中考复习篇之《专题四 规律探索题》

专题四 规律探索题

类型一 数式规律探索

(2017·安徽)【阅读理解】我们知道，1＋

2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2

，那么12＋22＋32＋…＋n 2结果等于多少呢？ 在图1所示三角形数阵中，第1行圆圈中的数为1，即12，第2行两个圆圈中数的和为2＋2，即22，…；第n 行n 个圆圈中数的和为n ＋n ＋…＋nn 个n ，即

n 2

.这样，该三角形数阵中共有n （n ＋1）2个圆圈，所有圆圈中数的和为12＋22＋32＋…＋n 2.

图1

图2

【规律探究】将三角形数阵经两次旋转可得如图2所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数[如第(n－1)行的第一个圆圈中的数分别为n－1，2，n]，发现每个位置上三个圆圈中数的和均为________，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为3(12＋22＋32＋…＋n2)＝________，因此，12＋22＋32＋…＋n2＝________．

【解决问题】根据以上信息发现，计算：

12＋22＋32＋…＋2 0172

的结果为________．

1＋2＋3＋…＋2 017

【分析】 第一空只需将n －1，2，n 相加即可，∵每个三角形数阵中共有n （n ＋1）2

个圆圈，而每个位置上三个圆圈中数的和均为2n ＋1，∴三个三角形数阵中所有

圆圈中数的总和为(2n ＋1)·n （n ＋1）2

，从而第二空，第三、四空易求． 【自主解答】

【方法点拨】解决规律探究型问题的一般思路是通过对所给的具体结论进行全面、细致的观察、分析、比较，从中发现规律，并猜想出一般性结论，其中关于等式的规律探索：用含字母的代数式进行归纳，注意字母往往还具有反映等式序号的作用．

1．(2019·合肥二模)观察下列等式：

第1个等式：42－12－92＝3，第2个等式：52－22－92＝6，第3个等式：62－32－92

＝9，第4个等式：72－42－92

＝12，按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________；

(2)写出你猜想的第n个等式：________(用含n的等式表示)，并证明．2．(2019·淮北市濉溪县二模)观察下列式子：

0×2＋1＝12……①

1×3＋1＝22……②

2×4＋1＝32……③

3×5＋1＝42……④

……

(1)第⑤个式子是________，第⑩个式子是________；

(2)请用含n(n为正整数)的式子表示上述规律，并证明．

3．(2019·合肥包河区一模)杨辉是我国南宋时期杰出的数学家和教育家，如图是杨辉在公元1261年的著作《详解九章算法》里面的一张图，即“杨辉三角”，该图中有很多规律，请仔细观察，解答下列问题：

(1)图中给出了七行数字，根据构成规律，第9行中从左边数第4个数是________；

(2)第n行中从左边数第2个数为________；第n行中所有数字之和为________．

4．(2019·安徽) 观察以下等式：

第1个等式：21＝11＋11，

第2个等式：23＝12＋16，

第3个等式：25＝13＋115，

第4个等式：27＝14＋128，

第5个等式：29＝15＋145，

……

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第6个等式：________；

(2)写出你猜想的第n 个等式：________(用含n 的等式表示)，并证明．

5．(2019·全椒县一模)已知下列等式：

①(3＋1)2－(3－1)2＝4×3×1；

②(5＋3)2－(5－3)2＝4×5×3；

③(7＋5)2－(7－5)2＝4×7×5；

④(9＋7)2－(9－7)2＝4×9×7.

……

(1)请仔细观察，写出第5个式子；

(2)写出第n个式子，并运用所学知识说明第n个等式成立．

类型二图形规律探索

(2016·安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空：

图1

(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有n的代数式填空：

图2

1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(________)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝________. 【分析】 (1)第一项和第二项的结果不难填空；(2)先判断图中第(n＋1)行的黑球的个数，然后运用倒序相加法求出1＋3＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)的和即可完成填空．

【自主解答】

【方法点拨】对于图形规律探索题常按以下步骤操作：①写序号：记每组图形的序数为“1，2，3，…，n”；②数图形的个数：在图形数量变化时，要标记出每组图形表示的个数；③寻找图形数量与序号n的关系：在寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形表示的个数与前一个图形表示的个数进行比对，通过作差(商)来观察是否有恒定量的变化，然后按照定量变化推导出具体某个图形的个数；④验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．

1．(2019·甘肃改编)如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，…….

(1)第5幅图中有________个菱形，第n幅图中有 ________个菱形；

(2)如果第n幅图中有2 019个菱形，求n.

2．(2018·黔南州)“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法．例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，…….按此规律，求图10、图n有多少个点．

我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同(如图)，这样图1中黑点的个数是6×1＝6个；图2中黑点的个数是6×2＝12个；图3中黑点的个数是6×3＝18个；……所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是________、________．

请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块，再完成以下问题：(1)第5个点阵中有________个圆圈；第n个点阵中有____________________个