清华大学微积分课件.ppt

1)2 1
例: y x与y x2 x
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定义域不同， 表 示 的 是 不 同 的 函16 数
三、函数的初等性质
1. 函数的奇偶性
x D, f ( x) f ( x), f ( x)称为奇函数
x D, f ( x) f ( x), f ( x)称为偶函数
（严 2019/9/8 格 单 调 减 函 数)
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3. 函数的周期性
T 0,x R f ( x T ) f ( x ) 称 f 为周期函数 若 f 有最小周期T ,则称T 是 f 的周期
[注意] 并不是所有的函数都有最小周期 例如：考察狄里克雷函数
1, 当x为有理数
(x)
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(3) 既有上界又有下界的函数, 称为 有 界 函数.
即存在一个正数M 0, 使得对于
每一个x D,成立 f (x) M.
[例] y e x 和 y e x x (, )
因 为x (, ), 有 e x 0 和 e x 0
3.逻 辑 符 号
（1）全称量词“” “” 表 示 “ 任 意 的 ” 。 例如“：x R”表示“对于任意的实数x”。
（2） 存 在 量 词 “” “”表示“存在”。
例如“：a,b Q,a b,c Q且c （a,b）”
表 示 “ 任 意 两 个 有 理 数a , b之 间 ， 存 在
欢迎你！
清华园的
新主人
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微积分
讲课教师 陆小援
Tel: 62782327
E-mail: xylu@
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参考书目：
1. 《微积分教程》 韩云瑞等
清华大学出版社
2. 《一元微积分》 萧树铁 主编
高教出版社
3. 《微积分学习指导》韩云瑞等
清华大学出版社
4. 《大学数学概念、方法与技巧 》
微积分部分
刘坤林等
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清华大学出版社 4
作业
P3 习题1.1 4(2)(4)(6). 7.
P7 习题1.2 2. 5. P12 习题1.3 7. 9.
预习：P27—39
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交作业时间： 星期一 答疑时间地点：
星期五 课后
2. 函数的增减性
x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
（f ( x1 ) f ( x2 )）,称 f 为 单 调 增 函 数
（严格单 调增函数) x1 , x2 I , x1 x2 f ( x1 ) f ( x2 )
( f ( x1 ) f ( x2 ) ),称 f 为 单 调 减 函 数
抽象性 （研究对象）
演绎性 广泛性
（论证方法）
假设
结论
logic
（应用）
理性 思维
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关于学习数学的要求 1)搞清概念，侧重思路。 2)适当做题，掌握基本。 3)广泛联想，多方应用。
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（三）这个学期学什麽？
利用极限研究函数的种种表达及其诸多 性质
• 一元函数微分
极限的直观定义与计算 导数与微分的概念与计算 微分学应用
Q { p p, q为 互 质 的 整 数} 有理数集 q
R { x x是实数}
实数集
C { x iy x, y R} 复数集
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2. 邻域 设 x0 R, 0 数集{ x x x0 }称为点x0 的 邻域
记作 N ( x0, ).
理科楼 数学系 1111
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引言
（一）上大学学什麽？
• 珍惜时光
• 三个方面 做人之道, 治学之方, 健身之术
• 学会自学 学会向书本、老师、周围学
尝试研究性的学习方法：
提出问题、研究问题、解决问题
注重持续性学习：
有计划地安排学习
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（二）学数学学什麽？ 数学的基本特征
• 一元函数积分 • 简单微分方程
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不定积分 定积分概念与计算 积分学应用
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第一讲 函数
一、予备知识
二、函数概念
三、函数的初等性质
四、复合函数与反函数
五、初等函数
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一、予备知识
1. 常用的数的集合
N {0，1，2,，n,} 自然数集
Z {0， 1， 2,， n,} 整数集
{ y y R, y f ( x), x D}— 值 域 f (D)
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或R( f ) 15
函数的两个要素：
1.对应规则 f
2.定义域 D
例 ：f ( x) 2x2 1
对 应 规 则f 表 示 f () 2 2 1
f (1) 2 12 1
f ( 1 ) 2( 1 )2 1
有 理 数c". 2019/9/8
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二、函数概念
存在
唯一
定义： 设 D R为 非 空 数 集.
如 果 x D , 按 确 定 的 规 则f , !实 数
y 与 之 对 应, 记 作 y f ( x).则 称 f 为 定 义
在D上 的 一 个 函 数.
或记 f : D R
x —自变量, y —因变量, D —定义域.
x x0 x0 x x0


x0 O
x0
x0
x
N(x0, ) {x x x0 } (x0 , x0 )
数 集{ x 0 x x0 } N *( x0, )称 为
点 x 的 空 心 2019/09/8 邻 域 ( x0 , x0 ) {1x3 0 }
所以, y e x和 y e x 在(, )上,
0,
当x为无理数
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4. 函数的有界性
定义： (1) 如果存在一个实数M , 使得对 每一个x D,都有 f ( x ) M, 则称函 数f 在 D 上是有 上界的.
(2) 如果存在一个实数N , 使得对
每一个x D,都有 f ( x ) N
则称函 数f 在 D 上是有 下界的.