利息论第一章

P 1 i)n 1
1
i
i
n
1
n 1
第n期实质利率期数的递减函数。
2、复利率下 An An 1
i 1 in1
in An 1 1 in1 i
第n期实质利率函数为常数。
13
单利和复利的三点说明：
1、相同数值的单利和复利在不同时期的 大小关系不同
事实上，由累积函数和贝努利不等式
t 1时， 1 i t 1 it
注意：实质上实质利率是对期末支付利息的 度量；而实质贴现率是对期初支付利息的度 量。
18
现在，来讨论任意一期上的实质贴现率。
设 dn 为第n期的实质贴现率，则
dn
In
An
Pan Pan Pan
1
a n a n an
1
注意：1、在常数单利率下，各期实质贴
现率为
dn
a n a n 1 an
i 1 i n
则：i1
A0 A1 A0
50 1000
5%; i2
A2 A1 A1
50 1050
4.762%
10
1-3 单利与复利 引例：某企业今年产量为Q，如果年递
增a 则明年产量T？5年后呢T5？
T Q 1 a
T 5 Q 1 a 5
11
如果我们定义积累函数分别为： 1、 at 1it 则说该项投资是以单利i率 记息。称该种计息方式为单利。
30
人民币存款利率（2012-7-6）
项目名称
年利率（%）
活期存款
0.35
整存整取
三个月
2.6
六个月
2. 8
一年
3
两年
3.75
三年
4.25
五年
4.75
31
本讲作业： 1,2,3,6,9,10,11,17,19,20
32
1-6 利息强度(the force of interest or the power of interest
解：利用总累积函数单利时
A5 5000a5 5000156% 6500元
用复利计算有
A5 5000 a5 50001 6%5 6691.13元
15
例1.3.2有这样一种利息的积累方式,前5年按 年复利i计算,后来按年复利2i计算.一人投资 1元在0时刻,在第十年末积累到了3.09元,在 第20年末积累到了13.62元,问 第7年末的积 累值?
23
1-5 名义利率和名义贴现率(nominal rate
of interest and nominal rate of discount) 问题的提出：
在金融市场实际运作中，经常会遇到 不同期限的资金价值分析，比如，人民币 存款利率，就整存整取业务，以现在为例 有3个月、6个月、1年、2年、3年和5年六 个档次，不同存期的利率是如何换算的呢？
答案:1.98
16
例1.3.3第n个时期末支付1和第2n个时期末支
付1的现值之和为1 ,试确定 (1 i)2n
答案: 3 5
2
17
1-4 实质贴现率（effective rate of discount） 实质贴现率为该度量期限内产生的利息金额
与期末积累值的比值。记为 d
d P a 1 P I1 A1 P a1
e1e2
et
实际利率in
a n a n 1 a n 1
an a n 1
1
en
1
a n 1 i1 1 i2 1 in 当i1i2 in时 1 i n
36
例1.6.1书上例1-13 例1.6.2确定1000元按利息强度5%,投资10 年的积累值. 答案:1648.78
37
利息强度与其它度量之间的关系
2、 at 1 it 则说该项投资是以复利i率
记息。称该种计息方式为复利。 注意： 常数单利意味着递减的实质利率,意味着每 一期的利息相等. 常数复利率意味着常数的实质利率,意味着 每一期的利息增加.
12
事实上：
1、单利率下 An An 1 P 1 in P 1 i n 1
in An 1
一个1/m期初支付利息一次。
同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
1 d
1
d m m
m
d
1
1
d m m
m
d
m
m
1 1
dHale Waihona Puke Baidu
1 m
m
1
1 m
28
名义利率与名义贴现率之间的关系：
im
m
d n
n
1 m 1 i 1 n
对于任意的n,m成立
说明：1、m=n时， 1 im
2
我们称: 本金(principal)——开始时投资的金额 积累值（终值）(accumulated value)—— 一段时间后的总金额。 利息(interest) ——经过一段时间后增长 的数额
3
1.积累函数(accumulation function) a(t)=accumulated value at time t of an investment of 1 made at time 0.=1+(interest earned over the period (0,t) on 1) 2.金额函数(Amount function)或者叫做总量函数:原 始投资为k(k>0)在时刻t的积累值A(t).显然: A(t)=ka(t)=A(0)a(t) A(t)与a(t)有下列性质: ①t=0时,a(0)=1,A(0)=k ②两者在正利息下为增函数,在负利息下为减函数,在0 利息下为常数 ③如果利息连续计算,他们都是连续函数.
34
另外:
Att
A t
n
0
At tdt
An
A0
同理
n
0
a
t
t
dt
a
n
a
0
35
利息强度在定义式上看，可以是变量值，
但是在实际应用中多数为常数或者在某一 期限内为常数,这时利用利息强度可以表示 积累函数为：
at
a 0exp(
t
0 rdr)
exp
1
2
0 1dr 1 2dr
t
t 1 tdr
利率（贴现率）——单位度量期内利息量；
名义利率（名义贴现率）——1/m个标准度 量期内利息量的度量；
如何度量任何一个时间点上的利息？
设一投资项目的累积总量函数为 ，到 时刻t的利息强度（也叫利息效力或利A息t 力） 为：
At at t At at
33
利息强度的性质：
1、 t 是利息在某一确定时间t的强度的 度量；
P
In
an
1
;
(n
1)
如果整个只有一个投资度量期(通常为一年),那么实质利
率就用 i 来表示.
i i1 ka(1) k a(1) 1
A(0)
k
9
例1.2.1(P3例1-1)
解：显然利用总量累积函数有
A0 1000元
A1 1000 a 1 1050元
A2 1000 a 2 1100元
m
1
d m m
1
2、 im d m im d m
mm
mm
29
例1.5.1书上 例1-10 例1.5.2书上例1-11 例1.5.3At time t=0,John deposits 1000 into a fund which
credits interest at an annual interest rate of 10% compounded semiannually. At the same time, he deposits P into a different fund which credits interest an annual discount rate of 6% compounded monthly. At time t=20, the amount in each fund are equal. What is the annual effective interest rate earned on the total deposits 1000+P over the 20 years. ANSWER:7.84%
1、贴现强度t
ln
a1
t
a d 1
dt
t
a1 t
t
2、如果利息强度在某度量期间为常数，则实质利率也为常数；
但是反之不然！
？？？？为何？
38
3、在利息强度为常数（从而实际利率为 常数）的情况下，各种利息度量之间的关 系：
表达式的推广：t
d dt
ln
A
2、利用导数的定义有t
t
d
AAttdt
ln a t
lim At
h0
h hA t
A
t
当 a(t) (1 i)t 时,有什么好的结果?
4、三个常用表达式
t 0
r dr
t
0
d
ln
Ar
ln
At A0
A
t
A0
exp
同理a t a 0
t
0 rdr
t
exp 0 rdr
25
两个利率等价概念： 初始本金相同，经过相同期限后积累值相同
名义利率 i(m) 与其等价的实质利率之间的
关系
1
i
1
i(m) m
m
i
1
i(m) m
m
1
即有：i(m)
m
1
1
im
1
27
名义贴现率—— d (m)
类似，可以定义 d (m) 为在一个标准度量期 内，换算m次，以实质贴现率 d (m)/m在每
利息率的不同类型： 单利与复利 实际利率与名义利率 利息强度
8
1-2 实质利率(effective rate of interest)
实质（实际）利率——某一度量期的实质利率是指该
度量期内得到的利息金额与期初本金的比值。记为 in
in
An An1 An1
P a n P a n 1 P a n 1
利息度量 利息求解
第一章 利息的基本概念 1-1 利息的度量
利息: 是指在一个借贷关系中，由借款人（Borrower）为了取得一定数 量的资金在一定期限内的使用权，而支付给贷款人（Lender）的 报酬。其实质是一定期限内投资资金的价值增值 注意：1、利息不一定必须是货币形式。
2、所有形式的利息都可以通过货币价值形式进行度量。 怎样去度量利息?
24
有关名义利率的几个概念 利息换算期(interest conversion period) 月换算（convertible monthly） 季换算（payable quarterly） 半年换算（compounded semiannually）
名义利率—— i(m) m 1 为一个度量期
中付息m次的名义利率. 也就是说, 名义利率i(m) 指每1/m个度量期支付实质利息为 i(m) /m的利 息一次。
P [a n a n 1]; n 1
显然，总利息量为
I
n
Ii
i 1
6
从利息定义看：只有利息量是否可以完 成对该项金融活动的绩效分析？
0 a0
现在
t at
P
多长时间？占用多少资金？i I
绩效如何？
P
7
5. 利率(interest rate) 单位本金在一个度量期获得的利息金额。
利息率
利息 本金
2、在常数复利率下，各期实质贴现率为
dn
a n a n 1 an
1 i n 1 i n1 1 i n
i 1 i
d
19
复利率、贴现率、贴现因子的关系：
➢ 实质贴现率与实质利率称为是等价的， 如果在相同的初始本金和相同的投资期 限内得到相同的终值。
➢ 对于等价的利率 i 和贴现率 d有关系：
1. 等式
i d d 1 d
20
2、
d i i 1 i
3、d i 1 v
事实上，因为贴现因子
1
1 i
4. i d id
21
复贴现率 单贴现率
a1 t 1 dt,0 t 1
d
例1.4.1书上例1-8
例14.2 A deposit of X is made into a fund with pays an annual effective interest rate of 6% for 10 years. At same time, X/2 is deposited into another fund which pays an annual effective rate of discount of d for 10 years. The amount of interest earned over the 10 years are equal for both fund, calculate d. Answer:9%
4
3.折现函数 a1 t
a1 t 为t时的1元钱在0时的现值. a11 为折现因子.
这里 a1 t 1
a(t)
区分：积累值、现值、当前值
5
4.利息 假设某项投资本金为P，In 为第n个度量期 内得到的利息金额，则利用总量函数
At Pat
有 In An An 1 P a n P a n 1
t
1时， 1 i t
1 it
2、增长形式不同。单利在同样长时间增
长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si(仅仅与s有关)
a
t
s a t
a t
1 i tst
1
1 i s
1仅仅与s有关
14
3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4）