第三章土体中的应力计算(1-3节)
第三章 土体中的应力计算(1-3节)
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
第3章 土体中的应力计算
1. M(x、y、z)点的应力： ( 、 、 )点的应力：
3P z3 3P σz = ⋅ 5 = ⋅ cos3 θ 2π R 2π R2 3P z2 x 3Px τzx = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3 3P z2 y 3Py τzy = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3
mn 1 n2 ] * ⋅[ − 2π m2 + n2 (1+ n2 ) m2 + n2 +1
同理，可以求得最大荷载角点下任意深度z处 的竖直附加应力σz 为： σz = α tc' p0 = (α c- α tc) p0 （3-7）
3P z5 P 3 σz = = 5 z2 2π R 2π
5
其中 = x2 + y2 + z2 R
(3-3)
P =α P 2 2 z2 ( r z) +1 z 1
(3-4)
其中α = α (r/z)称为集中荷载作用下的应力分布系数 具体的α 值见教材p79表3.5.1
b
图3-11 矩形面积上作用 三角形分布时角 点下的附加应力
根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点 引起的竖向附加应力dσz为：
3p0 xz3 dσ z = 2π b x2 + y2 + z 2
(
)
5
dxdy
2
将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形 荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度 z处所引起的竖直附加应力σz为： σz = α tc p0 （3-6） 式中 α tc =
y z
x
图3-4
2. 与材料力学比较 与材料力学比较（用摩尔圆解决问题时）
土力学与地基基础(土中的应力计算)
矩形基础：A=b× 矩形基础：A=b×L
d1 + d2 Gk =A
Gk = γ G Ad
γG=20kN/m3
2、偏心荷载下的基底压力 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 单向偏心荷载下的矩形基础如图。 设计时， 设计时，通常基底长边方向取与偏心 方向一致， 方向一致，最大压力值与最小压力值 按材料力学短柱偏心受压公式计算： 按材料力学短柱偏心受压公式计算：
p0 = pk − σ c
四、地基附加应力
地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。 地基附加应力是指建筑物荷载在土体中引起的附加于原有应力之上的应力。
（一）竖向集中应力作用下的地基附加应力
1、布辛奈斯克解 、
3p z3 3 1 p σz = = 2π ( r 2 + z 2 )5 / 2 2π ( r / z )2 + 1 5 / 2 z 2
第三章 地基土中的应力计算
一、概述 地基土中的应力： 地基土中的应力： 1、自重应力 2、附加应力
建筑物修建以前， 建筑物修建以前，地基中由于土 体本身的有效重量所产生的应力。 体本身的有效重量所产生的应力。 建筑物修建以后，建筑物重量等 建筑物修建以后， 外荷载在地基中引起的应力， 外荷载在地基中引起的应力，所 谓的“附加” 谓的“附加”是指在原来自重应 力基础上增加的压力。 力基础上增加的压力。
γ
γ′
均质地 基
γ1(γ
1
< γ2 )
γ2 γ′ 2
成层地基
（二）水平向自重应力
σ cx = σ cy = K 0σ cz
式中： 土的侧压力系数或静止土压力系数， 式中：K0——土的侧压力系数或静止土压力系数，经验值可查课本 土的侧压力系数或静止土压力系数 表3.1
土力学第三章
向下渗流
z z u H w h
存在向下渗流，有效自重应力增大γw⊿h
A点的有效自重应力：
3.4 基底压力计算
上部结构
建筑物设计
基础 地基
上部结构的自重及各 种荷载都是通过基础 传到地基中的。
基础结构的外荷载 基底反力 基底压力 基底附加压力 地基附加应力 地基沉降变形 基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。 暂不考虑上部结构的影响， 使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
Aw 1 A
PSi
PaVi
有效应力σ′
'u
3.2 有效应力原理
2. 有效应力原理
'u
σ：作用在饱和土中任意面上的总应力 σ′：作用在同一平面土骨架上的有效应力 u：作用于同一平面上孔隙水压力 土的变形和强度变化只取 决于有效应力的变化
3.2 有效应力原理
①变形的原因 颗粒间克服摩擦相对滑移、滚动—与 σ’ 有关； 接触点处应力过大而破碎—与 σ’ 有关。
②强度的成因 凝聚力和摩擦—与σ’ 有关 ③孔隙水压力的作用 对土颗粒间摩擦、土粒的破碎没有贡献， 并且水不能承受剪应力，因而孔隙水压力 对土的强度没有直接的影响； 它在各个方向相等，只能使土颗粒本身 受到等向压力，由于颗粒本身压缩模量很 大，故土粒本身压缩变形极小。因而孔隙 水压力对变形也没有直接的影响，土体不 会因为受到水压力的作用而变得密实。
pmax
min
y
P 6e 1 A b
3.5.2 基础底面接触压力
2、偏心荷载作用——单向偏心荷载 P b e x y
p max
pmax
min
第3章-土应力计算
z z1 z 2
2 均布荷载时， p0 2kN / m
2 三角形荷载时， p0max 98 2 96kN / m
35/74
A点附加应力计算表格
均布荷载时 p0=2.000kN/m2 Kz1 3 0.6 0.234 z1 (kN/m2) 0.468 三角荷载时
Z(m)
z
3/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
沿水平面均匀分布，且与z成正比，即随深度 按直线规律分布。
天然地面 σcz
cz
cz z
σcz= z
z
cy
cx
1 1
z
4/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
cz i hi
i 1
n
天然地面
2/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
研究目的：确定土体的初始应力状态。 研究方法：土体简化为连续体，应用连续体 力学(例如弹性力学)方法来研究土中应力的 分布。
假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质 均匀，天然重度为 (kN/m3)，则在天然地面下任 意深度z(m)处的竖向自重应力 cz (kPa)可取作用于 该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量 z l 计算 即： cz
p II I z M
III IV
o
III IV
o
II I
z K cⅠ KcⅡ Kc Ⅲ K cⅣ p
25/74
均布矩形荷载下任意点的应力计算
计算点在基底边缘 II I
o
o
z K cⅠ KcⅡ p
计算点在基底边缘外
o III I
土力学——3 土中应力
土力学王丽琴西安理工大学土建学院岩土工程研究所第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算卓越班作业：P 124，1～4，6，7；水工班作业：P 67-68，1，2，4，5本课程中所有计算均可取g=10m/s 2土中应力第三章强度问题变形问题地基中的应力状态应力应变关系土力学中应力符号的规定应力状态自重应力附加应力基底压力计算有效应力原理建筑物修建以后，建筑物重量等外荷载在地基中引起的应力。
所谓的“附加”是指在原来自重应力基础上增加的应力。
建筑物修建以前，地基中由土体本身的有效重量所产生的应力。
本章问题：如何计算地基中的应力？第三章土中应力第一节概述第二节土体的自重应力计算第三节有效应力原理第四节基底压力的计算第五节地基中的附加应力计算一、土力学中应力符号的规定xσzσxzτz xτxσzσxzτz xτ材料力学+-+-土力学正应力剪应力拉为正压为负顺时针为正逆时针为负压为正拉为负逆时针为正顺时针为负③均匀、各向同性体（土层性质变化不大时）②线弹性体（应力较小时）①连续介质（宏观平均）ν、E 与(x, y, z)无关与方向无关碎散体非线性弹塑性成层土各向异性Δσεe p e e线弹性体加载卸载二、土的应力-应变关系的假定理论方法——弹性力学解→求解“弹性”土体中的应力——解析方法→优点：简单，易于绘成图表等三、地基中常见的应力状态yzxo1.空间应力状态——三维问题x e y e xy γyz γγxzγγyxγe ij e =x σy σxy τyz ττxzττyxτσij σ=xσy σxyτyzτz xτzσ王丽琴主讲2. 轴对称三维问题▪应变条件▪应力条件▪独立变量：x y z;e =e e x y z;σ=σσxy yz zx ,,0τττ=xy z x y z,;,σ=σσe =e e x e y e xy γyzγγxz γzy γyx γz e ij e =x σy σxy τyzττxzτzy τyx τzσij σ=000000000y xy yz zx ,,0γγγ=000xσy σxyτyzτz xτzσyσxσzσ一般三维应力状态:三轴应力状态：123σ≥σ≥σ123σ≥σ=σ忽略中主应力的影响理论研究和工程实践中广泛应用zxo3. 平面应变条件——二维问题xσy σxyττz xτzσxσzσxzτz xτ;0y =e 0;0zx yz yx ≠γ=γ=γ●沿长度方向有足够长度，L/B≥10；●垂直于y 轴切出的任意断面的几何形状均相同，其地基内的应力状态也相同；●平面应变条件下，土体在x,z 平面内可以变形，但在y 方向没有变形。
岩土力学课件第三章土体中的应力计算
一、集中荷载作用下的附加应力计算
（一）、竖直集中力作用——布辛内斯克解
布辛内斯克根据弹性理论计算出地基下某一点M的6个应力
分量和三个位移分量。由于对地基沉降意义最大的是竖向法向
应力2020z/4/，1 只研究z
岩土力学
2020/4/1
z
3P
2
z3 R5
k
地基土和基础的刚度大小 荷载大小 基础埋深 地基土的性质
2020/4/1
岩土力学
一、基底压力的分布规律
（一）基础的刚基度的底影响压力的分布规律
1. 弹性地基上的完全柔性基 础(EI=0) 土坝(堤)、路基、油罐等 薄板基础、机场跑道。 可认为土坝底部的接触压 力 分布与土坝的外形轮廓 相同, 其大小等于各点以 上的土柱重量。(图3-35)
条基：在长度方向取1米
p F G P BB
P —2为020/沿4/1 长度方向1米内的相应岩荷土力载学 值kN/m
2020/4/1
（二）、偏心荷载作用 1、单向偏心 基底压力计算公式
pm a x,m inFra bibliotekF G BL
(1
6ex B
)
（c）e>B/6, 应力重新分布 1/2×L ×pmax × 3K=P pmax=2P/( 3KL)
0 =（ 1 h1+ 2 h2 +…… ）/(h1+ h2 +…… ), 其中地下 水位以下的容重取浮容重，kN/m3 ;
d — 基础埋深，必须从天然地面算起，对于新填土 场地则应从老天然地面起算，d= h1+ h2 +…… , m
说明：当基坑的平面尺寸和深度较大时，坑底回弹是明显的，在 沉降计算中，为适当考虑这种坑底的回弹和再压缩而增加的沉 降，，改取
第3章土中的应力计算汇总
第3章⼟中的应⼒计算汇总第三章地基中的应⼒计算§3-1 概述⼀、⼟体应⼒计算的⽬的：1、⽤于计算⼟体的变形，如建筑物的沉降；2、⽤于验算⼟体的稳定，如边坡的稳定性。
⼆、相关的概念1、⽀撑建筑物荷载的⼟层称为地基。
2、建筑物的下部通常要埋在地下⼀定的厚度，使之坐落在较好的地层上。
由天然⼟层直接⽀撑建筑物的称为天然地基3、软弱地基其承载⼒和变形不能满⾜设计要求，经加固后⽀撑建筑物的称为⼈⼯地基。
4、⽽与地基相接触的建筑物底部称为基础。
5、与建筑物基础底⾯直接接触的⼟层称为持⼒层。
6、将持⼒层下⾯的⼟层称为下卧层。
7、分类：（1）⼟体的应⼒按引起的原因分为⾃重应⼒和附加应⼒；⾃重应⼒——在未建造基础前，由⼟体⾃⾝的有效重量所产⽣的应⼒。
附加应⼒——由于建筑物荷载在地基内部引起的引⼒。
由外荷（静的或动的）引起的⼟中应⼒。
（2）按⼟体中⼟⾻架和⼟中孔隙（⽔、⽓）的应⼒承担作⽤原理或应⼒传递⽅式可分为有效应⼒和孔隙应（压）⼒。
有效应⼒——由⼟⾻架传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒——由⼟中孔隙流体⽔和⽓体传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒分为：静孔隙应⼒和超静孔隙应⼒。
对于饱和⼟体由于孔隙应⼒是通过⼟中孔隙⽔来传递的，因⽽它不会使⼟体产⽣变形，⼟体的强度也不会改变。
由于⼟层有其特殊的性质，作为地基的⼟层在上部荷载作⽤下将产⽣应⼒和变形。
从⽽给建筑物带来⼀系列⼯程问题，最主要的是地基的稳定问题和变形问题。
如果地基内部产⽣的应⼒在途的强度所允许的范围内时，⼟体是稳定的；反之，如果地基内部某⼀区域中的应⼒超过了⼟的强度，那么，哪⾥的⼟体将发⽣破坏，并可能会引起整个地基产⽣滑动⽽失去稳定，从⽽导致建筑物倾倒。
如果地基⼟的变形量超过了允许值，即使⼟体尚未破坏，也会造成建筑物毁坏或失去使⽤价值。
因此，为保证建筑物的安全和正常使⽤，设计时必须对地基进⾏强度和稳定性分析并计算基础的沉降量。
为此，就要研究在各种荷载作⽤下地基内部的应⼒分布规律。
3地基中的应力计算
第三章 地基中的应力计算土中的应力按引起的原因可分为:(1)由土本身有效自重在地基内部引起的自重应力;(2)由外荷(静荷载或动荷载) 在地基内部引起的附加应力。
应力计算方法：1.假设地基土为连续、均匀、各向同性、半无限的线弹性体;2.弹性理论。
第一节 土中自重应力研究目的：确定土体的初始应力状态研究方法：土体简化为连续体，应用连续体力学 (例如弹性力学)方法来研究土中应力的分布。
假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质均匀，天然重度为γ (kN/m3)，则在天然地面下任意深度z (m)处的竖向自重应力σcz (kPa)，可取作用于该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量γz ⨯ l 计算，即： σcz= γzσcz 沿水平面均匀分布，且与z 成正比，即随深度按直线规律分布地基中除有作用于水平面上的竖向自重应力外，在竖直面上还作用有水平向的侧向自重应力。
由于地基中的自重应力状态属于侧限应力状态,故εx=εy=0，且σcx = σcy ，根据广义虎克定理，侧向自重应力σcx 和σcy 应与σcz 成正比，而剪应力均为零，即σcx = σcy = K0σczτxy=τyz=τzx ＝０式中 K0 ―比例系数，称为土的侧压力系数或静止土压力系数。
它是侧限条件下土中水平向有效应力与竖直向有效应力之比。
(1) 土中任意截面都包括有骨架和孔隙的面积，所以在地基应力计算时考虑的是土中单z σsz = γz 天然地面σcy zσcx天然地面σcz位面积上的平均应力。
(2) 假设天然土体是一个半无限体，地基中的自重应力状态属于侧限应力状态，地基土在自重作用下只能产生竖向变形，而不能有侧向变形和剪切变形。
地基中任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。
(3) 土中竖向和侧向的自重应力一般均指有效自重应力。
为了简便起见，把常用的竖向有效自重应力σcz ，简称为自重应力，并改用符号σc 表示。
成层地基土中自重应力因各层土具有不同的重度。
第3章 土体中的应力计算
3
土体中的应力计算
概
述
研究土中的应力和分布规律是研究地基和土工建筑物变形
和稳定问题的依据
自重应力 附加应力 惯性力 渗透力
: 由土体自身重量所产生的应力 ：由外荷载引起的土中应力
1 地基中的几种应力状态 a、三维（空间）应力状态
xy xy xz ij yz yy yz zx zy zz
zz (OXAY ) zz (OYBZ) zz (OZCT) zz (OTDX )
A
Y O
B
Z
Point of interest
zo ( KsI KsII KsIII KsIV ) p
（b）O 在荷载面外部
O D C X D Z O
(q)
C
(q)
影响因素 （1） 分布荷载p(x,y)的分布规律及其大小 （2） 分布荷载作用面积 A 的几何形状及大小
（3） 应力计算点的坐标值
z p0
3.3.2.1 空间问题的附加应力计算 （一） 矩形面积竖直均布荷载 1. 角点下应力
B
dP dA
x
p
x L y x
R z
R
z
集中荷载 dP = dxdyp0, M点处 dz 为
基压缩变形的主要原因。因为一般基础都埋臵于地面下一定深度，因此在计
算由建筑物造成的基底附加压力时，应扣除基底标高处土中原有的自重应力
p0 p cd p 0 d
cd
cd
p
cd
p0
3.3 地基中的附加应力
附加应力：指建筑物荷重在土体中引起的附加于原有应力之上 的应力。
第三章-土体中的应力计算
3P z 3 z 5 2 R
式中
P z K 2 z
为竖向集中力作用竖向附加应力系 数（查表）。
§3 土体中的应力计算
P z K 2 z
特点
§3.3 地基中附加应力的计算
一. 竖直集中力作用下的附加应力计算－布辛内斯克课题
3 1 K 2 [1 (r / z )2 ]5 / 2
3.P作用线上，r=0, K=3/(2π）,z=0, σz→∞，z→∞，σz=0 4.在某一水平面上z=const，r=0, K最大，r↑，K减小，σz减小 5.在某一圆柱面上r=const，z=0, σz=0，z↑，σz先增加后减小
6.σz 等值线－应力泡
P
P
球根 应力 球根
0.1P
0.05P
0.02P 0.01P
cy
假设土体为均匀连续介质，并为半无限空 间体，在距地表深度z处，土体的自重应力 为：
cz = z
自重产生的水平应力将在土压力计算部分 介绍。
若地基由多层土所组成
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
i 1
n
i i
c 1h1 2 h2 ...... n hn h
七. 条形面积竖直均布荷载作用下的附加应力计算
任意点下的附加应力—F氏解的应用
p
z K s zp x K s xp xz K s xz p
y
B
x
z
x
z
M
x z s s Ks , K , K F ( B , x , z ) F ( , ) F( m , n ) z x xz B B
土力学 第三章 土体中的应力计算
第五章土体中的应力计算第一节概述大多数建筑物是造建在土层上的，我们把支承建筑物的这种土层称为地基。
由天然土层直接支承建筑物的称天然地基，软弱土层经加固后支承建筑物的称人工地基，而与地基相接触的建筑物底部称为基础。
地基受荷以后将产生应力和变形，给建筑物带来两个工程问题，即土体稳定问题和变形问题。
如果地基内部所产生的应力在土的强度所允许的范围内，那么土体是稳定的，反之，土体就要发生破坏，并能引起整个地基产生滑动而失去稳定，从而导致建筑物倾倒。
地基中的应力，按照其因可以分为自重应力和附加应力两种：自重应力：由土体本身有效重量产生的应力称为自重应力。
一般而言，土体在自重作用下，在漫长的地质历史上已压缩稳定，不再引起土的变形（新沉积土或近期人工充填土除外）。
附加应力：由于外荷（静的或动的）在地基内部引起的应力称为附加应力，它是使地基失去稳定和产生变形的主要原因。
附加应力的大小，除了与计算点的位置有关外，还决定于基底压力的大小和分布状况。
一、应力～应变关系的假定真实土的应力～应变关系是非常复杂的，目前在计算地基中的附加应力时，常把土当成线弹性体，即假定其应力与应变呈线性关系，服从广义虎克定律，从而可直接应用弹性理论得出应力的解析解。
1、关于连续介质问题弹性理论要求：受力体是连续介质。
而土是由三相物质组成的碎散颗粒集合体，不是连续介质。
为此假设土体是连续体，从平均应力的概念出发，用一般材料力学的方法来定义土中的应力。
2、关于线弹性体问题理想弹性体的应力与应变成正比直线关系，且应力卸除后变形可以完全恢复。
土体则是弹塑性物质，它的应力应变关系是呈非线性的和弹塑性的，且应力卸除后，应变也不能完全恢复。
为此进行假设土的应变关系为直线，以便直接用弹性理论求土中的应力分布，但对沉降有特殊要求的建筑物，这种假设误差过大。
3、关于均质、等向问题理想弹性体应是均质的各向同性体。
而天然地基往往是由成层土组成，为非均质各向异性体。
第3章 土中应力计算
表3-1 z=3m处水平面上竖应力计算
r(m)
0
1
2
3
4
5
r/z
0
0.33
0.67
1
1.33
1.67
K
0.478 0.369
0.189
0.084
0.038
0.017
z(kPa)
10.6
8.2
4.2
1.9
0.8
0.4
表3-2 r=1m处竖直面上竖应力z的计算
z(m)
0
1
2
3
4
5
6
r/z
1
0.5
0.33
M(x,y,0)
z
附加应力系数
z
K
P z2
M(x,y,z) z
1885年法国学者 布辛内斯克解
z
3Pz 3
2R5
3P
2R2
cos3 q
图 直角坐标表示
❖ 讨论6个应力分量和3个位移分量：
法向应力：
z
3Fz3
2 R5
x
3F
2
zx2
R5
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
(a) 马鞍形分布 (b) 抛物线分布 (c) 钟形分布
▪上述演化只是一典型的情形，实际情况十分复杂 ▪大多数情况处于上述两种极端情况之间。
（3）情况3 弹塑性地基上有限刚性的基础
3.2.2 基底压力的简化计算
❖ 基底压力分布十分复杂；
❖ 但是，根据弹性理论中圣维南原理，在基底一定深度 处引起的地基附加应力与基底荷载分布形状无关，只与 其合力的大小和位置有关。
土体中的应力.
2、基本假定
地基土是各向同性的、均质的线性变形体，而且在 深度和水平方向上都是无限延伸的。
二· 竖向集中力作用时的地基附加应力 布辛奈斯克解答
P
x
r x2 y2
r
y
R r2 z2
x
dz
y
Rz
dzy
dzx dxz
M
dyz dy dyx
dxy
dx
z
z
A AS Aw
断面竖向力平衡：
A Psv uAw Psv Aw u
AA
' u
P 接触点
h
自重应力下的两种力系
' u
' γ’z u γw(z+h)
z
2. 有效应力原理及其意义
（1） u
（2）土的变形和强度取决于有效应力而不是总应力。
P z2
z
P z2
竖向集中荷载下地基中附加应力的分布规律：
rP
地面
o
r=0
P
z1 z2 z3
z
z
(1) 地基附加应力的扩散分布性； (2) 在离基底不同深度处各个水平面上，以基底中心点下轴
线处最大，随着距离中轴线愈远愈小；
(3) 在荷载分布范围内之下沿垂线方向的任意点，随深度愈 向下附加应力愈小。
z
lb
]
(l 2 + b 2 + z 2 )
令
c
1
2
(m2
mn(m2 2n2 1) n2 )(1 n2 ) m2 n2
arctan
1
n
土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算
三、水平向自重应力 土的水平向自重应力cx和cy可按下式计算：
cxcyK0cz
天然地面
土的侧压力系数/ 静止土压力系数
cz cx
广义虎克定律推导出
理论关系为
K0
1
。
值K可0 以在实验室测定。
cy
编辑ppt
z
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计
算并绘制自重应力σcz沿深度的分布图
土中应力
自重应力
附加应力
编辑ppt
建筑物修建以前，地 基中由土体本身重量 所产生的应力
建筑物重量等外荷载 在地基中引起的应力 增量
土中应力计算的目的：
第一节 概述
土中应力过大时，会使土体因强度不够发生破坏， 甚至使土体发生滑动失去稳定。
土中应力的增加会引起土体变形，使建筑物发生沉 降，倾斜以及水平位移。
布。根据平衡条件求得重分布后的基底最大压应力。
pmax
pmin pmax
pmin=0
e<l/6
e=l/6
pmax
e>l/6
pmin<0 基底压力重分编布辑pppt max
2(F G) pmax 3( l e)b pmin=0
基底压力重分布
l
l/2-e e>l/6
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
编辑ppt
法国数学家布辛内斯克（J. Boussinesq）1885年推出了该
问题的理论解，包括六个应力分量和三个方向位移的表达
式
教材P48页
其中，竖向应力z：
z3 2 PR z3 52 3 [1(r1 /z)2]5/2zP 2z P 2
第三章 土中应力的计算
z 2 z 2( aeoh) z 2(ebfo) q( t 1 t 2 )
（3）三角形荷载FEC（最大值为p－q）
作用范围3，4块，对M点引起的竖向应力σz3
z 3 z 3(ofcg) z 3( hogd ) ( p q)( t 3 t 4 )
第三章
土中应力的计算
3.1 概述
土中的应力—指土体在自重、构筑物荷载以及 其它因素（如水渗流、地震等）作用下，土体中 所产生的应力，包括自重应力和附加应力。
自重应力—土体受自重作用而产生的应力。
附加应力—土体受建筑物等外荷载作用而产生 的应力。
1、土中应力计算目的 为了对建筑物地基基础进行沉降（变形）、 承载力与稳定性分析，必须掌握建筑前后土中应 力的分布和变化情况。
2、偏心荷载作用时，基底压力按偏心受压公式计算：
Pmax
min
F G M F G 6e (1 ) A W A l
式中： F＋G、M－作用在基础底面中 心的竖直荷载及弯矩， M=(F＋G)e； e－荷载偏心距； W－基础底面的抵抗矩（抗弯截 面系数），对矩形基础 W＝bl2/6; b、l－基础底面的宽度与长度。
IL w wP 50 25 1.09 1 w L w P 48 25
故受浮力作用，其浮重度为：
'
( s w ) ( 26.8 9.81) 16.8 7.1 kN/m3 s (1 w ) 26.8 (1 0.50)
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa 土层中的自重应力cz分布，如图所示。
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2．在r>0的竖直线上的分布 根据公式(3-6a)即
z
3P
2R2
(cos )3
当z=0时z=0 (因=90即cos=0，而R为 一常数)；随着z的增加，z从零逐渐增大 (cos>0)，至一定深度后又随着的z增加
逐渐变小 (当z=时, R, 0即
cos1, 因此z=0)。
23
3．在z=常数的水平面上的分布
第三章 土体中的应力计算
第一节 概述 在计算地基中的附加应力时，把土体看
成线弹性体，即假定其应力与应变呈线 性关系，服从广义虎克定律，从而可直 接应用弹性理论求出应力的解析解。
1
2
一、应力-应变关系的假定 1.连续介质问题 弹性力学理论中的应力概念与受力体适
用于连续介质。土不是连续介质。但当 研究宏观土体的受力问题时，可把土体 看作连续体。
zx 0 zz
8
9
3．侧限应力状态
侧限应力状态是指侧向应变为零的一种 应力状态，地基在自重作用下的应力状 态即属于此种应力状态。土体不发生侧 向变形，而只发生竖直向的变形。
xy yz zx 0 ，应力矩阵变为：
xx 0 0
ij
0
yy
0
0 0 zz
10
三、土力学中应力符号的规定 土力学中应力的正负规定：法向应力以
根据公式(3-6a)即
z
3P
2
•
(r 2
z3 z2)5/2
z值在集中力作用线上最大，并随着r的 增加而逐渐减小。随着深度z增加，集中 力作用线上的z减小，而水平面上应力 的分布趋于均匀。
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
31
d z
3dP
2
z3 R5
3p
2
(x2
z3 y2
z2 )5/2
dxdy
(3 -10)
32
将式（3-10）沿整个矩形面积OACD积分， 即可得出矩形面积上均布荷载p在M点引 起的附加应力z为：
z
L 0
B 0
3p
2
(x2
z3 y2
z2 )5/2
dxdy
p
2
arctg
n
m 1 m2 n2
压为正，剪应力方向则规定以逆时针方 向为正。
11
第二节 土体的自重应力计算
一、地基自重应力 地基中由于土体本身的有效重量而产生
的应力叫自重应力。地基土的自重应力 状态属于侧限应力状态。
12
1．竖直向自重应力sz
sz z
(3 -1)
n
sz 1H1 1H1 i Hi i 1
(3- 2)
17
18
第三节 地基中的附加应力计算
一、集中荷载作用下的附加应力计算
（一）竖直集中力作用-布辛内斯克解
在半无限空间弹性体表面上作用有竖直 集中力P时，在弹性体内任意点M所引起 的z方向的法向应力为：
z
3P
2
•
z3 R5
3P
2R 2
பைடு நூலகம்
(cos )3
(3 - 6a)
19
20
上式可改写为：
σz
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
29
30
角点下的应力是指图3－16中O、A、C、 D四个角点下任意深度处的应力。将坐标 的原点取在角点O上，在荷载面积内任取 微分面积dA=dxdy，并将其上作用的荷载 以集中力dP代替，则dP=pdA=pdxdy。利 用式（3－6a）可求出该集中力在角点O 以下深度z处M点所引起的竖直向附加应 力dz：
式中，n—地基中的土层数；—第i层土的
容重。地下水位以上用天然容重，地下
水位以下用浮容重；Hi—第i层土的厚度。
13
14
2．水平向自重应力sx 、sy 广义虎克定律
x
x
E
E
( y
z)
(3- 3)
将侧限条件 x y 0 、sx sy 代入上式得：
x
sx
E
E
( sy
sz ) 0
(3- 4)
应力叠加原理，推求地基中任意点的附 加应力的方法称为角点法。
3
2.线弹性体问题 理想弹性体的应力与应变成正比直线关
系，且应力卸除后变形可以完全恢复。 土是弹塑性材料。但一般建筑物荷载在 地基中引起的应力增量不是很大，土体 中没有发生塑性破坏或塑性破坏的区域 很小。将土看成弹性体，直接采用弹性 理论求土中的应力分布，对一般工程来 说既方便也有足够的精度。
4
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
6
7
2．二维应变状态（平面应变状态）
堤坝地基中的应力状态属于二维应变状 态。任一xoz截面都是对称面， xy yz 0 ,且沿y方向的应变y=0。 二维应变状态的应力矩阵可表示为：
xx 0 xz
ij
0
yy
0
15
求解得：
sx
sy
1
sz
sx sy K0 sz
(3- 5)
式中，K0为土的侧压力系数；是土的波松 比；E为土的变形模量。
16
二、土坝的自重应力 土坝不是半无限体，其坝身及坝底应力
较为复杂。对于中小型土坝，可以假定 坝体中任何一点因自重所引起的竖向应 力均等于该点上面土柱的重量，因此任 意水平面上自重应力的分布形状与坝断 面形状相似。
3P 2π
•
z3 R5
3 2π
1
1
r
2
5
/
2
•
P z2
K
P z2
z
(3 - 8)
式中K称为集中力作用下的应力分布系数，
无量纲。
21
竖直向集中力P作用下地基z的分布特征： 1．在集中力P作用线上的分布 在P作用线上，r= 0，由式（3-8）可知
3P
σz 2 • z2
➢ 当z=0时， z ； ➢ 当z=时， z 0 。
mn 1 m2 n2
1 m2
n2
1
1 n
2
Ks p
(3 -12)
33
式中，m
L B
、n
z B
，其中L为矩形的长边，
B为矩形的短边。 Ks 为 矩 形 竖 直 向 均 布 荷 载 角 点 下 的 应 力 分布系数（表3—2）。
34
2．任意点的应力—角点法 利用角点下的应力计算公式（3－12）和
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
ij