递推算法
递推算法、顺推、逆推概念
递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法、顺推、逆推是非常重要的概念。
这些概念在算法设计、程序编写等方面都有着广泛的应用。
本文将详细介绍这些概念的含义、应用以及实现方法。
一、递推算法递推算法是一种基于已知的初始条件和递推公式来计算未知项的算法。
在递推算法中，我们需要根据问题的特点，找到递推公式，然后通过递推公式来推导出后续的解。
递推算法通常用于计算数列、矩阵、图形等数学问题，也可以用于解决计算机科学中的一些问题。
例如，斐波那契数列就是一个典型的递推算法问题。
斐波那契数列的递推公式如下：F(n) = F(n-1) + F(n-2)其中，F(0)=0，F(1)=1。
这个递推公式的意思是，斐波那契数列的第n个数等于前两个数之和。
我们可以通过递推公式来计算斐波那契数列的任意一项。
例如，我们可以通过递推公式计算出斐波那契数列的前10项：F(0) = 0F(1) = 1F(2) = F(1) + F(0) = 1 + 0 = 1F(3) = F(2) + F(1) = 1 + 1 = 2F(4) = F(3) + F(2) = 2 + 1 = 3F(5) = F(4) + F(3) = 3 + 2 = 5F(6) = F(5) + F(4) = 5 + 3 = 8F(7) = F(6) + F(5) = 8 + 5 = 13F(8) = F(7) + F(6) = 13 + 8 = 21F(9) = F(8) + F(7) = 21 + 13 = 34递推算法的优点是简单、易于理解和实现。
但是，递推算法的时间复杂度可能会很高，因为在计算每一项时都需要计算前面的项。
因此，在使用递推算法时，需要注意时间复杂度的问题。
二、顺推和逆推顺推和逆推是递推算法中的两种常见实现方法。
顺推是从已知的初始条件开始，按照递推公式依次计算每一项的值，直到计算出所需的项。
而逆推则是从所需的项开始，倒推出前面的所有项。
顺推通常用于计算数列、矩阵等递推算法问题。
递推法算法
递推法算法递推法算法是一种常用的数学和计算机科学中的算法思想，它通过利用问题中的已知信息，通过递推关系来求解未知信息。
在实际应用中，递推法算法广泛用于解决递推问题、数列问题、动态规划等。
本文将介绍递推法算法的基本原理和应用场景。
一、递推法算法的基本原理递推法算法的基本原理是通过已知信息推导出未知信息的方法。
它利用问题中的递推关系，通过逐步迭代计算，将已知信息不断传递到后续的未知信息中，从而求解整个问题。
在递推法算法中，首先确定初始条件，也就是已知的起始信息。
然后，根据递推关系，计算出下一个未知信息。
接着，将这个未知信息作为已知信息，再次利用递推关系计算下一个未知信息。
如此反复，直到得到问题的最终解。
递推法算法在数学和计算机科学中有广泛的应用场景。
下面分别介绍几个常见的应用场景。
1.递推问题递推问题是指通过前一项或前几项的信息，推导出下一项的信息的问题。
例如斐波那契数列，每一项都是前两项的和。
利用递推法算法，可以通过已知的前两项计算出后续的所有项。
2.数列问题数列问题是指通过已知的数列前几项的信息，推导出数列的通项公式或后续的项。
例如等差数列和等比数列，通过递推法算法可以快速求解出数列的通项公式，从而计算出数列的任意一项。
3.动态规划动态规划是一种通过将一个复杂问题分解为多个子问题来求解的方法。
递推法算法在动态规划中起到了关键的作用。
通过递推法算法，可以将大问题分解为多个小问题，并通过已知的小问题的解来计算出大问题的解。
三、递推法算法的优势递推法算法具有以下几个优势。
1.简单易懂递推法算法的思想简单易懂，适用于各种问题的求解。
只要找到递推关系和初始条件，就可以通过简单的迭代计算得到问题的解。
2.高效快捷递推法算法通过利用已知信息和递推关系，避免了重复计算和不必要的操作，从而提高了计算效率。
在实际应用中，递推法算法常常能够大幅减少计算时间。
3.灵活性强递推法算法的灵活性强，适用于各种形式的问题。
只要能够找到递推关系和初始条件，就可以使用递推法算法来解决问题。
稳定的递推算法
稳定的递推算法1 稳定的递推算法是什么？稳定的递推算法是指一种通过已知的初始值和递推公式计算后续值的数学算法。
这种算法不仅能够正确和快速地计算出数列中每一项的值，而且其计算过程是稳定可靠的，不会出现数据不准确或计算错误的情况。
2 递推算法的基本原理递推算法是一种基于数学归纳法的算法。
具体地说，其基本原理是依据已知的初值和递推关系式，逐步推导出数列中的每一项的值。
递推算法的一般形式为：f(n) = g(f(n-1))其中，f(n) 是数列中第 n 项的值，g 是递推关系式，f(n-1) 是数列中的前一项。
3 稳定递推算法的特点稳定递推算法有以下特点：1. 不会出现“死循环”：这是因为递推公式和初值的限制条件能够确保计算过程的唯一性和有限性。
2. 对于相同的初值和递推公式，计算结果的可复现性非常好，而且速度较快。
3. 稳定递推算法的计算量较小，适用于大型数列的计算。
4 稳定递推算法在计算机科学中的应用稳定递推算法在计算机科学中有着广泛的应用，特别是在数据结构和算法领域。
下面介绍其中两个经典的例子：1. 斐波那契数列斐波那契数列是指这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、34、… 其中每一项都是前两项的和。
这个数列可以使用递推算法进行计算，而且计算速度很快。
2. 动态规划算法动态规划算法是一种递推算法，其应用广泛，涵盖了很多领域，比如图像处理、自然语言处理、人工智能等。
动态规划算法通常是在递归的基础上进行计算，但是由于递推公式的稳定性，其速度通常会比递归算法快得多。
5 稳定递推算法的实现方式稳定递推算法的实现方式通常是使用循环结构，在每一次循环中，根据递推公式和前一项的值计算出当前项的值，并赋值给当前项。
循环的次数就是要求的数列的项数。
6 稳定递推算法的优化稳定递推算法的优化主要是通过改善递推公式和优化循环结构来提高算法的效率和稳定性。
一些文献指出，使用矩阵乘法等方法可在一定程度上提高递推算法的计算速度。
递推算法
引例:Fibonacci数列
• Fibonacci数列的代表问题是由意大利著名 数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子繁 殖问题”(又称“Fibonacci问题”)。
• 问题： 一个数列的第0项为0，第1项为1，以
后每一项都是前两项的和，这个数列就是 著名的裴波那契数列，求裴波那契数列的 第N项。
cin>>x>>y>>z;a[1]=1; for(i=1;i<=z+1;i++)
for(k=1;k<=z+1;k++) a[i+k*x+2]+=y*a[i];
for(i=1;i<=z+1;i++)sum+=a[i]; cout<<sum<<endl; return 0; }
顺推举例3——杨辉三角1547
迭代举例5——楼梯走法
问题描述：设有一个N级楼梯，某人每步可以走1级、2级、或者 3级，求某人从底层开始走完全部楼梯的走法。
n=1 f(1)=1: 1 n=2 f(2)=2: 1 1; 2 n=3 f(3)=4: 1 1 1 ; 2 1; 1 2; 3 n=4 f(4)=7: 1 1 1 1 ; 2 1 1; 1 2 1; 3 1 ; 1 1 2; 2 2 ; 1 3
• 对一个试题，我们要是能找到后一项与前一项的关系并清 楚其起始条件（或最终结果），问题就可以递推了，接下 来便是让计算机一步步了。让高速的计算机从事这种重复 运算，真正起到“物尽其用”的效果。
递推概念
给定某些项Hi(0<i<n)联系起来， 这样的式子就叫做递推关系。
递推算法(C++版)
int main()
{
int n,i,j,a[101];
cout<<"input n:";
//输入骨牌数
cin>>n;
a[1]=1;a[2]=2;
cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl;
cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl;
for (i=3;i<=n;i++)
//递推过程
{
int n,m; cin>>m>>n; int m1=m,n1=n,s1=m*n; while (m1!=0&&n1!=0) {
m1--;n1--; s1+=m1*n1; } int s2=((m+1)*(n+1)*m*n)/4-s1; cout<<s1<<" "<<s2<<endl; }
//计算正方形的个数s1 // 计算长方形的个数s2
其实，本题稍加分析就能发现，要到达棋盘上的一个点，只能从左边过 来（我们称之为左点）或是从上面过来（我们称之为上点），所以根据加 法原理，到达某一点的路径数目，就等于到达其相邻的上点和左点的路径 数目之和，因此我们可以使用逐列（或逐行）递推的方法来求出从起点到 终点的路径数目。障碍点（马的控制点）也完全适用，只要将到达该点的 路径数目设置为0即可。
个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。
例如：当 N=2， M＝3时：
正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。
递推算法概念
递推算法概念
递推算法是一种基于已知结果推导出后续结果的算法。
它是一种比较常用的计算机编程思路，在各种场景下都能发挥出良好的效果。
递推算法的基本思路是从已知的初始值开始，根据递推关系式，求解下一个结果，最终得到所需的结果。
递推算法的优点在于它可以大大减少计算量。
在许多计算问题中，递推算法都能用更少的时间和空间复杂度得到正确的结果。
同时，递推算法的思路简单，对于初学者来说也比较容易理解和实现。
递推算法有多种形式，如斐波那契数列、杨辉三角等等。
在实践中，递推算法常常用于动态规划、计算几何、图论等领域，它们大大提高了算法效率，能够有效解决许多实际问题。
在使用递推算法时，我们需要注意一些问题。
首先，我们必须准确地描述递推关系式，这是正确求解下一个结果的关键。
其次，我们必须确定好递推的边界条件，避免出现无效或死循环的情况。
最后，在实现过程中，我们还需要考虑算法的效率和精度，避免出现由于计算过程中的误差而影响结果的情况。
综上所述，递推算法是一种非常有用的计算机编程思路。
它能够大大
提高算法效率，有效地解决许多实际问题。
在使用递推算法时，我们需要注意一些问题，如准确描述递推关系式、确定递推的边界条件、考虑算法的效率和精度等。
只有在正确理解和使用递推算法时，我们才能充分发挥它的优点，有效地解决实际问题。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【参考程序】 #include<iostream> using namespace std; int main() { int f[1001][2],n,i,x; cin>>n; f[1][1]=1;f[1][0]=9; for(i=2;i<=n;i++) { x=f[1][0]; if(i==n)x--; f[i][0]=(f[i-1][0]*x+f[i-1][1])%12345; f[i][1]=(f[i-1][1]*x+f[i-1][0])%12345; } cout<<f[n][0]; return 0; }
下面是输入n，输出x1~xn的c++程序： #include<iostream> using namespace std; int main() { int n,i,j,a[101]; cout<<"input n:"; //输入骨牌数 cin>>n; a[1]=1;a[2]=2; cout<<"x[1]="<<a[1]<<endl; cout<<"x[2]="<<a[2]<<endl; for (i=3;i<=n;i++) //递推过程 { a[i]=a[i-1]+a[i-2]; cout<<"x["<<i<<"]="<<a[i]<<endl; } } 下面是运行程序输入 n=30，输出的结果： input n: 30 x[1]=1 x[2]=2 x[3]=3 ........ x[29]=832040 x[30]=1346269
递推算法
联系题目：1290 献给杭电五十周年校庆的礼物1297 Children’s Queue1438 钥匙计数之一1465 ~14661480 钥匙计数之二2013 蟠桃记2018 母牛的故事2041~20422044~2050 (10/5专题练习)所谓递推思想，如何开始自己的递推思路是十分重要的！针对不同的递推题目，就递推的源头而言，可以分解为两类：倒推法和顺推法。
递推进阶案例：1-------基本递推案例：有5人坐在一起，当问第5个人多少岁,他说比第4个人大2岁，问第4个人多少岁,他说比第3个人大2岁，依此下去，问第一个人多少岁，他说他10岁，最后求第5个人多少岁？递推公式：()()⎪⎩⎪⎨⎧≥+-==22)1(110)(n n f n n f2-------递推进阶案例：在一个平面上有一个圆和n 条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域？ 递推公式：F(1)=2;F(n) = F(n-1)+n; 化简后：F(n) = n(n+1)/2 +1;3-------递推进阶案例：折线分割平面问题描述：平面上有n 条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块?样例输入12样例输出27递推公式：Zn = 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n= 2 n^2 – n + 14------递推进阶案例：问题的提出：设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数？递推公式及图解：5------高阶递推案例：经典错排问题某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。
求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况?分析思路：1、当N=1和2时，易得解～，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：当有N封信时，则有两种情况：首先：可以从前N-1封信中任取第K封和第N封错装，但是不将第N封信放入第K个信箱，故=F(N-1) * (N-1) 或者：将第K封信和第N封信交换信封，则以后对剩余的N-2封信进行错排，故= F(N-2) * (N-1).基本形式：d[1]=0; d[2]=1递归式：d[n]= (n-1)*( d[n-1] + d[n-2])。
递推算法
For i:=1 to t do //计算加入跑步选择时的每秒最大距离 begin if f[i]< f[i-1]+17 then f[i]:= f[i-1]+17; if f[i]>=s then begin //刚好离岛，输出 writeln('Yes'); writeln(i); halt; end; end; writeln('No');//不能离岛，输出 writeln(f[t]); end. 本题有多种解决问题的方法，然而，在上述分析中很巧妙地运用了分而治之 的思想，把原来跑步、魔法、休息交错在一起的问题条件分离开，考虑在只有魔 法情况下每秒最远距离，此时，很容易用上问题的贪心条件，能用魔法尽量用上 魔法，求只有魔法情况下每秒最远距离的递推式写起来也很简单。接着，考虑跑 步的情况，当前秒的跑步距离由上一秒加17递推得到，每秒最远距离为跑步距离 和魔法距离中的最大值。这是一道很好的题，建议大家用不同方法解决之，然后， 从中体会分解问题的方法和技巧。
【样例输出】 10 【注意】 测试数据规模： 保证100%的数据n<=1000。 问题分析：
求最小路径得分，比较容易想到的是： 1．如果知道从第1行走到第n行各数字上的最小得分， 那么，从中取最小值即可； 2．第n行是从n-1行走下来的，如果知道第n-1层各数字 位置上的最小得分值，那么根据规则每步只能沿左斜线 向下或沿右斜线向下，要使第n层的各数字位上得到最 小得分值，只能从左上和右上两个得分值中取小的一个 与当前位的数字相加； 3．同理，第n-1层各数位上的最小得分可以从第n-2层 推出；
递推算法
递推是计算机数值计算中的一个重要算法。 思想是通过数学推导，将复杂的运算化解为若 干重复的简单运算，以充分发挥计算机善长于 重复处理的特点。
二项式系数和算法
二项式系数和算法一、递推法递推法是计算二项式系数的一种常用方法，它基于以下的递推关系：C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数。
递推法的思想是利用递推关系将问题规模不断缩小，最终得到解决。
具体的计算步骤如下：1. 定义一个二维数组coef，用来存储计算过程中的中间结果。
2. 初始化数组coef的第一列和对角线元素为1，即C(n, 0) = C(n, n) = 13. 从数组的第二行开始，遍历数组的每一行，对于每一行的每一个元素，根据递推关系计算其值，即coef[i][j] = coef[i-1][j-1] +coef[i-1][j]。
4. 最终，数组coef的最后一行中的元素即为最终结果，即C(n, k)。
递推法的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n^2)。
二、杨辉三角法杨辉三角法是计算二项式系数的另一种常用方法，它利用了杨辉三角的性质。
杨辉三角是一个由多个二项式系数构成的三角形。
计算二项式系数的步骤如下：1. 定义一个二维数组coef，用来存储杨辉三角的每个元素。
2. 初始化数组coef的第一列和对角线元素为1，即C(n, 0) = C(n, n) = 13. 从数组的第三行开始，遍历数组的每一行，对于每一行的每一个元素，根据杨辉三角的性质计算其值，即coef[i][j] = coef[i-1][j-1] + coef[i-1][j]。
4. 最终，数组coef的最后一行中的元素即为最终结果，即C(n, k)。
杨辉三角法的时间复杂度为O(n^2)，空间复杂度为O(n^2)。
三、Lucas定理Lucas定理是一种用来计算二项式系数的定理，它基于二项式系数和模数之间的关系。
Lucas定理的表述如下：C(n, k) ≡ C(n // p, k // p) * C(n % p, k % p) (mod p)其中C(n,k)表示从n个元素中选取k个元素的组合数，p为质数。
算法 递推
算法递推什么是递推算法？递推算法，也称为递归算法，是一种通过将问题分解为更小的子问题来解决复杂问题的方法。
在递推算法中，问题的解决方法依赖于对其更小的子问题的解决方法。
通过不断地将问题分解为更小的子问题，并将子问题的解决方法合并起来，递推算法能够有效地解决复杂的问题。
递推算法通常使用递归函数来实现。
递归函数是一种调用自身的函数，它通过不断地调用自身来解决问题。
递推算法的核心思想是将复杂问题分解为更小的子问题，并通过递归函数来解决这些子问题。
递推算法的特点递推算法具有以下几个特点：1.分解问题：递推算法通过将复杂问题分解为更小的子问题来解决问题。
这种分解的过程可以使问题的解决方法更加清晰和简单。
2.自相似性：递推算法的解决方法具有自相似性。
也就是说，问题的解决方法可以通过对更小的子问题的解决方法进行递归调用来得到。
3.递归调用：递推算法使用递归函数来解决问题。
递归函数是一种调用自身的函数，通过不断地调用自身来解决子问题。
4.终止条件：递推算法需要定义终止条件，以避免无限递归。
当满足终止条件时，递归函数将停止递归调用，并返回结果。
递推算法的应用递推算法在计算机科学和数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的递推算法应用场景：1.斐波那契数列：斐波那契数列是一个经典的递推数列，它的定义是：第n个数等于前两个数的和。
斐波那契数列可以用递推算法来计算。
2.阶乘计算：阶乘是一个常见的数学运算，表示从1到n的连续整数的乘积。
阶乘计算可以使用递推算法来实现。
3.图的遍历：图是一种常见的数据结构，用于表示对象之间的关系。
图的遍历是指按照一定的规则遍历图中的所有节点。
图的遍历可以使用递推算法来实现。
4.排列组合：排列组合是一种数学运算，用于计算从n个元素中选择k个元素的不同方式的数量。
排列组合可以使用递推算法来计算。
以上只是递推算法的一些常见应用场景，实际上递推算法在解决各种复杂问题时都有着广泛的应用。
递推算法的实现递推算法的实现通常使用递归函数来完成。
04.递推算法(C++版包括习题参考答案)
【例6】过河卒（Noip2002） 【问题描述】 棋盘上A点有一个过河卒，需要走到目标B点。卒行走的规则：可以向 下、或者向右。同时在棋盘上的任一点有一个对方的马（如C点），该马 所在的点和所有跳跃一步可达的点称为对方马的控制点，如图3-1中的C点 和P1，„„，P8，卒不能通过对方马的控制点。棋盘用坐标表示，A点 (0,0)、B点(n, m) (n,m为不超过20的整数),同样马的位置坐标是需要给 出的，C≠A且C≠B。现在要求你计算出卒从A点能够到达B点的路径的条数。
min{m , n}1 i 0
s 1=
(n i ) * (m i )
2.长方形和正方形的个数之和s 宽为1的长方形和正方形有m个，宽为2的长方形和正方形有 m-1个，┉┉，宽为m的长方形和正方形有1个； 长为1的长方形和正方形有n个，长为2的长方形和正方形有n1个，┉┉，长为n的长方形和正方形有1个； 根据乘法原理
【例3】棋盘格数
设有一个N*M方格的棋盘（ l≤ N≤100，1≤M≤100）。求出该棋盘中包含有多少 个正方形、多少个长方形（不包括正方形）。 例如：当 N=2， M＝3时： 正方形的个数有8个：即边长为1的正方形有6个；边长为2的正方形有2个。 长方形的个数有10个：即2*1的长方形有4个：1*2的长方形有3个：3*1的长 方形有2个：3*2的长方形有1个： 程序要求：输入：N，M 输出：正方形的个数与长方形的个数 如上例：输入：2 3 输出：8 10 【算法分析】 1.计算正方形的个数s1 边长为1的正方形个数为n*m 边长为2的正方形个数为(n-1)*(m-1) 边长为3的正方形个数为(n-2)*(m-2) ………… 边长为min{n，m}的正方形个数为(m-min{n，m}+1)*(n-min{n，m}+1) 根据加法原理得出
递推算法知识总结
递推算法知识总结1. 什么是递推算法？递推算法（Recursion）是一种解决问题的方法，其中问题由一个或多个基本的解决方案定义。
通常，递推算法在一个或多个基本案例（base case）上定义，并且是通过将问题分解为规模较小的相似子问题而递归地求解的。
2. 递推算法的特点递推算法具有以下几个特点：•递推算法是一种直接或间接调用自身的算法；•递推算法具有基本案例，即能直接求解的问题情形；•递推算法将一个规模较大的问题转化为一个规模较小的相似子问题，并通过递归调用求解；•递推算法的递归调用必须在某种方式下收敛，即必须能够到达基本案例。
3. 递推算法的应用场景递推算法在计算机科学和数学中有着广泛的应用，特别适合解决以下问题：•计算斐波那契数列；•数值累加或累乘计算；•深度优先搜索；•解决汉诺塔问题；•求解图的连通性或最短路径；•解决一些数学问题，如八皇后问题等。
4. 递推算法的实现方式递推算法可以通过编程语言中的函数调用机制来实现。
以下是递推算法的一般框架：def recursion(n):if n == base_case:return base_solutionelse:# 将问题分解为较小的子问题subproblems = decompose(n)# 递归调用results = [recursion(subproblem) for subproblem in subproblems]# 组合子问题的结果return combine(results)在上述实现中，base_case表示基本案例，是问题的直接解决方案。
当问题规模缩小到基本案例时，递归将不再继续，直接返回基本案例的解决方案。
decompose函数将问题分解为更小的相似子问题。
可以根据具体问题的特点设计合适的分解方式。
combine函数将子问题的结果合并为原问题的解决方案。
5. 递推算法的优缺点递推算法具有以下优点：•递推算法能够将问题转化为更小的相似子问题，降低了问题的复杂度；•递推算法能够利用相似子问题的解决方案，减少了计算量。
递推算法简介
递推算法是一种根据递推关系进行问题求解的方法。
递推关系可以抽象为一个简单的数学模型，即给定一个数的序列a0，a1...，an若存在整数n0，使当n>n0时可以用等号将an与其前面的某些项ai联系起来,这样的式子成为递推公式。
递推算法是一种简单的算法，通过已知条件利用特点的递推关系可以得出中间推论，直至得到问题的最终结果，递推算法分为顺推法和逆推法两种，顺推法则是在不知道初始条件的情况下，从问题的结果除非经递推关系逐步推算出问题的解，这个问题的解也是问题的初始条件。
递归法是从已知条件出发，一步步地递推出未知项，直到问题的解。
递归也是递推的一种，只不过它是对待解问题的递推，知道把一个负责的问题递推为简单的易解问题，然后再一步步返回，从而得到原问题的解。
严格来讲，递归不仅仅是一种问题求解方法，更是一种编程技术，许多算法可以通过递归技术来编程实现。
在计算机科学中，人们把程序直接或间接调用自身的过程称为递归。
过程或函数直接调用自身的递归成为直接递归，间接调用自身的递归称为间接递归。
在问题求解中，采用递归算法有两个重要的好处：一是容易证明算法有两个重要的好处，其次是代码实现简洁，代码编程量少。
不足是程序运行效率较低。
递推算法的基本思想是把一个复杂庞大的计算过程转化为简单过程的多次重复。
该算法利用了计算机速度快和自动化的特点。
而递归法的思想是从已知条件出发，一步步地递推出未知项，直到问题的解。
递推算法、顺推、逆推概念
递推算法、顺推、逆推概念在计算机科学中，递推算法是一种基于已知结果计算下一个结果的算法。
递推算法通常用于计算数列、统计问题和最短路径等问题。
递推算法可以分为两种类型：顺推和逆推。
顺推算法是从已知的第一个值开始，按照某种规律依次计算出后续的值。
例如，斐波那契数列就是一种顺推算法。
斐波那契数列的计算规律是：第一个值为0，第二个值为1，后续的值等于前两个值的和。
因此，斐波那契数列的前几个值为0、1、1、2、3、5、8、13、21……逆推算法则是从已知的最后一个值开始，按照某种规律依次计算出前面的值。
逆推算法通常用于计算最短路径等问题。
例如，如果要计算从起点到终点的最短路径，可以从终点开始，逆推出每个节点的最短路径，最终得出起点的最短路径。
递推算法也可以用于解决统计问题。
例如，如果要计算n个人中任选k个人的组合数，可以使用递推算法。
假设已知n个人中任选k-1个人的组合数为C(n,k-1)，则n个人中任选k个人的组合数为C(n-1,k-1)+C(n-1,k)。
这是因为，当第n个人被选中时，剩下的k-1个人必须从前n-1个人中选，而当第n个人不被选中时，剩下的k个人必须从前n-1个人中选。
因此，n个人中任选k个人的组合数等于这两种情况的组合数之和。
递推算法具有简单、高效的特点，适用于大部分数学问题的求解。
但是，在实际应用中，递推算法也有一些缺点。
首先，递推算法需要占用大量的内存空间，因为需要保存所有已知结果。
其次，递推算法对于某些问题可能无法求解，因为递推过程中可能会出现死循环或无法到达的状态。
总之，递推算法是一种重要的计算机算法，可以用于解决数学问题、统计问题和最短路径等问题。
顺推和逆推是递推算法的两种基本形式，分别适用于不同的问题类型。
在实际应用中，需要根据具体问题选择合适的递推算法。
递推算法分析课件
定义与特点
定义
递推算法是一种通过已知信息逐步推 导出其他信息的方法，通常从一个初 始状态出发，按照一定的规则逐步推 导出最终结果。
特点
递推算法具有明确性、可计算性和可 实现性，能够根据已知信息逐步推导 出结果，适用于解决一些具有规律性 的问题。
递推算法的分类
线性递推
根据已知的线性关系式，逐步推导出最终结果， 如等差数列求和等。
研究如何提高递推算法的稳定 性，减少初始值对结果的影响
，提高结果的可靠性。
探索新的应用场景
挖掘递推算法在其他领域的应 用潜力，如物理、化学、生物 等学科中的复杂问题求解。
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ANALYSIS
SUMMAR Y
O(2^n)等。
03
递推算法时间复杂度分析
递推算法的时间复杂度取决于递推关系的复杂度和递归深度。通过分析
递推关系，可以估算算法的时间复杂度，并比较不同算法的效率。
空间复杂度
1 2 3
空间复杂度定义
空间复杂度是衡量算法所需存储空间随输入规模 增长而增长的量级，也用大O表示法表示。
递归与堆栈空间
递归算法需要使用堆栈来保存递归过程中的状态 ，因此其空间复杂度通常较高。迭代算法则通常 只需少量额外空间。
要点二
详细描述
杨辉三角是一个由数字组成的三角形，每个数字是它正上 方和左上方的两个数字之和。从第二行开始，每个数字都 是上一行相邻两个数字之和。通过递推关系式，我们可以 依次生成每个数字，最终得到完整的杨辉三角。
插入排序算法的改进
总结词
插入排序算法是一种简单的排序算法，通过将元素逐个 插入到已排序序列中实现排序。
第三章 递推算法
1、顺推 由已知推结果 、
算法分析： 算法分析： 当n=1时，只能有一种铺法，即x1=1； 时 只能有一种铺法， ； 有2*n的长方形 的长方形 当n=2时，骨牌可以两个并列竖放或横放，再无他 时 骨牌可以两个并列竖放或横放， 方格，用n个1*2的 法，即x2=2； 方格， 个 的 ； 骨牌铺满方格。 骨牌铺满方格。编 一程序， 一程序，试对给出 当n=3时，骨牌可以全部竖放；也可以一竖两横或 时 骨牌可以全部竖放； 的任意一个n(n>0), 的任意一个n(n>0), 两横一竖， 两横一竖，即x3=3； ； 输出铺法总数。 输出铺法总数。 由此可以看出n=3的骨牌排列方法数是 的骨牌排列方法数是n=1和n=2的 由此可以看出 的骨牌排列方法数是 和 的 排列方法数之和。 排列方法数之和。即xn=xn-1+xn-2；(n>2) ； 算法： 算法：procedure gp(n:int); begin x:=0;y:=1； ； for i:=1 to n do [z:=x+y; 输出 输出(z);x:=y; y:=z;] end； ； 例题一
上机练习
1、棋盘格数； 、棋盘格数； 问题描述】设有一个n*m的方格棋盘（1=<n,m<=100）。 的方格棋盘（ 【问题描述】设有一个 的方格棋盘 ）。 求出该棋盘中包含的正方形、长方形的个数。 求出该棋盘中包含的正方形、长方形的个数。 输入】 【输入】2 3 {n，m} ， 【输出】8 输出】 10
5 7 3 8 2 4 8 1 7 5 0 4 2 4 6 5
for i:=1 to n do for j:=1 to i do read(a[i,j]); for i:=n-1 downto 1 do for j:=1 to i do if a[i+1,j]>=a[i+1,j+1] then a[i,j]:=a[i,j]+ a[i+1,j] else a[i,j]:=a[i,j]+ a[i+1,j+1] ; writeln(a[1,1]; end； ；
递推算法——精选推荐
递推算法递推法是一种重要的数学方法，它在数学的各个领域中都有着广泛的应用。
同时，它也是计算机用于数值计算中的一种重要算法。
1．认识递推常常遇到这样的问题：在一个序列中，下一项的值对其前一项有着某种依赖关系，求某项的值要从第一项起经过逐次推算而得到。
例如：数列0，3，6，9，12，15，…该数列的后一项的值是前一项的值加3，欲求第十项，必须先用第一项的值加3，求出第二项，然后求出第三项，第四项，第五项，…，直到第十项，当然必须事先给定第一项的值（称为边界条件或初始条件）。
可以看出，第n项的值等于第n-1项的值加3。
即：a n=a n-1+3, (n>1) (递推公式)a1=0, (n=1) (边界条件)这种在规定的初始条件下，找出后项对前项的依敕关系的操作，称为递推。
表示某项和它前面若干项的关系式就叫作递推公式。
在实际问题中类似的很多，处理这类问题的理想方法是用归纳法求出通项公式。
上例中的通项公式为a n=(n-1)*3 (n>=1)。
但是在许多情况下，要得到数列的通项公式是比较困难的，而通过已知条件归纳出一个递推关系则相对容易。
这时我们可以采用递推技术，避开求通项公式的麻烦，把一个复杂问题的求解，分解成为若干步重复的简单运算，由边界条件出发进行递推，最后得到最终结果，充分发挥出计算机擅长于重复处理的特长。
例1．有一组数规律如下：0，5，5，10，15，25，40，…，x n ，…。
求出该数列第n 项数值。
分析：设f（n）表示数列中第n项的数值，则f（1）=0 ，f（2）=5 是初始条件，f（n）=f（n-2）+f（n-1）（n≥3）是递推公式。
在语言实现上，我们取j、k、p三个变量，分别表示前二项、前一项与当前项，j、k分别取初值为0与5。
第一次通过递推公式p=j+k得到第三项，并进行移位，即j取k值、k取p值，为下次递推作准备；……；如此反复，经过n-2次的递推，p就是第n项的值。
算法——递推算法
算法——递推算法递推算法给定⼀个数的序列H0,H1,…,Hn,…若存在整数n0，使当n>n0时,可以⽤等号(或⼤于号、⼩于号)将Hn与其前⾯的某些项Hi(0<i<n)联系起来，这样的式⼦就叫做递推关系。
递推算法是⼀种简单的算法，即通过已知条件，利⽤特定关系得出中间推论，直⾄得到结果的算法。
递推算法分为顺推和逆推两种。
相对于算法,递推算法免除了数据进出栈的过程，也就是说,不需要函数不断的向边界值靠拢,⽽直接从边界出发,直到求出函数值.⽐如阶乘函数：f(n)=n*f(n-1)在f(3)的运算过程中,递归的数据流动过程如下:f(3){f(i)=f(i-1)*i}-->f(2)-->f(1)-->f(0){f(0)=1}-->f(1)-->f(2)--f(3){f(3)=6}⽽递推如下:f(0)-->f(1)-->f(2)-->f(3)由此可见,递推的效率要⾼⼀些,在可能的情况下应尽量使⽤递推.但是递归作为⽐较基础的算法,它的作⽤不能忽视.所以,在把握这两种算法的时候应该特别注意。
顺推法所谓顺推法是从已知条件出发，逐步推算出要解决的问题的⽅法叫顺推。
如斐波拉契数列，设它的函数为f(n),已知f(1)=1，f(2)=1;f(n)=f(n-2)+f(n-1)(n>=3,n∈N)。
则我们通过顺推可以知道,f(3)=f(1)+f(2)=2,f(4)=f(2)+f(3)=3……直⾄我们要求的解。
逆推法所谓逆推法从已知问题的结果出发，⽤迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为逆推。
递推算法的经典例⼦【案例】从原点出发，⼀步只能向右⾛、向上⾛或向左⾛。
恰好⾛N步且不经过已⾛的点共有多少种⾛法？样例输⼊：N=2样例输出：result=7样例输⼊：N=3样例输出：result=17解题思路：要解决⾛N步共有多少种⾛法，我们在拿到题⽬的时候最直接的想法就是先画出当N=1、N=2、N=3。
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课堂小结
递推算法就是指从前面的已知结果推出后面 的未知结果；或由后面的已知结果推出前 面的未知结果。 解决递推问题必须具备两个条件： 1、初始条件 2、递推关系
经典：斐波那契数列
☺ 兔子繁殖问题
假设有一对新生兔子，从第二个月开始它们每个月都生一 对兔子。按此规律，如果所有兔子都不死，那么一年后共 有多少对兔子。人们发现每月的兔子数组成如下数列： 1,1,2,3,5,8,13,21,34，……并把它称为Fibonacci数列
VB递推实现 VB递推实现
Private Sub command1_Click() Dim s As Long, n As Integer s=1 For n = 9 To 1 Step -1 s = 2 * (s + 1) Next n Label1.Caption = s End Sub Private Sub command1_Click() Dim s As Long, n As Integer 若由用户指定是第n s=1 天只剩下一个桃子， For n求第一天的桃子总 = val(text1.text) -1To 1 Step -1 数。 s = 2 * (s + 1) Next n Label1.Caption = s End Sub
干个桃子，当即吃了 一半还觉得不过瘾， 又多吃了一个。第二 天接着吃剩下桃子的 一半，仍觉得不过瘾 又多吃了一个，以后 小猴子都是吃剩下的 桃子一半多一个。
☺用循环结构实现这个算法，需要定义几个 变量，循环体和循环条件?
For 循环变量=初值 to 终值 step 步长值 循环体 Next 循环变量
VB循环结构中的 VB循环结构中的 算法
推算
பைடு நூலகம்
一步步
答案
结束 顶端
把问题推上去 结束
一步步的推
答案一步步返回
“递推”算法 递推”算法
猴子吃桃
☺ 有一天小猴子摘了若干个桃子，当即吃了一半还觉得不 过瘾，又多吃了一个。第二天接着吃剩下桃子的一半， 仍觉得不过瘾又多吃了一个，以后小猴子都是吃剩下的 桃子一半多一个。 ☺ 到第3天小猴子再去吃桃子的时候，看到只剩下一个桃 子，则小猴子第一天共摘了多少桃子？
天数 桃子树
1
2
3
10
4 1
猴子吃桃
问题二：到第10天小猴子再去吃桃子的时候，看到只
剩下一个桃子，则小猴子第一天共摘了多少桃子？ 天数 桃子树 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
10
4 1
递推关系
☺有一天小猴子摘了若
猴子第n天吃桃子前的桃子总数为Sn，吃 桃子后的桃子总数为Xn，请问Sn与Xn的关 系？（n=1、2、3、4……） 猴子第n+1天吃桃子前的桃子总数为Sn+1 ，那么Sn+1与前一天的Xn的关系？（n=1 、2、3、4……） Sn与Sn+1的关系？写出当n=1、2、3、4 、5、6、7、8、9时，S1与S2、S2与S3 、S3与S4、……S8与S9的关系。
月份 第一月 第二月 第三月 第四月 第五月 第六月 …… 新生兔 成熟 子 兔子 1
0 1 1 2 3
兔子 总数 1
1 2 3 5 8
0
1 1 2 3 5
☺ 1、斐波那契数列的规律是 什么？ ☺ 2、递推公式？ ☺ 3、在循环中需要定义几个 变量，每个变量的功能是什 么？ ☺ 4、循环条件是什么？循环 体？ ☺ 5、写出程序