初高中数学衔接知识试题(最新整理)

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新高考初高中衔接数学试卷

1. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=3，d=2，则第10项an=______。

2. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为B，则B的坐标为______。

3. 若函数f(x)=x^2-2x+1在区间[1，3]上的最大值为______。

4. 已知函数f(x)=log2x+1，若f(2x)=4，则x=______。

5. 在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=______。

二、选择题（每题3分，共15分）1. 下列各式中，能表示x=2的根的是（）A. x^2-4=0B. x^2-2x+1=0C. x^2+2x+1=0D. x^2-4x+4=02. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，则f(2)=______。

A. 1B. 2C. 3D. 43. 在平面直角坐标系中，点P（3，2）关于y轴的对称点为Q，则Q的坐标为（）A.（-3，2）B.（3，-2）C.（-3，-2）D.（3，2）4. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，d=3，则S10=______。

B. 135C. 140D. 1455. 在△ABC中，若∠A=30°，∠B=75°，则∠C=______。

A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°三、解答题（每题10分，共30分）1. （1）已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，若a1=3，d=2，求第10项an；（2）已知函数f(x)=x^2-2x+1，求函数f(x)在区间[1，3]上的最大值。

2. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于直线y=x的对称点为B，求B的坐标。

3. 已知函数f(x)=log2x+1，若f(2x)=4，求x的值。

四、证明题（10分）已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，∠C=75°。

初中升高中衔接试卷数学

一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的图像是（）A. 顶点为(1, 0)的抛物线B. 顶点为(0, 1)的抛物线C. 顶点为(2, 1)的抛物线D. 顶点为(1, 2)的抛物线2. 若方程x^2 - 3x + 2 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1，a2，a3，且a1 + a3 = 8，a2 = 4，则该等差数列的公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 若a，b是方程x^2 - 3x + 2 = 0的两个根，则a^2 + b^2的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 75. 若等比数列{an}的前三项分别为a1，a2，a3，且a1 = 2，a2 = 4，则该等比数列的公比q为（）B. 2C. 3D. 46. 若函数f(x) = |x - 1| + |x + 2|，则f(x)的图像是（）A. 一个开口向右的抛物线B. 一个开口向左的抛物线C. 一个开口向上的抛物线D. 一条折线7. 若函数f(x) = 2x + 3，g(x) = 4 - x，则f(g(x))的值为（）A. 2x + 5B. 4x + 5C. 2x - 5D. 4x - 58. 若方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1和x2，则x1 x2的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 49. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1，a2，a3，且a1 = 5，a2 = 8，则该等差数列的公差d为（）A. 3B. 4C. 510. 若函数f(x) = 3x - 2，g(x) = 2x + 1，则f(g(x))的值为（）A. 3x - 1B. 3x + 1C. 2x - 1D. 2x + 1二、填空题（每题5分，共25分）11. 若方程x^2 - 2x - 3 = 0的解为x1和x2，则x1 + x2的值为______。

初中衔接高中数学考试卷子

一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 3.14B. -2/3C. √2D. 02. 已知函数f(x) = 2x - 1，若f(3) = f(2)，则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，若∠BAC=50°，则∠BAD 的度数是（）A. 20°B. 30°C. 40°D. 50°4. 下列各对数中，能构成一组相反数的是（）A. 2和-2B. 0和2C. 2和-0.5D. 0和-0.55. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，公差d=2，则S10等于（）A. 100B. 110C. 120D. 130二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知x^2 - 3x + 2 = 0，则x的值为______。

7. 若等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，若∠BAC=60°，则BC的长度为______。

8. 已知函数f(x) = 3x + 4，若f(-1) = 1，则x的值为______。

9. 在等比数列{an}中，a1=2，公比q=3，则第5项an的值为______。

10. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=5，公差d=2，则S10等于______。

三、解答题（每题10分，共40分）11. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=3，公差d=2，求Sn的表达式。

12. 已知等比数列{an}的第四项a4=16，公比q=2，求前三项a1、a2、a3。

13. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，求f(x)的对称轴方程。

14. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是底边BC上的高，若∠BAC=70°，求∠BAD 的度数。

四、应用题（每题10分，共20分）15. 某商店原价销售一批商品，现进行打折促销，打折后每件商品售价为原价的0.8倍。

初升高数学衔接试卷及答案

初升高数学衔接试卷及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333...（无限循环）B. πC. √2D. 1/32. 一个圆的半径为5，那么它的直径是多少？A. 10B. 15C. 20D. 253. 如果一个二次方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 有两个相等的实根，那么 $ b^2 - 4ac $ 等于多少？A. 0B. 1C. -1D. 44. 函数 $ y = 3x + 2 $ 的斜率是多少？A. 2B. 3C. 5D. 45. 以下哪个表达式是正确的因式分解？A. $ x^2 - 1 = x + 1 $B. $ x^2 - 1 = x - 1 $C. $ x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) $D. $ x^2 - 1 = (x - 1)^2 $6. 一个三角形的三边长分别是3，4，5，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能构成三角形7. 一个数的平方根是2，那么这个数是：A. 4B. -4C. 2D. -28. 如果一个函数 $ f(x) $ 是奇函数，那么 $ f(-x) $ 等于：A. $ f(x) $B. $ -f(x) $C. $ x \cdot f(x) $D. $ x^2 \cdot f(x) $9. 以下哪个选项是不等式 $ x^2 - 4x + 3 < 0 $ 的解集？A. $ x < 1 $ 或 $ x > 3 $B. $ x < 3 $ 或 $ x > 1 $C. $ 1 < x < 3 $D. $ x < -3 $ 或 $ x > 1 $10. 一个数列的前5项为1，3，5，7，9，这个数列是：A. 等差数列B. 等比数列C. 既不是等差数列也不是等比数列D. 几何数列二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8，那么斜边长是________。

初升高衔接数学题加答案

初升高衔接数学题加答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 若a、b、c是三角形的三边长，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不规则三角形答案：B2. 已知x^2 - 5x + 6 = 0，求x的值。

A. x = 2B. x = 3C. x = -2D. x = -3答案：B3. 一个数列的前三项为1，2，3，若每一项都等于前一项的平方，那么第四项是：A. 4B. 8C. 9D. 16答案：C4. 一个圆的半径为r，圆心到圆上任意一点的距离都等于r，这个圆的面积是：A. πr^2B. 2πrC. r^2D. 2r^2答案：A5. 若函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值。

A. 7B. 4C. 2D. 1答案：A6. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果。

A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 2, 3, 4, 5}答案：B7. 一个数的平方根是4，这个数是：A. 16B. -16C. 8D. -8答案：A8. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 8答案：A9. 一个二次方程x^2 + 2x + 1 = 0的解是：A. x = -1B. x = 1C. x = -2D. x = 2答案：A10. 若a和b互为相反数，且a + b = 0，那么a的值是：A. 0B. 1C. -1D. 无法确定答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 若一个数的立方等于-27，则这个数是______。

答案：-32. 一个数的绝对值是5，则这个数可以是______或______。

答案：5 或 -53. 一个直角三角形的斜边长为5，若一条直角边长为3，则另一条直角边长为______。

答案：44. 若a = 3b，且b ≠ 0，则a和b的比例是______。

初升高数学衔接题及答案

初升高数学衔接题及答案【题目一：代数基础】题目：求解方程 $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ 的根。

【答案】首先，我们可以通过因式分解来解这个方程：$ x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0 $。

因此，方程的根是 $ x = 2 $ 和 $ x = 3 $。

【题目二：几何基础】题目：在直角三角形ABC中，角C是直角，AB是斜边，如果AC=6，BC=8，求斜边AB的长度。

【答案】根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边的平方和，即：$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $。

代入已知值：$ AB^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 $。

因此，斜边AB的长度为 $ AB = \sqrt{100} = 10 $。

【题目三：函数基础】题目：如果函数 $ f(x) = 2x - 3 $，求 $ f(5) $ 的值。

【答案】将 $ x = 5 $ 代入函数 $ f(x) = 2x - 3 $ 中，我们得到：$ f(5) = 2 \cdot 5 - 3 = 10 - 3 = 7 $。

所以，$ f(5) $ 的值为7。

【题目四：不等式基础】题目：解不等式 $ 3x - 5 < 10 $。

【答案】首先，我们将不等式两边加上5：$ 3x - 5 + 5 < 10 + 5 $，得到 $ 3x < 15 $。

然后，我们将不等式两边除以3：$ \frac{3x}{3} < \frac{15}{3} $，得到 $ x < 5 $。

所以，不等式的解为 $ x < 5 $。

【题目五：概率基础】题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求取出红球的概率。

【答案】总共有 $ 5 + 3 = 8 $ 个球。

取出红球的概率为红球数量除以总球数，即：$ P(\text{红球}) = \frac{5}{8} $。

初升高衔接数学测试(附解答)

初升高衔接数学测试(附解答)初升高衔接数学测试（附解答）一．填空题。

（每题3分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(1) = ______。

解答：f(1) = 1^2 - 4 × 1 + 3 = 1 - 4 + 3 = 0。

2. 设x = 2，则函数f(x) =x^3 - 3|x|的值为______。

解答：f(2) = 2^3 - 3 × 2 = 8 - 6 = 2。

3. 设一次函数y = kx + 3的图象过点(2, 7)，则k的值为______。

解答：代入已知点得7 = k × 2 + 3，整理得k = (7 - 3)/2 = 4/2 = 2。

4. 已知x^2 + k = (x - 2)(x + 3)，则k的值为______。

解答：展开右侧得x^2 + k = x^2 + x - 6，比较系数得k = -6。

5. 一个三位数的1/10是5，将这个三位数加上55后得到一个四位数，这个四位数是________。

解答：设三位数为xyz，其中x、y、z表示个位、十位和百位数字。

根据题意得到两个方程：（1）1/10 * 100 * x + 1/10 *10 * y + 1/10 * z = 5；（2）100 * x + 10 * y + z + 55 = 1000 * x+ 100 * y + 10 * z。

计算得x = 4，y = 4，z = 5，所以四位数为4445。

6. 一根绳子长45米，把它剪成3段，第一段比第二段短3米，第二段比第三段短2米，则第一段的长度是________。

解答：设第一段的长度为x，根据题意得到两个方程：（1）x + (x + 3) + (x + 3 + 2) = 45；（2）x + 5 = x + 3。

解得x = 13，所以第一段的长度是13米。

7. 甲、乙两人连续投掷硬币，甲方先开始，投得正面得1分，反面得0分；乙方投得正面得2分，反面得0分。

初中衔接高中数学试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列各数中，不是有理数的是（）A. 2.5B. -3C. $\sqrt{2}$D. 02. 已知函数$f(x) = 2x + 3$，若$f(2) = 7$，则$x$的值为（）A. 2B. 1C. 3D. -13. 下列各图中，表示一次函数图象的是（）4. 若$a > b$，则下列不等式中正确的是（）A. $a - b > 0$B. $a + b > 0$C. $a - b < 0$D. $a + b < 0$5. 下列各式中，完全平方公式正确的是（）A. $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$B. $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$C. $(a + b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$D. $(a - b)^2 = a^2 + 2ab - b^2$6. 已知等腰三角形的底边长为6，腰长为8，则其面积为（）B. 32C. 48D. 367. 下列函数中，反比例函数的是（）A. $y = x^2$B. $y = \frac{1}{x}$C. $y = 2x$D. $y = 3x + 4$8. 若等差数列$\{a_n\}$的首项为$a_1$，公差为$d$，则$a_5 = a_1 + 4d$，下列说法正确的是（）A. $a_1$为等差数列的通项公式B. $d$为等差数列的通项公式C. $a_5$为等差数列的通项公式D. $a_1 + a_5 = 2a_3$9. 已知正方形的对角线长为10，则其边长为（）A. 5B. 10C. 20D. $\sqrt{20}$10. 若两个圆的半径分别为5和3，它们的圆心距为4，则这两个圆的位置关系是（）A. 外离B. 外切D. 内切二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知$a^2 + 2a + 1 = 0$，则$a =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 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(完整版)初高中数学衔接知识试题

整式乘法与因式分解训练试题(1)一、填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2(x =-x 的取值范围是_ _（3）1819(2(2+-＝________；（4）若()()422-+=++x x b ax x 则 =a ， =b 。

（5）计算99992+=二、选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于（）（A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值（）（A ）总是正数（B ）总是负数（C ）可以是零（D ）可以是正数也可以是负数(3)= （）（A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x <<（4）若223x y x y -=+，则x y＝（）（A ）１（B ）54 （C ）45 （D ）65（5）计算（）（A （B （C ）（D ）（6）多项式22215x xy y --的一个因式为（）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 三、解答题1.正数,x y 满足xy y x 222=+，求x y x y-+的值．2．分解因式：（1）x 5y 2-x 2y 5 （2）x 2+5x-24 （3）a 2-2a-15（4）12y 2-5y-2 （5）3x 2-10x+3 （6）(a 2-a)2-14(a 2-a)+24(7) x 2+2x-1 （8）x 4+x 3-5x 2+x-6 (9) (a-b)2-4(a-b-1)3.（1）已知3a+3b=-9,求2a 2+4ab+2b 2-6的值（2）已知x 2+2xy-8y 2+2x+14y-3=(x+4y+a)(x-2y+b),求a 、b 的值4．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．函数训练试题(2)一、选择题：（1）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是（）（A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)（2）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是（）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2 （C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（3）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是（）（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）无法确定（4）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的二、填空题（1）一次函数y= mx + |m-1| 的图像经过点（0,2），且y 随x 的增大而增大，则m=____(2) 函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向，对称轴为，顶点坐标为；当x ＝时，函数取最值y ＝；当x 时，y随着x 的增大而减小（3）一次函数y=kx+b 的图像与y=k/x 的图像交于点P （-2,3），则方程组y=kx+b{ y=k/x 的解是_______________(4) 二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝，n ＝．（5）若函数y=(m+1)x (m2+3m+1)是反比例函数，则m=______。

完整版)初高中数学衔接知识试题

完整版)初高中数学衔接知识试题整式乘法与因式分解训练试题(1)一、填空：1）若x=5，则x=5；若x=-4，则x=-4.2）若(5-x)(x-3)²=(x-3)⁵-x，则x的取值范围是18/19. 3）(2+3)(2-3)=-5；4）若x+ax+b=(x+2)(x-4)，则a=-2，b=8.5）计算992+99=1091.二、选择题：1）若x²+mx+k是一个完全平方式，则k等于m²。

（C）2）不论a，b为何实数，a²+b²-2a-4b+8的值可以是零。

3）成立的条件是x≠2.4）若(x+y)/(2x-y)=5/4，则y/x=1/2.5）计算a-(-a)=2a。

6）多项式2x-yx-15y的一个因式为x-3y。

三、解答题1.正数x,y满足x+y=2xy，求(x-y)/(x+y)的值．解：将x+y=2xy变形得到(x+y)/(xy)=2，即1/x+1/y=2. 将(x-y)/(x+y)变形得到(x+y)/(x-y)=1/(1-2xy)。

因此(x-y)/(x+y)=1-2xy=1-(x+y)/(xy)=1-2= -1.所以(x-y)/(x+y)的值为-1.2.分解因式：1）x⁵y²-x²y⁵=(xy²-y⁴)(x⁴+x³y+x²y²+xy³+y⁴)2）x²+5x-24=(x+8)(x-3)3）a²-2a-15=(a-5)(a+3)4）12y²-5y-2=(4y+1)(3y-2)5）3x²-10x+3=(3x-1)(x-3)6）(a²-a)²-14(a²-a)+24=(a-3)(a-4)(a²-a-6)7）x²+2x-1=(x+1)²-28）x⁴+x³-5x²+x-6=(x-1)(x+2)(x²+x-3)9）(a-b)²-4(a-b-1)=(a-b-3)(a-b+1)3.（1）已知3a+3b=-9，求2a+4ab+2b-6的值。

最新暑期初高中数学衔接教程【含答案】

课堂笔记第一章乘法公式与因式分解§1.1 乘法公式我们知道(a +b )2=a 2+2ab +b 2，将公式左边的指数变为3时，又有什么结论呢？由于(a +b )3=(a +b )2(a +b )=a 2+2ab +b 2 (a +b )=a 3+a 2b +2a 2b +2ab 2+ab 2+b 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3，因此得到和的立方公式(a +b )3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3．将公式中的b 全部改为-b ，又得到差的立方公式(a -b )3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3．上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为(a ±b )3=a 3±3a 2b +3ab 2±b 3．【例1】化简：(x +1)3-x x 2+3x +3 ．【解答】(x +1)3-x x 2+3x +3 =x 3+3x 2+3x +1-x 3-3x 2-3x =1．由完全立方公式可得(a +b )3-3a 2b -3ab 2=a 3+b 3，即(a +b )(a +b )2-3ab =a 3+b 3，由此可得立方和公式(a +b )a 2-ab +b 2 =a 3+b 3．将立方和公式中的b 全部改为-b ，得到立方差公式(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3．【例2】对任意实数a ，试比较(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 与1的大小．【解析】观察(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2 的结构特点，可运用立方和(差)公式将其化简．【解答】(1+a )(1-a )1+a +a 2 1-a +a 2=(1+a )1-a +a 2 (1-a )1+a +a 2=1+a 3 1-a 3 =1-a 6因为1-a 6-1=-a 6，对任意实数a ，-a 6≤0，所以课堂笔记(1+a)(1-a)1+a+a21-a+a2≤1．通过将完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2中的指数2推广到3，我们得到了完全立方公式．有兴趣的同学可以将指数推广到4，5，⋯．另外，我们也可以从项数的角度推广(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．灵活应用等式(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca，可以为代数式运算带来方便．【例3】已知a+b+c=0，ab+bc+ca=-12，求下列各式的值：(1)a2+b2+c2(2)a4+b4+c4【解析】将(1)与已知联系，联想已知中的等式，发现可将a2+b2+c2用a+b+ c和ab+bc+ca表示．由于a4+b4+c4=a22+b2 2+c2 2，由(1)得到启发，如果知道a2b2+b2c2+c2a2的值，就能得解．【解答】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca．由上式和已知得0=a2+b2+c2-1，即a2+b2+c2=1．(2)由ab+bc+ca=-12，得a2b2+b2c2+c2a2+2abc(a+b+c)=14．因为a+b+c=0，所以a2b2+b2c2+c2a2=14．再由(1)的结论，得a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2=1．因此a4+b4+c4=12．【例4】已知x2+x-1=0，求证：(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法1】(x+1)3-(x-1)3=x3+3x2+3x+1-x3-3x2+3x-1=x3+3x2+3x+1-x3+3x2-3x+1=6x2+2．由已知得x2=1-x，故6x2+2=6(1-x)+2=8-6x．因此，(x+1)3-(x-1)3=8-6x．【证法2】(x+1)3-(x-1)3=(x+1-x+1)(x+1)2+(x+1)(x-1)+(x-1)2=2x2+2x+1+x2-1+x2-2x+1课堂笔记=6x 2+2．以下同证法1习题1.11.若a +b =8，ab =2，则a 3+b 3=()A.128B.464C.496D.5122.若x +y +z =0，则x 3+y 3+z 3=()A.0B.x 2y +y 2z +z 2xC.x 2+y 2+z 2D.3xyz3.设A =n +1n 3，B =n 3+1n 3+6，对于任意n >0，则A ，B 大小关系为()A.A ≥BB.A >BC.A ≤BD.不一定4.(5-x )25+5x +x 2 =．5.观察下列各式的规律：(a -b )(a +b )=a 2-b 2，(a -b )a 2+ab +b 2 =a 3-b 3，(a -b )a 3+a 2b +ab 2+b 3 =a 4-b 4．可得到(a -b )a n +a n -1b +⋯+ab n -1+b n =．(其中n 为正整数)．6.求函数y =(x -2)3-x 3的最大值．7.当x =33时，求代数式2x +1x 4x 2-2+1x 2 -1x 3的值．8.已知a ，b ，c 为非零实数，a 2+b 2+c 2 x 2+y 2+z 2 =(ax +by +cz )2，求证：x a =yb =zc ．课堂笔记§1.2 因式分解因式分解就是将一个多项式化成几个整式的积的形式，它与多项式乘法运算是互逆变形．我们已学过两种分解因式的方法：提取公因式法与公式法．下面我们继续学习一些分解因式的方法．1.十字相乘法我们知道，形如x2+(p+q)x+pq的二次三项式，它的特点是二次项系数是1，常数pq与一次项系数p+q可以通过如图1．2-1的“十字相乘，乘积相加”方式建立联系，得到x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)．这种方法能否推广呢？如果要对2x2-7x+3分解因式，我们把二次项系数2分解为1×2，把常数项3分解成1×3或(-1)×(-3)，按图1．2-2至图1．2-5的运算方式，也用“十字相乘，乘积相加”验算．12311×3+2×1=512131×1+2×3=712-3-11×- 3 +2×-1=-512-1-31×-1+2×-3=-7图1.2-2图1.2-3图1.2-4图1.2-5可以发现图1．2-5对应的结果1×(-1)+2×(-3)=-7，恰好等于一次项系数-7．由于(x-3)(2x-1)=2x2-7x+3，从而2x2-7x+3=(x-3)(2x-1)．像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法．【例1】将下列各式分解因式：(1)2x2+x-3；(2)-6a2+7a+5【解析】(1)因为2=1×2，-3=(-1)×3=1×(-3)，且一次项系数是1，所以可按图1．2-6用十字相乘法分解因式．(2)当二次项系数为负时，二次项系数分解成的两个因数异号，则十字辅助图的各种可能性就会更多．因此先把负号提到括号外面，即-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，然后再把6a2-7a-5按图1．2-7用十字相乘法分解因式．【解答】(1)因为1×3+2×(-1)=1，恰好等于一次项系数1，所以2x2+x-3=(x-1)(2x+3)．(2)因为-6a2+7a+5=-6a2-7a-5，而根据十字相乘法，6a2-7a-5= (2a+1)(3a-5)，所以-6a2+7a+5=-(2a+1)(3a-5)．11pq1×p+1×q=p+q图1.2-1123-1123-1图1.2-6图1.2-7课堂笔记【例2】分解因式：x 2-x 2-x 2-x -2．【解析】先将x 2-x 视为一个整体，通过两次十字相乘法得到解决．【解答】x 2-x 2-x 2-x -2=x 2-x -2 x 2-x +1 =(x -2)(x +1)x 2-x +1 ．2.分组分解法观察多项式xm +xn +ym +yn ，它的各项并没有公因式，因此不能用提取公因式来分解因式；这是一个四项式，因此也不能直接用公式法或十字相乘法来分解因式．观察多项式的各项，前两项有公因式x ，后两项有公因式y ，分别提取后得到x (m +n )+y (m +n )．这时又有了公因式(m +n )，因此能把多项式xm +xn +ym +yn 分解因式．分解过程是xm +xn +ym +yn =x (m +n )+y (m +n )=(m +n )(x +y )．一般地，如果把一个多项式的项适当分组，并提出公因式后，各组之间又出现新的公因式，那么这个多项式就可以用分组方法来分解因式．【例3】将下列各式分解因式：(1)x 3-x 2+x -1；(2)x 2+4(xy -1)+4y 2．【解答】(1)【解法1】x 3-x 2+x -1=x 3-x 2 +(x -1)=x 2(x -1)+(x -1)=(x -1)x 2+1 ．【解法2】x 3-x 2+x -1=x 3+x -x 2+1 =x x 2+1 -x 2+1 =x 2+1 (x -1)．(2)x 2+4(xy -1)+4y 2=x 2+4xy -4+4y 2=x 2+4xy +4y 2 -4=(x +2y )2-4=(x +2y +2)(x +2y -2)．【注】本题第(2)小题的解法是先将多项式分组，再用公式法分解因式．先将多项式分组后分解因式的方法称为分组分解法．用这种方法分解因式，分组时应预见到下一步分解的可能性．【例4】分解因式：x 3+3x -4．【解析】本题用前面学过的方法似乎均不奏效，若将其中一项拆成两项，就可考虑分组分解．【解答】x 3+3x -4=x 3+3x -1-3=x 3-1 +(3x -3)=(x -1)x 2+x +1 +3(x -1)=(x -1)x 2+x +4 ．课堂笔记【例5】已知x3-2x2y-xy2+2y3=0，x>y>0，化简：xz-2yz+1．【解答】因为x3-2x2y-xy2+2y3=x2(x-2y)-y2(x-2y)=(x-2y)x2-y2=(x-2y)(x+y)(x-y)，所以(x-2y)(x+y)(x-y)=0．又因为x>y>0，所以x+y≠0，x-y≠0，即只有x-2y=0．从而xz-2yz+1=z(x-2y)+1=1．习题1.21.对多项式4x2+2x-y-y2用分组分解法分解因式，下面分组正确的是()A.4x2+2x-y+y2B.4x2+2x-y2-yC.4x2-yD.4x2-y+(2x-y2)+2x-y2.要使二次三项式x2-6x+m在整数范围内可分解，m为正整数，那么m的取值可以有()A.2个B.3个C.5个D.6个3.把多项式2ab+1-a2-b2分解因式，结果是()A.(a+b-1)(b-a+1)B.(a-b+1)(b-a+1)C.(a+b-1)(a-b+1)D.(a-b+1)(a-b-1)4.m4+m2+1=m4+-m2+1=m2+．m2+5.将下列各式分解因式：(1)4x2-x-3；(2)3x2+2ax-a2．6.将下列各式分解因式：(1)x3-y3-x2y+xy2；(2)2a2-b2+ab-2a+b．7.已知m=x-y，n=xy，试用m，n表示x3+y32．8.当x=-1时，x3+2x2-5x-6=0．请根据这一事实，将x3+2x2-5x-6分解因式课堂笔记第一章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.多项式-3y 2-2yx +x 2分解因式的结果是()A.-(y +x )(3y +x )B.(x +y )(x -3y )C.-(y -x )(3y -x )D.(x +y )(3x -y )2.若a 3-b 3=3a 2b -3ab 2+1，其中a ，b 为实数，则a -b =()A.0B.-1C.1D.±13.若多项式2x 2+7x +m 分解因式的结果中有因式x +3，则此多项式分解因式的结果中另一因式为()A.2x -1B.2x +1C.x +1D.x -14.若a +1a =3，则a 2+a 3+a 4+1a 2+1a 3+1a 4=()A.7B.25C.47D.725.多项式4-x 2-2xy -y 2分解因式的结果是()A.(2+x +y )(2-x -y )B.(2+x +y )(2-x +y )C.(1+x -y )(4-x -y )D.(1-x +y )(4+x +y )6.若x -y -z =3，yz -xy -xz =3，则x 2+y 2+z 2=()A.0B.3C.9D.-1二、填空题(本题有3小题，每小题8分，共24分)7.若8x 3+12x 2y 2+6xy 4+y 6可分解为2x +y m 3，则m =．8.若关于x 的二次三项式ax 2+3x -9的两个因式的和为3x ，则a =．9.x 2+x +1x 2+1x -4=1x +x + 1x +x - ．三、解答题(本题有3小题，第10，11题各15分，第12题16分，共46分)10.分解因式：(1)x 3-5x 2+6x ；(2)4m 3+m -1．11.已知x 2-x -1=0，求x 5-x 4-3x 3+3x 2+x 的值．12.已知a 2-9x 2+6xy -y 2(a +3x )2-(ay +3xy )=1，求证：y =6x ．课堂笔记第二章分式与根式§2.1分式及其运算1.分式的运算分式运算与因式分解关系密切，掌握了各种乘法公式和因式分解方法，可以使我们的分式运算能力得到提高．【例1】计算：a2+7a+10a2-a+1×a3+1a2+4a+4÷a+1a+2．【解析】分式乘除运算与约分相关，应考虑先将各分式的分子分母分解因式．【解答】原式=a+2a+5a2-a+1×a+1a2-a+1a+22×a+2a+1=a+5【例2】先化简，再求值：m2+n2m2+2mn+n2-2mn÷m+nmn2×m3+3m2n+3mn2+n3m3+m2n-mn2-n3，其中m=57，n=3．【解析】分式混合运算时需合理安排运算顺序，小心完成每一步．本题代数式最后乘上的分式其分子是完全立方，分母可以进行分组分解．【解答】原式=m2+n2(m+n)2-2mn×m2n2(m+n)2×(m+n)3(m+n)2(m-n)=m2+n2(m+n)2-2mn(m+n)2×(m+n)(m-n)=m2-2mn+n2(m+n)2×(m+n)(m-n)=m-nm+n．当m=57，n=3时，原式=m-nm+n=57-357+3=910．【例3】已知xx2-3x+1=1，求x2x4-9x2+1的值．【解析】观察题目特点，对条件与结论采用取倒数处理，建立条件与结论间的联系，从而达到解题的目的．【解答】因为xx2-3x+1=1，所以x2-3x+1x=1，得x+1x=4．于是x4-9x2+1x2=x2+1x2-9=x+1x2-11=16-11=5．因此x2x4-9x2+1=15．【注】本题解答中灵活应用了x2+1x2=x+1x2-2．课堂笔记2.分式的证明【例4】已知b +1c =1，c +1a =1，求证：a +1b =1，【解析】由已知两式消去c ，即可得到含a ，b 的关系式．【解答】由b +1c =1，得1c =1-b ；由c +1a =1，得c =1-1a ．所以(1-b )1-1a =1，得1-1a -b +b a =1，即-1a -b +b a =0．两边都乘以a ，得-1-ab +b =0，两边再都除以b ，得-1b -a +1=0，移项得a +1b =1．【例5】已知abc =1，求证：a ab +a +1+b bc +b +1+c ac +c +1=1．【解析】此题直接通分太繁，不可取．观察求证式子的左边，发现作轮换a →b→c →a ，可将其中一项变为另两项，结合已知条件，可以有以下两种策略．【解答】【解法1】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +1+ab a (bc +b +1)+abc ab (ac +c +1)=a ab +a +1+ab abc +ab +a +abc abac +abc +ab=a ab +a +1+ab 1+ab +a +1a +1+ab=a +ab +1ab +a +1=1．【解法2】因为abc =1，所以a ，b ，c 均不为零．原式=a ab +a +abc +b bc +b +1+bc b (ac +c +1)=1b +1+bc +b bc +b +1+bc bac +bc +b=1b +1+bc +b bc +b +1+bc 1+bc +b=1+b +bc bc +b +1=1．3.繁分式我们知道，像2m ，ab 1+b ，⋯这样分母中含有字母的代数式叫做分式．而像1x +1x ，a 1+b b 1+a，⋯这样分子或分母中含有分式的分式就叫繁分式．繁分式可以通过适当的代数变换转化成普通的分式．例如，1x +1x =课堂笔记xx x+1x=xx2+1【例6】化简：1+1-xx1-1-xyxy．【解析】对于繁分式化简，可以利用分式基本性质，在分式的分子、分母上都乘以它们各分母的最简公分母，从而达到使分子、分母转化为整式的目的；也可以利用分式的概念，将繁分式转化为分式的除法．【解答】【解法1】原式=1+1-xxxy1-1-xyxyxy=xy+y-xyxy-1+xy=y2xy-1．【解法2】原式=1+1-xx÷1-1-xyxy=x+1-xx÷xy-1+xyxy= y2xy-1．【例7】化简：x+1x2-x+1x-11-x-1x2÷x2+1x2-x-1x+3x2+1x2-2x-2x+3．【解析】观察发现，上式中出现最多的是x+1x，而x2+1x2=x+1x2-2，因此设x+1x=a，原式的形就变简单了，从而有利于化简．换元法在繁分式化简中是一种常用的方法．【解答】设x+1x=a，则x2+1x2=x+1x2-2=a2-2．原式=a2-a-11-a2÷a2-a+1a2-2a+1=a2-a2-a+1a-12×(a-1)2a2-a+1 =a2-a2-a+1=a-1=x+1x-1．课堂笔记习题2.11.下列运算中，错误的是()A.a b =acbc (c ≠0) B.-a -ba +b =-1C.0.5a +b 0.2a -0.3b =5a +10b 2a -3b D.x -y x +y =y -x y +x 2.若x +1x =4，则x 2x 4+x 2+1=()A.10 B.15C.115D.1163.若a +1b=1，b +2c =1，则c +2a =()A.1B.2C.3D.44.化简：11-11-1x ．5.化简：a 3-a 2-a +1a 3-3a 2+3a -1．6.计算：1-a -11-a 2÷a 3+1a 2-2a +1×11-a．7.已知1a +1b+1c =0，求证：a 2+b 2+c 2=(a +b +c )2．8.已知xyz =1，x +y +z =2，x 2+y 2+z 2=16，求1xy +2z +1yz +2x+1zx +2y的值．课堂笔记§2.2根式及其迲算1.根式的运算一个代数式的运算结果若含有根式，就必须把它化为最简根式．最简根式满足以下3个条件：(1)被开方数的指数与根指数互质；(2)被开方数的每一个因式的指数都小于根指数；(3)被开方数不含分母．把分母中的根号化去，叫分母有理化．例如，620=625=6×525×5=355．在根式运算中，一般最后结果要进行分母有理化，使分母不含根号．【例1】化简：(1)12-3；(2)x-yx+y(x≠y)；(3)x-y3x-3y-x+y3x+3y．【解析】分母有理化通常是把分子和分母都乘以同一个不等于零的适当代数式(有理化因式)，使分母不含根号．其中第(2)题还可以将分子用平方差公式分解因式后进行约分，同样第(3)题也可以将分子用立方和(差)公式分解因式后进行约分．【解答】(1)【解】12-3=2+3(2-3)(2+3)=2+32-3=-(2+3)=-2-3．(2)【解法1】x-yx+y=(x-y)(x-y)(x+y)(x-y)=(x-y)(x-y)x-y=x-y．【解法2】x-yx+y=(x+y)(x-y)x+y=x-y．(3)【解】x-y3x-3y-x+y3x+3y=(3x)3-(3y)33x-3y-(3x)3+(3y)33x+3y=(3x)2+3x3y+(3y)2-(3x)2+3x3y-(3y)2 =23xy【例2】计算：1+23+5(1+3)(3+5)+5+27+3(5+7)(7+3)．【解析】观察分式的分子和分母，发现(1+3)+(3+5)=1+23+5，(5+7)+(7+3)=5+27+3．因此可先将他们拆成两项之和，然后分别进行分母有理化．【解答】原式=11+3+13+5+15+7+17+3=1-3(1+3)(1-3)+3-5(3+5)(3-5)+5-7(5+7)(5-7)课堂笔记+7-3(7+3)(7-3)=-12(1-3+3-5+5-7+7-3)=-12(1-3)=1【例3】计算：1-x -11+x -1+22-x ÷2+xx -1．【解析】二次根式的混合运算，要根据算式的形式特征安排计算程序，使计算简便．【解答】原式=(1-x -1)2(1+x -1)(1-x -1)+22-x×x -12+x=1-2x -1+x -11-x +1+2x -12-x =x2-x．【例4】已知a =12+3，求1-2a +a 2a -1-a 2-2a +1a 2-a的值．【解析】先化简再求值，同时注意(a -1)2=|a -1|．【解答】因为a =12+3=2-3<1，所以原式=(a -1)2a -1-(a -1)2a (a -1)=(a -1)-|a -1|a (a -1)=a -1--(a -1)a (a -1)=a -1+1a=2-3-1+2+3=3.2.根式的证明【例5】已知(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，且a 2-c 2=b 2，其中a >b >0，求证：x 2a 2+y 2b2=1．【解析】当已知等式中含有二次根式时，可以考虑把等式两边平方．【解答】【证明】因为(x +c )2+y 2+(x -c )2+y 2=2a ，所以(x +c )2+y 2=2a -(x -c )2+y 2两边平方，整理得a 2-cx =a (x -c )2+y 2．两边再平方，整理得a 2-c 2 x 2+a 2y 2=a 2a 2-c 2 ．把a 2-c 2=b 2代入得b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2，两边同除以a 2b 2，得x 2a 2+y 2b2=1．【例6】已知a ，b 都是非负数，并且1-a 2×1-b 2=ab ，求证：a 1-b 2+b 1-a 2=1．【解析】当已知式或求证式中含有二次根式时，可以考虑把两边平方化为整式再证明．但A 2=B 2，未必有A =B ，因此在证明过程中必须确定A ，B 是课堂笔记否同号．【解答】【证明】将1-a2×1-b2=ab两边平方，得1-a21-b2=a2b2，即1-a2-b2+a2b2=a2b2，得a2+b2=1．a1-b2+b1-a22=a21-b2+b21-a2+2ab1-b2×1-a2=a2+b2-2a2b2+2a2b2=1.因为a，b都是非负数，所以a1-b2+b1-a2≥0．因此a1-b2+b1-a2=1．3.n次根式实际上，数的平方根的概念可以推广．一般地，如果x n=a，那么x叫做a的n 次方根．例如，由于24=16和(-2)4=16，我们把2或-2叫做16的4次方根．当n 是偶数时，正数a的正的n次方根用符号n a表示，负的n次方根用符号-n a表示，也可以把两个方根合起来写作±n a．例如，416=2，-416=-2，合起来写作±416=±2．类比平方根与立方根的性质，我们不难发现：在实数范围内，正数有两个相反的偶次方根，负数没有偶次方根，但任意实数都只有一个与它同号的奇次方根．本节所讨论的n次方根运算都限在实数范围内．【例7】(1)求-32243的5次方根；(2)求(-8)2的6次方根．【解析】根据n次方根的定义，可以逆用乘方运算求得开方运算的结果．需要注意正数的偶次方根一定有两个，不要漏掉负的一个．求方根时，为了降低难度，可以把被开方数中比较大的数作质因数分解．【解答】(1)5-32243=5-2535=-23．(2)±6(-8)2=±626=±2．【例8】(1)当x<0时，求|x|+4x4+23x3的值．(2)若n为自然数，2n a2n=-a，a的取值范围是什么？【解析】根据n次根式的性质，可以对含字母的根式进行化简与讨论．【解答】(1)当x<0时，|x|+4x4+23x3=|x|+|x|+2x=-x-x+2x=0．(2)因为n为自然数，所以2n为偶数，于是2n a2n=|a|．又因为2n a2n=-a，所以a≤0．类似于二次根式的性质，我们也可以得到n次根式的性质：(1)(n a)n=a．课堂笔记(2)当n 为奇数时，na n =a ；当n 为偶数时，na n =|a |=a ,a ≥0；-a ,a <0.(3)mpa mp =na m (a ≥0)，n ab =n a ⋅n b (a ≥0,b ≥0)，na b=na n b(a ≥0,b >0)，n a m =(n a )m (a ≥0)．从指数式的角度看，a =a 12，3a =a 13，⋯，n a =a 1n ，所以a m =na m ，a -mn =1n am ．课堂笔记习题2.21.下列说法正确的是()A.正数有一个偶次方根B.负数没有偶次方根C.负数有两个奇次方根D.正数有两个奇次方根2.当a>0时，-ax3=()A.x axB.x-axC.-x-axD.-x ax3.把a-ba+b(a≠b)分母有理化的结果是()A.-1B.a+ba-b C.a+b-2aba-bD.a+b-2abb-a4.(-1)101的7次方根是，0的8次方根是，(-4)2的4次方根是，(-4)4的4次方根是，5.计算：-5-132=，6(-27)2=，(2×32)4=，18÷32=．6.已知a=13+22，b=13-22，求1b-1-1a-1的值．7.化简：(a-b)3+2a a+b ba a+b b-3b-3aba-b．8.化简：(1)a-2a-1(1<a<2)；(2)n(a-b)n+n(a+b)n a<b<0,n>1,n∈N∗．9.证明：a2+1b2+a2(ab+1)2=a+1b-aab+1．课堂笔记第二章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题5分，共30分)1.若分式x +yx -y中的x ，y 的值都变为原来的3倍，则此分式的值()A.不变B.是原来的3倍C.是原来的13D.是原来的162.计算a b-b a÷a +b a 的结果是()A.a -b aB.a +b bC.a -bbD.a +b a3.把a +ba -b(a ≠b )分母有理化的结果是()A.-1B.a +b a -bC.a +b +2aba -bD.a +b +2abb -a4.下列式子错误的是()A.(a )2=aB.3a 3=aC.(n a )n =a (n >1的整数)D.na n =a (n >1的整数)5.化简x -|x |x的结果是()A.-|x |B.-xC.x 2D.x6.若n 为自然数，2n +1a 2n +1=a ，则a 的取值范围是()A.a ≥0B.a <0C.a ≤0D.a 为全体实数二、填空题(本题有4小题，每小题6分，共24分)7.64的平方根是，立方根是，6次方根是．8.化简：1x -1+1x +1+2x x 2+1+4x 3x 4+1=．9.化简：11+11+1x=．10.当x <0时，5x 5+4x 4+3x 3=．三、解答题(本题有3小题，第11，12题各15分，第13题每题16分，共46分)11.若(x -10)2+4y -4=0，求y x 的10次方根．课堂笔记12.化简：x+1x-1-x-1x+11x2-1．13.当a=12-1时，求a2+6a2-1-a+1a-1+1÷a3+8a4+3a3+2a2的值．课堂笔记第三章方程与方程组§3.1三元一次方程组我们已经学习了二元一次方程组及其解法, 知道解二元一次方程组的基本思想是:二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解二元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法. 消元的目的是把二元一次方程组化归为一元一次方程.在现实生活中, 我们会遇到末知数不止两个的方程, 下面我们就来学习三元一次方程组.像x +y +z =12,x +2y +5z =22,x =4y ,4x +2y +z =0,x +2y -z =3,2x -y +2z =-4这类方程组中含有三个末知数, 含末知数的项的次数都是1 , 这样的方程组叫做三元一次方程组.解三元一次方程组的基本思想与解二元一次方程组一致, 通过消元转化为我们会解的方程组:三元一次方程组⟶消元二元一次方程组⟶消元一元一次方程. 解三元一次方程组的基本方法有代人消元法和加减消元法.【例1】解方程组x +y +z =12,①x +2y +5z =22,②x =4y .③【分析】将方程③分别代入方程①②, 得到只含y ,z 的二元一次方程组.【解】将方程③分别代入方程①②, 得方程组5y +z =12④6y +5z =22⑤解得y =2,z =2.把y =2,z =2代人方程①, 得x +2+2=12, 所以x =8.方程组的解是x =8,y =2,z =2.【例2】解方程组课堂笔记4x+2y+z=0①x+2y-z=3②2x-y+2z=-4③【分析】解三元一次方程组的关键是逐步消元, 转化为二元一次方程组. 将方程①+②, 可以消去z, 将方程③+②×2, 也可以消去z, 从而得到二元一次方程组.【解】方程①+②, 得5x+4y=3.④方程③+②×2, 得4x+3y=2. ⑤方程④和方程⑤组成方程组5x+4y=34x+3y=2解得x=-1,y=2.把x=-1,y=2代人方程②, 得-1+2×2-z=3, 所以z=0.方程组的解是x=-1,y=2,z=0.【例3】解方程组x:y:z=1:2:7,2x-y+3z=21.本题含有三个末知数, 只有两个方程, 其中方程①含有比例. 如果设x=a, 则y=2a,z=7a, 就得到了关于x,y,z三个末知数之间的关系, 代入方程②即可求解.【解】由方程①, 设x=a,y=2a,z=7a.代人方程②, 得2a-2a+21a=21, 即a=1.于是x=1,y=2,z=7.方程组的解是x=1,y=2,z=7.【注】本题的解答实际上用了比例的性质(第五章). 虽然方程组形式上是两个方程, 但方程①实际上隐含了两个方程:2x=y,7y=2z.通过上面几道例题, 我们发现, 三元一次方程组的解法仍是用代人法或加减法消元, 化归为二元一次方程组, 再化归为一元一次方程. 实际上, 消元是解一次方程组的主要方法. 解一次方程组的消元“化归”基本思想, 可以推广到“四元”“五元”等多元方程组.习題3.1课堂笔记1.解方程组3x -y +2z =3,2x +y -4z =11,若要使运算简便,消元的方法应选取.7x +y -5z =1,()A.先消去x .B.先消去y .C.先消去z .D.以上说法都不对.2.已知方程组2x -y +z =5,5x +8y -z =9,则x +y 的值是()A.14.B.2.C.-14.D.-2.3.已知方程3x -y -7=0,2x +3y =1,y =kx -9有公共解, 则k 的值是()A.6.B.5.C.4.D.3.4.当x =0,1,-1时, 二次三项式ax 2+bx +c 的值分别为5,6,10, 则a =b = ,c =.5.已知方程组x -2y +z =0,2x +4y -z =0,则x :y :z =6.解下列三元一次方程组:①x -4y +z =-32x +y -z =18x -y -z =7②x :y :z =2:3:5x +y +z =1007.若|a -b -1|+(b -2a +c )2+|2c -b |=0, 求a ,b ,c 的值.8.己知4x -3y -6z =0,x +2y -7z =0,求2x 2+3y 2+6z 2x 2+5y 2+7z 2的值.§3.2一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)由配方法可化为x +b 2a 2=b 2-4ac 4a 2.因为a ≠0, 所以4a 2>0. 式子b 2-4ac 的值有以下三种情况:①b 2-4ac >0这时b 2-4ac 4a 2>0, 由①式得x +b 2a =±b 2-4ac 2a , 方程有两个不相等的实数根x 1=-b +b 2-4ac 2a ,x 2=-b -b 2-4ac 2a.②b 2-4ac =0课堂笔记这时b2-4ac4a2=0, 由①式得x+b2a2=0, 方程有两个相等的实数根x1=x2=-b2a.③b2-4ac<0这时b2-4ac4a2<0, 由①式得x+b2a2<0, 而x取任何实数都不能使x+b2a2<0, 因此方程无实数根.这说明, 根据b2-4ac的值的符号, 我们可以判定一元二次方程ax2+bx+c= 0(a≠0)的根的情况. 一般地, 式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式, 通常用希腊字母Δ表示它, 即Δ=b2-4ac.归纳起来, 有①Δ>0⇔方程有两个不相等的实数根;②Δ=0⇔方程有两个相等的实数根;③Δ<0⇔方程没有实数根.【例1】【例1】不解方程, 判别下列方程的根的情况:②5x2=2(x-10);③8x2+(m+1)x+m-7=0.①x2+2x-1=0;【解】①因为Δ=22-4×(-1)=8>0, 所以方程有两个不相等的实数根.②将原方程整理, 可得5x2-2x+20=0.因为Δ=(-2)2-4×5×20=-396<0, 所以方程没有实数根.③Δ=(m+1)2-4×8×(m-7)=m2-30m+225=(m-15)2.因为无论m取何值, 都有Δ=(m-15)2≥0, 所以方程有两个实数根.【例2】【例2】已知关于x的方程(k-2)x2+k=(2k-1)x有两个不相等的实数根, 求k的范围.【分析】将方程化成一般形式, 二次项系数k-2≠0. 因为一元二次方程有两个不相等的实数根, 所以Δ>0.【解】方程(k-2)x2+k=(2k-1)x可化为(k-2)x2-(2k-1)x+k=0.因为方程有两个不相等的实数根, 所以课堂笔记k -2≠0,Δ=[-(2k -1)]2-4k (k -2)=4k +1>0.解得k >-14且k ≠2.所以k 的取值范围是k >-14且k ≠2.【例3】证明:关于x 的一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【分析】要证一元二次方程没有实数根, 只要证Δ<0即可.【证明】二次项系数m 2+1≠0.Δ=(-2m )2-4m 2+1 m 2+4 =-4m 4+4m 2+4 =-4m 2+2 2.因为无论m 取什么实数, 都有m 2+2>0, 所以-4m 2+2 2<0, 即Δ<0. 因此, 一元二次方程m 2+1 x 2-2mx +m 2+4 =0没有实数根.【例4】当m 为何值时, 关于x 的方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根.和m 2-4≠0两种情形讨论.【解】①当m 2-4=0, 即m =±2时, 2(m +1)≠0, 方程为一元一次方程, 总有实数根.②当m 2-4≠0, 即m ≠±2时, 要使方程m 2-4 x 2+2(m +1)x +1=0有实数根, 则Δ=[2(m +1)]2-4m 2-4 =8m +20≥0, 解得m ≥-52.因此, 当m ≥-52且m ≠±2时, 方程有实数根.综合①②, 当m ≥-52时, 方程有实数根.习题3.21.方程x 2+1=0,x 2+x =0,x 2+x -1=0,x 2-x =0中, 无实根的方程有()A.1个.B.2个.C.3个.D.4个.2.关于x 的方程ax 2-2x +1=0中, 若a <0, 则根的情况是().A.有两个相等的实数根.B.有两个不相等的实数根.课堂笔记C.没有实数根.D.无法确定.3.关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中, 若a与c异号, 则根的情况是()A.有两个不相等的实数根.B.有两个相等的实数根.C.没有实数根.D.无法确定4.若关于x的一元二次方程(m-2)2x2+2(m+1)x+1=0有两个不相等的实数根, 则m的取值范围是5.若二次三项式3x2-4x+2k在实数范围内总能分解成两个一次因式的积, 则k的取值范围是6.不解方程, 判别下列方程的根的情况:③5x2+1-7x=0.①2x2+3x-4=0;②16y2+9=24y7.证明：关于x的方程mx2-(m+2)x=-1必有实数根.8.已知关于x的方程k2-1x2+2(k+1)x+1=0有实数根, 求k的取值范围.§3.3书达定理及其应用方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x=-b±b2-4ac2a, 不仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值, 而且反映了根与系数之间的联系. 本节我们进一步讨论根与系数的关系.根据求根公式可知, 当b2-4ac≥0时, 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1=-b+b2-4ac2a,x2=-b-b2-4ac2a.由此可得x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba,x1x2=-b+b2-4ac2a⋅-b-b2-4ac2a=(-b)2-b2-4ac4a2=c a.因此, 方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系:x1+x2=-b a,x1x2=c a.这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理.课堂笔记反过来, 如果x 1,x 2满足x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca, 那么x 1,x 2一定是方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两个根, 这就是韦达定理的逆定理.特别地,①如果方程x 2+px +q =0的两个根是x 1,x 2, 那么x 1+x 2=-p ,x 1x 2=q ;②以两个数x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-x 1+x 2 x +x 1x 2=0【例1】根据一元二次方程根与系数的关系, 求下列方程两根的和与积:①x 2-5x -8=0;②3x 2=1-6x ;③2x 2-43x -22=0. 化成一元二次方程的一般形式ax 2+bx +c =0(a≠0), 直接应用韦达定理x 1+x 2=-b a ,x 1x 2=ca 来求.【解】①x 1+x 2=-(-5)=5,x 1x 2=-8.②方程化为3x 2+6x -1=0, 则x 1+x 2=-2,x 1x 2=-13.③x 1+x 2=--432=26,x 1x 2=-222=-2.【例2】已知方程5x 2+2x -15=0, 求:①两根的倒数和;②两根的平方和.【分析】本题可以先求出方程的根, 但是计算较繁. 根据韦达定理, 将代数式变形成念有x 1+x 2和x 1x 2形式的式子, 可以筒化运算.【解】设方程的两根为x 1,x 2, 根据韦达定理, 有x 1+x 2=-25,x 1x 2=-3.①1x 1+1x 2=x 1+x 2x 2x 2=-25-3=215.②x 21+x 22=x 1+x 2 2-2x 1x 2=-252-2×(-3)=15425.【例3】当k 取何值时, 关于x 的方程3x 2-2(3k +1)x +3k 2-1=0, ①有一根为零;②有两个互为相反数的实根;(3)两根互为倒数.【解】要使方程有根, 必须Δ=[-2(3k +1)]2-4×33k 2-1 ≥0, 解得k ≥-23.①若方程有一根为零, 则x 1x 2=0. x 1x 2=3k 2-13=0, 解得k =±33.课堂笔记因为±33>-23, 所以当k=±33时, 方程有一个根为零.②若方程有两个互为相反数的实根, 则x1+x2=0. x1+x2=23(3k+1)=0, 解得k=-13, 因为-13>-23, 所以当k=-13时, 方程有两个互为相反数的实数根.③若方程两根互为倒数, 则x1x2=1. x1x2=3k2-13=1, 解得k=±233.因为233>-23, 而-233<-23, 所以当k=233时, 方程的两实根互为倒数.【例4】写出一个二元二次方程, 使它的两个根为-5和23.【分析】方程的根是由它的系数决定的, 给出根与系数的关系可以构造出一元二次方程, 但得到的一元二次方程不唯一, 不过它们各次项的系数对应成比例. 为了方便, 一般设所求的方程为x2+px+q=0.【解】设所求的方程为x2+px+q=0, 由根与系数的关系可知-5+23=-p, -5×23=q, 得p=133,q=-103.因此, 一元二次方程为x2+133x-103=0, 即3x2+13x-10=0.1.设x1,x2是方程2x2-6x+3=0的两根, 则x21+x22的值是().A.15.B.6.C.12.D.3 .2.以方程x2+2x-3=0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是().A.y2+5y-6=0.B.y2+5y+6=0.C.y2-5y+6=0.D.y2-5y-6=0.3.若m,n是方程x2+2x-2002=0的两实数根, 代数式3m+mn+3n的值是().A. -2008.B. -1996.D. 1996 .C. 2008 .课堂笔记4.若关于x 的方程m 2-2 x 2-(m -2)x +1=0的两实根互为倒数, 则m 的值是5.以方程x 2-3x -1=0的两个根的平方为根的一元二次方程是6.设x 1,x 2是方程2x 2+4x -3=0的两个根, 利用根与系数的关系求下列各式的值:①x 1+1 x 2+1 ;②x 1x 2+x 2x 1;③x 1-x 27.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0, 两根之比为3:5, 求证:64ac =15b 2.8.已知关于x 的一元二次方程2x 2+ax -2a +1=0, 两个实根的平方和为294, 求a 的值.§3.4可化为一元二次方程的分式方程我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法. 本节学习可化为一元二次方程的分式方程的解法.【例1】解方程4x -1x -1=1.【分析】解分式方程, 首先要找这个分式方程的最简公分母, 然后方程两边同乘以最简公分母, 约去分母, 使分式方程化为整式方程.【解】方程的两边同乘最简公分母x (x -1), 得4(x -1)-x =x (x -1).整理, 得x 2-4x +4=0.解得x 1=x 2=2.检验：当x =2时, x (x -1)=2(2-1)=2≠0.所以原方程的根是x =2.验根的一般方法是:把整式方程的根代人最简公分母, 看结果是不是零, 使最简公分母为零的根是增根, 必须舍去.为什么要检验呢?根据方程同解原理:方程两边都乘以不等于零的同一个数, 所得方程与原方程同解. 而我们在解分式方程时, 方程两边同乘以最简公分母, 它是一个整式, 当这个整式为零时, 就不符合方程的同解原理要求, 所得整式方程的根就不一定是原方程的根, 因此解分式方程必须验根.课堂笔记【例2】解方程1x+2-4x-5x2-x-6=1.【分析】将分式方程的分母进行因式分解, 从而确定出最简公分母是(x+2)(x -3).【解】方程两边同乘最简公分母(x+2)(x-3), 得x-3-(4x-5)=x2-x-6整理, 得x2+2x-8=0.解得x1=-4,x2=2.检验:当x=-4或x=2时, (x+2)(x-3)≠0.所以原方程的根是x1=-4,x2=2.课堂笔记【例3】解方程8x 2+2x x 2-1+3x 2-1x 2+2x=11.【分析】按一般解法, 应先去分母, 整理后为一元四次方程, 结果较繁. 观察方程, 左边的两个分式x 2+2x x 2-1和x 2-1x 2+2x 互为倒数, 可以通过“换元”, 将方程化简.【解】设x 2+2x x 2-1=y , 则x 2-1x 2+2x=1y , 于是原方程变形为8y +3y =11.方程两边同乘y , 得8y 2-11y +3=0解得y 1=1,y 2=38.经检验, y 1=1,y 2=38都是方程8y +3y=11的根.当y =1时, x 2+2xx 2-1=1, 去分母, 整理, 得x 2+2x =x 2-1.解得x 1=-12.当y =38时, x 2+2x x 2-1=38, 去分母, 整理, 得5x 2+16x +3=0.解得x 2=-3,x 3=-15.检验:把x =-12,x =-3,x =-15分别代人原方程的分母, 各分母都不为零.所以, 原方程的根是x 1=-12,x 2=-3,x 3=-15.习题3.41解下列方程:(1)2x -12x -1=1;(2)2x 2-6xx -3=x +5.2. 解下列方程:(1)x -1x 2-2x -1x =x x -2;(2)24x 2-4x -3-14x 2-8x +3-2x -51-4x 2=0.课堂笔记3.解下列方程:(1)xx+12+5x x+1+6=0;(2)x2-3x+3xx2-3=132.§3.5简单的根式方程像2x2-7x=x-2,3x-5-x+2=1,x+1-2x+1=3这类根号内含有末知数, 且根指数为2的方程, 叫做二次根式方程.二次根式方程可以通过把方程的两边平方, 化为整式(或分式)方程来解. 不过变形有可能产生增根. 因此, 解二次根式方程时, 必须把变形所得整式(或分式)方程的根, 代人原方程进行检验.【例1】解方程2x2-7x=x-2.【分析】通过两边平方化为整式方程.【解】两边平方, 得2x2-7x=x2-4x+4整理, 得x2-3x-4=0.解得x1=4,x2=-1.检验:把x=4代人原方程, 左边=2×42-7×4=2, 右边=4-2=2, 所以x= 4是原方程的根;把x=-1代人原方程, 右边=-3, 而左边的算术平方根不可能是负数, x=-1是增根.原方程的根是x=4.【例2】解方程3x-5-x+2=1.【分析】方程左边有两个二次根式, 如果直接平方, 结果较繁. 一般把其中一个根式移到方程的右边, 使方程左右两边各含有一个根式.【解】移项，得3x-5=x+2+1.两边平方, 得3x-5=1+2x+2+x+2.化简, 得x-4=x+2.两边再平方并整理, 得x2-9x+14=0.解得x1=2,x2=7.课堂笔记经检验, x =2是增根;x =7是原方程的根.【例3】解方程x 2+8x +x 2+8x =12.【分析】x 2+8x 是x 2+8x 的算术平方根, 如果直接平方, 结果很繁. 若设x 2+8x =y , 则原方程就转化为关于y 的一元二次方程.【解】设x 2+8x =y , 那么x 2+8x =y 2, 原方程就变形为y 2+y -12=0.解得y 1=-4,y 2=3.当y =-4时, x 2+8x =-4无解.当y =3时, x 2+8x =3, 解得x 1=-9,x 2=1.经检验, 原方程的根为x 1=-9,x 2=1.习题3.51.解下列方程:(1)2x -2x +1=5；(2)x +x -3=3.2.解下列方程:(1)2x -5-x -3=1；(2)5x +4-x +3=1.1解下列方程:(1)x -1x +2-52=-x +2x -1；(2)x 2+x -x 2+x -2-4=0.§3.6简单的二元二次方程组像x 2+y 2=1,x 2-2y 2+x +3y -10这类含有两个末知数, 并且含有末知数的项的最高次数是2的整式方程, 叫做二元二次方程. 由含有相同的两个末知数的两个二元二次方程, 或一个二元二次方程和一个二元一次方程, 组成的方程组叫做二元二次方程组.解二元二次方程组就是求方程组中两个方程的公共解. 解二元二次方程组的基本思想是消元和降次, 消元就是把二元化为一元, 降次就是把二次降为一次, 其目的是把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程来解.本节内容主要解决简单的二元二次方程组问题.【例1】解方程组课堂笔记x2+y2=1------1x+y-1=0----(2【解】由方程(2), 得y=1-x(3)把方程(3)代人方程(1), 得x2+(1-x)2=1.整理, 得x2-x=0.解得x1=0,x2=1把x=0代人方程(3), 得y=1;把x=1代人方程(3), 得y=0.原方程组的解是x1=0,y1=1;x2=1,y2=0.【注】解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组, 其解法是先由二元一次方程出发, 用含一个末知数的式子表示另一个末知数, 再把这个式子代人二元二次方程, 达到消元的目的, 转化为一元二次方程求解.【例2】解方程组x2+2xy+y2=1,x2+4y2=8【分析】方程(1)变形为(x+y)2=1, 把它化为两个二元一次方程x+y+1=0和x+y-1=0, 分别与方程(2)组成方程组x+y+1=0,x2+4y2=8,x+y-1=0,x2+4y2=8;x2+4y2=8两个方程组即可.【解】由方程(1)得x+y+1=0,x+y-1=0.原方程组变形为x+y+1=0,x2+4y2=8;x+y-1=0,x2+4y2=8.分别解这两个方程组, 得原方程的解为x1=-2,y1=1;x2=25,y2=-75;x3=2,y3=-1;x4=-25,y4=75.【注】由两个二元二次方程组成的方程组, 如果能把其中一个二元二次方程分解为两个二元一次方程, 就可以转化为由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成方程组的形式.。

初高中衔接试题推荐及答案

初高中衔接试题推荐及答案【试题一：数学】题目：已知函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，求f(x)的顶点坐标。

答案：首先，我们可以将函数f(x)写成顶点形式，即f(x) = a(x - h)^2 + k。

对于给定的二次函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1，我们可以通过完成平方来找到顶点。

完成平方后，我们得到f(x) = 2(x - 3/4)^2 - 1/8。

因此，顶点的坐标为(h, k) = (3/4, -1/8)。

【试题二：英语】题目：根据所给的中文句子，翻译成英文。

中文句子：春天是播种的季节，也是万物复苏的开始。

答案：Spring is the season for sowing, and it is also the beginning of the revival of all things.【试题三：物理】题目：一个物体从静止开始以恒定加速度运动，经过4秒后，其速度达到16m/s。

求物体的加速度大小。

答案：根据匀加速直线运动的速度公式，v = u + at，其中v是最终速度，u是初始速度，a是加速度，t是时间。

已知u = 0（物体从静止开始），v = 16m/s，t = 4s，代入公式解得a = (16 - 0) / 4 = 4m/s²。

【试题四：化学】题目：下列哪种化合物不是酸？A. HClB. H2SO4C. HNO3D. NaOH答案：D. NaOH。

NaOH是氢氧化钠，属于碱，不是酸。

其他选项A、B、C都是酸。

【试题五：生物】题目：细胞分裂过程中，染色体数量的变化规律是什么？答案：在细胞分裂过程中，染色体数量的变化规律是：在有丝分裂的间期，染色体复制，形成姐妹染色单体，但染色体数量不变。

在有丝分裂的后期，姐妹染色单体分离，染色体数量加倍。

在有丝分裂的末期，细胞分裂成两个子细胞，每个子细胞的染色体数量与母细胞相同。

结束语：以上是初高中衔接试题推荐及答案，希望能够帮助学生更好地过渡到高中学习阶段，掌握必要的知识点和解题技巧。

初中升高中衔接数学试卷

1. 若实数a，b满足a+b=2，ab=1，则a²+b²的值为：A. 3B. 2C. 4D. 52. 下列各式中，正确的是：A. sin²45°+cos²45°=2B. sin²30°+cos²30°=1C. tan60°=√3D. cot60°=√33. 已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，则∠B的度数为：A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°4. 下列函数中，在定义域内单调递增的是：A. y=x²B. y=2xC. y=2-xD. y=√x5. 若方程2x²-5x+3=0的两根为x₁和x₂，则x₁+x₂的值为：A. 5B. 3C. 2D. 1二、填空题（每题5分，共25分）6. 在直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点为______。

7. 已知等边三角形ABC的边长为a，则其面积S为______。

8. 函数y=3x-2的图象经过点______。

9. 若∠A=30°，∠B=60°，则∠C=______。

10. 若二次方程x²-4x+3=0的两根为x₁和x₂，则x₁·x₂的值为______。

11. （本题共15分）已知等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=50°，求∠B和∠C 的度数。

12. （本题共15分）已知函数y=2x+1，求函数的图象与x轴、y轴的交点坐标。

13. （本题共15分）若方程2x²-3x-2=0的两根为x₁和x₂，求x₁²+x₂²的值。

四、应用题（每题15分，共30分）14. （本题共15分）某工厂生产一批产品，前5天每天生产40件，后5天每天生产50件。

求这10天内平均每天生产多少件产品？15. （本题共15分）一辆汽车从甲地出发，以60千米/小时的速度匀速行驶，行驶了3小时后到达乙地。

初高中衔接数学试题及答案

初高中衔接数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333（无限循环）B. πC. √2D. 1/32. 函数y = 2x^2 + 3x + 1的顶点坐标是：A. (-3/4, -1)B. (-1/2, -1)C. (-1, 0)D. (0, 1)3. 已知a + b = 5，a - b = 3，求a^2 + b^2的值。

A. 13B. 14C. 15D. 164. 一个圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，求斜边长。

A. 5B. 6C. 7D. 86. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 37. 一个数列的前三项为2, 4, 6，这是一个：A. 等差数列B. 等比数列C. 几何数列D. 既不是等差也不是等比数列8. 已知x + y = 7，2x - y = 1，求x和y的值。

A. x = 2, y = 5B. x = 3, y = 4C. x = 4, y = 3D. x = 5, y = 29. 一个长方体的长、宽、高分别为2, 3, 4，求其体积。

A. 24B. 26C. 28D. 3010. 下列哪个是正弦函数的图像？A. 直线B. 抛物线C. 正弦曲线D. 余弦曲线二、填空题（每题2分，共20分）11. 一个数的平方根是4，这个数是________。

12. 圆的周长公式是________。

13. 一个数的绝对值是其本身，这个数是________。

14. 一个二次方程的一般形式是________。

15. 等差数列的通项公式是________。

16. 函数y = 3x + 2的斜率是________。

17. 一个直角三角形的斜边长是13，一个直角边长是5，另一个直角边长是________。

18. 一个数的立方根是2，这个数是________。

初升高数学衔接试题及答案

初升高数学衔接试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. -3B. πC. √2D. i2. 已知函数f(x) = 2x^2 - 5x + 7，求f(1)的值。

A. 4B. 3C. 2D. 13. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是：A. 5B. 6C. 7D. 84. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 1B. -1C. 0D. 1或-15. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = 1/26. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π7. 如果一个数列的前三项是1, 3, 6，那么第四项是：A. 8B. 9C. 10D. 128. 一个函数的图象是直线y = 3x + 2，那么它的斜率是：A. 2B. 3C. 4D. 59. 对于方程x^2 - 5x + 6 = 0，判别式的值是：A. 1B. 4C. 9D. 2510. 一个抛物线方程y = x^2 + 2x - 3的顶点坐标是：A. (-1, -4)B. (-2, -5)C. (1, -4)D. (1, -2)二、填空题（每题4分，共20分）11. 一个数的相反数是-5，那么这个数是______。

12. 如果一个三角形的内角和为180°，那么一个直角三角形的两个锐角的和是______。

13. 一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式是b^2 - 4ac，当a = 1，b = -3，c = 2时，判别式的值是______。

14. 如果一个数列的通项公式是an = n^2 - 4n + 5，那么第5项a5是______。

15. 一个圆的周长是C，半径是r，那么C = ______。

三、解答题（每题10分，共50分）16. 解方程：2x^2 - 7x + 3 = 0。

17. 证明：对于任意实数x，(x - 1)^2 + 3 ≥ 2。

初升高衔接题带答案的

初升高衔接题带答案的【数学部分】一、选择题1. 若a，b，c是三角形的三边，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么这个三角形是：A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 钝角三角形答案：B2. 函数y = 2x - 3的图象不经过哪个象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限答案：B二、填空题1. 若x^2 - 5x + 6 = 0的解为x1和x2，那么x1 * x2 = _______。

答案：62. 一个圆的半径为r，那么它的面积S可以表示为：S = _______。

答案：πr^2三、解答题1. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求这个数列的前10项的和。

答案：首先，根据等差数列的求和公式，Sn = n/2 * (a1 + an)。

由于an = a1 + (n-1) * d，所以an = 3 + (10-1) * 2 = 19。

那么Sn = 10/2 * (3 + 19) = 5 * 22 = 110。

【语文部分】一、选择题1. 下列词语中，书写正确的是：A. 恣意妄为B. 孜孜不倦C. 恣意妄为（错误选项）D. 孜孜不倦（错误选项）答案：A2. “不以物喜，不以己悲”出自以下哪部古典文学作品？A. 《论语》B. 《孟子》C. 《庄子》D. 《道德经》答案：B二、填空题1. 请填写以下诗句的上一句：“_______，独怆然而涕下。

”答案：念天地之悠悠2. “出淤泥而不染，濯清涟而不妖”是形容哪种植物？答案：莲花三、解答题1. 请简述《红楼梦》中林黛玉的性格特点。

答案：林黛玉性格多愁善感，才情出众，但同时也有着敏感和脆弱的一面。

她对爱情忠贞不渝，但命运多舛，最终悲剧收场。

【英语部分】一、选择题1. The teacher asked the students to _______ their homework on time.A. hand inB. hand outC. hand upD. hand down答案：A2. Which of the following is NOT a type of fruit?A. AppleB. BananaC. OrangeD. Potato答案：D二、填空题1. He is _______ (诚实的) and always tells the truth.答案：honest2. The _______ (首都) of China is Beijing.答案：capital三、解答题1. Translate the following sent ence into English: “这个周末我打算去图书馆借几本书。

2024年新高一数学初升高衔接《一元二次函数、方程和不等式》含答案解析

第二章：一元二次函数、方程和不等式综合检测卷（试卷满分150分，考试用时120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（23-24高一下·河南开封·期中）不等式220x x +-<的解集为（）A ．{21}x x -<<∣B ．{12}x x -<<∣C ．{2xx <-∣或1}x >D ．{1x x <-∣或2}x >2．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）若2x >-，则12y x x =++的最小值为（）A ．-2B ．0C ．1D ．123．（23-24高一上·广东珠海·期中）已知25P a =+，41Q a =+，则P ，Q 的大小关系是（）A ．P Q<B ．P Q>C ．P Q≤D ．P Q≥4．（23-24高一上·江苏盐城·月考）已知实数x ，y 满足41x y -≤-≤-，145x y -≤-≤，则9x y -的取值范围是（）A ．[7,26]-B ．[1,20]-C ．[]4,15D ．[]1,155．（23-24高一上·湖南衡阳·月考）已知不等式230ax x b +->的解集为{}12x x -<<，则a 、b 的值等于（）A ．3a =，6b =-B ．3a =，6b =C ．3a =-，6b =-D ．3a =-，6b =6．（23-24高一上·贵州黔南·月考）已知,0x y >且41x y +=，则11x y +的最小值为（）A ．B ．8C ．9D ．107．（23-24高一下·河南·月考）若命题“x ∃∈R ，20x ax a --≤”为假命题，则实数a 的取值范围是（）A ．(,4][0,)-∞-+∞B ．(,4)(0,)∞∞--⋃+C ．[]4,0-D ．()4,0-8．（23-24高一上·广东广州·月考）一家金店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店内购买20g 黄金，店员先将10g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中，使天平平衡；再将10g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中，使得天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．记顾客实际购得的黄金为xg ，则x 与20的大小关系为（）A ．20x <B ．20x >C ．20x =D ．无法确定二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．（23-24高一上·江苏苏州·月考）若0a b <<，则下列结论正确的是（）A ．11a b>B ．01a b<<C ．2ab b >D ．b a a b>10．（22-23高一上·山西大同·月考）下列结论正确的是（）A ．当0x >时，2≥B ．当2x >时，1x x+的最小值是2C ．当0,0x y >>时，2x y y x+≥D ．当2x <时，112y x x =-+-的最小值为311．（23-24高一上·湖北武汉·月考）已知01b a <<+，若关于x 的不等式22()()x b ax ->的解集中的整数恰有3个，则a 的值可以为（）A ．12-B ．12C ．32D ．52三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．（23-24高一上·河北沧州·期末）不等式302x x+≥-的解集为．13．（23-24高一上·江苏连云港·月考）已知方程22240x ax a -+-=的一个实根小于2，另一个实根大于2，求实数a 的取值范围.14．（23-24高一上·山东菏泽·月考）若两个正实数x y ，满足3x y +=，且不等式4161m x y+>+恒成立，则实数m 的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分。

初中衔接高中数学试卷题型

一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则函数的图像是（）A. 开口向上的抛物线B. 开口向下的抛物线C. 直线D. 双曲线2. 若a、b、c为等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为（）A. 2B. 4C. 6D. 83. 已知正方体的对角线长为3，则该正方体的体积为（）A. 3B. 6C. 9D. 274. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则∠C的大小为（）A. 75°B. 105°C. 120°D. 135°5. 若一个数的平方根是-3，则该数是（）A. 9B. -9C. 6D. -6二、填空题（每题5分，共20分）1. 若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b的值为______。

2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(2)的值为______。

3. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，则sinC的值为______。

4. 正方体的对角线长为3，则该正方体的表面积为______。

5. 若一个数的平方根是-3，则该数的立方根是______。

三、解答题（每题15分，共45分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求函数的最小值。

2. 已知等差数列{an}，若a1 = 2，公差d = 3，求前10项的和。

3. 在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，∠C = 105°，求△ABC的周长。

4. 已知正方体的对角线长为3，求该正方体的体积和表面积。

四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明：若a、b、c是等差数列，且a + b + c = 12，a + c = 8，则b = 2。

2. 证明：在△ABC中，若∠A = 30°，∠B = 45°，∠C = 105°，则sinA +sinB + sinC = 1。