高度平衡的二叉树

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平衡二叉树10.3.2

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96 98
25
(1) LL型调整型调整 p A 1 2
调整方法: 调整方法: 单向右旋平衡,即将的左孩子单向右旋平衡,即将A的左孩子 B 向右上旋转代替成为根结点, 向右上旋转代替A成为根结点成为根结点, 结点向右下旋转成为B的右将A结点向右下旋转成为的右结点向右下旋转成为子树的根结点, 子树的根结点,而B的原右子树的原右子树则作为A结点的左子树结点的左子树. 则作为结点的左子树. h d e B
1 38 -1 24 88
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1,平衡二叉树插入结点的调整方法
若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性, 若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性, 首先从根结点到该新插入结点的路径之逆向根结点方向找第一个失去平衡的结点, 衡的结点,然后以该失衡结点和它相邻的刚查找过的两个结点构成调整子树(最小不平衡子树即调整子树是指以离插入结点最近,且平衡因子最小不平衡子树), 子树最小不平衡子树 ,即调整子树是指以离插入结点最近且平衡因子绝对值大于1的结点为根结点的子树使之成为新的平衡子树. 的结点为根结点的子树,使之成为新的平衡子树绝对值大于的结点为根结点的子树使之成为新的平衡子树. 38 24 88 -2
(2)RR型调整型调整 p A -1 -2
调整方法: 调整方法: 单向左旋平衡:即将的右孩子的右孩子B向单向左旋平衡:即将A的右孩子向左上旋转代替A成为根结点成为根结点, 左上旋转代替成为根结点,将A结结点向左下旋转成为B的左子树的根点向左下旋转成为的左子树的根结点, 的原左子树则作为A结点结点,而B的原左子树则作为结点的原左子树则作为的右子树. 的右子树. B

详解平衡二叉树

一、平衡二叉树的概念平衡二叉树(Balanced binary tree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的，所以又称为AVL树。

定义：平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:（1）左右子树深度之差的绝对值不超过1;（2）左右子树仍然为平衡二叉树.平衡因子BF=左子树深度－右子树深度.平衡二叉树每个结点的平衡因子只能是1，0，-1。

若其绝对值超过1，则该二叉排序树就是不平衡的。

如图所示为平衡树和非平衡树示意图：二、平衡二叉树算法思想若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。

首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。

然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系，使之成为新的平衡子树。

当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后，原有其他所有不平衡子树无需调整，整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。

失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近，且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。

假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点，则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。

1）LL型平衡旋转法由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。

故需进行一次顺时针旋转操作。

即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点，A向右下旋转成为B的右子树的根结点。

而原来B的右子树则变成A的左子树。

（2）RR型平衡旋转法由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F，使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。

故需进行一次逆时针旋转操作。

即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点，A向左下旋转成为C的左子树的根结点。

而原来C的左子树则变成A的右子树。

（3）LR型平衡旋转法由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。

故需进行两次旋转操作（先逆时针，后顺时针）。

即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置，然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。

平衡二叉树高度计算公式

平衡二叉树高度计算公式
平衡二叉树的高度可以使用以下公式计算：
H = log2(N+1) - 1
其中，N为平衡二叉树中节点的个数，H为平衡二叉树的高度。

公式的基本思想是，对于一棵高度为H的平衡二叉树，它的节点数N最小值是2^H - 1，最大值是2^(H+1) - 1。

因此，根据节点数N 可以推导得到平衡二叉树的高度H。

需要注意的是，此公式适用于普通的平衡二叉树，例如AVL树、红黑树等，但对于某些特殊的平衡二叉树，可能无法直接使用此公式计算高度。

例如，B树、B+树等平衡树的高度计算方法是不同的。

此外，需要注意在实际编写代码时，为了避免精度问题，可以将公式转化为H = ceil(log(N+1)/log(2)) - 1，其中ceil函数表示向上取整。

平衡二叉树

#define EH 0 //等高
#define RH -1 //右高
//平衡二叉树的类型
struct AVLNode
{
int data;
int bf; //bf结点的平衡因子,只能够取0，-1，1，为左子树的深度减去右子树的深度
struct AVLNode *lchild,*rchild; //左、右孩子指针
{
AVLNode *rc,*rd;
rc=T->rchild;
switch(rc->bf)
{
case RH:
T->bf=rc->bf=EH;
L_Rotate(T);
break;
case LH:
rd=rc->lchild;
switch(rd->bf)
{
case RH:
T->bf=LH;
rc->bf=EH;
};
2.右旋操作：
void R_Rotate(AVLNode *&p)//LL型算法
{
AVLNode *lc=p->lchild; // lc指向p的左子树根结点
p->lchild=lc->rchild; // lc的右子树挂接为p（之前跟节点）的左子树
lc->rchild=p;
p=lc; // p指向新的根结点
插入和删除：
插入删除是互为镜像的操作。我们可以采用前面对二叉排序树的删除操作来进行。然后，在删除掉结点后，再对平衡树进行平衡化处理。删除之所以删除操作需要的平衡化可能比插入时次数多，就是因为平衡化不会增加子树的高度，但是可能会减少子树的高度，在有有可能使树增高的插入操作中，一次平衡化能抵消掉增高；在有可能使树减低的删除操作中，平衡化可能会带来祖先节点的不平衡。AVL树体现了一种平衡的美感，两种旋转是互为镜像的，插入删除是互为镜像的操作，没理由会有那么大的差别。实际上，平衡化可以统一的这样来操作：

平衡二叉树特点

平衡二叉树特点
平衡二叉树是一种特殊的二叉查找树，具有以下特点：
1. 左右子树的高度差不超过1：平衡二叉树要求树中任意节点的左子树和右子树的高度差不超过1。

这样可以保证树的整体结构比较平衡。

2. 每个节点的左子树和右子树都是平衡二叉树：除了要求整棵树是平衡的，平衡二叉树还要求每个节点的左子树和右子树都是平衡二叉树。

这个特点可以通过递归来实现。

3. 平衡二叉树的高度大致为logN：由于平衡二叉树的高度差不超过1，因此在最坏情况下，一棵有N个节点的平衡二叉树的高度约为logN，这大大优于普通的二叉查找树。

4. 查找、插入和删除的时间复杂度都是O(logN)：由于平衡二叉树的高度较低，对于含有N个节点的平衡二叉树，可以在O(logN)的时间复杂度内进行查找、插入和删除操作。

需要额外注意的是，平衡二叉树并不是绝对平衡的，只是相比于普通的二叉查找树，它更趋于平衡，通过旋转操作来维持平衡。

13个结点的平衡二叉树的最大高度

提前警告：本篇文章将深入探讨13个结点的平衡二叉树的最大高度这一主题，以让你更全面地了解和掌握相关知识。

目录1.什么是平衡二叉树2.13个结点的平衡二叉树构建3.平衡二叉树的最大高度究竟有多高4.与平衡二叉树相关的应用场景5.总结与展望1. 什么是平衡二叉树让我们来了解一下什么是平衡二叉树。

平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它要求对于树中的每一个节点，它的左子树和右子树的高度差不能超过1。

这个定义保证了平衡二叉树的查询效率始终保持在一个较高水平。

2. 13个结点的平衡二叉树构建接下来，我们来看看怎样构建一个包含13个结点的平衡二叉树。

在构建平衡二叉树时，一般会选择中间结点作为根结点，然后将剩下的结点平分成左右两部分，分别作为左子树和右子树。

这样构建出来的平衡二叉树，可以确保树的高度尽可能地小，从而提高了查询效率。

3. 平衡二叉树的最大高度究竟有多高既然我们已经了解了如何构建平衡二叉树，接下来就是了解13个结点的平衡二叉树的最大高度究竟有多高了。

对于包含13个结点的平衡二叉树，它的最大高度应该是4。

这是由平衡二叉树的特性决定的，即每个结点的左右子树高度差不超过1。

通过数学计算可以得出，当结点数为13时，平衡二叉树的最大高度为4。

4. 与平衡二叉树相关的应用场景平衡二叉树作为一种高效的数据结构，被广泛地应用在各个领域。

其中，最常见的应用场景包括数据库索引、缓存淘汰算法、负载均衡等。

特别是在现代大数据处理和分布式系统中，平衡二叉树的应用更是不可或缺。

通过合理地构建平衡二叉树，可以大大提高系统的性能和稳定性。

5. 总结与展望我们在本文中深入探讨了13个结点的平衡二叉树的最大高度这一主题。

从平衡二叉树的定义、构建、最大高度以及应用场景等多个方面展开讨论，希望能够让你对这一主题有更深入的理解。

在未来的学习和工作中，希望你能够灵活运用平衡二叉树，发挥其高效查询的优势，为自己的发展增添动力。

个人观点：平衡二叉树作为一种重要的数据结构，在计算机领域有着广泛的应用前景。

数据结构：二叉树、平衡二叉树、红黑树详解

数据结构：⼆叉树、平衡⼆叉树、红⿊树详解⼀、⼆叉树（binary tree）指每个节点最多含有两个⼦树的树结构。

时间复杂度为O(log N)，在退化成链表的情况下时间复杂度为O(N)。

特点：1.所有节点最多拥有两个⼦节点；2.节点的左⼦树只包含⼩于当前根节点的数，节点的右⼦树只包含⼤于当前根节点的数。

缺点：只会以我们第⼀次添加的节点为根节点，如果后⾯添加的节点值都⼤于或⼩于根节点的值，在这种情况下会退化成链表。

⼆、平衡⼆叉树（Balanced Binary Tree）⼜称为AVL树，具有⼆叉树的全部特性，解决⼆叉树退化成链表情况的问题，每个节点的左⼦树和右⼦树的⾼度之差不会超过1，AVL树是严格的平衡⼆叉树，追求完全平衡，⽐较严格。

缺点：由于要求每个节点的左⼦树和右⼦树⾼度之差不超过1，这个要求⾮常严格，追求完全平衡，这就导致了在频繁插⼊和删除的场景中，可能就会导致AVL树失去平衡，AVL树就需要频繁的通过左旋右旋使其重新达到平衡，这时就会时得其性能⼤打折扣。

三、红⿊树和AVL树相⽐，红⿊树放弃追求完全平衡，⽽是追求⼤致平衡，保证每次插⼊节点最多只需要三次旋转就能达到平衡，维持平衡的耗时较少，实现起来也更为简单，它的旋转次数较少，对于频繁插⼊和删除操作的场景，相⽐AVL树，红⿊树更具优势。

特征：1.红⿊树是也是平衡⼆叉树实现的⼀种⽅式2.节点只能是⿊⾊或者红⾊，root根节点⼀定是⿊⾊3.新增时默认新增的节点是红⾊，不允许两个红⾊节点相连4.红⾊节点的两个⼦节点⼀定是⿊⾊红⿊树变换规则三种规则：1.改变节点颜⾊2.左旋转3.右旋转变⾊的情况：当前节点的⽗亲节点是红⾊，并且它的祖⽗节点的另外⼀个⼦节点（叔叔节点）也是红⾊：以当前节点为指针进⾏操作1.将⽗亲节点变为⿊⾊2.将叔叔节点变为⿊⾊3.将祖⽗节点变为红⾊4.再把指针定义到祖⽗节点进⾏旋转操作左旋转：当⽗亲节点为红⾊情况，叔叔节点为⿊⾊情况，且当前节点是右⼦树，左旋转以⽗节点作为左旋。

高度平衡的二叉树

高度平衡的二叉搜索树
AVL( Addison-Velski and Landis )树伸展树红黑树

二叉搜索树性能分析

对于有 n 个关键码的集合，其关键码有 n! 种不同排列，可构成不同二叉搜索树有 1 n C 2 n (棵)
n 1
{2, 1, 3} {1, 2, 3} {1, 3, 2} {2, 3, 1} {3, 1, 2} {3, 2, 1}
B
BRAຫໍສະໝຸດ AR中序序列：BL
B
BR
A
AR
注意：改组后
B
A
平衡度为 0
2）RR平衡旋转：若在A的右子树的右子树上插入结点，使A的平衡
因子从-1增加至-2，需要进行一次逆时针旋转。
(以B为旋转轴）
A B A C
左单旋转 (RotateLeft )
+1
A
0
+2
A
+1
C C A
0
0
B h D h
(a)
C E
Double Rotations
Fig. 28-5 (a) Adding 70 to the tree in Fig. 28-2c destroys its balance; to restore the balance, perform both (b) a right rotation and (c) a left rotation.
h
B
E
h D h
(b)
E
h + 1
B
h
D h + h 1
(c)
如果在子树E中插入一个新结点，该子树高度增1导致结点A的平衡因子变成+2，出现不平衡。沿插入路径检查三个结点A、C和E。它们处于一条方向为“\”的直线上，需要做左单旋转。以结点C为旋转轴，让结点A反时针旋转。

简述二叉树的五种形态

简述二叉树的五种形态
二叉树是一种树形结构，每个节点最多只有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。

在实际应用中，二叉树的形态有五种基本类型，分别为满二叉树、完全二叉树、平衡二叉树、线索二叉树和二叉排序树。

1. 满二叉树：所有非叶子节点都有左右两个子节点，且所有叶子节点都在同一层，是一种高度平衡的二叉树。

2. 完全二叉树：除最后一层外，每一层都是满的，最后一层的节点从左到右连续地填满，是一种高效的数据结构，可以用数组来存储。

3. 平衡二叉树：左右子树的高度差不超过1，能够保证二叉树的查找效率，常见的平衡二叉树有AVL树和红黑树等。

4. 线索二叉树：在二叉树的节点上增加指向前驱和后继节点的指针，可以提高二叉树的遍历效率。

5. 二叉排序树：也称为二叉搜索树，左子树上的节点都比根节点小，右子树上的节点都比根节点大，可以用于快速查找和排序。

以上是二叉树的五种基本形态，每种形态都有其特定的应用场景和优缺点，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的形态。

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计算机数据结构复习题2

1解、采用遍历方式判断无向图G是否连通。若用深度优先遍历方法，先给visited[]数组置初值0，然后从0顶点开始遍历该图。在一次遍历后，若所有顶点i的visited[i]均为1,则该图是连通的，否则不连通。
1算法如下： int connect(AGraph *G) { int i,flag=1; for (i=0;i<G->n;i++) visited[i]=0; DFS(G,0); for (i=0;i<G->n;i++) if (visited[i]==0) flag=0; break; } return flag; }
D.(n-1)(m/2 -1)+1 解：根结点至少有一个关键字，其他n-1 个结点至少有(m/2 -1)个关键字，总共包含.(n-1)(m/2 -1)+1
B． n D.(n-1)(m/2 -1)+1
三、算法设计题
1.假设图G采用邻接表存储，试设计一个算法，判断无向图G是否连通。若连通则返回1，否则返回0.
5．树形如下：
A
B
C
G
H
D
E
F
I
L
J
K
先根遍历次序：ABCDEFGHIJKL
6.（1）什么是递归程序？（2）递归程序的优、缺点是什么？（3）递归程序在执行时，应借助于什么来完成？（4）递归程序的入口语句、出口语句一般用什么语句实现？
答案:
6.（1）一个函数在结束本函数之前，直接或
}
3．有一种简单的排序算法,叫做计数排序。这种排序算法对一个待排序的表(用数组表示)进行排序, 并将排序结果存放到另一个新的表中。必须注意的是,表中所有待排序的关键字互不相同,计数排序算法针对表中的每个记录,扫描待排序的表一趟,统计表中有多少个记录的关键字比该记录的关键字小。假设对某一个记录,统计出数值为c,那么这个记录在新的有序表中的合适的存放位置即为c。 (1)给出适用于计数排序的数据表定义。 (2)编写实现计数排序的算法。 (3)对于有n个记录的表,比较次数是多少? (4)与直接选择排序相比,这种方法是否更好?为什么?

平衡二叉树平衡因子

平衡二叉树平衡因子
平衡二叉树平衡因子是指该节点的左子树高度减去右子树高度
的绝对值。

平衡因子的取值范围为-1、0、1，若平衡因子的绝对值大于1，则该节点所在的子树不平衡，需要进行旋转操作使其重新平衡。

平衡二叉树的平衡因子是实现平衡的关键，通过平衡因子的计算和调整，可以保证平衡二叉树的高度始终保持在O(log n)的范围内，从而保证了树的查找、插入和删除操作的时间复杂度都能够达到
O(log n)的级别。

平衡因子的计算方法是通过递归遍历左右子树来计算节点的左
右子树高度之差，然后求绝对值。

当平衡因子的绝对值大于1时，需要根据不同情况进行旋转操作，如左旋、右旋、左右旋或右左旋等，以达到平衡二叉树的目的。

总之，平衡二叉树平衡因子是实现平衡的关键，对于平衡二叉树的构建和维护都至关重要。

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算法（平衡二叉树）

算法（平衡⼆叉树）科普⼆叉树⼆叉树⼆叉数是每个节点最多有两个⼦树,或者是空树(n=0),或者是由⼀个根节点及两个互不相交的,分别称为左⼦树和右⼦树的⼆叉树组成满⼆叉树有两个⾮空⼦树(⼆叉树中的每个结点恰好有两个孩⼦结点切所有叶⼦结点都在同⼀层)也就是⼀个结点要么是叶结点，要么是有两个⼦结点的中间结点。

深度为k且含有2^k-1个结点的⼆叉树完全⼆叉树从左到右依次填充从根结点开始，依次从左到右填充树结点。

除最后⼀层外，每⼀层上的所有节点都有两个⼦节点，最后⼀层都是叶⼦节点。

平衡⼆叉树AVL树[3,1,2,5,9,7]⾸先科普下⼆叉排序树⼜称⼆叉查找树,议程⼆叉搜索树⼆叉排序树的规则⽐本⾝⼤放右边,⽐本⾝⼩放左边平衡⼆叉数⾸先是⼀个⼆叉排序树左右两个⼦树的⾼度差不⼤于1下⾯图中是平衡的情况下⾯是不平衡的情况引⼊公式(LL)右旋function toateRight(AvlNode){let node=AvlNode.left;//保存左节点 AvlNode.left=node.right;node.right=AvlNode;}(RR)左旋function roateLeft(AvlNode){let node=AvlNode.right;//保存右⼦节点AvlNode.right=node.left;node.left=AvlNode;return node;}左右旋⼤图判断⼆叉树是不是平衡树⼆叉树任意结点的左右⼦树的深度不超过1深度计算定义⼀个初始化的⼆叉树var nodes = {node: 6,left: {node: 5,left: {node: 4},right: {node: 3}},right: {node: 2,right: {node: 1}}}//计算⾼度const treeDepth = (root) => {if (root == null) {return 0;}let left = treeDepth(root.left)let right = treeDepth(root.right)return 1+(left>right?left:right)}//判断深度const isTree=(root)=>{if (root == null) {return true;}let left=treeDepth(root.left)let right=treeDepth(root.right)let diff=left-right;if (diff > 1 || diff < -1) {return false}return isTree(root.left)&&isTree(root.right) }console.log(isTree(nodes))判断⼆叉数是不是搜索⼆叉树//第⼀种 //中序遍历let last=-Infinity;const isValidBST=(root)=>{if (root == null) {return true;}//先从左节点开始if (isValidBST(root.left)) {if (last < root.node) {last=root.node;return isValidBST(root.right)}}return false}console.log(isValidBST(nodes))//第⼆种const isValidBST = root => {if (root == null) {return true}return dfs(root, -Infinity, Infinity)}const dfs = (root, min, max) => {if (root == null) {return true}if (root.node <= min || root.node >= max) {return false}return dfs(root.left, min, root.node) && dfs(root.right, root.node, max)}console.log(isValidBST(nodes))实现⼀个⼆叉树实现了⼆叉树的添加,删除,查找,排序//⼆叉树结点class TreeNode {constructor(n, left, right){this.n = n;this.left = left;this.right = right;}}//⼆叉树class BinaryTree {constructor(){this.length = 0;this.root = null;this.arr = [];}//添加对外⼊⼝，⾸个参数是数组，要求数组⾥都是数字，如果有不是数字则试图转成数字，如果有任何⼀个⽆法强制转成数字，则本操作⽆效 addNode(){let arr = arguments[0];if(arr.length == 0) return false;return this.judgeData('_addNode', arr)}//删除结点deleteNode(){let arr = arguments[0];if(arr.length == 0) return false;return this.judgeData('_deleteNode', arr)}//传值判断，如果全部正确，则全部加⼊叉树judgeData(func, arr){let flag = false;//任何⼀个⽆法转成数字，都会失败if(arr.every(n => !Number.isNaN(n))){let _this = this;arr.map(n => _this[func](n));flag = true;}return flag;}//添加的真实实现_addNode(n){n = Number(n);let current = this.root;let treeNode = new TreeNode(n, null, null);if(this.root === null){this.root = treeNode;}else {current = this.root;while(current){let parent = current;if(n < current.n){current = current.left;if(current === null){parent.left = treeNode;}}else {current = current.right;if(current === null){parent.right = treeNode;}}}}this.length++;return treeNode;}//删除节点的真实实现_deleteNode(n){n = Number(n);if(this.root === null){return;}//查找该节点，删除节点操作⽐较复杂，为排除找不到被删除的节点的情况，简化代码，先保证该节点是存在的，虽然这样做其实重复了⼀次查询了，但⼆叉树的查找效率很⾼，这是可接受的let deleteNode = this.findNode(n);if(!deleteNode){return;}//如果删除的是根节点if(deleteNode === this.root){if(this.root.left === null && this.root.right === null){this.root = null;}else if(this.root.left === null){this.root = this.root.right;}else if(this.root.right === null){this.root = this.root.left;}else {let [replaceNode, replacePNode, rp] = this.findLeftTreeMax(deleteNode);replacePNode[rp] = null;replaceNode.left = this.root.left;replaceNode.right = this.root.right;this.root = replaceNode;}}else {//被删除的⽗节点，⼦节点在⽗节点的位置p，有left,right两种可能let [deleteParent, p] = this.findParentNode(deleteNode);if(deleteNode.left === null && deleteNode.right === null){deleteParent[p] = null;}else if(deleteNode.left === null){deleteParent[p] = deleteNode.right;}else if(deleteNode.right === null){deleteParent[p] = deleteNode.left;}else {//⽤来替换被删除的节点，⽗节点，节点在⽗节点的位置let [replaceNode, replacePNode, rp] = this.findLeftTreeMax(deleteNode);if(replacePNode === deleteNode){deleteParent[p] = replaceNode;}else {deleteParent[p] = replaceNode;replacePNode.right = null;}replacePNode[rp] = null;replaceNode.left = deleteNode.left;replaceNode.right = deleteNode.right;}}this.length--;}//查找findNode(n){let result = null;let current = this.root;while(current){if(n === current.n){result = current;break;}else if(n < current.n){current = current.left;}else {current = current.right;}}return result;}//查找⽗节点findParentNode(node){let [parent, child, p] = [null, null, null];if(this.root !== node){parent = this.root;if(node.n < parent.n){child = parent.left;p = 'left';}else {child = parent.right;p = 'right';}while(child){if(node.n === child.n){break;}else if(node.n < child.n){parent = child;child = parent.left;p = 'left';}else {parent = child;child = parent.right;p = 'right';}}}return [parent, p];}//查找当前有左⼦树的节点的最⼤值的节点M，如有A个节点被删除，M是最接近A点之⼀（还有⼀个是右⼦树节点的最⼩值） findLeftTreeMax(topNode){let [node, parent, p] = [null, null, null];if(this.root === null || topNode.left === null){return [node, parent, p];}parent = topNode;node = topNode.left;p = 'left';while(node.right){parent = node;node = node.right;p = 'right';}return [node, parent, p];}//查找最⼤值maxValue(){if(this.root !== null){return this._findLimit('right');}}//查找最⼩值minValue(){if(this.root !== null){return this._findLimit('left');}}//实现查找特殊值_findLimit(pro){let n = this.root.n;let current = this.root;while(current[pro]){current = current[pro];n = current.n;}return n;}//中序排序,并⽤数组的形式显⽰sortMiddleToArr(){this._sortMiddleToArr(this.root);return this.arr;}//中序⽅法_sortMiddleToArr(node){if(node !== null){this._sortMiddleToArr(node.left);this.arr.push(node.n);this._sortMiddleToArr(node.right);}}//打印⼆叉树对象printNode(){console.log(JSON.parse(JSON.stringify(this.root)));}}//测试var binaryTree = new BinaryTree();binaryTree.addNode([50, 24, 18, 65, 4, 80, 75, 20, 37, 40, 60]);binaryTree.printNode();//{n: 50, left: {…}, right: {…}}console.log(binaryTree.maxValue());//80console.log(binaryTree.minValue());//4console.log(binaryTree.sortMiddleToArr());// [4, 18, 20, 24, 37, 40, 50, 60, 65, 75, 80] binaryTree.deleteNode([50]);binaryTree.printNode();//{n: 40, left: {…}, right: {…}}排序复习function ArrayList() {this.array = [];}ArrayList.prototype = {constructor: ArrayList,insert: function(item) {this.array.push(item);},toString: function() {return this.array.join();},swap: function(index1, index2) {var aux = this.array[index2];this.array[index2] = this.array[index1];this.array[index1] = aux;},//冒泡排序bubbleSort: function() {var length = this.array.length;for (var i = 0; i < length; i++) {for (var j = 0; j < length - 1 - i; j++) {if (this.array[j] > this.array[j + 1]) {this.swap(j, j + 1);}}}},//选择排序selectionSort: function() {var length = this.array.length;var indexMin;for (var i = 0; i < length - 1; i++) {indexMin = i;for (var j = i; j < length; j++) {if (this.array[indexMin] > this.array[j]) {indexMin = j;}}if (indexMin !== i) {this.swap(indexMin, i);}}},//插⼊排序insertionSort: function() {var length = this.array.length;var j;var temp;for (var i = 1; i < length; i++) {temp = this.array[i];j = i;while (j > 0 && this.array[j - 1] > temp) {this.array[j] = this.array[j - 1];j--;}this.array[j] = temp;}},//归并排序mergeSort: function() {function mergeSortRec(array) {var length = array.length;if (length === 1) {return array;}var mid = Math.floor(length / 2);var left = array.slice(0, mid);var right = array.slice(mid, length);return merge(mergeSortRec(left), mergeSortRec(right)); }function merge(left, right) {var result = [];var il = 0;var ir = 0;while (il < left.length && ir < right.length) {if (left[il] < right[ir]) {result.push(left[il++]);} else {result.push(right[ir++]);}}while (il < left.length) {result.push(left[il++]);}while (ir < right.length) {result.push(right[ir++]);}return result;}this.array = mergeSortRec(this.array);},//快速排序quickSort:function(){function sort(array){if (array.length <= 1) {return array;}var pivotIndex = Math.floor(array.length/2);var pivot = array.splice(pivotIndex,1)[0];var left = [];var right = [];for(var i = 0; i < array.length; i++){if (array[i] < pivot) {left.push(array[i]);}else{right.push(array[i]);}}return sort(left).concat([pivot],sort(right));}this.array = sort(this.array);}};...................................................................................................................############################################################################ ###################################################################################。

平衡二叉树构造过程

平衡二叉树构造过程1.插入操作：插入新节点是平衡二叉树构造过程中的基本操作之一、首先，将新节点插入到二叉树中的合适位置，然后检查树的平衡性。

在插入过程中，需要更新每个节点的高度，并验证是否需要进行旋转操作，以保持树的平衡。

具体插入操作的步骤如下：1.1在树中查找合适的位置插入新节点，按照二叉树的规则：-如果新节点值小于当前节点值，则继续在当前节点的左子树中查找合适位置插入新节点；-如果新节点值大于当前节点值，则继续在当前节点的右子树中查找合适位置插入新节点；-如果当前节点为空，则将新节点插入到此位置。

1.2更新每个节点的高度，从插入的节点开始，向上遍历到根节点。

计算每个节点的左子树高度和右子树高度，然后取其中较大值加1作为节点的新高度。

1.3验证平衡性。

对于每个节点，计算其左右子树高度差的绝对值，如果超过1，则需要进行旋转操作。

2.旋转操作：旋转是平衡二叉树构造过程中的关键步骤，用来调整树的结构，使其保持平衡。

2.1左旋：将当前节点的右子树变为新的根节点，当前节点成为新的根节点的左子树，新的根节点的左子树成为当前节点的右子树。

2.2右旋：将当前节点的左子树变为新的根节点，当前节点成为新的根节点的右子树，新的根节点的右子树成为当前节点的左子树。

2.3左右旋：先对当前节点的左子树进行左旋操作，然后再对当前节点进行右旋操作。

2.4右左旋：先对当前节点的右子树进行右旋操作，然后再对当前节点进行左旋操作。

旋转操作的目的是调整树的结构，使得左右子树的高度差不超过1，并保持二叉树的性质。

3.删除操作：删除节点是平衡二叉树构造过程中的另一个重要操作。

删除操作也需要更新树的高度和进行旋转操作。

删除操作的步骤如下：3.1在树中查找要删除的节点。

如果要删除的节点是叶子节点，则直接删除即可。

3.2如果要删除的节点只有一个子节点，则将子节点替换成当前节点的位置。

3.3如果要删除的节点有两个子节点，则找到当前节点的后继节点（即比当前节点大的最小节点）或前驱节点（即比当前节点小的最大节点），将后继节点或前驱节点的值复制到当前节点，并删除后继节点或前驱节点。

平衡二叉树平衡因子

平衡二叉树平衡因子平衡二叉树平衡因子指的是左子树高度和右子树高度之差，它是保持平衡二叉树平衡的重要因素。

在平衡二叉树中，每个节点的平衡因子为-1、0或1。

平衡二叉树（AVL树）是一种高效的数据结构，它的时间复杂度为O(logn)，可以在非常快的时间内完成数据的查找、插入和删除操作。

但是，如果平衡二叉树的平衡因子不合适，就会导致树的高度增加，使得查找、插入和删除操作的效率变低。

因此，平衡二叉树的平衡因子非常重要。

下面，我们来分步骤阐述平衡二叉树的平衡因子：第一步：计算节点的高度平衡二叉树的高度是指从根节点到叶子节点的最长路径的长度。

因此，计算节点的高度需要从底部开始向上递归计算。

节点的高度等于其子节点中高度最大的节点的高度加一，如果节点没有子节点，那么它的高度为零。

第二步：计算节点的平衡因子计算节点的平衡因子需要知道其左子树和右子树的高度。

节点的平衡因子等于左子树的高度减去右子树的高度。

如果平衡因子为-1、0或1，则节点是平衡的，否则节点需要被调整。

第三步：调整平衡如果平衡因子不为-1、0或1，那么需要对节点进行调整，使其重新保持平衡。

调整平衡的方法有四种：左旋、右旋、左右旋、右左旋。

左旋和右旋是最基本的调整方法，左右旋和右左旋是组合方法。

左旋：如果节点的平衡因子为2，那么需要进行左旋操作。

左旋是指将节点向左旋转，使其右子树的高度减一，左子树的高度加一。

右旋：如果节点的平衡因子为-2，那么需要进行右旋操作。

右旋是指将节点向右旋转，使其左子树的高度减一，右子树的高度加一。

左右旋：如果节点的平衡因子为2且其右子树的平衡因子为-1，那么需要进行左右旋操作。

左右旋是指将节点先进行右旋，再进行左旋。

右左旋：如果节点的平衡因子为-2且其左子树的平衡因子为1，那么需要进行右左旋操作。

右左旋是指将节点先进行左旋，再进行右旋。

总结：平衡二叉树的平衡因子是保持树平衡的重要因素。

计算节点高度和平衡因子，及时进行平衡调整，是平衡二叉树实现高效的关键。

平衡二叉树的概念

平衡二叉树的概念
平衡二叉树（Balanced Binary Tree），又称为AVL树，是一种特殊的二叉搜索树（Binary Search Tree）结构。

平衡二叉树的定义是：对于任意节点，其左子树和右子树的高度之差不超过1，并且左子树和右子树也都是平衡二叉树。

平衡二叉树的设计目的是为了解决普通二叉搜索树在插入、删除等操作时产生不平衡的问题，导致树的高度过高，从而影响搜索的效率。

通过保持树的平衡，平衡二叉树能够保证在最坏情况下的平均时间复杂度为O(log n)，其中n是树中节点的数量。

为了保持平衡，平衡二叉树中的每个节点存储了额外的信息，通常是节点的高度。

当在平衡二叉树中插入或删除节点时，需要通过旋转操作来调整树的结构，以满足平衡条件。

旋转操作包括左旋和右旋，通过交换节点的位置来调整树的平衡。

平衡二叉树的应用非常广泛，特别是在需要高效地进行搜索、插入和删除操作的场景中，例如数据库和搜索引擎的索引结构、红黑树等。

通过保持树的平衡，平衡二叉树能够在较小的时间复杂度内完成这些操作，提高了数据结构的效率和性能。

一颗平衡二叉树非叶结点平衡因子1

一颗平衡二叉树非叶结点平衡因子1一颗平衡二叉树非叶结点平衡因子1是指在一颗平衡二叉树中，非叶节点的左右子树高度差为1。

这种平衡状态的二叉树有助于提高查找、插入和删除数据的效率，因此在实际应用中得到了广泛的运用和推广。

下面将分步骤阐述一颗平衡二叉树非叶结点平衡因子1的相关知识。

第一步，了解二叉树的定义和性质。

二叉树是一种基于节点和有向边的树形结构，每个节点最多有两个子节点，左子树所有节点的键值小于根节点，右子树所有节点的键值大于根节点。

二叉树的高度定义为从根节点到最底层叶节点的层数，而平衡二叉树在满足二叉树的定义下，还要满足左右子树高度差不超过1的条件。

第二步，学习平衡二叉树的常见实现方式。

常用的平衡二叉树有AVL树、红黑树等数据结构，其中AVL树是最早被提出的平衡二叉树，也是最为严格的一种平衡二叉树。

它的平衡因子定义为左子树高度减去右子树高度，因此只有平衡因子等于-1、0、1的节点才满足平衡条件。

红黑树则是一种更加宽松的平衡二叉树，它的平衡因子只要不超过2就可以了，但它有着更为简单的平衡调整过程，因此在实际应用中更为广泛。

第三步，了解平衡二叉树的插入、删除和查找操作。

平衡二叉树的插入、删除和查找操作与普通的二叉树相似，但需要保证每次操作后仍保持平衡状态。

对于插入操作，我们需要定位到合适的位置，然后将新节点插入到该位置，最后对所有祖先节点进行平衡调整。

对于删除操作，我们需要先定位到待删除节点，并记录其前驱或后继节点，然后删除该节点并将前驱或后继节点替换到该位置，最后再对所有祖先节点进行平衡调整。

对于查找操作，我们可以直接使用二叉树的特性，在O(log n)的时间内完成。

第四步，学习平衡二叉树的平衡调整方法。

当平衡因子不满足平衡条件时，我们需要对平衡二叉树进行平衡调整。

AVL树的平衡调整分为四种情况，分别对应四种旋转操作：左旋、右旋、左右旋和右左旋。

红黑树的平衡调整只需要根据颜色对节点进行重新染色和旋转操作，它最多需要进行三次旋转和染色操作，即可保持平衡状态。

平衡二叉树最少结点公式推导

平衡二叉树最少结点公式推导平衡二叉树是一种重要的数据结构，在计算机科学中有着广泛的应用。

平衡二叉树的一个重要性质是它的高度是log(n)级别的，其中n是树中结点的数量。

那么，我们如何推导出平衡二叉树最少结点的公式呢？我们需要明确平衡二叉树的定义。

平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它的左子树和右子树的高度差不超过1。

这意味着在平衡二叉树中，任意结点的左子树和右子树的高度差的绝对值不超过1。

接下来，我们开始推导平衡二叉树最少结点的公式。

假设平衡二叉树的最少结点数为N(h)，其中h是树的高度。

我们可以将平衡二叉树分为两种情况来分析。

第一种情况是当树的高度为0时，即只有根结点的情况。

此时，平衡二叉树只有一个结点，即N(0)=1。

第二种情况是当树的高度大于0时。

假设根结点的左子树和右子树的高度分别为h-1和h-2。

由于平衡二叉树的高度差不超过1，因此左子树和右子树的高度差的绝对值也不超过1。

根据这个性质，我们可以得到以下公式：N(h) = N(h-1) + N(h-2) + 1其中N(h-1)表示左子树的结点数，N(h-2)表示右子树的结点数，1表示根结点。

通过递归的方式，我们可以继续推导出N(h-1)和N(h-2)的公式。

当树的高度为1时，左子树和右子树都只有一个结点，即N(1)=1。

当树的高度为2时，左子树和右子树的结点数分别为N(1)和N(0)，即N(2)=N(1)+N(0)+1=3。

以此类推，我们可以得到以下公式：N(h) = N(h-1) + N(h-2) + 1 = N(h-2) + N(h-3) + 1 + N(h-2) + 1 = 2N(h-2) + N(h-3) + 2通过上述公式，我们可以计算出平衡二叉树的最少结点数。

例如，当树的高度为3时，根据公式可以得到N(3) = 2N(1) + N(0) + 2 = 2 + 1 + 2 = 5。

当树的高度为4时，根据公式可以得到N(4) = 2N(2) + N(1) + 2 = 2*3 + 1 + 2 = 9。

平衡二叉树最大深度公式

平衡二叉树最大深度公式在计算机科学中，平衡二叉树是一种特殊的二叉树，它的左右子树的高度差不超过1。

平衡二叉树的一个重要性质是，它的搜索、插入、删除操作的时间复杂度都是O(log n)。

因此，平衡二叉树在计算机科学中有着广泛的应用。

平衡二叉树的最大深度是指树中从根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

计算平衡二叉树的最大深度是很重要的，因为它可以帮助我们评估平衡二叉树的性能。

如果平衡二叉树的最大深度太大，那么搜索、插入、删除操作的时间复杂度就会变得很高，这会影响平衡二叉树的性能。

在本文中，我们将介绍平衡二叉树的最大深度公式，并通过一个例子来说明如何计算平衡二叉树的最大深度。

平衡二叉树的最大深度公式平衡二叉树的最大深度可以通过以下公式计算：maxDepth(root) = 1 + max(maxDepth(root.left),maxDepth(root.right))其中，root是平衡二叉树的根节点。

maxDepth(root.left)表示左子树的最大深度，maxDepth(root.right)表示右子树的最大深度。

max函数返回两个参数中的最大值。

因此，maxDepth(root)表示根节点到最远叶子节点的最长路径上的节点数。

通过递归的方式，我们可以计算平衡二叉树的最大深度。

具体而言，我们首先计算左子树的最大深度，然后计算右子树的最大深度，最后返回左右子树中的最大值加1。

这样，我们就可以得到平衡二叉树的最大深度。

计算平衡二叉树的最大深度为了说明如何计算平衡二叉树的最大深度，我们考虑以下平衡二叉树：1/2 3/4 5我们可以使用上述公式来计算这棵平衡二叉树的最大深度。

首先，根节点的值为1，因此我们需要计算左右子树的最大深度。

左子树的最大深度为2，因为左子树的根节点为2，左子树的左子树为空，左子树的右子树的最大深度为1（因为右子树只有一个叶子节点5）。

因此，我们可以得到maxDepth(root.left) = 2。

简述二叉树的五种形态

简述二叉树的五种形态
简述二叉树的五种形态：
简述二叉树：在完全二叉树中，除了最后一层外，每一层都被填满，最后一层从左到右填充节点。

如果最后一层不是完全填充的，则只能在右侧缺少节点。

满二叉树：在满二叉树中，每个节点都有两个子节点，除了叶节点外，每个节点都有两个子节点。

二叉搜索树：在二叉搜索树中，每个节点都比其左子树中的节点大，比其右子树中的节点小。

平衡二叉树：在平衡二叉树中，每个节点的左子树和右子树的高度差不超过1。

红黑树：红黑树是一种自平衡的二叉搜索树，它通过颜色标记节点来保持平衡，并且具有如下性质：根节点是黑色的，每个叶节点都是黑色的，每个红色节点必须有两个黑色子节点，每个节点到其子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑色节点。