专题三 五大数学思想方法 第四节

专题三5大数学思想方法

第四节方程思想与函数思想

类型十五方程思想在实际生活中的应用

(2018·台湾中考)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售，且每盒

方形礼盒的价钱相同，每盒圆形礼盒的价钱相同．阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒，但他身上的钱会不足240元，如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒，他身上的钱会剩下240元．若阿郁最后购买10盒方形礼盒，则他身上的钱会剩下多少元？( )

A．360 B．480

C．600 D．720

【分析】设每盒方形礼盒x元，每盒圆形礼盒y元，根据阿郁身上的钱数不变列出方程，再根据阿郁最后购买10盒方形礼盒求解即可．

【自主解答】

17．(2018·新疆中考)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支，第二次又用

600元购进该款铅笔，但这次每支的进价是第一次进价的5

4

倍，购进数量比第一

次少了30支．则该商店第一次购进的铅笔，每支的进价是______元．

类型十六 方程思想在几何中的应用

(2018·湖南湘潭中考)如图，AB 是以O 为圆心的半圆的直径，半径

CO⊥AO，点M 是AB ︵

上的动点，且不与点A ，C ，B 重合，直线AM 交直线OC 于点D ，连结OM 与CM. (1)若半圆的半径为10.

①当∠AOM＝60°时，求DM 的长； ②当AM ＝12时，求DM 的长．

(2)探究：在点M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【分析】(1)①当∠AOM＝60°时，△AMO 是等边三角形，从而可知∠MOD＝30°，∠D＝30°，所以DM ＝OM ＝10；

②过点M 作MF⊥OA 于点F ，设AF ＝x ，OF ＝10－x ，利用勾股定理即可求出x 的值．易证明△AMF∽△ADO，从而可知AD 的长度，进而可求出MD 的长度． (2)根据点M 的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案． 【自主解答】

数与形的组合历来都是公认的求解数学问题的理想方法，它会使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化，几何方面的计算题便是求某些未知数的值，都可以用方程来解决．要根据两边相等、勾股定理、相似三角形中的比例线段、题目中本身具有的等量关系等建立方程，从而达到解决问题的目的．

18．(2018·山东潍坊中考)如图，点M是正方形ABCD边CD上一点，连结AM，作DE⊥AM于点E，BF⊥AM于点F，连结BE.

(1)求证：AE＝BF；

(2)已知AF＝2，四边形ABED的面积为24，求∠EBF的正弦值．

类型十七方程思想在函数中的应用

(2018·广西桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交

于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.

(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标；

(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】(1)根据待定系数法，可得函数表达式；

(2)根据线段垂直平分线的性质，可得M在线段AB和线段AC的垂直平分线上，根据勾股定理，可得答案；

(3)根据相似三角形的判定与性质，可得F点坐标，根据解方程组，可得D点坐标，根据正切值，可得tan∠ABE＝2，①根据待定系数法，可得BM，根据解方程组，可得E点坐标；②根据正切值，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

【自主解答】

方程与函数本身就有必然的联系，函数本身就可以看成一个方程，因此方程与函数有着相同的思路和解题方法．此类问题常见的形式有用待定系数法确定函数关系式，求两个函数图象的交点等．

19．(2018·湖南湘潭中考)如图，点M 在函数y ＝3

x (x ＞0)的图象上，过点M 分

别作x 轴和y 轴的平行线交函数y ＝1

x (x ＞0)的图象于点B ，C.

(1)若点M 的坐标为(1，3)． ①求B ，C 两点的坐标； ②求直线BC 的表达式； (2)求△BMC 的面积．

类型十八函数思想在实际生活中的应用

(2018·浙江舟山中考)小红帮弟弟荡秋千(如图1)，秋千离地面的高度

h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图2所示．

(1)根据函数的定义，请判断变量h是否为关于t的函数？

(2)结合图象回答：

①当t＝0.7 s时，h的值是多少？并说明它的实际意义；

②秋千摆动第一个来回需多少时间？

【分析】(1)根据函数的定义判断即可；

(2)通过观察图象求解即可．

【自主解答】

数学源于生活，又用于生活，生活中我们常把实际问题转化为数学问题来解决，往往需要找出其中的等量关系来建立函数关系，求出问题的答案，如用一次函数、反比例函数、二次函数等知识来解决生活中遇到的问题．

20．(2016·浙江衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长50 m)，中间用两道墙隔开(如图)．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48 m，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为__________m2.

类型十九函数思想在数与式中的应用

(2018·山东临沂中考)一列自然数0，1，2，3，…，100.依次将该列数

中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是( ) A．原数与对应新数的差不可能等于零

B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大

C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30

D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大

【分析】设出原数，表示出新数，利用解方程和函数性质即可求解．

【自主解答】