(完整word版)数学分析中求极限的方法总结.docx

x
则有x
。
利用夹逼准则求极限关键在于从
xn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限
值的数列
yn和zn，使得yn
xnzn。
例9：求
xn的极限
解：因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项
n
xn
n
则
n2
1
n2
n
n
lim
n
1
又因为lim
n
n2
x
n2
x
1
（2）单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。
在点x0的导数记为f ' x0
。
即
在这种方法的运用过程中， 首先要选好f(x)
。然后把所求极限都表示成
f(x)在定点x0的导数。
例4.求lim x
2 ctg 2x的极限
x
x
2
解：limx
x 2 ctg 2x
1
1
tg 2x
x
2
lim
tg 2x
tg 2
x
x
2
x
x
lim
2
2
x
x
x
2
2
3利用两个重要极限公式求极限两个极限公式：
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limx
f
( x
)
a
F
( x
)
( x
)
例如：
0
可能存在、也可能不存在，通常称为型和型未定式。
0
lim
tan x
0
型);
x
,(0
x0
lim
ln sin ax
型).
x
0
ln sin bx,(
定理6.2：设（1）当x
时,函数f
x
和F
x都趋于零;
（2）在a点的某去心邻域内,f '
x和F '
x都存在且F ' x
sin x
x cos x
lim
x
4
x
lim
x
3
x
0
x 0
x 0
在利用洛比达法则求极限时，为使计算更加快捷减少运算中的诸多不便，可用适当的代换， 并
注意观察Βιβλιοθήκη Baidu求极限的类型如下例，
lim
x
1
e
x
例11：求x 0
lim
x
lim
t
lim
1
1
1 e
x
1 e
t
t
解：x 0
=t 0
t 0
e
洛必达法则通常适用于以下类型：
的指数互为倒数进行配平。
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1
2 x )
1
3 x
1
x
lim
(1
(
= lim
)
x
x0
( 1
x )
x
0
1
x
3 x
1
x
3
e3
=lim
[( 1
)
3 x
]1 x
x
0
1
x
1
cos x
例6：lim
x
2
x0
解：将分母变形后再化成“0/0”型所以
2 sin
2
x
=
lim
0
x
2
2
x
1
sin
2
x
1
=lim
x
2
x
x x0
x
x0
x x0
f ( x)
lim
f ( x)
（3）若B≠0则：lim
x
x0
x x0
g( x)
lim g( x)
x
x0
（4）lim
c f (x)
c
lim
f ( x)
c
x x0
x x0
（5）lim
n
n
n（n为自然数）
lim
f (x)
f ( x)
x x0
x
x0
上述性质对于x
, x
, x
也同样成立i
因为一切初等函数在其定义区间内都是连续的
,所以如果f ( x)是初等函数,且x0是f (x)的定义区
间内的点,则lim f ( x)
f (x0)
。
x x0
例8：lim arcsin
2 x
1
6
x 1
解:因为复合函数arcsin是初等函数,而x
1是其定义区间内的点,所以极限值就等于该点处的函
数值.因此
例8：求lim ln sin x
由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。
例1.求limx2
5的极限
x 2x
3
解：由定理中的第三式可以知道
例2.求lim
x
1 2的极限
x 3
x
3
解：分子分母同时乘以x12
式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可
1
1
L
L
1
，求lim xn
（1）limsin x
1，
x 0
x
1
x
（2）lim 1
e
xx
但我们经常使用的是它们的变形：
sin
x
x
0，
（1）lim
1,
x
1
x
e,
x
（2）lim 1
求极限。
x
例5：lim
0
(1
2 x )
x
(1
x )
1
x
1
解：为了利用极限lim (1x)xe故把原式括号内式子拆成两项，使得第一项为1，第二项和括号外
x0
根据“单调有界的数列必有极限”这一定理可知存在。
令lim xnA对xn 16xn两边取极限，
n
有
6
所以有
2
6
0解得A=3,或
2。
因为xn
0
(n 1,2...)，所以
0，舍去
2
lim xn3
,故n
6利用洛必达法则求未定式的极限
定义6.1：若当x
a（或x
）时，函数f
x
和F
x都趋于零(或无穷大)，则极限
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数学分析中求极限的方法总结
1利用极限的四则运算法则和简单技巧极限的四则运算法则叙述如下：
定理1.1：如果lim
f（x）=
, lim g（x）=
x x0
x x0
（1）lim
f ( x)
g (x)
lim
f (x)
lim g (x)
x x0
x x0
x x0
（2）lim
f（x）g（x）= lim f（x) lim g ( x)
例3.已知xn
2
2
n 1
n
1
3
n
解：观察
1=1
1
1
=1
1
1
=
1
1
1 2
2
2 3 2
3
n 1 n n-1 n
因此得到xn
1
1
1
1 2
2 3
L L
n 1 n
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所以lim xn
lim 11
1
n
n
n
2利用导数的定义求极限
导数的定义：函数f(x)在x0附近有定义，，则
如果
存在，
则此极限值就称函数f(x)
例12：设x110, xn 1
6
xnn 1,2L
, n。试证数列
xn的极限存在,并求此极限。
解:由x110及x24知x1
x2。
设对某个正整数k有xk
xk 1，则有xk 1
6 xk
6
xk 1xk 2
从而由数学归纳法可知
,对一切自然数n
,都有xn
xn 1，
即数列{ xn}单调下降,
由已知易见xn
0
(n 1,2...)即有下界,
0
lim
f ( x )
存
;（3）x
a
)F( x )
(
x
在(或无穷大),
则
定义6.3：这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.
例10：lim
0
sin2x
2
x2
2
cos2x
x
x
sin
x
解：
(sin x x cos x)(sin x x cos x)
= lim
sin x x cos x
0
型：
lim x(arctan x)
02
2
2
( )
2
1
lim(1
2x)x
例7:求x 0
的极限
1
1
lim
(1 2x)2 x(1
2x)2 xe2
解：原式=x 0
利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。4利用函数的连续性
x
2
解：复合函数ln sin x在x
处是连续的，所以在这点的极限值就等于该点处的函数值
2
即有lim
ln sin x ln sin
x
2
2
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=limsinln 1
2
=0
5利用两个准则求极限。
（1）函数极限的迫敛性：若一正整数N,当n>N时，有xn
lim xn
lim zn
a,
lim yn
a
ynzn且x