巴特沃斯滤波器c语言

1. 模拟滤波器的设计

1.1巴特沃斯滤波器的次数

根据给定的参数设计模拟滤波器，然后进行变数变换，求取数字滤波器的方法，称为滤波器的间接设计。做为数字滤波器的设计基础的模拟滤波器，称之为原型滤波器。这里，我们首先介绍的是最简单最基础的原型滤波器，巴特沃斯低通滤波器。由于IIR滤波器不具有线性相位特性，因此不必考虑相位特性，直接考虑其振幅特性。

在这里，N是滤波器的次数，Ωc是截止频率。从上式的振幅特性可以看出，这个是单调递减的函数，其振幅特性是不存在纹波的。设计的时候，一般需要先计算跟所需要设计参数相符合的次数N。首先，就需要先由阻带频率，计算出阻带衰减

将巴特沃斯低通滤波器的振幅特性，直接带入上式，则有

最后，可以解得次数N为

当然，这里的N只能为正数，因此，若结果为小数，则舍弃小数，向上取整。

1.2巴特沃斯滤波器的传递函数

巴特沃斯低通滤波器的传递函数，可由其振幅特性的分母多项式求得。其分母多项式

根据S解开，可以得到极点。这里，为了方便处理，我们分为两种情况去解这个方程。当N为偶数的时候，

这里，使用了欧拉公式。同样的，当N为奇数的时候，

同样的，这里也使用了欧拉公式。归纳以上，极点的解为

上式所求得的极点，是在s平面内，在半径为Ωc的圆上等间距的点，其数量为2N个。为了使得其IIR滤

波器稳定，那么，只能选取极点在S平面左半平面的点。选定了稳定的极点之后，其模拟滤波器的传递函数就可由下式求得。

1.3巴特沃斯滤波器的实现（C语言）

首先，是次数的计算。次数的计算，我们可以由下式求得。

其对应的C语言程序为

[cpp]view plaincopy

1.N = Ceil(0.5*( log10 ( pow (10, Stopband_attenuation/10) - 1) /

2. log10 (Stopband/Cotoff) ));

然后是极点的选择，这里由于涉及到复数的操作，我们就声明一个复数结构体就可以了。最重要的是，极点的计算含有自然指数函数，这点对于计算机来讲，不是太方便，所以，我们将其替换为三角函数，

这样的话，实部与虚部就还可以分开来计算。其代码实现为

[cpp]view plaincopy

1.typedef struct

2.{

3.double Real_part;

4.double Imag_Part;

5.} COMPLEX;

6.

7.

PLEX poles[N];

9.

10.for(k = 0;k <= ((2*N)-1) ; k++)

11.{

12.if(Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N)) < 0)

13. {

14. poles[count].Real_part = -Cotoff*cos((k+dk)*(pi/N));

15.poles[count].Imag_Part= -Cotoff*sin((k+dk)*(pi/N));

16. count++;

17.if (count == N) break;

18. }

19.}

计算出稳定的极点之后，就可以进行传递函数的计算了。传递的函数的计算，就像下式一样

这里，为了得到模拟滤波器的系数，需要将分母乘开。很显然，这里的极点不一定是整数，或者来说，这里的乘开需要做复数运算。其复数的乘法代码如下，

[cpp]view plaincopy

1.int Complex_Multiple(COMPLEX a,COMPLEX b,

2.double *Res_Real,double *Res_Imag)

3.

4.{

5. *(Res_Real) = (a.Real_part)*(b.Real_part) - (a.Imag_Part)*(b.Imag_Part);

6. *(Res_Imag)= (a.Imag_Part)*(b.Real_part) + (a.Real_part)*(b.Imag_Part);

7.return (int)1;

8.}

有了乘法代码之后，我们现在简单的情况下，看看其如何计算其滤波器系数。我们做如下假设

这个时候，其传递函数为

将其乘开，其大致的关系就像下图所示一样。

计算的关系一目了然，这样的话，实现就简单多了。高阶的情况下也一样，重复这种计算就可以了。其代码为

[cpp]view plaincopy

1. Res[0].Real_part = poles[0].Real_part;

2. Res[0].Imag_Part= poles[0].Imag_Part;

3. Res[1].Real_part = 1;

4. Res[1].Imag_Part= 0;

5.

6.for(count_1 = 0;count_1 < N-1;count_1++)

7.{

8.for(count = 0;count <= count_1 + 2;count++)

9. {

10.if(0 == count)

11.{

12. Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],

13. &(Res_Save[count].Real_part),

14. &(Res_Save[count].Imag_Part));

15. }

16.else if((count_1 + 2) == count)

17. {

18. Res_Save[count].Real_part += Res[count - 1].Real_part;

19.Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;

20. }

21.else

22.{

23. Complex_Multiple(Res[count], poles[count_1+1],

24. &(Res_Save[count].Real_part),

25. &(Res_Save[count].Imag_Part));

26.1 Res_Save[count].Real_part += Res[count - 1].Real_part;

27. Res_Save[count].Imag_Part += Res[count - 1].Imag_Part;

28.}

29. }

30.*(b+N) = *(a+N);

到此，我们就可以得到一个模拟滤波器巴特沃斯低通滤波器了。

2.双1次z变换

2.1双1次z变换的原理

我们为了将模拟滤波器转换为数字滤波器的，可以用的方法很多。这里着重说说双1次z变换。我们希望通过双1次z变换，建立一个s平面到z平面的映射关系，将模拟滤波器转换为数字滤波器。

和之前的例子一样，我们假设有如下模拟滤波器的传递函数。

将其做拉普拉斯逆变换，可得到其时间域内的连续微分方程式，

其中，x(t)表示输入，y(t)表示输出。然后我们需要将其离散化，假设其采样周期是T，用差分方程去近似的替代微分方程，可以得到下面结果

然后使用z变换，再将其化简。可得到如下结果