第二章 土体应力计算
土中应力计算
昆明冶金高等专科学校
主 讲人：刘玉英
第二章 土中的应力计算
学习目的： 1、对基础进行沉降变形计算； 2、计算基础的承载力和稳定性；
第二章 土中的应力计算
第一节 土中自重应力
第二节基底压力 第三节 土中附加应力 第四节 土中应力形式
2.1 土中应力形式
注意， l恒为基础长边，为短边。
（2）铅直均布荷载作用任意点下的附加应力 在实际工程中，常需计算地基中任意点下的附加 应力。此时，只要按角点下应力的计算公式分别进 行计算，然后采用叠加原理求代数和即可。此方法 称角点法。 图2.12中列出了几种计算点不在角点的情况(即任意 点)，计算方法为：通过任意点，把荷载面分成若干 个矩形面积，这样。点就必然落到所划出的各个小 矩形的公共角点然后再按式(2.15)计算每个矩形角 点下同一深度z处的附加应力σz，并求出代数和 。 注意:每个小矩形的长边恒为li；短边为bi 。
z a1
z
1 2
a2
z
2 2
an
z
n 2
ai
i 1
z
i 2
(2-11)
式中：αi-第个集中力作用下，地基中的铅直向附加应力系数。 按表2.2查得，其中ri为第i个集中力作用点到点的水平距离。 ri / z
【例2-2】在地基上作用一集中力F=200kN，要求 确定：①z=2m深度处的水平面上附加应力分布；②
令
1 blz(b 2 l 2 2 z 2 ) bl [ arctan ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 c 2 (b z )(l z ) b l z z b l z
则
土体应力计算
第2章 土体应力计算2.1 自重应力 2.1.1 地基中的自重应力自重应力是由于地基土体本身的有效重量而产生的。
研究地基的自重应力是为了确定地基土体的应力状态。
计算地基中的自重应力时，一般将地基作为半无限弹性体来考虑，地基中的自重应力状态属于侧限应力状态，其内部任一水平面和垂直面上，均只有正应力而无剪应力。
1）垂直向自重应力．．．．．．．设地基中某单元距地面的距离为Z ，如图2－1所示，土的容重为 γ，则该单元上的垂向自重应力等于其单位面积上土柱的有效 重量，即：(2－1)单位以kPa 计。
从式（5－1）很容易得出，垂向自重应力随深度的增加而加大。
在均质地基中，垂直自重应力沿某一铅垂线上的分布是一条向下倾斜的直线,如图2－2所示。
若计算点在地下水位以下，由于水对土体有浮力作用，水下部分土柱的有效重量应采用土的浮容重γˊ计算。
如图2－2（a ）中位于地下水位以下的某点，在水位以下深度为 ,其竖向自重应力为：（2－2）式中，浮容重为 (2－3 )分析式（2－2）可知，自重应力的分布仍为直线，在地下水位处 发生转折，分布图见2－2（b ）若地基是由几种不同容重的土层组成时，如图2－2（b ），则任意深度Z 处的自重应力为：∑==++=ni ii sz h h h 12211γγγσ szσz sz γσ=i h 2'1h h s z γγσ+=ωγγγ-=sat '(2－4)式中，n 为地基中土的层数；为第i 层土的容重，单位：kN ∕ ； 为第i 层土的厚度，单位：m.。
成层土地基自重应力沿铅直线的分布图见图2－2(b),它是一条折线， 其转折点位于各不同容重土层的分界面上。
2）水平向自重应力 、在地面以下深度Z 处，由土的自重而产生的水平向应力，大小等于该点土的自重应力与土的侧压力系数 之乘积，即(2－5)土的静止侧压力系数 是指土体在无侧向变形条件下，水平向有效应力与垂直向有效应力之比值。
第二章 土中应力计算
注：地下水位对自重应力的影响的影响
地基土形成至今一般已很长时间，故如前所述，自重应力所引起 的地基变形早已发生并已稳定，可不再考虑。但对于新近沉积土， 应考虑它在自重应力作用下的变形。 此外，地下水位的升降会引起土中自重应力的变化, 并导致地 基变形：
（1）水位下降（抽地下水），将使自重应力增大，从而引起
α为集中力作用下的应力 分布系数
σz与α无关，α可 按r/z值查表 可得。
若有多个竖向集中力作用在地基 表面上，可按叠加原理有：
式中αi为第i个集中应力系数。
虽然理论上的集中力实际上是不存在的，但集中力作 用下弹性半空间地基理论解（即布辛涅斯克解）是求解 其他形式荷载作用下地基中附加应力分布的基础。
(d) M’点在荷载面的角点外侧 荷载面（abcd）＝ 面积Ⅰ（ M’hce）－ 面积Ⅱ（ M’hbf） 则： － 面积Ⅲ（ M’gde）+ 面积Ⅳ（ M’gaf）
z c1 c 2 c3 c 4 p0
必须注意: 在角点法中，查附加应力系数时所用的 l 和 b 均指划分后的新矩形（如M’fbg、M’hce等）的长和宽。
土粒所传 递的粒间 应力
孔隙水压力+ 孔隙气压力
控制土体 变形和强 度的土中 主要应力
§2.2 土体自重应力的计算
一、水平地基中的自重应力
定义：在修建建筑物以前，地基中由土体本身的有效重量而 产生的应力。
目的：确定土体的初始应力状态
假定：水平地基半无限空间体半无限弹性体 （同一深 度应力 状态相同，水平垂直主应力面） 有侧限应变条件一维问题
z c1 c 2 c3 c 4 p0
2. 任意点的垂直附加应力—角点法
土体中的应力计算
基底压力：基础底面传递 给地基表面的压力，也称 基底接触压力。
暂不考虑上部结构的影 响，使问题得以简化； 用荷载代替上部结构。
§2 土体中的应力计算 §2.2基底压力计算
一. 影响因素
基底压力
•大小 •方向 •分布
荷载条件
基础条件
•刚度 •形状 •大小 •埋深
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
§2 土体中的应力计算 §2.2基底压力计算
§2 土体中的应力计算 §2.1土体自重应力的计算
一. 水平地基中的自重应力
水位变化
▪地下水位的升降会引起土中自重应力的变化
＝sat w
原水位
sat
＝sat w
水位下降后
§2 土体中的应力计算 §2.1土体自重应力的计算
一. 水平地基中的自重应力
例题 第一层土为细砂1=19kN/m3, s=25.9kN/m3, w=18%; 第 二层土为粘土, 2=16.8kN/m3, s=26.8kN/m3, w=50%, wL=48%, wP=50%,并有地下水位存在。计算土中自重应力。
▪自重应力分布线的斜率是容重； ▪自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； ▪自重应力在成层地基中呈折线分布； ▪在土层分界面处和地下水位处发生转折。 ▪不透水层层面及层面以下为上覆水土总重
1 (1 2)
均质地基
2
成层地基
2
不透水层面 1h1 2h2 2' h3 wh3
二.基底压力分布
条形基础，竖直均布荷载
▪基础抗弯刚度EI=0 → M=0； ▪基础变形能完全适应地基表面的变形; ▪基础上下压力分布必须完全相同，若不 同将会产生弯矩。
土力学2-土体中的应力计算
应力泡
0.1P 0.05P 0.02P 0.01P
集中荷载的附加应力－基本解
§2.4 附加应力
仁者乐山 智者乐水
矩形面积竖直均布荷载
dP pdxdy
角点下的垂直附加应力：B氏解的应用
p
L B
y
3dP z 3 3p z 3 d z dxdy 5 5 2 R 2 R
x
z K sp
基底压力的影响因素
§2.3
弹性地基，完全柔性基础
基础抗弯刚度EI=0 → M=0
基础变形能完全适应地基表面的变形 基础上下压力分布必须完全相同，若 不同将会产生弯矩
条形基础，竖直均布荷载
弹性地基，绝对刚性基础
抗弯刚度EI=∞ → M≠0
基础只能保持平面下沉不能弯曲 分布: 中间小, 两端无穷大
集中力作用下的 应力分布系数
教材P58页
集中荷载的附加应力－基本解
§2.4 附加应力
仁者乐山 智者乐水
竖直集中力－布辛内斯克课题
z 3 1 P P K 2 [1 (r / z ) 2 ]5 / 2 z 2 Z2
P
σz与α无关，呈轴 对称分布 P作用线上
在某一水平面上 在r﹥0的竖直线上 z等值线-应力泡
§2.3
§2.4
基底压力与基底附加应力
地基中的附加应力
§2.2
zx z +
材料力学
正应力
剪应力
顺时针为正 逆时针为负
zx
土力学
z +
x
xz
-
拉为正 压为负
-
xz
x
压为正 拉为负
第二章 土体中的应力计算
• [思考题答案] 按给出的资料，计算并绘制地 基中的自重应力 沿深度的分布曲线。 （假定，地下水位位于标高为141.0处。）
2.2
基底压力
• 基底压力：上部结构荷载和基础自重通过 基础传递，在基础底面处施加于地基上的 单位面积压力。 • 基底反力：反向施加于基础底面上的压力
基底压力、反力
• 基底压力 建筑物上部结构荷载和基础自重通过基础传 基底压力：
讨论： 讨论：
p max p min = F + G 6e 1± bl l
当e<l/6时，pmax，pmin>0，基底压力呈梯形分布 时 ， 当e=l/6时，pmax>0，pmin=0，基底压力呈三角形分布 时 ， ， 当e>l/6时，pmax>0，pmin<0，基底出现拉应力，基底压力重分布 时 ， ，基底出现拉应力， pmax e<l/6 pmin pmax e=l/6 pmax pmin<0 基底压力重分布 pmax e>l/6 pmin=0
2.2.1 基底压力的分布规律
（1）情况1 情况1
EI=0
(a) 理想柔性基础
(b) 堤坝下基底压力
图2-1 柔性基础 基础抗弯刚度EI=0，相当于绝对柔性基础 基底压力分布与作用荷载分布相同。 基底压力分布与作用荷载分布相同。
（2）情况2 EI=∞ 情况2 刚度很大(即EI=∞),可视为刚性基础(大块混凝土实体结构) 。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 荷载小，呈中央小而边缘大的情形。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 随作用荷载增大，呈抛物线分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。 作用荷载继续增大，发展为钟形分布。
例题见教材P29 例题见教材P29 [例2-2]解题思路: 2]解题思路: 解题思路 1)求基础自重 G=γGAd 2)求外荷F=P+Q 3)求基础的合力距M:M=M/+Q∙e0 4）求合力距的偏心距e ：M=(F+G)∙e p F + G 6e 5）求基底压力 = 1 ±
2第二章-土体应力计算
3F z z 5 2 R
3
二、空间问题条件下地基附加应力
（一）竖直均布压力 作用下矩形基底角点 下的附加应力
pn dxdy
微面积dxdy上的微集中力pndxdy，基底角点O 下z深度处所引起的附加应力为
3z 3 pn dxdy d z 5 2R
pn dxdy
pn dxdy
基底反力：地基反向施加于基础底面上的压力。 基底附加应力：是指基底压力扣除因基础埋深所 开挖的自重应力之后在基底处施加于地基上的单 位面积压力。
一、柔性基础与刚性基础基底压力分 布特征
柔性基础
柔性基础
刚性基础：
当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基底压
力为直线分布.
第4节 地基中的附加应力计算
附加应力：由于外荷载作用，在地基中产生的 应力增量。
计算方法：假定地基土是各向同性的、均质的、 线性变形体，而且在深度和水平方向上都是无 限的。
应力计算可分为空间问题和平面问题。
一、附加应力基本解答
（一）竖向集中力作 用下地基附加应力： 半无限空间体弹性力 学基本解
由布辛内斯克解答得 σz的表达式
(a) o点在荷载面边缘: KS=KS1+KS2 (b) o点在荷载面内: KS=KS1+KS2+KS3+KS4
(c) o点在荷载面边缘外侧: KS=KS1-KS2+KS3-KS4
(d) o点在荷载面角点外侧: KS=KS1-KS2-KS3+KS4
第2节 地基中的自重应力
地面
z
cz
cx
土力学与地基基础——第二章
pi 1 z Ki 2 2 z z i 1
n
K P
i 1 i i
n
2.3 地基中的附加应力
讨论：集中力荷载产生的竖向附加应力在地基
2.3 地基中的附加应力
(d)o点在荷载面角点外侧 把荷载面看成由I(ohce)、Ⅳ(ogaf)两个面积中扣除 Ⅱ(ohbf)和Ⅲ(ogde)而成的，所以
z ( Kc1 Kc 2 Kc3 Kc 4 ) p0
2.3 地基中的附加应力
例题 以角点法计算矩形基础甲的基底中心点
垂线下不同深度处的地基附加应力的分布，基 础埋深1.5m,集中力为1940KN，并考虑两相邻 基础乙的影响(两相邻柱距为6m，荷载同基础 甲)。
(b)o点在荷载面内
z ( Kc1 Kc 2 Kc 3 Kc 4 ) p0
(c)o点在荷载面边缘外侧 此时荷载面abcd可看成是由I(ofbg)与Ⅱ(ofah)之差和 Ⅲ(oecg)与Ⅳ(oedh)之差合成的，所以
z ( Kc1 Kc 2 Kc 3 Kc 4 ) p0
如果基础砌置在天然地面上，那末全部基底压 力就是新增加于地基表面的基底附加压力。一 般天然土层在自重作用下的变形早巳结束，因 此只有基底附加压力才能引起地基的附加应力 和变形。
2.2 基底压力
基底压力为均匀分布时：
p0 p 0 p 0 d
基底压力为梯形分布时：
p0 max p0 min
2.1 地基中的自重应力
什么时候考虑土体在自重下的自重应力？ 土层一般形成至今有很长的时间，自重应力下
第2章土体应力计算
自重应力：由于土体本身自重引起的应力
确定土体初始 应力状态
土体在自重作用下，在漫长的地质历史时期，已经 压缩稳定，因此，土的自重应力不再引起土的变形。 但对于新沉积土层或近期人工充填土应考虑自重应力 引起的变形。
一、均匀土体的竖向自重应力
土体中任意深度处的竖向自重应力等于单位面积上土柱 的有效重量
2.基底压力的简化计算法
1）中心荷载时：
P
N
F
2）偏心荷载时：
P N M N (1 6e) FW F b
3.基底附加应力---基底净压力：
p0 p 0d
P 实际情况
基底附加压力在数 值上等于基底压力 扣除基底标高处原 有土体的自重应力
P d
第四节 地基中的附加应力计算
h2 2 水位面
用浮容重。 1 h1 + 2h2 2.非均质土中自重应
力沿深度呈折线分布
h3 3
1 h1 + 2h2 + 3h3
三、水平向自重应力
天然地面
z
cy
cz cx
cz z
cx cy K0 cz
静止侧压 力系数
四、例题分析
【例】一地基由多层土组成，地质剖面如下图所示，试计算
K
x s
pn
Ksx ,Ktz为条形基底竖向 附加应力系数, 均为
m ,n的函数，其中 m=x/b，n=z/b，可查表
2-6、2-7得到
x
K
z t
pt
注意原点位置
见例题2-3
第5节 土坝（堤）自重应力和坝基附加应力
自重应力：
坝身任意点自重应力均等于单位面积上该计算点以上土柱 的有效重度与土柱高度的乘积。
第2章土中应力计算自重应力由土体重力引起的应力
第2章 土中 应 力 计 算自重应力：由土体重力引起的应力附加应力：由于建筑物荷载在土中引起的应力 要求：正确理解自重应力、附加应力、基底压力、基底附加压力的概念及影响因素。
掌握各种应力的计算公式、计算方法及分布规律。
第一节 土中应力状态法向应力以压应力为正，拉应力为负；剪应力以逆时针方向为正，顺时针方向为负。
σx 、σy 、σz ，τxy=τyx、τyz=τzy、τzx=τxz，第二节 土中的自重应力由土体重力引起的应力称为自重应力。
一般是自土体形成之日起就产生于土中。
一、均质地基土的自重应力土体在自身重力作用下任一竖直切面均是对称面，切面上都不存在切应力。
因此只有竖向自重应力σc z ，其值等于单位面积上土柱体的重力W 。
深度z 处土的自重应力为： 式中 γ为土的重度，kN/m 3 ；F 为土柱体的截面积m 2。
σcz 的分布:随深度z 线性增加，呈三角形分布。
二、成层地基土的自重应力地基土通常为成层土。
当地基为成层土体时，设各土层的厚度为h i ，重度为γi ，则在深度z 处土的自重应力计算公式地下水位以上的土层取天然重度γ，地下水位以下的土层取有效重度γ`( γ` = γsat- γw) γw=10kN/m3 三、土层中有不透水层时的自重应力在地下水位以下，如果埋藏有不透水层（坚硬的粘土、基岩），该层面处的自重应力应按上覆土层的水土总重计算。
四、水平向自重应力式中K 0为侧压力系数，也称静止土压力系数例题 2-1某土层及其物理性质指标如图所示，地下水位在地表下1.0 m ，计算土中自重应力并绘出分布a 点：b 点：c 点：d 点：例题 2-2某地基土层的地质剖面如图所示，计算各土层的自重应力并绘出分布 50m 处：48m 处：45m 顶：45m 不透水层面：43m 处：【课堂讨论】• 土的性质对自重应力有何影响?• 地下水位的升降是否会引起土中自重应力的变化？如何影响？作业1、20==h cz γσkpa h cz 6.1816.1811=⨯==γσkpa h h cz 4.271)108.18(6.182211=⨯-+=+=γγσkpah h h cz 6.523)104.18(4.27332211=⨯-+=++=γγγσ0==h cz γσkpah cz 3621811=⨯==γσh h cz 5.613)105.18(362211=⨯-+=+=γγσkpah h h ww cz 5.913105.612211=⨯+=++=γγγσkpah h h h w w cz 5.1292195.91332211=⨯+=+++=γγγγσ第二节 基底压力的简化计算建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称基底压力，又称地基反力。
土力学课件 第二章 土体应力计算
均布荷载
一.基底接触压力的实际分布（３）
刚性基础 （a） 基底压力
（b） p
（c）
刚性基础
图 2-6 柔性和刚性基础下土的变形与基底压力分布
一.基底接触压力的实际分布（４）
图 2-7 刚性基础下的基底压力分布 刚性基础放在砂土地基表面时，由于砂颗粒之间无 粘结力，其基底压力分布更易发展成图d所示的抛物线 形；而在粘性土地基表面上的刚性基础，其基底压力分 布易成图b所示的马鞍形。
n — 深度z范围内的土层总数; hi — 第i层土的厚度(m); i— 第i层土的天然重度，对地下水位以下的土层取有效重 度 i '(kN /m 3 ) 。
三、成层地基土的自重应力（２）
图 2-4 成层土中竖向自重 应力沿深度的分布
cz 1 h1 2 h 2 ... n h n
四、土层中有地下水时的自重应力（２） 的土受到水的浮力作
用，则水下部分土的 重度按有效重度′计算，
若地下水位以下
其计算方法同成层土 体情况。
图 2-5
水下土的自重应力分布
2.3 基底接触压力p和基底附加压力p0
建筑物荷载通过基础传递给地基的压力称基底压力， 又称地基ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力。
• 基底接触压力p：基础底面与地基表面的接触面的压应力 • 基底附加压力p0：引起地基附加应力和地基压缩变形的那 部分基底接触压力
p max F G 6e (1 ) p min lb l
(2)
二. 基底接触压力的简化计算（5）
当e＜l/6时，基底压力分布图呈梯形[图（a）]；当 e=l/6时，则呈三角形[图（b）]；当e＞l/6时，按式（2） 计算结果，距偏心荷载较远的基底边缘反力为负值，即 pmin<0 [图（c）]。由于基底与地基之间不能承受拉力， 此时基底与地基局部脱开，使基底压力重新分布。因此， 根据偏心荷载应与基底反力相平衡的条件，荷载合力应通 过三角形反力分布图的形心[图（c）中实线所示分布图 形]，由此可得基底边缘的最大压力pmax为：
土体中的应力计算
土体中的应力计算1.格令法格令法是土力学中常用的一种计算土体中应力的方法，它基于土体中的格令应力体系。
格令应力体系是指土体中各个方向上的应力分量。
常见的格令应力体系包括水平应力(σ_h)，垂直应力(σ_v)和剪应力(τ)。
格令法计算土体中应力的基本过程如下：(1)确定水平应力(σ_h)：水平应力是以土体排列方向为基准的应力分量，通过土体中的外加荷载和支持条件来计算。
常见的计算方法有：a.一维法：当土体受到轴对称荷载时，可以使用一维法计算水平应力。
其中σ_h=P/A，其中P为荷载大小，A为土体的横截面积。
b.二维法：当土体受到平面荷载时，可以使用二维法计算水平应力。
其中σ_h=P/A，P为荷载大小，A为土体的接触面积。
c.三维法：当土体受到体力荷载时，可以使用三维法计算水平应力。
其中σ_h=F/A，F为荷载大小，A为土体的接触面积。
(2)确定垂直应力(σ_v)：垂直应力是指土体中垂直于排列方向的应力分量。
垂直应力的计算方法如下：a.压力传递原理：假设土体为均质、无阻性及无滑动的情况下，垂直应力可通过压力传递原理计算。
垂直应力由上层土体通过土粒间的压缩传递给下层土体，下层土体又继续传递给更下层土体，以此类推。
b.常用公式：经验公式计算垂直应力可使用τ=kσ_v，其中k为土体的地层系数，可以根据实际情况选择合适的数值。
(3)确定剪应力(τ)：剪应力是土体中沿一定面域内的剪力分量。
剪应力的计算方法如下：a.剪切试验：通过进行剪切试验，可以直接测得土体中的剪应力。
b.运动原理：当土体处于平衡状态时，土粒间的剪应力满足平衡条件。
可以根据平衡条件求解土体中剪应力的大小和方向。
2.应变法应变法是另一种常用的计算土体中应力的方法，它基于土体中的应变体系。
应变是指在外力作用下，土体中产生的形变量。
常见的应变体系包括线性应变和体积应变。
应变法计算土体中应力的基本过程如下：(1)确定线性应变(ε)：线性应变是土体中只考虑线性部分的应变。
第二章土体应力计算
第二章 土体应力计算2-1如图所示为某地基剖面图，各土层的重度及地下水位如图，试求土的自重应力并绘出应力分布图。
习题2-1附图2-2如图所示为一矩形基础，埋深1m，上部结构传至设计地面标高处的荷载为P=2106 kN，荷载为单偏心，偏心距e=0.3m。
试求基底中心点O，边点A和B下4m深处的竖向附加应力。
习题 2-2附图2-3甲乙两个基础，它们的尺寸和相对位置，及每个基础下的基底净压力均示于下图中，试求甲基础O点下2m深处的竖向附加应力。
200kPa200kPa100kPa习题2-3附图2-4 某挡土墙建于图示地基上，埋深2m ，尺寸如图所示。
墙受上部竖向荷载和墙身自重为F v =1000kN/m ，其作用位置距墙前趾A 点为3.83m ；墙背受有总水平推力F h =350 kN/m ，其作用点距墙底为3.5m 。
（不计墙后填土影响）试求： （1）M ，N 点的竖向自重应力； （2）M ，N 点处的竖向附加应力。
习题 2-4附图2-5 某矩形基础长度分别3m 和2m ，基础剖面和地基条件如图所示。
试求基础中点O 及其以下点M和N 的自重应力、竖向附加应力以及静孔隙水应力。
习题 2-5附图2-6 粉质粘土层下部有承压水，测压管水位高出地下水位1.5m ，形成向上的稳定渗流，现在地表突然加无限均布荷载p=40kPa ，试按图所示数据计算施加p 后瞬间（t=0），A 点的垂直有效应力'z σ。
习题 2-6附图2-7 试绘出下图所示两种情况下土中总应力、有效应力及孔隙水压力分布图。
习题 2-7附图2-8 绘出下图所示自重应力分布图及作用在基岩层面处的水土总压力。
3习题 2-8附图2-9 从钻孔中获得下列资料：0～-3m ，细砂，饱和密度ρsat =1.92 t/m 3；-3～-7m ，粘土，饱和密度ρsat =2t/m 3，7.0m 以下为中砂。
试计算和绘制自重应力随深度的变化图。
（地下水位在地面±0.00处）2-10 已知某均布受荷面积如图所示，求深度10m 处A 点与O 点的竖向附加应力比值。
2 土体应力计算
2-2 地基中的自重应力
分布规律 自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； 自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 自重应力在成层地基中呈折线分布； 在土层分界面处和地下水位处发生转折。 在土层分界面处和地下水位处发生转折。
γ
γ′
均质地基
γ1 (γ
1
< γ2 )
P αr x
R M’
y βz
M
x
P σ z = ap ⋅ 2 z
y z
2-4 地基中的附加应力计算
P σ z = ap ⋅ 2 z 式中： 式中：
3 1 y ap = 2 5/ 2 2π [1+ (r / z) ] 称为竖向集中力作用竖向附加应力系数 称为竖向集中力作用竖向附加应力系数
0.5 0.4 查表2查表 3
实际 碎散体 非线性 弹塑性 成层土 各向异性 假定 ①连续介质 宏观平均） （宏观平均） ②线弹性体 应力较小时） （应力较小时） ③均匀一致各向同性体 土层性质变化不大时） （土层性质变化不大时） 卸载
∆σ
加载
εp
ε
e
ε
土的非线性弹塑性应力应变曲线
2-2 地基中的自重应力
竖向应力
σ cz = γz
p
d
rd
2-4 地基中的附加应力计算
计算假定：半空间无限体假定；连续、 计算假定：半空间无限体假定；连续、均质各向同性的线弹 性体假定。 性体假定。 应力计算可分为空间问题 平面问题。 空间问题和 应力计算可分为空间问题和平面问题。 一、附加应力基本解答 （一）竖向集中力作用下地基附加应力 o
由布辛内斯克Boussinesq·J(1885)解答 解答 由布辛内斯克 得 σ z 的表达式
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2-3
基底压力与基底附加应力
P+G d
Mx My
二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 2.双向偏心荷载下矩形基础的基底压力
y x b c b p1
23
c
pmax Fv M x M y pmin l b Wx Wy
p1 Fv Mx My p2 l b W x Wy
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28
河海哺育文明，岩土筑就想往.
撑斜塔于将覆，叹铁塔之巍峨
土体的物理性指标总计几个，基本指标？ 集中力作用下的竖向附加应力的计算参数？ 同一集中力作用在半无限岩体上和土体上， 所产生的竖向附加应力有何不同？ 空间问题中，Z=0时，矩形基底中心的竖向 附加应力和边缘中心点有何不同？ 静止侧压力系数和水平向总应力如何计算？
8
河海哺育文明，岩土筑就想往.
2-2
地面
地基中的自重应力
h1
1h1
1
2
cz 1h1 2 h2 h3
'
3
h2
1h1 2 h2
3'
w h3
u0 w h3
cz
h3
1 h1 2 h 2 ' h3
v cz u0 1h1 2 h2 h3 w h3 1h1 2 h2 sat h3
2-3
基底压力与基底附加应力
一、柔性基础与刚性基础基底压力分布特征
刚性基础：刚度较大，基底压力分布随上部荷载的大小、 基础的埋深及土的性质而异。
小荷载 小荷载 小荷载 小荷载 极限荷载 极限荷载 极限荷载 极限荷载
砂性土地基
粘性土地基
当基础尺寸不太大，荷载也较小时，可假定基 底压力为直线分布。
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河海哺育文明，岩土筑就想往.
2-2
地面
地基中的自重应力
cz z
'
z
cz
'z
u0 w z
'
v cz u0 z w z sat z
2015年5月7日星 期四11时28分20 秒
思考题：水位骤降后，计算自重应力时，原 水位到现水位之间的饱和土层用什么容重？
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土 力 学 第二章 土体应力计算
岩土工程研究所
河海大学
Research Institute of Geotechnical Engineering, Hohai University
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2-1 概述
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x a d
b
L
y
a pmin
p2
pmax
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2-3
基底压力与基底附加应力
二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 3. 偏心荷载下条形基础的基底压力
b
Fv
pmax pmin
Fv 6e (1 ) b b
1
e
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河海哺育文明，岩土筑就想往.
2-2
地基中的自重应力
假定：地基为具有水平表面的半无限体。
z
∞ x
o
∞
∞
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∞ y
x
z
y
6
∞
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2-2
地基中的自重应力
地面
z
cz
z
zs
s
z
cz
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当e＜L/6时，基底压力成梯形分布；
a
x a
e
d
b
L
y
pmin
pmax
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2-3
基底压力与基底附加应力
Fv＝P＋G d y c x b c b pmax
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二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 1.单向偏心荷载下矩形基础的基底压力
12
河海哺育文明，岩土筑就想往.
2-3 基底压力的 分布形式
基底压力与基底附加应力
•大小 •方向 •分布
多因素影响基底 压力的分布
基础条件
•刚度 •形状 •大小 •埋深
荷载条件
地基条件
•土类 •密度 •土层结构等
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河海哺育文明，岩土筑就想往.
2-3
基底压力与基底附加应力
二、刚性基础下基底压力分布
（一）中心荷载下的基底压力 2. 条形基础
b
Fv
F F p 1 b b
1
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2-3
基底压力与基底附加应力
Fv＝P＋G y
二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 1.单向偏心荷载下矩形基础的基底压力
2-3
基底压力与基底附加应力
Fv＝P＋G d y c x
二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 1.单向偏心荷载下矩形基础的基底压力 x
e k L
y b
b
pmax Fv 6e 1 pmin lb l
当e＞L/6时，基底压力pmin min＜0
a
Fv＝P＋G Pmin<0 y d Pmin<0x a b x
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撑斜塔于将覆
高54.5m，8层。至今663年。 1174年始建， 集中力作用下的附加应力的计算参数？ 1350年竣工，经历176年。1590年，伽俐略自由 落体实验。 1999年加固。 叹铁塔之巍峨 作用在半无限岩体上和土体上集中力所产生 高300米，天线高24米，总高324米。 1889年建造 的附加应力有何不同？
p m ax Fv 6e 1 p m in lb l
当e=L/6时，基底压力为三角形分布；
距离中心位置为半 幅底宽的1/3时，单 侧边受力为0。
x a
e L
y d Pmin=0
b
pmax
a Pmin=0
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河海哺育文明，岩土筑就想往.
河海哺育文明，岩土筑就想往.
2-1
z zx
材料力学
概
述
xz x 拉为正
压为负
正应力
剪应力 顺时针为正 逆时针为负
σz (-) τzx(-) τzx(+) σz (+)
正应力 压为正 拉为负
剪应力 逆时针为正 顺时针为负
5
土力学
2015年5月7日星 期四11时28分20 秒
pmax Fv M pmin l b W Iy bl 2 W xmax 6 M Fv e l3 b Iy 12 xmax 1 l 2
x a y d pmin
物理概念 定义？
d
c
e L
b
b
x
c b pmax
p m ax Fv 6e 1 p m in lb l
2015年5月7日星 期四11时28分20 秒
11
Horizon
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2-2
地基中的自重应力
1 (
1
2)
2
均质地基 成层地基
2
自重应力分布线的斜率是容重； 自重应力在等容重地基中随深度呈直线分布；
2015年5月7日星 期四11时28分20 秒
自重应力在成层地基中呈折线分布； 在土层分界面处和地下水位处发生转折。
河海哺育文明，岩土筑就想往.
2-3
基底压力与基底附加应力
二、刚性基础下基底压力分布
（三）倾斜偏心荷载下的基底压力
Fh ph l b
2015年5月7日星 期四11时28分20 秒
Fh ph b
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河海哺育文明，岩土筑就想往.
2-3
基底压力与基底附加应力
p
三、基底附加应力——基底净压力
矩形分布情况
应力计算目的
计算土体变形（沉降）；验算土体稳定。
地基：
支承建筑物荷载的土层。影响建筑物地基变形和 稳定的一个足够大范围的土体，无固定边界。
持力层：与建筑物基础底面直接接触的土层。 下卧层：持力层下面的土层。
2015年5月7日星 期四11时28分20 秒 2
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2015年5月7日星 期四11时28分20 秒
a pmin
pmax
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2-3
基底压力与基底附加应力
Fv＝P＋G d y c x b c b pmin pmax
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二、刚性基础下基底压力分布
（二）偏心荷载下的基底压力 1.单向偏心荷载下矩形基础的基底压力
p m ax Fv 6e 1 p m in lb l
pn p c p 0 d
梯形分布情况
d
rd