第一章利息理论(吴文清2013.2.28)
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利息理论——课件
t
27
定义 A(t)=k×a(t)称为金额函数，它给出 原始投资为k时在时刻t>=0的积累值。 记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为 In.则 In=A(n)-A(n-1) 注 设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的 单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期 为一年 以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0)
14
利率决定利率
• 1、凯恩斯流动偏好模型 假定资产有货币（收益率0），债券（收益率i） 总资产=货币总量+债券总量 • ：货币需求曲线，当利率升高时----债 券价格下降----债券需求升高-----货币需求下 Md 降（eg:利率升高，储蓄增加，消费减少）
15
• 当 （均衡利率）时， ，货币需求<供 Md Ms i1 i0 给，人们用多余的货币购买债券，债券价 格升高-----债券收益率（利率）下降 • 当时， ，货币需求>供给，人们用卖 Md Ms i1 i0 债券，债券价格下降-----债券收益率（利率） 升高
复利
定义 复利指前期赚取的利息在后期会赚取附加 利息的计息方式。复利的积累函数是的积累函数 是 a(t)=(1+i)t 对整数t0
复利的直观表述：1元本金经过时期t+s后的累积 值等于将1元本金经过t后的累积值再投资s期所形 成的累积值
40
定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转 让货币使用权所得的报酬。 利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。
§2.1积累函数与贴现
一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款 以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时 间后收回的总金额称为积累值。 积累值=本金+利息
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定义 A(t)=k×a(t)称为金额函数，它给出 原始投资为k时在时刻t>=0的积累值。 记从投资之日算起第n个时期所得到的利息金额为 In.则 In=A(n)-A(n-1) 注 设t为从投资之日算起的时间，用来度量时间的 单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的时期 为一年 以I（t)表示t时刻的利息额，则I(t)=A(t)-A(0)
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利率决定利率
• 1、凯恩斯流动偏好模型 假定资产有货币（收益率0），债券（收益率i） 总资产=货币总量+债券总量 • ：货币需求曲线，当利率升高时----债 券价格下降----债券需求升高-----货币需求下 Md 降（eg:利率升高，储蓄增加，消费减少）
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• 当 （均衡利率）时， ，货币需求<供 Md Ms i1 i0 给，人们用多余的货币购买债券，债券价 格升高-----债券收益率（利率）下降 • 当时， ，货币需求>供给，人们用卖 Md Ms i1 i0 债券，债券价格下降-----债券收益率（利率） 升高
复利
定义 复利指前期赚取的利息在后期会赚取附加 利息的计息方式。复利的积累函数是的积累函数 是 a(t)=(1+i)t 对整数t0
复利的直观表述：1元本金经过时期t+s后的累积 值等于将1元本金经过t后的累积值再投资s期所形 成的累积值
40
定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转 让货币使用权所得的报酬。 利息的计算与积累函数的形式、利息的计息次数有关。
§2.1积累函数与贴现
一般地，一笔金融业务可看成是投资一定数量的钱款 以产生利息，初始投资的金额称为本金，而过一段时 间后收回的总金额称为积累值。 积累值=本金+利息
利息理论第一章-1
n n 1
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
19
例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
29
解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
24
1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
i 对整数n 1
故常数的复利意味着常数的实际利率，且两者相等， 从而虽然复利利率与实际利率定义不同，但其实两 者是一致的。
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例题
例3 某银行以单利计息，年息为6%，某人存入 5000元，问5年后的积累值是多少?
A(5) 5000 a(5) 5000(1 5 6%) 5000 1.3 6500
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
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解：由于i=8%，故 a(4)=(1+8%) 4 从而现值 10000 pv=10000 a (4)= 7350.3 4 (1 8%)
1
即4年后支付10000元的现值为7350.3
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1.1.3
实际贴现率
1、定义： 一个度量期内的实际贴现率为该度量期内 取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比。 d 通常用字母 来表示实际贴现率 2、实际贴现率的表达式的推导
3
二、利息度量的基本概念： 1、本金：每项业务开始时投资的金额称为本 金。 2、积累值：业务开始一定时间后回收的总金 额称为该时刻的积累值（或终值）。 3、利息金额：积累值与本金的差额就是这一 时期的利息金额。 注意：假定 一旦给定了本金金额，在投资期间不再加入 或抽回本金。
4
故：对第一个度量期，即当t=1时，a(t)=a (t ); 当t 1时，a(t)>a* (t )； 当t 1时，a(t)<a* (t )；
利息论第一章
14
3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4） 解：利用总累积函数单利时 A5 5000 a 5 5000 1 5 6% 6500元 用复利计算有 5 A 5 5000 a 5 5000 1 6% 6691.13 元
2、增长形式不同。单利在同样长时间增 长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si (仅仅与s有关) a t s a t s t s t 1 i 1 1 i 1 仅仅与s有关 a t
27
m
名义贴现率—— d 类似，可以定义 d ( m) 为在一个标准度量期 ( m) 内，换算m次，以实质贴现率 d /m在每 一个1/m期初支付利息一次。 同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
m m d m d 1 1 d m m 1 d 1 m 1 1 m m m d m 1 1 d m 1
i1 ka(1) k i a(1) 1 A(0) k
9
例1.2.1(P3例1-1) 解：显然利用总量累积函数有
A 0 1000 元 A 1 1000 a 1 1050 元 A 2 1000 a 2 1100 元 A 0 A 1 A 2 A 1 50 50 则：i1 5%; i2 4.762% A 0 1000 A 1 1050
4
3.折现函数 a t 1 a t 为t时的1元钱在0时的现值. 1 a 1 为折现因子.
1
3、以后在没有特别申明时，都指复利。 例1.3.1 （书上例1-3,1-4） 解：利用总累积函数单利时 A5 5000 a 5 5000 1 5 6% 6500元 用复利计算有 5 A 5 5000 a 5 5000 1 6% 6691.13 元
2、增长形式不同。单利在同样长时间增 长的绝对金额为常数；复利是增长的相对 金额为常数；
a t s a t si (仅仅与s有关) a t s a t s t s t 1 i 1 1 i 1 仅仅与s有关 a t
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m
名义贴现率—— d 类似，可以定义 d ( m) 为在一个标准度量期 ( m) 内，换算m次，以实质贴现率 d /m在每 一个1/m期初支付利息一次。 同样，利用等价定义可以得到等价的 名义贴现率与实质贴现率之间的关系：
m m d m d 1 1 d m m 1 d 1 m 1 1 m m m d m 1 1 d m 1
i1 ka(1) k i a(1) 1 A(0) k
9
例1.2.1(P3例1-1) 解：显然利用总量累积函数有
A 0 1000 元 A 1 1000 a 1 1050 元 A 2 1000 a 2 1100 元 A 0 A 1 A 2 A 1 50 50 则：i1 5%; i2 4.762% A 0 1000 A 1 1050
4
3.折现函数 a t 1 a t 为t时的1元钱在0时的现值. 1 a 1 为折现因子.
1
利息理论第一章 1 优质课件
注意：积累和贴现是相反的过程。
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
23
例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
27
（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
16
在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
28
0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
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25
a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
a(t)是1单位的本金在t个周期末的积累值，而a1(t) 是为使在t个周期期末的积累值为1，而在开始时 投资的本金金额。
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例题1-5
已知年实际利率为8%，求4年后支付10000元的 现值。
解：由于i=8%，故
a(4)=(1+8%) 4 从而现值
pv=10000 a1(4)=
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（2）实际利率是对期末支付的利息的度量， 而实际贴现率是对期初支付的利息的度量。
例:（1）张三到一家银行去，以年实际利率6% 向银行借100元，为期1年，则张三的借款流 程如下： 0时刻张三收到100元，。 1时刻张三支付100+100×6%=106元。
（2）张三到一家银行去，以年实际贴现率6% 向银行借款100元，为期1年，则张三的借款 流程如下:
（2）从积累形式来看
在单利下，上一个度量期上所产生的利息并不作为
投资本金在以后的时期再赚取利息。
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在复利下，在任何时刻，本金和到该时刻为止所得到 的利息，总是用于投资以赚取更多的利息。
（3）单利与复利在计算上的区别 在常数的单利i下，积累函数a(t)=1+it；在常数的 复利i下积累函数a*(t)=(1+i)t。
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0时刻银行预收6%（即6元）的利息， 而仅付给张三94元；1年后，张三支付 给银行100元。 分析：从上面两个例子来看，实际利率是 对期末支付利息的度量，而实际贴现率 是对期初支付利息的度量。即实际利率 说明了资本在期末获得利息的一种能力。 而实际贴现率说明了资本在期初获得利 息的一种能力。
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a(1) 1 i，a1(1) 1 。根据实际贴现率的定义，知 1 i
第1章利息理论
2.1.6 利息问题求解
一个简单的利息问题通常包括以下四个基本量： 1.原始投资的本金 2.投资时期的长度 3.利率 4.本金在投资期末的积累值 如果已知其中的任何三个，就可以建立一个 价值等式，由此等式确定第四个量。
利息问题求解举例
例1： 某人借款50000元，每半年结算一次利息， 年名义利率为6%，两年后他还了30000元，又过3 年后还了20000元，求7年后的欠款额为多少。
●
积累函数a (t)有时也称作 t 期积累因子;
称 a-1(t)为折现函数或 t 期折现因子。特别地， 把一期折现因子a-1(1)简称为折现因子。
●
在复利方式下，当年利率不变时 通常记
1 a (t ) (1 i)t
1
1 v a (1) 1 i
1
a (t )
现值
1
1 本金
a (t )
常数利率时
A(t ) A(0)(1 பைடு நூலகம் it )
• 复利：利上生利的计息方式
A(n) A(0)(1 i1)(1 i2)(1 in)
常数利率时
A(t ) A(0)(1 i)t
a(t ) (1 i)t 此时累积函数为
例1. 某人到银行存入1000元，第一年末他存折上的余 额为1050元，第二年末他存折上的余额为1100元， 问：第一年、第二年的实际利率分别是多少？
价值等式
f (i) ＝2000×(1＋i)5＋3000×(1＋i)2 －6000
可利用中点插值法求解
补充作业：
1、设 m 1，请把 的次序排列。
i, i
( m)
, d, d
( m)
, 按从大到小
利息理论
利息理论
课程结构
基础
利息理论基础
核心
收益率计算 债务偿还 债券
第一章
利息理论基础
利息理论要点
利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率 分期偿还表与偿债基金
第一节
利息的度量
第一节汉英名词对照
积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力 Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
=
i1 = d i2 d
2 1
I1 A (0 ) I1 = A (1 ) I 2 = A (1 ) I 2 = A (2 )
利息度量二——积累方式不同
线形积累
单利
in a ( t ) = 1 + it i = 1 + ( n 1)i
指数积累
复利
a ( t ) = (1 + i ) t in = i
期末计息——利率
第N期实质利率
in = I (n) A ( n 1)
期初计息——贴现率
第N期实质贴现率
d
n
=
I (n ) A (n )
例1.1 实质利率/贴现率
某人存1000元进入银行,第1年末存款余额 为1020元,第2年存款余额为1050元,求 i1,i2,d1,d 2 分别等于多少?
例1.1答案
一,利息的定义
定义:
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合,它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金,用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失.
课程结构
基础
利息理论基础
核心
收益率计算 债务偿还 债券
第一章
利息理论基础
利息理论要点
利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率 分期偿还表与偿债基金
第一节
利息的度量
第一节汉英名词对照
积累值 现实值 实质利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力 Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest Nominal interest Discount rate Force of interest
=
i1 = d i2 d
2 1
I1 A (0 ) I1 = A (1 ) I 2 = A (1 ) I 2 = A (2 )
利息度量二——积累方式不同
线形积累
单利
in a ( t ) = 1 + it i = 1 + ( n 1)i
指数积累
复利
a ( t ) = (1 + i ) t in = i
期末计息——利率
第N期实质利率
in = I (n) A ( n 1)
期初计息——贴现率
第N期实质贴现率
d
n
=
I (n ) A (n )
例1.1 实质利率/贴现率
某人存1000元进入银行,第1年末存款余额 为1020元,第2年存款余额为1050元,求 i1,i2,d1,d 2 分别等于多少?
例1.1答案
一,利息的定义
定义:
利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场 合,它的实质是资金的使用者付给资金所有者 的租金,用以补偿所有者在资金租借期内不能 支配该笔资金而蒙受的损失.
利息理论
28
补例：某期末付年金付款如下：单数年末每次 付款100元，双数年末每次付款200元，共20年。 若在某时间t一次性付3000元的现值与前面的 年金现值相等。年利率为i，求t。
29
解：单数年末付的年金，若以1时刻为初始时刻，形 成了一个付款期大于计息期的计息20次期初付年金， a v 故在1时刻的现值为 ，在0时刻的现值为 100 a。 双数年年末付的年金，若以时刻2为初始时刻，形成 了一个付款期大于计息期的计息20次期期末付年金， a 200 所以在0时刻的现值为 。故价值方程为： s
§2.2 年金的一般型
本节主要介绍年金标准型的各种变化，如利率 的变化、计息期或计息频率、付款频率的变化等， 这些变化了的年金统称为年金的一般型。
1
2.2.1 变动利率年金
在年金标准型中，整个付款期内利率是不变的。 这里将介绍变动利率下年金的计算。一般有两种 利率变动方式。 1. 各付款期内的利率不同，即不同的付款期的 利率不同，如在第一个付款期利率为 i1 ，第二个付 款期利率为 i2 ,L ，第n个付款期利率为in 这样，所 有付款的年金现值和年金积累值分别为：
R ⋅ sk = 1
即
R=
1 sk
这样在n个计息期，每个计息期期末都有R元的付款，所有 的n次付款形成了一个n期期末付年金，年金现值 年金现值为： 年金现值
R ⋅ an = 1 ⋅ an sk
同样可得年金积累值 年金积累值为： 年金积累值
1 R ⋅ sn = ⋅ sn sk
19
1 sk 0 1
1 1 1 L sk sk 2 L k
12
例2.2.3 某人购房贷款80,000元，每月初还款一次，分10 年还清，每次还款额相等，贷款年利率为10.98％，计算 每次还款额。 解：根据已知年实际利率，计算出月实际利率
第1章利息理论
i ( m ) m 1 [1 ] m
[1
i
(m)
m
]m
2.名义贴现率：现率为
(m)
表示每
d ( m ) 计息的名义贴现率，设与之等价的实际 贴现率 m
1 m
个度量期以实际
d ，则有：
( m)
d m 1 d (1 ) m
a ( s) 0 s ds 0 a(s) ds ln a(t )
t t
'
0 s ds a(t ) e
或
t
a(t ) (1 i) 时， t ln( 1 i)
t
e 1 i
例：如果 t 0.01t , 0 t 2，确定投资1000元 在第1年末的积累值和第2年内的利息金额。
例1：某人从银行贷款20万元用于购买住房，规定的 还款期是20年，假设贷款利率为5%，如果从贷款第 2年开始每年等额还款，求每年需要的还款数额。
20万元
0 1 2
…
19
20
x
解得
x
x
x
xa20 200000
0.05 x 200000 16048.52 20 1 1.05
例：计算年利率为3%的条件下，每年年末投 资3000元，投资20年的现值及积累值。如果 投资在每年年初进行，那么投资20年的现值 及积累值又分别是多少？
n 2 n
sn i
2. 期初付n期年金的现值和终值
1
0
1
1
1
2
…
…
1
n-1 n
1 vn 1 vn n 1 v v 2 v n1 a 1 v d n n 1 v (1 i) 1 n n n an (1 i) s (1 i) d d
利息理论 第1章 利息的基础知识
ln a ( t )
t
a(t) e0sds
。
当 s 为常数时：
a(t) et
各年的利息力分别为：
1 ,2
时
n
积累函数值
n
a(n) e0tdt
e 0 11d t 12 2d tnn1nd t
e12 n
n
k e k 1
A1 A0 A0
a1 1
第二年：
i2
A2 A1 A1
a2 a1 a1
第 n年：
in
An An1 A n 1
a n a n1 a n1
例一
设：at =ct2+d (c、d为常数），
a 5=126 , A0=100
求：A i at ct2d
10、 、 10
第n年的利率为
。 inaa (n (n )1)1en 1
现值函数值为：
n
k vn e k1
(1 i1 ) 1 (1 i2 ) 1 (1 in ) 1
例：设某项投资基金的利息力为，
k51 20 k,0k1,2,3
其中k为投资年度。求某投资者在开始投资多 少资金于该基金时，使得投资在5年末的终值 为50，000元。
an
(1i)n
1i
或：
d iv
i
d 1 d
4）贴现率与折现因子
公式一
d1v
及：
公式二
vt vt (1d)t
及：
v1d
at (1d)t
例：94年1月1日的积累值为1，000元，d=10% 求：1）90年1月1日的现值为多少？
利息理论第一章 利息的基本概念
t t t 0
从而有，
∫0 δ s ds = A(t ) = a (t ) = a(t ) e A(0) a (0)
t
这样我们便得到了利息强度和积累函数之间的关 系。如果已知各个时刻利息强度，便可以求得人一时 刻的积累函数。 例、如果δ t = 0.01t , 0 ≤ t ≤ 2, ，确定投资1000元 ，确定投资1000元 在第一年末的积累值和第二年内的利息金额。 解：
在《利息理论》这门课程中，我们将着重讨 论以下几个方面的问题： 1、金融产品价格的确定。例如，年金、 债券、股票等。 2、分析投资的可行性，确定投资的收益率。 3、设计债务人的各种偿还计划，并且分析 各种偿还计划的特点。 4、分析企业的财务状况，如固定资产的折 旧和固定资产的选择。
在西方资本主义发达的国家，《利息理论》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》, 即《财务数学》。也就是说《利息理论》这门 课程实际上是利用数学的方法定量分析个人、 企业的财务状况，包括：投资收益分析、融资 成本分析、债务偿还分析以及企业自身内部的 固定称的分析。因此，学好利息理论这门课程 十分必要，它是我们先前所学到的诸如《财务 管理》、《金融市场学》等课程的必要补充， 能帮助我们用数学的方法精确的度量各种金融
前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定 的时间去间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是 一个度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来 度量在1/m 度量在1/m个度量期内的利息。 在很多情形下，我们还希望能度量在每一时间点上 的利息，也就是在无穷区间上的利息。这种对利息在各 个时间点上的度量叫做利息强度。 利息强度 δ t 定义如下：
从而有，
∫0 δ s ds = A(t ) = a (t ) = a(t ) e A(0) a (0)
t
这样我们便得到了利息强度和积累函数之间的关 系。如果已知各个时刻利息强度，便可以求得人一时 刻的积累函数。 例、如果δ t = 0.01t , 0 ≤ t ≤ 2, ，确定投资1000元 ，确定投资1000元 在第一年末的积累值和第二年内的利息金额。 解：
在《利息理论》这门课程中，我们将着重讨 论以下几个方面的问题： 1、金融产品价格的确定。例如，年金、 债券、股票等。 2、分析投资的可行性，确定投资的收益率。 3、设计债务人的各种偿还计划，并且分析 各种偿还计划的特点。 4、分析企业的财务状况，如固定资产的折 旧和固定资产的选择。
在西方资本主义发达的国家，《利息理论》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》 这门课程也被称作《Financial Mathematics》, 即《财务数学》。也就是说《利息理论》这门 课程实际上是利用数学的方法定量分析个人、 企业的财务状况，包括：投资收益分析、融资 成本分析、债务偿还分析以及企业自身内部的 固定称的分析。因此，学好利息理论这门课程 十分必要，它是我们先前所学到的诸如《财务 管理》、《金融市场学》等课程的必要补充， 能帮助我们用数学的方法精确的度量各种金融
前面定义的各种利息度量方式都是用来度量在规定 的时间去间内的利息。实际利率和实际贴现率度量的是 一个度量期内的利息，而名义利率和名义贴现率则用来 度量在1/m 度量在1/m个度量期内的利息。 在很多情形下，我们还希望能度量在每一时间点上 的利息，也就是在无穷区间上的利息。这种对利息在各 个时间点上的度量叫做利息强度。 利息强度 δ t 定义如下：
利息理论——第一章1.1
1
这里我们引入一个新的概念：现值。我们把 为了在t期末得到某个积累值，而在开始时 投资的本金金额称为该积累值的现值（或折 现值，Present Value）。
我们将 k a (t ) 代入(1.1.1)式，可以得到
1
1 A(t ) ka(t ) a(t ) 1 a(t )
例1 甲向乙借款1 000元，两人商定从2006年 12月31日归还，且归还时，甲一次性向乙支 付利息100元。
在该项借贷往来中，可将乙借钱给甲看成是一项投 资，其初始投资为1 000元，即本金为1 000元 （ P=1 000元）；投资期从2006年1月1日至2006年12月 31日，为期1年（ n=1年）；乙的该项投资在1年后除 了收回本金外，还额外可得100元，即利息（ I=100元）。 因为两人商定利息是在1年结束时才一次性支付，即1年 才计算一次利息，所以计息期为1年。且其单位本金获得 的利息为0.1元（ 100/1 000=0.1），所以年利率为10% （ i=10%）。在2006年12月31日时，该项投资的积累值 为1 100元。
利息
我们将从投资日起第n个时期所得到的利息 金额记为I n ，则 I n A(n) A(n 1) 对整数n≥1 (1.1.2)
注：这里注意 I n 表示的是一个时间区间上 所得利息的量，而A(n)则是在一特定时刻的 积累量。
§1.1.1
实际利率
定义：某一度量期的实际利率（Effective Rate of Interest） 是指该度量期内得到的利息金额 与此度量期开始时投资的本金金额之比。通常， 实际利率用字母i表示。 实际利率i是利息的第一种度量方式，由定义可 以看出，实际利率是一个不带单位的数，实务 中常用百分数来表示； 它与给定的时期有关； 它其实是单位本金在给定的时期上产生的利息 金额。
利息理论1
在以上的例子中，如果按单利计息，则实际利率为：
A(n) A(n 1) a (n) a (n 1) in A(n 1) a (n 1) (1 in) (1 i (n 1)) i (1 i (n 1)) 1 i (n 1)
可见，随着n的增大 in 将变小。以上例子说明，按单利计息时， 各年的利息率并不相同的。
以上例子说明，按复利计息时，任何一年的利息率都是相同的。
2、1、2 单利和复利 利息的计算方法有单利和复利两种。单利只在本金 上计算利息，其累积函数的形式为 a(t)=1+it (t≥0) 当t=0时，a(0)=1，当t=1时，a(1)=1+ｉ，说明它经过 （0，1）和（1，1+ i）点。 见P12图2一2。
1000 900 i 100 % 11.1% 900
如果假设上述债券的售价从900元上升到950元，则收益率将从 11.1%降到5.3%；反之，如果债券价格从900元下降到850元，则收 益率将从11．1％上升到17．6％。由此可见，贴现债券的价格与 其收益率也呈反方向变化。事实上，对于任何一种债券，利率上 升将会导致债券价格下降，利率下降将会导致债券价格上升。
人们日常接触的信用工具可以分为四类：简易贷款、固定分期 支付贷款、附息债券和贴现债券。这四种信用工具的收益率各不相 同，因此利率的表现形式也不同。 1、1、1 简易贷款 简易贷款是指贷款人向借款人按双方约定的利率提供一笔一定 期限的资金（本金），贷款到期时，借款人向贷款人一次性偿还本 金和利息。工商信贷通常采取简易贷款的形式。譬如，某企业从银 行获得400万元的贷款，期限为一年，一年期满后，企业向银行归 还400万元的本金，并加20万元的利息，则这笔贷款的到期收益率 为：
利息理论(第二版).
课程简介
ห้องสมุดไป่ตู้• 《中华人民共和国保险法》（2009年修订）第八十五条规定：
“保险公司应当聘用经国务院保险监督管理机构认可的精算 专业人员，建立精算报告制度。保险公司应当聘用专业人员， 建立合规报告制度。” 中国保险监督管理委员会1999年组织了中国首次精算师资格 考试，当年有43人获得中国精算师资格。中国精算师考试科 目共有18门课（其中准精算师有8门课，精算师10门课）。 北美精算学会（Society of Actuaries, SOA ）的精算师资格 考试课程是为寿险精算人员所设计的。其考试分为两部分， 准精算师课程和精算师课程。2000年学会开始实行新的考试 制度，一共包括8门课程。 利息理论是中国准精算师和北美精算学会准精算师的必考科 目中的重要内容，也是许多财经类大学保险精算专业研究生 入学考试的必考科目。
精算师考试科目 科目代码 FC1 FC2 FC3 FC4 FL1 FL2 FL3 FG1 FG2 FG3 科目 保险法及相关法规 保险公司财务管理 健康保险 投资学 个人寿险与年金精算实务 资产负债管理 员工福利计划 非寿险精算实务 非寿险定价 非寿险责任准备金评估 学分 考试时间 备注 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时 4小时
• 考试形式: 选择题
• 考试要求:本科目要求考生具有较好的数学知
识背景。通过学习本科目, 考生应该熟练掌握
利息理论、利率期限结构与随机利率模型、金
融衍生工具定价理论、投资组合理论的主要内
容，在了解基本概念、基本理论的基础上，掌
握上述几部分内容涉及的方法和技巧。
中国精算师资格考试(金融数学)
• 考试内容(结构)：
课程简介
• 利息理论（又称复利数学），它是以经济理论为基础，
利息理论第一章.ppt
7
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
注意：积累和折现的区别
积累和折现是两个相反的过程，积累值 和过去支付的款项有关，现值和未来得 到的款项有关。
a(t)是0时刻的1单位本金在t时刻的积累 值；a1(t) 是t时刻的1单位本金在0时刻的 现值。
8
8、利息金额 把从投资日起第n个时期所得的利息金额记为 In ，则
In A(n) A(n 1) In 表示在一个时间区间上所产生的，在最后 时刻支付利息的量，A(n) 表示在一特定时刻的积累量。
2
例如：1000元以年实际利率5%存款1年， 可得利息50元。
3、利息的定义 总结来说，利息是一定时期内，资金拥有 人将资金的使用权转让给借款人后得到的 报酬。
注意：理论上利息和资金可以不均为货币 形式，但几乎所有的实际应用中，资金和 利息均是用货币来表示的，故本书中的所 有的资金和利息均为货币形式。
假设每期以单利 i 计息，则在投资期间，每一度量
期产生的利息均为常数i ；令 in (n 1)为第n个度
量期内的实际利率，则
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1 in) [1 i(n 1 i(n 1)
1)]
i
i
对整数n 1
1 i(n 1)
in关于n递减，且当n取值较大时，实际利率in将变得较小。 故常数的单利意味着递减的实际利率。
6
6、t期折现因子
▪（1）定义： 称积累函数a(t)的倒数 a1(t) 为t期折 现因子或折现函数。特别地，把一期折现因子 a1(1)
简称为折现因子，并记为 v 。
▪ （2）意义： 第t期折现因子a1(t) 是为了使在t 期末的积累值为1，而在开始时投资的本金金额。
7、现值或折现值
我们把为了在t期末得到某个积累值，而在开始时投 资的本金金额称为该积累值的现值（或折现值）。在 t期末支付k的现值为k a1(t)
《利息理论》—教学课件
2、实际利率常用百分数表示。如：i=8%。
3、在该度量期本金的数额保持不变，即没有新本金投入 也没有本金被取出。
4、实际利率是度量期末支付利息的一种度量。
支付利息的二种方式 ❖ 期末支付
这是常见的支付利息的方式，又称滞后利息。 例：设某人向银行借了1000元钱，约定一年后还本，借贷
款利率为8%的滞后利率，则此人在年末时要偿还银行本 金1000元，另加80元利息。 ❖ 期初支付 这种支付利息的方法不常见，又称预付利息。它是在投入 资本之时即获得利息。
显然，In关于n单调递增。而对于每期的实际利率，有
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1
i)n (1 i)n1 (1 i)n1
(1 i) 1
1
i
与n无关。这样，尽管定义不同，但复利与实际利率是相同 的，这也是复利与单利区别之一。
❖ 单利与复利的比较 1、单利的利息并不作为投资资金而再赚取利息，而复利则不 然，它采用的是“利滚利”。 2、由积累函数看，相同数值的单利对于不同的时期会有不同 的关系：对于单个度量期，它们产生的结果是相同的；对于 较长时期，由于t≥1时，有(1+i)t≥1+it，所以复利比单利产 生更大的积累值；而对于较短时期则相反，因为t≤1时， (1+i)t≤1+it；
三、实际利率
利率的第一种形式称为“实际利率”，用i表示。 定义：我们将一个度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资
的本金金额之比，称为该期的实际利率。 ❖ 用积累函数来定义即为：
i＝a(1)－a(0) 或 a(1)＝1+i
❖ 关于这个定义有几点值得注意：
1、“实际”这个词的使用不是很直观，这个概念用于每 个计息期支付一次利息的利率，它是与“名义利率” 相 对的。“名义利率”是一个计息期内支付多次利息的利率。
3、在该度量期本金的数额保持不变，即没有新本金投入 也没有本金被取出。
4、实际利率是度量期末支付利息的一种度量。
支付利息的二种方式 ❖ 期末支付
这是常见的支付利息的方式，又称滞后利息。 例：设某人向银行借了1000元钱，约定一年后还本，借贷
款利率为8%的滞后利率，则此人在年末时要偿还银行本 金1000元，另加80元利息。 ❖ 期初支付 这种支付利息的方法不常见，又称预付利息。它是在投入 资本之时即获得利息。
显然，In关于n单调递增。而对于每期的实际利率，有
in
a(n) a(n 1) a(n 1)
(1
i)n (1 i)n1 (1 i)n1
(1 i) 1
1
i
与n无关。这样，尽管定义不同，但复利与实际利率是相同 的，这也是复利与单利区别之一。
❖ 单利与复利的比较 1、单利的利息并不作为投资资金而再赚取利息，而复利则不 然，它采用的是“利滚利”。 2、由积累函数看，相同数值的单利对于不同的时期会有不同 的关系：对于单个度量期，它们产生的结果是相同的；对于 较长时期，由于t≥1时，有(1+i)t≥1+it，所以复利比单利产 生更大的积累值；而对于较短时期则相反，因为t≤1时， (1+i)t≤1+it；
三、实际利率
利率的第一种形式称为“实际利率”，用i表示。 定义：我们将一个度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投资
的本金金额之比，称为该期的实际利率。 ❖ 用积累函数来定义即为：
i＝a(1)－a(0) 或 a(1)＝1+i
❖ 关于这个定义有几点值得注意：
1、“实际”这个词的使用不是很直观，这个概念用于每 个计息期支付一次利息的利率，它是与“名义利率” 相 对的。“名义利率”是一个计息期内支付多次利息的利率。
利息理论读书笔记
利息理论读书笔记利息理论读书笔记篇1在金融学中，利息理论是一个重要的组成部分。
它研究的是资金在不同主体之间流动时产生的价格。
这个理论可以追溯到古希腊和古罗马时期，但直到18世纪的法国，才有了现代利息理论的基础。
现代利息理论的基础是由法国经济学家巴师夏和萨伊奠定的。
他们提出了“三位一体公式”，将利息、地租和利润这三个经济范畴统一起来，认为它们都是生产上的损失，即总产量与总劳动的差额的表现。
这一公式在之后的经济学理论中产生了深远的影响。
然而，真正将利息理论系统化的是德国经济学家赫克歇尔和俄林。
他们提出了“资本报酬递减定律”，揭示了资本的收益会随着使用的增加而递减。
这一定律为现代资本理论奠定了基础。
随着经济的发展，利息理论也在不断发展和完善。
20世纪60年代，美国经济学家费雪提出了“资本利息率”的概念，将利息理论与实际经济活动联系起来。
他认为，利息率是由资本设备的数量、人口、国民生产总值等因素决定的。
这一理论为后来的金融学研究提供了重要的参考。
回顾整个利息理论的发展历程，我们可以看到它始终围绕着“生产损失”这一核心概念展开。
这一概念不仅构成了利息理论的基础，也为后来的金融学研究提供了重要的思路。
在未来，随着经济的发展和金融学的深入研究，我相信利息理论将继续发挥其重要的作用。
利息理论读书笔记篇2标题：利息理论读书笔记日期：2023年6月14日作者：李明1.引言在阅读《利息理论》这本书时，我深深地被其独特的视角和方法所吸引。
作者通过对利息的本质、利率的决定因素以及利率与经济周期、通货膨胀等其他经济变量之间的关系进行了深入浅出的阐述。
我认为这本书的价值在于它提供了一个全面而系统的利息理论框架，使我对利息理论有了更深入的理解。
2.内容概述本书主要围绕着利息的产生、本质以及利率的决定因素展开。
作者首先阐述了利息产生的历史背景，以及为什么在商品货币和信用货币制度下，利息仍然存在。
接着，作者介绍了利率的决定因素，包括货币供给、信用供给、资本回报率、风险溢价等因素。
利息理论1
注：若i1 与 d1 等价，i 与 等价，则 i1 2 d2
i 4.988% 5% ，债券投资优于储蓄。 1 i
i2 当且仅当
d1 d 2
。
d与i之间的几种变形有一些有趣的字面解释： 1) 1/(1+i) =1-d -- 此方程两边均表示在期末支付 1的现值。 2) d=iv -- 本金为v产生的利息量d正好为本金v乘以 利率i 3 ） i-d=id -- 某人可借贷 1 而在期末归还 1+i ，也可 以借贷1-d而在期末归还 1 。表达式i-d是所付利 息的差额，此种差额是因为所借本金相差 d 而产 生的。金额d依利率i在一时期末的利息就是id.
d i i , d 4） 1 d 1 i
例 假设期初借款人从贷款人处借入10000元，并约
定一年到期时还10500元。如果借款人希望期初时
即付给贷款人利息，1年到期时偿还本金10000元， 问：期初借款人实际可得金额是多少？
1 0.9524, d iv 0.04762 解：贴现因子 v 1 i
8
n 1, t2 n 时, 记
A(t2 ) A(t1 ) I t1 ,t2 A(t1 ) A(t1 )
表示从投资之日算起第n个时期的利率.
如果记息期为标准时间单位, 通常是一年,一月或 一季,或”一个时期”,则所得利率常称为实(质)利 率. 定义1.4 (实)利率i是指在某一时期开始时投资1 单位本金时，在此时期内应获得的利息。 如：一年期存款，年利率i=2.25%, 故 a(1)=1+2.25% 本金100元，年末累积值为 100(1+2.25%)=102.25元 显然， A(n)=A(n-1)(1+in)
定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转
i 4.988% 5% ，债券投资优于储蓄。 1 i
i2 当且仅当
d1 d 2
。
d与i之间的几种变形有一些有趣的字面解释： 1) 1/(1+i) =1-d -- 此方程两边均表示在期末支付 1的现值。 2) d=iv -- 本金为v产生的利息量d正好为本金v乘以 利率i 3 ） i-d=id -- 某人可借贷 1 而在期末归还 1+i ，也可 以借贷1-d而在期末归还 1 。表达式i-d是所付利 息的差额，此种差额是因为所借本金相差 d 而产 生的。金额d依利率i在一时期末的利息就是id.
d i i , d 4） 1 d 1 i
例 假设期初借款人从贷款人处借入10000元，并约
定一年到期时还10500元。如果借款人希望期初时
即付给贷款人利息，1年到期时偿还本金10000元， 问：期初借款人实际可得金额是多少？
1 0.9524, d iv 0.04762 解：贴现因子 v 1 i
8
n 1, t2 n 时, 记
A(t2 ) A(t1 ) I t1 ,t2 A(t1 ) A(t1 )
表示从投资之日算起第n个时期的利率.
如果记息期为标准时间单位, 通常是一年,一月或 一季,或”一个时期”,则所得利率常称为实(质)利 率. 定义1.4 (实)利率i是指在某一时期开始时投资1 单位本金时，在此时期内应获得的利息。 如：一年期存款，年利率i=2.25%, 故 a(1)=1+2.25% 本金100元，年末累积值为 100(1+2.25%)=102.25元 显然， A(n)=A(n-1)(1+in)
定义 利息就是掌握和运用他人资金所付的代价或转
利息理论 ppt课件
例1.7 已知现在投入1000元，第3年底投入2000元， 第10年底全部收入为5000元，计算半年换算名利率
解题：设半年换算名利率为 i ( 2 ) ，令 j i(2) / 2，则有
10(10 j0 )20 20(10 j0 )14 5000
令 f(i) 10 (1 0j)2 0 020 (1 0j)1 0 450，0分0 别验证f(j0),f(j1) 使得 f(j0)f(j1)0，则有 j2j0ff((jj01))(j1f(jj00)) 按照相同原则迭代出 j3 , j4 等
2.1 基本年金
续例2.1 A: 500(1 00.0)0 8 10 5000 50 70 9.5406
B: 5000 0 .00 8 10 0400000
C: 500001005000020451.445
a 100.08
（利息的发生过程未予考虑）
2.1 基本年金
2.1.2 期初年金
定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即产 生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金
aA (5 ) 1 .41a 0 B (5 6 ) 1 .4058
1.1 利率基本函数
定义1.11 设累积函数 a (t ) 为 t(t 0) 的连续可微函
数，则称函数
t
a' (t) ,(t 0)
a(t)
为累积函数a (t ) 对应的利息力函数，并称其在各个
时刻的值为利息力。
a(t)exp0t(sd)st,0
后5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%， 计算每月末的付款金额。
【解】付款按月进行，因此可以先将年利率转 换成实际月利率（ 16.0% 9） 1/12 10.49% 3，86 再按照基本年金公式有
解题：设半年换算名利率为 i ( 2 ) ，令 j i(2) / 2，则有
10(10 j0 )20 20(10 j0 )14 5000
令 f(i) 10 (1 0j)2 0 020 (1 0j)1 0 450，0分0 别验证f(j0),f(j1) 使得 f(j0)f(j1)0，则有 j2j0ff((jj01))(j1f(jj00)) 按照相同原则迭代出 j3 , j4 等
2.1 基本年金
续例2.1 A: 500(1 00.0)0 8 10 5000 50 70 9.5406
B: 5000 0 .00 8 10 0400000
C: 500001005000020451.445
a 100.08
（利息的发生过程未予考虑）
2.1 基本年金
2.1.2 期初年金
定义2.3 若年金的首次现金流在合同生效时立即产 生，随后依次分期进行，这种年金称为期初年金
aA (5 ) 1 .41a 0 B (5 6 ) 1 .4058
1.1 利率基本函数
定义1.11 设累积函数 a (t ) 为 t(t 0) 的连续可微函
数，则称函数
t
a' (t) ,(t 0)
a(t)
为累积函数a (t ) 对应的利息力函数，并称其在各个
时刻的值为利息力。
a(t)exp0t(sd)st,0
后5年内按月偿还，如果年实际利率为6.09%， 计算每月末的付款金额。
【解】付款按月进行，因此可以先将年利率转 换成实际月利率（ 16.0% 9） 1/12 10.49% 3，86 再按照基本年金公式有
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4
保险精算的产生与发展
保险精算的产生是以哈雷慧星的发现者，英国天 文学家哈雷（Halley）在1693年发表的世界上第 一张生命表为标志，至今已有三百多年的历史。 进入20世纪以来，保险精算学得到了长足发展， 精算技术发生了根本的变化，精算水平显著提高， 精算在保险业务中具有核心作用。
5
保险精算的产生与发展
3
保险精算学的界定
保险精算学是以金融学、保险学为基础，以数学、统计 学为工具，对保险业务中需要精确计算的有关问题进行 研究的一门学科 保险精算学主要分为 寿险精算学 以概率论和数理统计为工具研究人寿保险的寿命分 布规律，寿险出险规律，寿险产品的定价，责任准 备金的计算，保单现金价值的估值等问题的学科 非寿险精算学 是研究除人寿以外的保险标的的出险规律，出险事 故损失额度的分布规律，保险人承担风险的平均损 失及其分布规律，保费的厘定和责任准备金的提存 等问题的学科
复利超过 单利的%
1
2
3
1.15 0.663
4
1.2 1.29
5
1.25 2.1
6
1.3 3.1
1.05 1.10 0 0.227
1.05 1.1025 1.1576 1.2155 1.2763 1.3401
可见，经过6年的时间，复利方式比相同单利方式的累积值超过了 26 3%
1.1.3 实际贴现率
14
利息理论
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 利率概述 利息的度量 等额年金（上） 等额年金（下） 变额年金 投资收益分析 债务偿还方法 债券价值分析 利率风险及其防范 股票价值分析
15
第一章 利息的基本概念
1.1 实际利率和实际贴现率
1.2 名义利率和名义贴现率
1.1.2单利和复利
考虑投资一单位本金
如果其在t时刻的积累值为a(t)=1+i*t，则称这 样产生的利息为单利； in 如果其在t时刻的积累值为a(t)=(1+i)t，则称这 样产生的利息为复利。 in
22
单利和复利的比较
在同样长的时期内，单利利息增长数额为 常数，复利利息增长比例为常数； 常数的单利意味着递减的实际利率，常数 的复利意味着实际利率为常数；
10
保险精算的基本任务
保险产品的定价 责任准备金的计提 再保险的计划安排 偿付能力管理 保险基金的运用 保险公司财务分析及破产预警
11
保险精算的基本原理
收支平衡（相等）原则：即使保险期 内纯保费收入的现金价值与支出保险 赔付的现金价值相等。具体有三种平 衡等式： 期初的现值相等 期末的终值相等 期中的当前值相等
9
中国精算师考试
011 财务 30 3 必考 012 保险法规 30 3 必考 013 资产/负债管理 30 3 必考 014 社会保险 20 3 选考 015 个人寿险与年金精算实务 20 3 选考 016 高级非寿险精算实务 20 3 选考 017 团体保险 20 3 选考 018 意外伤害和健康保险 20 3 选考 019 投资学 20 3 选考
( 4)
4
i
1 i
32
1.2名义利率与名义贴现率
精算中的名义利率和金融学中的名义利率 不同 金融学中 r=i+p
其中，r为名义利率，i为实际利率，p为借贷期内 物价水平的变动率，它可以为正，也可能为负。
33
名义贴现率
名义贴现率： （1）一个度量周期内收取n次贴现值的贴现率 1 （2）度量的是一个小区间 n 内的实际贴现率 名义贴现率与实际贴现率的关系：
18
1.1实际利率和实际贴现率
1.1.1实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金 额与此度量其开始时投入的本金金额之比。通常用 i 表 示。
A n A n 1 in A n 1
n 1, n为整数
19
第一节 实际利率与贴现利率
利息问题求解
在一个利息问题中，已知三个基本量，求解第四
(n)
1 设d 表示年名义贴现率，每 时期收取一次贴现值， 则年实际贴现率 为： d n
n
d (n) d 1 1 n 年名义贴现率为： d (n)
1 1 1 d 1 n1 v n n n
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取 得的利息金额与期末的投资可回收金额之 比，通常用字母d来表示实际贴现率。
A(n) A(n 1) I n dn A(n) An
27
1.1.3 实际贴现率
等价的利率i、贴现率d和贴现因子（折现 因子）v之间关系如下：
d i i , d (1 i ) i , d 1 d 1 i 1 v 1 d , d iv , v , i d id 1 i
1.3 利息强度
16
利息的本质
是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而 支付给贷款人的报酬。 从投资的角度看，利息是一定量的资本经过 一段时间的投资后产生的价值增值。 利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而 可能遭受的损失 理论上，利息可以是任何有价值的东西，未 必一定是资本或货币 实际中，利息多用货币资本表示
名义利率： （1）一个利率 （3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相 联系 名义利率与实际利率的关系：
设i ( m ) 表示一年结转 次利息的年名义利率， m 则年实际利率 为： i i 1 i 1 m 1 1 i m 1 (m) i m
6
中国精算师考试
中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为 准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。 准精算师考试目的在于考察考生对保险精算的基 本原理和技能的掌握，并涉及基本保险精算实务， 考试课程共设9门，均为必考课程。 精算师考试课程共10门，其中3门必考课程，2门 选考课程，考生必须通过3门必考课程、2门选考 课程的考试。3门必考课程内容主要涉及保险公司 运营管理、财务、投资以及中国保险业法规、税 收、财务制度等。2门选考课程则为保险业务的不 同方向。
7
中国精算师考试
考题形式为标准试题和笔答题，考试采用 学分制。考生通过全部基础课程考试，获 得270学分，可以获得准精算师考试合格证 书；精算师高级课程考试共130学分，90学 分必考学分，40学分选考学分。考生在通 过全部课程的考试后，还需有专业训练要 求， 考生要请一名资深的中国精算师指导， 在专业领域工作两年，并有一篇专业报告， 经答辩合格后，方取得精算考试合格证书。
在年名义贴现率一定的条件下，一年内结转的 贴现次数越多，年实际贴现率越小。
34
名义贴现率
d (m) 名义贴现率
d 1 1 d m
i 5% in , n 1,2,3 1 i(n 1) 1 5%(n 1)
n
in
1
5%
2
4.76%
3
4.55%
4
4.35%
5
4.17%
6
4%
25
6年内，实际利率水平降低了一个百分点
2）复利的实际利率等于复利率 3）复利累计值超过单利累计值3%的时刻
n
单利 复利
17
第一节 实际利率与贴现利率
一、基本概念
本金：开始时的投资额 终值：一定时间后回收的总金额，也称为积累 值 积累函数a(t)：0时刻数量为1的本金在t时刻的 积累值，a(0)=1，a(t)单调递增，a(t)可连续或 间断。 总量函数A(t)=k· a(t) 折现函数v(t): t时刻数量为1的积累值在0时刻 的现值，v(t)=1/a(t) 折现因子：v=1/a(1) 利息金额In=A(n)-A(n-1)
23
例1.1.3 某银行以单利计息，年息为6%，某 人存入5000元，问5年后的积累值为多少？ 例1.1.4 某银行以复利计息，年息为6%，某 人存入5000元，问5年后的积累值为多少？
例1.1.5 已知年实际利率为8%，求4年后支 付10000元的现值。
24
单利与复利的比较
例、以年利率5%为例，比较单利和复利计 算方法的异同效果。 解：1）单利情况下，每年的实际利率水平
保险精算是在上世纪80年末90年代初才开始了入 我国的，虽然起步较晚，但在开始引进时就与国 际接轨，通过“派出去，请进来”的直接学习方 式，直接使用国际上最权威的原版教材，直接吸 收国际上最新成果，直接与国外学者进行交流。 经过十余年的不懈努力，我国保险精算学学术水 平已接近世界先进水平。现在保险精算学的教育 发展势头，正像我国目前保险业的发展势头一样， 方兴未艾。
28
例1.1.6 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的金额为1050元，第二年末他存 折上的金额为1100元，问：第一年和第二 年的实际贴现率分别是多少？
29
例1.1.8 已知某项投资在一年中能得到的利 息金额为336元，而等价的贴现金额为300 元，求本金额。
30
1.2名义利率与名义贴现率
2
关于精算师的薪水，目前国内实力雄厚一点的保 险公司，一般可达百万元人民币左右；刚考到北 美或英国精算师资格的，年薪一般是四五十万元； 如果有3年以上实践经验，在60万—80万元。至 于中国引进的洋精算师，如果有20年从业经验， 年薪一般在300万—500万元，如果有30年或40年 从业经验，年薪在800万—900万元！
个基本量
20
例1.1.1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的金额为1050元，第二年末他存 折上的金额为1100元，问：第一年和第二 年的实际利率分别是多少？
例1.1.2 某人投资1000元于证券上，该证券 年实际利率为10%，问：一年后，此人将 得到的金额为多少？其中利息多少？
保险精算的产生与发展
保险精算的产生是以哈雷慧星的发现者，英国天 文学家哈雷（Halley）在1693年发表的世界上第 一张生命表为标志，至今已有三百多年的历史。 进入20世纪以来，保险精算学得到了长足发展， 精算技术发生了根本的变化，精算水平显著提高， 精算在保险业务中具有核心作用。
5
保险精算的产生与发展
3
保险精算学的界定
保险精算学是以金融学、保险学为基础，以数学、统计 学为工具，对保险业务中需要精确计算的有关问题进行 研究的一门学科 保险精算学主要分为 寿险精算学 以概率论和数理统计为工具研究人寿保险的寿命分 布规律，寿险出险规律，寿险产品的定价，责任准 备金的计算，保单现金价值的估值等问题的学科 非寿险精算学 是研究除人寿以外的保险标的的出险规律，出险事 故损失额度的分布规律，保险人承担风险的平均损 失及其分布规律，保费的厘定和责任准备金的提存 等问题的学科
复利超过 单利的%
1
2
3
1.15 0.663
4
1.2 1.29
5
1.25 2.1
6
1.3 3.1
1.05 1.10 0 0.227
1.05 1.1025 1.1576 1.2155 1.2763 1.3401
可见，经过6年的时间，复利方式比相同单利方式的累积值超过了 26 3%
1.1.3 实际贴现率
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利息理论
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章 第九章 第十章 利率概述 利息的度量 等额年金（上） 等额年金（下） 变额年金 投资收益分析 债务偿还方法 债券价值分析 利率风险及其防范 股票价值分析
15
第一章 利息的基本概念
1.1 实际利率和实际贴现率
1.2 名义利率和名义贴现率
1.1.2单利和复利
考虑投资一单位本金
如果其在t时刻的积累值为a(t)=1+i*t，则称这 样产生的利息为单利； in 如果其在t时刻的积累值为a(t)=(1+i)t，则称这 样产生的利息为复利。 in
22
单利和复利的比较
在同样长的时期内，单利利息增长数额为 常数，复利利息增长比例为常数； 常数的单利意味着递减的实际利率，常数 的复利意味着实际利率为常数；
10
保险精算的基本任务
保险产品的定价 责任准备金的计提 再保险的计划安排 偿付能力管理 保险基金的运用 保险公司财务分析及破产预警
11
保险精算的基本原理
收支平衡（相等）原则：即使保险期 内纯保费收入的现金价值与支出保险 赔付的现金价值相等。具体有三种平 衡等式： 期初的现值相等 期末的终值相等 期中的当前值相等
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中国精算师考试
011 财务 30 3 必考 012 保险法规 30 3 必考 013 资产/负债管理 30 3 必考 014 社会保险 20 3 选考 015 个人寿险与年金精算实务 20 3 选考 016 高级非寿险精算实务 20 3 选考 017 团体保险 20 3 选考 018 意外伤害和健康保险 20 3 选考 019 投资学 20 3 选考
( 4)
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i
1 i
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1.2名义利率与名义贴现率
精算中的名义利率和金融学中的名义利率 不同 金融学中 r=i+p
其中，r为名义利率，i为实际利率，p为借贷期内 物价水平的变动率，它可以为正，也可能为负。
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名义贴现率
名义贴现率： （1）一个度量周期内收取n次贴现值的贴现率 1 （2）度量的是一个小区间 n 内的实际贴现率 名义贴现率与实际贴现率的关系：
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1.1实际利率和实际贴现率
1.1.1实际利率
某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金 额与此度量其开始时投入的本金金额之比。通常用 i 表 示。
A n A n 1 in A n 1
n 1, n为整数
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第一节 实际利率与贴现利率
利息问题求解
在一个利息问题中，已知三个基本量，求解第四
(n)
1 设d 表示年名义贴现率，每 时期收取一次贴现值， 则年实际贴现率 为： d n
n
d (n) d 1 1 n 年名义贴现率为： d (n)
1 1 1 d 1 n1 v n n n
一个度量期的实际贴现率为该度量期内取 得的利息金额与期末的投资可回收金额之 比，通常用字母d来表示实际贴现率。
A(n) A(n 1) I n dn A(n) An
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1.1.3 实际贴现率
等价的利率i、贴现率d和贴现因子（折现 因子）v之间关系如下：
d i i , d (1 i ) i , d 1 d 1 i 1 v 1 d , d iv , v , i d id 1 i
1.3 利息强度
16
利息的本质
是借贷关系中借款人为取得资金的使用权而 支付给贷款人的报酬。 从投资的角度看，利息是一定量的资本经过 一段时间的投资后产生的价值增值。 利息补偿了贷款者因为让度资金的使用权而 可能遭受的损失 理论上，利息可以是任何有价值的东西，未 必一定是资本或货币 实际中，利息多用货币资本表示
名义利率： （1）一个利率 （3）必须于一个度量周期内所包含的小区间的个数相 联系 名义利率与实际利率的关系：
设i ( m ) 表示一年结转 次利息的年名义利率， m 则年实际利率 为： i i 1 i 1 m 1 1 i m 1 (m) i m
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中国精算师考试
中国精算师资格考试分为两个层次，第一层次为 准精算师资格考试，第二层次为精算师资格考试。 准精算师考试目的在于考察考生对保险精算的基 本原理和技能的掌握，并涉及基本保险精算实务， 考试课程共设9门，均为必考课程。 精算师考试课程共10门，其中3门必考课程，2门 选考课程，考生必须通过3门必考课程、2门选考 课程的考试。3门必考课程内容主要涉及保险公司 运营管理、财务、投资以及中国保险业法规、税 收、财务制度等。2门选考课程则为保险业务的不 同方向。
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中国精算师考试
考题形式为标准试题和笔答题，考试采用 学分制。考生通过全部基础课程考试，获 得270学分，可以获得准精算师考试合格证 书；精算师高级课程考试共130学分，90学 分必考学分，40学分选考学分。考生在通 过全部课程的考试后，还需有专业训练要 求， 考生要请一名资深的中国精算师指导， 在专业领域工作两年，并有一篇专业报告， 经答辩合格后，方取得精算考试合格证书。
在年名义贴现率一定的条件下，一年内结转的 贴现次数越多，年实际贴现率越小。
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名义贴现率
d (m) 名义贴现率
d 1 1 d m
i 5% in , n 1,2,3 1 i(n 1) 1 5%(n 1)
n
in
1
5%
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4.76%
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4.55%
4
4.35%
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4.17%
6
4%
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6年内，实际利率水平降低了一个百分点
2）复利的实际利率等于复利率 3）复利累计值超过单利累计值3%的时刻
n
单利 复利
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第一节 实际利率与贴现利率
一、基本概念
本金：开始时的投资额 终值：一定时间后回收的总金额，也称为积累 值 积累函数a(t)：0时刻数量为1的本金在t时刻的 积累值，a(0)=1，a(t)单调递增，a(t)可连续或 间断。 总量函数A(t)=k· a(t) 折现函数v(t): t时刻数量为1的积累值在0时刻 的现值，v(t)=1/a(t) 折现因子：v=1/a(1) 利息金额In=A(n)-A(n-1)
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例1.1.3 某银行以单利计息，年息为6%，某 人存入5000元，问5年后的积累值为多少？ 例1.1.4 某银行以复利计息，年息为6%，某 人存入5000元，问5年后的积累值为多少？
例1.1.5 已知年实际利率为8%，求4年后支 付10000元的现值。
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单利与复利的比较
例、以年利率5%为例，比较单利和复利计 算方法的异同效果。 解：1）单利情况下，每年的实际利率水平
保险精算是在上世纪80年末90年代初才开始了入 我国的，虽然起步较晚，但在开始引进时就与国 际接轨，通过“派出去，请进来”的直接学习方 式，直接使用国际上最权威的原版教材，直接吸 收国际上最新成果，直接与国外学者进行交流。 经过十余年的不懈努力，我国保险精算学学术水 平已接近世界先进水平。现在保险精算学的教育 发展势头，正像我国目前保险业的发展势头一样， 方兴未艾。
28
例1.1.6 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的金额为1050元，第二年末他存 折上的金额为1100元，问：第一年和第二 年的实际贴现率分别是多少？
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例1.1.8 已知某项投资在一年中能得到的利 息金额为336元，而等价的贴现金额为300 元，求本金额。
30
1.2名义利率与名义贴现率
2
关于精算师的薪水，目前国内实力雄厚一点的保 险公司，一般可达百万元人民币左右；刚考到北 美或英国精算师资格的，年薪一般是四五十万元； 如果有3年以上实践经验，在60万—80万元。至 于中国引进的洋精算师，如果有20年从业经验， 年薪一般在300万—500万元，如果有30年或40年 从业经验，年薪在800万—900万元！
个基本量
20
例1.1.1 某人到银行存入1000元，第一年末 他存折上的金额为1050元，第二年末他存 折上的金额为1100元，问：第一年和第二 年的实际利率分别是多少？
例1.1.2 某人投资1000元于证券上，该证券 年实际利率为10%，问：一年后，此人将 得到的金额为多少？其中利息多少？