第3章土体中应力计算
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土力学3.土中应力计算
h1
γ1 γ2 γ′3
γ1 h 1
h2
水位面
γ1 h 1 + γ 2 h 2
1.地下水位以上土层 地下水位以上土层 采用天然重度， 采用天然重度，地下 水位以下土层采用浮 重度 2.非均质土中自重应 非均质土中自重应 力沿深度呈折线分布
h3
γ1 h1 + γ 2h2 + γ′3h3
三、水平向自重应力
pmin=0
基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图 形的形心上
1 l F + G = pmax × 3 − e b 2 2
p max
2 (F + G ) = l 3 − e b 2
三、基底附加压力 基底附加压力：作用于地基表面， 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而
附加应力分布规律 距离地面越深， 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大， 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上， →∞， 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加， 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（ 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
I o o
III IV II
σ z = (K c Ⅰ− K c Ⅱ − K c Ⅲ + K c Ⅳ ) p
垂直三角形分布荷载 dp布辛涅斯克解 积 分
σ σ
z1
= K t1 p = K t2 pt
z2
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数， 应力系数，均 为m,n的函数 , 的函数
γ1 γ2 γ′3
γ1 h 1
h2
水位面
γ1 h 1 + γ 2 h 2
1.地下水位以上土层 地下水位以上土层 采用天然重度， 采用天然重度，地下 水位以下土层采用浮 重度 2.非均质土中自重应 非均质土中自重应 力沿深度呈折线分布
h3
γ1 h1 + γ 2h2 + γ′3h3
三、水平向自重应力
pmin=0
基底压力重分布
偏心荷载作用在 基底压力分布图 形的形心上
1 l F + G = pmax × 3 − e b 2 2
p max
2 (F + G ) = l 3 − e b 2
三、基底附加压力 基底附加压力：作用于地基表面， 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而
附加应力分布规律 距离地面越深， 距离地面越深，附加应力的分布范围越广 在集中力作用线上的附加应力最大， 在集中力作用线上的附加应力最大，向两侧逐渐减 小 同一竖向线上的附加应力随深度而变化 在集中力作用线上， →∞， 在集中力作用线上，当z＝0时，σz→∞，随着深 度增加， 度增加，σz逐渐减小 竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四周无限 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（ 传播，在传播过程中，应力强度不断降低（应力扩 散）
I o o
III IV II
σ z = (K c Ⅰ− K c Ⅱ − K c Ⅲ + K c Ⅳ ) p
垂直三角形分布荷载 dp布辛涅斯克解 积 分
σ σ
z1
= K t1 p = K t2 pt
z2
矩形基础角点 下的竖向附加 应力系数， 应力系数，均 为m,n的函数 , 的函数
第三章 土体中的应力计算(1-3节)
4
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
3.均质、等向问题 理想弹性体是均质且各向同性的。天然
地基是各向异性的。但当土层性质变化 不大时，这样假定对竖直应力分布引起 的误差通常在容许范围之内。
5
二、地基中的几种应力状态
1．三维应力状态（空间应力状态）
局部荷载作用下，地基中的应力状态属 三维应力状态。每一点的应力可写成矩 阵形式
24
25
在空间将z相同的点连 接成曲面即形成应力泡。
当地基表面作用有几个集中力时，根据弹 性体应力叠加原理求出附加应力的总和
26
（二）水平集中力作用-西罗提解
z
3Ph
2
xz 2 R5
(3- 9)
27
28
二、矩形面积上各种分布荷载作用下的附 加应力计算
（一）矩形面积竖直均布荷载 1．角点下的应力
x
K
s x
p
τ
xz
K
s xz
p
(3- 25) (3- 26)
剪Kx应s和力K分xzs布分系别数为（水表平3向-5应）力，m分布x ,系n 数z和。
BB
55
P
56
57
（三）条形面积竖直三角形分布荷载 条形面积上竖直三角形分布荷载在地基
内引起的应力也可利用应力叠加原理， 通过积分求得。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
(3 -13a)
37
第二种情况：计算矩形面积外任一点M’ 下深度为z的附加应力(图3-17b)。设法使 M’点为几个小矩形的公共角点，然后将 其应力进行代数迭加。
zM ' (KsI KsII KsIII KsIV ) p
29
第3章 土体中的应力计算
1. M(x、y、z)点的应力： ( 、 、 )点的应力：
3P z3 3P σz = ⋅ 5 = ⋅ cos3 θ 2π R 2π R2 3P z2 x 3Px τzx = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3 3P z2 y 3Py τzy = ⋅ = ⋅ cos2 θ 2π R5 2π R3
mn 1 n2 ] * ⋅[ − 2π m2 + n2 (1+ n2 ) m2 + n2 +1
同理，可以求得最大荷载角点下任意深度z处 的竖直附加应力σz 为： σz = α tc' p0 = (α c- α tc) p0 （3-7）
3P z5 P 3 σz = = 5 z2 2π R 2π
5
其中 = x2 + y2 + z2 R
(3-3)
P =α P 2 2 z2 ( r z) +1 z 1
(3-4)
其中α = α (r/z)称为集中荷载作用下的应力分布系数 具体的α 值见教材p79表3.5.1
b
图3-11 矩形面积上作用 三角形分布时角 点下的附加应力
根据布希涅斯克解，dP在角点1下深度z处M点 引起的竖向附加应力dσz为：
3p0 xz3 dσ z = 2π b x2 + y2 + z 2
(
)
5
dxdy
2
将上式沿矩形面积积分后，可得出竖直三角形 荷载作用在矩形面上时，在零角点下任意深度 z处所引起的竖直附加应力σz为： σz = α tc p0 （3-6） 式中 α tc =
y z
x
图3-4
2. 与材料力学比较 与材料力学比较（用摩尔圆解决问题时）
土力学与地基基础-(第三章-土的自重应力计算)
3.2 土的自重应力计算
在荷载作用之前，地基中存在初始应力场。初始应力场常与土体自重、 地基土地质历史以及地下水位有关。在工程应用上，计算初始应力场时常 假设天然地基为水平、均质、各向同性的半无限空间，土层界面为水平面。 于是在任意竖直面和水平面上均无剪应力存在。 假设前提： 假设土（岩）体为均匀连续介质，并为半无限空间弹性体。 地面
应力泡
一、竖向集中力下的地基附加应力
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
z
F
d
z
3z3
2
p(x, y)dd F ((x )2 ( y )2 z 2 )5/ 2
二、均布矩形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
二、矩形和圆形荷载下的地基附加应力
1、均布矩形荷载
p c ——均布矩形荷载角点下的竖向附加应力
/
2
p0
[1
(r02
z3 z
2
)3
/
2
p 0 [1
(
p0[1 (
1
1
z
] r p0
z3 R5
1
R (r 2 z2 )2 整理得：
z
3P
2 z2
1
1
r z
5
2 2
则：
z
P z2
z
tzyபைடு நூலகம்
tzx txz
tyz
y
tyx
txy
x
M点处的微单元体
令α为附加应力系数,计算时查表
3
2
1
1 r z
2
5
2
一、竖向集中力下的地基附加应力 2、多个竖向集中力下的地基附加应 力
一、竖向集中力下的地基附加应力
土力学课件 第3章 土中应力分布及计算.
计算如图所示水下地基土中的自重应力分布
水面 a 8m
粗砂 r=19KN/m3 rsat=19.5KN/m3
黏土r=19.３KN/m3 4m rsat=19.４KN/m3 W=20%,WL=55%,WP=24%
b 76KPa 176KPa c 253.2KPa
解：水下的粗砂层受到 水的浮力作用， 其有效重度： r , rsat rw 19.5 10 9.5 KN / m 3 粘土层因为W WP , 所以I L 0, 故认为土层 不受到水的浮力作用， 土层面上还受到 上面的静水压力作用。 a点：Z 0， CZ 0 KPa； b点：Z 8m, 该点位于粗砂层中，
应力符号规定
法向应力以压为正，剪应力方向的符号规定则与材料力 学相反。材料力学中规定剪应力以顺时针方向为正，土力学 中则规定剪应力以逆时针方向为正。
压为正，拉为负，剪应力以逆时针为正
土中的自重应力计算
土中应力按其起因可分为自重应力和附加应力两种。
自重应力是土受到重力作用产生的应力，自重应力一般是自 土体形成之日起就产生于土中。
二.成层土自重应力计算 地基土通常为成层土。当地基为成层土体时，设各土层 的厚度为hi，重度为ri，则在深度z处土的自重应力计算公 式为：
cz i hi
i 1
n
z hi
i 1
n
n—从地面到深度z处的土层数； hi—第i层土的厚度，m。 成层土的自重应力沿深度呈折线分布，转折点位于r值 发生变化的土层界面上。
◇若0＜IL＜1，土处于塑性状态，土颗粒是否受到水的 浮力作用就较难肯定，在工程实践中一般均按土体受 到水浮力作用来考虑。
四．存在隔水层时土的自重应力计算
当地基中存在隔水层时，隔水层面以下土的自重应力应 考虑其上的静水压力作用。
第3章-土应力计算
z z1 z 2
2 均布荷载时， p0 2kN / m
2 三角形荷载时， p0max 98 2 96kN / m
35/74
A点附加应力计算表格
均布荷载时 p0=2.000kN/m2 Kz1 3 0.6 0.234 z1 (kN/m2) 0.468 三角荷载时
Z(m)
z
3/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
沿水平面均匀分布，且与z成正比，即随深度 按直线规律分布。
天然地面 σcz
cz
cz z
σcz= z
z
cy
cx
1 1
z
4/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
cz i hi
i 1
n
天然地面
2/74
第三章 土中应力计算 3.1 土的自重压力
研究目的：确定土体的初始应力状态。 研究方法：土体简化为连续体，应用连续体 力学(例如弹性力学)方法来研究土中应力的 分布。
假设天然土体是一个半无限体，地面以下土质 均匀，天然重度为 (kN/m3)，则在天然地面下任 意深度z(m)处的竖向自重应力 cz (kPa)可取作用于 该深度水平面上任一单位面积上土柱的重量 z l 计算 即： cz
p II I z M
III IV
o
III IV
o
II I
z K cⅠ KcⅡ Kc Ⅲ K cⅣ p
25/74
均布矩形荷载下任意点的应力计算
计算点在基底边缘 II I
o
o
z K cⅠ KcⅡ p
计算点在基底边缘外
o III I
土力学与地基基础——第3章 地基土中的应力计算
2021/1/5
57.0kPa
80.1kPa
103.1kPa 150.1kPa
n
cz1h12h2nhn ihi i1
194.1kPa
第三节 基底压力分布和计算
基底压力：建筑物荷载通过基础传递给地基的压力，也是地 基作用于基础底面的反力，因此又称为地基反力。为计算上部荷载 在地基土层中引起的附加应力，必须首先研究基础底面处接触面的 压力大小与分布情况。
l
l/2-e e>l/6
2021/1/5
偏心荷载作用线
应与基底压力的
b
合力作用线重合
FG1 2pma x32l eb
pmax
2F G
3 l eb
2
三、基底附加压力
• 基底附加压力：作用于地基表面，由于建造建筑物而新增加的压力 称为基底附加压力。
• 建筑物建造前，土中早已存在自重应力，天然土层在自重应力作用 下的变形早已结束，只有基底附加应力才能引起地基的附加应力和 变形
有集中力的，但它在土的应力计算中是一个基本公式，应用集中力的解 答，通过叠加原理或者数值积分的方法可以得到各种分布荷载作用时的 土中应力计算公式。
• 集中荷载作用下的附加应力 • 矩形分布荷载作用下的附加应力 • 条形分布荷载作用下的附加应力 • 圆形分布荷载作用下的附加应力
基本解 叠加原理
2021/1/5
砂性土： 应考虑浮力作用。 液性指数 IL >=1 流动状态，自由水，考虑浮力；
粘性土： 液性指数 IL <=0 固体状态，结合水，不考虑浮； 液性指数 0<IL <1塑性状态，难确定，按不利状态。
液性指数 IL <=0，认为是不透水层（坚硬粘土或岩层），对于不 透水层，由于不存在水的浮力，所以层面和层面以下的自重应力按 上覆土层的水土总重计算。
第3章土中应力计算
n z/b
角点法求矩形面积均布荷载下竖向应力 一般计算步骤 （1）将待求点水平投影在荷载作用面上； （2）过投影点将荷载作用面划分为若干矩形 面积，且投影点必须是各矩形的公共角点； （3）计算单个矩形作用下某深度处的附加应 力并求代数和。 （4）p55，见例3.3，3.4。
计算点在基础内部
p
III IV
3F
2
yz 2 R5
zx
3F
2
xz 2 R5
单个竖向集中力作用 集中力作用下的地基竖向
应力系数
oF
xq r
R
x y
M(x,y,0)
z
z
F z2
y M(x,y,z)
z
对竖向应力进行推导可得
3
1
2
1
(
r z
)
2
5
/
2F
2 z 2
1
1
(
r z
)
2
5
/
2
F
z2
（P52，例3.2）
（5）竖向集中力作用引起的附加应力向深部向四 周无限传播，在传播过程中，应力强度不断降低 （应力扩散）
力的叠加原理
由几个外力共同作用时所引起的某一参数（内力、 应力或位移），等于每个外力单独作用时所引起的该参 数值的代数和
F1
F2
两个集中力
作用下σz的
z
叠加
1
2
多个集中力及不规则分布荷载作用
等代荷载法
（3）侧限应力状态：侧向应变为0的状态。地基在
自重作用下的应力状态。对于半无限弹性体，同深度处的 土单元受力相同，仅能发生竖向变形，不能发生侧向变形； 任何竖直面均为对称面，故任何竖直面和水平面均不会有 剪应力存在。
第3章土中的应力计算汇总
第3章⼟中的应⼒计算汇总第三章地基中的应⼒计算§3-1 概述⼀、⼟体应⼒计算的⽬的：1、⽤于计算⼟体的变形，如建筑物的沉降；2、⽤于验算⼟体的稳定，如边坡的稳定性。
⼆、相关的概念1、⽀撑建筑物荷载的⼟层称为地基。
2、建筑物的下部通常要埋在地下⼀定的厚度，使之坐落在较好的地层上。
由天然⼟层直接⽀撑建筑物的称为天然地基3、软弱地基其承载⼒和变形不能满⾜设计要求，经加固后⽀撑建筑物的称为⼈⼯地基。
4、⽽与地基相接触的建筑物底部称为基础。
5、与建筑物基础底⾯直接接触的⼟层称为持⼒层。
6、将持⼒层下⾯的⼟层称为下卧层。
7、分类：（1）⼟体的应⼒按引起的原因分为⾃重应⼒和附加应⼒；⾃重应⼒——在未建造基础前，由⼟体⾃⾝的有效重量所产⽣的应⼒。
附加应⼒——由于建筑物荷载在地基内部引起的引⼒。
由外荷（静的或动的）引起的⼟中应⼒。
（2）按⼟体中⼟⾻架和⼟中孔隙（⽔、⽓）的应⼒承担作⽤原理或应⼒传递⽅式可分为有效应⼒和孔隙应（压）⼒。
有效应⼒——由⼟⾻架传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒——由⼟中孔隙流体⽔和⽓体传递（或承担）的应⼒。
孔隙应⼒分为：静孔隙应⼒和超静孔隙应⼒。
对于饱和⼟体由于孔隙应⼒是通过⼟中孔隙⽔来传递的，因⽽它不会使⼟体产⽣变形，⼟体的强度也不会改变。
由于⼟层有其特殊的性质，作为地基的⼟层在上部荷载作⽤下将产⽣应⼒和变形。
从⽽给建筑物带来⼀系列⼯程问题，最主要的是地基的稳定问题和变形问题。
如果地基内部产⽣的应⼒在途的强度所允许的范围内时，⼟体是稳定的；反之，如果地基内部某⼀区域中的应⼒超过了⼟的强度，那么，哪⾥的⼟体将发⽣破坏，并可能会引起整个地基产⽣滑动⽽失去稳定，从⽽导致建筑物倾倒。
如果地基⼟的变形量超过了允许值，即使⼟体尚未破坏，也会造成建筑物毁坏或失去使⽤价值。
因此，为保证建筑物的安全和正常使⽤，设计时必须对地基进⾏强度和稳定性分析并计算基础的沉降量。
为此，就要研究在各种荷载作⽤下地基内部的应⼒分布规律。
(完整版)土力学1-第三章-清华大学
《土力学1》之第三章
土体中的应力计算
张丙印
清华大学土木水利学院 岩土工程研究所
10月29日习题讨论课
范围：第一、二章
内容： 小测验 习题讨论、方法讨论 难点讨论、其它讨论
答疑
时间：10月17日晚8：00 – 10：00 地点：新水利馆227
（从正门进，上2楼，两个左拐，右手）
第三章：土体中的应力计算
应力状态及应力应变关系 ✓
自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理
• 水平地基中的 自重应力
• 土石坝的自重 应力（自学）
常规三轴压缩试验
§3.2 自重应力
仁者乐山 智者乐水
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身 的有效重量而产生的应力
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基 半无限空间体 半无限弹性体 有侧限应变条件 一维问题
仁者乐山 智者乐水
侧限应力状态：指侧向应变为零的一种应力状态
• 水平地基半无限空间体
• 半无限弹性地基内的自重 应力只与Z有关
o
x
• 土质点或土单元不可能有
y
侧向位移侧限应变条件
z
• 任何竖直面都是对称面
应变条件
y x 0 xy yz zx 0
地基中的应力状态（3）
§3.1 应力状态及应力应变关系
K0
1
地面
1 H1
2 H2 地下水 z
3 H3 sy
sz sx
容重： 地下水位以上用天然容重
地下水位以下用浮容重
土体的自重应力
§3.2 自重应力
仁者乐山 智者乐水
分布规律
地面
1 H1
2 H2 地下水 z
2 H3 sy
土体中的应力计算
张丙印
清华大学土木水利学院 岩土工程研究所
10月29日习题讨论课
范围：第一、二章
内容： 小测验 习题讨论、方法讨论 难点讨论、其它讨论
答疑
时间：10月17日晚8：00 – 10：00 地点：新水利馆227
（从正门进，上2楼，两个左拐，右手）
第三章：土体中的应力计算
应力状态及应力应变关系 ✓
自重应力 附加应力 基底压力计算 有效应力原理
• 水平地基中的 自重应力
• 土石坝的自重 应力（自学）
常规三轴压缩试验
§3.2 自重应力
仁者乐山 智者乐水
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身 的有效重量而产生的应力
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基 半无限空间体 半无限弹性体 有侧限应变条件 一维问题
仁者乐山 智者乐水
侧限应力状态：指侧向应变为零的一种应力状态
• 水平地基半无限空间体
• 半无限弹性地基内的自重 应力只与Z有关
o
x
• 土质点或土单元不可能有
y
侧向位移侧限应变条件
z
• 任何竖直面都是对称面
应变条件
y x 0 xy yz zx 0
地基中的应力状态（3）
§3.1 应力状态及应力应变关系
K0
1
地面
1 H1
2 H2 地下水 z
3 H3 sy
sz sx
容重： 地下水位以上用天然容重
地下水位以下用浮容重
土体的自重应力
§3.2 自重应力
仁者乐山 智者乐水
分布规律
地面
1 H1
2 H2 地下水 z
2 H3 sy
土力学 第三章、土的应力计算(2)
z2
arctan z
lb 令 m =l/b,n = z/b
l 2 b2 z2
c
1 2
m2
mn m2 2n2 1 n2 12 n2 m2 n2
12
arctan
n
m
m2 n2 1
z c p0
任意点的应力应力计算—角点法
利用角点下的应力计算公式和应力叠加 原理，推求地基中任意点的附加应力的方法 称为角点法。
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
R3
(R
z)2
布辛奈斯克解 y
3P
2
y2z
R5
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
y2(2R z)
R3
(R
z)2
z
3P
2
z3 R5
3P
2R 2
cos3
xy
yx
3P
2
xyz
R5
1 2
3
xy(2R z)
3 土中应力计算
3.2.3 基底附加压力
一般情况下，建筑物建造前天然土层在自重 作用下的变形早已结束。因此，只有基底附加 压力才能引起地基的附加应力和变形。
p0= p - cd = p- 0d
0 ihi / hi
基础砌置天然地面 : 全部基底压 力=基底附加压力。 埋置一定深度，扣除基底标高处 原有的土中自重应力
1.在集中力P作用线上的z分布 2.在r＞0的竖直线上的z分布 3.在z ＝常数的水平面上i
Z
M Z
等代荷载法计算 z
z
1
F1 z2
2
F2 z2
第3章土体应力计算
3
σ v = σ cz + u0 = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ ' h3 + γ w h3 = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3 sat h3
σ h = σ ch + u0 = K 0σ cz + u0
3-2
地基中的自重应力
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ < γ ) γ2
1 2
γ′ 2
d rd
p n = p m in − γ 0 d
p t = p m ax − p m in
3-4
地基中的附加应力计算
计算假定：地基土是各项同性的、均质的、线性变形体，而 计算假定：地基土是各项同性的 均质的 线性变形体， 各项同性 且在深度和水平方向上都是无限的 深度和水平方向上都是无限的。 且在深度和水平方向上都是无限的。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 空间问题
y c x b b c b p1 pmax
pmax pmin
Fv M x M y = ± ± l ⋅ b Wx Wy
a
x a d
L
p2
y
p1 Fv Mx My = ∓ ± p2 l ⋅ b W底压力与基底附加应力
二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 3. 偏心荷载下条形基础的基底压力
'
3
3-2
地基中的自重应力
无侧向变形条件下，侧向应力： 无侧向变形条件下，侧向应力：
σ ch = σ cx = σ cy = K 0σ cz
K0——静止侧压力系数，它是土体在无侧向变形条件下侧 静止侧压力系数， 无侧向变形条件下 静止侧压力系数 它是土体在无侧向变形条件下侧 向（水平向）有效应力与竖向有效应力之比。 水平向）有效应力与竖向有效应力之比。 之比
σ v = σ cz + u0 = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ ' h3 + γ w h3 = γ 1h1 + γ 2 h2 + γ 3 sat h3
σ h = σ ch + u0 = K 0σ cz + u0
3-2
地基中的自重应力
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ < γ ) γ2
1 2
γ′ 2
d rd
p n = p m in − γ 0 d
p t = p m ax − p m in
3-4
地基中的附加应力计算
计算假定：地基土是各项同性的、均质的、线性变形体，而 计算假定：地基土是各项同性的 均质的 线性变形体， 各项同性 且在深度和水平方向上都是无限的 深度和水平方向上都是无限的。 且在深度和水平方向上都是无限的。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 应力计算可分为空间问题和平面问题。 空间问题
y c x b b c b p1 pmax
pmax pmin
Fv M x M y = ± ± l ⋅ b Wx Wy
a
x a d
L
p2
y
p1 Fv Mx My = ∓ ± p2 l ⋅ b W底压力与基底附加应力
二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 3. 偏心荷载下条形基础的基底压力
'
3
3-2
地基中的自重应力
无侧向变形条件下，侧向应力： 无侧向变形条件下，侧向应力：
σ ch = σ cx = σ cy = K 0σ cz
K0——静止侧压力系数，它是土体在无侧向变形条件下侧 静止侧压力系数， 无侧向变形条件下 静止侧压力系数 它是土体在无侧向变形条件下侧 向（水平向）有效应力与竖向有效应力之比。 水平向）有效应力与竖向有效应力之比。 之比
土体中的应力计算
1
6e l
1）当 e l / 6 时， pmin 0 ，基底压力分布呈梯形。 2）当 e l / 6时， pmin 0 ，基底压力分布呈三角形。 3）当 e l / 6时，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负值，即 pmin 0 。
•土质点或土单元不可能有侧向位移 侧限应变条件；
•任何竖直面都是对称面;
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二. 地基中常见的应力状态 4.侧限应力状态——一维问题
▪应变条件
y x 0;
xy yz zx 0
▪应力条件
xy yz zx 0;
x y;
x
x E
E
y z
0;
x
y
1
z
εp
εe
理论 ——弹性力学解 求解“弹性”土体中的应力 方法 ——解析方法 优点：简单，易于绘成图表等
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加载
ε
3.2 土体自重应力的计算
水平地基中的自重应力:
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基 半无限空间体 半无限弹性体 有侧限应变条件 一维问题
▪应力条件
z
x y; z xy , yz , zx 0
x y; z xy , yz , zx 0
zx
▪独立变量：x y , z ; x y , z
xy
x
y yz
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z
ij=
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x 0xy 0xz 0yx yy 0yz
x
y yz
y z
∞
ij=
应力张量矩阵形式
第3章 土中应力计算
表3-1 z=3m处水平面上竖应力计算
r(m)
0
1
2
3
4
5
r/z
0
0.33
0.67
1
1.33
1.67
K
0.478 0.369
0.189
0.084
0.038
0.017
z(kPa)
10.6
8.2
4.2
1.9
0.8
0.4
表3-2 r=1m处竖直面上竖应力z的计算
z(m)
0
1
2
3
4
5
6
r/z
1
0.5
0.33
M(x,y,0)
z
附加应力系数
z
K
P z2
M(x,y,z) z
1885年法国学者 布辛内斯克解
z
3Pz 3
2R5
3P
2R2
cos3 q
图 直角坐标表示
❖ 讨论6个应力分量和3个位移分量：
法向应力：
z
3Fz3
2 R5
x
3F
2
zx2
R5
1 2
3
R2 Rz z2 R3(R z)
x2 (2R z)
(a) 马鞍形分布 (b) 抛物线分布 (c) 钟形分布
▪上述演化只是一典型的情形，实际情况十分复杂 ▪大多数情况处于上述两种极端情况之间。
（3）情况3 弹塑性地基上有限刚性的基础
3.2.2 基底压力的简化计算
❖ 基底压力分布十分复杂；
❖ 但是，根据弹性理论中圣维南原理，在基底一定深度 处引起的地基附加应力与基底荷载分布形状无关，只与 其合力的大小和位置有关。
第三章 土中应力的计算
z 2 z 2( aeoh) z 2(ebfo) q( t 1 t 2 )
（3）三角形荷载FEC（最大值为p－q）
作用范围3，4块，对M点引起的竖向应力σz3
z 3 z 3(ofcg) z 3( hogd ) ( p q)( t 3 t 4 )
第三章
土中应力的计算
3.1 概述
土中的应力—指土体在自重、构筑物荷载以及 其它因素（如水渗流、地震等）作用下，土体中 所产生的应力，包括自重应力和附加应力。
自重应力—土体受自重作用而产生的应力。
附加应力—土体受建筑物等外荷载作用而产生 的应力。
1、土中应力计算目的 为了对建筑物地基基础进行沉降（变形）、 承载力与稳定性分析，必须掌握建筑前后土中应 力的分布和变化情况。
2、偏心荷载作用时，基底压力按偏心受压公式计算：
Pmax
min
F G M F G 6e (1 ) A W A l
式中： F＋G、M－作用在基础底面中 心的竖直荷载及弯矩， M=(F＋G)e； e－荷载偏心距； W－基础底面的抵抗矩（抗弯截 面系数），对矩形基础 W＝bl2/6; b、l－基础底面的宽度与长度。
IL w wP 50 25 1.09 1 w L w P 48 25
故受浮力作用，其浮重度为：
'
( s w ) ( 26.8 9.81) 16.8 7.1 kN/m3 s (1 w ) 26.8 (1 0.50)
a 点：z = 0 m，σcz=γz=0; b 点：z = 2 m，σcz=γz=19 ×2=38 kPa c 点：z = 5 m , σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3=68 kPa， d 点：z = 9 m，σcz =∑γihi=19 ×2+10 ×3＋7.1 ×4＝96.4 kPa 土层中的自重应力cz分布，如图所示。
土力学与地基基础 土3-1
第三章 土中应力计算
土体的两个基本性质：
应力～应变关系：非线性 各向异性：成层等
假定： 把地基土视为均匀的各向同性的半无限空间线性
弹性体。 这种假定虽与土体的实际情况有出入，但因弹性
理论方法计算简单，且实践证明，当基底压力在 一定范围内时，用弹性理论的计算结果能满足实 际工程的要求。所以，可认为地基土符合半无限 体的假定而引用弹性理论公式。
第三章 土中应力计算
第三章 土中应力计算
问题1：为什么要了解土中应力？ 问题2：土体中都有哪些应力？ 问题3：这些应力怎么计算？
其分布规律如何？
这场官司谁打赢? 广州有一百货公司在西关上下九某街，在将原来二层 的职工宿舍拆建后拟建成八层的宿舍楼，邻近约1米 多有一栋移居国外老华侨的三层楼房。当百货公司的 职工宿舍楼建到四层的时候，老华侨的楼房先后出现 地面沉降，楼面倾斜，墙身开裂等现象。
附加应力： • 附加应力是由于基础等外部荷载所引起的应力。在
附加应力作用下，地基土将产生压缩变形，引起地 基沉降，由于建筑物荷载差异和地基土不均匀等原 因，基础各部分的沉降往往不均匀。当不均匀沉降 超过一定限度时，将导致建筑物的开裂、倾斜甚至 破坏。
两种应力产生的原因不同，因而分布规律和计算方法也不同。
市房地资源局一位负责人告诉记者，上海市自1921年明显出现地面沉降现象以来， 至1965年市区地面平均下降1.69米，最大年均沉降量达110毫米。作为我国最早认 识地面沉降危害的城市，上海于六十年代着手对地下水开采采取总量控制，实行 计划用水，以及采用将地表水(自来水)直接灌入地下含水层，使地下水位抬高， 从而达到恢复土层弹性控制地面沉降目的的人工回灌措施。自1965年实行人工回 灌至今，累计回灌地下的水量已达六亿立方米左右。通过采取控制地下水开采、 地下水人工回灌两项措施，本市地面沉降从历史最高的100毫米，到目前控制的 10毫米左右，1966年至2000年全市地面沉降累计为0.218米，控沉效果显著。
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ij =
x 0xy xz 0yx 0 y 0 yz zx 0 zy z
ij =
x 0xy xz 0yx y 0yz
zx 0zy z
二. 地基中常见的应力状态
4.侧限应力状态——一维问题
o x
yz
•水平地基半无限空间体； •半无限弹性地基内的自重应力只与Z有关； •土质点或土单元不可能有侧向位移侧限应变条件； •任何竖直面都是对称面;
上次课授课内容回顾：
2.5 土的物理状态指标
1、粗粒土的密实状态指标: 相对密度Dr
引入 定义 判别标准
Dr
emaxe emaxemin
2、细粒土的稠度状态指标: 液性指数IL
稠度状态 土中水的形态
含水量
稠度界限
液性指数 塑性指数
引入 定义 判别标准
IL
w wp wL wp
Ip wLwp
反映粘性土结构性的指标:(1)灵敏度;(2)触变性. A Ip
A
B
cA cB
二. 地基中常见的应力状态 4.侧限应力状态——一维问题
▪应变条件
▪应力条件
y x 0;
xyyzzx0; x y;
xyyzzx0
x E xE yz 0;
xy1zK0z;
▪独立变量 z,z F(z)
K0：侧压力系数
ij =
0 x 0xy 0xz 0yx 0 y 0yz
0zx 0 zy z
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 有侧限应变条件一维问题
计算：地下水位以上用天然重度； 地下水位以下用浮重度。
天然地面
γz
σcz σcz 线
z
σcz
1
σcz=γz
z
1.计算公式
均质地基 成层地基
竖直向：cz z
cz W A zA A z
水平向：cxcyK0cz
Δσ
线弹性体
成层土 各向异性
③ 均匀一致各向同性体 （土层性质变化不大时）
E、 与(x, y, z)无关
与方向无关
卸载
εp
εe
理论 ——弹性力学解求解“弹性”土体中的应力 方法 ——解析方法优点：简单，易于绘成图表等
加载
ε
3.2 土体自重应力的计算
水平地基中的自重应力:
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而产生的应力。
H1 44.0 41.0 3.0 m； cz1 1H1 17.0 3.0 51.0 kPa 2）▽40.0m 处。 H2 41.0 40.0 1.0 m
拉为正 顺时针为正 压为负 逆时针为负
压为正 逆时针为正 拉为负 顺时针为负
二. 地基中常见的应力状态
1.一般应力状态——三维问题
z
zx
o x
xy
x
y yz
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
z y
应变张量矩阵形式:
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
二. 地基中常见的应力状态 2. 轴对称三维问题
▪应变条件
▪应力条件
z
x y; z
x y; z
zx
xy,yz,zx 0 xy,yz,zx 0
▪独立变量： x y , z ; x y, z
xy
x
y yz
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz 0zx 0 zy z
y
z z
变形。
y 0;
yx yz 0;
zx z
zx
xy
x
zx 0
x xz
y yz
二. 地基中常见的应力状态 3. 平面应变条件——二维问题
▪应变条件
y 0; xy yz 0; zx 0
▪应力条件
y
y
E
E
x
z
0
yxz
▪独立变量
x , z , xz ; x , z , xz ; F(x,z)
zLeabharlann σy3.1 概述z
一. 土力学中应力符号的规定
zx
∞
地基：半无限空间
o
y z
∞
xy
x
y yz
∞
x
ij =
x xy xz yx y yz
zx zy z
应力张量矩阵形式
一. 土力学中应力符号的规定
摩尔圆应力分析
- zx
z +
材料力学
xz
x
z
- zx +
土力学
xz
x
正应力
剪应力
建筑物修建以后，建筑物 重量等外荷载在地基中引 起的应力，所谓的“附加” 是指在原来自重应力基础 上增加的压力。
第3章 土体中的应力计算
3.1 概述 3.2 自重应力 3.3 基底压力计算 3.4 地基附加应力 3.5 有效应力原理
o
x
y x
z
y
σz
τzx
τzy τxy
τyxτyz Mτxz σx
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz
0zx 0zy z
二. 地基中常见的应力状态
3. 平面应变条件——二维问题
垂直于y轴切出的任意断面的几 何形状均相同，其地基内的应力 状态也相同；
o x
沿长度方向有足够长度，
L/B≧10；
平面应变条件下，土体在x, z平 面内可以变形，但在y方向没有
ij =
x 0xy 0xz 0yx y 0yz
0zx 0zy z
三. 土的应力-应变关系的假定
1、室内测定方法及一般规律
轴对称问题
特殊应力状态
一维问题
常规三轴试验 侧限压缩试验
三. 土的应力-应变关系的假定
2、应力计算时的基本假定
碎散体
非线性 弹塑性
① 连续介质 （宏观平均）
② 线弹性体 （应力较小时）
均质地基
1 (1 2)
2
2
成层地基
【例题 3-1】计算并绘制出地基中的自重应力 σcz 沿深度的分布曲线，其中
1 17.0 kN/m3、 sat1 19.0 kN/m3、 sat2 18.5 kN/m3、 sat3 20.0 kN/m3。
【解】 1）▽41.0m 处（地下水位处）。
2.6 土的压实性
p 0.002
2.7 土的工程分类
St
qu qu
第三章
土体中的应力计算
第三章 土体中的应力计算
地基中的应力状态
应力应变关系
土力学中应力符号的规定
强度问题 变形问题
应力状态及应力应变关系 自重应力
建筑物修建以前，地基 中由土体本身的有效重 量所产生的应力。
附加应力 基底压力计算 有效应力原理
K0
1
竖直向： cz iHi c z 1 H 12H 23 H 3 ;
γ1
Z γ2
γ3
H 1 水平向： c x c yK 0c zK 0 iH i
H2 思考题：水位骤降后，原水位到现水位之间 的饱和土层用什么容重？
H3
2. 分布规律
▪自重应力分布线的斜率是容重； ▪自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； ▪自重应力在成层地基中呈折线分布； ▪在土层分界面处和地下水位处发生转折。