初中数学知识点精讲精析 相交线知识讲解

5.1相交线

5·1·1相交线

1.邻补角、对顶角.

有一条公共边,而且另一边互为反向延长线的两个角叫做邻补角.

如果两个角有一个公共顶点, 而且一个角的两边分别是另一角两边的反向延长线,那么这两个角叫对顶角.

2.主要性质

（1） 对顶角的性质：对顶角相等

（2）邻补角的性质：互为邻补角的两个角和为︒180

证明如下：

∠1和∠3相等。

∵∠1＋∠2＝1800 ，∠2＋∠3＝180

0 、 ∴∠1＝∠3（同角的补角相等）

同理∠2和∠4相等。

这就是说：对顶角相等。

例1．直线a 、b 相交，∠1＝400，求∠2、∠3、∠4的度数。

分析：∠1和∠2有什么关系？∠1和∠3有什么关系？∠2和∠4有什么关系？

解：∵∠1＋∠2＝1800，∴∠2＝1800—∠1＝1800—400＝1400.

∠3＝∠1＝400，∠4＝∠2＝1400.

例2. 已知，如图，

80,35=∠

=∠COF AOC ，求：DOF AOD ∠∠和的度数

1 2 3 4 O B A

C D

1 2 3 4 O B A

C D

解：∵∠AOC 和∠AOD 是互补角，又∠AOC=35°，∴∠AOD=180°-35°=145°。 ∠DOF 和∠COF 也是互补角，∴同理，∠DOF=180°-∠COF=180°-80°=100°。

例3. 下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是〔 〕 A B C D

分析：对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。

解：C

例4.下列说法正确的是〔 〕

A 、相等的角是对顶角

B 、一个角的邻补角只有一个

C 、补角即为邻补角

D 、对顶角的平分线在一条直线上

解：根据性质可知，只有D 选项是对的。

5.1.2 垂线

1．垂直的表示法.

垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB 垂直于直线CD ， 垂足为O”，则记为AB ⊥CD,垂足为O ，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.

2. 垂线的画法

让三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使其另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则这条直线就是已知直线的垂线。

注意：如过一点画射线或线段的垂线，是指画它们所在直线的垂线，垂足有时在延长线上。

3. 垂线的性质

性质1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

4. 点到直线的距离

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。

5. 垂直在生活中的应用

O

D C B

A

1 2 1 2 1 2 1

2

O F E

D C B

A

例1 则下列结论：垂足为如图，,,,90D BC AD BAC ⊥︒=∠

（1）AB 与AC 互相垂直；

（2）AD 与AC 互相垂直；

（3）点C 到AB 的垂线段是线段AB ；

（4）点A 到BC 的距离是线段AD;

（5）线段AB 的长度是点B 到AC 的距离；

（6）线段AB 是点B 到AC 的距离。

其中正确的有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

解：A

例2 如图，直线AB,CD 相交于点O,

的度数。和求

AOC BOE DOF AB OF CD OE ∠∠︒=∠⊥⊥,65,,

解：略

例3 如图，一辆汽车在直线形公路AB 上由A

向B 行驶，M,N 分别是位于公路两侧的村庄，

设汽车行驶到点P 位置时，距离村庄M 最近，

行驶到点Q 位置时，距离村庄N 最近，请在图中公路AB 上分别

画出P,Q 两点位置。

即为所求。则点垂足分别为两点分别作解：如图所示，过Q P Q P AB NQ AB MP N M ,

,,,

,,⊥⊥

5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 十字路口的两条道路 方格本的横线和竖线 铅

1.在截线的同旁，被截直线的同方向（同上或同下）.具有这种位置关系的两个角叫做同位角。同位角形如字母“F ”。

2.在截线的两旁，被截直线之间。具有这种位置关系的两个角叫做内错角.内错角形如字母“N ”。

3.在截线的同旁，被截直线之间。具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角.同旁内角形如字符“匚”。

注意：这三类角相同的地方：

（1） 都不相邻即不存在共公顶点；（2）有一边在同一条直线（截线）上。

例1. 如图，直线DE ，BC 被直线AB 所截，（1）∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角？为什么？（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？∠1与∠3互补吗？为什么？

解：（1）∠1与∠2是内错角，因为∠1与∠2在直线DE ，BC 之间，在截线AB 的两旁；∠1与∠3是同旁内角，因为∠1与∠3在直线DE ，BC 之间，在截线AB 的同旁；∠1与∠4是同位角，因为∠1与∠4在直线DE ，BC 的同方向，在截线AB 的同方向。（2）如果∠1=∠4，

又因为∠2=∠4，所以∠1=∠2；因为∠3+∠4=1800，又∠1=∠4，所以∠1+∠3=1800，即∠1

与∠3互补。

例2. 指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角；

答：∠B 和∠ACD 是同位角，∠A 和∠ACD 是内错角，∠A 和∠B 、∠A 和∠ACB 、∠B 和∠ACB 是同旁内角。

A B C D 3

1 B

D 4

A

C E

2 c

b a

432

15 6 8

7