断裂力学——3裂纹尖端应力场和位移场计算教学文案

y
KⅡcossincos3 2r 2 2 2
xz yz 0
z (xy) 平面应变
z 0
平面应力
u4 K G Ⅱ 2r[(2k3)sin2sin32 ] v4 K G Ⅱ 2r[(2k2)cos2cos32 ]
3
k
1
平面应力
3 4 平面应变
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Ⅲ型裂纹求解
对于I型和II型裂纹来说，是属于平面问题。但对于III型裂纹， 由于裂纹面是沿z方向错开，因此平行于xy平面的位移为零， 只有z方向的位移不等于零 对于此类反平面问题，前面给出的平面问题的基本方程已不 适用，因此不能沿用Airy应力函数求解，需要从弹性力学的 一般（空间）问题出发，推导公式。弹性力学一般问题的基 本方程，可以仿照平面问题的方法导出
因为
ReZzReZz
x
ReZzImZz
y
ImZz ReZz
y
所以
2II x2
yReZII
z
2 y2II 2ImZIIzyReZIIz 2 xyII ReZIIzyImZIIz
8
Ⅱ型裂纹求解
得到II型裂纹问题各应力分量表达式为
x2Im ZyRZe'
y yReZ'
xyRZ eyIm Z‘
进而可得到位移分量
断裂力学第三讲 Shanghai University
断裂力学 Fracture Mechanics
郭战胜 davidzsguo@shu.edu.cn 办公地点：延长校区力学所317室 平时答疑：每周一：5-6节 晚修答疑:每周一：18：00-20：30
地点：HE108或HE104b
1
裂纹尖端附近的应力场和位移计算
lim
z
Z
(z)
lim
z
lim
z
Z' (z)
lim
z
z 只有实部且为一常数
z2 a2
ZII z 0
a2
z2 a2
3/ 2
0
x y 0 xy
满足平板周围的边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处
Z(z)
z
z2a2
x
x2a2
虚数
ReZ(z)0
y xy 0
满足裂纹表面处的边界条件
（+a）f()所示的
(2a)
Z
I
来确定应力分量和位移分量。
6
Ⅱ型裂纹求解
设无限大板含长2a的中心裂纹，无穷远受剪应力作用
7
Ⅱ型裂纹求解
第一步：解II型Westergaard应力函数
求解方法与I型基本相同，主要差别是无穷远处边界上受力条件不
同。选取应力函数
＝yReZII
II x
yReZII z
yII ReZIIzyImZIIz
u＝(1) E
2(1)ImZ
yRZe
v＝(1E)(12)RZe yImZ
平面应变
9
Ⅱ型裂纹求解
第二步：选II型裂纹的 Z ( z )
边界条件：
y xy 0
在 y ，0 x a 处
zy0 xy 在 z 处
选取
Z(z)
z
z2 a2
能够满足全部边界条件。
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Ⅱ型裂纹求解
z
x2Im ZyRZe' y yReZ' xyRZ eyIm Z‘
11
将坐标原点移到右裂尖，采用新坐标
Ⅱ型裂纹求解
za
Z()
a f() 2a
当 0 ，f ( ) 趋于常数,设:
li m 0f()li m 0 Z()K 2
右裂尖附近, 在很小范围内时
K
lim 0
2Z()
用解析函数求解II型裂纹尖端 应力强度因子的定义式
34
vK Ⅰ 4G
2r[(2k1)sin2sin32 ]
k 3 1
w 0 平面应变
wE (x y)dz
平面应变 平面应力
平面应力
5
Ⅰ型裂纹求解
需要注意的是，推导过程中，使用了 0 这个条件，所以
前面得到的应力场和位移场公式只适用于裂纹尖端附近区域，即要
r= a 求
。对于稍远处，应该用
ZⅠ ()
22
Z I I K 2 II K 2 II 3 2 2 K 2 IIrr 3 2 c o s3 2 is in 3 2
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Ⅱ型裂纹求解
把上面两式代入前面应力表达式中，应力和位移场得表达式
xK 2 Ⅱ rsin2(2cos2cos3 2 )
xy
K Ⅱcos(1sinsin3) 2r 2 2 2
KI
2r
fij
xz yz 0
4
Ⅰ型裂纹求解
uE 1[(1)R eZ Ⅰ (1)yIm Z Ⅰ ] 平面应力
vE 1[2ImZⅠ (1)yReZⅠ ]
u1 E [(12)R eZ Ⅰ yIm Z Ⅰ ]
平面应变
v1 E[2(1)Im Z Ⅰ yR eZ Ⅰ ]
u4 K G Ⅰ 2r[(2k1)cos2cos32 ]
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Ⅲ型裂纹求解
问题描述:无限大板,中心裂纹
z (穿透) 2 a ,无限远处受与
方向平行的 作用.
反平面(纵向剪切)问题, 其位移
w w (x,y),uv0
根据几何方程和物理方程:
rxz
w x
G1 xz
ryz
w y
1
G
yz
xyxyz0
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Ⅲ型裂纹求解
单元体的平衡方程:
xz yz 0
x y
Ⅲ型裂纹求解
选取函数 ZⅢ(z)
l z
z2 a2
满足边界条件
在裂纹表面 y 0 x a 处， Z III z 只有实部而无虚部，有 yz 0
满足裂纹表面处 的边界条件
当 y 或 x ，都有 ZIIT z l ，即 ReZIII zl
ImZIII z0
由非零应力分量公式知，yz l,xz 0
2
3
Ⅰ型裂纹求解 x ReZⅠyImZⅠ y ReZⅠyImZⅠ xy yReZⅠ
z 0 (平面应力)
z(xy)2R eZ Ⅰ(平面应变)
xK 2 Ⅰ rcos2(1sin2sin3 2 ) 用张量标记可缩写成
y
K Ⅰcos(1sinsin3) 2r 2 2 2
ij
xy
KⅠcossincos3 2r 2 2 2
2xw2 2yw2 2w0
位移函数满足Laplace方程,所以为调和函数.
解析函数性质:任意解析函数的实部和虚部都是解析的.
1 w(x,y)GImZⅢ(z)
xzG w xIm xZⅢ Im ZⅢ
非零应力分量
yzG w yIm yZⅢR eZⅢ
边界条件:
y0, xa,yz 0 z ,xz0,yz
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Ⅱ型裂纹求解
第三步：用 Z ( z ) 求II型裂尖附近的应力场和位移场
应力强度因子是在裂尖时 0 存在极限，若考虑裂尖附近 的一个微小区域，则有：
K 2Z()
Z ( )
K
2
若以极坐标表示复变量
ri er(co issin )
则可得到
Z()
K
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(cos isin )
2r 2 2
yrsin2rsincos