高考物理--电磁感应中的动力学问题(答案)

第61课时 电磁感应中的动力学问题(题型研究课)

[命题者说] 电磁感应动力学问题是历年高考的一个热点，这类题型的特点一般是单棒或双棒在磁场中切割磁感线，产生感应电动势和感应电流。感应电流受安培力而影响导体棒的运动，构成了电磁感应的综合问题，它将电磁感应中的力和运动综合到一起，其难点是感应电流安培力的分析，且安培力常常是变力。这类问题能很好地提高学生的综合分析能力。

(一) 运动切割类动力学问题

[例1]

[解析] (1)设金属杆进入磁场前的加速度大小为a ，由牛顿第二定律得ma ＝F －μmg ① 设金属杆到达磁场左边界时的速度为v ，由运动学公式有 v ＝at 0②

当金属杆以速度v 在磁场中运动时，由法拉第电磁感应定律，杆中的电动势为E ＝Bl v ③ 联立①②③式可得E ＝Blt 0⎝⎛⎭

⎫F

m －μg 。④ (2)设金属杆在磁场区域中匀速运动时，金属杆中的电流为I ，根据欧姆定律I ＝E

R ⑤

式中R 为电阻的阻值。金属杆所受的安培力为 F 安＝BlI ⑥

因金属杆做匀速运动，由牛顿运动定律得 F －μmg －F 安＝0⑦

联立④⑤⑥⑦式得R ＝B 2l 2t 0

m 。⑧

[答案] (1)Blt 0⎝⎛⎭⎫F m －μg (2)B 2l 2

t 0m

考法2 双杆模型

[例2] [思路点拨]

(1)金属杆甲运动产生感应电动势→回路中有感应电流→乙受安培力的作用做加速运动→可求出某时刻回路中的总感应电动势→由牛顿第二定律列式判断。

(2)导体棒ab 运动，回路中有感应电流→分析两导体棒的受力情况→分析导体棒的运动情况即可得出结论。

[解析] (1)设某时刻甲和乙的速度大小分别为v 1和v 2，加速度大小分别为a 1和a 2，受到的安培力大小均为F 1，则感应电动势为E ＝Bl (v 1－v 2)① 感应电流为I ＝E

2R

②

对甲和乙分别由牛顿第二定律得F －F 1＝ma 1，F 1＝ma 2③ 当v 1－v 2＝定值(非零)，即系统以恒定的加速度运动时

a 1＝a 2④

解得a 1＝a 2＝F

2m

⑤

可见甲、乙两金属杆最终水平向右做加速度相同的匀加速运动，速度一直增大。

(2)ab 棒向cd 棒运动时，两棒和导轨构成的回路面积变小，磁通量发生变化，回路中产生感应电流。ab 棒受到与运动方向相反的安培力作用做减速运动，cd 棒则在安培力作用下做加速运动，在ab 棒的速度大于cd 棒的速度时，回路中总有感应电流，ab 棒继续减速，cd 棒继续加速。两棒达到相同速度后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不产生感应电流，两棒以相同的速度v 水平向右做匀速运动。 [答案] 见解析

两类双杆模型对比

[例3]

[解析] (1)设金属棒下滑的速度大小为v ，则感应电动势为E ＝BL v ① 平行板电容器两极板之间的电势差为 U ＝E ②

设此时电容器极板上积累的电荷量为Q ，按定义有 C ＝Q

U

③

联立①②③式得Q ＝CBL v ④

(2)设金属棒的速度大小为v 时经历的时间为t ，通过金属棒的电流为i 。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为F 1＝BLi ⑤

设在时间间隔(t ，t ＋Δt )内流经金属棒的电荷量为ΔQ ，按定义有i ＝ΔQ

Δt ⑥

ΔQ 也是平行板电容器两极板在时间间隔(t ，t ＋Δt )内增加的电荷量。由④式得 ΔQ ＝CBL Δv ⑦

式中，Δv 为金属棒的速度变化量。按定义有 a ＝Δv

Δt

⑧

金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为 F 2＝μF N ⑨

式中，F N 是金属棒对于导轨的正压力的大小，有 F N ＝mg cos θ ⑩

金属棒在时刻t 的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a ，根据牛顿第二定律有mg sin θ－F 1－F 2＝ma ⑪ 联立⑤至⑪式得 a ＝m (sin θ－μcos θ)m ＋B 2L 2C

g ⑫

由⑫式及题设可知，金属棒做初速度为零的匀加速直线运动。t 时刻金属棒的速度大小为 v ＝m (sin θ－μcos θ)m ＋B 2L 2C gt ⑬

[答案] (1)Q ＝CBL v (2)v ＝

m (sin θ－μcos θ)

m ＋B 2L 2C

gt

这类题目易出现的错误是忽视电容器充电电流，漏掉导体棒所受的安培力，影响加速度的计算和导体棒运动情况的判断。 [集训冲关] 1.

解析：(1)导体棒切割磁感线，E ＝BL v 导体棒做匀速运动，F ＝F 安 又F 安＝BIL ，其中I ＝E R

在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功 W ＝F v Δt ＝F 安v Δt ＝B 2L 2v 2

R

Δt

电路获得的电能ΔE ＝qE ＝EI Δt ＝B 2L 2v 2

R

Δt

可见，在任意一段时间Δt 内，拉力F 所做的功与电路获得的电能相等。 (2)导体棒达到最大速度v m 时，棒中没有电流，电源的路端电压U ＝BL v m

电源与电阻所在回路的电流I ＝E －U

r

电源的输出功率P ＝UI ＝EBL v m －B 2L 2v m 2

r

。

(3)感应电动势与电容器两极板间的电势差相等BL v ＝U 由电容器的U -t 图像可知U ＝U 1

t 1

t

导体棒的速度随时间变化的关系为v ＝U 1

BLt 1

t

可知导体棒做匀加速直线运动，其加速度a ＝U 1

BLt 1

由C ＝Q U 和I ＝Q t ，得I ＝CU t ＝CU 1

t 1

由牛顿第二定律有F －BIL ＝ma 可得F ＝BLCU 1t 1＋mU 1

BLt 1

。

答案：(1)见解析 (2)EBL v m －B 2L 2v m 2

r

(3)BLCU 1t 1＋mU 1BLt 1

2.

解析：(1)AB 杆达到磁场边界时，加速度为零，系统处于平衡状态， 对AB 杆：3mg ＝2T 对CD 杆：2T ＝mg ＋BIL

又F ＝BIL ＝B 2L 2v 12R ，解得：v 1＝4mgR B 2L

2。

(2)AB 、CD 棒组成的系统在此过程中，根据能的转化与守恒有：(3m －m )gh －2Q ＝1

2×4m v 12

h ＝m v 12＋Q mg ＝16m 3g 2R 2＋QB 4L 4mgB 4L 4

q ＝I Δt ＝ΔΦ2R ＝BLh 2R ＝16m 3g 2R 2＋QB 4L

4

2RmgB 3L 3

(3)AB 杆与CD 杆都在磁场中运动，直到达到匀速，此时系统处于平衡状态，对AB 杆：3mg ＝2T ＋BIL

对CD 杆：2T ＝mg ＋BIL

又F ＝BIL ＝B 2L 2v 2R ，解得v 2＝mgR

B 2L 2

所以mgR B 2L 2＜v 2＜4mgR

B 2L 2

答案：(1)v 1＝4mgR B 2L

2