平衡二叉树(AVL)的查找、插入和删除

平衡二叉树（AVL）查找、插入和删除小组成员：陈静101070009陈丹璐101070006陈娇101070008目录平衡二叉树（AVL） (1)查找、插入和删除 (1)问题描述 (2)设计说明 (3)（一）ADT (3)（二）算法思想 (5)（三）数据结构 (12)（四）程序结构与流程 (13)运行平台及开发工具 (15)I/O格式 (15)算法复杂度分析 (18)源代码 (18)小结 (37)问题描述利用平衡二叉树实现一个动态查找表。

（1）实现动态查找表的三种基本功能：查找、插入和删除。

（2）初始时，平衡二叉树为空树，操作界面给出创建、查找、插入和删除和退出五种操作供选择。

每种操作均要提示输入关键字。

创建时，根据提示输入数据，以-1为输入数据的结束标志，若输入数据重复，则给出已存在相同关键字的提示，并不将其插入到二叉树中。

在查找时，如果查找的关键字不存在，则显示不存在查找的关键字，若存在则显示存在要查找的关键字。

插入时首先检验原二叉树中是否已存在相同第3 页共38 页- 3 -的关键字，若没有则进行插入并输出二叉树，若有则给出已有相同关键字的提醒。

删除时首先检验原二叉树中是否存在要删除的关键字，若有则进行删除后并输出二叉树，若没有则给出不存在要删除的关键字的提醒。

（3）平衡二叉树的显示采用中序遍历的方法输出，还可以根据输出数据是否有序验证对平衡二叉树的操作是否正确。

设计说明（一）ADTADT BalancedBinaryTree{数据对象D：D是具有相同特性的数据元素的集合。

各个数据元素均含有类型相同，可唯一标志的数据元素的关键字。

数据关系R：数据元素同属一个集合。

基本操作P：void R_Rotate(BSTree &p);初始条件：二叉树存在，且关键字插入到以*p为根的二叉树的左子树的左孩子上；操作结果：对以*p为根的二叉排序树作右旋处理void L_Rotate(BSTree &p);初始条件：二叉树存在，且关键字插入到以*p为根的二叉树的右子树的右孩子上；操作结果：对以*p为根的二叉排序树作左旋处理void LeftBalance(BSTree &T);初始条件：二叉树存在，且关键字插入到T所指节点为根的二叉树的左子树的右孩子上；操作结果：对以指针T所指结点为根的二叉树作左平衡旋转处理void RightBalance(BSTree &T);初始条件：二叉树存在，且关键字插入到T所指节点为根的二叉树的右子树的左孩子上；操作结果：对以指针T所指结点为根的二叉树作右平衡旋转处理bool InsertAVL(BSTree &T,int e,bool &taller);初始条件：T存在，且e与二叉树的原有关键字不同；操作结果：插入结点e平且平衡化；bool SearchBST(BSTree &T,int key);初始条件：T存在且元素key与某关键字相同；操作结果：查找元素key是否在树Ｔ中void PrintBST(BSTree T);初始条件：T存在操作结果：按中序遍历输出二叉树的元素void CreatBST(BSTree &T);初始条件：T为空操作结果：创建平衡二叉树,(注意:以输入-1为二叉树建立的结束)void LeftBalance_div(BSTree &p,int &shorter);初始条件：T存在操作结果：删除结点时左平衡旋转处理void RightBalance_div(BSTree &p,int &shorter);初始条件：T存在操作结果：删除结点时右平衡旋转处理void Delete(BSTree q,BSTree &r,int &shorter);初始条件：T存在且节点删除成功操作结果：删除结点int DeleteAVL(BSTree &p,int x,int &shorter);初始条件：操作结果：平衡二叉树的删除操作} ADT BalancedBinaryTree（二）算法思想1、查找在根指针T所指二叉排序树中递归地查找某关键字等于key的数据元素，若查找成功，则返回指向该数据元素结点的指针,否则返回空指针。

如果树T为空，则查找不成功，返回空指针；当树T非空时，如果根指针T所指数据元素的关键字等于key，则查找成功，返回根指针T，否则在左子树中继续查找，若还未找到，则继续在右子树中进行查找，直到找到该数据元素或树T为空为止。

//查找元素key是否在树Ｔ中bool SearchBST(BSTree &T,int key){if(!T) return false;else if(EQ(key,T->data)) return true;else if(LT(key,T->data)) return SearchBST(T->lchild,key);else return SearchBST(T->rchild,key);}2、插入（一）若T为空树，则插入一个数据元素为e的新节点作为T的根节点，树长高，树的深度增加1。

（二）若待插入的数据元素e与T的根节点的关键字相同，则不进行插入。

（三）若待插入的数据元素e小于根节点的关键字，且在T的左子树上不存在与e相等的数据元素，那么将e插入到T的左子树上。

下面就插入到左子树之后，就不同的情况进行处理：①若之前T的根节点的平衡因子为-1，将根节点的平衡因子变为0，T的深度不变；②若之前T的根节点的平衡因子为0，就将根节点的平衡因子变为1，T的深度增加；③若之前的T的根节点的平衡因子为1，那么当其左子树的根节点的平衡因子为1的时候，需要进行单向右旋处理，并且在右旋处理之后，将根节点和其右子树根节点的平衡因子改为0，树的深度不变；当其左子树的根节点的平衡因子为-1的时候，要进行先左后右的双向旋转平衡，并在旋转之后，修改根节点和其左右子树的根节点的平衡因子，树的深度不（四）若待插入的数据元素e大于根节点的关键字，且在T的右子树上不存在与e相等的数据元素，那么将e插入到T的右子树上。

下面就插入到右子树之后，就不同的情况进行处理：①若之前T的根节点的平衡因子为1，将根节点的平衡因子变为0，T的深度不变；②若之前T的根节点的平衡因子为0，就将根节点的平衡因子变为1，T的深度增加；③若之前的T的根节点的平衡因子为-1，那么当其右子树的根节点的平衡因子为-1的时候，需要进行单向左旋处理，并且在左旋处理之后，将根节点和其左子树根节点的平衡因子改为0，树的深度不变；当其右子树的根节点的平衡因子为1的时候，要进行先右后左的双向旋转平衡，并在旋转之后，修改根节点和其左右子树的根节点的平衡因子，树的深度不变。

//插入结点e,若T中不存在和e相同关键字的结点，则插入一个数据元素为e的新结点，并返回1，否则返回0bool InsertAVL(BSTree &T,int e,bool &taller){if(!T)//插入新结点，树"长高"，置taller为true{T = (BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));T->data = e;T->lchild = T->rchild =NULL;T->bf = EH; taller = true;else{if(EQ(e,T->data)) //树中已存在和有相同关键字的结点则不再插入{taller = false;printf("已存在相同关键字的结点\n");return 0;}if(LT(e,T->data)) //应继续在*T的左子树中进行搜索{if(!InsertAVL(T->lchild,e,taller))return 0;//未插入if(taller) //已插入到*T的左子树中且左子树"长高"{switch(T->bf) //检查*T的平衡度{case LH: //原本左子树比右子树高，需要作左平衡处理LeftBalance(T);taller = false; break;case EH: //原本左子树、右子等高，现因左子树增高而使树增高T->bf = LH;taller = true; break;case RH: //原本右子树比左子树高，现左、右子树等高T->bf = EH;taller = false; break;}}}else //应继续在*T的右子树中进行搜索{if(!InsertAVL(T->rchild,e,taller))return 0;//未插入if(taller) //已插入到*T的右子树中且右子树"长高"{switch(T->bf) //检查*T的平衡度{case LH: //原本左子树比右子树高，现左、右子树等高T->bf = EH; taller = false; break;case EH: //原本左子树、右子等高，现因右子树增高而使树增高T->bf = RH; taller = true; break;case RH: //原本右子树比左子树高，需要作右平衡处理RightBalance(T); taller = false; break;}}}}return 1;}//InsertAVL3、删除元素的删除，有三种情况，分别是：（1）被删除的结点是叶子；（2）被删除的结点只有左子树或者只有右子树；（3）被删除的结点既有左子树，也有右子树。

具体实现如下：int DeleteAVL(BSTree &p,int x,int &shorter) {int k;BSTree q;if(p==NULL){printf("不存在要删除的关键字!!\n");return 0;}else if(x<p->data)//在p的左子树中进行删除{k=DeleteAVL(p->lchild,x,shorter);if(shorter==1)LeftBalance_div(p,shorter);return k;}else if(x>p->data)//在p的右子树中进行删除{k=DeleteAVL(p->rchild,x,shorter);if(shorter==1)RightBalance_div(p,shorter);return k;}else{q=p;if(p->rchild==NULL) //右子树空则只需重接它的左子树{p=p->lchild;free(q);shorter=1;}else if(p->lchild==NULL)//左子树空则只需重接它的右子树{p=p->rchild;free(q);shorter=1;}else//左右子树均不空{Delete(q,q->lchild,shorter);if(shorter==1)LeftBalance_div(p,shorter);p=q;}return 1;}}（三）数据结构本实验中平衡二叉树采用二叉链表的方式进行存储。