线性方程组的最速下降法与共轭梯度法

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最优化方法

随机梯度下降每次迭代只使用一个样本，迭代一次计算量为n 2 ，当样本个数m很大的时候，随机梯度下降迭代一次的速度要远高于批量梯度下降方法。两者的关系可以这样理解：随机梯度下降方法以损失很小的一部分精确度和增加一定数量的迭代次数为代价，换取了总体的优化效率的提升。增加的迭代次数远远小于样本的数量。
2. 牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods）
牛顿法（Newton's method）牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数 f ( x ) 的泰勒级数的前面几项来寻找方程 f ( x ) = 0 的根。牛顿法最大的特点就在于它的收敛速度很快。
具体步骤：
首先，选择一个接近函数 f ( x ) 零点的 x 0 ，计算相应的 f ( x 0 ) 和切线斜率 f ' (x 0 ) （这里 f ' 表示函数 f 的导数）。然后我们计算穿过点 (x 0 , f (x 0 )) 并且斜率为 f '(x 0 ) 的直线和 x 轴的交点的 x 坐标，也就是求如下方程的解：
批量梯度下降法（Batch Gradient Descent,BGD）
（1）将J(theta)对theta求偏导，得到每个theta对应的的梯度：
（2）由于是要最小化风险函数，所以按每个参数 theta的梯度负方向，来更新每个theta：
（3）从上面公式可以注意到，它得到的是一个全局最优解，但是每迭代一步，都要用到训练集所有的数据，如果m很大，那么可想而知这种方法的迭代速度会相当的慢。所以，这就引入了另外一种方法——随机梯度下降。对于批量梯度下降法，样本个数m，x为n维向量，一次迭代需要把m个样本全部带入计算，迭代一次计算量为m*n 2 。

最优化方法第二章_线搜索算法_最速下降法

f x1 , x2 c, c>0,
2
改写为：
x12 2c 1

2 x2

2c 2
2
1
二、最速下降法
x2
这是以
2c
1
和
2c
2
为半轴的椭圆
2c
2c
2
2
从下面的分析可见两个特征值的相对
x1
大小决定最速下降法的收敛性。
（1）当 1 2 时，等值线变为圆
2 2
4 f x , 2
2 x1 2 x2 4 f ( x) , 2 x1 +4x2
4 d = f x , 2
0 0
=40 2 20 3 令 0= ' ( ) 80 20, 得 0 =1/4,
一
一维搜索
二三四
下降算法
五
最速下降法 Newton法共轭梯度法
多尺度法（拟Newton法）
二、最速下降法假设 f 连续可微，取线搜索方向
k
d f ( x )
k
步长k 由精确一维搜索得到。从而得到第 k+1次迭代点，即
f ( x k k d k ) min f ( x k d k )

(推论)在收敛定理的假设下，若f (x)为凸函数，则最速下降法或在有限迭代步后达到最小点；或得到点列 x k ，它的任何聚点都是 f (x)的全局最小点。
二、最速下降法

最速下降法特征：相邻两次迭代的方向互相垂直。
令
( ) f ( x d ), 利用精确一维搜索，可得

共轭梯度法和梯度下降法

共轭梯度法和梯度下降法共轭梯度法和梯度下降法是两种常用的优化算法，它们在解决最优化问题时具有重要的作用。

本文将分别介绍共轭梯度法和梯度下降法的原理、优势和应用领域，并对它们进行比较和总结。

一、共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代算法，用于求解线性最小二乘问题或者解线性方程组。

它的核心思想是通过迭代求解一系列的共轭方向，从而不断逼近最优解。

共轭梯度法的优势在于它能够充分利用问题的特殊结构，避免不必要的计算。

相比于梯度下降法，共轭梯度法通常收敛更快，并且对于大规模问题的求解效果更好。

共轭梯度法主要应用于求解线性方程组、最小二乘问题以及特定的优化问题，如信号处理、图像处理和机器学习等领域。

二、梯度下降法梯度下降法是一种基于梯度的迭代优化算法，用于求解无约束最优化问题。

它的核心思想是沿着负梯度方向不断迭代，直至达到最优解或者满足停止条件。

梯度下降法的优势在于它的简单性和易于实现性。

它不需要求解二阶导数，只需要计算一阶导数，因此对于大规模问题的求解也比较高效。

梯度下降法广泛应用于机器学习中的参数优化问题，如线性回归、逻辑回归和神经网络等。

此外，它还可以用于函数拟合、特征选择和降维等领域。

三、共轭梯度法与梯度下降法的比较共轭梯度法和梯度下降法都是常见的优化算法，它们的选择取决于具体的问题和需求。

1. 收敛速度：共轭梯度法通常比梯度下降法收敛更快。

共轭梯度法在每次迭代时利用了前面所有迭代步骤的信息，可以更快地逼近最优解。

2. 内存消耗：梯度下降法只需要存储当前的梯度信息，而共轭梯度法需要存储一系列的共轭方向。

因此，对于大规模问题，梯度下降法在内存消耗方面更具优势。

3. 线性方程组求解：共轭梯度法是一种求解线性方程组的有效方法，而梯度下降法通常不适用于求解线性方程组。

4. 二次型优化问题：共轭梯度法对于二次型优化问题的求解效果更好。

梯度下降法在处理非二次型问题时可能会出现收敛速度慢、局部最优等问题。

共轭梯度法和梯度下降法是两种常用的优化算法。

最优化问题的算法迭代格式

最优化问题的算法迭代格式最优化问题的算法迭代格式最优化问题是指在一定的条件下，寻找使某个目标函数取得极值（最大值或最小值）的变量取值。

解决最优化问题的方法有很多种，其中较为常见的是迭代法。

本文将介绍几种常用的最优化问题迭代算法及其格式。

一、梯度下降法梯度下降法是一种基于负梯度方向进行搜索的迭代算法，它通过不断地沿着目标函数的负梯度方向进行搜索，逐步接近极值点。

该方法具有收敛速度快、易于实现等优点，在许多应用领域中被广泛使用。

1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和学习率 $\alpha$，梯度下降算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 更新当前点 $x_k$ 为 $x_{k+1}=x_k-\alpha\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则返回第 1 步。

2. 算法特点- 沿着负梯度方向进行搜索，能够快速收敛；- 学习率的选择对算法效果有重要影响；- 可能会陷入局部极小值。

二、共轭梯度法共轭梯度法是一种基于线性方程组求解的迭代算法，它通过不断地搜索与当前搜索方向共轭的新搜索方向，并在该方向上进行一维搜索，逐步接近极值点。

该方法具有收敛速度快、内存占用少等优点，在大规模问题中被广泛使用。

1. 算法描述对于目标函数 $f(x)$，初始点 $x_0$ 和初始搜索方向 $d_0$，共轭梯度算法可以描述为以下步骤：- 计算当前点 $x_k$ 的梯度 $\nabla f(x_k)$；- 如果满足停止条件，则输出结果；否则进行下一步；- 计算当前搜索方向 $d_k$；- 在当前搜索方向上进行一维搜索，得到最优步长 $\alpha_k$；- 更新当前点为 $x_{k+1}=x_k+\alpha_k d_k$；- 计算新的搜索方向 $d_{k+1}$；- 返回第 2 步。

2. 算法特点- 搜索方向与前面所有搜索方向都正交，能够快速收敛；- 需要存储和计算大量中间变量，内存占用较大；- 可以用于非线性问题的求解。

基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程

数值分析第二次作业学院：电子工程学院基于matlab平台的三种迭代法求解矩阵方程组求解系数矩阵由16阶Hilbert方程组构成的线性方程组的解，其中右端项为[2877/851,3491/1431,816/409,2035/1187,2155/1423,538/395,1587/1279,573/502,947 /895,1669/1691,1589/1717,414/475,337/409,905/1158,1272/1711,173/244].要求：1）Gauss_Sedel迭代法；2）最速下降法；3）共轭梯度法；4）将结果进行分析对比。

解：根据题目要求，编写了对应算法的matlab程序，求解结果如下：（求解精度为10e-4，最大迭代次数1000）1、方程的解：如下图1所示图1 三种方法求解的结果对比图2 Gause_Sedel算法收敛特性图3 最速下降法收敛特性图3 共轭梯度法收敛特性从图中可以看到，在相同的最大迭代次数和预设求解精度条件下，共轭梯度算法仅需要4次迭代便可求出方程组的解，耗时0.000454秒，而且求出解的精度最高；Gauss_Sedel方法需要465次迭代，耗时0.006779秒，求解精度最差；最速下降法需要398次迭代，耗时0.007595秒，求解精度与共轭梯度算法差不多，因此两者求出的解也几乎相同。

从中可以得出结论，共轭梯度算法无论从求解精度还是求解速度上都优于其他两种，最速下降法在求解精度上几乎与共轭梯度算法持平，但求解速度更慢。

Gauss_Sedel方法在求解精度和速度两方面都最差。

具体的解为:Gauss_Sedel迭代法:(共需465次迭代，求解精度达到9.97e-5) X=[0.995328360833192 1.01431732497804 1.052861239300110.934006974137998 0.931493373808838 0.9665081384030661.00661848511341 1.03799789809258 1.051806903036541.06215849948572 1.04857676431223 1.028561990411131.01999170162638 0.971831831519515 0.9525261666348130.916996019179182].最速下降法:(共需398次迭代，求解精度达到9.94e-5)X=[0.998835379744322 1.01507463472900 0.9825890937201850.980191460759243 0.991245169713628 1.003780222253291.01350884374478 1.01928337905816 1.020859096651941.01930314197028 1.01444777381651 1.007040589892970.998384452250809 0.987399404644377 0.9757678149709120.963209150871750].共轭梯度法:(共需4次迭代，求解精度达到3.98e-5)X=[0.996472751179456 1.02707840189049 0.9776233734098530.973206695321590 0.986133032967607 1.001289025642341.01322158496914 1.02047386502293 1.023009050605651.02163015083975 1.01678089454399 1.009203108638740.999772406055155 0.988443827498859 0.9760941924969490.962844741655005].Matlab程序主程序:clc;clear;%% 本程序用于计算第二次数值分析作业，关于希尔伯特矩阵方程的解，用三种方法，分析并比较，也可推广至任意n维的矩阵方程%%A=hilb(16); %生成希尔伯特系数矩阵b=[2877/851;3491/1431;816/409;2035/1187;2155/1423;538/395;1587/1279;573/502;947/895;166 9/1691;1589/1717;414/475;337/409;905/1158;1272/1711;173/244]; %右端向量M=1000; %最大迭代次数err=1.0e-4; %求解精度[x,n,xx,cc,jingdu]=yakebi_diedai(A,b,err,M); % 雅克比算法求解tic;[x1,n1,xx1,cc1,jingdu1]=gauss_seidel(A,b,err,M); % gauss_seidel算法求解toc;tic;[x2,n2,xx2,jingdu2]=zuisuxiajiangfa(A,b,err,M); % 最速下降法求解toc;tic;[x3,flag,jingdu3,n3]=bicg(A,b,err); % matlab内置双共轭梯度算法求解toc;tic;[x4,xx4,n4,jingdu4]=con_grad(A,b,err,M); % 教材共轭梯度算法求解toc;%% 计算相应结果，用于作图%%num=[1:16]';jie=[num,x1,x2,x4]; % 三者的解对比% 三者的收敛情况对比num1=[1:n1]';fit1=[num1,jingdu1'];num2=[1:n2]';fit2=[num2,jingdu2'];num4=[1:n4]';fit4=[num4,jingdu4'];子函数1(Gause_Sedel算法):function [x,n,xx,cc,jingdu] = gauss_seidel(A,b,err,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是高斯赛尔得迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% M 为最大迭代次数cc 迭代矩阵普半径jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解for ii=1:length(b)if A(ii,ii)==0x='error';break;endendD=diag(diag(A));L=-tril(A,-1);U=-triu(A,1);B=(D-L)\U;cc=vrho(B); %迭代矩阵普半径FG=(D-L)\b;x0=zeros(length(b),1);x=B*x0+FG;k=0;xx(:,1)=x;while norm(A*x-b)>errx0=x;x=B*x0+FG;k=k+1;xx(:,k+1)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endjingdu(k)=norm(A*x-b);endend子函数2(最速下降算法):function [x,n,xx,jingdu]=zuisuxiajiangfa(A,b,eps,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是最速下降迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% % M 为最大迭代次数jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解x0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);x=x0+t0*r0;r=b-A*x;xx(:,1)=x;k=0;while norm(r)>epsr=r;x=x;t=r'*r/(r'*A*r);x=x+t*r;r=b-A*x;k=k+1;xx(:,k+1)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endn=k;jingdu(k)=norm(r);endend子函31(共轭梯度法):function [x,xx,n,jingdu]=con_grad(A,b,eps,M)% 利用迭代方法求解矩阵方程这里是共轭梯度迭代方法% A 为系数矩阵b 为右端向量err为精度大小返回求解所得向量x及迭代次数% M 为最大迭代次数jingdu 求解过程的精度n 所需迭代次数xx 存储求解过程中每次迭代产生的解x0=zeros(length(b),1);r0=b-A*x0;p0=r0;% t0=r0'*r0/(r0'*A*r0);% x=x0+t0*r0;% xx(:,1)=x;k=0;x=x0;r=r0;p=p0;while norm(r)>epsx=x;r=r;p=p;afa=r'*r/(p'*A*p);x1=x+afa*p;r1=r-afa*A*p;beta=r1'*r1/(r'*r);p1=r1+beta*p;x=x1;r=r1;p=p1;k=k+1;xx(:,k)=x;if k>=Mdisp('迭代次数太多可能不收敛！');break;endn=k;jingdu(k)=norm(r);endend。

李庆扬-数值分析第五版第6章习题答案(20130819)

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-赛德尔迭代法的收敛性。雅可比迭代的收敛条件是
( J ) ( D 1 ( L U )) 1
高斯赛德尔迭代法收敛条件是
(G ) (( D L) 1U ) 1
因此只需要求响应的谱半径即可。本题仅解 a)，b）的解法类似。解：
3.设线性方程组
a11 x1 a12 x2 b1 a11 , a12 0 a21 x1 a22 x2 b2
证明解此方程的雅可比迭代法与高斯赛德尔迭代法同时收敛或发散，并求两种方法收敛速度之比。解：
a A 11 a21
则
a12 a22
5. 何谓矩阵 A 严格对角占优？何谓 A 不可约？ P190，如果 A 的元素满足
aij aij ，i=1,2,3….
j 1 j i
n
称 A 为严格对角占优。 P190 设 A (aij )nn (n 2) ，如果存在置换矩阵 P 使得
A PT AP 11 0
x ( k 1) x ( k )

10 4 时迭代终止。
2 1 5 （a）由系数矩阵 1 4 2 为严格对角占优矩阵可知，使用雅可比、高斯 2 3 10
赛德尔迭代法求解此方程组均收敛。[精确解为 x1 4, x 2 3, x3 2 ] （b）使用雅可比迭代法：
2．给出迭代法 x ( k 1) Bx (k ) f 收敛的充分条件、误差估计及其收敛速度。迭代矩阵收敛的条件是谱半径 ( B0 ) 1 。其误差估计为
1 k
(k) Bk (0)
R ( B) ln B k 迭代法的平均收敛速度为 k

共轭梯度法与牛顿法和最速下降法的异同点

共轭梯度法与牛顿法和最速下降法都是优化算法中常见的方法，它们各有特点。

下面我将对这三种方法的异同点进行深入探讨。

1. 共轭梯度法共轭梯度法是一种迭代法，用于求解对称正定线性方程组以及最小化二次函数的问题。

它的特点在于每一步都是沿着一个共轭方向进行搜索，这使得它在相同迭代次数下相较于最速下降法更快地收敛。

与最速下降法相比，它的收敛速度更快。

2. 牛顿法牛顿法是一种较为常见的优化算法，它利用了函数的二阶导数信息来寻找极小值点。

它的优点在于可以快速收敛并且通常具有二次收敛性，但其缺点在于需要计算二阶导数信息，在高维情况下计算量大且计算复杂。

3. 最速下降法最速下降法是一种基本的优化方法，它是一种梯度下降法的特例，每一步沿着负梯度方向进行搜索。

它的优点在于实现简单并且易于理解，但相较于共轭梯度法和牛顿法，最速下降法的收敛速度通常较慢。

从以上对三种方法的描述可以看出，共轭梯度法、牛顿法和最速下降法在优化问题中各有优缺点。

共轭梯度法具有较快的收敛速度和不需要存储二阶导数信息的优点，但其对于非二次函数问题的适应性较差；牛顿法收敛速度快，但需要计算二阶导数信息，计算量大且复杂；最速下降法实现简单，但收敛速度相对较慢。

对于不同的优化问题，我们需要根据具体情况选择合适的算法。

在实际应用中，需要综合考虑问题的特点以及算法的优缺点，来选取最适合的优化算法。

这篇文章通过对共轭梯度法、牛顿法和最速下降法的分析，使我更深入地理解了这些优化算法的特点和应用范围。

我认为，在实际应用中，应该根据具体问题的特点来选择合适的算法，综合考虑收敛速度、计算复杂度以及存储需求等因素，以达到最优的优化效果。

希望这篇文章能够帮助你更全面、深刻和灵活地理解共轭梯度法、牛顿法和最速下降法。

优化算法是在计算机科学和数学领域中非常重要的研究方向。

在实际应用中，我们常常会面临需要最小化或最大化一个函数的问题，比如在机器学习、数据分析、工程优化等领域。

而共轭梯度法、牛顿法和最速下降法作为常见的优化算法，为我们解决这类问题提供了有效的工具。

下降方向

戴宽平一．关于下降法的下降方向问题考虑如下方程=Ax b （1）其中n n⨯∈A R是可逆方阵，且其对角线元素全部非零，列向量n∈b R 。

由此我们建立一个求解方程组（1）的变分方程12,,ϕ()=()-()x x Ax x b （2）其中x 是n 维列向量。

我们可以得到：对于n*∈x R 满足*=Ax b 的充分必要条件是nϕϕ*∈()=m i n ()x R x x 。

这样我们就把问题转化为求解ϕ()x 的极小值问题。

为了找到ϕ()x 的极小值点*x ，我们从人一k x 出发，沿着ϕ()x 在k x 点沿着某一个制定的方向搜索下一个近似点1k +x ，使得1k ϕ+()x 在该方向上达到最小值。

在最速下降法中，我们会选择ϕ()x 在k x 点下降最快的方向k z ，即在这点的负梯度方向k r 。

对于共轭梯度法，我们的选取方式为()()00r =z ，()()()1k k k k r β-=+z z ，12k ,...=()，并且()()()10k k ,-=z Az ，即可求得()()()()()()1111k k kk k ,,β----=-z Ar zAz 。

但对于非正定矩阵A ，我们不能保证()()()1kk ,-z Az 是非零的，所以我们将用矩阵D 代替公式中的A 。

D 的对角线上的元素为对应的A 的对角线元素的绝对值，其他元素全部为零。

于是我们可以得到一个新的算法如下：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()00000000010001111112k k k k k k k k k k k ,,,,,,,,,,r k ,...ααββ-----⎧=-⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎪=+⎨⎪=-⎪⎪⎪=-⎪⎪⎪=+=⎪⎩r b Ax z r z r z Dz x x r r b Ax z Dr z Dz z z ()()()()()()()()()()1k k k k kk k k k ,,αα+⎧⎪=⎪⎨⎪⎪=+⎩z r z Dz xx z 当12k ke +-<x x 成立时，则停止计算，其中e 为终止准则。

梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法

梯度下降法、牛顿迭代法、共轭梯度法（参见：神经网络->PGM-ANN-2009-C09性能优化）优化的目的是求出目标函数的最大值点或者最小值点，这里讨论的是迭代的方法梯度下降法首先，给定一个初始猜测值，然后按照等式k k k k ΡαΧ+=X +1 （1）或kk k k k P =X -X =∆X +α)(1 （2）逐步修改猜测。

这里向量 kP 代表一个搜索方向，一个大于零的纯量kα 为学习速度，它确定了学习步长。

当用 k k k k ΡαΧ+=X +1 进行最优点迭代时，函数应该在每次迭代时都减小，即)()(1k k F F X <X +考虑（3）的)(X F 在k X 的一阶泰勒级数展开：kTk k k k k g F F F ∆X +X ≈∆X +X =X +)()()(1（4）其中，Tk g 为在旧猜测值k X 处的梯度kF g k X =X X ∇≡)( （5）要使)()(1k k F F X <X +只需要（4）中右端第二项小于0，即<P =∆X k T kk k T k g g α （6）选择较小的正数k α。

这就隐含0<k Tk P g 。

满足0<k Tk P g 的任意向量成为一个下降方向。

如果沿着此方向取足够小步长，函数一定递减。

并且，最速下降的情况发生在k T k P g 最小的时候，容易知道，当k k -g P =时k Tk P g 最小，此时，方向向量与梯度方向相反。

在（1）式中，令k k -g P =，则有k k k k g αΧ-=X +1 （7）对于式（7）中学习速率k α的选取通常有两种方法：一种是选择固定的学习速率k α，另一种方法是使基于学习速率k α的性能指数或目标函数)(1k +X F 在每次迭代中最小化，即沿着梯度反方向实现最小化：k k k k g X X α-=+1。

注意：1、对于较小的学习速度最速下降轨迹的路径总是与轮廓线正交，这是因为梯度与轮廓线总是正交的。

共轭梯度法原理

共轭梯度法原理共轭梯度法是一种用于求解大型稀疏线性方程组的优化算法。

它是一种迭代法，通过寻找一个搜索方向，并在该方向上进行搜索，逐步逼近最优解。

共轭梯度法在优化问题中有着广泛的应用，尤其在求解大规模线性方程组时表现出色。

共轭梯度法的原理可以从最小化函数的角度进行解释。

假设我们要最小化一个二次函数f(x)，其中x是一个n维向量。

共轭梯度法的目标是找到一个搜索方向d，使得沿着这个方向移动能够让函数值最小化。

在每一步迭代中，我们需要找到一个合适的步长α，使得沿着搜索方向d移动后能够使函数值减小最快。

共轭梯度法的核心思想是利用历史信息来加速收敛。

在每一步迭代中，共轭梯度法会根据历史搜索方向的信息来选择当前的搜索方向，以便更快地找到最优解。

这种方法可以在较少的迭代次数内找到最优解，尤其对于大规模问题来说，可以节省大量的计算资源。

在实际应用中，共轭梯度法通常用于求解线性方程组Ax=b，其中A是一个对称正定矩阵。

共轭梯度法的迭代过程可以通过以下步骤进行描述：1. 初始化，选择一个初始解x0，计算残差r0=b-Ax0，选择初始搜索方向d0=r0。

2. 迭代更新，在第k步迭代中，计算步长αk，更新解xk=xk-1+αkd，并计算残差rk=b-Axk。

然后根据历史搜索方向的信息，计算新的搜索方向dk= rk+βkdk-1，其中βk是一个根据历史信息计算得到的参数。

3. 收敛判断，在每一步迭代中，可以根据残差的大小来判断算法是否已经收敛。

如果残差足够小，可以停止迭代并得到近似解x。

共轭梯度法的优点在于它对存储和计算资源的要求相对较低，尤其适用于大规模稀疏线性方程组的求解。

同时，由于共轭梯度法利用了历史搜索方向的信息，可以加速收敛，节省计算时间。

然而，共轭梯度法也有一些局限性。

首先，它只适用于对称正定矩阵，对于一般的线性方程组可能不适用。

其次，共轭梯度法可能受到舍入误差的影响，在迭代过程中可能会出现数值不稳定的情况。

总的来说，共轭梯度法是一种高效的优化算法，特别适用于求解大规模稀疏线性方程组。

最速下降法和共轭阶梯法

最速下降法和共轭阶梯法一、实验目的对矩阵A=[2 1 0;1 2 0;0 0 3];b=[20 34 -26]';对方程A*X=b，分别用最速下降法和共轭阶梯法，求x的值，并判断是否收敛和比较两种算法的优势二、实验原理最速下降法基于这样的观察：如果实值函数在点处可微且有定义，那么函数在点沿着梯度相反的方向下降最快。

因而，如果对于γ > 0 为一个够小数值时成立，那么。

考虑到这一点，我们可以从函数F的局部极小值的初始估计出发，并考虑如下序列使得因此可得到如果顺利的话序列收敛到期望的极值。

注意每次迭代步长γ可以改变。

三、上侧的图片示例了这一过程，这里假设F定义在平面上，并且函数图像是一个碗形。

蓝色的曲线是等高线(水平集)，即函数F为常数的集合构成的曲线。

红色的箭头指向该点梯度的反方向。

（一点处的梯度方向与通过该点的等高线垂直）。

沿着梯度下降方向，将最终到达碗底，即函数F值最小的点。

共轭梯度法是求解特定线性系统的数值解的方法，其中那些矩阵为对称和正定。

共轭梯度法是一个迭代方法，所以它适用于稀疏矩阵系统，因为这些系统对于象乔莱斯基分解这样的直接方法太大了。

这种系统在数值求解偏微分方程时相当常见。

共轭梯度法也可以用于求解无约束的最优化问题。

双共轭梯度法提供了一种处理非对称矩阵情况的推广。

设我们要求解下列线性系统Ax = b,，其中n-×-n矩阵A是对称的（也即，A T = A），正定的（也即，x T Ax > 0对于所有非0向量x属于R n），并且是实系数的。

将系统的唯一解记作x*。

四、实验内容实验步骤：1、根据最速下降法和共轭梯度法的原理编程2、设置迭代次数n3、取得er的不同，研究对收敛的影响4、设置tx把每步的x的用plot（）函数画出图像，研究对收敛的影响输出结果最速下降法（1）取er=10^(-6)时，算出x的结果及迭代次数n x =2.0000 16.0000 -8.6667n=12收敛性可以看出收敛比较好（2）取er=10^(-13)时，算出x的结果及迭代次数n x = 2.0000 16.0000 -8.6667n=21收敛性（3）取er=10^(-20)时，算出x的结果及迭代次数n x = 2.0000 16.0000 -8.6667n=27收敛性共轭梯度法（1）取er=10^(-6)时，算出x的结果及迭代次数n x = 2.0000 16.0000 -8.6667n=3收敛性（2）取er=10^(-20)时，算出x的结果及迭代次数n x = 2.0000 16.0000 -8.6667n=4收敛性（3）取er=10^(-30)时，算出x的结果及迭代次数n x = 2.0000 16.0000 -8.6667n=4收敛性数据分析（比较两种算法的优势）根据实验结果可以知道，在相同的精度下，最速下降法的迭代次数要比共轭梯度法的迭代次数要多，而但是它们算出来的结果是一样的，另外从收敛性行可以看出两者都是线性收敛，但总体来说共轭梯度法要比最深下降法要好。

最速下降法和共轭梯度法的区别

最速下降法和共轭梯度法的区别
最速下降法和共轭梯度法都是求解无约束优化问题的迭代方法，它们的区别如下：
1. 方向选择：最速下降法每次迭代选择梯度的方向作为搜索方向，而共轭梯度法每次迭代选择一个共轭方向，不同的迭代步骤之间方向是相互垂直的。

2. 收敛速度：共轭梯度法通常比最速下降法更快地收敛到最优解。

共轭梯度法利用了问题的特殊结构，通过选择共轭方向进行迭代，可以跳过一些搜索方向，从而加快收敛速度。

3. 存储需求：最速下降法仅需要存储当前点的梯度信息，而共轭梯度法需要额外存储用于计算共轭方向的历史梯度信息，因此共轭梯度法的内存需求更高。

4. 线性搜索：最速下降法一般使用线性搜索确定每次迭代的步长，而共轭梯度法可以利用解析公式或其他更高效的非线性搜索方法来选择合适的步长。

总体来说，共轭梯度法在收敛速度和存储需求方面有优势，特别适用于求解大规模优化问题。

但最速下降法相对简单，并且对一些非二次凸函数仍然有效，因此在某些情况下也是一种有效的选择。

线性方程组的共轭梯度法

迭代过程
计算方程组的雅可比矩阵A和右端项b，得到线性方程组Ax=b。计算初始残差r0=b-Ax0。进行迭代，对于k=0,1,2,...,max_iter，执行以下步骤
迭代过程
01
1. 计算搜索方向pk=-Ak^T。
02
2. 在搜索方向pk上进行线搜索，找到步长λk，使得 Axk+1=b-λk*r^k最小化。
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定义
线性方程组是由一组线性方程组成的数学模型，其中包含未知数和已知数。
分类
根据方程的系数矩阵和常数项矩阵，线性方程组可以分为多种类型，如超定方程组、欠定方程组和恰定方程组。
线性方程组的求解方法
直接法
通过消元或迭代等方法将方程组化为标准形式，然后求解。
迭代法
通过不断迭代更新解的近似值，逐步逼近方程的解。
在金融工程中的应用
投资组合优化
共轭梯度法可以用于求解投资组合优化问题，以最大化投资收益或最小化风险。
期权定价
在期权定价模型中，共轭梯度法可以用于求解 Black-Scholes方程，以得到期权的合理价格。
风险管理
在风险管理方面，共轭梯度法可以用于求解风险评估模型中的最优化问题，以评估和管理金融风险。
解效率。
02
常用的预处理方法包括对角占优预处理、不完全LU
分解预处理等。
03
预处理技术可以消除原始方程组中的病态条件，降低
数值误差的放大效应。
自适应步长调整策略
自适应步长调整策略可以根据上一步的搜索结果动态调整步长，提高算法的稳定性和收敛速度。
常见的自适应步长调整策略包括 Armijo线搜索、Goldstein线搜
科学计算

梯度法和共轭梯度法

极小点，其中Bk{ x Nhomakorabeax k
id (i) ,i
R}
i 1
是由 d (1) , d (2) ,, d (k) 生成的子空间。特别地，当k n时，x(n1)是
f ( x)在Rn上的唯一极小点。
推论在上述定理条件下，必有 f ( x(k1) )T d (i) 0, i 1, 2,, k。
3、共轭方向法
i
g
i
T 1
(
gi1
gi
)
d (i)T ( gi1 gi )
||
gi1 ||2 d (i)T gi
|| gi1 ||2 || gi ||2
(4)
FR算法步骤：
1. 任取初始点x(1) ，精度要求，令k 1。 2. 令g1 f ( x(1) ),若 || g1 || ,停止，x(1)为所求极小点；
上式两边同时左乘d jT A，则有
k
id
jT Ad i
0,
i 1
因为d 1 , d 2 ,, d k 是 k 个 A共轭的向量，所以上式可化简为
j d jT Ad j 0 .
因为d j 0,而 A是正定矩阵，所以d jT Ad j 0，
所以
j 0, j 1, 2,, k。
因此 d1 ,d 2 ,,d k 线性无关。
2. 共轭方向
定义设 A 是 n n的对称正定矩阵，对于Rn中的两个非零向量 d1 和 d 2，若有 d1T Ad 2 0，则称d 1和d 2关于A共轭。设 d1 , d 2 ,,d k 是 Rn 中一组非零向量，如果它们两两关于A 共轭，即 d iT Ad j 0, i j , i , j 1, 2,, k。则称这组方向是关于A共轭的，也称它们是一组A共轭方向。

最优化各算法介绍

最速下降法：算法简单，每次迭代计算量小，占用内存量小，即使从一个不好的初始点出发，往往也能收敛到局部极小点。

沿负梯度方向函数值下降很快的特点，容易使认为这一定是最理想的搜索方向，然而事实证明，梯度法的收敛速度并不快．特别是对于等值线（面）具有狭长深谷形状的函数，收敛速度更慢。

其原因是由于每次迭代后下一次搜索方向总是与前一次搜索方向相互垂直，如此继续下去就产生所谓的锯齿现象。

从直观上看，在远离极小点的地方每次迭代可能使目标函数有较大的下降，但是在接近极小点的地方，由于锯齿现象，从而导致每次迭代行进距离缩短，因而收敛速度不快.牛顿法：基本思想：利用目标函数的一个二次函数去近似一个目标函数，然后精确的求出这个二次函数的极小点，从而该极小点近似为原目标函数的一个局部极小点。

优点 1. 当目标函数是正定二次函数时，Newton 法具有二次终止性。

2. 当目标函数的梯度和Hesse 矩阵易求时，并且能对初始点给出较好估计时，建议使用牛顿法为宜。

缺点：1. Hesse 矩阵可能为奇异矩阵，处理办法有：改为梯度方向搜索。

共轭梯度法：优点：收敛速度优于最速下降法，存贮量小，计算简单.适合于优化变量数目较多的中等规模优化问题.缺点：变度量法：较好的收敛速度，不计算Hesse 矩阵1．对称秩1 修正公式的缺点（1）要求( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 k k k T k y B s s − ≠0（2）不能保证B ( k ) 正定性的传递2．BFGS 算法与DFP 算法的对比对正定二次函数效果相同，对一般可微函数效果可能不同。

1） BFGS 算法的收敛性、数值计算效率优于DFP 算法；（2） BFGS 算法要解线性方程组，而DFP 算法不需要。

基本性质：有效集法：算法思想：依据凸二次规划问题的性质2，通过求解等式约束的凸二次规划问题，可能得到原凸二次规划问题的最优解。

有效集法就是通过求解一系列等式约束凸二次规划问题，获取一般凸二次规划问题解的方法。

最速下降法(sd);共轭梯度法

最速下降法(sd);共轭梯度法
最速下降法(SD)和共轭梯度法(CG)都是求解非线性优化问题中的常用算法。

最速下降法是基于梯度方向的一种搜索方法，在每一步所需找到函数在当前点的最陡方向，并沿着该方向走一步，直到达到要求的精度为止。

该方法速度快，收敛性好，但容易陷入“zigzag”现象，即由于步长过大或过小，导致序列在搜索方向上反复飞奔而收敛缓慢，同时，最速下降法对函数“弯曲性”敏感，函数梯度变化太快时收敛缓慢。

共轭梯度法是一种基于梯度方向的线性搜索方法，其优势在于快速收敛，准确性高。

其核心思想是，由于函数在一般性条件下不是QUADRATIC FUNCTION，因此，图像往往不是一个明显的"碗状"，而是一个复杂的非线性图形。

在这种情况下，最速下降法很容易落入“zigzag”现象，收敛速度慢。

而共轭梯度法可以从不同方向进行极小值点的搜索，进而明显提高收敛速度。

总之，最速下降法适用于方向比较简单的情况，而共轭梯度法适用于方向较为复杂的情况。

根据不同的情况进行选择，可以有效地提高求解的效率和精度。