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高中数学公式大全（最新整理版）

§01. 集合与简易逻辑

1. 元素与集合的关系

U x A x C A ∈⇔∉,U x C A x A ∈⇔∉.

2.德摩根公式

();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.

3.包含关系

A B A A B B

=⇔=U U A B C B C A ⇔⊆⇔⊆

U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=

4.容斥原理

()()card A B cardA cardB card A B =+-.

5．集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n

个；真

子集有2n

–1个；非空子集有2n

–1个；非空的真子集有2n

–2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

(1)一般式2

()(0)f x ax bx c a =++≠; (2)顶点式2

()()(0)f x a x h k a =-+≠; (3)零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 7.一元二次方程的实根分布

依据：若()()0f m f n <，则方程0)(=x f 在区间(,)m n 内至少有一个实根 .

设q px x x f ++=2)(，则

（1）方程0)(=x f 在区间),(+∞m 内有根的充要条件

为0)(=m f 或2402

p q p m ⎧-≥⎪

⎨->⎪⎩；

（2）方程0)(=x f 在区间(,)m n 内有根的充要条件为

()()0f m f n <或2()0()0402

f m f n p q p m n

>⎧⎪>⎪⎪

⎨-≥⎪

⎪<-<⎪⎩或⎩⎨⎧>=0)(0)(n f m f 或

⎩⎨

⎧>=0

)(0

)(m f n f ； （3）方程0)(=x f 在区间(,)n -∞内有根的充要条件为()0f m <或2402

p q p m ⎧-≥⎪

⎨-<⎪⎩ .

8.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据

(1)在给定区间),(+∞-∞的子区间L （形如[]βα,，

(]β,∞-，[)+∞,α不同）上含参数的二次不等式

(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是

min (,)0()f x t x L ≥∉.

(2)在给定区间),(+∞-∞的子区间上含参数的二

次不等式(,)0f x t ≥(t 为参数)恒成立的充要条件是

(,)0()man f x t x L ≤∉.

(3)0)(2

4>++=c bx ax x f 恒成立的充要条件是0

00a b c ≥⎧⎪

≥⎨⎪>⎩

或2

040a b ac <⎧⎨-<⎩. 9.

10.四种命题的相互关系

原命题：与逆命题互逆，与否命题互否，与逆否命题互为逆否；

逆命题：与原命题互逆，与逆否命题互否，与否命题互为逆否；

否命题：与原命题互否，与逆命题互为逆否，与逆否命题互逆；

逆否命题：与逆命题互否，与否命题互逆，与原命题互为逆否；

15.充要条件

（1）充分条件：若p q ⇒，则p 是q 充分条件.

（2）必要条件：若q p ⇒，则p 是q 必要条件. （3）充要条件：若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

§02. 函数

11.函数的单调性

(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么

[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2121在⇔>--上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)

()(2

121在⇔<--上是减函数.

(2)设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，

则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.

12.如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数

)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.

13．奇偶函数的图象特征

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数．

14.若函数)(x f y =是偶函数，则

)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+.

15.对于函数

)(x f y =(R x ∈),)()(x b f a x f -=+恒成立,则函

数)(x f 的对称轴是函数2

b

a x +=;

两个函数)(a x f y +=与)(x b f y -= 的图

象关于直线2

b

a x +=对称.

16若)()(a x f x f +--=,则函数)(x f y =的图象关

于点)0,2

(a

对称;

若)()(a x f x f +-=,则函数)(x f y =为周期为a 2的周期函数.

17.函数()y f x =的图象的对称性

(1)函数()y f x =的图象关于直线x a =对称

()()f a x f a x ⇔+=- (2)()f a x f x ⇔-=.

(2)函数()y f x =的图象关于直线2

a b

x +=

对称()()f a mx f b mx ⇔+=-

()()f a b mx f mx ⇔+-=.

18.两个函数图象的对称性

(1)函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.

(2)函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b

x m

+=

对称. (3)函数)(x f y =和)(1

x f

y -=的图象关于直线

y=x 对称.

19.若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象；若将曲线

0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象.

20．互为反函数的两个函数的关系

a b f b a f =⇔=-)()(1.

21.若函数)(b kx f y +=存在反函数,则其反函数为])([11b x f k

y -=-,并不是)([1

b kx f y +=-,而函

数)([1

b kx f y +=-是])([1b x f k

y -=的反函数.

22.几个常见的函数方程 (1)正比例函数

()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.

(2)指数函数

()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.

(3)对数函数()log a f x x =,

()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.

(4)幂函数

()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.

(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数

()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+，

0()

(0)1,lim 1x g x f x

→==.

23.几个函数方程的周期(约定a>0)

（1）)()(a x f x f +=，则)(x f 的周期T=a ； （2）0)()(=+=a x f x f ，

或)0)(()(1

)(≠=+x f x f a x f ， 或1

()()

f x a f x +=-(()0)f x ≠,

或[]1(),(()0,1)2

f x a f x =+∈,则)(x f 的周期T=2a ；

(3))0)(()

(1

1)(≠+-=x f a x f x f ，则)(x f 的周

期T=3a ；

(4))

()(1)

()()(212121x f x f x f x f x x f -+=

+且

1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =⋅≠<-<，则)

(x f 的周期T=4a ；

(5)()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a +++++++

()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a =++++,则)(x f 的

周期T=5a ；

(6))()()(a x f x f a x f +-=+，则)(x f 的周期