例题工程力学.
工程力学---材料力学第七章-梁弯曲时位移计算与刚度设计经典例题及详解
P
B C
l 2 l 2
A
x
P 解：AC段：M ( x ) x 2 y P EIy x 2 A P 2 EIy x C x 4 l 2 P 3 EIy x Cx D 12
P
B C
l 2
x
由边界条件： x 0时，y 0
l 由对称条件： x 时，y 0 2
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
最大转角和最大挠度分别为：
11qa max A 1 x1 0 6 EI 19qa 4 ymax y2 x2 2 a 8EI
3
例5：图示变截面梁悬臂梁，试用积分法
求A端的挠度 P
I
2I
l
fA 解： AC段 0 x l
B
P 3 2 EIy x C2 x D2 6
由边界条件： x l时,y=0, =0
得：
C2
1 1 Pl 2 , D2 Pl 3 2 3
l x 时,yC左 =yC右 , C左 = C右 由连续条件： 2
5 3 2 C1 Pl , D1 Pl 3 16 16
由连续条件： x1 x2 a时, y1 y2 , y1 y2
由边界条件： x1 0时, y1 0
0 x 2 a 时 , y 由对称条件： 2 2
得 D1 0
C1 C2 得 D1 D2
11 3 得 C2 qa 6
qa 1 (11a 2 3 x12 ) 0 x1 a 6 EI q 2 [3ax2 2 ( x2 a)3 11a 3 a x2 2a 6 EI qa y1 (11a 2 x1 x13 ) 0 x1 a 6 EI q y2 [4ax23 ( x2 a) 4 44a 3 x2 ] a x2 2a 24 EI
工程力学(例题)
1.如图2-4所示为一曲柄摇杆机构。
机构中各构件自重不计，圆轮上的销子A 在摇杆BC 的光滑导槽内，圆轮上作用一力偶，其力偶矩大小为M 1=2kN·m，OA ＝r ＝0.5m 。
在图示位置时OA 与OB 相互垂直，α=30°，且系统处于平衡状态。
求作用于在摇杆BC 上的力偶矩M 2及铰链O 、B 处的约束力。
解（1）取圆轮为研究对象，画受力图如图2-4b 所示。
A 点的约束力FA 与摇杆的导槽垂直，根据力偶只能用力偶平衡的性质，铰链O 处的约束力FO 必定与FA 形成一个力偶，其转向与M 1转向相反，由此可以确定FA 指向如图2-4b 所示。
ΣMi =0 M 1-FAr sin α=0（2）取摇杆BC 为研究对象，画受力图如图2-4c 所示。
F'A (与FA 互为作用力与反作用力)和FB 形成一力偶，且与M 2平衡。
解之得 M 2=4 M 1=8 kN·m 由此求得2.在图4-8a 所示的杆件中，已知F 1=20kN ，F 2=50kN ，AB 段的直径d 1=20mm ，BC 段的直径d 2=30mm ，试计算各段杆件横截面上的正应力。
解 （1）采用轴力图的简易画法，从左至右作图，可以在不求出固定端约束力和情况下，直接根据外力情况画出轴力图。
（2）确定各横截面的轴力F N 。
采用轴力图的简易画法直接画出轴力图如图解得1sin 30A M F r =ΣM i =020sin ArM F α-+=18kNsin 30O A B M F F F r ====4-8b 所示。
从轴力图上可以看出，各横截面的轴力分别为F N1=20kN ，F N2=－30kN 。
（3）计算各横截面上的正应力。
由式（4-3），AB 段横截面上的正应力为BC 段横截面上的正应力为3.如图4-14a 所示，杆件受轴向载荷作用。
已知：F 1＝30kN ，F 2＝10kN ，AC 段横截面 面积A 1＝500mm2，CD 段横截面面积A 2＝200mm2，材料的弹性模量E ＝200GPa试计算各段杆件横截面上的应力和杆的 总变形Δl 。
工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解
得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI
工程力学
4kN
BC段：
x Fs ( x ) 4kN
M ( x ) 4(l x )
2kN M x
3)作Fs、M 图
4kNm
【例6.3】 图示结构中，AB为圆截面钢杆，已知F＝18kN，钢材的许用 应力[]＝160MPa，试设计AB杆的直径。
杆端
左侧
例5.7 简支梁AB的C点处作用一集中力偶m，作该梁的Fs、M 图。 m 解： m R R 1)求约束力
a b
A B
x B
l
A
x
l
C
2)列切力、弯矩方程
建立坐标轴 x AC段： m Fs ( x ) RA
l
RA
Fs
RB
m l x
( 0 < x ≤ a)
M ( x ) RA x
（2）计算许用载荷 根据杆①的强度条件
1 A 100´ 200 ＝ ＝38.6´ 103 N＝38.6kN 0.518 0.518
解得
F£
根据杆②的强度条件
解得
结构的许用载荷
[F]＝38.6kN。
FN2＝0.732F≤[]2A
2 A 160´ 200 F£ ＝ ＝43.7´ 103 N＝43.7kN 0.732 0.732
左上右下错动外力为正
集中力作用点的左、右邻截面上的切力不相等，相差集中 M＝ m ( P ) 上凹弯曲
一侧 力的大小；弯矩相等。 所以，不考虑集中力作用点的切力。 外力( 偶 ) 矩为正 O
一侧
O为截面的形心
例：求1、2、3、4、5各截面的内力。
m=qa2 A
工程力学材料力学-知识点-及典型例题
作出图中AB杆的受力图。
A处固定铰支座B处可动铰支座作出图中AB、AC杆及整体的受力图。
B、C光滑面约束A处铰链约束DE柔性约束作图示物系中各物体及整体的受力图。
AB杆：二力杆E处固定端C处铰链约束（1）运动效应：力使物体的机械运动状态发生变化的效应。
（2）变形效应：力使物体的形状发生和尺寸改变的效应。
3、力的三要素：力的大小、方向、作用点。
4、力的表示方法：（1）力是矢量，在图示力时，常用一带箭头的线段来表示力；（注意表明力的方向和力的作用点！）（2）在书写力时，力矢量用加黑的字母或大写字母上打一横线表示，如F、G、F1等等。
5、约束的概念：对物体的运动起限制作用的装置。
6、约束力（约束反力）：约束作用于被约束物体上的力。
约束力的方向总是与约束所能限制的运动方向相反。
约束力的作用点，在约束与被约束物体的接处7、主动力：使物体产生运动或运动趋势的力。
作用于被约束物体上的除约束力以外的其它力。
8、柔性约束：如绳索、链条、胶带等。
(1)约束的特点：只能限制物体原柔索伸长方向的运动。
(2)约束反力的特点：约束反力沿柔索的中心线作用，离开被约束物体。
（）9、光滑接触面：物体放置在光滑的地面或搁置在光滑的槽体内。
（1）约束的特点：两物体的接触表面上的摩擦力忽略不计，视为光滑接触面约束。
被约束的物体可以沿接触面滑动，但不能沿接触面的公法线方向压入接触面。
（2）约束反力的特点：光滑接触面的约束反力沿接触面的公法线，通过接触点，指向被约束物体。
（）10、铰链约束：两个带有圆孔的物体，用光滑的圆柱型销钉相连接。
约束反力的特点:是方向未定的一个力；一般用一对正交的力来表示，指向假定。
（）11、固定铰支座（1）约束的构造特点：把中间铰约束中的某一个构件换成支座，并与基础固定在一起，则构成了固定铰支座约束。
（2）约束反力的特点：固定铰支座的约束反力同中间铰的一样，也是方向未定的一个力；用一对正交的力来表示，指向假定。
()12、可动铰支座（1）约束的构造特点把固定铰支座的底部安放若干滚子，并与支撑连接则构成活动铰链支座约束，又称锟轴支座。
工程力学讲义1-3章例题
F CB
C
F 'BA
ϕ [例] 已知： F、a 、b、 , 求：MB (F) 和 例 已知：
解：①用力对点之矩求解
M A (F ) .
a
A
F
ϕ
M B ( F ) = F ⋅ d = Fb cos ϕ
②应用合力矩定理求
M B ( F ) = M B ( Fy ) + M B ( Fx )
= 0 + F cos ϕ ⋅ b
2）摇杆ＢＣ：
C
NA
A
NO
α
M2
NB
B
NA ⋅r ∑ M = 0 : sin 30 − M 2 = 0. ∴ M 2 = 8 kNm.
23
M 2 , N A ', N B
思考题 试求机构的滑块在图示位置保持平衡时两主动力偶的关系
解： 1) AB杆为平衡对象。 AB杆为平衡对象。 滑块与杆之间为光滑面约束，因 此D处的约束力FD必垂直于AB。 处的约束力F 必垂直于AB。
P A B
NA
A
或：
P
B
4）A点的约束反力 N A ） 点的约束反力 5）A点的约束反力也可以用两个分力 ） 点的约束反力也可以用两个分力 表示 FAX , FAY 。
NB P
B
FAY
A
FAX
注：作业的书写格式 。
NB
1
第一章 静力学基本公理和物体的受力分析 [例1] 试分析杆 的受力 例 试分析杆AB的受力 的受力。 注：作业的书写格式 。 解：1．杆 AB ．
17
A
简易吊车如图所示，滑轮大小忽略不计， 例：简易吊车如图所示，滑轮大小忽略不计，杆自 重不计， 求杆AB、 所受的力。（P＝ 所受的力。（ 重不计， 求杆 、BC所受的力。（ ＝20kN） ）
工程力学受力分析
受力分析一、例题1、在图1－22(a)所示的平面系统中，匀质圆盘A重G1，借本身重量和摩擦不计的理想滑轮C和柔绳维持在仰角是α的光滑斜面上，绳的一端挂着重G2的物块B。
试分析圆盘A 和滑轮C的受力情况，并分别画出平衡时两物体的量力图。
解：(1)取圆盘为研究对象，画出其简图。
(2)在其简图上画出主动力。
(3)画约束力。
圆盘A和滑轮C的受力图分别为图1－22(b)和图1－22(c)，由于满足三力平衡汇交定理条件，两受力图都可画为三力汇交形式，图1－22(d)为滑轮C三力汇交形式的受力图。
2、简易支架的结构如图1－23(a)所示，图中A、B、C三点为铰链连接。
悬挂物的重量为G，横梁AD和斜杆BC的重量不计。
试分别画出横梁AD和斜杆BC的受力图。
解：(1)先取斜杆BC(二力杆)为研究对象，假设为受拉杆，画受力图见图1－23(b)。
(2)再取横梁AD为研究对象，根据固定铰支座和柔绳约束，画受力图如图1－23(c)所示，注意B点处反作用力方向不能重新假定，要与图1－23(b)中FB方向相反。
3、如图1－24(a)所示的三铰拱桥，由左右两拱桥铰接而成。
设各拱桥的自重不计，在左拱上作用有载荷F，试分别画出左拱和右拱的受力图。
解：(1)先取右拱(二力杆)为研究对象，假设为受压，画受力图[见图1－24(c)]。
(2)取左拱为研究对象，受力图见图1－24(b)。
4、如图1－25(a)所示，梯子的两部分AB和AC在A点铰接，又在D、E两点用水平绳连接。
梯子放在光滑水平面上，若其自重不计，但在AB的中点处作用一铅直载荷F。
试分别画出梯子的AB、AC部分以及整个系统的受力图。
解：分别取梯子的AB、AC部分以及整个系统为研究对象，画分离体的受力图，如图1－25(b)、(c)、(d)所示。
注意：梯子整体的受力图中不要画AB与AC之间的相互作用力，因为对梯子整体来说这是内力。
由于内力成对出现，对梯子整体来说是平衡力系，因此不必画出，只需画出全部外力。
工程力学例题
例 题
例4-1
已知： AC=CB= l, P=10kN; 求：铰链A和DC杆受力. （用平面任意力系方法求解）
解： 取AB梁，画受力图.
Fx 0
FAx Fc cos 45 0
FAy Fc sin 45 F 0
Fy 0
M
A
0
Fc cos 45 l F 2l 0
5 FA 2 2l P l 0 2
解得
5 2 FA P 8
Fix 0
解得
FEx FA cos 450 0
5 FEx P 8
iy
F
解得
0
FEy P FA sin 450 0
13 FEy P 8
取DCE杆,画受力图.
0 M 0 F cos 45 2l FK l FEx 2l 0 C DB
q 20 kN
求： 固定端A处约束力.
, l 1m; F 400kN, m
解： 取T型刚架，画受力图. 1 其中 F1 q 3l 30kN 2 Fx 0 FAx F1 F sin 600 0 解得 FAx 316.4kN
F Ay P F cos 60 0 Fy 0 解得 FAy 300kN
M A 10.37kN
例4-8 已知: P1, P2, P=2P1, r, R=2r, 200 ; 求: 物C 匀速上升时，作用于轮I 上的力偶矩M；轴承A，B处的 约束力.
解: 取塔轮及重物C,画受力图.
M
由
B
0
Pr F R 0
解得
Pr F 10 P 1 R Fr tan 20 0 F
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工程常见的约束
1、柔绳、链条、胶带构成的约束
P
P
柔索只能受拉力，又称张力。用 FT 表示。 柔索对物体的约束力沿着柔索背向被约束物体。
F1
F2
胶带对轮的约束力沿轮缘的切线方向，为拉力。
2、刚性光滑面约束
P P
P P
光滑支承接触对非自由体的约束力，作用 在接触处；方向沿接触处的公法线并指向受力
连线，但指向不定。
FA
C
A
P
A
B
FB
B
§1–4 受力分析和受力图
受力图的画法步骤：
1.确定研究对象，取分离体。 2.画出研究对象所受的全部主动力。 3.在存在约束的地方，按约束类型逐一画出约 束反力。
注意:
1.首先确定物体系统中是否存在二力构件，如果有先画 二力构件的受力图。 2.当分析物体系统受力时，要分清内力与外力，内力成 对可不画。 3.作用力与反作用力之间的相互关系，作用力一经假定， 反作用力与之大小相等方向相反。
FC
FG
受力分析例题
分别画出图中滑 轮B、杆AC和DC
FE
FBy
的受力图。
B
FBx
FH
FAy
FAx
A
FB' x
FD
D
C
FC
FC
B
C
FB' y
受力分析例题
分别画出图中杆AB、
BC和DE的受力图。
FBy FBx
FD y
FD x
FDx
FDy
FB y
FB x
FAy FAx
FH
FH
FCx
P
FCy
受力分析例题
2、力系的等效替换（或简化）：用一个简单力系等效代
替一个复杂力系。
3、建立各种力系的平衡条件：建立各种力系的平衡条件，
并应用这些条件解决静力学实际问题。
第一章 静力学公理和物体受力分析
§1-1基本概念
力：物体间的相互机械作用，这种作用使物体运
动状态发生变化(外效应)，或使物体变形(内效应)。
按力的作用点分： 集中力和分布力。
受力分析例题
受力分析例题
已知球A重W1，借本身重量和摩擦不计的理想滑轮C和柔
绳维持在仰角是的光滑斜面上，绳的一端挂着重W2的物
体B。试分析物体B、球A和滑轮C的受力。
解：
1.物体B受力图。
FD
D
B
2.球A受力图。 3.滑轮C的受力图。
W2
FE
E AF
W1 FF
HG
E
C
AF
D B
W1
I H
FH
G
C
公理3 力的平行四边形法则
合力 FR F1 F2
(矢量和)
亦可用力三角形求得合力矢
此公理表明了最简单力系的简化规律，是复杂 力系简化的基础。
推理2 三力平衡汇交定理
作用在刚体上的三个力，若构成平衡力系，且其 中两个力的作用线汇交于一点，则三个力必在同一平面内， 而且第三个力的作用线一定通过汇交点。
二力构件
二力构件：只在两个力作用下处于平衡的构件。 二力构件的受力特点：力必沿作用点的连线。
思考题
P
FA A
FB B
受力图正确吗?
FB B
FA A
公理2 加减平衡力系原理
在作用于刚体的力系中，加上或减去任意 对平衡力系不改变原力系对刚体的作用效应。
加减平衡力系原理是力系简化的重要依据。
推理1 力的可传性
作用在刚体上的力可沿作用线滑移至刚体内 任意点而不改变力对刚体的作用效应。
推理1 力的可传性
作用在刚体上的力是滑动矢量，力的三要素 为大小、方向和作用线。
公理3 力的平行四边形法则
作用在刚体上同一点的两个力，可以合成 为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小 和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角 线确定，合力矢等于这两个力矢的几何和。
课程简介
工程力学（或者应用力学）是：将力学原理 应用实际工程系统的科学。
其目的是：了解工程系统的性态并为其设计提 供合理的规则。
工程力学
理论力学：研究物体机械运动
一般规律。
材料力学：研究构件正常工作
应满足的要求。
工
理论力学
刚体
程
平衡、运动（外效应）
力
材料力学
变形固体
学
变形、内力（内效应）
技术基础课。研究物体受力后的效应
§ 1-2 静力学公理
公理1 二力平衡条件
刚体在两个力作用下平衡的充分必要条件 是二力沿着同一直线，大小相等，方向相反。 使刚体平衡的充分必要条件
最简单力系的平衡条件
柔性体（受拉力平衡） （仍平衡）
刚化为刚体
二力平衡条件是刚体平衡的充分必要条件，是 变形体平衡的必要非充分条件。
刚体（受压平衡）
柔性体（受压不能平衡）
物体，故称为法向约束力，用 FN 表示。
3、刚性光滑铰链约束（固定铰链支座、径向轴 承、圆柱铰链等）
（1）固定铰链支座
A
F A
由左边A、B构件之一与
B
B
地面或机架固定而成。
（2）光滑圆柱铰链
约束特点：由两个各穿孔的构件及圆柱销 钉组成，如剪刀。
（3）向心轴承（径向轴承）
约束力： 当不计摩擦时，轴与孔在接触处为光 滑接触约束——法向约束力。约束力作用在接触处， 沿径向指向轴心。
约束特点： 轴在轴承孔内， 轴为非自由体、 轴承孔为约束。
4、辊轴约束
约束特点：在铰支座与光滑固定平面之间装有光滑 辊轴而成。 约束力：构件受到⊥光滑面的约束力。向上或向下
5、二力杆（或二力构件）
两端用光滑铰链与其他物体相接，杆的自重不
计，中间不受力作用的杆件（直杆或曲杆）构成的
约束。二力杆的约束反力必沿着二力杆两端铰链的
柔性体（受拉力平衡） 刚化为刚体（仍平衡）
刚体（受压平衡）
柔性体（受压不能平衡）
注意：刚体平衡条件只是变形体平衡的必要条件非充分条件。
§1－3 约束和约束力
自由体：运动不受其他物体直接制约的物体。 非自由体：运动受到其他物体直接制约的物体。 约束：对非自由体的位移起限制作用的物体。 约束力：约束对非自由体（被约束体）的作用力。 主动力：约束力以外的力。
平衡时 F3 必与 F12 共线则三力必汇交O 点，且共面。
公理4 作用和反作用定律
作用力和反作用力总是同时存在，两个力 大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在 两个相互作用的物体上。
在画物体受力图时要注衡，如将已 平衡的变形体刚化为刚体，其平衡状态不变。
刚体：绝对不变形的物体，或物体内任意两点间的距离
不改变的物体。一个物体能否视为刚体，不仅取决于变 形的大小，而且和问题本身的要求有关。
第一部分 静力学
静力学是研究物体的受力分析、力系的等效
替换（或简化）、建立各种力系的平衡条件的一门 科学。
1、物体的受力分析：分析物体（或物体系）受哪些力，每
个力的作用位置和方向，并画出物体的受力图。