情况：递推算法的终止条件是基本问题的解，请确定问题的边界。
2. 设计递归公式：根据问题的性质确定递归公式或迭代关系，以便将问题拆解为更小的子问题。
3. 确定初始条件：确定问题的初始条件或起始状态。
4. 实施递推：通过递推公式或迭代关系将问题规模不断缩小，直到达到基本情况，然后计算基本情况下的解。
对于求解递归问题，递推算法通常具有较高的时间复杂度。
这是因为在递推过程中，需要重复计算许多中间值，并且递归函数的调用过程会导致额外的函数调用开销。
为了提高执行效率，可以使用记忆化搜索等技术来优化递推算法。
总结起来，递推算法是一种通过定义初始条件和递推公式来计算求解问题的方法。
递推算法
引例:Fibonacci数列
• Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名 数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁 殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。
• 问题： 一个数列的第0项为0，第1项为1，以
后每一项都是前两项的和，这个数列就是 著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的 第N项。
cin>>x>>y>>z;a[1]=1; for(i=1;i<=z+1;i++)
for(k=1;k<=z+1;k++) a[i+k*x+2]+=y*a[i];
for(i=1;i<=z+1;i++)sum+=a[i]; cout<<sum<<endl; return 0; }
顺推举例3——杨辉三角1547
迭代举例5——楼梯走法
问题描述：设有一个N级楼梯，某人每步可以走1级、2级、或者 3级，求某人从底层开始走完全部楼梯的走法。
n=1 f(1)=1: 1 n=2 f(2)=2: 1 1; 2 n=3 f(3)=4: 1 1 1 ; 2 1; 1 2; 3 n=4 f(4)=7: 1 1 1 1 ; 2 1 1; 1 2 1; 3 1 ; 1 1 2; 2 2 ; 1 3
• 对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清 楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了，接下 来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这种重复 运算，真正起到“物尽其用”的效果。
递推概念
给定某些项Hi(0<i<n)联系起来， 这样的式子就叫做递推关系。
递推算法概念
递推算法概念
递推算法是一种基于已知结果推导出后续结果的算法。
它是一种比较常用的计算机编程思路，在各种场景下都能发挥出良好的效果。
递推算法的基本思路是从已知的初始值开始，根据递推关系式，求解下一个结果，最终得到所需的结果。
递推算法的优点在于它可以大大减少计算量。
在许多计算问题中，递推算法都能用更少的时间和空间复杂度得到正确的结果。
同时，递推算法的思路简单，对于初学者来说也比较容易理解和实现。
递推算法有多种形式，如斐波那契数列、杨辉三角等等。
在实践中，递推算法常常用于动态规划、计算几何、图论等领域，它们大大提高了算法效率，能够有效解决许多实际问题。
在使用递推算法时，我们需要注意一些问题。
首先，我们必须准确地描述递推关系式，这是正确求解下一个结果的关键。
其次，我们必须确定好递推的边界条件，避免出现无效或死循环的情况。
最后，在实现过程中，我们还需要考虑算法的效率和精度，避免出现由于计算过程中的误差而影响结果的情况。
综上所述，递推算法是一种非常有用的计算机编程思路。
它能够大大
提高算法效率，有效地解决许多实际问题。
在使用递推算法时，我们需要注意一些问题，如准确描述递推关系式、确定递推的边界条件、考虑算法的效率和精度等。
只有在正确理解和使用递推算法时，我们才能充分发挥它的优点，有效地解决实际问题。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { int f[1001][2],n,i,x; cin>>n; f[1][1]=1;f[1][0]=9; for(i=2;i<=n;i++) { x=f[1][0]; if(i==n)x--; f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; } cout<<f[n][0]; return 0; }
下面是输入n，输出x1~xn的c++程序： #include<iostream> using namespace std; int main() { int n,i,j,a[101]; cout<<"input n:"; //输入骨牌数 cin>>n; a[1]=1;a[2]=2; cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl; cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl; for (i=3;i<=n;i++) //递推过程 { a[i]=a[i-1]+a[i-2]; cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl; } } 下面是运行程序输入 n=30，输出的结果： input n: 30 x[1]=1 x[2]=2 x[3]=3 ........ x[29]=832040 x[30]=1346269
递推算法的一般步骤
递推算法的一般步骤递推算法是一种常用的计算方法，通过已知条件推导出未知结果的一种数学推理过程。
它可以用于解决一些复杂的问题，特别是涉及到递归关系的情况。
递推算法的一般步骤如下：1. 首先，明确问题的递推关系。
递推算法的核心就是通过已知条件推导出未知结果，因此需要通过观察问题的特点，找到问题的递推关系。
这个递推关系可以是一个公式、一个递归函数或者一系列等差、等比数列等。
2. 然后，确定初始条件。
递推算法是从已知条件推导出未知结果的过程，因此需要确定问题的初始条件。
这个初始条件可以是问题中给出的初始值，也可以是手动给定的一些值。
3. 接下来，进行递推计算。
根据问题的递推关系和初始条件，可以开始逐步计算得到未知结果。
递推计算的过程就是反复应用递推关系，将已知的结果代入递推关系中得到新的结果，然后再将新的结果代入递推关系中得到更新的结果，依此类推，直到得到想要的未知结果。
4. 最后，进行结果验证。
得到未知结果后，需要对结果进行验证，确保结果的正确性。
这可以通过与已知条件进行对比、与问题的实际情况进行比较等方法来进行。
如果结果符合要求，即可确认递推算法的正确性。
除了以上步骤，还有一些在使用递推算法时需要注意的问题：1. 递归深度的控制。
递推算法中经常使用递归函数来表达递推关系，但要注意递归的深度，避免出现无限递归的情况。
可以通过设置递归深度的限制条件或者使用迭代方法来避免这种情况的发生。
2. 边界条件的处理。
在确定初始条件时，要考虑问题的边界条件。
边界条件是递推算法中的特殊情况，需要单独处理，以确保算法的正确性。
边界条件可以是问题中给出的某种特殊情况，或者是根据问题的特点手动给定的一些条件。
3. 问题的优化。
在实际应用中，递推算法可能会面临一些效率问题，特别是在处理大规模数据时。
因此，需要对算法进行优化，提高算法的执行效率。
可以通过改进递推关系、使用动态规划等方法来实现问题的优化。
综上所述，递推算法是一种通过已知条件推导出未知结果的计算方法。
递推算法
For i:=1 to t do //计算加入跑步选择时的每秒最大距离 begin if f[i]< f[i-1]+17 then f[i]:= f[i-1]+17; if f[i]>=s then begin //刚好离岛，输出 writeln('Yes'); writeln(i); halt; end; end; writeln('No');//不能离岛，输出 writeln(f[t]); end. 本题有多种解决问题的方法，然而，在上述分析中很巧妙地运用了分而治之 的思想，把原来跑步、魔法、休息交错在一起的问题条件分离开，考虑在只有魔 法情况下每秒最远距离，此时，很容易用上问题的贪心条件，能用魔法尽量用上 魔法，求只有魔法情况下每秒最远距离的递推式写起来也很简单。接着，考虑跑 步的情况，当前秒的跑步距离由上一秒加17递推得到，每秒最远距离为跑步距离 和魔法距离中的最大值。这是一道很好的题，建议大家用不同方法解决之，然后， 从中体会分解问题的方法和技巧。
【样例输出】 10 【注意】 测试数据规模： 保证100%的数据n<=1000。 问题分析：
求最小路径得分，比较容易想到的是： 1．如果知道从第1行走到第n行各数字上的最小得分， 那么，从中取最小值即可； 2．第n行是从n-1行走下来的，如果知道第n-1层各数字 位置上的最小得分值，那么根据规则每步只能沿左斜线 向下或沿右斜线向下，要使第n层的各数字位上得到最 小得分值，只能从左上和右上两个得分值中取小的一个 与当前位的数字相加； 3．同理，第n-1层各数位上的最小得分可以从第n-2层 推出；
递推算法
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。 思想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若 干重复的简单运算，以充分发挥计算机善长于 重复处理的特点。
递推算法分析
3. 递推的实施步骤
（1）确定递推变量 递推变量可以是简单变量，也可以是一维或多维数组。 （2）建立递推关系 递推关系是递推的依据，是解决递推问题的关键。 （3）确定初始（边界）条件 根据问题最简单情形的数据确定递推变量的初始（边界） 值，这是递推的基础。 （4）对递推过程进行控制 递推过程控制：递推在什么时候结束，满足什么条件结束。
i=1;k=1.0;y[1]=k;
while(i<=5)
{ i++;y[i]=(4*y[i-1]-1)/5;
if(y[i]!=（int）y[i])
{ k=k+1.0;y[1]=k;i=1;}
}
x=5*y[1]+1;
printf("原有椰子至少有：%6.0f个.\n",x);
习题3: 1, 2, 3, 5, 6, 7
首先y(1)赋初值k(取值从1开始递增)后推出y(2)， 由y(2)推出y(3)，…，依此经5次递推得y(6)。如 果某一次推出的不是整数，则中止继续往后推，返 回k增1后赋值给y(1)，从头开始。如果5次递推都 是整数，则输出原有椰子数5*y(1)+1后结束。
2. 算法描述
int i; double k,x,y[7];
1. 递推的概念
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。思 想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若干个重 复的简单运算，以充分发挥计算机善长重复处理的 特点
2. 递推关系
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项之间的 关系，即递推关系。 递推关系是一种高效的数学模型，是递推应用的 核心。 递推关系不仅在各数学分支中发挥着重要的作用， 由它所体现出来的递推思想在各学科领域中更是显 示出其独特的魅力。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
【例6】过河卒（Noip2002） 【问题描述】 棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向 下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如C点），该马 所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图3-1中的C点 和P1，„„，P8，卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点 (0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给 出的，C≠A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
min{m , n}1 i 0
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【例3】棋盘格数
设有一个N*M方格的棋盘（ l≤ N≤100，1≤M≤100）。求出该棋盘中包含有多少 个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。 例如：当 N=2， M＝3时： 正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。 长方形的个数有10个：即2*1的长方形有4个：1*2的长方形有3个：3*1的长 方形有2个：3*2的长方形有1个： 程序要求：输入：N，M 输出：正方形的个数与长方形的个数 如上例：输入：2 3 输出：8 10 【算法分析】 1.计算正方形的个数s1 边长为1的正方形个数为n*m 边长为2的正方形个数为(n-1)*(m-1) 边长为3的正方形个数为(n-2)*(m-2) ………… 边长为min{n，m}的正方形个数为(m-min{n，m}+1)*(n-min{n，m}+1) 根据加法原理得出
递推算法知识总结
递推算法知识总结1. 什么是递推算法？递推算法（Recursion）是一种解决问题的方法，其中问题由一个或多个基本的解决方案定义。
通常，递推算法在一个或多个基本案例（base case）上定义，并且是通过将问题分解为规模较小的相似子问题而递归地求解的。
2. 递推算法的特点递推算法具有以下几个特点：•递推算法是一种直接或间接调用自身的算法；•递推算法具有基本案例，即能直接求解的问题情形；•递推算法将一个规模较大的问题转化为一个规模较小的相似子问题，并通过递归调用求解；•递推算法的递归调用必须在某种方式下收敛，即必须能够到达基本案例。
3. 递推算法的应用场景递推算法在计算机科学和数学中有着广泛的应用，特别适合解决以下问题：•计算斐波那契数列；•数值累加或累乘计算；•深度优先搜索；•解决汉诺塔问题；•求解图的连通性或最短路径；•解决一些数学问题，如八皇后问题等。
4. 递推算法的实现方式递推算法可以通过编程语言中的函数调用机制来实现。
以下是递推算法的一般框架：def recursion(n):if n == base_case:return base_solutionelse:# 将问题分解为较小的子问题subproblems = decompose(n)# 递归调用results = [recursion(subproblem) for subproblem in subproblems]# 组合子问题的结果return combine(results)在上述实现中，base_case表示基本案例，是问题的直接解决方案。
当问题规模缩小到基本案例时，递归将不再继续，直接返回基本案例的解决方案。
decompose函数将问题分解为更小的相似子问题。
可以根据具体问题的特点设计合适的分解方式。
combine函数将子问题的结果合并为原问题的解决方案。
5. 递推算法的优缺点递推算法具有以下优点：•递推算法能够将问题转化为更小的相似子问题，降低了问题的复杂度；•递推算法能够利用相似子问题的解决方案，减少了计算量。
递推算法
递推算法客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在（隐藏）着很多本质上的关联。
我们设计程序前，应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理，尽可能先归纳总结出其内在的规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。
递推算法是从问题的规模（项数）出发，找到大规模问题与小规模问题之间的关系（或前后项之间的关联），然后根据他们之间的联系逐步求解。
递推法分为顺推和倒推两种，顺推适用于已知起始条件（小规模问题的解），然后根据关联逐步推算，而倒推则相反。
如果某个问题可以使用递推算法，则该问题的解决总会存在若干个步骤，在每一步的处理上存在若干种可能性，需要做出选择，但当前做出的选择与后续问题无关，即，已做出的选择会影响到后续选择，但后面末作出的选择不会影响到前面已有的结论。
例1：a、b、c 3个不同的数字组成一个N位数，要求不出现两个a相邻，也不出现两个b相邻，这样的N位数的个数为A n,用A1-n和A2-n表示A n的关系式是什么？例2：已知楼梯有十级、某人从下向上走，每步可跨一级或二级，问该走完楼梯共有多少种不同的走法。
写出该问题的递推关系式。
例3：有2×n的一个长方形方格，用一个1×2的骨牌铺满方格。
例如n=3时，为2×3方格。
此时用一个1×2的骨牌铺满方格，共有3种铺法：试对给出的任意一个n（n>0），求出铺法总数的递推公式。
例4：我们来玩一个游戏：自然数1到N，按顺序列成一排，你可以从中取走任意个数，但是相邻的两个不可以同时被取走。
如果你能算出一共有多少种取法，那么你会被天神Lijiganjun奖励。
例5：一对大兔子每月生一对小兔子，小兔子一个月长成大兔子，问开始有一对大兔子，一年后有多少只大兔子？例6：梵塔（hanoi、汉诺、河内塔）问题。
有n个圆盘，半径各不相同，依半径从大到小，自下而上套在A柱上，另还有B，C两根空柱，现要求将A柱上的n个圆盘全部搬到C柱上去，且每次只许搬动一个盘子，还必须始终保持每根柱子上是小盘在上，大盘在下。
专升本计算机 递推算法 知识点
一、概述专升本计算机考试是专科大专学位等级升本科的一种途径，其中的计算机专业课程是考生们需要重点备考的内容之一。
递推算法作为计算机领域的重要知识点之一，对于考生来说无疑是必须掌握的内容。
本文将针对专升本计算机递推算法的知识点展开详细的介绍和讲解，希望能帮助考生更好地准备和备考。
二、递推算法的概念和特点递推算法是指通过已知的初始条件和递推关系求解问题的一种数学方法。
其特点主要包括：1. 递推关系：递推算法通过一个已知的初始条件和一个递推关系来求解问题，递推关系是问题的各个阶段之间的数学关系。
2. 初始条件：递推算法需要一个或多个已知的初始条件来作为起点，根据递推关系逐步推导出问题的解。
3. 递推公式：递推算法最终可以通过递推关系得出一个递推公式，用于直接计算问题的解，而不需要逐步推导。
三、递推算法的应用领域递推算法在计算机科学和数学领域有着广泛的应用，主要包括以下几个方面：1. 斐波那契数列：递推算法可以用来求解斐波那契数列中任意一项的值，通过递推关系和初始条件可以得出通用的递推公式。
2. 排列组合问题：在组合数学中，递推算法可以用来求解排列组合问题，通过递推关系和初始条件可以逐步计算出各种排列组合的数量。
3. 动态规划：在算法设计中，递推算法常常与动态规划方法结合使用，用来解决各种优化问题和最优化问题。
四、递推算法的实际案例以斐波那契数列为例来说明递推算法的具体应用。
斐波那契数列是一个经典的递推数列，其递推关系为F(n)=F(n-1)+F(n-2)，初始条件为F(0)=0，F(1)=1。
可以通过递推关系和初始条件得出斐波那契数列的递推公式：```F(n) = 1/sqrt(5) * ( ((1 + sqrt(5))/2)^n - ((1 - sqrt(5))/2)^n )```通过这个递推公式，可以直接计算斐波那契数列中任意一项的值，而不需要逐步推导。
五、递推算法的学习方法要掌握递推算法，考生需要掌握以下几点学习方法：1. 熟练掌握递推关系和初始条件的建立方法，对于各种经典数列和问题要能够准确地建立递推关系和初始条件。
递推算法
递推算法递推法是一种重要的数学方法，它在数学的各个领域中都有着广泛的应用。
同时，它也是计算机用于数值计算中的一种重要算法。
1．认识递推常常遇到这样的问题：在一个序列中，下一项的值对其前一项有着某种依赖关系，求某项的值要从第一项起经过逐次推算而得到。
例如：数列0，3，6，9，12，15，…该数列的后一项的值是前一项的值加3，欲求第十项，必须先用第一项的值加3，求出第二项，然后求出第三项，第四项，第五项，…，直到第十项，当然必须事先给定第一项的值（称为边界条件或初始条件）。
可以看出，第n项的值等于第n-1项的值加3。
即：a n=a n-1+3, (n>1) (递推公式)a1=0, (n=1) (边界条件)这种在规定的初始条件下，找出后项对前项的依敕关系的操作，称为递推。
表示某项和它前面若干项的关系式就叫作递推公式。
在实际问题中类似的很多，处理这类问题的理想方法是用归纳法求出通项公式。
上例中的通项公式为a n=(n-1)*3 (n>=1)。
但是在许多情况下，要得到数列的通项公式是比较困难的，而通过已知条件归纳出一个递推关系则相对容易。
这时我们可以采用递推技术，避开求通项公式的麻烦，把一个复杂问题的求解，分解成为若干步重复的简单运算，由边界条件出发进行递推，最后得到最终结果，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特长。
例1．有一组数规律如下：0，5，5，10，15，25，40，…，x n ，…。
求出该数列第n 项数值。
分析：设f（n）表示数列中第n项的数值，则f（1）=0 ，f（2）=5 是初始条件，f（n）=f（n-2）+f（n-1）（n≥3）是递推公式。
在语言实现上，我们取j、k、p三个变量，分别表示前二项、前一项与当前项，j、k分别取初值为0与5。
第一次通过递推公式p=j+k得到第三项，并进行移位，即j取k值、k取p值，为下次递推作准备；……；如此反复，经过n-2次的递推，p就是第n项的值。
递推算法、顺推、逆推概念
递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法是一种基于已知结果计算下一个结果的算法。
递推算法通常用于计算数列、统计问题和最短路径等问题。
递推算法可以分为两种类型：顺推和逆推。
顺推算法是从已知的第一个值开始，按照某种规律依次计算出后续的值。
例如，斐波那契数列就是一种顺推算法。
斐波那契数列的计算规律是：第一个值为0，第二个值为1，后续的值等于前两个值的和。
因此，斐波那契数列的前几个值为0、1、1、2、3、5、8、13、21……逆推算法则是从已知的最后一个值开始，按照某种规律依次计算出前面的值。
逆推算法通常用于计算最短路径等问题。
例如，如果要计算从起点到终点的最短路径，可以从终点开始，逆推出每个节点的最短路径，最终得出起点的最短路径。
递推算法也可以用于解决统计问题。
例如，如果要计算n个人中任选k个人的组合数，可以使用递推算法。
假设已知n个人中任选k-1个人的组合数为C(n,k-1)，则n个人中任选k个人的组合数为C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
这是因为，当第n个人被选中时，剩下的k-1个人必须从前n-1个人中选，而当第n个人不被选中时，剩下的k个人必须从前n-1个人中选。
因此，n个人中任选k个人的组合数等于这两种情况的组合数之和。
递推算法具有简单、高效的特点，适用于大部分数学问题的求解。
但是，在实际应用中，递推算法也有一些缺点。
首先，递推算法需要占用大量的内存空间，因为需要保存所有已知结果。
其次，递推算法对于某些问题可能无法求解，因为递推过程中可能会出现死循环或无法到达的状态。
总之，递推算法是一种重要的计算机算法，可以用于解决数学问题、统计问题和最短路径等问题。
顺推和逆推是递推算法的两种基本形式，分别适用于不同的问题类型。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的递推算法。
递推算法分析课件
定义与特点
定义
递推算法是一种通过已知信息逐步推 导出其他信息的方法，通常从一个初 始状态出发，按照一定的规则逐步推 导出最终结果。
特点
递推算法具有明确性、可计算性和可 实现性，能够根据已知信息逐步推导 出结果，适用于解决一些具有规律性 的问题。
递推算法的分类
线性递推
根据已知的线性关系式，逐步推导出最终结果， 如等差数列求和等。
研究如何提高递推算法的稳定 性，减少初始值对结果的影响
，提高结果的可靠性。
探索新的应用场景
挖掘递推算法在其他领域的应 用潜力，如物理、化学、生物 等学科中的复杂问题求解。
REPORT
THANKS
感谢观看
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
O(2^n)等。
03
递推算法时间复杂度分析
递推算法的时间复杂度取决于递推关系的复杂度和递归深度。通过分析
递推关系，可以估算算法的时间复杂度，并比较不同算法的效率。
空间复杂度
1 2 3
空间复杂度定义
空间复杂度是衡量算法所需存储空间随输入规模 增长而增长的量级，也用大O表示法表示。
递归与堆栈空间
递归算法需要使用堆栈来保存递归过程中的状态 ，因此其空间复杂度通常较高。迭代算法则通常 只需少量额外空间。
要点二
详细描述
杨辉三角是一个由数字组成的三角形，每个数字是它正上 方和左上方的两个数字之和。从第二行开始，每个数字都 是上一行相邻两个数字之和。通过递推关系式，我们可以 依次生成每个数字，最终得到完整的杨辉三角。
插入排序算法的改进
总结词
插入排序算法是一种简单的排序算法，通过将元素逐个 插入到已排序序列中实现排序。
第三章 递推算法
1、顺推 由已知推结果 、
算法分析： 算法分析： 当n=1时，只能有一种铺法，即x1=1； 时 只能有一种铺法， ； 有2*n的长方形 的长方形 当n=2时，骨牌可以两个并列竖放或横放，再无他 时 骨牌可以两个并列竖放或横放， 方格，用n个1*2的 法，即x2=2； 方格， 个 的 ； 骨牌铺满方格。 骨牌铺满方格。编 一程序， 一程序，试对给出 当n=3时，骨牌可以全部竖放；也可以一竖两横或 时 骨牌可以全部竖放； 的任意一个n(n>0), 的任意一个n(n>0), 两横一竖， 两横一竖，即x3=3； ； 输出铺法总数。 输出铺法总数。 由此可以看出n=3的骨牌排列方法数是 的骨牌排列方法数是n=1和n=2的 由此可以看出 的骨牌排列方法数是 和 的 排列方法数之和。 排列方法数之和。即xn=xn-1+xn-2；(n>2) ； 算法： 算法：procedure gp(n:int); begin x:=0;y:=1； ； for i:=1 to n do [z:=x+y; 输出 输出(z);x:=y; y:=z;] end； ； 例题一
上机练习
1、棋盘格数； 、棋盘格数； 问题描述】设有一个n*m的方格棋盘（1=<n,m<=100）。 的方格棋盘（ 【问题描述】设有一个 的方格棋盘 ）。 求出该棋盘中包含的正方形、长方形的个数。 求出该棋盘中包含的正方形、长方形的个数。 输入】 【输入】2 3 {n，m} ， 【输出】8 输出】 10
5 7 3 8 2 4 8 1 7 5 0 4 2 4 6 5
for i:=1 to n do for j:=1 to i do read(a[i,j]); for i:=n-1 downto 1 do for j:=1 to i do if a[i+1,j]>=a[i+1,j+1] then a[i,j]:=a[i,j]+ a[i+1,j] else a[i,j]:=a[i,j]+ a[i+1,j+1] ; writeln(a[1,1]; end； ；
算法——递推算法
算法——递推算法递推算法给定⼀个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当n>n0时,可以⽤等号(或⼤于号、⼩于号)将Hn与其前⾯的某些项Hi(0<i<n)联系起来，这样的式⼦就叫做递推关系。
递推算法是⼀种简单的算法，即通过已知条件，利⽤特定关系得出中间推论，直⾄得到结果的算法。
递推算法分为顺推和逆推两种。
相对于算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,⽽直接从边界出发,直到求出函数值.⽐如阶乘函数：f(n)=n*f(n-1)在f(3)的运算过程中,递归的数据流动过程如下:f(3){f(i)=f(i-1)*i}-->f(2)-->f(1)-->f(0){f(0)=1}-->f(1)-->f(2)--f(3){f(3)=6}⽽递推如下:f(0)-->f(1)-->f(2)-->f(3)由此可见,递推的效率要⾼⼀些,在可能的情况下应尽量使⽤递推.但是递归作为⽐较基础的算法,它的作⽤不能忽视.所以,在把握这两种算法的时候应该特别注意。
顺推法所谓顺推法是从已知条件出发，逐步推算出要解决的问题的⽅法叫顺推。
如斐波拉契数列，设它的函数为f(n),已知f(1)=1，f(2)=1;f(n)=f(n-2)+f(n-1)(n>=3,n∈N)。
则我们通过顺推可以知道,f(3)=f(1)+f(2)=2,f(4)=f(2)+f(3)=3……直⾄我们要求的解。
逆推法所谓逆推法从已知问题的结果出发，⽤迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为逆推。
递推算法的经典例⼦【案例】从原点出发，⼀步只能向右⾛、向上⾛或向左⾛。
恰好⾛N步且不经过已⾛的点共有多少种⾛法？样例输⼊：N=2样例输出：result=7样例输⼊：N=3样例输出：result=17解题思路：要解决⾛N步共有多少种⾛法，我们在拿到题⽬的时候最直接的想法就是先画出当N=1、N=2、N=3。
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递推算法典型例题一、教学目标1、由浅入深，了解递推算法2、掌握递推算法的经典例题二、重点难点分析1、重点：递推关系的建立2、难点：如何将所求问题转化为数学模型三、教具或课件微机四、主要教学过程(一)引入新课客观世界中的各个事物之间或者一个事物的内部各元素之间，往往存在(隐藏)着很多本质上的关联。
我们设计程序前．应该要通过细心的观察、丰富的联想、不断的尝试推理．尽可能先归纳总结出其内在规律，然后再把这种规律性的东西抽象成数学模型，最后再去编程实现。
递推关系和递归关系都是一种简洁高效的常见数学模型，我们今天先来深入研究一下递推算法如何实现。
(二)教学过程设计递推法是一种重要的数学方法，在数学的各个领域中都有广泛的运用，也是计算机用于数值计算的一个重要算法。
这种算法特点是：一个问题的求解需一系列的计算，在已知条件和所求问题之间总存在着某种相互联系的关系，在计算时，如果可以找到前后过程之间的数量关系（即递推式），那么，这样的问题可以采用递推法来解决。
从已知条件出发，逐步推出要解决的问题，叫顺推；从问题出发逐步推到已知条件，此种方法叫逆推。
无论顺推还是逆推，其关键是要找到递推式。
这种处理问题的方法能使复杂运算化为若干步重复的简单运算，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特点。
递推算法的首要问题是得到相邻的数据项间的关系（即递推关系）。
递推算法避开了通项公式的麻烦，把一个复杂的问题的求解，分解成了连续的若干步简单运算。
一般说来可以将递推算法看成是一种特殊的迭代算法。
（在解题时往往还把递推问题表现为迭代形式，用循环处理。
所谓“迭代”，就是在程序中用同一个变量来存放每一次推算出来的值，每一次循环都执行同一个语句，给同一变量赋以新的值，即用一个新值代替旧值，这种方法称为迭代。
）1．递推关系的定义和求解递推关系的方法有一类试题，每相邻两项数之间的变化有一定的规律性，我们可将这种规律归纳成如下简捷的递推关系式：f n=g(f n-1)或者f n-1=g'(f n)这样就在数的序列中，建立起后项和前项之间的关系。
然后从初始条件(或最终结果)入手，一步步地按递推关系式递推，直至求出最终结果(或初始值)。
很多程序就是按这样的方法逐步求解的。
如果对一个试题，我们要是能找到后一项数与前一项数的关系并清楚其起始条件(或最终结果)，问题就比较容易解决，让计算机一步步计算就是了。
让高速的计算机从事这种重复运算，可真正起到“物尽其用”的效果。
递推分倒推法和顺推法两种形式。
一般分析思路：If 求解初始条件f1then begin {倒推}由题意(或递推关系)确定最终结果fn；求出倒推关系式f i-1=g'(f i)；for i←n downto 2 do f i-1←g(f i)；{从最终结果fn出发进行倒推}输出倒推结果fl；end{then}else begin {顺推}由题意(或递推关系)确定初始值f1(边界条件)；求出顺推关系式f i=g(f i-1)：for i←2 to n do f i←g(f i-1)；{由边界条件f1出发进行顺推}输出顺推结果fn；end；{else}由此可见，递推算法的时间复杂度一般为W(n)。
我们之所以将递推法划入归纳策略，是因为初始条件(或最终结果)除试题已明确给定外，都是通过对问题的整理与化简而确定的，其递推式也是对实际问题的分析与归纳而得到的，因此递推本质上属于归纳。
2．递推关系的建立递推关系中存在着三大基本问题：如何建立递推关系，已给出的递推关系有何性质，以及如何求解递推关系。
其中核心问题是如何建立递推关系。
建立递推关系的关键在于寻找第n项与前面(或后面)几项的关系式，以及初始项的值(或最终结果值)。
它不是一种抽象的概念，而是针对某一具体题目或一类题目而言的。
3、问题举例【例 1】有2×n的一个长方形方格，用一个1×2的骨牌铺满方格。
例如n=3时，为2×3方格。
此时用一个1×2的骨牌铺满方格，共有3种铺法：编写一个程序，试对给出的任意一个n(n>0), 输出铺法总数。
【问题分析】（1）面对上述问题，如果思考方法不恰当，要想获得问题的解答是相当困难的。
可以用递推方法归纳出问题解的一般规律。
（2）当n=1时，只能是一种铺法如左图，铺法总数表示为X1=1；（3）当N=2时：骨牌可以两个并列竖排，也可以并列横排，再无其他方法，如下左图所示，因此，铺法总数表示为X2=2；（4）当N=3时：骨牌可以全部竖排，也可以认为在方格中已经有一个竖排骨牌，则需要在方格中排列两个横排骨牌（无重复方法），若已经在方格中排列两个横排骨牌，则必须在方格中排列一个竖排骨牌。
如题图，再无其他排列方法，因此铺法总数表示为x3=3. 由此可以看出，当n=3时的排列骨牌的方法数是n=1和n=2排列方法数的和。
（5）推出一般规律：对一般的n，要求X n可以这样来考虑，若第一个骨牌是竖排列放置，剩下有n-1个骨牌需要排列，这时排列方法数为X n -1；若第一个骨牌是横排列，整个方格至少有2个骨牌是横排列（1*2骨牌），因此剩下n-2个骨牌需要排列，这是骨牌排列方法数为X n -2。
从第一骨牌排列方法考虑，只有这两种可能，所以有：X n=X n -1+X n -2（N>2）X1=1X2=2以上就是问题求解的递推公式。
任给N都可以从中获得解答。
例如 N=5，X3=X2+X1=3X4=X3+X2=5X5=X4+X3=8下面是输入 N，输出X1 ~ X n的Pascal程序：program p12_20;var x,y,z:longint;i,n:integer;beginwrite('Input n:');read(n);x:=0;y:=1;for i:=1 to n dobeginz:=y+x;writeln('x[',i:2,']=',z);x:=y;y:=z;end;end.下面是运行程序输入 n=30，输出的结果：input n:30x[1]=1x[2]=2x[3]=3x[4]=5x[5]=8 ...............................x[28]=514229x[29]=832040x[30]=1346269问题的结果就是有名的斐波那契（Fibonacci）数列问题，F(1)=0，F(2)=1，在n>2时有：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。
【例2】用迭代方法求Y=X1/3的值。
X由键盘输入。
利用下列迭代公式计算：y n + 1=2/3y n+x/(3y2n),初始值y0=x,误差要求ε=10-4。
【问题分析】（1）迭代法即反复代入法。
在上式中，将Y n代入公式的右端，可以计算出Y n + 1，然后将Y n + 1作为新的Y n代入右端，以计算出新的Y n + 1，如此重复直到|Y n + 1-Y n|<ε为止。
初始值Y0=X，意味着么一次代入公式右端的Y n的取值为X。
（2）本题算法特点：循环，变量迭代，直到前后两次的计算误差小于10-4结束并输出结果。
程序如下：program p12_21;const e=0.0001;var x,y0,y1,y2:real;beginwrite('Input x:');read(x);writeln;y1:=x;y2:=x;repeaty1:=y2;y2:=2/3*y1+x/(3*y1*y1);until abs(y2-y1)<e;writeln(x,':3x=',y2);end.当X=8则输出结果：8：3X=2.000000011E+00当X=27 则输出结果：27：3X=3.0000000018E+00【例3】过河卒(NOIP2002初中组第四题)【问题描述】棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。
卒行走的规则：可以向下、或者向右。
同时在棋盘上的任一点有一个对方的马(如C点)．该马所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的拄制点(如下图中的c点和P1，P2，…，P8)。
卒不能通过对方马的控制点．棋盘用坐标表示，A点(0，0)、B点(n，m)(n，m为不超过20的整数)．同样马的位置坐标是需要给出的C(x,y)．C≠A C≠B。
现在从键盘输入n,m．,要你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
【问题分析】跳马一般是在学习回溯或搜索等算法的时候．很多书上也有类似的题目，一些比赛中也经常出现这一问题的变形(如NOIPl997初中组第三题)。
有些同学一看到这种类型的题目就去盲目搜索，但事实证明：当n，m=15就会超时。
其实，对本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的一个点，只能从左边过来(我们称之为左点)或是从上面过来(我们称之为上点)。
根据加法原理．到达某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左点的路径数目之和．因此我们可以使用逐列(或逐行)递推的方法来求出起点到终点的路径数目。
障碍点(马的控制点)也完全适用，只要将到达该点的路径数目设置为0即可。
假设用F[i,j]表示到达点(i,j)的路径数目，用g[i,j]表示点(i,j)是否是对方马的控制点g[i,j]=0表示不是对方马的控制点,g[i,j]=1表示是对方马的控制点。
则,我们可以得到如下的递推关系式：F[0,0]=1F[i,j]=0 {g[x,y]=1]F[i,0]=F[i-1,0] {i>0，g[x,y]=0}F[0,j]=F[0,j-1] {j>0,g[x,y]=0}F[i,j]=F[i-1,j]+F[i,j-1] {i>0，j>0．G[x,y]=0}上述递推关系式的边界为：F[0,0]=l。
考虑到最大情况下；n=20,m=20．路径条数可能会超出长整数范围，所以要使用int64类型计数或高精度运算。
【参考程序】program p2_1(input,output);constdx: array[1..8] of Shortint=(-2, -1, 1, 2, 2, 1, -1, -2);dy: array[1..8] of Shortint=(1, 2, 2, 1, -1, -2, -2, -1);varn, m, x, y, i, j: Byte;g: array[0..20, 0..20] of Byte;f: array[0..20, 0..20] of int64;beginReadln(n, m, x, y);Fillchar(g, Sizeof(g), 0);g[x,y]:=1;for i:=1 to 8 doif (x+dx[i]>=0)and(x+dx[i]<=n)and(y+dy[i]>=0)and(y+dy[i]<=m)theng[x+dx[i],y+dy[i]]:=1;f[0,0]:=1;for i:=1 to n doif g[i,0]=0 then f[i,0]:=f[i-1,0];for i:=1 to m doif g[0,i]=0 then f[0,i]:=f[0, i-1];for i:=1 to n dofor j:=1 to m doif g[i,j]=0 then f[i,j]:=f[i-1,j] + f[i,j-1];writeln(f[n,m])end.解决递推类型问题有三个重点：一是如何建立正确的递推关系式．二是递推关系有何性质，三是递推关系式如何求解。