高中数学四大思想

高中数学四大思想

1.数形结合思想

数形结合，“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。

实质：将抽象的数学语言与直观图形结合起来；将抽象思维和形象思维结合起来。抽象问题具体化，复杂问题简单化。

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：

（1）集合的运算及韦恩图；

（2）函数及其图象；

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象；

（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线.

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.

以数助形常用有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.

2.分类讨论思想

分类讨论思想，即根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.

原则：化整为零，各个击破。无重复、无遗漏、最简。

步骤：

1）明确讨论对象，确定对象范围；

2）确定分类标准，进行合理分类，做到不重不漏；

3）逐类讨论，获得阶段性结果；

4）归纳总结，得出结论。

常见的分类情形有：按数分类；按字母的取值范围分类；按事件的可能情况分类；按图形的位置特征分类等.

3.函数与方程思想

函数思想，即将所研究的问题借助建立函数关系式或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；

方程思想，即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.

运用函数与方程的思想时，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化，应做到：

（1）深刻理解函数f(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质。

（2）密切注意一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式等问题；掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略。

4.转化与化归思想

转化与化归思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将，问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想。

转化，是将数学命题由一种形式向另一种形式的变换过程；

化归，是把待解决的问题通过某种转化过程归结为一类已经解决或比较容易解决的问题.

转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的；不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。

原则：化难为易、化生为熟、化繁为简，尽量是等价转化.

常见的转化有：正与反的转化、数与数的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化.