数学分析求极限的方法

求极限的方法

具体方法

⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限

定理1①：若极限)(lim 0

x f x x →和)(lim x g x

x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ⋅

当0x x →时也存在且

①[])()()()(lim lim lim 0

.0

x g x f x g x f x x x x x →→→±=±

②[])()()()(lim lim lim 0

x g x f x g x f x x x x x x →→→⋅=⋅

又若0)(lim 0

≠→x g x x ，则

)

()

(x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()()

(lim

lim lim 0

x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如

∞

∞、00

等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。

例1：求24

22

lim ---→x x x

解：原式=()()()022

22lim lim

22

=+=

-+--

-

→→x x x x x x

⒉用两个重要的极限来求函数的极限

①利用1sin lim

=→x

x

x 来求极限 1sin lim 0

=→x x

x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有

()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞

→x g x g x

例2：x

x

x -→ππ

sin lim

解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim

==-→→t t

x x t x ππ

例3：求()

11

sin 21

lim --→x x x

解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221

21lim lim =--⋅+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1

1(lim 来求极限

e x x =+∞

→)1

1(lim 的另一种形式为e =+→α

α

α1

)1(lim .事实上，令

.1

x =α∞→x .0→⇔α所以=+=∞

→x x x e )11(lim e =+→ααα1

0)1(lim

例4: 求x

x x 1

)21(lim +→的极限

解：原式=221

210)21()21(lim e x x x

x x =⎥⎦

⎤+⋅⎢⎣⎡+→

利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限

所谓等价无穷小量即.1)

()

(lim

=→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.

定理2②：设函数)(),(),(x h x g x f 在)(00x u 内有定义， 且有)(x f )(~x g .)(0x x →

① 若,)()(lim 0

A x g x f x x =→则A x h x g x x =→)()(lim 0

② 若

,)()(lim 0B x f x h x x =→则B x g x h x x =→)

()

(lim 0 证明：①A A x h x f x f x g x h x g x x x x x x =⋅=⋅=→→→1)()()()

()()(lim lim

lim 0

②可类似证明，在此就不在详细证明了！

由该定理就可利用等价无穷小量代换来求某些函数的极限 例5：求3

sin sin tan lim

x x

x x -→的极限

解：由 ).cos 1(cos sin sin tan x x

x

x x -=

-而)0(,~sin →x x x ； ,2

~cos 12

x x -（x 0→）；33sin x x -3~x ,（x 0→）.

故有30

sin sin tan lim x x x x -→= lim 0→x 212cos 132=⋅⋅x x x x 注：由上例可以看出，欲利用此方法求函数的极限必须熟练掌握一些常用的 等价无穷小量，如：由于

1sin lim 0

=→x x

x ，故有x sin ).0(,~→x x 又由于,1arctan lim 0

=→x x

x 故有arctanx x ~，(x 0→). 另注：在利用等价无穷小代换求极限时，应该注意：只有对所求极限中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代换，而对极限式中的相加或相减的部分则

不能随意代换。如上式中，若因有tanx x ~，);0(→x x sin x ~).0(,→x 而推出

30sin sin tan lim x x x x -→=0sin 3

0lim =-→x

x

x x 则得到的结果是错误的。 ⒋ 利迫敛性来求极限

定理3③：设lim 0

x x →f(x)= lim 0

x x →g(x)=A,且在某),('0δx u o 内有f(x)≤h(x)≤g(x),

则lim 0

x x →h(x)=A