一元二次不等式基础练习题
一元二次不等式练习题含答案
一元二次不等式练习题含答案Last revision on 21 December 2020一元二次不等式练习一、选择题1．设集合S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |－7<x <－5}B ．{x |3<x <5}C ．{x |－5<x <3}D ．{x |－7<x <5}2．已知函数y ＝ax 2＋2x ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a ≥13C ．a ≤13D ．0<a ≤133．不等式x ＋1x －2≥0的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥2} B ．{x |x ≤－1或x >2}C ．{x |－1≤x ≤2}D ．{x |－1≤x <2}4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－2<x <－14，则a ，b 的值分别是( ) A ．a ＝－8，b ＝－10 B ．a ＝－1，b ＝9C ．a ＝－4，b ＝－9D ．a ＝－1，b ＝25．不等式x (x －a ＋1)>a 的解集是{}x |x <－1或x >a ，则( )A ．a ≥1B ．a <－1C ．a >－1D ．a ∈R6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集为{}x |－3<x <1，则函数y ＝f (－x )的图象为( )7．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)二、填空题8．若不等式2x 2－3x ＋a <0的解集为(m,1)，则实数m 的值为________．9．若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式ax ＋b x －2>0的解集是________．10．若关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，则实数a 的取值范围是________．三、解答题11．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0)．.12．设函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围；(2)若对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．答案1.【解析】 ∵S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |－7<x <3}，∴S ∩T ＝{x |－5<x <3}．【答案】 C2.【解析】 函数定义域满足ax 2＋2x ＋3≥0，若其解集为R ，则应⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，4－12a ≤0，∴a ≥13. 【答案】 B3.【解析】 x ＋1x －2≥0⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1x －2≥0，x －2≠0x >2或x ≤－1. 【答案】 B4.【解析】 依题意，方程ax 2＋bx －2＝0的两根为－2，－14， ∴⎩⎨⎧ －2－14＝－b a ，12＝－2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－9. 【答案】 C5.【解析】 x (x －a ＋1)>a (x ＋1)(x －a )>0，∵解集为{}x |x <－1或x >a ，∴a >－1.【答案】 C .6. 【解析】 由题意可知，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，其图象为开口向下的抛物线，与x 轴的交点是(－3,0)，(1,0)，又y ＝f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，故只有B 符合．7.【解析】 ∵a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，∴x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2，原不等式化为x 2＋x －2<0－2<x <1.【答案】 B8. 【解析】 ∵方程2x 2－3x ＋a ＝0的两根为m,1，∴⎩⎨⎧ m ＋1＝32，1·m ＝a 2，∴m ＝12. 【答案】 12 9.【解析】 由于ax >b 的解集为(1，＋∞)，故有a >0且b a ＝1.又ax ＋b x －2>0(ax ＋b )(x －2)＝a (x ＋1)(x －2)>0(x ＋1)(x －2)>0，即x <－1或x >2.【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞)10.【解析】 方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0化为：4＋a ＝－9x ＋43x ＝－⎝⎛⎭⎫3x ＋43x ≤－4， 当且仅当3x ＝2时取“＝”，∴a ≤－8.【答案】 (－∞，－8]11.【解析】 原不等式化为ax 2＋(a －2)x －2≥0(x ＋1)(ax －2)≥0.①若－2<a <0，2a <－1，则2a≤x ≤－1； ②若a ＝－2，则x ＝－1；③若a <－2，则－1≤x ≤2a. 综上所述，当－2<a <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 12.【解析】 (1)要使mx 2－mx －1<0，x ∈R 恒成立．若m ＝0，－1<0，显然成立；若m ≠0，则应⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ＝m 2＋4m <0－4<m <0. 综上得，－4<m ≤0.(2)∵x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立， 即mx 2－mx －1<－m ＋5恒成立； 即m (x 2－x ＋1)<6恒成立，而x 2－x ＋1>0，∴m <6x 2－x ＋1. ∵6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34， ∴当x ∈[1,3]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1min ＝67， ∴m 的取值范围是m <67.。
专题复习 一元二次不等式及其解法练习(含答案)
一元二次不等式及其解法练习题一、选择题1．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x ≤0或1≤x <32 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12<x <32 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－12或x ≥32 2．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合是( )A ．{a |0<a <4}B ．{a |0≤a <4}C ．{a |0<a ≤4}D ．{a |0≤a ≤4}3．一元二次不等式ax 2＋bx ＋1＞0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1＜x ＜13，则ab 的值为( )A ．－6B ．6C ．－5D ．54．若关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞) D.⎝⎛⎭⎫－∞，－235 5．对任意实数x ，不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[0，＋∞)B ．(2，＋∞)C.⎝⎛⎭⎫－∞，－23 D ．(2，＋∞)∪⎝⎛⎭⎫－∞，－236．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12二、填空题7．已知x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，则k 的取值范围是________．8．若函数f (x )＝(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3的图象恒在x 轴上方，则a 的取值范围是________.三、解答题9．(1)求函数f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域；(2)若不等式x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，求实数k 的取值范围．10.m 为何值时，方程mx 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0满足下列条件： (1)没有实数解； (2)有实数解；(3)有两个不相等的实数解.11．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2≤0，a ∈R .参考答案与解析1． 【解析】选A.不等式可化为⎩⎨⎧4x （x －1）≥04x 2－4x －3<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32⇒－12<x ≤0或1≤x <32.2．【解析】选D.若a ＝0时符合题意．当a >0时，相应二次方程中的Δ＝a 2－4a ≤0，得{a |0<a ≤4}，综上得{a |0≤a ≤4}，故选D.3．【解析】选B.由已知得ax 2＋bx ＋1＝0的两个根为－1，13所以⎩⎨⎧－1＋13＝－b a ，－1×13＝1a ，解得⎩⎨⎧a ＝－3b ＝－2，所以ab ＝6.4．【解析】选A.根据题意，由于关于x 的不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解，可知a ＞－x 2＋2x ＝－x ＋2x 在[1，5]上有解，又由于函数y ＝－x ＋2x 在区间[1，5]上是减函数，故只需a 大于函数的最小值即可，又y ＝－x ＋2x ≥－5＋25＝－235，故a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－235，＋∞，故选A.5．【解析】选C.不等式2x ＋2x 2＋x ＋1＞k 等价于2x ＋2＞k (x 2＋x ＋1)，kx 2＋(k －2)x ＋(k－2)＜0对任意x ∈R 均成立；注意到k ＝0时该不等式不恒成立，于是有⎩⎨⎧k ＜0，Δ＝（k －2）2－4k （k －2）＜0，由此解得k ＜－23，因此k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－23.6．【解析】选C.因为(x －a )⊗(x ＋a )＜1，所以(x －a )(1－x －a )＜1，即x 2－x －a 2＋a ＋1＞0.因为此不等式对任意实数x 成立，则有1－4(－a 2＋a ＋1)＜0.所以－12＜a ＜32.故选C.7．【解析】x ＝1是不等式k 2x 2－6kx ＋8≥0的解，把x ＝1代入不等式得k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.【答案】k ≥4或k ≤28．【解析】函数图象恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3＞0对一切x ∈R 恒成立．①当a 2＋4a －5＝0，即a ＝－5或a ＝1时，由a ＝－5，不等式化为24x ＋3＞0，不满足题意；由a ＝1，不等式化为3＞0，满足题意．②当a 2＋4a －5≠0时，由题意可得⎩⎨⎧a 2＋4a －5＞0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）＜0， 解得1＜a ＜19.综合①②，a 的取值范围是1≤a ＜19.9．【解】(1)由－x 2＋2x ＋3＞0，得x 2－2x －3＜0， 即(x －3)(x ＋1)＜0，所以－1＜x ＜3，所以f (x )＝log 2(－x 2＋2x ＋3)的定义域为(－1，3)．(2)法一：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，则Δ＝(－2)2－4(k 2－1)≤0⇒k 2≥2⇒k ≥2或k ≤－ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．法二：若x 2－2x ＋k 2－1≥0对一切实数x 恒成立，即k 2≥－x 2＋2x ＋1对一切实数x 恒成立．因为－x 2＋2x ＋1＝－(x －1)2＋2≤2， 所以当k 2≥2时，x 2－2x ＋k 2－1≥0恒成立， 所以k ≤－2或k ≥ 2.即实数k 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．10．【解】当m ＝0时，原方程可化为x ＝0；当m ≠0时，Δ＝[－(2m ＋1)]2－4m 2＝4m ＋1＜0，即m ＜－14时，原方程没有实数解；由Δ＝4m ＋1＞0，得m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数根；Δ≥0时原方程有实数解．此时m ≥－14且m ≠0.综上，(1)当m ＜－14时，原方程没有实数解． (2)当m ≥－14时，原方程有实数解．(3)当m ＞－14且m ≠0时，原方程有两个不相等的实数解． 11．【解】原不等式可以变形为(ax －1)(x －2)≤0.(1)当a ＝0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为－(x －2)≤0，所以x ≥2. (2)当a ＜0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≥0.所以x ≤1a或x ≥2.(3)当a ＞0时，(ax －1)(x －2)≤0可化为(x －1a )(x －2)≤0，对应方程的两个根分别为1a 和2，①当1a ＞2，即0＜a ＜12时，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≤0⇒2≤x ≤1a ；②当1a ＝2，即a ＝12时，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≤0⇒(x －2)2≤0，所以x ＝2；③当0＜1a ＜2，即a ＞12时，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －2)≤0⇒1a ≤x ≤2.综上所述，当a ＜0时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≤1a 或x ≥2；当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ≥2}；当0＜a ＜12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2≤x ≤1a ；当a ＝12时，原不等式的解集为{x |x ＝2}；当a ＞12时，原不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a ≤x ≤2.。
一元二次不等式30道题
一元二次不等式30道题一、简单形式（x²项系数为1）1. 解不等式。
就看这个二次式，啥时候比0还大呢？2. 求不等式的解集。
这个式子有点小复杂，不过咱肯定能搞定它。
3. 解不等式。
这个不等式像个小谜题，等我们解开它。
4. 求的解。
这就像在找让这个式子快乐的取值范围。
5. 解不等式。
看看x取啥值能让这个式子乖乖小于0。
6. 求不等式的解集。
这就像探索一个数字的小秘密。
7. 解不等式。
这个二次式在啥情况下比0大呢？8. 求的解。
要找到那些让式子变小的x值。
9. 解不等式。
让我们把这个不等式的解集找出来。
10. 求不等式的解集。
看看哪些x能让这个式子兴高采烈地大于0。
二、x²项系数不为111. 解不等式。
这个2倍的二次式有点调皮，看看啥时候它比0大。
12. 求不等式的解集。
这3倍的二次式看起来有点难搞，不过别怕。
13. 解不等式。
负的二次式也来凑热闹了，找到它的解集哦。
14. 求的解。
这个4倍的二次式在等我们去发现它大于0的时候。
15. 解不等式。
负2倍的二次式也想考考我们呢。
16. 求不等式的解集。
这个5倍的二次式有点复杂，加油解哦。
17. 解不等式。
负3倍的二次式的不等式，可不容易呢。
18. 求的解。
这个6倍的二次式像个小怪兽，要打败它求出解集。
19. 解不等式。
负4倍的二次式也需要我们去征服。
20. 求不等式的解集。
这个7倍的二次式在召唤我们找到它大于0的x值。
三、带参数的一元二次不等式（参数在二次项系数位置）21. 解不等式（假设）。
这个a在前面捣乱呢，不过我们有办法。
22. 求不等式（假设）。
这个b是负数的不等式，要小心哦。
23. 解不等式（假设）。
当c有具体值的时候，我们来解这个不等式。
24. 求（假设）。
这个有分数参数的不等式也难不倒我们。
25. 解不等式（假设）。
当e是 - 1的时候，这个不等式会变成啥样呢？四、综合类型（带括号或者变形）26. 解不等式。
这个式子有括号，要先打开看看吗？还是有其他妙招？27. 求不等式。
一元二次不等式-习题小练(含答案)
一元二次不等式习题小练1．不等式－x2－x＋2≥0的解集为( )．A．{x|x≤2或x≥1}B．{x|－2＜x＜1}C．{x|－2≤x≤1}D．2．已知集合M＝{x|0≤x＜2}，N＝{x|x2－2x－3＜0}，则M∩N＝( )．A．{x|0≤x＜1}B．{x|0≤x＜2}C．{x|0≤x≤1}D．{x|0≤x≤2}3．若不等式4x2＋(m－1)x＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是( )．A．m＞5或m＜－3B．m≥5或m≤－3C．－3≤m≤5D．－3＜m＜54．函数f(x)lg(x2－5x＋4)的定义域是( )．A．C．[0,4) D．(4，＋∞)5．若不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是(－4,1)，则不等式b(x2－1)＋a(x＋3)＋c＞0的解集为( )．A．413⎛⎫- ⎪⎝⎭，B．(－∞，－1)∪43⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，C．(－1,4)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)6．若关于x的不等式ax2－6x＋a2＜0的解集为(－∞，m)∪(1，＋∞)，则m等于__________．7．若关于x的不等式组2142x ax a⎧->⎨-<⎩，，的解集不是空集，则实数a的取值范围是__________．8．已知()2(0)23(0)x x f x x x x ⎧≥⎪=⎨⎪-+<⎩，，则不等式f (x )＜f (4)的解集为__________．9．解不等式－4＜12-x 2－x －32＜－2. 10．已知函数y R .(1)求a 的取值范围；(2)若函数的最小值为2，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a ＜0.参考答案1. 答案：C 解析：不等式－x 2－x ＋2≥0可化为x 2＋x －2≤0，即(x ＋2)(x －1)≤0，所以－2≤x ≤1，即解集为{x |－2≤x ≤1}.2. 答案：B 解析：由于N ＝{x |x 2－2x －3＜0}＝{x |－1＜x ＜3}，又因为M ＝{x |0≤x ＜2}，所以M ∩N ＝{x |0≤x ＜2}.3. 答案：D 解析：依题意有(m －1)2－16＜0，所以m 2－2m －15＜0，解得－3＜m ＜5. 4. 答案：A 解析：依题意有2230,540,x x x x ⎧-+≥⎨-+>⎩解得03,4 1.x x x ≤≤⎧⎨><⎩或 所以0≤x ＜1，即函数定义域是[0,1).5. 答案：A 解析：由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为(－4,1)知a ＜0，－4和1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴－4＋1＝b a -，－4×1＝c a，即b ＝3a ，c ＝－4a .故所求解的不等式即为3a (x 2－1)＋a (x ＋3)－4a ＞0，即3x 2＋x －4＜0，解得43-＜x ＜1，故选A.6. 答案：－3 解析：由已知可得a ＜0且1和m 是方程ax 2－6x ＋a 2＝0的两根，于是a －6＋a 2＝0，解得a ＝－3，代入得－3x 2－6x ＋9＝0，所以方程另一根为－3，即m ＝－3. 7. 答案：－1＜a ＜3 解析：依题意有2142x a x a ⎧>+⎨<+⎩，，要使不等式组的解集不是空集，应有a 2＋1＜4＋2a ，即a 2－2a －3＜0，解得－1＜a ＜3.8. 答案：{x |x ＜4} 解析：f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )＜2. 当x ≥0时，由22x <，得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2＋3x ＜2，得x ＜1或x ＞2，因此x ＜0.综上，有0≤x ＜4或x ＜0，即x ＜4，故f (x )＜f (4)的解集为{x |x ＜4}. 9. 答案：解：原不等式可化为2＜12x 2＋x ＋32＜4， 所以221342213222x x x x ⎧++<⎪⎪⎨⎪++>⎪⎩，，化简得22250210x x x x ⎧+->⎨+-<⎩，，解得111 1.x x x ⎧<<⎪⎨><⎪⎩，或故不等式的解集是(1，11，1).10. 答案：解：(1)∵函数y =R ，∴ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立.当a ＝0时，1≥0，不等式恒成立；当a ≠0时，则20440a a a >⎧⎨-≤⎩，，解得0＜a ≤1. 综上，0≤a ≤1.，∴y ＝ax 2＋2ax ＋1的最小值为12，因此244142a a a -=，解得12a =， 于是不等式可化为x 2－x －34＜0， 即4x 2－4x －3＜0，解得1322x -<<，故不等式x 2－x －a 2－a ＜0的解集为1322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.。
一元二次不等式 练习题
一元二次不等式练习题
一、基础练习题：
1. 解不等式 2x^2 - 3x - 2 > 0。
2. 解不等式x^2 + 5x + 6 ≤ 0。
3. 解不等式 x^2 - 4x + 3 < 0。
4. 解不等式 x^2 + 2x - 3 > 0。
5. 解不等式 3x^2 - 7x + 2 ≥ 0。
6. 解不等式4x^2 + 3x + 1 ≤ 0。
二、综合练习题：
1. 解不等式 x^2 + 4x - 5 > 0 的解集为何？
2. 解不等式 x^2 - 6x + 9 < 0 的解集为何？
3. 解不等式 x^2 + 3x - 10 ≥ 0 的解集为何？
4. 解不等式 2x^2 - 5x + 3 > 0 的解集为何？
5. 解不等式 3x^2 + 2x - 1 ≤ 0 的解集为何？
6. 解不等式 4x^2 + 4x + 1 < 0 的解集为何？
三、挑战练习题：
1. 解不等式 x^2 - 5x + 6 < 0 的解集为何？
2. 解不等式 x^2 - 9x + 18 > 0 的解集为何？
3. 解不等式 x^2 + 2x - 8 ≥ 0 的解集为何？
4. 解不等式 2x^2 - 3x - 2 ≤ 0 的解集为何？
5. 解不等式 3x^2 + 4x - 4 > 0 的解集为何？
6. 解不等式 4x^2 + 5x - 6 < 0 的解集为何？
请按照题目给出的一元二次不等式练习题进行解答，并在每个练习题后面标明解集。
注意使用合适的数学符号和格式，确保解答的清晰明了。
完整版)一元二次不等式练习题含答案
完整版)一元二次不等式练习题含答案则x＜－1或x≥2；x－2x＜－1或x＞2；1≤x≤2．答案】C4.【解析】由题意可得a<0，且解集为x|－2<x<－4则可列不等式组a（－2）2＋b（－2）－2＞0，即4a－2b－4＞0；a（－42＋b（－42＜0，即16a－4b－2＜0；解得a＝－1，b＝2．答案】D5.【解析】不等式x(x－a＋1)>a可化为x2－ax＋a－1>0，解得xa．当x0，即a>1；当x>a时，a－1<0，即a<1．综上可得a<1或a≥1，故选项为C．答案】C6.【解析】由f(x)>0得a>0，c>0，代入可得f(x)＝ax2＋bx＋c>0，x∈(－3,1)．对x取相反数得f(－x)＝ax2－bx＋c>0，x∈(－1,3)．故函数y＝f(－x)的图象为：y＝ax2＋bx＋c，x∈(－3,1)．答案】略7.【解析】x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2－x－2＜0，解得x∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．答案】C8.【解析】由题意可得2x2－3x＋a＝(2x－m)(x－1)，解得m＝2a＋1，又因为(m,1)在不等式解集内，故1<m<2．答案】1<m<29.【解析】不等式ax－b>0的解集为(1，＋∞)，则a>0，且ax>b，即x＞b/a，代入不等式得x2－(a/b)x＋1>0，解得x ＜2或x＞b/a．综上可得x＜2或x＞b/a＞2，即x＞max{2，b/a}，故填b/a即可．答案】b/a10.【解析】当x＝－1时，方程左边为0，右边为(4＋a)/27>0，故4＋a>0，即a＞－4．当x≠－1时，方程两边同时乘以3x＋4，得27x2＋(4＋a)(3x＋4)＞0，即x2＋(4＋a)/27x＋4/27＞0，故Δ＜0，解得a2＜48，即－2√3<a＜2√3．综上可得－2√3<a≤4，故选项为D．答案】D11.【解析】移项化简得ax2－2x＋a－2≥0，即(x－1)2≤1－a，由于a0，化简得x∈(1－√(1－a)，1＋√(1－a))．答案】x∈(1－√(1－a)，1＋√(1－a))12.【解析】(1)由f(x)<0得x∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，代入函数可得m∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．2)由f(x)<－m＋5得mx2－mx＋m－6＜0，对x∈[1,3]，有m(x－3)(x－1)＞0，故m＞0且x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)．综上可得m∈(0，1)．答案】(1)m∈(－∞，0)∪(1，＋∞)；(2)m∈(0，1)．3.解析：根据题意，可以得到不等式x-2≠0，即x≠2.然后根据x>2或x≤-1可以得到答案为B。
一元二次不等式基础练习
一元二次不等式基础练习1、不等式2654x x +<的解集为（ ）A ．41,,32⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．41,32⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．14,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．14,23⎛⎫- ⎪⎝⎭2、若不等式210x mx ++>的解集为R ，则m 的取值范围是（ ）A ．RB ．()2,2-C ．()(),22,-∞-+∞ D ．[]2,2- 3、设一元二次不等式210ax bx ++>的解集为113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ab 的值是（ ） A ．6- B ．5- C ．6 D ．54、不等式()221200x ax a a --<<的解集是（ ）A ．()3,4a a -B ．()4,3a a -C ．()3,4-D ．()2,6a a5、不等式220ax bx ++>的解集是1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a b -=（ ） A ．14- B ．14 C ．10- D ．106、不等式222693191122x x x x -+++⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的解集是（ ） A ．[]1,10- B ．()[),110,-∞-+∞ C ．R D ．(][),110,-∞-+∞7、不等式()()120x x --≥的解集是（ ） A ．{}12x x ≤≤ B ．{}12x x x ≥≤或 C ．{}12x x << D ．{}12x x x ><或8、不等式()200++<≠ax bx c a 的解集为∅，那么（ ） A ．0a <，0∆>B ．0a <，0∆≤C ．0a >，0∆≤D ．0a >，0∆≥ 9、设()21f x x bx =++，且()()13f f -=，则()0f x >的解集是（ ）A ．()(),13,-∞-+∞B ．RC ．{}1x x ≠D ．{}1x x =10、若01a <<，则不等式()10a x x a ⎛⎫--> ⎪⎝⎭的解是（ ） A ．1a x a << B ．1x a a<< C ．x a <或1x a >D ．1x a <或x a > 11、若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是_____________________________．12、不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x <<，则不等式20ax bx c -+>的解集是________________________．13、已知不等式20x px q ++<的解集是{}32x x -<<，则p q +=________．14、已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a 、b 的值为 . 15、不等式062-2<+k x kx 的解集为R ,则k 的取值范围是________________.16、解下列不等式1. 06522>+-a ax x2. 022≤-+k kx x17、若不等式04)2(2)2(2<--+-x a x a 对R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围.。
(完整版)一元二次不等式练习题(完)
一、一元二次不等式及其解法1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式．2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=∆0>∆ 0=∆0<∆ 二次函数c bx ax y ++=2（0>a ）的图象()002>=++a c bx ax的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax1、把二次项的系数变为正的。
（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正）2、解对应的一元二次方程。
（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根）3、求解一元二次不等式。
（根据一元二次方程的根及不等式的方向）不等式的解法---穿根法一．方法:先因式分解,再使用穿根法.注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式(1) (x+4)(x+5)2(2-x)3<0 (2)x 2-4x+13x 2-7x+2≤1解:(1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}.2-4-5(2)变形为(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)≥0根据穿根法如图不等式解集为 {x |x< 1 3 或 12≤x ≤1或x>2}.巩固练习一、解下列一元二次不等式：1、0652>++x x2、0652≤--x x3、01272<++x x4、0672≥+-x x5、0122<--x x6、0122>-+x x7、01282≥+-x x 8、01242<--x x 9、012532>-+x x10、0121632>-+x x 11、0123732>+-x x 12、071522≤++x x13、0121122≥++x x 14、10732>-x x 15、05622<-+-x x16、02033102≤+-x x 17、0542<+-x x 18、0442>-+-x x19、2230x x --+≥ 20、0262≤+--x x 21、0532>+-x x22、02732<+-x x 23、0162≤-+x x 24、03442>-+x x25、061122<++x x 26、041132>+--x x 27、042≤-x28、031452≤-+x x 29、0127122>-+x x 30、0211122≥--x x31、03282>--x x 32、031082≥-+x x 33、041542<--x x34、02122>--x x 35、021842>-+x x 36、05842<--x x37、0121752≤-+x x 38、0611102>--x x 39、038162>--x x40、038162<-+x x 41、0127102≥--x x 42、02102>-+x x43、0242942≤--x x 44、0182142>--x x 45、08692>-+x x46、0316122>-+x x 47、0942<-x 48、0320122>+-x x49、0142562≤++x x 50、0941202≤+-x x 51、(2)(3)6x x +-<二填空题1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ；2．不等式2654x x +<的解集为____________.3、不等式2310x x -++>的解集是 ；4、不等式2210x x -+≤的解集是 ；5、不等式245x x -<的解集是 ； 9、已知集合2{|4}M x x =<，2{|230}N x x x =--<，则集合MN = ；10、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ；11、不等式9)12(2≤-x 的解集为___________________________。
一元二次不等式经典练习及答案详解
[基础巩固]1．不等式x －2x －1≥0的解集是( ) A ．{x |x ≥2}B ．{x |x ≤1或x ＞2}C ．{x |x ＜1}D ．{x |x ＜1或x ≥2}解析 原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧(x －2)(x －1)≥0，x －1≠0， ∴x ≥2或x ＜1，故原不等式的解集为{x |x ＜1或x ≥2}．答案 D2．若x 2－2ax ＋2≥0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．－2＜a ≤ 2B ．－2＜a ＜ 2C ．－2≤a ＜ 2D ．－2≤a ≤ 2解析 Δ＝(－2a )2－4×1×2≤0，∴－2≤a ≤ 2.答案 D3．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式为y ＝3000＋20x －0.1x 2(0＜x ＜240，x ∈N )，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台解析 3000＋20x －0.1x 2≤25x ⇔x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≤－200(舍去)或x ≥150. 答案 C4．不等式1x －1≥－1的解集是________． 解析 1x －1≥－1⇔1x －1＋1≥0⇔x x －1≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x (x －1)≥0，x －1≠0， ∴不等式的解集是{x |x ≤0或x ＞1}．答案 {x |x ≤0或x ＞1}5．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．解析 由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m ≤0，解得m ≥43. 答案 m ≥436．某工厂生产商品M ，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件．(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值？(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值？解析 税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即f (P )＝80(80－10P )，税金为80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎪⎨⎪⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6. 故P 的范围为2≤P ≤6.(2)设销售金额为S ，则S ＝80(80－10P )(2≤P ≤6)为减函数，∴当P ＝2时，厂家获得最大的销售金额为4800万元．(3)∵0<P <8，设税收金额为G ，则G ＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税金最高，为128万元．[能力提升]7．(多选)若命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则实数a 可以是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 命题“存在实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4≥0成立”是假命题，则其否定为“∀实数x ，使得(a －2)x 2＋2(a －2)x －4＜0成立”是真命题，当a ＝2时，原不等式化为－4＜0恒成立；当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧a －2＜0Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)＜0， 解得－2＜a ＜2.综上，实数a 的取值范围是－2＜a ≤2.故选B 、C 、D.答案 BCD8．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．{x |15≤x ≤30}B ．{x |12≤x ≤25}C ．{x |10≤x ≤30}D ．{x |20≤x ≤30} 解析 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝40－y 40， ∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.答案 C9．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合为________．解析 (1)当a ＝0时，满足题意．(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ≤0， 解得0<a ≤4.综上可知，a 值的集合为{a |0≤a ≤4}．答案 {a |0≤a ≤4}10．关于x 的方程x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1＝0.(1)m 为何实数时，方程有两正实数根？(2)m 为何实数时，方程有一正实数根、一负实数根？解析 解法一 (1)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝b 2－4ac ＝4(m ＋2)2－4(m 2－1)≥0，x 1＋x 2＝2(m ＋2)>0，x 1x 2＝m 2－1>0，解得－54≤m ＜－1或m >1， 即m 的取值范围是－54≤m ＜－1或m >1. (2)由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，x 1x 2＝m 2－1<0， 解得－1<m <1.所以m 的取值范围是－1<m <1.解法二 (1)设y ＝x 2－2(m ＋2)x ＋m 2－1，因为方程有两正实数根，所以函数图象如图甲所示，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，－b 2a ＝m ＋2>0，m 2－1>0，解得m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m |－54≤m ＜－1，或m >1.甲 乙(2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图乙，由题意知，满足f (0)<0⇒m 的取值范围是{m |－1＜m ＜1}．[探索创新]11．某热带风暴中心B 位于海港城市A 南偏东60°的方向，与A 市相距400 km ，该热带风暴中心B 以40 km/h 的速度向正北方向移动，影响范围的半径是350 km.问：从此时起，经多少时间后A 市将受热带风暴影响，大约受影响多长时间？解析 如图，以A 市为原点，正东方向为x 轴建立直角坐标系．∵AB ＝400，∠BAx ＝30°，∴台风中心B 的坐标为(2003，－200)，x h 后台风中心B 到达点P (2003，40x －200)处．由已知，A 市受台风影响时，有AP ≤350，即(2003)2＋(40x －200)2≤3502，整理得16x 2－160x ＋375≤0，解这个不等式得，3.75≤x ≤6.25，A 市受台风影响的时间为6.25－3.75＝2.5(h)．故在3.75 h 后，A 市会受到台风的影响，时间长达2.5 h.。
一元二次不等式的解法练习题含答案
一元二次不等式的解法练习题（1）1. 不等式−2x 2+x +3≤0的解集是（ ）A. B.{x|x ≤−1或x ≥}C.{x|x ≤−或x ≥1}D.2. 不等式x 2−7x <0的解集是（ ） A.{x|x <−7或x >0} B.{x|x <0或x >7} C.{x|−7<x <0}D.{x|0<x <7}3. 不等式x 2+2x −3≥0的解集是( ) A.{x|x ≥1} B.{x|x ≤−3} C.{x|−3≤x ≤1} D.{x|x ≤−3或x ≥1}4. 不等式x 2−4x −5>0的解集为( )A.{x|x ≥5或x ≤−1}B.{x|x >5或x <−1}C.{x|−1≤x ≤5}D.{x|−1<x <5}5. 不等式2x 2−x −1>0的解集是（ ） A.(−12,1)B.(1,+∞)C.(−∞,1)∪(2,+∞)D.(−∞,−12)∪(1,+∞)6. 不等式组{x 2−2x −3<0log 2x <0 的解集为（ ）A.(−1, 0)B.(−1, 1)C.(0, 1)D.(1, 3)7. 已知集合A ＝{x ∈N|−2<x <4}，B ={x|12≤2x ≤4}，则A ∩B ＝（ ） A.{x|−1≤x ≤2} B.{−1, 0, 1, 2} C.{1, 2} D.{0, 1, 2}8. 下列四个不等式中，解集为⌀的是（）A.−x2+x+1≤0B.2x2−3x+4<0C.x2+6x+9≤0D.9. 已知函数f(x)＝3x2−6x−1，则（）A.函数f(x)有两个不同的零点B.函数f(x)在(−1, +∞)上单调递增C.当a>1时，若f(a x)在x∈[−1, 1]上的最大值为8，则a＝3D.当0<a<1时，若f(a x)在x∈[−1, 1]上的最大值为8，则a=1310. 已知集合A={−1,0,2}, B={2,a2}，若B⊆A，则实数a的值为________.11. 不等式|x−3|<2的解集为________．12. 不等式3x2−6x−5>4的解集为________.13. 已知不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)若不等式的解集为{x|x<−3或x>−2}，求实数k的值________.14. 不等式9−x2>0的解集是________.15. 已知集合A＝{x|x2−3x−10≤0}．(Ⅰ)若B＝{x|m−6≤x≤2m−1}，A⊆B，求实数m的取值范围；(Ⅱ)若B＝{x|m+1≤x≤2m−1}，B⊆A，求实数m的取值范围．16. 已知函数f(x)=ax2+bx−a+2．(1)若关于x的不等式f(x)>0的解集是(−1,3)，求实数a的值；(2)若b=2，a>0，解关于x的不等式f(x)>0．17. 某企业生产A，B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图1；B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图2（利润和投资单(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元投资金，并将全部投入A，B两种产品的生产，怎样分配这18万元，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？参考答案与试题解析一元二次不等式的解法练习题（1）一、选择题（本题共计 7 小题，每题 5 分，共计35分）1.【答案】B【考点】一元二次不等式的应用【解析】将不等式变形为(x+1)(2x−3)≥0，由一元二次不等式的解法得出答案．【解答】不等式−2x2+x+3≤0，即2x2−x−3≥0，即(x+1)(2x−3)≥0，解得x≤−1或，故不等式−2x2+x+3≤0的解集是{x|x≤−1或x≥}．2.【答案】D【考点】一元二次不等式的应用【解析】不等式化为x(x−7)<0，求出解集即可．【解答】不等式x2−7x<0可化为x(x−7)<0，解得0<x<7，所以不等式的解集是{x|0<x<7}．3.【答案】D【考点】一元二次不等式的解法【解析】将不等式左边因式分解可得：(x+3)(x−1)≥0，从而可解不等式．【解答】解：由题意，不等式可化为：(x+3)(x−1)≥0，∴x≤−3或x≥1.故选D．4.【答案】B【考点】直接解一元二次不等式即可. 【解答】解：∵ x 2−4x −5>0， ∴ (x −5)(x +1)>0， 解得，x <−1或x >5. 故选B . 5.【答案】 D【考点】一元二次不等式的解法 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 6.【答案】 C【考点】其他不等式的解法 【解析】由题意可得，{−1<x <30<x <1 ，解不等式可求．【解答】由题意可得，{−1<x <30<x <1 ，即可得，0<x <1． 7. 【答案】 D【考点】 交集及其运算 【解析】化简集合A 、B ，根据交集的定义写出A ∩B ． 【解答】集合A ＝{x ∈N|−2<x <4}＝{0, 1, 2, 3}， B ={x|12≤2x ≤4}={x|−1≤x ≤2}，则A ∩B ＝{0, 1, 2}．二、 多选题 （本题共计 2 小题 ，每题 5 分 ，共计10分 ） 8.【答案】 B,D【考点】此题暂无解析【解答】此题暂无解答9.【答案】A,C,D【考点】二次函数的图象二次函数的性质【解析】结合二次函数的零点及单调性及复合函数的单调性与最值的关系分别检验各选项即可判断．【解答】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式△＝(−6)2−4×3×(−1)＝48>0，所以函数f(x)有两个不同的零点，A正确；因为二次函数f(x)图象的对称轴为x＝1，且图象开口向上，所以f(x)在(1, +∞)上单调递增，B不正确；令t＝a x，则f(a x)＝g(t)＝3t2−6t−1＝3(t−1)2−4．当a>1时，1a ≤t≤a，故g(t)在[1a,a]上先减后增，又a+1a2>1，故最大值为g(a)＝3a2−6a−1＝8，解得a＝3（负值舍去）．同理当0<a<1时，a≤t≤1a ，g(t)在[a,1a]上的最大值为g(1a)=3a2−6a−1=8，解得a=13（负值舍去）．三、填空题（本题共计 5 小题，每题 5 分，共计25分）10.【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】此题暂无解析【解答】解：已知A={−1,0,2}, B={2,a2}，若B⊆A，则a2=0，解得：a=0.故答案为：0.11.【答案】(1, 5)【考点】由题意利用绝对值不等式的基本性质，求得不等式|x−3|<2的解集．【解答】不等式|x−3|<2，即−2<x−3<2，求得1<x<5，12.【答案】{x|x>3或x<−1}【考点】一元二次不等式的解法【解析】先化简不等式，然后根据十字相乘法求出不等式的解集.【解答】解：由题意得，不等式化简为x2−2x−3>0，所以(x−3)(x+1)>0，解得x>3或x<−1，所以不等式的解集为{x|x>3或x<−1}.故答案为：{x|x>3或x<−1}.13.【答案】−2 5【考点】一元二次不等式的解法【解析】（1）由题设条件，根据二次函数与方程的关系，得：k<0，且−3，−2为关于x的方程k x2−2x+6k=0的两个实数根，再由韦达定理能求出k的值．【解答】解：∵不等式kx2−2x+6k<0(k≠0)的解集为{x|x<−3或x>−2}，∴−3和−2是方程kx2−2x+6k=0的两个根，∴−3+(−2)=2k，∴k=−25，故答案为：−25.14.【答案】{x|−3<x<3}【考点】一元二次不等式的解法【解析】此题暂无解析【解答】解：不等式9−x2>0变形为x2<9，所以解集为{x|−3<x <3}. 故答案为：{x|−3<x <3}.四、 解答题 （本题共计 3 小题 ，每题 10 分 ，共计30分 ） 15.【答案】集合A ＝{x|x 2−3x −10≤0}＝{x|−2≤x ≤5}， （1）∵ A ⊆B ，∴ {m −6≤−22m −1≥5 ，解得：3≤m ≤4，∴ 实数m 的取值范围为：[3, 4]； （2）∵ B ⊆A ，①当B ＝⌀时，m +1>2m −1，即m <2，②当B ≠⌀时，{m +1≤2m −1m +1≥−22m −1≤5，解得：2≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为：(−∞, 3]． 【考点】集合的包含关系判断及应用 【解析】先求出集合A ，再利用集合A 与集合B 的包含关系，列出不等式组，即可求出m 的取值范围，注意对空集的讨论． 【解答】集合A ＝{x|x 2−3x −10≤0}＝{x|−2≤x ≤5}， （1）∵ A ⊆B ，∴ {m −6≤−22m −1≥5 ，解得：3≤m ≤4，∴ 实数m 的取值范围为：[3, 4]； （2）∵ B ⊆A ，①当B ＝⌀时，m +1>2m −1，即m <2，②当B ≠⌀时，{m +1≤2m −1m +1≥−22m −1≤5 ，解得：2≤m ≤3，综上所述，实数m 的取值范围为：(−∞, 3]． 16.【答案】解：(1)∵ f (x )=ax 2+bx −a +2>0的解集为(−1,3)， ∴ 方程ax 2+bx −a +2=0的两根为−1和3，且a <0， ∴ {−1+3=−ba ,−1×3=−a +2a ,解得{a =−1,b =2,∴ a 的值为−1.(2)∵ b =2，a >0，∴ 方程f (x )=0的两根为−1和a−2a，∴ 当−1>a−2a即a <1时，x <a−2a或x >−1；当−1=a−2a即a =1时，x ≠−1； 当−1<a−2a即a >1时，x <−1或x >a−2a，∴ 综上，当0<a <1时，原不等式解集为{x|x <a−2a或x >−1}；当a =1时，原不等式解集为{x|x ≠−1}； 当a >1时，原不等式解集为{x|x <−1或x >a−2a}.【考点】一元二次不等式的解法 【解析】左侧图片未给出解析 左侧图片未给出解析【解答】解：(1)∵ f (x )=ax 2+bx −a +2>0的解集为(−1,3)， ∴ 方程ax 2+bx −a +2=0的两根为−1和3，且a <0， ∴ {−1+3=−ba ,−1×3=−a +2a ,解得{a =−1,b =2,∴ a 的值为−1．(2)∵ b =2，a >0，∴ f (x )=ax 2+2x −a +2=(x +1)(ax −a +2)>0， ∴ 方程f (x )=0的两根为−1和a−2a，∴ 当−1>a−2a即a <1时，x <a−2a或x >−1；当−1=a−2a即a =1时，x ≠−1； 当−1<a−2a即a >1时，x <−1或x >a−2a，∴ 综上，当0<a <1时，原不等式解集为{x|x <a−2a或x >−1}；当a =1时，原不等式解集为{x|x ≠−1}； 当a >1时，原不等式解集为{x|x <−1或x >a−2a}.17.f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2√x(x≥0)，由图1，得f(1)=14，所以k1=14，则f(x)=14x(x≥0).由图2，得g(4)=4，所以k2=2，则g(x)=2√x(x≥0).(2)设B产品投入x万元，A产品投入(18−x)万元，该企业可获总利润为y万元，则y=14(18−x)+2√x，0≤x≤18.令√x=t，t∈[0, 3√2]，则y=14(−t2+8t+18)=−14(t−4)2+172.所以当t=4时，y max=172=8.5，所以x=16，18−x=2．所以当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元. 【考点】二次函数在闭区间上的最值函数模型的选择与应用【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)根据题意可设A，B两种产品的利润与投资的函数关系式分别为：f(x)=k1x(x≥0)，g(x)=k2√x(x≥0)，由图1，得f(1)=14，所以k1=14，则f(x)=14x(x≥0).由图2，得g(4)=4，所以k2=2，则g(x)=2√x(x≥0).(2)设B产品投入x万元，A产品投入(18−x)万元，该企业可获总利润为y万元，则y=14(18−x)+2√x，0≤x≤18.令√x=t，t∈[0, 3√2]，则y=14(−t2+8t+18)=−14(t−4)2+172.所以x=16，18−x=2．所以当A、B两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润8.5万元.试卷第11页，总11页。
一元二次不等式及其解法练习题
不等式的解法一、一元二次不等式及其解法：先找对应二次方程的根（可参考十字相乘或求根公式），若有两个不等实根，大于取两边小于取中间，若有两个等根或无根考虑恒成立问题。
例1.解下列不等式(1)x2－7x+12>0(2)－x2－2x+3≥0(3)x2－2x+1<0(4)x2－2x+2<0二、已知解集求参数值：可参考韦达定理，利用两根只和和两根之积。
3．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根为2，－1，则当a<0时，不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为。
4．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|α<x<β}，其中0<α<β，a<0，求cx2＋bx＋a>0的解集．三、含参数的不等式的解法：先讨论二次项系数，然后找对应二次方程的根（可参考十字相乘或求根公式），若有两个实根讨论根的大小，若无法确定讨论判别式。
5．解不等式21()10x a xa-++=6、解关于x的一元二次不等式：ax2＋(a－1)x－1>0.四、恒成立问题，在R上利用判别式和在区间上利用二次函数的最值。
7、函数y ＝ x 2＋mx ＋m 2对一切x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围 8、．已知关于x 的不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围9．已知不等式x 2＋px ＋1>2x ＋p .(1)如果不等式当|p |≤2时恒成立，求x 的取值范围；(2)如果不等式当2≤x ≤4时恒成立，求p 的取值范围．五、解其他不等式(1).1<x 2－3x+3≤7(2)(x 2+4x-5)(x 2-2x+2)>0(3) (x 2+4x-5)(x 2-4x+4)>0(4)x 4-x 2-6≥０(5) +4-1x x >0(6)-3+7x x ≤0。
一元二次不等式的经典例题及详解
一元二次不等式专题练习例 1 解不等式：(1) 2x 3 x 2 15x 0； (2) (x 4)(x 5)2(2 x)3 0 .例2 (1 ) 丄1x 2(2 )例8解不等式4x 2 10x 3 32cx bx a 0的解集.例14解不等式■. x 2 3x 108 x •解下列分式不等式: x 2 4x 3x 2 7x 2解不等式x 2 4 x解不等式x 2 6x 5 12 4x x 2解不等式 x 2 2x 22-3 2x x 2设m R ，解关于x 的不等式 m 2x 22mx 3 0 • 例7解关于x 的不等式• 2ax ax (a 0).例9解关于x 的不等式x 2 (a a 2)xa 3例10已知不等式ax 2bx c 解集是(0) •求不等式例11若不等式2x ax 2 x 1x bx 2x 1的解为(1,)，求a 、b 的值.例12不等式ax 2 bx 2 0的解集为，求a 与b 的值.例13解关于x 的不等式ax2(a 1)x例1解：(1)原不等式可化为x(2x 5)( x 3) 05把方程x(2x 5)(x 3) 0的三个根& 0,x 2 -,X a 3顺次标上数轴•然后从右上 2开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分.5•••原不等式解集为 x - x 0或x 32(2)原不等式等价于(x 4)( x 5)2(x 2)30 x 5 0 x5 (x 4)(x 2) 0 x4或 x 2分析：当分式不等式化为上凶 0(或 0)时，要注意它的等价变形g(x)①他 0 f (x) g(x) 0 g(x)②器 0或胡0 f(x) 0或f(x )曲)0例2 (1)解：原不等式等价于说明：用“穿根法”解不等式时应注意：①各一次项中 奇次重根可转化为不含重根的不等式，也可直接用“穿根法” 如下图. x 的系数必为正；②对于偶次或，但注意“奇穿偶不穿”，其法2 2 1x3x3x 2 x 2 x 2 3(x 2) x(x 2) (x 2)(x 2)(x 6)(x 1) (x 2)(x 2)用“穿根法”•••原不等式解集为（0 x 2x 2 5x 6 0(x (x (x 2)(x 2)6)(x 2)(x1) (x 2)2)(x 2) 00 2)1,26,2x 2 3x 2 7x3x (2x 2 3x 1)(3x 2 7x 2x 2 3x 1 0 . 2x 2 3x 27x 2 或 0 3x 2x 1或1 x 1或: x 23x7x2) 0 3 2（2）解法一：原不等式等价于(2,解法二：原不等式等价于(2x 1)(x 1)(3x 1)(x 2)(2x 1)( x 1)(3x 1) (x 2) 0 用“穿根法” 2）&1）⑵例3分析：解此题的关键是去绝对值符号， •••原不等式解集为（而去绝对值符号有两种方法:是根据绝对值的意义a a(a 0)a(a 0) 二是根据绝对值的性质: a, x.a x a 或 x a ，因此本题有如F 两种解法.解法一：原不等式2x 2x••• 2x3 或 1x2故原不等式的解集为 x1 x 3 .解法二：原不等式等价于(x 2) x 24 x 2于下列两个不等式组:x 2 6x 5 0 亠 x 2 6x 5 02 或2124x x 20 12 4x x 2 0所以，原不等式的解集是上面两个不等式级的解集的并集.也可用数轴标根法求解. 解法一：原不等式等价下面两个不等式级的并集：x 2 6x 5 0,亠 x 2 6x 5 0, 2 或2124x x 212 4x x 2 0(x 1)(x 5) 0,或(x 1)(x 5) 0, (x 2)(x 6) 0; 或 (x 2)(x 6)0;1 x 5, x 1,或 x 5, ；或、 2x6 x2,或 x 61 x 5,或 x2 或 x 6 .•••原不等式解集是{xx 2,或1 x 5,或x 6}.解法二：原不等式化为(x 1)(x 5)0 .(x 2)(x 6)画数轴，找因式根，分区间，定符号.(X 1)(X 5)符号(x 2)(x 6)、+ I - I 4 ! - I +•••原不等式解集是{xx 2,或1 x 5,或x 6}.说明：解法一要注意求两个等价不等式组的解集是求每组两个不等式的交集，再求两组 的解的并集，否则会产生误解.解法二中，“定符号”是关键•当每个因式x 的系数为正值时，最右边区间一定是正值，其他各区间正负相间；也可以先决定含0的区间符号，其他各区间正负相间•在解题时要正确运 用.2 x 2xx 2 (x 2)2x3故 12例4分析：这是一个分式不等式，其左边是两个关于 x 3.x 二次式的商，由商的符号法则，它等价例5分析：不等式左右两边都是含有 x 的代数式，必须先把它们移到一边，使另一边为 0再解.解之，得原不等式的解集为 {x 1 x 2或x 3} • 项使一边为0再解.另外，在解题过程中，对出现的二项式要注意其是否有实根，以便分析不等式是否有解，从 而使求解过程科学合理.例6分析：进行分类讨论求解.解：当m 0时，因 3 0 一定成立，故原不等式的解集为R .31当m 0时，解得三x 丄； m m1 3当m 0时，解得丄x -.m m31 •••当m 0时，原不等式的解集为 x 3 x -;m m 1 3当m 0时，原不等式的解集为 x- x — mm说明：解不等式时，由于 m R ，因此不能完全按一元二次不等式的解法求解•因为当m 0时，原不等式化为 3 0，此时不等式的解集为 R ，所以解题时应分 m 0与m 0两 种情况来讨论.在解出m 2x 2 2mx 3 0的两根为为 3 ,x 2 m 1 后，认为m--，这也是易出现的错m m误之处.这时也应分情况来讨论：当m0时，3 1 t;当mm m 0时，3 1m m例7分析：先按无理不等式的解法化为两个不等式组，然后分类讨论求解.解：移项整理，将原不等式化为(x 2)(x 2 x 1) (x 3)(x 1)由x 2 x 10恒成立，知原不等式等价于(x 2) (x 3)(x 1)说明：此题易出现去分母得x 2 2x 2 x(3 2x x 2)的错误解法.避免误解的方法是移当m 0时，原不等式化为(mx 3)(mx 1) 0 ； 解：原不等式c22ax a(1) 1 x 0, 2ax a 20,(1 或⑵x)2；2x a 2 0,1 x 0.1 2x a2ax 2， 由 a 0，得：(1)x 1,(2)2 x 2(a 1)x a 2 1 0;x 1.由判别式4(a 1)2 4(a 21) 8a 0 ,故不等式x 2 2(a 1)x a 21 0的解是a 1 . 2a x a 1,2a .当0 a 2时，a a 1 2a 1 , a 1 2a1 ,不等式组 (1)的解是2a 1 , 2a x 1，不等式组(2)的解是x 1 .当a 2时，不等式组 ⑴无解，(2)的解是x a .2综上可知，当0 a 2时，原不等式的解集是 a 1, 2a, ;当a 2时，原不等式的解集是说明：本题分类讨论标准“ 0 a 2 , a 2 ”是依据“已知a 0及⑴中‘ x - , x 1 '2(2)中‘ x a ，x 1 '确定的•解含有参数的不等式是不等式问题中的难点，也是近几年高2考的热点•一般地，分类讨论标准(解不等式)大多数情况下依“不等式组中的各不等式的 解所对应的区间的端点”去确定.本题易误把原不等式等价于不等式 2ax a 2 (1 x).纠正错误的办法是熟练掌握无理不等式基本类型的解法.例8分析：先去掉绝对值号，再找它的等价组并求各不等式的解，然后取它们的交集即 可. 解答：去掉绝对值号得3 4x 2 10x 3 3,•••原不等式等价于不等式组2x(2x 5)2(x 3)(2x 1) 0•原不等式的解集为说明：解含绝对值的不等式，关键是要把它化为不含绝对值的不等式，然后把不等式等 价转化为不3 4x 2 10x 3 4x 2 10x 0 4x 2 10x 3 3 4x 2 10x 6 03.等式组，变成求不等式组的解.例9分析：不等式中含有字母a,故需分类讨论.但解题思路与一般的一元二次不等式的解法完全一样：求出方程x2 (a a2)x a3 0的根，然后写出不等式的解，但由于方程的根含有字母a ,故需比较两根的大小，从而引出讨论.解：原不等式可化为(x a)(x a2) 0.⑴当a a2(即a 1或a 0 )时，不等式的解集为：x x a 或x a2；(2)当a a2(即0 a 1 )时，不等式的解集为：x x a2或x a ;(3)当a a2(即a 0或1 )时，不等式的解集为：x x R 且x a .说明：对参数进行的讨论，是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类、讨论.比如本题，为求不等式的解，需先求出方程的根％ a , X2 a2，因此不等式的解就是x小于小根或x大于大根.但a与a2两根的大小不能确定，因此需要讨论 a a2,a a2, a a2三种情况.分析：按照一元二次不等式的一般解法，先确定系数c的正负，然后求出方程cx2 bx a 0的两根即可解之.例10解：(解法1)由题可判断出，是方程ax2 bx c 0的两根，b ca a又ax2 bx c 0的解集是x x ，说明a 0 .而0, 0 0 —0 c 0,a2 . c 2 b a 门…cx bx a 0 x x 0.c c说明：（1）万变不离其宗，解不等式的核心即是确定首项系数的正负， 求出相应的方程的根；（2） 结合使用韦达定理，本题中只有 ， 是已知量，故所求不等式解集也用， 表示，不等式系数a , b , c 的关系也用， 表示出来；（3）注意解法2中用“变换”的方法求方程的根.c a2 1 ( a. 2b a 2 1 (x)—x — 0，即 x (-c c即（X-)(x1) 0 .1 1又0• (x -)(x 1)的解集为 x-)x-)0,（解法2）由题意可判断出 ，是方程ax 2bx0的两根,又 ax 2 bx0的解集是对方程cx 2bx0两边同除以 x 2得1 2 a ㈠2 x令t 丄x该方程即为at 2 b tc 0，它的两根为t 1,t 2,X 1 X 2•••方程 cxbx 0的两根为-，••• 0•不等式 cx 2 bxa 0的解集是例11分析：不等式本身比较复杂，要先对不等式进行同解变形, b式子.再根据解集列出关于a、解: ..2-x x 1 (x y240，2 1 23x x 1 (x)2-0,24•••原不等式化为(2 a b)x2 (a b)x a b 0.依题意a b2 a ba b2 a b 5a -23 .b -2说明：解有关一元二次方程的不等式，要注意判断二次项系数的符号，结合韦达定理来解.例12分析：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为x 1 x 2，不等式2 2ax bx 2 0需满足条件a 0 , 0, ax bx 2 0的两根为x1 1 , x22.解法- -* :设ax2bx 2 0的两根为x1,x2，由韦达定理得b bX1X2——12a由题意：a22X1X2——12a a• a1,b 1，此时满足 a 0 , b2 4a ( 2) 0.解法二一: 构造解集为x 1x 2的元二次不等式：(x 1)(x 2) 0，即x2 x 2 0,此不等式与原不等式ax2 bx 2 0应为同解不等式,故需满足:说明：本题考查一元二次方程、一元二次不等式解集的关系，同时还考查逆向思维的能力.对有关字母抽象问题，同学往往掌握得不好.例13分析：本题考查一元一次不等式与一元二次不等式的解法，因为含有字母系数，所以还考查分类思想.为正数再求解.般情况下，.f(x) g(x)可转化为.f (x) g(x)或f(x) g(x)，而.... f(x) g(x)等价于:f(x) 0 g(x) 0 f(x) [g(x )]2解：原不等式等价于下面两个不等式组:8x08x02①2② x 2 3x 10x 2 3x 10 022 x 2 3x 10(8 x)2由①得亠 ,• x 8x 5 或 x 2①当a 0时，①式变为 (x 1)(x1) 0，•不等式的解为x 1或x1aa②当a 0时，①式变为 (x 1)(xa1) 0 . ②J 11 a，•当 0a 1时，1 1，此时②的解为11X 丄•当 1a 1 时，一1aaaa a此时②的解为 1 x 1 .0时, 0时, 原不等式变为: 原不等式变为:解：分以下情况讨论(1)当 a ⑵当a a说明：解本题要注意分类讨论思想的运用, 级分类：关键是要找到分类的标准，就本题来说有三 x 1 0 ,••• x 1 (ax 1)(x 1) 0①分类应做到使所给参数 a 的集合的并集为全集, 交集为空集，要做到不重不漏.另外, 解本题还要注意在讨论a 0时，解一元二次不等式ax 2 (a 1)x 1 0应首选做到将二次项系数变例14分析：无理不等式转化为有理不等式, 要注意平方的条件和根式有意义的条件,f(x) 0或 g(x) 0x 8由②得••• x 5或x74 x13.分析：如果多项式 f (x)可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式 f(x) 0 (或f (x) 0 )可用“穿根法”求解，但要注意处理好有重根的情况.均值不等式专题均值不等式是求函数最值的一个重要工具，同时也是高考常考的一个重要知识点。
一元二次不等式标准练习(答案版)
22222222一、十字相乘法练习：1、x +5x+6=(x+2)(x+3)2、x -5x+6=(x-2)(x-3)3、x +7x+12=(x+3)(x+4)4、x -7x+6=(x-1)(x-6)5、x -x-12=(x-4)(x+3)6、x +x-12=(x+4)(x-3)7、x +7x+12=(x+4)(x+3) 8、x -8x+12=222222(x-2)(x-6) 9、x -4x-12=(x+2)(x-6) 10、3x +5x-12=(3x-4)(x+3) 11、3x +16x -12=(3x-2)(x+6)12、3x -37x+12=(3x-1)(x-12) 13、2x +15x +7=(2x+1)(x+7)14、2x -7x-15=(2x+3)(x-5) 22 15、2x +11x+12=(2x+3)(x+4)16、2x +2x-12=2(x-2)(x+3)二、一元二次不等式 2222解一元二次不等式的常见步骤：（1）、化不等式为一般格式：ax +bx+c>0(a>0)或ax +bx+c<0(a>0)；（2）、（3）、ax +bx+c>0(a>0)ax +bx+c<0(a>0)65045033200440(21)(5)(3)0x x x x m x x +-<-+<-+<+->-++->2222222练习：1、解下列不等式：10（1）3x -7x>10；x<-1或x>（2）-2x ；R 3（3）x ；空集 （4）10x ；0.8<x<2.5（5）-x ；空集 （6）x x+m +m<0；m<x<m+1（7） ；-5<x<3 （8）(5-x)(3-x)<0x--40x x+32(11)0x 4x x >-<+；x<3或x>5（9）(5+2x)(3-x)<0；x<-2.5或x>3 （10）；x<-3或>4 ；x<-4或>22x 230000x (1)0.111ax a a a a a x a a a a --<><=+--<>-<-=-222、(1)解关于的不等式x 时，不等式解为：-a<x<3a时，不等式解为：3a<x<-a时，不等式解为：空集(2)解关于的不等式x 时，不等式解为：-1<x<a时，不等式解为：a<x<-1时，不等式解为：空集230ax bx c ++>22、（1）若不等式的解集是{x -3<x<4},求不等式bx +2ax-c-3b<0的解;-3<x<5（2）已知一元二次不等式ax +bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},求a 、b的值.a=b=-2x a 0;........a 0.x a D≤≤≤≤≤224、（1）若不等式ax +ax-5<0,对一切实数都成立,那么的取值范围是( )A.a<0;B.-20a<0;C.-20aD.-20<选 （2）对于任意实数，不等式ax +2ax-(a+2)<0恒成立,则的取值范围是______________________________-1<x 0（3）对任意x k k 2实数，不等式x +x+k>0恒成立，则的取值范围是___________>0.25 ∈≤5、某文具店购进一批新型台灯，若按每盏15元的价格出售，每天可卖出40盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得 500元以上的销售收入，应该把价格制定在__________{x N,15x <25}。
一元二次不等式练习(含答案)
一元二次不等式练习一、填空1. 不等式230x x --<的解集是___________________2. 不等式260x x -+<的解集是___________________3. 不等式2690x x -+≤的解集是___________________4. 不等式240x x -+->的解集是___________________5. {}{}223280 60_________M x x x N x x x M N =--≤=-->=已知集合，，则I6. 不等式211xx >-的解集是___________________7. 不等式2x x +≥的解集是___________________8. 不等式98390x x -⋅-≥的解集是___________________9. 不等式2(1)(1)0x x +-≥的解集是___________________10. 不等式()(1)0x a x a --->的解集是___________________11. 不等式22210x ax a -+->的解集是____________________12. 已知不等式220ax bx ++>的解集为1123x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a +____b =二、解答13. 解关于x 的不等式22440x x m -+-≤14. 已知不等式20ax bx c ++>的解集为{}23x x x <>或，求不等式20bx ax c ++>的解集15. 已知不等式2(1)(1)10k x k x -+-+>的解集为R ，则k 的取值范围为16. ()()2(1 3)(1) ()60()(2) ()f x a f x x f x a f x f x a >-+=已知二次函数的二次项系数为，且不等式的解集为，若方程有两个相等的根，求的解析式若的最大值为正数，求的取值范围答案:1. ，2. (,2)(3,)-∞-+∞，3. {}3x x =，4. ∅5. [4,2)(3,7]--，6. (,1)(1,)-∞-+∞，7. [1,)-+∞，8. [2,)+∞9. {}1,1x x x ≥=-或， 10. (,)(1,)a a -∞++∞， 11. (,1)(1,)a a -∞-++∞ 12. 14-13. 当0m >时，解集是[]2,2m m -+；当0m <时，解集是[]2,2m m +-；当0m =时，解集是{}214．615x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭15．[1,5)16．（1）2163()555f x x x =---；（2）20a a <-<<-。
一元二次不等式测试题及答案
一元二次不等式测试题及答案一.选择题1．假如不等式ax 2+bx+c<0(a ≠0)的解集为空集,那么（ ） A ．a<0,Δ>0 B ．a<0,Δ≤0 C ．a>0,Δ≤0 D ．a>0,Δ≥0 2．不等式（x+2）(1－x)>0的解集是（ ）A ．｛ｘ｜ｘ＜－２或x>1｝B ．｛ｘ｜x<－１或ｘ>２｝C ．｛ｘ｜－2＜ｘ＜1｝D ．｛ｘ｜－１＜ｘ＜２｝ 3．设f(x)=x 2+bx+1,且f(－1)=f(3),则f(x)>0的解集是（ ） A ．),3()1,(+∞⋃--∞ B ．RC ．｛ｘ｜ｘ≠1｝D ．｛ｘ｜ｘ＝1｝4．不等式(x+5)(3－2x)≥6的解集为（ ） Ａ．｛ｘ｜x ≤－1或ｘ≥29｝ Ｂ． ｛ｘ｜－1≤ｘ≤29｝ Ｃ．｛ｘ｜x ≥1或ｘ≤－29｝Ｄ． ｛ｘ｜－29≤ｘ≤1｝5．设一元二次不等式ax 2+bx+1>0的解集为｛ｘ｜－1≤ｘ≤31｝,则ab 的值是（ ）Ａ．－6 Ｂ．－5 Ｃ．6 Ｄ．56．已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x －3>0｝,Ｎ＝｛x ｜ｘ2＋ax+b ≤0｝,若M ∪N ＝R,Ｍ∩Ｎ＝(3,]4,则a+b ＝（ ）Ａ．7 Ｂ．－1 Ｃ．1 Ｄ．－77．已知聚集M ＝{x| x 2－3x －28≤0}, N={ x 2－x －6>0},则M ∩N 为（ ）Ａ．｛ｘ|－4≤x<－２或3＜ｘ≤7｝ B ．｛ｘ｜－4＜ｘ≤－2或3≤ｘ＜7｝C ．｛ｘ｜ｘ≤－２或ｘ＞３｝D ．｛ｘ｜ｘ＜－２或ｘ≥３｝ 8．已知聚集M ＝｛ｘ|3x0x 1≥（－）｝,N ＝｛ｙ|ｙ＝3ｘ2＋1,ｘ∈Ｒ｝,则M ∩N ＝（）Ａ．ÆＢ． {ｘ|ｘ≥１} Ｃ．｛ｘ|ｘ＞１｝ Ｄ．{ｘ| ｘ≥1或ｘ＜０}二．填空题9.有三个关于x 的方程：,已知个中至少有一个方程有实根,则实数a 的取值规模为10．若二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R)的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6则不等式ax 2+bx+c>0的解集是.11．若聚集Ａ＝｛ｘ∈Ｒ｜ｘ2－4ｘ＋3＜0},Ｂ＝｛ｘ∈Ｒ｜（ｘ－2）（ｘ－5）＜0｝,则Ａ∩Ｂ=_______________________________．12．关于x 的方程x 2+ax+a 2-1=0有一正根和一负根,则a 的取值规模是．三．解答题：13.①不等式（a 2-1）x 2-(a-1)x-1 <0的解集为R,求a 的取值规模.②若a2－417a+1<0的解集为A,求使不等式x 2+ax+1>2x+a 在A a ∈时恒成立的x 的取值规模．114.①已知不等式02>++c bx ax 的解集为)3,2(,求不等式02<++a bx cx 的解集.②不等式ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|α＜x ＜β},个中0＞β＞α,求不等式cx 2+bx+a ＜0的解集. 115.已知A=,B=.（1）若B A,求a 的取值规模;（2）若A∩B 是单元素聚集,求a 取值规模. 参考答案： 一.选择题：1．C 解析：只能是启齿朝上,最多与x 轴一个交点情形∴a>0,Δ≤0; 2．C 解析：所给不等式即（x+2）(x-1)<0∴－2＜ｘ＜13．C 解析：由f(－1)=f(3)知b=-2,∴f(x)=x 2－2x+1 ∴f(x)>0的解集是｛ｘ｜ｘ≠1｝ 4．D5．C 解析：设f(x)= ax 2+bx+1,则f(-1)=f(31)=0∴a=-3,b=-2∴ab=6.6．D 解析：A ＝（－∞,－1）∪（3,＋∞）依题意可得,B ＝[1,4]∴a=-3,b=-4∴a+b ＝－77．A8．C 解析：M ＝{x │x>1或x ≤0},N ＝{x │x ≥1}∴M ∩N ＝{x │x>1} 二．填空题： 9．a≤－2,或a≥410．(－∞,－2)∪（3,＋∞）解析：两个根为2,－3,由函数值变更可知a>0∴ax 2+bx+c>0的解集是(－∞,－2)∪（3,＋∞）. 11．{x │2<x<3}12.3-1<a<1解析：令f(x)= x 2+ax+a 2-1,由题意得f(0)<0即a 2-1<0∴-1<a<1.13.①当a 2-1=0时a=1,有x ∈R.当a 2-1≠ 0时,△＝（a-1）2+4(a 2-1)=5a 2-2a-3<0a 2-1<0;即—<a<1时有x∈R. 综上所述：－<a≤1②．解析：由a 2－417a+1<0得a ∈(41,4),由x 2+ax+1>2x+a 得x<1-a 或x>1∴x ≤－3或x>1. 14①.（-3,-2）②解集为),1()1,(+∞∂⋃-∞β.15.解不等式得A=[1,2];而B={≤0}.（1）若B A,如图1,得a 的取值规模是1≤a＜2.（2）若A∩B 是单元素聚集,如图2,A∩B 只能是聚集{1} ∴a 的取值规模是a≤1.。
一元二次不等式练习题
一元二次不等式练习题例1.解下列不等式(1)x 2－7x+12>0 (2)－x 2－2x+3≥0 (3)x 2－2x+1<0(4)x 2－2x+2<0 (5).1<x 2－3x+3≤7 (6)(x 2+4x-5)(x 2-2x+2)>0(7) (x 2+4x-5)(x 2-4x+4)>0 (8)x 4-x 2-6≥０ （9）22(23)(6)0xx x x（10）22411372x x x x例2已知不等式x 2+ax+b<0的解集为{x|－1<x<2}, 求不等式bx 2－ax+1<0的解集。
变式1：已知不等式b x 2－ax+１ <0的解集为{x| x < －12或x>1}, 求不等式x 2+ax+b<0的解集．变式2．不等式ax2+bx+2<0的解集为{x| －12<x<13}, 求a－b．变式3．已知关于x的不等式ax2+2x+6a<0的解集为{x| x <2或x>3}, 求a的值．变式4:已知关于x不等式kx2-2x+6k<0的解集为R 求k的取值范围。
变式5：已知关于x不等式kx2-2kx+6<0的解集为 ，求k的取值范围。
例3.解关于x的不等式x2－(a+1)x+a>0变式1：解关于x的不等式ax2－x+1>0变式2. 解关于x的不等式ax2－(a+1)x+1>0 变式3. 解关于x的不等式x2－ax+1>0例4．当a为何值时, 不等式(a2－3a+2) x2+(a－1)x+2>0恒成立．例5. 分别求m的取值范围, 使方程x2－mx－m+3=0 的两根满足下列条件: (1)两根都大于－5 ; (2)一根大于0小于1 , 一根大于1小于2 .例6：已知A={x|x2+(P+2)x+4=0}, M={x|x>0}, 若A∩M=φ, 求实数P的取值范围. 例7：方程x2－mx-m+3=0的两根均在(-4,0)内，求m的取值范围．例8：若不等式x2－２ax+a+６>0在x∈[-2,2]上时总成立，求实数a的取值范围．例9：已知不等式1≤－x2＋x+a≤174在x [-１,１]上时总成立，求实数a的取值范围．例10：设不等式mx2－2x－m+1<0对满足|m|≤2的一切m都成立，求实数x的取值范围。
一元二次不等式基础题50道加解析
一元二次不等式基础题50道加解析
摘要：
1.一元二次不等式的基本概念和性质
2.一元二次不等式的解法及应用
3.50道基础题及其详细解析
正文：
一、一元二次不等式的基本概念和性质
一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0（a≠0）或ax+bx+c<0（a≠0）的不等式。
其中，a、b、c 为实数，且a ≠ 0。
一元二次不等式的解集取决于二次项系数a 的正负性。
当a > 0 时，一元二次不等式ax+bx+c>0 的解集为x<(-b+√(b-
4ac))/2a 或x>(-b-√(b-4ac))/2a；ax+bx+c<0 的解集为(-b+√(b-4ac))/2a < x < (-b-√(b-4ac))/2a。
二、一元二次不等式的解法及应用
1.因式分解法：将一元二次不等式转化为两个一次不等式的乘积小于零的形式，如(7x-a)(8x-a)<0。
根据乘积小于零的性质，可得到解集x>(-a/7) 且x<(a/8)。
2.韦达定理：已知一元二次方程ax+bx+c=0 的两个实数根为x、x，则x+x=-b/a，xx=c/a。
利用这个性质，可以求解一些含有一元二次方程的问题。
3.图像法：将一元二次函数y=ax+bx+c（a≠0）画在坐标系中，根据函
数图像的形状和顶点位置，判断不等式的解集。
三、50道基础题及其详细解析
（题目略）
总之，掌握一元二次不等式的基本概念、性质和解法，能帮助我们解决实际问题并提高数学素养。
一元二次不等式练习题含答案
一元二次不等式练习题含答案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--一元二次不等式练习一、选择题1．设集合S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |x 2＋4x －21<0}，则S ∩T ＝( )A ．{x |－7<x <－5}B ．{x |3<x <5}C ．{x |－5<x <3}D ．{x |－7<x <5}2．已知函数y ＝ax 2＋2x ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．a >0B ．a ≥13C ．a ≤13D ．0<a ≤133．不等式x ＋1x －2≥0的解集是( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥2} B．{x |x ≤－1或x >2}C ．{x |－1≤x ≤2} D．{x |－1≤x <2}4．若不等式ax 2＋bx －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |－2<x <－14，则a ，b 的值分别是( ) A ．a ＝－8，b ＝－10 B ．a ＝－1，b ＝9C ．a ＝－4，b ＝－9D ．a ＝－1，b ＝25．不等式x (x －a ＋1)>a 的解集是{}x |x <－1或x >a ，则( )A ．a ≥1 B．a <－1C ．a >－1D ．a ∈R6．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，不等式f (x )>0的解集为{}x |－3<x <1，则函数y ＝f (－x )的图象为( )7．在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围是( )A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) D．(－1,2)二、填空题8．若不等式2x2－3x＋a<0的解集为(m,1)，则实数m的值为________．9．若关于x的不等式ax－b>0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式ax＋bx－2>0的解集是________．10．若关于x的方程9x＋(4＋a)3x＋4＝0有解，则实数a的取值范围是________．三、解答题11．解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．.12．设函数f(x)＝mx2－mx－1.(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．答案1.【解析】 ∵S ＝{x |－5<x <5}，T ＝{x |－7<x <3}，∴S ∩T ＝{x |－5<x <3}．【答案】 C2.【解析】 函数定义域满足ax2＋2x ＋3≥0，若其解集为R ，则应⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，4－12a ≤0，∴a ≥13. 【答案】 B3.【解析】 x ＋1x －2≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1x －2≥0，x －2≠0⇔x >2或x ≤－1.【答案】 B4.【解析】 依题意，方程ax 2＋bx －2＝0的两根为－2，－14， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2－14＝－b a ，12＝－2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝－9.【答案】 C5.【解析】 x (x －a ＋1)>a ⇔(x ＋1)(x －a )>0，∵解集为{}x |x <－1或x >a ，∴a >－1.【答案】 C.6. 【解析】 由题意可知，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 为二次函数，其图象为开口向下的抛物线，与x 轴的交点是(－3,0)，(1,0)，又y ＝f (－x )的图象与f (x )的图象关于y 轴对称，故只有B 符合．7.【解析】 ∵a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，∴x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋x －2＝x 2＋x －2，原不等式化为x2＋x －2<0⇔－2<x <1.【答案】 B8. 【解析】 ∵方程2x 2－3x ＋a ＝0的两根为m,1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1＝32，1·m ＝a 2，∴m ＝12. 【答案】 129.【解析】 由于ax >b 的解集为(1，＋∞)，故有a >0且ba ＝1.又ax ＋b x －2>0⇔(ax ＋b )(x －2)＝a (x ＋1)(x －2)>0⇔(x ＋1)(x －2)>0，即x <－1或x >2.【答案】 (－∞，－1)∪(2，＋∞) 10.【解析】 方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0化为：4＋a ＝－9x ＋43x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋43x ≤－4， 当且仅当3x ＝2时取“＝”，∴a ≤－8.【答案】 (－∞，－8] 11.【解析】 原不等式化为ax 2＋(a －2)x －2≥0⇔(x ＋1)(ax －2)≥0.①若－2<a <0，2a <－1，则2a≤x ≤－1；②若a ＝－2，则x ＝－1；③若a <－2，则－1≤x ≤2a. 综上所述，当－2<a <0时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，不等式解集为{x |x ＝－1}；当a <－2时，不等式解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－1≤x ≤2a . 12.【解析】 (1)要使mx 2－mx －1<0，x ∈R 恒成立．若m ＝0，－1<0，显然成立；若m ≠0，则应⎩⎪⎨⎪⎧ m <0，Δ＝m 2＋4m <0⇔－4<m <0. 综上得，－4<m ≤0.(2)∵x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，即mx 2－mx －1<－m ＋5恒成立；即m (x 2－x ＋1)<6恒成立，而x 2－x ＋1>0， ∴m <6x 2－x ＋1.∵6x 2－x ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34， ∴当x ∈[1,3]时，⎝ ⎛⎭⎪⎫6x 2－x ＋1min ＝67，∴m 的取值范围是m <67.。
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222222221、x +5x+6=(x+2)(x+3) 2、x -5x+6=(x-2)(x-3) 3、x +7x+12=(x+3)(x+4)
4、x -7x+6=(x-1)(x-6)
5、x -x-12=(x-4)(x+3)
6、x +x-12=(x+4)(x-3)
7、x +7x+12=(x+4)(x+3) 8、x -8x+12=(x-2)(x-6)2222222 9、x -4x-12=(x+2)(x-6) 10、3x +5x-12=(3x-4)(x+3) 11、3x +16x-12=(3x-2)(x+6)
12、3x -37x+12=(3x-1)(x-12) 13、2x +15x+7=(2x+1)(x+7)
14、2x -7x-15=(2x+3)(x-5) 15、2x +112x+12=(2x+3)(x+4)
16、2x +2x-12=2(x-2)(x+3)
二、一元二次不等式 2222解一元二次不等式的常见步骤：
（1）、化不等式为一般格式：ax +bx+c>0(a>0)或ax +bx+c<0(a>0)；
（2）、
（3）、
ax +bx+c>0(a>0)
ax +bx+c<0(a>0)
65045033200440(21)(5)(3)0x x x x m x x +-<-+<-+<+->-++->2222222练习：
1、解下列不等式：
10（1）3x -7x>10；x<-1或x>
（2）-2x ；R 3
（3）x ；空集 （4）10x ；0.8<x<2.5（5）-x ；空集 （6）x x+m +m<0；m<x<m+1
（7） ；-5<x<3 （8）(5-x)(3-x)<0x--40x x+3
2(11)0x 4x x >-<+；x<3或x>5
（9）(5+2x)(3-x)<0；x<-2.5或x>3 （10）；x<-3或>4 ；x<-4或>2
2x 230
000x (1)0.
111ax a a a a a x a a a a --<><=+--<>-<-=-222、(1)解关于的不等式x 时，不等式解为：-a<x<3a
时，不等式解为：3a<x<-a
时，不等式解为：空集
(2)解关于的不等式x 时，不等式解为：-1<x<a
时，不等式解为：a<x<-1
时，不等式解为：空集
230ax bx c ++>22、（1）若不等式的解集是{x -3<x<4},求不等式bx +2ax-c-3b<0的解;-3<x<5
（2）已知一元二次不等式ax +bx+2>0的解集为{x|-2<x<1},求a 、b的值.a=b=-2
x a 0;........a 0.x a D
≤≤≤≤≤224、（1）若不等式ax +ax-5<0,对一切实数都成立,那么的取值范围是( )
A.a<0;
B.-20a<0;
C.-20a
D.-20<选 （2）对于任意实数，不等式ax +2ax-(a+2)<0恒成立,则的取值范围是
______________________________-1<x 0
（3）对任意x k k 2实数，不等式x +x+k>0恒成立，则的取值范围是___________>0.25 ∈≤5、某文具店购进一批新型台灯，若按每盏15元的价格出售，每天可卖出
40盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得 500元以上的销售收入，应该把价格制定在__________{x N,15x <25}。