2020-2021学年宁夏长庆高级中学高一上学期第一次月考数学试题(解析版)

2020-2021学年宁夏长庆高级中学高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1．已知全集{}{}{}0,1,2,3,4,0,1.2,2,3U M N ===,则()U C M N =（ ）A ．{}2B ．{}3C ．{2,3,4}D ．{0,1,2,3,4}【答案】C【分析】先求M 的补集，再与N 求交集．【详解】∵全集U ＝{0，1，2，3，4}，M ＝{0，1，2}， ∴∁U M ＝{3，4}． ∵N ＝{2，3}，(){}2,3,4U C M N =．故选：C.【点睛】该题考查了交、并、补集的混合运算，属于基础题目． 2．下列错误的是（ ） A ．0∈∅ B ．A ∅=∅C ．{}∅⊆∅D ．若A B A ⋃=，则B A ⊆【答案】A【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系可判断各选项的正误. 【详解】对于A 选项，0∉∅，A 选项错误； 对于B 选项，A ∅=∅，B 选项正确；对于C 选项，{}∅⊆∅，C 选项正确；对于D 选项，若A B A ⋃=，则B A ⊆，D 选项正确. 故选：A.【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合包含关系的应用，属于基础题. 3．设集合(){},3A x y x y =+=，(){},1B x y x y =-=-，则AB 为（ ）A ．(1，2)B ．{}1,2C ．(){}1,2D ．φ【答案】C【分析】由题意可知AB 中的元素为两直线的交点坐标，把两直线方程联立成方程组求解即可【详解】解：由31x y x y +=⎧⎨-=-⎩，得12x y =⎧⎨=⎩，所以A B =(){}1,2，故选：C【点睛】此题考查点集的交集运算，属于基础题 4．下列是同一函数的是（ ） A ．2,y x y x ==B ．2,()y x y x ==C ．01,y y x ==D ．2||,s t y x ==【答案】D【分析】围绕着两函数为同一函数要求三要素完全一样，对选项逐项分析，得到结果. 【详解】A 项，2y x x ==，所以两函数的对应法则和值域都不一样，所以不是同一函数；B 项，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；C 项，0y x =的定义域为{}|0x x ≠，两函数的定义域不同，所以不是同一函数；D 项’， 2||,s t y x x ===，所以是同一函数；故选：D.【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数为同一函数的条件，属于基础题目.5．下图表示某人的体重与年龄的关系，则( )A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15岁至25岁D ．体重增加最快的是15岁之前 【答案】D【详解】由图知，在50岁之后，体重随年龄增长而下降，故A,B 都不正确.体重增长速度即相应线段的斜率,而在上升阶段第一条线段倾斜角最大,故斜率最大,所以选D.6．已知函数()1,13,1x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则()()2f f =（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【分析】先求()2f 的值，再计算()()2f f 即可. 【详解】()2231f =-+=，()()2(1)112f f f ==+=，故选：B【点睛】本题主要考查了分段函数求函数值，属于基础题.7．()[]25,0,4f x x x x -∈=-2，则函数最小值和最大值分别是（ ）A ．5-，3B ．6-，3C ．6-，5-D ．6-，无最大值【答案】B【分析】先求出函数的对称轴为直线1x =，由于抛物线开口向下，所以在1x =时取得最小值，在4x =时取得最大值【详解】解：由题意可得()25f x x x -=-2的对称轴为直线1x =，因为1[0,4]∈，且抛物线开口向上， 所以min ()(1)1256f x f ==--=-，max ()(4)16853f x f ==--=，故选：B【点睛】此题考查求二次函数在闭区间的最值，属于基础题 8．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A ．1y x =+ B ．2y x =-C ．1y x=D ．y x x =【答案】D 【解析】A 是增函数，不是奇函数；B 和C 都不是定义域内的增函数，排除，只有D 正确，因此选D.点评：该题主要考察函数的奇偶性和单调性，理解和掌握基本函数的性质是关键. 9．已知()f x 是定义在[]6,6-上的偶函数，且(1)(3)f f <，则下列一定成立的是（ ）A ．()00f =B ．()()23f f <C ．()()31f f -<-D ．()()13f f <-；【答案】D【分析】利用函数的奇偶性可比较函数值的大小，即可判断D 正确.【详解】因为()f x 是定义在[]6,6-上的偶函数，(1)(3)f f <，所以()()13f f <-， 由于不确定函数在[]6,6-的单调性，所以ABD 无法判断， 故选：D【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性比较函数值的大小，属于基础题. 10．如果奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最大值为5，那么()f x 在区间[]7,3--上是（ ）A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-【答案】A【分析】由奇函数的性质推出函数在[]7,3--上的单调性及()7f -的值即可得解. 【详解】奇函数()f x 在区间[]3,7上是增函数且最大值为5， 则()f x 在[]7,3--上也是增函数，()()()75,775f f f =-=-=-，()f x ∴在区间[]7,3--上有最小值5-.故选：A【点睛】本题考查函数奇偶性的应用，属于基础题.11．已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数，当x 0≥时，2()3f x x x =-，则()f x 在0x <时的解析式是（ ） A ．()3y x x =- B ．()3y x x =+ C ．()3y x x =-+ D ．()3y xx =--【答案】C【分析】先令0x <，则0x ->，从而有22()()3()3f x x x x x -=---=+，再结合奇函数的定义可得2()3f x x x -=+，从而可求出0x <时的解析式 【详解】解：设0x <，则0x ->，所以22()()3()3f x x x x x -=---=+，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-， 所以2()3f x x x -=+，所以2()3(3)f x x x x x =--=-+， 故选：C【点睛】此题函数奇偶性的应用，属于基础题12．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完.已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离，则H 与下落时间t (分)的函数关系表示的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用特殊值法，圆柱液面上升速度是常量，表示圆锥漏斗中液体单位时间内落下相同的体积，当时间取1.5分钟时，液面下降的高度与漏斗高度的12比较. 【详解】由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取1.5分钟时，液面下降的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可得结果.故选：A【点睛】本题主要考查了函数图象的判断，常利用特殊值和函数的性质判断，属于中档题.二、填空题13．集合{}{}|25,|29A x x B x x =-<<=≤≤，则A B =___________(结果用区间表示).【答案】[)2,5【分析】利用交集的定义求得结果.【详解】因为{}{}|25,|29A x x B x x =-<<=≤≤， 所以{}|25AB x x =≤<，故答案为：[)2,5.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合交集的求解，属于基础题目.14．已知21,0()2,0x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，若f (a )=10，则a =________.【答案】-3或5【分析】分0a ≤和0a >两种情况，得到a 所满足的等量关系式，求得结果. 【详解】0a >时，()210f a a ==，解得5a =；当0a ≤时，2()110f a a =+=，解得3a =（舍去）或3a =-； 故答案为：3-或5．【点睛】该题考查分段函数，由分段函数值求自变量的值，属于基础题目． 15．若奇函数()()32f x k x b -++=在R 上是减函数，则k b +的取值范围是___________(结果用区间表示).【答案】23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， 【分析】根据函数的单调性和奇偶性即可得到答案.【详解】因为()()32f x k x b -++=R 上是奇函数，所以()00f =，即0b =. 又因为()()32f x k x b -++=在R 上是减函数，所以320k -+<，解得23k >. 所以2,3k b ⎛⎫+∈+∞⎪⎝⎭. 故答案为：23⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，同时考查了一次函数的单调性，属于简单题. 16．.函数5()1()f x x x x R =++∈，若()2f a =，则()f a -的值为________. 【答案】0【分析】先由()2f a =得51a a +=，然后直接求()f a -【详解】解：因为5()1()f x x x x R =++∈，且()2f a =，所以512a a ++=，所以51a a +=，所以55()()()1()10f a a a a a -=-+-+=-++=， 故答案为：0【点睛】此题考查求函数的值，属于基础题三、解答题17．已知集合2{|220}A x x ax =++=，{}2|320B x x x a =++=，且{}2A B ⋂=（1）求a ；（2）设全集U A B =⋃，求())U U A C B (C【答案】（1）5a =-；（2）1-52⎧⎫⎨⎬⎩⎭，.【分析】（1）因为{}2A B ⋂=，则2A ∈，且2B ∈，分别代入,A B ，求得5a =-； （2）由（1）求得{}1,2,5,22A B ⎧⎫==-⎨⎬⎩⎭，所以()()15,2U U C A C B ⎧⎫⋃=-⎨⎬⎩⎭. 【详解】（1） 因为{}2A B ⋂=，则2A ∈，且2B ∈， 所以8220a ++=，且4620a ++=，得5a =-；（2）因为{}{}{}221|2520,2,|31005,22A x x x B x x x ⎧⎫=-+===+-==-⎨⎬⎩⎭，则{}115,,2,5,22UU U C A C B ⎧⎫⎧⎫=-=-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭， 所以()()15,2U U C A C B ⎧⎫⋃=-⎨⎬⎩⎭.【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有集合的交并补混合运算，属于基础题目.18．若函数()12f x x =+. （1）求()3f -、()21f a +；（2）求函数()f x 的定义域.【答案】（1）()31f -=-,()22113f a a +=+；（2）[)()3,22,---+∞.【分析】（1）利用函数()f x 的解析式可求得()3f -、()21f a +的值；（2）根据函数解析式有意义可得出关于实数x 的不等式组，进而可求得函数()f x 的定义域.【详解】（1）()12f x x =+，()13123f -==--，()22113f a a +=+；（2）对于函数()12f x x =+，则有3020x x +≥⎧⎨+≠⎩，解得3x ≥-且2x ≠-.因此，函数()12f x x =+的定义域为[)()3,22,---+∞.【点睛】本题考查函数值的计算，同时也考查了函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.19．已知函数[)3(),0,4.2xf x x x =∈+则 （1）判别()f x 的单调性，并证明； （2）求函数()f x 的最值.【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）有最小值0，无最大值.【分析】（1）利用分子分离法化简函数()f x ，再利用定义证明函数的单调性； （2）利用（1）的结果，即可得答案；【详解】1（）33(2)66()3222x x f x x x x +-===-+++，∴函数在[)0,4单调递增， [)12,0,4x x ∀∈且12x x <，∴121212126()66()()(3)(3)022(2)(2)x x f x f x x x x x --=---=<++++， ∴12()()f x f x <，∴()f x 在[)0,4单调递增；（2）由（1）得：当0x =时，min ()(0)0f x f ==，无最大值；【点睛】本题考查利用定义证明函数的单调性，函数最值求解，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力，属于基础题. 20．已知[]2()22,2,2f x x ax x =++∈-（1）当a =1时，做出函数图象，并写出()f x 的值域； （2）求a 的取值范围，使()f x 在定义域内是减函数. 【答案】（1）图象答案见解析，值域为[]1,10；（2）2a ≤-.【分析】（1）列表、描点、连线可得函数的图像，由图像可得其值域；（2）要使()f x 在定义域内是减函数，只要抛物线的对称轴在[2,2]-的右侧即可 【详解】解：（1）由题意可知2()22,[2,2]f x x x x =++∈-， 列表：x2- 1- 01 2 ()f x2 12 510描点、连线，图像如图所示由图像可知函数的值域为[]1,10， （2）对称轴为直线x a =-， 因为()f x 在定义域内是减函数， 所以2-≥a ，得2a ≤-【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，考查由二次函数的单调性求参数，属于基础题21．某商场饮料促销，规定若一次购买一箱则在原价48元的基础上打9折，一次购买两箱可打8.5折，一次购买三箱可打8折，一次购买三箱以上均可享受7.5折的优惠.若此饮料只整箱销售且每人每次最多可购买6箱，试写出顾客购买的箱数x 与购买每箱饮料的价格y 之间的函数解析式，并画出其图象.【答案】43.2,140.8,2,38.4,3,36,310x x y x x =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪<≤⎩()x N *∈，图象答案见解析.【分析】由题意可得480.9,1480.85,2,480.8,3,480.75,310x x y x x ⨯=⎧⎪⨯=⎪=⎨⨯=⎪⎪⨯<≤⎩()x N *∈，函数的图像是一些分散的点 【详解】由题意可得，顾客购买的箱数x 与购买每箱饮料的价格y 之间的函数解析式为480.9,1480.85,2,480.8,3,480.75,310x x y x x ⨯=⎧⎪⨯=⎪=⎨⨯=⎪⎪⨯<≤⎩()x N *∈ 即43.2,140.8,2,38.4,3,36,310x x y x x =⎧⎪=⎪=⎨=⎪⎪<≤⎩()x N *∈作出函数的图象如图.【点睛】此题考查函数的应用，考查分段函数，属于基础题第 11 页 共 11 页 22．（1）函数()f x 是R 上的奇函数，且在(]-0∞，上是增函数，求证()f x 在()0+∞，上是增函数；（2）奇函数()f x 是定义在()2,2-上的减函数，若(12)()0f x f x -+<，求x 范围.【答案】（1）证明见解析；（2）1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【分析】（1）任取120x x >>，则120x x -<-<，可得()()12f x f x -<-，利用奇偶性可得()()12f x f x >即可证明；（2）利用函数的定义域。