利息论第一章

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有关名义利率的几个概念 利息换算期(interest conversion period) 月换算（convertible monthly） 季换算（payable quarterly） 半年换算（compounded semiannually）
名义利率—— i(m) m 1 为一个度量期
中付息m次的名义利率. 也就是说, 名义利率i(m) 指每1/m个度量期支付实质利息为 i(m) /m的利 息一次。
注意：实质上实质利率是对期末支付利息的 度量；而实质贴现率是对期初支付利息的度 量。
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现在，来讨论任意一期上的实质贴现率。
设 dn 为第n期的实质贴现率，则
dn
In
An
Pan Pan Pan
1
a n a n an
1
注意：1、在常数单利率下，各期实质贴
现率为
dn
a n a n 1 an
i 1 i n
则：i1
A0 A1 A0
50 1000
5%; i2
A2 A1 A1
50 1050
4.762%
10
1-3 单利与复利 引例：某企业今年产量为Q，如果年递
增a 则明年产量T？5年后呢T5？
T Q 1 a
T 5 Q 1 a 5
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如果我们定义积累函数分别为： 1、 at 1it 则说该项投资是以单利i率 记息。称该种计息方式为单利。
e1e2
et
实际利率in
a n a n 1 a n 1
an a n 1
1
en
1
a n 1 i1 1 i2 1 in 当i1i2 in时 1 i n
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例1.6.1书上例1-13 例1.6.2确定1000元按利息强度5%,投资10 年的积累值. 答案:1648.78
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利息强度与其它度量之间的关系
利息度量 利息求解
第一章 利息的基本概念 1-1 利息的度量
利息: 是指在一个借贷关系中，由借款人（Borrower）为了取得一定数 量的资金在一定期限内的使用权，而支付给贷款人（Lender）的 报酬。其实质是一定期限内投资资金的价值增值 注意：1、利息不一定必须是货币形式。
2、所有形式的利息都可以通过货币价值形式进行度量。 怎样去度量利息?
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两个利率等价概念： 初始本金相同，经过相同期限后积累值相同
名义利率 i(m) 与其等价的实质利率之间的
关系
1
i
1
i(m) m
m
i
1
i(m) m
m
1
即有：i(m)
m
1
1
im
1
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名义贴现率—— d (m)
类似，可以定义 d (m) 为在一个标准度量期 内，换算m次，以实质贴现率 d (m)/m在每
1、贴现强度t
ln
a1
t
a d 1
dt
t
a1 t
t
2、如果利息强度在某度量期间为常数，则实质利率也为常数；
但是反之不然！
？？？？为何？
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3、在利息强度为常数（从而实际利率为 常数）的情况下，各种利息度量之间的关 系：
i d d 1 d
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2、
d i i 1 i
3、d i 1 v
事实上，因为贴现因子
1
1 i
4. i d id
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复贴现率 单贴现率
a1 t 1 dt,0 t 1
d
例1.4.1书上例1-8
例14.2 A deposit of X is made into a fund with pays an annual effective interest rate of 6% for 10 years. At same time, X/2 is deposited into another fund which pays an annual effective rate of discount of d for 10 years. The amount of interest earned over the 10 years are equal for both fund, calculate d. Answer:9%
一个1/m期初支付利息一次。
同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
1 d
1
d m m
m
d
1
1
d m m
m
d
m
m
1 1
d
1 m
m
1
1 m
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名义利率与名义贴现率之间的关系：
im
m
d n
n
1 m 1 i 1 n
对于任意的n,m成立
说明：1、m=n时， 1 im
表达式的推广：t
d dt
ln
A
2、利用导数的定义有t
t
d
AAttdt
ln a t
lim At
h0
h hA t
A
t
当 a(t) (1 i)t 时,有什么好的结果?
4、三个常用表达式
t 0
r dr
t
0
d
ln
Ar
ln
At A0
A
t
A0
exp
同理a t a 0
t
0 rdr
t
exp 0 rdr
2
我们称: 本金(principal)——开始时投资的金额 积累值（终值）(accumulated value)—— 一段时间后的总金额。 利息(interest) ——经过一段时间后增长 的数额
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1.积累函数(accumulation function) a(t)=accumulated value at time t of an investment of 1 made at time 0.=1+(interest earned over the period (0,t) on 1) 2.金额函数(Amount function)或者叫做总量函数:原 始投资为k(k>0)在时刻t的积累值A(t).显然: A(t)=ka(t)=A(0)a(t) A(t)与a(t)有下列性质: ①t=0时,a(0)=1,A(0)=k ②两者在正利息下为增函数,在负利息下为减函数,在0 利息下为常数 ③如果利息连续计算,他们都是连续函数.
2、在常数复利率下，各期实质贴现率为
dn
a n a n 1 an
1 i n 1 i n1 1 i n
i 1 i
d
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复利率、贴现率、贴现因子的关系：
➢ 实质贴现率与实质利率称为是等价的， 如果在相同的初始本金和相同的投资期 限内得到相同的终值。
➢ 对于等价的利率 i 和贴现率 d有关系：
1. 等式
利率（贴现率）——单位度量期内利息量；
名义利率（名义贴现率）——1/m个标准度 量期内利息量的度量；
如何度量任何一个时间点上的利息？
设一投资项目的累积总量函数为 ，到 时刻t的利息强度（也叫利息效力或利A息t 力） 为：
At at t At at
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利息强度的性质：
1、 t 是利息在某一确定时间t的强度的 度量；
2、 at 1 it 则说该项投资是以复利i率
记息。称该种计息方式为复利。 注意： 常数单利意味着递减的实质利率,意味着每 一期的利息相等. 常数复利率意味着常数的实质利率,意味着 每一期的利息增加.
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事实上：
1、单利率下 An An 1 P 1 in P 1 i n 1
in An 1
m
1
d m m
1
2、 im d m im d m
mm
mm
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例1.5.1书上 例1-10 例1.5.2书上例1-11 例1.5.3At time t=0,John deposits 1000 into a fund which
credits interest at an annual interest rate of 10% compounded semiannually. At the same time, he deposits P into a different fund which credits interest an annual discount rate of 6% compounded monthly. At time t=20, the amount in each fund are equal. What is the annual effective interest rate earned on the total deposits 1000+P over the 20 years. ANSWER:7.84%
t
1时， 1 i t
1 it
2、增长形式不同。单利在同样长时间增
长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si(仅仅与s有关)
a
t
s a t
a t
1 i tst
1
1 i s
1仅仅与s有关
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3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4）
解：利用总累积函数单利时
A5 5000a5 5000156% 6500元
用复利计算有
A5 5000 a5 50001 6%5 6691.13元
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例1.3.2有这样一种利息的积累方式,前5年按 年复利i计算,后来按年复利2i计算.一人投资 1元在0时刻,在第十年末积累到了3.09元,在 第20年末积累到了13.62元,问 第7年末的积 累值?