北师大版高中数学选修21第三章圆锥曲线与方程word教案
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.2 抛物线教学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数
§2抛_物_线2．1 抛物线及其标准方程[对应学生用书P49]抛物线的定义如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？提示：线段DA的长．问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？提示：线段DC的长．问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？提示：相等．抛物线的定义定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)距离相等的点的集合叫作抛物线焦点定点F准线定直线l抛物线的标准方程某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．A (3,0)，B (－3,0)，C (0,3)，D (0，－3)； l 1：x ＝－3，l 2：x ＝3，l 3：y ＝－3，l 4：y ＝3.问题1：到定点A 和定直线l 1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向． 提示：y 2＝12x . 向右．问题2：到定点B 和定直线l 2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：y 2＝－12x . 向左．问题3：到定点C 和定直线l 3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝12y . 向上．问题4：到定点D 和定直线l 4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝－12y . 向下．抛物线的标准方程图像标准方程焦点坐标准线方程y 2＝2px (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0x ＝－p2y 2＝－2px (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 x ＝p 2x 2＝2py (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 y ＝－p 2x 2＝－2py (p ＞0)⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 y ＝p 21．平面内与一定点F 和一定直线l 距离相等的点的集合是抛物线，定点F 不在定直线上，否那么点的轨迹是过点F 垂直于直线l 的直线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．[对应学生用书P50]求抛物线的焦点坐标和准线方程[例1] 指出以下抛物线的焦点坐标和准线方程并说明抛物线开口方向． (1)y ＝14x 2；(2)x ＝ay 2(a ≠0)．[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p .再写出焦点坐标和准线方程．[精解详析] (1)抛物线y ＝14x 2的标准形式为x 2＝4y ，∴p ＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y ＝－1.抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y 2＝1ax ，∴2p ＝1|a |. ①当a >0时，p 2＝14a，抛物线开口向右，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a ； ②当a <0时，p 2＝－14a，抛物线开口向左，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a .综合上述，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .a >0时，开口向右；a <0时，开口向左．[一点通]1．先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p 值．2．抛物线y 2＝2ax (a ≠0)的焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，准线x ＝－a2，不必讨论a 的正负．1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：由抛物线的方程为x 2＝8y 知，抛物线的焦点在y 轴上，所以2p ＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，应选A.答案：A2．(高考)假设抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，那么p ＝________，准线方程为________．解析：因为抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2，抛物线y 2＝2px的焦点坐标为(1,0)，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－1求抛物线的标准方程[例2] (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；(3)抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3.[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1>0)或x 2＝2p 2y (p 2>0)，∵过点(－3,2)，∴4＝－2p 1(－3)或9＝2p 2·2. ∴p 1＝23或p 2＝94.故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故所求的抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p >0)或x 2＝－2py (p >0)且p ＝3，∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y .[一点通]求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p ，写出方程．(2)待定系数法，假设抛物线的焦点位置，那么可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，假设抛物线的焦点位置不确定，那么要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．3．(某某高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，那么拋物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4xD ．y 2＝4x解析：由准线方程x ＝－2，可知拋物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .答案：B4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点(－5,25)到焦点的距离是6，那么抛物线的方程是________．解析：因为点(－5,25)在第二象限，且以原点为顶点，x 轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y 2＝－2px ，把(－5,25)代入得p ＝2，故所求方程为y 2＝－4x .答案：y 2＝－4x5．焦点在x 轴上，且抛物线上横坐标为3的点A 到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程．解：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线为x ＝－p2.∵A 到焦点的距离为5，∴A 到准线的距离也是5， 即3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5，解得p ＝4.故所求的抛物线标准方程为y 2＝8x .抛物线标准方程的实际应用[例3] 某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如下图，某卡车载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4 m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．[思路点拨] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断．[精解详析] 建立如下图的平面直角坐标系． 设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，当x ＝3时，y ＝－3，即点(3，－3)在抛物线上． 代入得2p ＝3，故抛物线方程为x 2＝－3y . 集装箱的宽为3 m ，当x ＝32时，y ＝－34，而桥高为5 m ，所以5－34＝414>4.故卡车可通过此隧道． [一点通]1．此题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得方程的形式更为简单，便于计算．6．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m 时，水面宽10 m ，抛物线的方程可能是( )A ．x 2＝－256yB ．x 2＝－2512yC ．x 2＝－365yD ．x 2＝－2524y解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，那么P (5，－6)在抛物线上．∴25＝－2p (－6)，∴p ＝2512.∴抛物线方程为x 2＝－256y .答案：A7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．依题意知，点P (10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p ×(－4)，2p ＝25. 即抛物线方程为x 2＝－25y . ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB 是最长的支柱之一，点B 的坐标为(2，y B )，代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425.∴|AB |＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．1．确定抛物线的标准方程，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．2．求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，假设焦点位置不确定，要分类讨论．[对应课时跟踪训练十六]1．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－4)B ．(0，－2)C ．(－12，0)D ．(－132，0)解析：抛物线方程可化成x 2＝－8y ，所以焦点坐标为(0，－2)，应选B. 答案：B2．假设抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x 26＋y 22＝1的右焦点重合，那么p 的值为( )A ．4B ．2C ．6D ．8解析：∵a 2＝6，b 2＝2， ∴c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2.椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，p ＝4.答案：A3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，那么a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.答案：B4．假设动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，那么动圆圆心的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .答案：A5．抛物线y 2＝2px 过点M (2,2)，那么点M 到抛物线准线的距离为________．解析：因为y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52.答案：526．点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，假设点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，那么焦点F 到抛物线准线的距离等于________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：47．由条件解以下各题的标准方程及准线方程．(1)求焦点在直线2x －y ＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程． (2)抛物线方程为2x 2＋5y ＝0，求其焦点和准线方程． (3)抛物线方程为y ＝mx 2(m ≠0)，求其焦点坐标及准线方程．解：(1)直线2x －y ＋5＝0与坐标轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y 2＝－10x ，x 2＝20y .其对应准线方程分别是x ＝52，y ＝－5.(2)抛物线方程即为x 2＝－52y ，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程：y ＝58.(3)抛物线方程即为x 2＝1m y (m ≠0)，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m ，准线方程y ＝－14m .8.如图，抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是，4＋p2＝5，p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又F (1,0)，所以k AF ＝43.因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－34.那么FA 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝43x －1，y ＝－34x ＋2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45.所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.2.2 抛物线的简单性质[对应学生用书P52]太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个．问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．问题3：抛物线有对称中心吗？提示：没有．问题4：抛物线有对称轴吗？假设有对称轴，有几条？提示：有；1条．抛物线的简单性质类型y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) 图像性质焦点F⎝⎛⎭⎪⎫p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫－p2，0F⎝⎛⎭⎪⎫0，p2F⎝⎛⎭⎪⎫0，－p2准线x＝－p2x＝p2y＝－p2y＝p2X围x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴 x 轴y 轴顶点 O (0,0) 离心率 e ＝1开口方向向右向左向上向下通径过焦点垂直于对称轴的直线与抛物线交于两点P 1，P 2，线段P 1P 2叫抛物线的通径，长度|P 1P 2|＝2p1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e ＝1；4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为p2.[对应学生用书P53]利用抛物线性质求标准方程[例1] 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[思路点拨] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为± 3.[精解详析] 如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 那么|y 1|＋|y 2|＝23， 即y 1－y 2＝2 3.由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝ 3. 将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1，∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上． ∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x . [一点通]由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p 的值，其主要步骤为：1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为( )A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y解析：由顶点与焦点的距离等于3，所以p2＝3，p ＝6.又因为对称轴是y 轴，所以抛物线标准方程为x 2＝±12y .答案：C2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( )A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36x C ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x解析：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，如下图，∵△OAB 为等边三角形，且边长为1.∴A ⎝⎛⎭⎪⎫32，12. 设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， ∴14＝2p ·32，∴p ＝312， ∴抛物线方程为y 2＝36x ， 同理，当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，方程为y 2＝－36x . 答案：C3．抛物线y 2＝2px (p ＞0)，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边所在的直线方程是y ＝2x ，求此抛物线的方程．解：由题意得另一直角边所在的直线方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝2x 得三角形的一顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，p ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝－12x 得三角形的另一个顶点为(8p ，－4p )，由，得⎝ ⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋(－4p －p )2＝(213)2.解得p ＝45.故所求抛物线的方程为y 2＝85x .抛物线的定义及性质的应用[例2] 1，求动点M 的轨迹方程．[思路点拨] “点M 与点F 的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1〞，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离〞，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＋4＝0为准线的抛物线．[精解详析] 如图，设点M 的坐标为(x ，y )．由条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F (4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即p ＝8.因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：y 2＝16x . [一点通]由于抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准线距离处理．即：假设p (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px 上任意一点，那么p 到焦点F 的距离为|PF |＝x 0＋p2(称为焦半径)．4．平面上点P 到定点(0，－1)的距离比它到y ＝2的距离小1，那么点P 轨迹方程为________．解析：由题意，即点P 到(0，－1)距离与它到y ＝1距离相等，即点P 是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x 2＝－4y .答案：x 2＝－4y5．抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|PA |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6.∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|PA |＋|PF |＝|PA |＋d ，由图可知，当PA ⊥l 时，|PA |＋d 最小，最小值为72，设P (x 0，y 0)，那么y 0＝2， ∴x 0＝2.故P 点坐标为(2,2)．与焦点弦有关的问题[例3] 抛物线y 2＝2px (p >0)，直线l 过抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，0与抛物线交于A ，B 两点．求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[思路点拨] 解答此题可设出A ，B 两点坐标，并用A ，B 的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．[精解详析] 设直线l 与抛物线两交点A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .设圆心M 到准线x ＝－p2的距离为d ， 那么d ＝x 1＋x 22＋p 2＝x 1＋x 2＋p2，∴d ＝|AB |2，即圆心到准线x ＝－p2的距离等于圆的半径．∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． [一点通]1．涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，那么①|AB |＝x 1＋x 2＋p ，②x 1·x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，假设x 1＋x 2＝6，那么|AB |的值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2. ∴由抛物线定义知： |AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8.答案：B7．(某某高考)点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，那么|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3解析：如图，直线MF 的方程为x 2＋y1＝1，即x ＋2y －2＝0.设直线MF 的倾斜角为α，那么tan α＝－12.由抛物线的定义得|MF |＝|MQ |.所以|MF ||MN |＝|MQ ||MN |＝sin α＝15.答案：C1．抛物线y 2＝2px 上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离(焦半径)：|PF |＝x 0＋p2.2．假设过抛物线y 2＝2px 的焦点的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，那么|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点弦公式)．当AB ⊥x 轴时，AB 为通径且|AB |＝2p .3．解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思想的运用．[对应课时跟踪训练十七]1．设抛物线的顶点在原点，焦点F 在y 轴上，抛物线上的点(k ，－2)与F 的距离为4，那么k 的值为( )A ．4B ．－2C ．4或－4D ．2或－2解析：由题意知抛物线方程可设为x 2＝－2py (p ＞0)，那么p2＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y ，将(k ，－2)代入得k ＝±4. 答案：C2．F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，那么线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34 B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C3．(新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上的一点，假设|PF |＝42，那么△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24， 所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝2 3.答案：C4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16解析：由抛物线的定义得，|PF |＝|PA |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠PAF ＝60°. △PAF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos 60°＝8.答案：B5．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是________．解析：设抛物线的方程为y 2＝2ax ，那么F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，0.∴|y |＝2a ×a2＝a 2＝|a |.由于通径长为6，即2|a |＝6， ∴a ＝±3.∴抛物线方程为y 2＝±6x . 答案：y 2＝±6x6．对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件： ①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．那么使抛物线方程为y 2＝10x 的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)． 解析：由抛物线方程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上，所以②适合．又∵它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤. 答案：②⑤7．抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．假设点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM |的值．解：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，那么焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准抛物线方程为x ＝－p2.∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋y 20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 22＝3.解得：p ＝1，y 0＝±22， ∴抛物线方程为y 2＝2x .∴点M (2，±22)，根据两点间距离公式有： |OM |＝22＋±222＝2 3.8．y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点． (1)假设|AB |＝10，某某数m 的值； (2)假设OA ⊥OB ，某某数m 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝8x 得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2、y 2)，那么x 1＋x 2＝8－2m ，x 1·x 2＝m 2，y 1·y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1·x 2word 21 / 21 ＋m 2＝8m .(1)因为|AB |＝1＋k 2x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·64－32m ＝10，所以m ＝716. (2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．故实数m 的值为－8.。
2017_2018学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3_1椭圆教学案北师大版选修2_1
问题2：假设动点P知足|PC|＋|PD|＝6，那么动点P的轨迹方程是什么？
提示： ＋ ＝1.
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
焦点在y轴上
标准方程
＋ ＝1(a>b>0)
＋ ＝1(a>b>0)
焦点坐标
(±c,0)
(0，±c)
a、b、c的关系
a2－b2＝c2
1．平面内点M到两定点F1，F2的距离之和为常数2a，
A. ＋ ＝1B. ＋ ＝1
C. ＋ ＝1D. ＋ ＝1
解析：由椭圆概念知：2a＝ ＋ ＝ ＋ ＝2 .
∴a＝ .∴b＝ ＝ .
答案：A
5．椭圆5x2－ky2＝5的一个核心是(0,2)，那么k＝________.
解析：椭圆方程可化为：x2＋ ＝1，
则a2＝－ ，b2＝1，又c＝2，
∴－ －1＝4，∴k＝－1.
3．涉及椭圆的核心三角形问题，可结合椭圆的概念列出|PF1|＋|PF2|＝2a求解，因此回归概念是求解椭圆的核心三角形问题的经常使用方式．
1．椭圆25x2＋16y2＝1的核心坐标是( )
A．(±3,0)B．(± ，0)
C．(± ，0)D．(0，± )
解析：椭圆的标准方程为 ＋ ＝1，故核心在y轴上，其中a2＝ ，b2＝ ，因此c2＝a2－b2＝ － ＝ ，故c＝ .因此该椭圆的核心坐标为(0，± )，应选D.
答案：8
6．点P在椭圆 ＋y2＝1上，且PF1⊥PF2，求S△PF1F2.
解：∵点P在椭圆上，∴|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1||PF2|＝16，
又PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝12，
北师大版高中数学选修圆锥曲线与方程综合教案
第二章《圆锥曲线与方程》教材分析本章是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。
这一章主要学习椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程、简单几何性质以及它们的简单应用全章共分6个小节，教学时间约为18课时，各小节的教学时间分配如下：2．1．椭圆及其标准方程 3课时2．2．椭圆的简单几何性质 4课时2．3．抛物线及其标准方程 2课时2．4抛物线的简单几何性质 2课时2．5双曲线及其标准方程 2课时2．6双曲线的简单几何性质 3课时小结与复习 2课时一、内容与要求(一)本章的教学内容圆锥曲线这一章研究的对象是图形，包括三种曲线：椭圆、双曲线、抛物线，使用的方法是代数方法，它的基础是第七章学过的曲线和方程的概念我们知道，曲线可以看成是符合某种条件的点的轨迹，在解析几何里用坐标法研究曲线的一般程序是：建立适当的坐标系；求出曲线的方程；利用方程讨论曲线的几何性质；说明这些性质在实际中的应用在第七草里学生已经初步学习了这种方法，不过，“圆锥曲线”这一章中，这种研究曲线的方法和过程以及它的优势体现得最突出所以，“圆锥曲线”一直是解析几何的重点内容，特别是在对学生掌握坐标法的训练方面有着不可替代的作用本章研究的椭圆、双曲线、抛物线的方程，主要是它们在直角坐标系中的标准方程，所谓标准方程就是曲线在标准位置时的方程，即曲线的中心或顶点在坐标原点，对称轴在坐标轴上时的方程，通过对这种方程的讨论得到的曲线的性质，可以利用平移图形推广到曲线的其他位置上去，所以，曲线的标准方程及它们在标准位置上的性质是本章的重点(二)教学要求本章的教学要求归纳起来有以下几点：1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程和几何性质；2．能够根据条件利用工具画圆锥曲线的图形，并了解圆锥曲线的初步应用；3．进一步掌握坐标方法；4．结合本章内容的教学，使学生进一步领会运动变化、对立统一的观点解析几何是用代数的方法解决几何问题，体现了形数结合的思想，因而这一部分的题目的综合性比较强，它要求学生既能分析图形，又能灵活地进行各种代数式和三角函数式的变形，这对学生能力的要求较高坐标方法是要求学生掌握的，但是，作为普通高中的必修课的教学要求不能过高，只能以绝大多数学生所能达到的程度为标准二、本章的主要特点(一)突出重点1．突出重点内容本章所研究的三种圆锥曲线，都是重要的曲线因为对这几种曲线研究的问题基本一致，方法相同，所以教材对这三种曲线没有平均使用时间和力量，而是把重点放在椭圆上通过求椭圆的标准方程，使学生掌握列这一类轨迹方程的一般规律，化简的常用办法这样，在求双曲线、抛物线方程的时候，学生就可以独立地，或在教师的指导下比较顺利地完成在讨论椭圆的几何性质时，教材以椭圆为例详细地说明了在解析几何中讨论曲线几何性质的一般程序，以及怎样利用方程研究曲线的范围、对称性，怎样确定曲线上的点的位置等，这样，学生在学习双曲线和抛物线时，就可以练习使用这些方法，从而在掌握解析几何基本方法上得到锻炼和提高在讨论曲线的几何性质时，不求全，有选择地介绍主要性质以便学生集中精力掌握圆锥曲线的最基本的性质2．突出坐标方法要重视数学思想方法的教学，结合教学内容，把反映出来的数学思想方法的教学，作为高中数学教学的一项重要任务来完成根据圆锥曲线这部分内容的特点，在这一章里把训练学生掌握坐标法作为这一章数学方法教学的重点例如教材在第8.6节中选择了一个求正三角形边长的例题，解这个题目时，首先要证明正三角形的对称轴就是抛物线的对称轴，这是用方程证明图形性质的问题，并且是比较典型的(二)注意内容的整体性和训练的阶段性高中数学教材是一个整体，各部分知识和技能之间是有机联系着的，特别是教材采用了“混编”的形式，将代数、立体几何、解析几何合成统一的高中数学，这就更需要加强各章之间的联系，互相配合，发挥整体的效益(三)注意调动学生学习的主动性教材是为教学服务的，归根结底是为学生服务的学生是学习的主人，只有他们有主动性，才能达到学会学好的目的目前，高中学生被动学习的现象比较突出，在调动学生学习的主动性方面，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路例如，在讲椭圆的几何性质时，由于这是第一次出现，所以教材增加了一些说明性的文字，首先说明解析几何里讨论曲线性质时，通常要讨论哪些性质，然后说明用方程讨论这些性质时的一般方法，这就使学生知道为什么学习，怎样去学习，学习就会变得主动又如，学生学习中遇到的另一个问题是不会分析问题，遇到问题不知从什么地方入手，只好被动地听讲教材注意提高例题的质量，在一些例题中给出了分析或小结(例题解后的注)，通过对一些典型例题的分析，使学生学会分析解题思路,找出问题的关键，减少解题的盲目性；通过小结，指出解决问题的一般规律，提高学生解决问题的能力，提高学习效率三、教学中应注意的问题 (一)注意准确地把握教学要求准确地把握教学要求包括两个方面，第一是把握好大纲的精神，第二是学生的实际 根据大纲的精神，圆锥曲线部分是属于控制教学要求的内容，但目前由于考试的影响，这一部分教学的要求比较高，题目的难度很大如何控制教学要求是个难点 高中的教学时间有限，作为全体学生都必须掌握的必修课程，应以最基础的知识和最基本的技能、能力为主，要使学生切实把基础打好不要过分重视技巧性很强的难题从学生的学习规律来说，训练不能一次完成，要循序渐进，打好基础才能有较大的发展余地，急于求成是不可取的；学生的基础、兴趣、志向都是不同的，要根据学生的实际提出恰当的教学要求，这样学生才有学习的积极性，才能使学生达到预定的教学要求(二)注意形数结合的教学解析几何的特点就是形数结合，而形数结合的思想是一种重要的数学思想，是教学大纲中要求学生学习的内容之一，所以在这一章的教学过程中，要时刻注意这种数学思想的教学，并注意以下几点：1．注意训练学生将几何图形的特征，用数或式表达出来，反过来，要使他们能根据点的坐标或曲线的方程，确定点的位置或曲线的性质，使学生能比较顺利地将形的问题转化为数或式的问题，将数或式的问题转化为形的问题。
高中数学圆锥曲线教案
高中数学圆锥曲线教案
一、教学目标
1.了解圆锥曲线的定义和基本性质。
2.能够掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.能够解决与圆锥曲线相关的问题。
二、教学重点和难点
重点：掌握圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
难点：理解圆锥曲线的定义及性质。
三、教学内容
1.圆锥曲线的定义和基本性质。
2.圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
3.圆锥曲线的相关问题解决方法。
四、教学过程
1.导入新知识：通过引入一个问题或实际应用场景引起学生的兴趣。
2.讲解圆锥曲线的定义和基本性质，包括椭圆、双曲线和抛物线。
3.介绍圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
4.通过实例分析，让学生熟悉解决与圆锥曲线相关的问题的方法。
5.组织学生进行练习和讨论，巩固所学知识。
6.总结本节课内容，提出问题进行思考，激发学生的学习兴趣。
五、课堂作业
1.完成练习题。
2.思考如何将圆锥曲线应用到实际生活中。
六、教学反思
本节课主要对圆锥曲线的定义和基本性质进行了讲解，并通过实例让学生掌握了圆锥曲线的标准方程及其图像特点。
同时也引导学生思考如何将所学知识应用到实际生活中。
在教学过程中需要注意引导学生正确理解圆锥曲线的概念，帮助他们建立深刻的认识。
新版高中数学圆锥曲线教案
新版高中数学圆锥曲线教案一、教学目标：1. 熟练掌握圆锥曲线的基本概念和性质；2. 能够理解常见圆锥曲线方程的几何意义；3. 能够运用圆锥曲线解决实际问题。
二、教学重点：1. 圆锥曲线的定义和分类；2. 圆锥曲线的方程及性质；3. 圆锥曲线的应用实例。
三、教学内容：1. 圆锥曲线的基本概念：椭圆、双曲线、抛物线；2. 圆锥曲线的方程：椭圆方程、双曲线方程、抛物线方程；3. 圆锥曲线的性质：焦点、准线、离心率等；4. 圆锥曲线的应用：求解实际问题。
四、教学步骤：1. 引入：通过生活实例引入圆锥曲线的概念，引发学生兴趣；2. 讲解：介绍圆锥曲线的定义、分类、方程和性质；3. 练习：让学生进行练习，巩固所学内容；4. 应用：通过应用题，让学生运用所学知识解决实际问题；5. 总结：对本节课所学内容进行总结，强化记忆。
五、教学工具：1. 讲义、教材：提供相关知识点及例题；2. 幻灯片：辅助讲解，呈现图形与方程对应关系；3. 黑板、彩色粉笔：展示解题过程；4. 习题册、练习册：让学生进行巩固练习。
六、教学评价：1. 课堂表现：学生是否积极参与讨论、思维活跃；2. 作业情况：学生对作业的完成情况及正确率；3. 考试成绩：检验学生掌握情况。
七、教学反馈：1. 整理学生反馈意见，根据学生反馈调整教学方式；2. 总结本节课教学经验，为下一节课改进教学方法做准备。
八、教学延伸：1. 给学生留下更多实例让学生探究，提高学生学习兴趣；2. 引导学生自主进行拓展探索，培养学生解决问题的能力。
以上是本节课的教案范本，希望能够对教学工作有所帮助，祝教学顺利！。
数学北师大选修2-1课件：第三章 圆锥曲线与方程 习题课1
A.1������62 + ���9���2=1 B.1������62 + ���1���22=1
C.���4���2 + ���3���2=1
D.���3���2
+
������2 4
=1
解析:因为|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,所以
|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4>|F1F2|,点P的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆,
反思感悟解决直线与椭圆的位置关系问题,一般采用代数法,即 将直线方程与椭圆方程联立,通过判别式Δ的符号决定位置关系.同 时涉及弦长问题时,往往采用设而不求的办法,即设出弦端点的坐 标,利用一元二次方程根与系数的关系,结合弦长公式进行求解.
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直线与椭圆的位置关系问题 【例2】 已知椭圆4x2+y2=1及直线y=x+m. (1)当直线和椭圆有公共点时,求实数m的取值范围; (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程. 思维点拨:(1)将直线方程与椭圆方程联立,根据判别式Δ的符号,建 立关于m的不等式求解;(2)利用弦长公式建立关于m的函数关系式, 通过函数的最值求得m的值,从而得到直线方程.
圆方程
������2 ������2
+
������������22=1
(a>b>0)联立,消去y(或x),得到关于x(或y)的一元二
次方程,记该方程的判别式为Δ.那么:若Δ>0,则直线与椭圆相交;若
Δ=0,则直线与椭圆相切;若Δ<0,则直线与椭圆相离.
北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》曲线与方程
例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A（3，0）且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3)，B(1,0)，C(-1,0)， D为BC中点，则中线AD的方程x=0
2
思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线
l
点的横坐标与纵坐标相等 条件
曲线
y
x=y（或x- y=0）方程
l
0
x-y=0
x
含有关系：
（1）
l 上点的坐标都是方程x-y=0的解
（2）以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上
∴说直线 l 的方程是 x y 0 ,又说方程 x y 0 的直线是 l .
北师大版高中数学选修2-1 第三章《圆锥曲线与方程》
1
Ⅰ、曲线与方程
复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线l的方程为 y kx ____________ b 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的直线 x-y=0 方程是______________ 3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为 2 2 2 _______________________. ( x a) ( y b) r
18
由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方 程，一般有下面几个步骤： (1)建系设点：建立适当的坐标系,用有序实数 对（x,y）表示曲线上任意一点M的坐标； (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式； (5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上. 说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相 同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况， 可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略 19 步骤（2），直接列出曲线方程.
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3 双曲线(2)教案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-
双曲线的简单性质
【教学目标】
1、掌握双曲线的简单的几何性质。
2、了解双曲线的渐近线及渐近线的概念，会用几何性质求双曲线的标准方程。
【教学过程】
一、双曲线的几何性质
1、填表
2、思考：双曲线的顶点有几个，其坐标是什么？
3、思考：椭圆与双曲线的离心率都是e,其X围相同吗？分别是什么？
二、双曲线的渐近线与等轴双曲线
1、在双曲线122
22=-b
y a x 的各支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线，也可以将这两条渐近线方程写为
2、在方程122
22=-b
y a x 中，如果b a =，那么双曲线的方程为222a y x =-，它的实轴和虚轴长都等于a 2，此时渐近线方程为，它们相互，并且双曲线实轴和虚轴所成的角，实轴长和虚轴长的双曲线叫做。
3、思考焦点在y 上的双曲线122
22=-b
y a x 其渐近线方程是什么？
4、等轴双曲线的离心率是多少？
5、例1：求双曲线1441692
2=-x y 的实轴长和虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程。
6、例2：已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其 实轴长是虚轴长的2倍，且双曲线过点（1,52）。
过该双曲线的右焦点2F 的直线l 交双曲线右支于A 、B 两点，AB =4。
（1）求此双曲线的方程
（2）设双曲线的左焦点为1F ,求△1ABF 的周长。
【知识梳理】
【典型例题】。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.1 椭圆教学案 北师大版选修21
§1 椭__圆1．1 椭圆及其标准方程[对应学生用书P43]设计游戏时，要考虑游戏的公平性．某电视台少儿节目欲设计如下游戏．规则是：参赛选手站在椭圆的一个焦点处，快速跑到随机出现在椭圆上的某一点处，然后再跑向另一个焦点，用时少者获胜．考验选手的反应能力与速度．问题1：参赛选手要从椭圆的一焦点跑向椭圆上随机一点再跑向椭圆的另一焦点，每个参赛选手所跑的路程相同吗？提示：相同．问题2：这种游戏设计的原理是什么？提示：椭圆的定义．椭圆上的点到两焦点距离之和为定值．问题3：在游戏中，选手所跑的路程能否等于两焦点间的距离？为什么？ 提示：不能．椭圆上的点到两焦点距离之和一定大于两焦点间的距离．椭圆的定义在平面直角坐标系中，已知A (－2,0)，B (2,0)，C (0,2)，D (0，－2)． 问题1：若动点P 满足|PA |＋|PB |＝6，则P 点的轨迹方程是什么？ 提示：x 29＋y 25＝1.问题2：若动点P 满足|PC |＋|PD |＝6，则动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29＋x 25＝1.椭圆的标准方程1．平面内点M 到两定点F 1，F 2的距离之和为常数2a ， 当2a >|F 1F 2|时，点M 的轨迹是椭圆；当2a ＝|F 1F 2|时，点M 的轨迹是一条线段F 1F 2； 当2a <|F 1F 2|时，点M 的轨迹不存在．2．椭圆的标准方程有两种形式，若含x 2项的分母大于含y 2项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之焦点在y 轴上．[对应学生用书P44][例1] (1)a ＝4，c ＝3，焦点在y 轴上； (2)a ＋b ＝8，c ＝4；(3)经过点A (3，－2)和点B (－23，1)．[思路点拨] 求椭圆的标准方程时，要先判断焦点位置，确定椭圆标准方程的形式，最后由条件确定a 和b 的值．[精解详析] (1)焦点在y 轴上，设标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 27＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a 2－b 2＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a ＋b a －b ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，a －b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1. (3)法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧32a 2＋－2b 2＝1，－232a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.所以所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2＋32b 2＝1，1a 2＋－232b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.舍去，故所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，且m ≠n )．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.[一点通]求椭圆标准方程的一般步骤为：1．如果方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－6，－2)∪(3，＋∞)解析：由于椭圆的焦点在x 轴上，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞a ＋6，a ＋6＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋a －＞0，a ＞－6.解得a ＞3或－6＜a ＜－2，故选D.答案：D2．已知椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为______________．解析：由已知，2a ＝8,2c ＝215，∴a ＝4，c ＝15， ∴b 2＝a 2－c 2＝16－15＝1，∴椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y 216＋x 2＝13．求焦点在坐标轴上，且过点A (2,0)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32的椭圆的标准方程． 解：法一：若焦点在x 轴上，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，依题意，有⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝1，1a 2＋34b 2＝1，解得a 2＝4，b 2＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，同理⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，b 2＝4，这与a >b 矛盾．故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.法二：设椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． 将A ，B 坐标代入得⎩⎪⎨⎪⎧4m ＝1，m ＋34n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝14，n ＝1，故所求椭圆方程为x 24＋y 2＝1.[例2] 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在椭圆上，F 1，F 2为椭圆的两个焦点，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．[思路点拨] 因为∠PF 1F 2＝120°，|F 1F 2|＝2c ，所以要求S △PF 1F 2，只要求|PF 1|即可．可由椭圆的定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，并结合余弦定理求解．[精解详析] 由已知a ＝2，b ＝3， 所以c ＝a 2－b 2＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1|·|F 1F 2|·cos 120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② 将②代入①解得|PF 1|＝65，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|F 1F 2|·sin 120°＝12×65×2×32＝335.因此所求△PF 1F 2的面积是35 3.[一点通]椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12|PF 1|·|PF 2|sin ∠F 1PF 2求面积，这时可把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，运用公式|PF 1|2＋|PF 2|2＝4a 2－2|PF 1||PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求出|PF 1|和|PF 2|，这样可以减少运算量．4．平面内有一个动点M 及两定点A ，B .设p ：|MA |＋|MB |为定值，q ：点M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆．那么( )A ．p 是q 的充分不必要条件B ．p 是q 的必要不充分条件C ．p 是q 的充要条件D ．p 既不是q 的充分条件，又不是q 的必要条件解析：若|MA |＋|MB |为定值，只有定值>|AB |时，点M 轨迹才是椭圆．故p 为q 的必要不充分条件．答案：B5．已知F 1，F 2为椭圆x 225＋y 29＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点．若|AF 2|＋|BF 2|＝12，则|AB |＝________.解析：由题意，知(|AF 1|＋|AF 2|)＋(|BF 1|＋|BF 2|)＝|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝2a ＋2a ，又由a ＝5，可得|AB |＋(|AF 2|＋|BF 2|)＝20，即|AB |＝8.答案：86．点P 在椭圆x 24＋y 2＝1上，且PF 1⊥PF 2，求S △PF 1F 2.解：∵点P 在椭圆上，∴|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16， 又PF 1⊥PF 2，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝12， ∴|PF 1||PF 2|＝2，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝1.[例3] AC 的垂直平分线l 与线段CB 的交点P 的轨迹方程．[思路点拨] P 为AC 垂直平分线上的点，则|PA |＝|PC |，而BC 为圆的半径，从而4＝|PA |＋|PB |，可得点P 轨迹为以A ，B 为焦点的椭圆．[精解详析] 如图所示，连接AP ，∵l 垂直平分AC ，∴|AP |＝|CP |.∴|PB |＋|PA |＝|BP |＋|PC |＝4， ∴P 点的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆． ∵2a ＝4,2c ＝|AB |＝2， ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3. ∴点P 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.[一点通]求解有关椭圆的轨迹问题，一般有如下两种思路：(1)首先通过题干中给出的等量关系列出等式，然后化简等式得到对应的轨迹方程； (2)首先分析几何图形所揭示的几何关系，对比椭圆的定义，然后设出对应椭圆的标准方程，求出其中a ，b 的值，得到标准方程．7．△ABC 的两个顶点坐标分别是B (0,6)和C (0，－6)，边AB ，AC 所在直线的斜率的乘积是－23，求顶点A 的轨迹方程．解：设顶点A 的坐标为(x ，y )，由题意得y －6x ·y ＋6x ＝－23，化简整理，得x 254＋y 236＝1， 又A ，B ，C 是△ABC 的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，因此y ≠±6，所以顶点A 的轨迹方程为x 254＋y 236＝1(y ≠±6)．8．已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且在定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64的内部与其相内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．解：设动圆M 和定圆B 内切于点C ，由|MA |＝|MC |得|MA |＋|MB |＝|MC |＋|MB |＝|BC |＝8，即动圆圆心M 到两定点A (－3,0)，B (3,0)的距离之和等于定圆的半径，∴动圆圆心M 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 且2a ＝8,2c ＝6，b ＝a 2－c 2＝7， ∴M 的轨迹方程是x 216＋y 27＝1.1．用待定系数法求椭圆的标准方程时，若已知焦点的位置，可直接设出标准方程；若焦点位置不确定，可分两种情况求解；也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )求解．2．解决与椭圆有关的轨迹问题时，要注意检验所得到的方程的解是否都在曲线上． 3．涉及椭圆的焦点三角形问题，可结合椭圆的定义列出|PF 1|＋|PF 2|＝2a 求解，因此回归定义是求解椭圆的焦点三角形问题的常用方法．[对应课时跟踪训练十四1．椭圆25x 2＋16y 2＝1的焦点坐标是( ) A ．(±3,0) B ．(±13，0)C ．(±320，0)D ．(0，±320)解析：椭圆的标准方程为x 2125＋y 2116＝1，故焦点在y 轴上，其中a 2＝116，b 2＝125，所以c2＝a 2－ b 2＝116－125＝9400，故c ＝320.所以该椭圆的焦点坐标为(0，±320)，故选D.答案：D2．若椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( ) A ．5 B ．6 C ．4D ．1解析：由椭圆的定义知a ＝5，点P 到两个焦点的距离之和为2a ＝10.因为点P 到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10－5＝5，故选A.答案：A3．已知椭圆的焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，P 是椭圆上的一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则该椭圆的标准方程为( )A.x 216＋y 29＝1 B.x 216＋y 212＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 23＋y 24＝1 解析：∵F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴|F 1F 2|＝2， 又∵|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝2|F 1F 2|＝4，即2a ＝4. 又c ＝1，∴b 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.答案：C4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－32的椭圆的标准方程是( )A.x 210＋y 26＝1B.y 210＋x 26＝1 C.x 294＋y 2254＝1 D.y 294＋x 2254＝1 解析：由椭圆定义知：2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52＋22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝3102＋102＝210.∴a ＝10.∴b ＝a 2－c 2＝ 6. 答案：A5．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k ＝________. 解析：椭圆方程可化为：x 2＋y 2－5k＝1，则a 2＝－5k，b 2＝1，又c ＝2，∴－5k－1＝4，∴k ＝－1.答案：－16．设P 是椭圆x 29＋y 25＝1上一点，F 1，F 2是其左、右两焦点，若|PF 1|·|PF 2|＝8，则|OP |＝________.解析：由题意，|PF 1|＋|PF 2|＝6，两边平方得|PF 1|2＋2|PF 1|·|PF 2|＋|PF 2|2＝36.因为|PF 1|·|PF 2|＝8，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝20.以PF 1，PF 2为邻边做平行四边形，则|OP |正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2|OP |)2＋(2c )2＝2(|PF 1|2＋|PF 2|2)．所以4|OP |2＋(2×2)2＝2×20，所以|OP |＝ 6.答案： 67．求以椭圆9x 2＋5y 2＝45的焦点为焦点，且经过点M (2，6)的椭圆的标准方程． 解：法一：方程9x 2＋5y 2＝45可化为x 25＋y 29＝1.则焦点是F 1(0,2)，F 2(0，－2)．设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)，∵M 在椭圆上，∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2| ＝2－02＋6－22＋2－02＋6＋22＝(23－2)＋(23＋2) ＝43，∴a ＝23，即a 2＝12. ∴b 2＝a 2－c 2＝12－4＝8. ∴椭圆的标准方程为y 212＋x 28＝1.法二：由题意知，焦点F 1(0,2)，F 2(0，－2)，则 设所求椭圆方程为y 2λ＋4＋x 2λ＝1(λ＞0)，将x ＝2，y ＝6代入，得6λ＋4＋4λ＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)． 所求椭圆方程为y 212＋x 28＝1.8．点P 为椭圆x 24＋y 2＝1上一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．解：由题意知，a ＝2，b ＝1，c ＝3，|PF 1|＋|PF 2|＝4.① 在△F 1PF 2中，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 60°， 即12＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|PF 1||PF 2|.② ①2得：|PF 1|2＋|PF 2|2＋2|PF 1||PF 2|＝16.③ 由②③得：|PF 1||PF 2|＝43.∴S △F 1PF 2＝12|PF 1||PF 2|sin 60°＝12×43×32＝33.1．2 椭圆的简单性质[对应学生用书P46]中国第一颗探月卫星－－“嫦娥一号”发射后，首先进入一个椭圆形地球同步轨道，在第16小时时它的轨迹是近地点200 km ，远地点5 100 km 的椭圆，地球半径约为6 371 km.问题1：此时椭圆的长轴长是多少？提示：⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝6 371＋200，a ＋c ＝6 371＋5 100⇒2a ＝18 042 (km)．问题2：此时椭圆的离心率为多少？ 提示：∵a ＝9 021，c ＝2 450， ∴e ＝c a＝0.271 6.椭圆的简单性质1．椭圆上到中心距离最远和最近的点：短轴端点B 1和B 2到中心O 的距离最近；长轴端点A 1和A 2到中心O 的距离最远．2．椭圆上一点与焦点距离的最值：点(a,0)，(－a,0)与焦点F 1(－c,0)的距离，分别是椭圆上的点与焦点F 1的最大距离和最小距离．3．椭圆的离心率反映了焦点远离中心的程度，e 的大小决定了椭圆的形状，反映了椭圆的圆扁程度．因为a 2＝b 2＋c 2，所以b a＝1－e 2，因此，当e 越趋近于1时，b a越接近于0，椭圆越扁；当e 越趋近于0时，b a越接近于1，椭圆越接近于圆．当且仅当a ＝b 时，c ＝0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x 2＋y 2＝a 2.所以e 越大椭圆越扁，e 越小椭圆越圆．[对应学生用书P47][例1] 已知椭圆m 的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．[思路点拨] 将椭圆方程化为标准形式，用m 表示出a ，b ，c ，再由e ＝32，求出m 的值，然后再求2a,2b ，焦点坐标，顶点坐标．[精解详析] 椭圆方程可化为x 2m ＋y 2mm ＋3＝1(m >0)，∵m －m m ＋3＝m m ＋m ＋3＞0，∴m ＞mm ＋3，即a 2＝m ，b 2＝mm ＋3. ∴c ＝a 2－b 2＝ m m ＋m ＋3.由e ＝32，得 m ＋2m ＋3＝32，解得m ＝1， ∴椭圆的标准方程为x 2＋y 214＝1.∴a ＝1，b ＝12，c ＝32.∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1， 两焦点坐标分别为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0， 顶点坐标分别为A 1(－1,0)，A 2(1,0)，B 1⎝⎛⎭⎪⎫0，－12，B 2⎝⎛⎭⎪⎫0，12.[一点通] 求椭圆的性质时，应把椭圆方程化为标准方程，注意分清楚焦点的位置，准确地写出a ，b 的数值，进而求出c 及椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标等几何性质．1．已知椭圆C 1：x 212＋y 24＝1，C 2：x 216＋y 28＝1，则( )A ．C 1与C 2顶点相同B ．C 1与C 2长轴长相同 C ．C 1与C 2短轴长相同D ．C 1与C 2焦距相等解析：由两个椭圆的标准方程可知，C 1的顶点坐标为(±23，0)，(0，±2)，长轴长为43，短轴长为4，焦距为42；C 2的顶点坐标为(±4,0)，(0，±22)，长轴长为8，短轴长为42，焦距为42，故选D.答案：D2．已知椭圆的对称轴是坐标轴，两个顶点的坐标分别为(0,4)，(3,0)，则该椭圆的焦点坐标是( )A ．(±1,0)B ．(0，±1)C ．(±7，0)D ．(0，±7)解析：由题意，椭圆的焦点在y 轴上，a ＝4，b ＝3，所以c ＝a 2－b 2＝42－32＝7，所以椭圆的焦点坐标是(0，±7)，故选D.答案：D3．已知椭圆方程为4x 2＋9y 2＝36，求椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．解：把椭圆的方程化为标准方程x 29＋y 24＝1.可知此椭圆的焦点在x 轴上，且长半轴长a ＝3，短半轴长b ＝2；又得半焦距c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5.因此，椭圆的长轴长2a ＝6，短轴长2b ＝4；两个焦点的坐标分别是(－5，0)，(5，0)；四个顶点的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，(0，－2)，(0,2)．离心率e ＝53.[例2] (1)离心率e ＝23，短轴长为85；(2)在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6.[思路点拨] (1)焦点的位置不确定，可设标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．(2)画出图形，结合图形明确已知条件．[精解详析] (1)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)． 由已知得e ＝c a ＝23，2b ＝85，∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝49，b 2＝80.∴a 2＝144.∴所求椭圆的标准方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1. (2)如图所示，△A1FA 2为一等腰直角三角形，OF 为斜边A 1A 2的中线(高)，且OF ＝c ，A 1A 2＝2b ，∴c ＝b ＝3，∴a 2＝b 2＋c 2＝18， 故所求椭圆的方程为x 218＋y 29＝1.[一点通]利用椭圆的性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是： (1)确定焦点位置．(2)设出相应椭圆的方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)． (3)根据已知条件建立关于参数的方程，利用方程(组)求参数，列方程(组)时常用的关系式为b 2＝a 2－c 2，e ＝c a等．4．若点P (a,1)在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233B.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞∪⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－233C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－43解析：因为点P 在椭圆x 22＋y 23＝1的外部，所以a 22＋123＞1，解得a ＞233或a ＜－233，故选B.答案：B5．已知椭圆的对称轴是坐标轴，中心O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OFA ＝23，则椭圆的标准方程为____________．解析：∵椭圆的长轴长是6，cos ∠OFA ＝23，∴点A 不是长轴的端点(是短轴的端点)．∴|OF |＝c ，|AF |＝a ＝3，∴c 3＝23.∴c ＝2，b 2＝32－22＝5.∴椭圆的方程是x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.答案：x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝16．已知椭圆的对称轴为坐标轴，椭圆上的点到焦点的最近距离为4，短轴长为85，求椭圆的方程．解：由题意得，⎩⎨⎧b ＝45，a －c ＝4，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，c ＝8，∴椭圆的方程为x 2144＋y 280＝1或y 2144＋x 280＝1.[例3] 如图所示，椭圆的中心在原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，A ，B 是椭圆的顶点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥x 轴，PF 2∥AB ，求此椭圆的离心率．[思路点拨] 求椭圆的离心率就是设法建立a ，c 的关系式，此题可利用kPF 2＝k AB 以及a 2＝c 2＋b 2来建立a ，c 的关系．[精解详析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．则有F 1(－c,0)，F 2(c,0)，A (0，b )，B (a,0)， 直线PF 1的方程为x ＝－c ，代入方程x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，∴P ⎝⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a .又PF 2∥AB ，∴kPF 2＝k AB ，∴b 2－2ac ＝－b a，即b ＝2c . ∴b 2＝4c 2，∴a 2－c 2＝4c 2，∴c 2a 2＝15.∴e 2＝15，即e ＝55，所以椭圆的离心率为55. [一点通]1．求椭圆离心率的方法：(1)直接求出a 和c ，再求e ＝ca ，也可利用e ＝1－b 2a2求解； (2)若a 和c 不能直接求出，则看是否可利用条件得到a 和c 的齐次等式关系，然后整理成关于ca的方程，即为关于离心率e 的方程，进而求解．2．求离心率的取值范围时，常需建立不等关系，通过解不等式来求离心率的取值范围．7.如图，A ，B ，C 分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的顶点与焦点，若∠ABC＝90°，则该椭圆的离心率为( )A.5－12 B.3－12 C.2－12D.5＋14解析：∵∠ABC ＝90°，∴|BC |2＋|AB |2＝|AC |2， ∴c 2＋b 2＋a 2＋b 2＝(a ＋c )2，又b 2＝a 2－c 2， ∴a 2－c 2－ac ＝0. ∴e 2＋e －1＝0，e ＝5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫e ＝－5－12舍去. 答案：A1．已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，要先化成标准形式，再确定焦点位置，求准a ，b .2．求离心率e 时，注意方程思想的运用．[对应课时跟踪训练十五1．若椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝105，则m 的值是( )A ．3B ．3或253C.15D.5或5153解析：若焦点在x 轴上，则a ＝5，由c a ＝105得c ＝2， ∴b ＝a 2－c 2＝3，∴m ＝b 2＝3. 若焦点在y 轴上，则b 2＝5，a 2＝m .∴m －5m ＝25， ∴m ＝253.答案：B2．(广东高考)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 24＋y 23＝1 C.x 24＋y 22＝1 D.x 24＋y 23＝1 解析：由右焦点为F (1,0)可知c ＝1，因为离心率等于12，即c a ＝12，故a ＝2，由a 2＝b2＋c 2知b 2＝3，故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.故选 D.答案：D3．(新课标全国卷)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12 B.23 C.34D.45解析：由题意可得|PF 2|＝|F 1F 2|，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ＝2c . ∴3a ＝4c .∴e ＝34.答案：C4．已知P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，则m 2＋n 2的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：因为P (m ，n )是椭圆x 2＋y 22＝1上的一个动点，所以m 2＋n 22＝1，即n 2＝2－2m 2，所以m 2＋n 2＝2－m 2，又－1≤m ≤1，所以1≤2－m 2≤2，所以1≤m 2＋n 2≤2，故选B.答案：B5．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________． 解析：由题意2b >2c ，即b >c ，即a 2－c 2>c ， ∴a 2－c 2>c 2，则a 2>2c 2.∴c 2a 2<12，∴0<e <22. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 6．焦点在x 轴上的椭圆，焦距|F 1F 2|＝8，离心率为45，椭圆上的点M 到焦点F 1的距离2，N 为MF 1的中点，则|ON |(O 为坐标原点)的值为________．解析：∵|F 1F 2|＝2c ＝8，e ＝c a ＝45，∴a ＝5，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝10，|MF 1|＝2，∴|MF 2|＝8. 又∵O ，N 分别为F 1F 2，MF 1的中点，∴ON 是△F 1F 2M 的中位线，∴|ON |＝12|MF 2|＝4.答案：47．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为32，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为12；(2)对称轴是坐标轴，一个焦点是(0,7)，一个顶点是(9,0)．解：(1)依题意设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12，∴2a ＝12，即a ＝6.∵椭圆的离心率为32， ∴e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝32，∴36－b 26＝32，∴b 2＝9. ∴椭圆的标准方程为x 236＋y 29＝1. (2)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，可设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则b ＝9，因为c ＝7，所以a 2＝b 2＋c 2＝81＋49＝130，所以椭圆的标准方程为y 2130＋x 281＝1. 8．已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限内的一点，若2AF ·12F F ＝0，椭圆的离心率等于22，△AOF 2的面积为22，求椭圆的方程． 解：如图，∵2AF ·12F F ＝0，∴AF 2⊥F 1F 2，∵椭圆的离心率e ＝c a ＝22， ∴b 2＝12a 2，设A (x ，y )(x >0，y >0)， 由AF 2⊥F 1F 2知x ＝c ，∴A (x ，y )代入椭圆方程得c 2a 2＋y 2b2＝1， ∴y ＝b 2a .∵△AOF 2的面积为22， ∴S △AOF 2＝12c ·b 2a＝22， 而c a ＝22，∴b 2＝8，a 2＝2b 2＝16，x2 16＋y28＝1.故椭圆的标准方程为：。
陕西省西安市高中数学 第三章圆锥曲线与方程教案 北师大版选修21
陕西省西安市高中数学第三章圆锥曲线与方程教案北师大版选修21教材解析与以往教材中先讲曲线方程的概念，再用方程研究曲线性质的“演绎”式的处理不同，本教材从必修部分开始，先直接给出直线、圆等特殊曲线的方程，并用其研究曲线性质，这是符合学生的认知规律，使得“形式化”有了感性的基础，深化了对数学本质的理解．另外对圆锥曲线的学习,主要是结合已学过的曲线及其方程的实例,了解曲线与方程的对应关系，进一步体会数形结合的思想.同时,在学习平面解析几何初步的基础上,学习圆锥曲线与方程,了解圆锥曲线与二次方程的关系，掌握圆锥曲线的基本几何性质,感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．课时安排3．1 椭圆 4课时3.1.1 椭圆及其标准方程3.1.2 椭圆的简单性质3．2 抛物线 3课时3.2.1 抛物线及其标准方程3.2.2 抛物线的简单性质3．3 双曲线 3课时3.3.1 双曲线及其标准方程3.3.2 双曲线的简单性质3．4 曲线与方程 3课时3.4.1 曲线与方程3.4.2 圆锥曲线的共同特征3.4.3 直线与圆锥曲线的交点小结 1课时§3.1.1椭圆的标准方程(1)§3.1.1椭圆及其标准方程（2）§3.1.2 椭圆的简单性质授课时间第周星期第节课型讲授新课主备课人李春侠学习目标依据椭圆图形及标准方程，概括出椭圆的简单性质.掌握4点性质与图形的对应关系，能依据性质画椭圆简图重点难点重点是由图形和方程观察概括出性质，离心率的意义及转化是难点学习过程与方法自主学习：【回顾】①到两定点距离之和等于一定值的点的轨迹一定是椭圆吗？②方程14922=+yx，表示怎么样的椭圆？（焦点,,a b c值）1.阅读课本P65至66例4前，回答：标准方程22221(0)x ya ba b+=>>或22221(0)y xa ba b+=>>中①椭圆既是对称图形，又是对称图形，其对称轴是对称中心是②椭圆所有点都在由直线和围成的矩形内，所以，椭圆上点的坐标满足③椭圆的四个顶点其中:12A A叫12B B叫且︱12A A︳= ︱12B B︱=a叫，b叫。
高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.4 曲线与方程教学案 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-
§4曲线与方程4．1 曲线与方程[对应学生用书P60]在平面直角坐标系中，到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程中．问题1：直线y＝x上任一点M到两坐标轴距离相等吗？提示：相等．问题2：到两坐标轴距离相等的点都在直线y＝x上吗？提示：不一定．问题3：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是什么？提示：y＝±x.方程的曲线、曲线的方程在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上，那么，这条曲线叫作方程的曲线，这个方程叫作曲线的方程．判断方程是否是曲线的方程，要从两方面考虑，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．[对应学生用书P61]曲线与方程的概念的理解[例1] (1)判断点A(－4,3)，B(－32，－4)，C(5，25)是否在方程x2＋y2＝25(x≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，假设点M (m ，2)与点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．[思路点拨] 由曲线与方程的关系知，只要点M 的坐标适合曲线的方程，那么点M 就在方程所表示的曲线上；而假设点M 为曲线上的点，那么点M 的坐标(x 0，y 0)一定适合曲线的方程．[精解详析] (1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，那么点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25，因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎪⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.[一点通]1．判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可； (2)假设所给点在曲线上，那么点的坐标适合曲线的方程，由此可求点或方程中的参数． 2．判断方程是否是曲线的方程，要从两个方面着手，一是检验点的坐标是否都适合方程，二是检验以方程的解为坐标的点是否都在曲线上．1．“点M 在曲线y 2＝4x 上〞是“点M 的坐标满足方程y ＝－2x 〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：点M 在曲线y 2＝4x 上，假设点M (x 0，y 0)，那么y 20＝4x 0，不能得出y 0＝－2x 0；假设点M (x 0，y 0)满足方程y ＝－2x ，那么y 0＝－2x 0，∴y 20＝4x 0，故为必要不充分条件．答案：B2．判断以下结论的正误，并说明理由．(1)过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线的方程为x ＝0； (2)到x 轴距离为2的点的轨迹方程为y ＝－2；(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程为xy ＝1；(4)△ABC 的顶点A (0，－3)，B (1,0)，C (－1,0)，D 为BC 中点，那么中线AD 的方程为x ＝0.解：(1)过点A (3,0)且垂直于x 轴的直线方程为x ＝3， ∴结论不正确．(2)∵到x 轴距离为2的点的轨迹方程是y ＝±2， ∴结论错误．(3)到两坐标轴的距离的乘积等于1的点的轨迹方程应为|x |·|y |＝1，即xy ＝±1，∴结论错误．(4)中线AD 是一条线段，而不是直线，应为x ＝0(－3≤y ≤0)， ∴结论错误.由方程确定曲线[例2] (1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？ (2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？[思路点拨] 由曲线的方程研究曲线的特点，类似于用函数的解析式研究函数的图像，可由方程的特点入手分析．[精解详析] (1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0，或x －1＝0，即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)， (2)方程的左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0， 而2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －12＝0，y ＋12＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴方程表示的图形为点A (1，－1)． [一点通]曲线的方程是曲线的代数表达，判断方程表示什么曲线，可根据方程的特点利用配方、因式分解等方法对方程变形，转化为我们熟知的曲线方程，在变形时，应保证变形过程的等价性．3．方程|x |＋|y |＝1表示的曲线是( )解析：原方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤0，x －y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≤0，x ＋y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，y ≥0，－x ＋y ＝1.作出其曲线为D. 答案：D4．方程4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0表示的曲线是( ) A ．一个点B ．两条互相平行的直线C ．两条互相垂直的直线D ．两条相交但不垂直的直线 解析：∵4x 2－y 2＋4x ＋2y ＝0， ∴(2x ＋1)2－(y －1)2＝0， ∴2x ＋1＝±(y －1)，∴2x ＋y ＝0或2x －y ＋2＝0，这两条直线相交但不垂直．答案：D5．方程1－|x|＝1－y表示的曲线为( )A．两条线段B．两条直线C．两条射线D．一条射线和一条线段解析：由得1－|x|＝1－y,1－y≥0,1－|x|≥0.∴有y＝|x|，|x|≤1.∴曲线表示两条线段，应选A.答案：A求曲线的方程[例3] 如图F(1,0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，且QP·QF＝FP·FQ，求动点P的轨迹方程．[思路点拨] 此题可设出P(x，y)，那么Q(－1，y)．然后由QP·QF＝FP·FQ 得出P(x，y)满足的关系式，整理后即可得P的轨迹方程．[精解详析] 设点P(x，y)，那么Q(－1，y)，QP＝(x＋1,0)，QF＝(2，－y)，FP ＝(x－1，y)，FQ＝(－2，y)，由QP·QF＝FP·FQ，∴(x＋1,0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，∴2x＋2＝－2x＋2＋y2，即动点P的轨迹方程为y2＝4x.[一点通]1．求曲线方程的基本思路是：建系设点、列等式、代换、化简、证明(五步法)．在解题时，根据题意，正确列出方程是关键，还要注意最后一步，如果有不符合题意的特殊点要加以说明．一般情况下，求出曲线方程后的证明可以省去．2．直接法、定义法、代入法是求曲线方程的基本方法．6．定点A(－1,0)，B(1,0)，动点P满足直线PA，PB的斜率之积为－1，那么动点P满足的方程是( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝1(x ≠±1) C ．x 2＋y 2＝1(x ≠0) D ．y ＝1－x 2(x ≠±1)解析：设动点P 的坐标为(x ，y )，那么k PA ＝yx ＋1(x ≠－1)，k PB ＝y x －1(x ≠1)．∵k PA ·k PB ＝－1， ∴y x ＋1·yx －1＝－1，整理得x 2＋y 2＝1(x ≠±1)． 答案：B7．△ABC 的两个顶点A (－2,0)，B (0，－2)，第三个顶点C 在曲线y ＝3x 2－1上移动，求△ABC 的重心G 的轨迹方程．解：设△ABC 的重心G (x ，y )，C (x 0，y 0)，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0－23，y ＝y 0－23，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x ＋2，y 0＝3y ＋2.∵点C 在y ＝3x 2－1上，∴y 0＝3x 20－1，即3y ＋2＝3(3x ＋2)2－1. 整理得y ＝9x 2＋12x ＋3.∴△ABC 的重心G 的轨迹方程为y ＝9x 2＋12x ＋3.8．等腰三角形ABC 中，假设一腰的两个端点分别为A (4,2)，B (－2,0)，A 为顶点，求另一腰的一个端点C 的轨迹方程．解：设点C 的坐标为(x ，y )， ∵△ABC 为等腰三角形，且A 为顶点， ∴|AB |＝|AC | 又∵|AB |＝4＋22＋22＝210，∴|AC|＝x－42＋y－22＝210，∴(x－4)2＋(y－2)2＝40.又∵点C不能与B重合，也不能使A、B、C三点共线，∴x≠－2且x≠10，∴点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝40(x≠－2且x≠10)．1．理解曲线的方程与方程的曲线的概念必须注意：(1)曲线上点的坐标都是方程的解．(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．2．求曲线的方程时，假设题设条件中无坐标系，那么需要恰当建系，要遵循垂直性和对称性的原那么，即借助图形中互相垂直的直线建系，借助图形的对称性建系．一方面让尽量多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简洁．[对应课时跟踪训练二十]1．下面四组方程表示同一条曲线的一组是( )A．y2＝x与y＝xB．y＝lg x2与y＝2lg xC.y＋1x－2＝1与lg(y＋1)＝lg(x－2)D．x2＋y2＝1与|y|＝1－x2解析：考察每一组曲线方程中x和y的取值X围，不难发现A，B，C中各对曲线的x 与y的取值X围不一致．答案：D2．两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，那么点P满足的方程的曲线所围成的图形的面积为( )A．πB．4πC ．8πD ．9π解析：设P 为(x ，y )，由|PA |＝2|PB |，得x ＋22＋y 2＝2x －12＋y 2，即(x －2)2＋y 2＝4，∴点P 满足的方程的曲线是以2为半径的圆，其面积为4π. 答案：B3．方程x 2＋xy ＝x 的曲线是( ) A ．一个点 B ．一个点和一条直线 C ．一条直线D ．两条直线解析：x 2＋xy ＝x ，即x 2＋xy －x ＝0， ∴x (x ＋y －1)＝0，∴x ＝0或x ＋y －1＝0. 故方程表示两条直线． 答案：D4．点A (0，－1)，点B 是抛物线y ＝2x 2＋1上的一动点，那么线段AB 的中点M 满足的方程为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝6x 2D ．y ＝8x 2解析：设B (x 0，y 0)，M (x ，y )． ∵M 是AB 的中点， ∴x ＝x 0＋02，y ＝y 0－12，得x 0＝2x ，y 0＝2y ＋1.又∵B (x 0，y 0)在抛物线y ＝2x 2＋1上，∴y 0＝2x 20＋1，即2y ＋1＝2(2x )2＋1，因此y ＝4x 2，故M 满足的方程为y ＝4x 2. 答案：B5．在△ABC 中，A (2,0)，B (－1,2)，点C 在直线2x ＋y －3＝0上移动．那么△ABC 的重心G 满足的方程为________．解析：设△ABC 的重心G 的坐标为(x ，y )，点C 的坐标为(x 0，y 0)，那么 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋－1＋x 03，y ＝0＋2＋y 03，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3x －1，y 0＝3y －2，∵ 点C 在直线2x ＋y －3＝0上，故有6x ＋3y －7＝0， 又∵重心G 不在AB 上，故x ≠34，y ≠56，∴重心G 满足的方程为6x ＋3y －7＝0(x ≠34)．答案：6x ＋3y －7＝0(x ≠34)6．方程x 24－k ＋y 2k －1＝1表示的曲线为C ，给出以下四个命题：①曲线C 不可能是圆；②假设1<k <4，那么曲线C 为椭圆； ③假设曲线C 为双曲线，那么k <1或k >4；④假设曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，那么1<k <52.其中正确的命题是________．解析：当4－k ＝k －1，即k ＝52时表示圆，命题①不正确；显然k ＝52∈(1,4)，∴命题②不正确；假设曲线C 为双曲线，那么有(4－k )(k －1)<0，即k <1或k >4，故命题③正确；假设曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，那么4－k >k －1>0，解得1<k <52，命题④正确．答案：③④7．直角三角形ABC ，∠C 为直角，A (－1,0)，B (1,0)，求满足条件的点C 的轨迹方程． 解：设C (x ，y )，那么AC ＝(x ＋1，y )，BC ＝(x －1，y )． ∵∠C 为直角，∴AC ⊥BC ，即AC ·BC ＝0， 即(x ＋1)(x －1)＋y 2＝0.化简得x 2＋y 2＝1.∵A ，B ，C 三点要构成三角形， ∴A ，B ，C 不共线，∴y ≠0， ∴C 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1(y ≠0)．8．设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN ＝2MP ，PM ⊥PF .当点P 在y 轴上运动时， 求N 点的轨迹C 的方程．解：∵MN ＝2MP ，故P 为MN 中点． 又∵PM ⊥PF ，P 在y 轴上，F 为(1,0)． 故M 在x 轴的负方向上，设N (x ，y )(x >0)， 那么M (－x,0)，P (0，y2)，∴PM ＝(－x ，－y2)，PF ＝(1，－y2)．又∵PM ⊥PF ，故PM ·PF ＝0， 即－x ＋y 24＝0，∴y 2＝4x (x >0)．即N 点的轨迹C 的方程为y 2＝4x (x >0)．4．2 & 4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点[对应学生用书P63]圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上点M (x ，y )到定点F (c,0)的距离和它到定直线x ＝a 2c的距离比是常数e .问题1：假设F (4,0)，l ：x ＝254，e ＝45，那么点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？提示：x 225＋y 29＝1，椭圆．问题2：假设F (5,0)，l ：x ＝165，e ＝54，那么点M 的轨迹方程是什么？轨迹呢？提示：x 216－y 29＝1，双曲线．圆锥曲线的共同特征圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e . 当0<e <1时，圆锥曲线是椭圆； 当e >1时，圆锥曲线是双曲线； 当e ＝1时，圆锥曲线是抛物线．直线与圆锥曲线的交点问题1：假设直线与椭圆有一个公共点，那么直线与椭圆相切．正确吗？ 提示：正确．问题2：假设直线与抛物线有一个公共点，那么直线与抛物线一定相切吗？ 提示：不一定．当直线与抛物线的对称轴平行时，也只有一个交点． 问题3：过(2,0)点能作几条直线和双曲线x 24－y 23＝1仅有一个交点？提示：3条．曲线的交点设曲线C 1：f (x ，y )＝0，C 2：g (x ，y )＝0，曲线C 1和C 2的任意一个交点的坐标都满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ，y ＝0，g x ，y ＝0.反过来，该方程组的任何一组实数解都对应着这两条曲线的某一交点的坐标．1．椭圆、双曲线、抛物线上的点都满足到定点的距离与到定直线的距离的比值是常数e .2．直线方程与曲线方程联立方程组转化为一元二次方程是解决直线与曲线相交问题的基本方法．[对应学生用书P63]圆锥曲线共同特征的应用[例1] 曲线上的点M (x ，y )到定点F (5,0)的距离和它到直线l ：x ＝165的距离之比是常数54，(1)求此曲线方程；(2)在曲线求一点P 使|PF |＝5. [思路点拨] (1)可由|MF |与d (d 为M 到l ：x ＝165的距离)比为54，列出M (x ，y )满足的关系，进而求出曲线的方程．(2)由|PF |＝5，可得P 到l 的距离为4，从而可求得P 的坐标．[精解详析] (1)设d 是点M 到定直线l 的距离，根据题意，曲线上的点M 满足|MF |d ＝54，由此得x －52＋y2⎪⎪⎪⎪⎪⎪165－x ＝54， 即x －52＋y 2＝54⎪⎪⎪⎪⎪⎪165－x ，两边平方整理得x 216－y 29＝1. (2)设P (x ，y )到l 的距离为d ，由|PF |＝5，得d ＝4. 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪165－x ＝4，解得x ＝365或x ＝－45.由于|x |≥4，故x ＝－45不合题意，舍去．由x ＝365得y ＝±6514.∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫365，±6145.[一点通]圆锥曲线上点的横(纵)坐标与该点到定直线的距离和它到焦点的距离有密不可分的联系，这种关系要通过圆锥曲线的共同特征建立，这种关系的应用可以实现点到点的距离向点到直线的距离的转化，从而使运算得以简化．1.抛物线y 2＝2px (p >0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是它的焦点，假设|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，那么( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．y 1，y 2，y 3成等差数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列 解析：由抛物线定义：|AF |＝|AA ′|，|BF |＝|BB ′|，|CF |＝|CC ′|. ∵2|BF |＝|AF |＋|CF |，∴2|BB ′|＝|AA ′|＋|CC ′|. 又∵|AA ′|＝x 1＋p 2，|BB ′|＝x 2＋p 2，|CC ′|＝x 3＋p2，∴2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p2⇒2x 2＝x 1＋x 3.答案：A2．点A (1,2)在椭圆x 216＋y 212＝1内，F 的坐标为(2,0)，在椭圆上求一点P 使|PA |＋2|PF |最小．解：∵a 2＝16，b 2＝12，∴c 2＝4，c ＝2. ∴F 为椭圆的右焦点，并且离心率为24＝12.设P 到右准线l 的距离为d ，那么|PF |＝12d ，d ＝2|PF |.∴|PA |＋2|PF |＝|PA |＋D.当P 点的纵坐标(横坐标大于零)与A 点的纵坐标相同时，|PA |＋d 最小，如图．把y ＝2代入x 216＋y 212＝1，得x ＝463(负值舍去)，即P ⎝⎛⎭⎪⎫463，2为所求的点. 直线与圆锥曲线的交点[例2] 假设直线y ＝kx ＋1与焦点在x 轴上的椭圆25＋2m＝1总有公共点，求m 的取值X 围．[思路点拨] 几何法：由于直线过定点(0,1)，而直线与椭圆总有公共点，所以(0,1)必在椭圆内部或边界上，结合椭圆的位置关系可求m 的X 围．代数法：联立直线与椭圆方程组成方程组，根据方程组有解来求m 的X 围．[精解详析] 法一：由于椭圆的焦点在x 轴上，知 0<m <5.又∵直线与椭圆总有公共点，∴直线所经过的定点(0,1)必在椭圆内部或边界上， ∴025＋12m ≤1，即m ≥1， 故m 的取值X 围是m ∈[1,5)．法二：由椭圆方程及椭圆焦点在x 轴上知0<m <5.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 25＋y2m＝1得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0， 又直线与椭圆有公共点，∴上述方程的Δ≥0对一切k 都成立， 即(10k )2－4(m ＋5k 2)×5(1－m )≥0， 亦即5k 2≥1－m 对一切k 都成立，∴1－m ≤0，即m ≥1，故m 的取值X 围是m ∈[1,5)． [一点通]解决直线与圆锥曲线的位置关系问题，有两种方法，代数法是一般方法，思路易得，但运算量较大，利用几何法求解思路灵活，方法简捷，故在解题时选择适当的方法可达到事半功倍的效果．3．直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支相交于不同两点，那么k 的取值X 围是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6得(1－k 2)x 2－4kx －10＝0 ①，直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支相交于不同两点，即方程①有两个不同的正实数解，所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝16k 2＋401－k 2＞0，4k 1－k 2＞0，－101－k 2＞0，解得－153＜k ＜－1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，－1 4．求过点P (0,1)且与抛物线y 2＝2x 只有一个公共点的直线方程． 解：①假设直线的斜率不存在，那么过点P (0,1)的直线方程为x ＝0.显然与抛物线只有一个公共点，即直线x ＝0与抛物线只有一个公共点．②假设直线的斜率存在，设方程为y ＝kx ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝kx ＋1，得k 2x 2＋2(k －1)x ＋1＝0，当k ＝0时，解得y ＝1，即直线y ＝1与抛物线只有一个公共点． 当k ≠0时，由Δ＝4(k －1)2－4k 2＝0，得k ＝12.即直线y ＝12x ＋1与抛物线只有一个公共点．综上所述，所求直线方程为x ＝0或y ＝1或y ＝12x ＋1.中点弦、弦长问题[例3] 过点P (－1,1)的直线与椭圆x 24＋y 22＝1交于A ，B 两点，假设线段AB 的中点恰为点P ，求AB 所在的直线方程及弦长|AB |.[思路点拨] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，把A ，B 两点的坐标代入椭圆方程相减(点差法)再结合中点坐标公式求出直线AB 的斜率，从而可求直线AB 的方程，再联立方程求得A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式求|AB |.[精解详析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由A ，B 两点在椭圆上得⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋2y 21＝4，x 22＋2y 22＝4，两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋2(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0.① 显然x 1≠x 2，故由①得k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2.因为点P 是AB 的中点，所以有x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.②把②代入①得k AB ＝12，故AB 的直线方程是y －1＝12(x ＋1)，即x －2y ＋3＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，x 24＋y22＝1，消去y 得3x 2＋6x ＋1＝0.∴x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝13，|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝x 1－x 22＋[k x 1－x 2]2＝1＋k 2x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋14·243＝303.[一点通]1．在解决直线和圆锥曲线相交中的中点弦问题时，“点差法〞是常用的方法，但是利用该法不能保证直线与圆锥曲线有两个交点，因此必须判断满足条件的直线是否存在，即把求出的直线方程与圆锥曲线方程联立，看是否满足Δ>0.2．直线y ＝kx ＋b 与曲线交于两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，弦长公式为|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)．5．双曲线焦距为4，焦点在x 轴上，且过点P (2,3)． (1)求该双曲线的标准方程；(2)假设直线l 经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m 被双曲线截得的弦长．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)，由可得左、右焦点F 1，F 2的坐标分别为(－2,0)，(2,0)， 那么|PF 1|－|PF 2|＝2＝2a ，所以a ＝1， 又c ＝2，所以b ＝3， 所以双曲线方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意可知直线l 的方程为y ＝x －2， 联立双曲线及直线方程消去y 得2x 2＋4x －7＝0，设两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以x 1＋x 2＝－2，x 1x 2＝－72，由弦长公式得|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝6.6．椭圆x 216＋y 24＝1，过点P (2,1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程．解：设直线与椭圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵P 为弦AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2. 又∵A ，B 在椭圆上，∴x21＋4y21＝16，x22＋4y22＝16.两式相减，得(x21－x22)＋4(y21－y22)＝0，即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，∴y1－y2x1－x2＝－x1＋x24y1＋y2＝－12，即k AB＝－12.∴所求直线方程为y－1＝－12(x－2)，即x＋2y－4＝0.直线与圆锥曲线的位置关系的常见类型及解法如下：(1)直线与圆锥曲线的位置关系问题可联立方程消元构造一元方程，利用判别式来解决，并应注意讨论，不要漏项，也可利用图形直观判断．(2)涉及圆锥曲线的弦长问题，一般用弦长公式|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|，弦过焦点时，也可用定义来解决．(3)解决与弦中点有关的问题的常用方法：一是联立方程用韦达定理及中点坐标公式求解．二是把端点坐标代入曲线方程，作差构造出中点坐标和直线的斜率．[对应课时跟踪训练(二十一)] 1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条解析：点(2,4)位于抛物线y2＝8x上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．答案：B2．假设直线y＝x＋2与椭圆x2m＋y23＝1有两个公共点，那么m的取值X围是( )A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(－3,0)D ．(1,3)解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2m ＋y23＝1消去y ，整理得(3＋m )x 2＋4mx ＋m ＝0.假设直线与椭圆有两个公共点，那么⎩⎪⎨⎪⎧3＋m ≠0，Δ＝4m 2－4m 3＋m ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≠－3，m ＜0或m ＞1.由x 2m ＋y 23＝1表示椭圆知，m ＞0且m ≠3. 综上可知，m 的取值X 围是m ＞1且m ≠3. 答案：B3．双曲线方程为x 2－y 24＝1，过P (1,0)的直线L 与双曲线只有一个公共点，那么共有L ( )A ．4条B ．3条C ．2条D ．1条解析：因为双曲线方程为x 2－y 24＝1，所以P (1,0)是双曲线的右顶点，所以过P (1,0)并且和x 轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P (1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．答案：B4．抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，假设线段AB 的中点的纵坐标为2，那么该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝－1C ．x ＝2D ．x ＝－2解析：抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y ＝x －p2，即x ＝y＋p2，将其代入y 2＝2px ＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋p 2＝2py ＋p 2， 所以y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 22＝p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x ，准线方程为x ＝－1. 答案：B5．双曲线x 2－y 23＝1，过P (2,1)点作一直线交双曲线于A ，B 两点，并使P 为AB 的中点，那么直线AB 的斜率为________．解析：法一：显然直线AB 存在斜率， 设AB 斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 那么AB 方程为y －1＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2＋1，x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2＋(4k 2－2k )x －4k 2＋4k －4＝0， ∴x 1＋x 2＝2k －4k 23－k2＝4，∴k ＝6.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，且x 21－y 213＝1，x 22－y 223＝1.两式相减得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝y 1－y 2y 1＋y 23.显然x 1－x 2≠0， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝3x 1＋x 2y 1＋y 2＝6，即k AB ＝6. 答案：66．点M 到定点F (1,0)的距离与M 到定直线l ：x ＝3的距离的比为33，那么动点M 的轨迹方程为________．解析：设M (x ，y )，那么x －12＋y 2|x －3|＝33，∴3(x －1)2＋3y 2＝(x －3)2. ∴2x 2＋3y 2＝6.∴所求方程为x 23＋y 22＝1.答案：x 23＋y 22＝17．直线l 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点，且l 经过抛物线的焦点F ，点A (8,8)，求线段AB 的中点到准线的距离．解：设AB 的中点是P ，到准线的距离是|PQ |，由题意知点F (2,0)，直线AB 的方程是：y ＝43(x －2)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝43x －2，消去x 得y 2＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫34y ＋2⇒y 2－6y －16＝0⇒y 1＝8，y 2＝－2.∴|AB |＝1＋342|y 1－y 2|＝252，由抛物线的定义知：|PQ |＝12|AB |＝254.8．椭圆x 23＋y 22＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且倾斜角为45°的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点．(1)求AB 的中点坐标； (2)求△ABF 2的周长与面积．解：(1)由x 23＋y 22＝1，知a ＝3，b ＝2，c ＝1.∴F 1(－1,0)，F 2(1,0)，∴l 的方程为y ＝x ＋1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 22＝1，y ＝x ＋1，消去y 得5x 2＋6x －3＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点M (x 0，y 0)，那么x 1＋x 2＝－65，x 1x 2＝－35，x 0＝x 1＋x 22＝－35，y 0＝y 1＋y 22＝x 1＋1＋x 2＋12＝x 1＋x 22＋1＝25⎝⎛⎭⎪⎫或y 0＝x 0＋1＝－35＋1＝25，∴中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，25. (2)由题意知，F 2到直线AB 的距离d ＝|1－0＋1|12＋12＝22＝2， |AB |＝1＋k 2l ·x 1＋x 22－4x 1x 2＝835， ∴S △ABF 2＝12|AB |d ＝12×835×2＝465，△ABF 2的周长＝4a ＝4 3.[对应学生用书P66]一、圆锥曲线的定义 1．椭圆：平面内到两定点F 1，F 2距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的集合． 2．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的集合．3．双曲线：平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零小于|F1F2|)的点的集合．圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源〞，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义〞是一种重要的解题策略．二、圆锥曲线的标准方程与简单性质1．圆锥曲线的标准方程：椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式的标准方程．根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦点的位置选择恰当的方程形式．2．圆锥曲线的简单几何性质：(1)圆锥曲线的X围往往作为解题的隐含条件．(2)椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只有一条对称轴．(3)椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶点．(4)双曲线焦点位置不同，渐近线方程也不同．(5)圆锥曲线中基本量a，b，c，e，p的几何意义及相互转化是解题的重要依据．三、轨迹方程的问题求轨迹方程的几种常用方法：(1)直接法：建立适当的坐标系，设动点为(x，y)，根据几何条件直接寻求x，y之间的关系式．(2)代入法：利用所求曲线上的动点与某一曲线上的动点的关系，把所求动点转换为动点．具体地说，就是用所求动点的坐标x，y来表示动点的坐标并代入动点满足的曲线的方程，由此即可求得所求动点坐标x，y之间的关系式．(3)定义法：如果所给动点的几何条件正好符合圆、椭圆、双曲线、抛物线等某一曲线的定义，那么可直接利用这一曲线的方程写出动点的轨迹方程．(4)参数法：选择一个(或几个)与动点变化密切相关的量作为参数，用参数表示动点的坐标(x，y)，即得动点轨迹的参数方程，消去参数，可得动点轨迹的普通方程．四、直线与圆锥曲线位置关系1．直线与圆锥曲线位置关系问题是高考热点，涉及直线与圆锥曲线中的弦长、焦点弦、中点弦、取值X 围、最值、定点、定值等问题．2．这类问题往往综合性强，注重与一元二次方程中的判别式以及根与系数的关系相结合，与函数的单调性、不等式、平面向量等知识综合，解决方法主要是通过解方程组，转化为一元方程，与中点弦有关的问题也可用“点差法〞，解决问题的过程中，要注意“整体代换〞思想的应用．⎣⎢⎡⎦⎥⎤对应阶段质量检测三 见8开试卷 (时间90分钟，总分值120分)一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．抛物线y 2＝－8x 的焦点坐标是( ) A ．(2,0) B ．(－2,0) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：抛物线焦点位于x 轴负半轴上，为(－2,0)． 答案：B2．椭圆的长轴长是短轴长的3倍，那么椭圆的离心率为( ) A.32B.63 C.22D.12解析：因为椭圆的长轴长2a 是短轴长2b 的3倍，所以a ＝3b ，那么c ＝a 2－b 2＝2b ，所以椭圆的离心率e ＝c a ＝2b 3b ＝63.答案：B3．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线的标准方程为( )A.x 216－y 248＝1B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对解析：当顶点为(±4,0)时， 对于双曲线，a ＝4，c ＝8，b ＝43，那么双曲线的标准方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，对于双曲线，a ＝3，c ＝6，b ＝33，那么双曲线的标准方程为y 29－x 227＝1.答案：C4．直线l ：x －2y ＋2＝0过椭圆的左焦点F 1和一个顶点B ，该椭圆的离心率为( ) A.15B.25 C.55D.255解析：直线l 与x 轴交于(－2,0)，与y 轴交于(0,1)．由题意知c ＝2，b ＝1， ∴a ＝5，∴e ＝c a ＝255.答案：D5．抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值为( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4解析：由题意知，圆的圆心为(3,0)，半径为4；抛物线的准线为x ＝－p2.∴3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝4，∴p ＝2.答案：C6．一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，那么动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：圆C 的方程即(x －3)2＋y 2＝1，圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R . ∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1，又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上． 答案：A7．F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足1MF ·2MF ＝0的点M 总在椭圆内部，那么椭圆离心率的取值X 围是( )A ．(0,1) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 解析：由题意知，点M 的轨迹为以焦距为直径的圆，那么c <b ，∴c 2<b 2.又b 2＝a 2－c 2，∴e 2<12.又e ∈(0,1)，∴e ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22. 答案：C8．两个正数a ，b 的等差中项是92，一个等比中项是25，且a >b ，那么双曲线x 2a 2－y2b 2＝1的离心率为( )A.53B.414 C.54D.415解析：由题意知⎩⎨⎧a ＋b ＝9，ab ＝252，a >b ，解得a ＝5，b ＝4，∴c ＝a 2＋b 2＝25＋16＝41.∴双曲线的离心率e ＝c a ＝415. 答案：D9．(某某高考)如图，中心均为原点O 的双曲线与椭圆有公共焦点，M ，N 是双曲线的两顶点．假设M ，O ，N 将椭圆长轴四等分，那么双曲线与椭圆的离心率的比值是( )A ．3B ．2 C. 3D. 2解析：设焦点F (±c,0)，双曲线的实半轴长为a ，那么双曲线的离心率e 1＝c a，椭圆的离心率e 2＝c 2a ，所以e 1e 2＝2.答案：B10．(某某高考)如图F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点，假设四边形AF 1BF 2为矩形，那么C 2的离心率是( )A.2B. 3C.32D.62解析：由椭圆可知|AF 1|＋|AF 2|＝4，|F 1F 2|＝2 3. 因为四边形AF 1BF 2为矩形， 所以|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2＝12，所以2|AF 1||AF 2|＝(|AF 1|＋|AF 2|)2－(|AF 1|2＋|AF 2|2)＝16－12＝4，所以(|AF 2|－|AF 1|)2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 1|·|AF 2|＝12－4＝8，所以|AF 2|－|AF 1|＝22，因此对于双曲线有a ＝2，c ＝3， 所以C 2的离心率e ＝c a ＝62. 答案：D11．假设椭圆C 的焦点和顶点分别是双曲线x 25－y 24＝1的顶点和焦点，那么椭圆C 的方程是________．解析：由题意可知，双曲线x 25－y 24＝1的一个焦点和一个顶点的坐标分别为(3,0)，(5，0)，设椭圆C 的方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，那么a ＝3，c ＝5，b ＝2，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 24＝1. 答案：x 29＋y 24＝112．假设曲线x 2k －2＋y 2k ＋5＝1的焦距与k 无关，那么它的焦点坐标是________．解析：∵k ＋5>k －2，∴当k ＋5>k －2>0时，方程x 2k －2＋y 2k ＋5＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．此时c 2＝(k ＋5)－(k －2)＝7，焦点坐标为(0，±7)．当k ＋5>0>k －2时，方程y 2k ＋5－x 22－k＝1表示焦点在y 轴上的双曲线．此时c 2＝(k ＋5)＋(2－k )＝7焦点坐标为(0，±7)．答案：(0，±7)13．抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点M 为其准线上的动点，当△FPM 为等边三角形时，其面积为________．解析：据题意知，△FPM 为等边三角形，|PF |＝|PM |＝|FM |，∴PM ⊥抛物线的准线．设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24，m ， 那么M (－1，m )，等边三角形边长为1＋m 24，又由F (1,0)，|PM |＝|FM |，得1＋m 24＝1＋12＋m 2，得m ＝23，∴等边三角形的边长为4，其面积为4 3. 答案：4 314．以下是关于圆锥曲线的命题：①设A ，B 为两个定点，k 为非零常数，||PA |－|PB ||＝k ，那么动点P 的轨迹为双曲线；②过定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，假设OP ―→＝12(＋)，那么动点P 的轨迹为椭圆；③方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线x 225－y 29＝1与椭圆x 235＋y 2＝1有相同的焦点．其中，真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)解析：对于①，其中的常数k 与A ，B 间的距离大小关系不定，所以动点P 的轨迹未必是双曲线；对于②，动点P 为AB 的中点，其轨迹为以AC 为直径的圆；对于③④，显然成立．答案：③④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题总分值12分)点A (0,4)，B (0，－2)，动点P (x ，y )满足PA ·PB －y 2＋8＝0.(1)求动点P 的轨迹方程；(2)设(1)中所求轨迹与直线y ＝x ＋2交于C ，D 两点，求证：OC ⊥OD (O 为原点)． 解：(1)由题意可知，PA ＝(－x,4－y )，PB ＝(－x ，－2－y )， ∴x 2＋(4－y )(－2－y )－y 2＋8＝0，∴x 2＝2y 为所求动点P 的轨迹方程．(2)证明：设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋2，x 2＝2y ，整理得x 2－2x －4＝0，∴x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－4， ∵k OC ·k OD ＝y 1x 1·y 2x 2＝x 1＋2x 2＋2x 1x 2＝x 1x 2＋2x 1＋x 2＋4x 1x 2＝－4＋4＋4－4＝－1， ∴OC ⊥OD.16．(本小题总分值12分)直线y ＝22x 与椭圆在第一象限内交于M 点，又MF 2⊥x 轴，F 2是椭圆的右焦点，另一个焦点为F 1，假设1MF ·2MF ＝2，求椭圆的标准方程．解：由设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，F 1(－c,0)，F 2(c ，0)，那么M 点的横坐标为c . ∴M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，22c . ∴1MF ＝⎝⎛⎭⎪⎫－2c ，－22c ， 2MF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22c .∴1MF ·2MF ＝12c 2.由得12c 2＝2，∴c ＝2.又在Rt △MF 1F 2中， |F 1F 2|＝4，|MF 2|＝2，∴|MF 1|＝|F 1F 2|2＋|MF 2|2＝3 2. ∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝4 2. ∴a ＝2 2.∴b 2＝4.∴所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.。
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北师大版高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》全部教案扶风县法门高中 姚连省第一课时一、教学目标：1、知识目标：掌握椭圆的定义及其标准方程，能正确推导椭圆的标准方程．2、能力目标：培养学生的动手能力、合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、分类讨论、数形结合思想解决问题的能力．3、情感目标：激发学生学习数学的兴趣、提高学生的审美情趣、培养学生勇于探索，敢于创新的精神．二、教学重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程．教学难点：椭圆标准方程的推导． 三、教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力． 四、教学过程： （一）、复习引入：1．1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息，从1997年2月中旬起,海尔·波普彗星将逐渐接近地球，过4月以后,又将渐渐离去,并预测3000年后,它还将光临地球上空 1997年2月至3月间,尔·波普彗星运行的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而算出它运行周期及轨道的的周长（说明椭圆在天文学和实际生产生活实践中的广泛应用，指出研究椭圆的重要性和必要性，从而导入本节课的主题） 2.复习求轨迹方程的基本步骤：3．手工操作演示椭圆的形成：取一条定长的细绳，把它的两端固定在 画图板上的21,F F 两点，当绳长大于两点间的距离时，用铅笔把绳子拉 近，使笔尖在图板上慢慢移动，就可以画出一个椭圆 分析：（1）轨迹上的点是怎么来的？（2）在这个运动过程中，什么是不变的？答：两个定点，绳长即不论运动到何处，绳长不变（即轨迹上与两个定点距离之和不变）（二）、探究新课：1椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距注意:椭圆定义中容易遗漏的两处地方：（1）两个定点---两点间距离确定（2）绳长--轨迹上任意点到两定点距离和确定思考：在同样的绳长下，两定点间距离较长，则所画出的椭圆较扁（→线段）在同样的绳长下，两定点间距离较短，则所画出的椭圆较圆（→圆）由此，椭圆的形状与两定点间距离、绳长有关(为下面离心率概念作铺垫)2.根据定义推导椭圆标准方程：取过焦点21,F F 的直线为x 轴，线段21F F 的垂直平分线为y 轴),(y x P 为椭圆上的任意一点，椭圆的焦距是c 2（0>c ）.则)0,(),0,(21c F c F -，又设M 与21,F F 距离之和等于a 2(c a 22>)（常数）{}a PF PF P P 221=+=∴221)(y c x PF ++=Θ又，a y c x y c x 2)()(2222=+-+++∴，化简，得 )()(22222222c a a y a x c a -=+-，由定义c a 22>,022>-∴c a 令222b c a =-∴代入，得 222222b a y a x b =+，两边同除22b a 得 12222=+by a x ，此即为椭圆的标准方程它所表示的椭圆的焦点在x 轴上，焦点是)0,()0,(21c F c F -，中心在坐标原点的椭圆方程 其中22b c a +=注意若坐标系的选取不同，可得到椭圆的不同的方程如果椭圆的焦点在y 轴上（选取方式不同，调换y x ,轴）焦点则变成),0(),,0(21c F c F -,只要将方程12222=+b y a x 中的y x ,调换，即可得12222=+bx a y ，也是椭圆的标准方程理解：所谓椭圆标准方程，一定指的是焦点在坐标轴上，且两焦点的中点为坐标原点；在12222=+b y a x 与12222=+bx a y 这两个标准方程中，都有0>>b a 的要求，如方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+就不能肯定焦点在哪个轴上；分清两种形式的标准方程，可与直线截距式1=+b ya x 类比，如12222=+by a x 中，由于b a >，所以在x 轴上的“截距”更大，因而焦点在x 轴上(即看22,y x 分母的大小)（三）、探析例题：例1、写出适合下列条件的椭圆的标准方程：⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10；⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,25） 解：（1）因为椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为12222=+by a x )0(>>b a9454,582,10222222=-=-=∴==∴==c a b c a c a Θ所以所求椭圆标准方程为92522=+y x 因为椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为12222=+bx a y )0(>>b a由椭圆的定义知，22)225()23(2++-=a ＋22)225()23(-+-10211023+=102= 10=∴a 又2=c 6410222=-=-=∴c a b 所以所求标准方程为61022=+x y另法：∵ 42222-=-=a c a b ∴可设所求方程142222=-+a x a y ，后将点（23-,25）的坐标代入可求出a ，从而求出椭圆方程点评：题（１）根据定义求 若将焦点改为(0,-4)、（0，4）其结果如何；题（２）由学生的思考与练习，总结有两种求法：其一由定义求出长轴与短轴长，根据条件写出方程；其二是由已知焦距，求出长轴与短轴的关系，设出椭圆方程，由点在椭圆上的条件，用待定系数的办法得出方程（四）、课堂练习：1 椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.102.椭圆11692522=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5)C.(0，±12)D.(±12，0)3.已知椭圆的方程为18222=+my x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是5.方程1)42sin(322=+-παy x 表示椭圆，则α的取值范围是（ ） Ａ.838παπ≤≤-Ｂ.k k k (838ππαππ+<<-∈Ｚ）Ｃ.838παπ<<- Ｄ. k k k (83282ππαππ+<<-∈Ｚ）参考答案：1.A 2.C 3.A4.1353622=+x y 5. Ｂ（五）、小结 ：本节课学习了椭圆的定义及标准方程,应注意以下几点: ①椭圆的定义中,022>>c a ； ②椭圆的标准方程中,焦点的位置看x ,y 的分母大小来确定； ③a 、b 、c的几何意义（六）、课后作业：1．判断下列方程是否表上椭圆，若是，求出c b a ,,的值①12222=+y x ；②12422=+y x ；③12422=-y x ；④369422=+x y 答案：①表示园；②是椭圆2,2,2===c b a ；③不是椭圆（是双曲线）；④369422=+x y 可以表示为1322222=+y x ，是椭圆，,2,3===c b a 2 椭圆191622=+y x 的焦距是 ，焦点坐标为 ；若CD 为过左焦点1F 的弦，则CD F 2∆的周长为 答案：164);0,7(),0,7(;72221=-=a F F c3． 方程1422=+ky x 的曲线是焦点在y 上的椭圆 ，求k 的取值范围 答案：0<<k4 化简方程：)3()3(2222=-++++y x y x 答案：251622=+y x 5 椭圆13610022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6，则点P 到另一个焦点F 2的距离是 答案：46 动点P 到两定点1F (-4,0)，2F (4,0)的距离的和是8，则动点P 的轨迹为 _______答案：是线段21F F ，即)44(0≤≤-=x y五、教后反思：第二课时一、教学目标：熟练掌握椭圆的两个标准方程 二、教学重点：两种椭圆标准方程的应用 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 (一)、复习： 1、椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距2、椭圆的标准方程 （二）、引入新课例1、已知B 、C 是两个定点，∣BC ∣=6，且△ABC 的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程. 分析：在解析几何里，求符合某种条件的点的轨迹方程，要建立适当的坐标系，而选择坐标系的原则，通常欲使得到的曲线方程形式简单.在右图中，由△ABC 的周长等于16，∣BC ∣=6可知，点A 到B 、C 两点的距离之和是常数，即∣AB ∣+∣AC ∣=16－6=10，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，据此可建立坐标系并画出草图（如图）解：如右图，建立坐标系，使x 轴经过点B 、C ，原点O 与BC 的中点重合.由已知∣AB ∣+∣AC ∣+∣BC ∣=16，∣BC ∣=6，有∣AB ∣+∣AC ∣=10，即点A 的轨迹是椭圆，且2c =6, 2a =16－6=10 ∴c =3, a =5, b 2=52－32=16但当点A 在直线BC 上，即y =0时，A 、B 、C 三点不能构成三角形，所以点A 的轨迹方程是)0(1162522≠=+y y x 说明：①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.例2、 求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0).(2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 解：(1)∵椭圆的焦点在x 轴上，所以设它的标准方程为：∵100)35(0)35(222=+-+++=a ，2c =6.∴3,5==c a∴163522222=-=-=c a b∴所求椭圆的方程为：1162522=+y x . (2)∵椭圆的焦点在y 轴上，所以设它的标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y .∴.144222=-=c a b∴所求椭圆方程为：114416922=+x y 例3、 已知椭圆经过两点（)5,3()25,23与-，求椭圆的标准方程 解：设椭圆的标准方程),0,0(122n m n m ny m x ≠>>=+ 则有 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-1)5()3(1)25()23(2222n mnm ，解得 ,6==n m 所以，所求椭圆的标准方程为10622=+y x 例4、已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ∆的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程解：以BC 所在直线为x 轴，BC 中垂线为y 轴建立直角坐标系，设顶点),(y x A ，根据已知条件得|AB|+|AC|=10再根据椭圆定义得,3,5===b c a所以顶点A 的轨迹方程为1162522=+y x （y ≠0）（特别强调检验） （三）、课堂练习：课本P65页1、2、3补充题：写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(口答)(1)a=4,b=3,焦点在x 轴；(2)a=5,c=2,焦点在y 轴上.（答案：19y 16x 22=+；121x 25y 22=+） (2) 已知三角形ΔABC 的一边∠长为6,周长为16,求顶点A 的轨迹方程解：以BC 边为x 轴，BC 线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：116y 25x 22=+ 若以BC 边为y 轴，BC 线段的中垂线为x 轴建立直角坐标系，则A 点的轨迹是椭圆，其方程为：25y 16x 22=+（四）、小结：本节课我们学习了椭圆的标准方程的简单应用；①求出曲线后，要注意检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意，如果有不符合题意的点，应在所得方程后注明限制条件；②例1要求学生对椭圆的定义比较熟悉，这样可以在求曲线轨迹方程时，简化求解步骤，快速准确得到所求的轨迹方程，并且在课堂练习中对这点予以强调.注意待定系数法的运用。