第三章土体中的应力计算(1-3节)

22
2．在r>0的竖直线上的分布 根据公式(3-6a)即
z
3P
2R2
(cos )3
当z=0时z=0 (因=90即cos=0，而R为 一常数)；随着z的增加，z从零逐渐增大 (cos>0)，至一定深度后又随着的z增加
逐渐变小 (当z=时, R, 0即
cos1, 因此z=0)。
23
3．在z=常数的水平面上的分布
xx yx
xy yy
xz yz
zx zy zz
6
7
2．二维应变状态（平面应变状态）
堤坝地基中的应力状态属于二维应变状 态。任一xoz截面都是对称面， xy yz 0 ,且沿y方向的应变y=0。 二维应变状态的应力矩阵可表示为：
xx 0 xz
ij
0
yy
0
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
ij
压为正，剪应力方向则规定以逆时针方 向为正。
11
第二节 土体的自重应力计算
一、地基自重应力 地基中由于土体本身的有效重量而产生
的应力叫自重应力。地基土的自重应力 状态属于侧限应力状态。
12
1．竖直向自重应力sz
sz z
(3 -1)
n
sz 1H1 1H1 i Hi i 1
(3- 2)
第三章 土体中的应力计算
第一节 概述 在计算地基中的附加应力时，把土体看
成线弹性体，即假定其应力与应变呈线 性关系，服从广义虎克定律，从而可直 接应用弹性理论求出应力的解析解。
1
2
一、应力-应变关系的假定 1.连续介质问题 弹性力学理论中的应力概念与受力体适
用于连续介质。土不是连续介质。但当 研究宏观土体的受力问题时，可把土体 看作连续体。
zx 0 zz
8
9
3．侧限应力状态
侧限应力状态是指侧向应变为零的一种 应力状态，地基在自重作用下的应力状 态即属于此种应力状态。土体不发生侧 向变形，而只发生竖直向的变形。
xy yz zx 0 ，应力矩阵变为：
xx 0 0
ij
0
yy
0
0 0 zz
10
三、土力学中应力符号的规定 土力学中应力的正负规定：法向应力以
mn 1 m2 n2
1 m2
n2
1
1 n
2
Ks p
(3 -12)
33
式中，m
L B
、n
z B
，其中L为矩形的长边，
B为矩形的短边。 Ks 为 矩 形 竖 直 向 均 布 荷 载 角 点 下 的 应 力 分布系数（表3—2）。
34
2．任意点的应力—角点法 利用角点下的应力计算公式（3－12）和
15
求解得：
sx
sy
1
sz
sx sy K0 sz
(3-ห้องสมุดไป่ตู้5)
式中，K0为土的侧压力系数；是土的波松 比；E为土的变形模量。
16
二、土坝的自重应力 土坝不是半无限体，其坝身及坝底应力
较为复杂。对于中小型土坝，可以假定 坝体中任何一点因自重所引起的竖向应 力均等于该点上面土柱的重量，因此任 意水平面上自重应力的分布形状与坝断 面形状相似。
式中，n—地基中的土层数；—第i层土的
容重。地下水位以上用天然容重，地下
水位以下用浮容重；Hi—第i层土的厚度。
13
14
2．水平向自重应力sx 、sy 广义虎克定律
x
x
E
E
( y
z)
(3- 3)
将侧限条件 x y 0 、sx sy 代入上式得：
x
sx
E
E
( sy
sz ) 0
(3- 4)
17
18
第三节 地基中的附加应力计算
一、集中荷载作用下的附加应力计算
（一）竖直集中力作用-布辛内斯克解
在半无限空间弹性体表面上作用有竖直 集中力P时，在弹性体内任意点M所引起 的z方向的法向应力为：
z
3P
2
•
z3 R5
3P
2R 2
(cos )3
(3 - 6a)
19
20
上式可改写为：
σz
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
29
30
角点下的应力是指图3－16中O、A、C、 D四个角点下任意深度处的应力。将坐标 的原点取在角点O上，在荷载面积内任取 微分面积dA=dxdy，并将其上作用的荷载 以集中力dP代替，则dP=pdA=pdxdy。利 用式（3－6a）可求出该集中力在角点O 以下深度z处M点所引起的竖直向附加应 力dz：
3
2.线弹性体问题 理想弹性体的应力与应变成正比直线关
系，且应力卸除后变形可以完全恢复。 土是弹塑性材料。但一般建筑物荷载在 地基中引起的应力增量不是很大，土体 中没有发生塑性破坏或塑性破坏的区域 很小。将土看成弹性体，直接采用弹性 理论求土中的应力分布，对一般工程来 说既方便也有足够的精度。
4
应力叠加原理，推求地基中任意点的附 加应力的方法称为角点法。
31
d z
3dP
2
z3 R5
3p
2
(x2
z3 y2
z2 )5/2
dxdy
(3 -10)
32
将式（3-10）沿整个矩形面积OACD积分， 即可得出矩形面积上均布荷载p在M点引 起的附加应力z为：
z
L 0
B 0
3p
2
(x2
z3 y2
z2 )5/2
dxdy
p
2
arctg
n
m 1 m2 n2
根据公式(3-6a)即
z
3P
2
•
(r 2
z3 z2)5/2
z值在集中力作用线上最大，并随着r的 增加而逐渐减小。随着深度z增加，集中 力作用线上的z减小，而水平面上应力 的分布趋于均匀。
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
3P 2π
•
z3 R5
3 2π
1
1
r
2
5
/
2
•
P z2
K
P z2
z
(3 - 8)
式中K称为集中力作用下的应力分布系数，
无量纲。
21
竖直向集中力P作用下地基z的分布特征： 1．在集中力P作用线上的分布 在P作用线上，r= 0，由式（3-8）可知
3P
σz 2 • z2
➢ 当z=0时， z ； ➢ 当z=时， z 0 。