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求极限的12种方法总结及例题
求极限的12种方法总结及例题求极限的12种方法总结及例题1. 引言在数学学习中，求极限是一个重要的概念，也是许多数学题解的基础。
在学习求极限的过程中，有许多不同的方法可以帮助我们理解和解决问题。
本文将总结12种方法，帮助我们更全面地理解求极限的概念，并提供相应的例题进行演示。
2. 利用极限的定义我们可以利用极限的定义来求解问题。
根据定义，当x趋向于a时，函数f(x)的极限为L，即对于任意的正数ε，总存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
利用这个定义，可以求得一些简单的极限，如lim(x→0) sinx/x=1。
3. 利用夹逼准则夹逼准则是求极限常用的方法之一。
当我们无法直接求出某个函数的极限时，可以利用夹逼准则来找到该函数的极限值。
要求lim(x→0) xsin(1/x)的极限，可以通过夹逼准则来解决。
4. 利用极限的四则运算极限的四则运算法则是求解复杂函数极限的基本方法之一。
利用这个法则，我们可以将复杂的函数分解成简单的部分，再进行求解。
要求lim(x→0) (3x^2+2x-1)/(x+1)，可以利用极限的四则运算法则来求解。
5. 利用洛必达法则当我们遇到不定型的极限时，可以利用洛必达法则来求解。
洛必达法则可以帮助我们求出不定型极限的值，例如0/0、∞/∞、0*∞等形式。
通过洛必达法则，我们可以将求解不定型极限的过程转化为求解导数的问题，从而得到极限的值。
6. 利用泰勒展开泰勒展开是求解复杂函数极限的有效方法之一。
当我们遇到无法直接求解的函数极限时，可以利用泰勒展开将其转化为无穷级数的形式，然后再进行求解。
通过泰勒展开，我们可以将复杂函数近似为一个多项式，从而求得函数的极限值。
7. 利用换元法换元法是求解复杂函数极限的常用方法之一。
通过适当的变量替换，可以将复杂的函数转化为简单的形式，然后再进行求解。
对于lim(x→∞) (1+1/x)^x，可以通过换元法将其转化为e的极限形式来求解。
求极限的几种方法
求极限的几种方法在数学分析中，求极限是一种重要的技巧和方法，用于研究数列、函数的收敛性和特性。
对于求极限的方法，可以总结为以下几类：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开精确到n次、换元法、分数分解法、递归关系法等。
一、代入法：代入法是求函数极限的最基本的方法之一，适用于绝大多数最简单的函数。
通过将自变量值代入函数中，得到具体的函数值，看函数的值是否有限并趋于确定的值，如果有限且趋于确定的值，则可以认为该函数极限存在，并等于该确定的值。
当然，代入法只是一种相对简单和直观的方法，并不适用于复杂函数的极限计算。
二、夹逼法：夹逼法也被称为迫敛法或挤压定理，适用于数列或函数的极限计算。
当数列或函数存在上、下界，且上、下界的极限都为所求极限时，可以通过夹逼法来证明所求极限的存在并求得。
三、等价无穷小代换法：等价无穷小代换法是一种常用的得到极限的方法之一，将一个复杂的极限问题转化成一个简单的等价无穷小求极限问题。
其主要思想是将原函数与理论已知的函数进行比较，找出它们之间的等价关系，进而得到原函数的极限。
常用的等价无穷小有：指数、对数、三角函数等。
四、洛必达法则：洛必达法则是求函数极限的常用方法之一，主要用于求解0/0型或∞/∞型的极限。
其基本思想是将函数的极限转化成求导数的极限。
通常情况下，通过不断使用洛必达法则，可以通过求多次极限最终得到函数的极限。
五、泰勒展开精确到n次：对于有限次求导的函数，可以使用泰勒展开式来近似估计函数极限。
泰勒展开式是用若干项之和来逼近一个函数的方法，通过将函数展开成多项式形式，可以在一定程度上表示出原函数的性质。
通常情况下，使用泰勒展开精确到n次可以更加准确地求得函数的极限。
六、换元法：换元法也称为特殊换元法，通过选择合适的换元变量，将原来复杂的极限问题转化成更加简单的极限计算问题。
常见的换元方法有：取代法、正弦替换法、余弦替换法、平方根替换法等。
七、分数分解法：分数分解法是一种常用的计算复杂函数极限的方法，通过将极限问题利用分式相除的形式，将复杂的极限表达式化简成多个简单函数之比的极限表达式，进而进行求解。
16种求极限的方法及一般题型解题思路分享
千里之行，始于足下。
16种求极限的方法及一般题型解题思路共享求极限是微积分中格外重要的概念，它可以挂念我们争辩函数的性质以及解决各种数学问题。
在求极限的过程中，有很多种不同的方法可以使用。
本文将介绍16种常见的求极限的方法，并共享一般题型的解题思路。
1. 代入法：将变量的值直接代入函数中，求出函数在该点的函数值。
这种方法适用于对于给定的变量值函数值可以直接计算的状况。
2. 合并同类项法：对于多项式函数，可以将同类项合并，化简为简洁的表达式，使得求极限更加便利。
3. 分子有理化法：对于分式函数，可以通过有理化分子的方法将其转化为整式的形式，使得求极限更加便利。
4. 凑微分法：对于含有微分的项，可以通过凑微分的方法将其转化为可求极限的形式。
5. 分部积分法：对于不定积分的形式，可以通过分部积分的方法将其转化为可求极限的形式。
6. 换元法：通过适当的变量替换，将原函数转化为简洁函数的形式，使得求极限更加便利。
7. 反函数法：对于已知函数，可以通过找到其反函数，将原函数的极限转化为反函数的极限来求解。
第1页/共3页锲而不舍，金石可镂。
8. 夹逼定理：假如一个函数在某点四周的两个函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么该点的极限存在且等于这两个函数的极限。
9. 洛必达法则：对于两个函数的极限，假如它们的导数的极限都存在且有限，那么这两个函数的极限相等。
这个法则对于解决0/0和∞/∞型的极限问题格外有用。
10. 先有界后无穷法则：假如一个函数在某个点四周有界，并且向正无穷或负无穷趋于极限，那么该点的极限等于无穷。
11. 拆分法则：假如一个极限可以通过拆分成多个极限来求解，那么可以分别求解这些极限，然后将结果合并。
12. 开放法则：对于含有无穷小量的表达式，可以将其开放成多项式的形式，然后求极限。
13. 不等式法则：可以通过利用一些不等式关系来限定函数的范围，从而求出极限的范围。
14. 递推法：对于递归定义的序列或函数，可以通过递推关系式来求出其极限。
求函数极限的方法与技巧
求函数极限的方法与技巧求函数极限是微积分的重要内容之一，也是数学分析中的基本问题。
求函数极限需要掌握一定的方法与技巧，下面将从常用的方法、典型的技巧和注意事项等方面进行详细介绍。
1. 代入法代入法是求函数极限最简单的方法之一。
当函数在极限点附近没有特殊的性质时，可以通过直接代入极限值来求解极限。
求函数f(x)=2x-1在点x=3处的极限，直接代入x=3，即可得到f(3)=2*3-1=5，所以极限值为5。
2. 分式化简法对于复杂的函数极限，通常可以利用分式化简法来解决。
将函数化为分式形式，通过合并同类项或者提取公因式等方法，将分式化简至最简形式，然后再进行极限运算。
这样可以简化计算，并且更容易得到极限值。
3. 夹逼准则夹逼准则也是求解极限常用的方法之一。
夹逼准则是一种利用不等式来求解极限的方法，通常用于求解无穷小的极限。
利用夹逼准则可以将复杂的极限问题转化为相对简单的不等式推导问题，从而更容易求得极限值。
4. 极限换元法极限换元法是求解函数极限的一种有效方法，也是求极限的一个经典技巧。
通过将变量进行适当的换元，可以将原来复杂的极限问题转化为相对简单的形式，从而更容易求解极限值。
常见的换元方式包括三角换元、指数换元、对数换元等。
二、典型的技巧1. 分步求解有些复杂的函数极限问题可以通过分步求解来进行，先将函数进行分解或者阶段性的处理，然后逐步求解各个部分的极限值，最后将结果进行合并得到整体的极限值。
这样可以降低计算的复杂度，更容易求得极限值。
2. 极限的运算法则在进行极限运算时，可以利用极限的运算法则来简化计算。
其中包括加减法法则、乘法法则、除法法则、幂函数法则、复合函数法则等，这些运算法则可以在极限计算中起到一定的简化作用，并帮助求得极限值。
3. 利用对称性对称性在求解函数极限中也是一种常用的技巧。
对于对称性的函数或者函数的特殊性质，可以利用对称性来简化极限计算，例如利用奇偶性、周期性等性质，从而简化计算过程，更容易求得极限值。
16种求极限方法及一般题型解题思路分享
16种求极限方法及一般题型解题思路分享求极限是微积分中的重要内容之一，常见于各种数学和工程科学中。
为了求出一个函数在某一点的极限，需要使用合适的方法。
下面介绍16种常用的求极限方法，以及一般题型解题思路。
一、直接代入法对于多项式函数和分式函数，可以直接将自变量代入函数表达式中计算极限。
例如，求函数 f(x) = 2x + 3 在 x = 1 处的极限，直接代入即可得到结果。
二、分解因式法对于分式函数，可以通过分解因式来简化计算，特别适用于分子和分母都是多项式的情况。
例如，求函数 f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1) 在 x = 1 处的极限，可以将分子进行因式分解，得到 f(x) = (x - 1)(x + 1)/(x - 1)，然后约去公因式，即可得到结果。
三、夹逼定理夹逼定理用于解决复杂函数在某一点处的极限问题。
如果一个函数在某一点附近被两个其他函数夹住，并且这两个函数的极限都存在且相等，那么原函数的极限也存在且等于这个相等的极限。
例如，对于函数 f(x) = x*sin(1/x)，当 x 趋近于 0 时，f(x) 被两个函数 g(x) = x 和 h(x) = -x 夹住，且 g(x) 和 h(x) 的极限都是 0，所以 f(x) 的极限也是 0。
四、变量代换法第1页/共5页对于一些特殊的函数，可以通过变量代换来简化计算。
例如，对于函数f(x) = sin(1/√x)，当 x 趋近于 0 时，可以将√x = t，那么 x = t^2，且当 x 趋近于 0 时，t 也趋近于 0，所以求 f(x) 在 x = 0 处的极限可以转化为求 g(t) = sin(1/t) 在 t = 0 处的极限。
五、洛必达法则洛必达法则是一种常用的求函数极限的方法，特别适用于形如 0/0 或∞/∞的不定式。
根据洛必达法则，如果一个不定式的分子和分母的极限都存在且为 0 或∞，那么可以分别对分子和分母求导后再次求极限，直到找到一个不是 0/0 或∞/∞的形式。
数学分析求极限的方法
求极限的方法具体方法⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限定理1①：若极限)(lim 0x f x x →和)(lim x g xx →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅当0x x →时也存在且①[])()()()(lim lim lim 0.0x g x f x g x f x x x x x →→→±=±②[])()()()(lim lim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅又若0)(lim 0≠→x g x x ，则)()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()()(limlim lim 0x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如∞∞、00等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。
例1：求2422lim ---→x x x解：原式=()()()02222lim lim22=+=-+---→→x x x x x x⒉用两个重要的极限来求函数的极限①利用1sin lim=→xxx 来求极限 1sin lim 0=→x xx 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞→x g x g x例2：xxx -→ππsin lim解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim==-→→t tx x t x ππ例3：求()11sin 21lim --→x x x解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 122121lim lim =--⋅+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)11(lim 来求极限e x x =+∞→)11(lim 的另一种形式为e =+→ααα1)1(lim .事实上，令.1x =α∞→x .0→⇔α所以=+=∞→x x x e )11(lim e =+→ααα10)1(lim例4: 求xx x 1)21(lim +→的极限解：原式=221210)21()21(lim e x x x x x =⎥⎦⎤+⋅⎢⎣⎡+→利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。
数学分析中极限的求法总结
数学分析中极限的求法总结第一篇：数学分析中极限的求法总结数学分析中极限的求法总结1.1 利用极限的定义求极限用定义法证明极限，必须有一先决条件，即事先得知道极限的猜测值A，这种情况一般较困难推测出，只能对一些比较简单的数列或函数推测分析出极限值，然后再去用定义法去证明，在这个过程中，放缩法和含绝对值的不等式总是密切相连的。
例：limf(x)=A的ε-δ 定义是指：∀ε＞0，∃δ=δ(x0，ε)＞0，0＜|x-x0|x→x0＜δ⇒|f(x)-A|＜ε 为了求δ 可先对x0的邻域半径适当限制，如然后适当放大｜f(x)-A｜≤φ(x)(必然保证φ(x)为无穷小)，此时往往要用含绝对值的不等式：｜x+a｜=|(x-x0)+(x0+a)|≤|x-x0|+|x0+a|＜｜x0+a｜+δ1域|x+a|=|(x-x0)+(x0+a)|≥|x0+a|-|x-x0|＞|x0+a|-δ1从φ(x)＜δ2，求出δ2后，取δ＝min(δ1，δ2)，当0＜|x-x0 |＜δ时，就有|f(x)-A|＜ε.x+x+...xn=a.例：设limxn=a则有lim1 2n→∞n→∞nε∣xn-a∣<于是当证明：因为limxn=a,对∀ε>0，∃N1=N1(ε),当n>N1时，n→∞2x+x+...+xn∣x+x+...+xn-na∣12-a∣=12 n>N1nn0<ε<1其中A=∣x1-a∣+∣x2-a∣+∣xN1-α∣是一个定数,再由解得n>2AAε<，n2x+x+...+xnεε⎧⎡2A⎤⎫,故取N=max⎨N1,⎢⎥⎬当n>N12-α<+=ε。
εn22⎩⎣ε⎦⎭1.2 利用极限的四则运算性质求极限定理[1]：若极限limf(x)和limg(x)都存在，则函数f(x)±g(x)，f(x)⋅g(x)当x→x0x→x0x→x0时也存在且①lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x)x→x0x→x0x→x0②lim[f(x)⋅g(x)]=limf(x)⋅limg(x)x→x0x→x0x→x0limf(x)f(x)f(x)x→x又若c≠0，则在x→x0时也存在，且有lim.=0x→x0g(x)g(x)limg(x)x→x0利用该种方法求极限方法简单，但要注意条件是每项或每个因子极限存在，0∞一般情况所给的变量都不满足这个条件，例如出现，∞-∞等情况，都0∞不能直接运用四则运算法则，必须对变量进行变形。
极限求法总结PDF打印版
9.
lim(tan x) cos x −sin x
x→
4
x1 0 ， xn +1 = xn + (n = 1, 2,3, ) 例 设 a0 ， 2 x
n
1
a
（1）证明
lim xn 存在； （2）求 lim xn . n →+ n →+
解: (1) xn+1 = xn + xn = a 0 xn a 2 xn xn
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小量,然后再求极限.
2 x 2 + 5x + 1 . x →1 x 2 − 4 x − 8 2n + 1 . 练习2 求 lim n → n2 + n
练习1 求 lim
练习3 练习4
lim
(2 x − 3) 20 (3x + 2) 30 x → (2 x + 1) 50
2
练习 1
1 lim 1 − 2 x →+ x
x
2 xlim →+
x + 2a = 8 ，求 x−a
a
2012年数学三考研试题 (第二答题填空题第9小题)
1
12. 应用数列的单调有界收敛准则求极限
【分析】一般利用单调增加有上界或单调减少有 下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在。
例：求极限 lim x →0
x ln(1 + x) 1 − cos x
解 lim x →0
x ln(1 + x) xx = lim =2 x →0 1 2 1 − cos x x 2
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2
2
n 1
n
1
3
n
解：观察
1=1
1
1
=1
1
1
=
1
1
1 2
2
2 3 2
3
n 1 n n-1 n
因此得到xn
1
1
1
1 2
2 3
L L
n 1 n
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所以lim xn
lim 11
1
n
n
n
2利用导数的定义求极限
导数的定义：函数f(x)在x0附近有定义，，则
如果
存在，
则此极限值就称函数f(x)
根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。
令lim xnA对xn 16xn两边取极限，
n
有
6
所以有
2
6
0解得A=3,或
2。
因为xn
0
(n 1,2...)，所以
0，舍去
2
lim xn3
,故n
6利用洛必达法则求未定式的极限
定义6.1：若当x
a（或x
）时，函数f
x
和F
x都趋于零(或无穷大)，则极限
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x
则有x
。
利用夹逼准则求极限关键在于从
xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限
值的数列
yn和zn，使得yn
xnzn。
例9：求
xn的极限
解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项
n
xn
n
则
n2
1
n2
n
n
lim
n
1
又因为lim
n
n2
x
n2
x
1
（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的
,所以如果f ( x)是初等函数,且x0是f (x)的定义区
间内的点,则lim f ( x)
f (x0)
。
x x0
例8：lim arcsin
2 x
1
6
x 1
解:因为复合函数arcsin是初等函数,而x
1是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函
数值.因此
例8：求lim ln sin x
sin x
x cos x
lim
x
4
x
lim
x
3
x
0
x 0
x 0
在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换， 并
注意观察所求极限的类型如下例，
lim
x
1
e
x
例11：求x 0
lim
x
lim
t
lim
1
1
1 e
x
1 e
t
t
解：x 0
=t 0
t 0
e
洛必达法则通常适用于以下类型：
0
型：
lim x(arctan x)
（1）limsin x
1，
x 0
x
1
x
（2）lim 1
e
xx
但我们经常使用的是它们的变形：
sin
x
x
0，
（1）lim
1,
x
1
x
e,
x
（2）lim 1
求极限。
x
例5：lim
0
(1
2 x )
x
(1
x )
1
x
1
解：为了利用极限lim (1x)xe故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外
x0
0
lim
f ( x )
存
;（3）x
a
)F( x )
(
x
在(或无穷大),
则
定义6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
例10：lim
0
sin2x
2
x2
2
cos2x
x
x
sin
x
解：
(sin x x cos x)(sin x x cos x)
= lim
sin x x cos x
的指数互为倒数进行配平。
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1
2 x )
1
3 x
1
x
lim
(1
(
= lim
)
x
x0
( 1
x )
x
0
1
x
3 x
1
x
3
e3
=lim
[( 1
)
3 x
]1 x
x
0
1
x
1
cos x
例6：lim
xБайду номын сангаас
2
x0
解：将分母变形后再化成“0/0”型所以
2 sin
2
x
=
lim
0
x
2
2
x
1
sin
2
x
1
=lim
x
2
x
x x0
x
x0
x x0
f ( x)
lim
f ( x)
（3）若B≠0则：lim
x
x0
x x0
g( x)
lim g( x)
x
x0
（4）lim
c f (x)
c
lim
f ( x)
c
x x0
x x0
（5）lim
n
n
n（n为自然数）
lim
f (x)
f ( x)
x x0
x
x0
上述性质对于x
, x
, x
也同样成立i
例12：设x110, xn 1
6
xnn 1,2L
, n。试证数列
xn的极限存在,并求此极限。
解:由x110及x24知x1
x2。
设对某个正整数k有xk
xk 1，则有xk 1
6 xk
6
xk 1xk 2
从而由数学归纳法可知
,对一切自然数n
,都有xn
xn 1，
即数列{ xn}单调下降,
由已知易见xn
0
(n 1,2...)即有下界,
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数学分析中求极限的方法总结
1利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：
定理1.1：如果lim
f（x）=
, lim g（x）=
x x0
x x0
（1）lim
f ( x)
g (x)
lim
f (x)
lim g (x)
x x0
x x0
x x0
（2）lim
f（x）g（x）= lim f（x) lim g ( x)
在点x0的导数记为f ' x0
。
即
在这种方法的运用过程中， 首先要选好f(x)
。然后把所求极限都表示成
f(x)在定点x0的导数。
例4.求lim x
2 ctg 2x的极限
x
x
2
解：limx
x 2 ctg 2x
1
1
tg 2x
x
2
lim
tg 2x
tg 2
x
x
2
x
x
lim
2
2
x
x
x
2
2
3利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：
由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例1.求limx2
5的极限
x 2x
3
解：由定理中的第三式可以知道
例2.求lim
x
1 2的极限
x 3
x
3
解：分子分母同时乘以x12
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可
1
1
L
L
1
，求lim xn
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limx
f
( x
)
a
F
( x
)
( x
)
例如：
0
可能存在、也可能不存在，通常称为型和型未定式。
0
lim
tan x
0
型);
x
,(0
x0
lim
ln sin ax
型).
x
0
ln sin bx,(
定理6.2：设（1）当x
时,函数f
x
和F
x都趋于零;
（2）在a点的某去心邻域内,f '
x和F '
x都存在且F ' x
02
2
2
( )
2
1
lim(1
2x)x
例7:求x 0
的极限
1
1
lim
(1 2x)2 x(1
2x)2 xe2
解：原式=x 0
利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。4利用函数的连续性
x
2
解：复合函数ln sin x在x
处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值
2
即有lim
ln sin x ln sin
x
2
2
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